整式乘法及乘法公式中公式的巧用解题技巧.doc

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整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧

1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn n m a a =(n m ,都是正整数)．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)．单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的3．因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=；()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()c b a c b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++．1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4. 分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--= 分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小． (1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+．分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是： n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±．分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的．例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ．分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ．解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x ()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ．点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到．5.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x 1就不是最简二次根式．化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a ba b a 二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式； (3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：b a ba=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--．分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便．解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()2131********+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-．分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简．解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+= 321+= 23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ，又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ． ()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=．二次根式的化简技巧一、巧用公式法例1计算b a ba b a ba b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2b =()b a +()b a -，可以帮助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧

十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧十字相乘法口诀十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数具体步骤：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数原理：运用了乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字相乘法能把二次三项式分解因式(不一定在整数范围内)。

对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式计算步骤：⑴把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2⑵把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2⑶使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b⑷结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)实质：二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，需注意各项系数的符号。

基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

十字相乘顺口溜竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

步骤注释①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式十字相乘法对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。

【十字相乘法的方法】十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

【十字相乘法的用处】(1)用十字相乘法来分解因式。

(2)用十字相乘法来解一元二次方程。

因式分解的一般步骤(1) 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式;(2) 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解;(3) 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解;(4) 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。

在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。

以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。

奥数-整式的乘除-第3讲法师

第三讲整式的乘法与除法一、基础知识●整式的加减整式的加减涉及到许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：1．透彻理解“三式”和“四数”的概念“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的次数、项数．2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类型．这样，使得整式能大为简化，整式的加减实质就是合并同类项● 整式的乘法与除法指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：.,(),()m n m n m mn a a aa a ab +==n =,.n n m n m n a b a a a -÷=学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．二、例题第一部分基础概念与整式加减法例1. 若2x+5y-3=0,则432_____x y= (2002年绍兴市竞赛题)解：8例2. 已知单项式0.25x b y c 与单项式-0．125x 1-m y 12-n 的和为0．625ax n y m，求abc 的值．解：12 提示：由题意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125)例3. 同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．(A)4个 (B)12个 (D)25个(北京市竞赛题)解：C 提示：设满足条件的单项式为m n p a b c 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7.例4. 把一个正方体的六个面分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F 并展开如图所示，已知：A=2234y xy x +-,C=2223y xy x --,B=)(21A c -, E=B －2C ，若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D 、F ． (第9题) 解：2222374,9112D x xy y F x xy y =-+=-+例5. 已知 22276(2)()x xy y x y x y A x y B -----=-+++.求A 、B 的值. 思路点拨等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解.解：A=-3，B=2。

中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3

学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞还原”是什么意思呢？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93

整式的乘法与因式分解全章教案

整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 整式乘法的基本概念理解整式的定义及表示方法掌握整式乘法的基本原理1.2 整式的乘法法则学习整式乘法的基本法则练习整式乘法的计算方法1.3 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法1.4 单项式乘多项式理解单项式乘多项式的概念掌握单项式乘多项式的计算方法第二章：平方差公式与完全平方公式2.1 平方差公式推导平方差公式练习应用平方差公式解题2.2 完全平方公式推导完全平方公式练习应用完全平方公式解题2.3 平方根与乘方理解平方根与乘方的概念掌握平方根与乘方的计算方法第三章：因式分解3.1 因式分解的概念理解因式分解的定义及意义掌握因式分解的基本方法3.2 提取公因式法学习提取公因式法的方法练习提取公因式法解题3.3 公式法学习公式法的方法练习公式法解题3.4 分组分解法学习分组分解法的方法练习分组分解法解题第四章：应用题与综合练习4.1 应用题解法学习应用题的解法练习解决实际问题4.2 综合练习综合运用所学知识解决实际问题提高解题能力与思维水平第五章：复习与总结5.1 复习重点知识复习整式的乘法与因式分解的重点知识巩固所学内容5.2 总结全章内容总结整式的乘法与因式分解的主要概念和方法提高学生的综合运用能力第六章：多项式的乘法与除法6.1 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法6.2 单项式乘多项式与多项式乘单项式理解单项式乘多项式与多项式乘单项式的概念掌握单项式乘多项式与多项式乘单项式的计算方法6.3 多项式除以单项式理解多项式除以单项式的概念掌握多项式除以单项式的计算方法6.4 多项式除以多项式理解多项式除以多项式的概念掌握多项式除以多项式的计算方法第七章：分式与分式方程7.1 分式的概念与性质理解分式的定义及表示方法掌握分式的基本性质7.2 分式的运算学习分式的运算规则练习分式的计算方法7.3 分式方程理解分式方程的定义及解法掌握解分式方程的方法7.4 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及分式与分式方程的问题提高解决实际问题的能力第八章：二次三项式的因式分解8.1 二次三项式的概念理解二次三项式的定义及表示方法掌握二次三项式的性质8.2 二次三项式的因式分解学习二次三项式的因式分解方法练习二次三项式的因式分解技巧8.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及二次三项式的因式分解的问题提高解决实际问题的能力第九章：方程的解法与应用9.1 方程的解法学习方程的解法掌握解一元二次方程的方法9.2 方程的应用理解方程在实际问题中的应用练习解决实际问题中涉及方程的问题9.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及方程的问题提高解决实际问题的能力第十章：复习与总结10.1 复习重点知识复习本章的重点知识巩固所学内容10.2 总结全章内容总结本章的主要概念和方法提高学生的综合运用能力重点和难点解析1. 整式乘法的基本概念和原理：理解整式乘法的定义和表示方法，掌握整式乘法的原理是学习整式乘法的基础，需要重点关注。

