第一章线性规划及单纯形法

[例2] 常山机器厂生产I、Ⅱ两种产品。这两种产品都 要分别在A、B、C三种不同设备上加工。按工艺资料 规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时和利 润如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？
设备
产品
A
I
2
Ⅱ
2
有效台时
12
B
C 利润（元）
4
0
2
0
5
3
16 15
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o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
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§2 图解法
（2）min Z=5X1+4X2
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 0 的变换
可令
xj
x
j，显然x
j
0
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§1一般线性规划问题的数学模型
[例3] 将下列线性规划问题化为标准形式
min Z x1 2x2 3x3
s.t.
2x1 x2 x3 9 3x1 x2 2x3 4 3x1 2x2 3x3 6
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
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x1
26
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
§2 图解法
（3）max Z=x1+2x2
x1 3x2 6 s.t.3x1x1x2x246
15
§1一般线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max z' x1'2x2 3(x3 x3) 0x4 0x5
2x1'x2 (x3 x3) x4 9
s.t.
3x1'x2 2(x3 x3) 3x1'2x2 3(x3 x3)
x5 4 6
x1', x2 , x3 , x3, x4 , x5 0
（3.8，4）
D可行域
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解。这种情形为有无穷多最
优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
(4) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(5) 第3个约束方程右端常数项为-6，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(6) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
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a11 a1m
B
( p1 pm )
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1, 2 ,… ,m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
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§1一般线性规划问题的数学模型
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条 件方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量
（3）决策变量为可控的连续变量。
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7
§1一般线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn (, ) b1
约束条件： s.t.am1x1
am2 x2
第一章 线性规划及单纯形法
本章主要内容：
一般线性规划问题的数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 应用举例
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1
案例：确定潘得罗索工业公司的产品组合
•
潘得罗索工业公司是一家墨西哥公司，截至在1998年的销售，
公司生产了全国胶合板产量的四分之一，与其他胶合板生产厂商一样，
中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
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§1一般线性规划问题的数学模型
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵(m<n)，其秩为 m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣B∣≠0），称B是规划问 题的一个基。设：
max Z
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值
max Z=15
（3，3）
D可行域
4X1 = 16(≤) 15 = 2X1 +3X2
min Z o
Lo： 0 = 2X1 +3 X2
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x1
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§2 图解法
（1）max Z=3X1+5.7X2
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
基解
可目
x1 x2 x3 x4 x5
行标
P3 4 3 -2 0 0 否 17
P4 3 3 0 4 0 是 15*
P5 4 2 0 0 5 是 14
P5 4 0 4 0 15 是 8
P5 6 0 0 -8 15 否 12
P4 0 3 6 16 0 是 9
P5 0 6 0 16 -15 否 18
P5 0 0 12 16 15 是 0
x1 0, x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准
型中要求变量非负，所以
ห้องสมุดไป่ตู้
用 x3
x3
替换x 3
，且x
3
,
x
3
0
（2）因为x1≤0，标准型中要求变量非负，所以
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x1 x1
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§1一般线性规划问题的数学模型
(3) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
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2
§1 一般线性规划问题的数学模型
1. 规划问题
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原材料、人工、时间等）去 完成确定的任务或目标。 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
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§1一般线性规划问题的数学模型
4. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z c j x j (1) j 1
s.t.
n j 1
aij x j
bi
, (i
1,2,
, m)
(2)
x j 0, ( j 1,2, , n ) (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组
潘得罗索工业公司的许多产品根据厚度和所用木材的质量而有所不同。
因为产品在一个竞争的环境中进行销售，产品的价格由市场决定，所
以产品的价格每月都有很大的变化。结果导致每项产品对公司整体利
润的贡献也有很大的变动。
•
从1980年开始，潘得罗索工业公司管理部门每个月使用线性规
划指导下个月的产品组合决策。线性规划的数学模型考虑了这一决策
即 maxz z c j x j
也就是：令 z z，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量
x
，可令
j
xj
xj
xj
其中：xj , xj 0
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§1一般线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij xj bi
aij x j bi
aij x j xni bi
一般有 两种方法
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
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amn xn
(, ) bm
x1 0 xn 0
简写为：
n
max (min) Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j ( ) bi
j 1
(i 1 2 m)
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xj 0
(j 1 2 n) 8
§1一般线性规划问题的数学模型
向量形式：
max (min) z CX
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
xn
b1
b
bm
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§1一般线性规划问题的数学模型
3. 线性规划问题的标准形式
n
max Z c j x j j 1
s.t
n j 1
aij x j
bi , i
1,2,
,m
x j 0, j 1,2, , n
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§1一般线性规划问题的数学模型
学习要点： 1. 掌握有关线性规划的基本概念（目标函数、 约束条件、线性规划、可行解、可行域、最优解、最 优值、基、基解、基可行解、可行基） 2. 能将线性规划转化为指定的标准型。 作业：（P47）1.2，1.6（化为标准型）
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§2 图解法
线性规划问题的求解方法
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§1一般线性规划问题的数学模型
[例1] 如图所示，用一块边长为a的正方形铁皮做一 个容器，如何截取x使铁皮围成的容器容积最大？
x
v a 2x2 x
a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
x a 6
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§1一般线性规划问题的数学模型
特点：
(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）
(2) 约束条件都为等式方程
(3)右端常数项bi都大于或等于零
(4) 决策变量xj为非负。
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§1一般线性规划问题的数学模型
如何化标准形式？
目标函数的转换
如果是求极小值即 min z
c
j
x
，则可将目标函数乘以
j
(-1)，可化为求极大值问题。
5
§1一般线性规划问题的数学模型
解：设x1、x2分别为I、Ⅱ两种产品的产量，则数学模型为：
max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12
s.t.
4x1
≤ 16
5x2 ≤ 15
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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§1一般线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成
的所有相关限制条件，包括生产产品所需的有限的可得数量。然后对
模型求解，找出可行并且最大可能利润（largest possible profit）的
产品组合。
•
采用线性规划后，潘得罗索工业公司的成绩是显著的。改进的产
品组合使公司的总利润增加了20%，线性规划的其他贡献包括更好的
原材料利用，更好的资本投资，和更好的人员利用。
取非0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过Cnm
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可 行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
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可 行 解
非可行 解
基解
基可行解
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§1一般线性规划问题的数学模型
[例4] 列出线性规划问题的全部基、基解、基可行解、最优解。
max Z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2 s.t.4
x1 x1
2x2 5x2
x3
12 x4 16
x5
15
x j 0, j 1, ,5
基
解: 约束方程的 系数矩阵为3×5矩阵
r(A)=3，3阶子矩阵有C53 10个，其中基矩阵只有 8个，即
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P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P3 P1 P4 P2 P3 P2 P4 P3 P4
决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： ( Linear Programming ——LP )
（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最
大值或最小值；
（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式；
s.t.
n j 1
pjxj
(, ) b
X 0
其中： C (c1 c2 cn )
x1
X
xn
Pj
a1 j
amj
b1
b
bm
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§1一般线性规划问题的数学模型
矩阵形式：max (min) Z CX
AX (, ) b
X
0
其中： C (c1 c2 cn )
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§2 图解法
例 用图解法求解线性规划问题
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t.4x1
16 5x2 15
x1, x2 0
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§2 图解法
max Z = 2X1 + 3X2
x2
2X1 + 2X2 = 12(≤)
5X2 = 15(≤) 6 = 2X1 +3X2