双曲线及抛物线(作业及答案)

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双曲线及抛物线（作业）

例 1： 已知双曲线 x 4 y 2 - = 1 的右焦点与抛物线 y 2

b

2 = 12x 的焦点

重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）

A ． 【思路分析】

B ． 4 C.3

D ．5

先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】

∵抛物线 y 2 = 12x 的焦点坐标为(3，0) ，

∴双曲线 x 4 y 2 - = 1的右焦点坐标为(3，0) ，即 c =3， b

2

∴ 4 + b 2 = 9 ，即b = ，

∴双曲线的渐近线方程为 y = ±

5

x ，即 5x ± 2 y = 0 ，

2

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d =

| 3⨯ 3

5 |

= ．故选 A ．

x 2 y 2

例 2： 如图， F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b

2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、

右焦点，过点 F 1 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若

| AB |:| BF 2 |:| AF 2 |= 3 : 4 : 5 ，则双曲线的离心率为（

）

A. B ． 【思路分析】

C ．2

D ．

利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系．

设| AB |= 3t ，则| BF 2 |= 4t ，| AF 2 |= 5t ，可得△ ABF 2 是以 B 为直角顶点的直角三角形；

5 2

15 3

2 2

13 根据双曲线的定义，得| AF 2 | - | AF 1 |=| BF 1 | - | BF 2 | ， 根据| BF 1 |=| AB | + | AF 1 | ，得

5t - | AF 1 |=| AF 1 | +3t - 4t ，解得| AF 1 |= 3t ， ∴| AF 2 | - | AF 1 |= 2t = 2a ，即a = t ， ∵∠ F 1BF 2 = 90︒ ，

∴| F 1F 2 |

= = 2 13t ，即c = 13t ， ∴离心率e = c

= ．故选 A ．

a

例 3： 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且垂直于对称轴的直线

交抛物线于 A ，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p 的值为

．

【思路分析】

利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】如图所示：

∵AB ⊥OF ，| AB |= 8 ， ∴| AF |= 4 ，

∴点 A 到准线 x = - p

的距离d = 4 ，

2 ∵点 A 到准线 x = - p

的距离为 p ，

2

∴ p = 4 ．

| BF |2 + | BF |2 1 2

5 13 y - = - = - =

- =

- = - = - =

- =

y 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1） 焦点在 x 轴上， a = 2 ，经过点 A (-5，2) ； （2） 焦距为2 ，渐近线为2x ± 3y = 0 ．

2. 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶

点的坐标为(0，2) ，则双曲线的标准方程为（

）

x 2 y 2 A ． y 2 x 2 B ． 4 4

y 2 x 2

C. 1 4 8 4 4

x 2 y 2

D. 1 8 4

3. 过点(2，- 2) 且与 （ ）

x 2 - 2

2

= 1 有公共渐近线的双曲线的方程是

y 2 x 2 A ． x 2 y 2 B ． 2 4 y 2 x 2

C. 1 4 2 4 2

x 2 y 2

D. 1 2 4

4. 双曲线

x 2 - 2

4

= 1的顶点到其渐近线的距离为（ ）

A. 2 5

B. 4 5

C. 2 5 5

D. 4 5 5

2 1 1 1 1

2

x 2 y 2

5. 设 F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b

2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、右焦点，

若在 C 上存在一点 P ，使 PF 2 ⊥ F 1F 2 ，且∠PF 1F 2 = 30︒ ，则

C 的离心率为

．

2

6. 已知点 P 为双曲线 x - y = 1右支上的一点，M ，N 分别是圆

9 16

(x + 5)2 + y 2 = 4 和(x - 5)2 + y 2 = 1 上的点，则| PM | - | PN | 的最大值为

．

x 2 y 2

7. 如图，F 1 ，F 2 是双曲线 C ： a 2 - b

2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、右焦

点，过 F 1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A ，B 两点．若

△ ABF 2 是等边三角形，则双曲线 C 的离心率为

．