木兰县三中七年级数学下册第八章整式的乘法8.5乘法公式活用乘法公式的“八先“素材新版冀教版

活用乘法公式的“八先”运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简．一、先结合后用公式例1：计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)．分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算．解：原式=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]=(a-d)2 -(b-c)2=a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2 ．二、先活用运算律后用公式分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便．三、先逆用法则后用公式例3：计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2 ．分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =a2 b2c2 ，再利用平方差公式计算较简捷．解：原式=[(x-y)(x+y)(x2 +y2 )]2=[(x2 -y2 )(x2 +y2 )]2=(x4 -y4 )2=x8-2x4 x4 +y8．四、先拆项后用公式例4：计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)．分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见．解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)=[(5y+1)+(2x-4)][(5y+1)-(2x-4)]=(5y+1)2 -(2x-4)2=25y2 +10y-4x2 +16x-15．五、先增添因式后用公式例5：计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)．分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算．解：原式=(2-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)=(29-1)(218+29+1)=22 7-1．六、先换元后用公式例6：计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)．分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算．解：原式=(x+1)(x+4)](x+2)(x+3)]=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24．说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc．七、先变换所求式后用公式例7：a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca的值是______．分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算．解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则八、先添项后用公式例8：若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_______．分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2 中添项“-y+y”，把它变形为[(z-y)+(y-x)]2 ，然后运用公式计算．解：∵(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=[(z-y)+(y-z)]2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2=[(z-y)-(y-x)]2 =(x+z-2y)2 =0，∴x+z-2y=0．∴x+z-2y+1999=0+1999=1999．加法运算律在加减混合运算中的应用知识点 1 加法交换律的应用1．已知a ，b ，c 是三个有理数，则下列各式中与式子－a ＋b －c 相等的是( ) A ．－b ＋a －c B ．b －a －c C ．－a ＋c －b D ．－b ＋a ＋c2．为计算简便，把(－2.4)－(－4.7)－(＋0.5)＋(＋3.4)＋(－3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置，正确的是( ) A ．－2.4＋3.4－4.7－0.5－3.5 B ．－2.4＋3.4＋4.7＋0.5－3.5 C ．－2.4＋3.4＋4.7－0.5－3.5 D ．－2.4＋3.4＋4.7－0.5＋3.5 知识点 2 加法结合律的应用3．下面运用加法结合律的式子是( ) A ．45－76＝－46＋75B ．63－128－72＝63＋(－128－72)C ．128－75－45＝128－(75－45)D ．a ＋b ＋c ＝b ＋a ＋c4．计算－2.5－3.25＋4.25的结果是( ) A ．1.5 B ．－1.5 C ．0.5 D ．－2.255．若m ，n 互为相反数，则m －4＋n ＝________．知识点 3 加法运算律的综合应用6．计算－(－4)－5＋(－6)－(－7)的结果是( ) A ．1 B ．0C ．－2D ．以上都不对7．利用加法的交换律和结合律，将＋327＋15－517－317写成________________，可以使运算简便．8．－0.3与－14的和减去－310得________．9．服装大世界去年1—6月份的盈亏情况如下：盈128.5万元、亏140万元、亏95.5万元、盈140万元、盈168万元、盈122万元．则服装大世界去年1—6月份共盈利________万元．10．计算下列各题： (1)1112－134－114＋412；(2)(－22.84)－(＋38.57)＋(－37.16)－(－32.57)；(3)112－56＋234＋38－423；(4)(－36)－(－28)＋(＋125)＋(－4)－(＋53)－(－40)．11．一个数是－199.87，另一个数比－199.87的相反数小8，那么这两个数的和是( ) A ．－5 B ．－191.87 C ．－8 D ．812．教材习题2.8第5(4)题变式－1＋2－3＋4－5＋6＋…－2017＋2018的值为( )A．1 B．－1 C．2018 D．100913．某次数学单元检测，708班A1小组六名同学计划平均成绩达到80分，组长在登记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数记为正，不足80分的分数记为负，成绩记录如下：＋10，－2，＋15，＋8，－13，－7.(1)本次检测成绩最好的为多少分？(2)该小组实际总成绩与计划相比是超过还是不足，超过或不足多少分？(3)本次检测小组成员中得分最高与最低相差多少分？14．随着我国经济的高速发展，有着“经济晴雨表”之称的股市也得到迅速的发展，下表是某年上证指数某一周星期一至星期五的变化情况. (注：上周五收盘时上证指数为2616点，每一天收盘时指数与前一天相比，“涨”记为“＋”，“跌”记为“－”)(1)请求出这一周星期五收盘时的上证指数是多少点；(2)这一周每一天收盘时上证指数哪一天最高，哪一天最低？分别是多少点？15．一家饭店，地面上18层，地下1层．地面上1楼为接待处，顶楼为公共设施处，其余16层为客房；地下1层为停车场．(1)客房7楼与停车场相差几层楼？(2)某会议接待员把汽车停在停车场，进入该层电梯，往上14层，又下5层，再下3层，最后上6层，你知道他最后在哪里吗？(3)某日，电梯检修，一名服务生在停车场停好汽车后，只能走楼梯，他先去客房，依次到了8楼、接待处、4楼，又回接待处，最后回到停车场，他共走了几层楼梯？图2－8－116．请根据如图2－8－2所示的对话解答下列问题．图2－8－2求：(1)a，b，c的值；(2)8－a＋b－c的值．参考答案1．B [解析] －a ＋b －c ＝(－a)＋b ＋(－c)＝b ＋(－a)＋(－c)＝b －a －c.故选B. 2．C 3.B 4.B 5.－4 6.B7.⎝ ⎛⎭⎪⎫＋327－317－517＋15 [解析] 运用运算律把分母相同的数结合在一起． 8．－14 [解析] －0.3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－310 ＝－0.3＋310－14＝－14.9．32310．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1112＋412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－134－114 ＝16－3 ＝13.(2)原式＝(－22.84－37.16)＋(－38.57＋32.57) ＝－(22.84＋37.16)－(38.57－32.57) ＝－60－6 ＝－66.(3)原式＝32－56＋114＋38－143＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫114＋38－143＝23＋258－143 ＝258－4 ＝－78.(4)原式＝－36＋28＋125－4－53＋40 ＝－8＋121－13 ＝121－21 ＝100. 11．C 12．D.13．解：(1)根据题意，得80＋15＝95(分)，则本次检测成绩最好的为95分．(2)根据题意，得10－2＋15＋8－13－7＝11(分)，即该小组实际总成绩与计划相比是超过，且超过11分．(3)根据题意，得最高分为80＋15＝95(分)，最低分为80－13＝67(分)，则得分最高与最低相差95－67＝28(分)．14．解：(1)这一周星期五收盘时的上证指数是2616＋34－15＋20－25＋18＝2648(点)．(2)星期三收盘时最高，为2616＋34－15＋20＝2655(点)；星期四收盘时最低，为2616＋34－15＋20－25＝2630(点)．15．解：记地上为正，地下1楼为0.(1)7－0＝7(层)．答：客房7楼与停车场相差7层楼．(2)0＋14－5－3＋6＝12(层)．答：他最后停在12层．(3)8＋7＋3＋3＋1＝22(层)．答：他共走了22层楼梯．16．解：(1)∵a的相反数是3，b的绝对值是7，∴a＝－3，b＝±7.∵c和b的和是－8，∴当b＝7时，c＝－15；当b＝－7时，c＝－1.(2)当a＝－3，b＝7，c＝－15时，8－a＋b－c＝8－(－3)＋7－(－15)＝33；当a＝－3，b＝－7，c＝－1时，8－a＋b－c＝8－(－3)＋(－7)－(－1)＝5.∴8－a＋b－c的值为33或5.。

2017-2018学年七年级数学湘教版下册单元测试题5.解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用(带答案)

解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用◆类型一利用公式求值一、逆用幂的相关公式求值1．已知5x＝3，5y＝4，则5x＋y的结果为【方法7①】( )A．7 B．12 C．13 D．142．如果(9n)2＝312，则n的值是( )A．4 B．3 C．2 D．13．若x2n＝3，则x6n＝________．4．(湘潭期末)已知a x＝3，a y＝2，求a x＋2y的值．5．计算：－82015×(－0.125)2016＋0.253×26.【方法7③】二、多项式乘法中求字母系数的值6．如果(x ＋m)(x －3)中不含x 的项，则m 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－37．(邵阳县期中)若(x －5)(2x －n)＝2x 2＋mx －15，则m ，n 的值分别是 ( )A ．m ＝－7，n ＝3B ．m ＝7，n ＝－3C ．m ＝7，n ＝3D ．m ＝－7，n ＝－38．已知6x 2－7xy －3y 2＋14x ＋y ＋a ＝(2x －3y ＋b)(3x ＋y ＋c)，试确定a ，b ，c 的值．三、逆用乘法公式求值9．若x ＝1，y ＝12，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( )A ．2B ．4C .32D .1210．已知a ＋b ＝3，则a 2－b 2＋6b 的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．1511．(衡阳中考)已知a ＋b ＝3，a －b ＝－1，则a 2－b 2的值为9.【方法9①】 12．已知x ＋y ＝3，x 2－y 2＝21，求x 3＋12y 3的值．四、利用整体思想求值13．若x ＋y ＝m ，xy ＝－3，则化简(x －3)(y －3)的结果是( )A ．12B ．3m ＋6C ．－3m －12D ．－3m ＋614．先化简，再求值：(1)(菏泽中考)已知4x ＝3y ，求代数式(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y 2的值；(2)已知2a2＋3a－6＝0，求代数式3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．◆类型二利用乘法公式进行简便运算15．计算2672－266×268得( )A．2008 B．1 C．2006 D．－116．已知a＝7202，b＝719×721，则( )A．a＝b B．a>bC．a<b D．a≤b17．计算：(1)99.8×100.2; (2)1022；(3)5012＋4992; (4)19992－1992×2008.◆类型三利用乘法公式的变形公式进行化简求值 18．如果x ＋y ＝－5，x 2＋y 2＝13，则xy 的值是( ) A ．1 B ．17 C ．6 D ．2519．若a ＋b ＝－4，ab ＝12，则a 2＋b 2＝________．20．(永州模拟)已知a ＝2005x ＋2004，b ＝2005x ＋2005，c ＝2005x ＋2006，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值为________．21．已知(x ＋y)2＝5，(x －y)2＝3，求3xy －1的值．◆类型四整式乘法中的拼图问题22．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是( )A．(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2B．(3a＋b)(a＋b)＝3a2＋4ab＋b2C．(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2D．(3a＋2b)(a＋b)＝3a2＋5ab＋2b223．如图，边长为(m＋2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为2，其面积是( )A．2m＋4 B．4m＋4 C．m＋4 D．2m＋224．★如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长是多少？(2)请你用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积；(3)观察图②，你能写出下列三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系吗？(4)根据(3)中的结论，解决下列问题：若a＋b＝9，a－b＝7，求ab的值．参考答案与解析1．B2．B 解析：∵(9n )2＝[(32)n ]2＝34n ，∴34n ＝312，∴4n ＝12，∴n ＝3.故选B. 3．274．解：∵a x ＝3，a y ＝2，∴a x ＋2y ＝a x ·a 2y ＝3×22＝12.5．解：原式＝－82015×(－0.125)2015×(－0.125)＋(0.25)3×23×23＝－[8×(－0.125)]2015×(－0.125)＋(0.25×2×2)3＝1×(－0.125)＋1＝0.875.6．C 7.D8．解：∵(2x －3y ＋b )(3x ＋y ＋c )＝6x 2－7xy －3y 2＋(2c ＋3b )x ＋(b －3c )y ＋bc ＝6x 2－7xy －3y 2＋14x ＋y ＋a ，∴2c ＋3b ＝14，b －3c ＝1，bc ＝a .联立以上三式，可得a ＝4，b ＝4，c ＝1.9．B10．B 解析：a 2－b 2＋6b ＝(a ＋b )(a －b )＋6b ＝3(a －b )＋6b ＝3a ＋3b ＝3(a ＋b )＝9.故选B. 11．－312．解：∵x ＋y ＝3，x 2－y 2＝21，∴x －y ＝21÷3＝7.联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.当x ＝5，y ＝－2时，x 3＋12y 3＝53＋12×(－2)3＝125－96＝29.13．D14．解：(1)(x －2y )2－(x －y )(x ＋y )－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝－4xy ＋3y 2.∵4x ＝3y ，∴原式＝－3y ·y ＋3y 2＝0.(2)∵2a 2＋3a －6＝0，即2a 2＋3a ＝6，∴3a (2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)＝6a 2＋3a －4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1＝6＋1＝7.15．B 解析：2672－266×268＝2672－(267－1)(267＋1)＝2672－2672＋1＝1.故选B. 16．B17．解：(1)原式＝(100－0.2)(100＋0.2)＝1002－0.22＝9999.96. (2)原式＝(100＋2)2＝10000＋4＋400＝10404.(3)原式＝(500＋1)2＋(500－1)2＝5002＋2×500×1＋12＋5002－2×500×1＋12＝2×5002＋2＝500002. (4)原式＝(2000－1)2－(2000－8)(2000＋8)＝20002－2×2000×1＋1－(20002－82)＝－4000＋1＋64＝－3935.18．C 19.1520．3 解析：由题意知b －a ＝1，c －b ＝1，c －a ＝2.∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12(a 2－2ab ＋b 2＋a 2－2ac ＋c 2＋b 2－2bc ＋c 2)＝12[(b －a )2＋(c －a )2＋(c －b )2]＝12×(1＋4＋1)＝3.21．解：∵(x ＋y )2－(x －y )2＝4xy ＝2，即xy ＝12，∴3xy －1＝3×12－1＝12.22．D23．B 解析：依题意得剩余部分的面积为(m ＋2)2－m 2＝m 2＋4m ＋4－m 2＝4m ＋4.故选B. 24．解：(1)m －n .(2)方法一：(m －n )2＝m 2－2mn ＋n 2；方法二：(m ＋n )2－4mn ＝m 2－2mn ＋n 2. (3)(m ＋n )2－4mn ＝(m －n )2.(4)∵(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，∴4ab ＝32，∴ab ＝8.。

整式及乘法公式

第一讲整式及乘法公式第一部分知识梳理一、基本概念1．同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即()mn nm a a =（m 、n 都是正整数）3．积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab = （n为整数）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。

三、整式的乘法1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则________．2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．第二部分例题与解题思路方法归纳【例题1】阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘个n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．【课堂训练题】1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，∴2a﹣1•5b﹣1=1，∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。

《乘法公式》整式的乘除与因式分解

运算法则
把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
多项式除以单项式
定义
把一个多项式除以另一个单项式的商叫做多项式除以单项式。
运算法则
把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
多项式除以多项式
定义
把一个多项式除以另一个多项式的商叫做多项式除以多项式。
《乘法公式》整式的乘除与因式分解
2023-11-09
目录
• 乘法公式 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 因式分解 • 乘法公式、整式的乘除与因式分解的关系 • 经典例题解析
01
乘法公式
乘法公式的定义
乘法公式的定义
乘法公式是指将两个或多个数相乘的结果用一个简单的符号表示
。例如，$(a+b)^2$ 表示 $a^2+2ab+b^2$。
因式分解的例题
3. 双十字相乘法
$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$。
2. 公式法
$a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$。
总结词
因式分解的方法多种多样，通过经典例题解析可以更好地理解各种方法的适用条件和操作技巧。
详细描述
因式分解是将一个多项式分解为若干个因式之积的过程，下面通过一些例题及解析来探讨因式分解的方法
乘法公式与因式分解的关系
乘法公式在因式分解中的应用
在因式分解中，乘法公式被广泛应用，例如利用乘法公式进行多项式的展开、分组、约分等，这些方法都是基于乘法公式进行推导和复杂的乘法公式问题时，通过因式分解可以将问题转化为更简单的形式，例如利用因式分解解决一些分式的约分问题。

整式的乘法和因式分解知识点汇总

整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。

下面将对这些知识点进行详细讲解。

一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。

其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。

例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。

二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。

根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。

例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。

三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。

根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。

例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。

五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。

对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。

1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。

《整式乘法》中的思想方法与思维技巧

《整式乘法》中的思想⽅法与思维技巧1、《整式》中的思想⽅法与思维技巧2、整式的乘法新题例析3、完全平⽅公式要点精析4、因式分解经典试题分析5、因式分解中常见的错误辨析6、整式除法运算新题放送7、正确理解与灵活运⽤乘法公式8、因式分解在赛题中的应⽤9、整式的乘法错解剖析10、聚焦特征，活⽤乘法公式1、《整式》中的思想⽅法与思维技巧本章中蕴含着丰富的数学思想，下⾯以例说明如何运⽤这些数学思想指导我们解决问题．1、“特殊→⼀般→特殊”的思想⽅法在本章中，许多性质与法则的得出，都是先举出⼀些具体的例⼦，然后找出它们的共同特征，加以推⼴，概括出⼀般化的结论，再把所得结论应⽤于具体的解题过程中。

例如：同底数幂的乘法的性质．2、分类讨论的数学思想⽅法例如：多项式4x2＋1加上⼀个单项式后能成为⼀个整式的完全平⽅，那么这个单项式是什么？析解：根据已知多项式的特点，我们可以把添加的单项式分为：①四次式(可添4x4)，②⼆次式(添－4x2)，③⼀次式(±4x)，④常数(－1)．3、数形结合的数学思想⽅法多项式的乘法常常可以看作是某种图形的⾯积，本章有许多这样数形结合的例⼦．例如：课本P180，根据图形⾯积说明平⽅差公式．P182，根据图形⾯积说明完全平⽅公式．例．如图是⽤四张相同的矩形拼成的图形，请你利⽤图中的阴影部分的不同表⽰⽅法，写出⼀个关于a、b的恒等式：．析解：因⼤正⽅形的边长为a＋b，⼩正⽅形的边长为a－b，所以(a＋b)2－(a－b)2＝（a2＋2a b＋b2）－（a2－2a b＋b2）＝4a b．故填：(a＋b)2－(a－b)2＝4a b．4、整体代⼊的思想⽅法例如课本P185页第7题：已知a＋b＝5，a b＝3，求a2＋b2的值．析解：直接求出a、b的值有⼀定的困难，但可对所求代数式a2＋b2，我们可添项，变为：a2＋2a b＋b2－2a b＝(a＋b)2－2a b，然后整体代⼊求值．5、逆向思维技巧由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程，因此恰当地利⽤本章的⼀些性质、法则、公式进⾏逆向解题，常常可以起到简化运算，化难为易的作⽤．例如课本P193第7题：已知2m＝a，32n＝b，求23m+10n．析解：先逆⽤幂的乘⽅：(a m)n=a mn，再逆⽤积的乘⽅：(ab)n=a n b n．由2m＝a，得(2m)3＝a3，即23m＝a3，由32n＝b，得(25n)2＝b2，即210n＝b2，∴23m+10n＝23m·210n＝a3b2．由此可见正确地运⽤数学思想⽅法往往可使问题化繁为简、化难为易，起到事半功倍之效．2、整式的乘法新题例析整式的乘法是本章的重要内容，也是中考试题中常见的题型，下⾯请欣赏⼏例．⼀、定义运算类例1．（吉安市）如果“三⾓形”表⽰，“⽅框”表⽰，求×的值。

整式的乘法和因式分解

整式的乘法注意：单项式的乘法的关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可以采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用类比理解，并且指导运算．多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每项分别与另外一个多项式的每项相乘，再把所得的积相加，运算中利用单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时需要按照一定的顺序进行，防止漏项和符号出错．1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数.2.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫多项式的次数.3.整式的概念：单项式和多项式统称整式.注意：凡是分母含有字母的代数式都不是整式，也不是单项式和多项式.4.单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.注意：（1）①积的系数等于各因式系数的积；②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式；④单项式乘以单项式的结果仍是单项式；⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.（2）单项式乘法中，若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行.例1.计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）例2.计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（n是正整数）例3.先化简，后求值：，其中.例4.已知，求的值.5.单项式与多项式相乘的法则：使用单项式乘以多项式的每项，再把所得的积相加.注意：（1）法则中“每项”是指含有性质符号的项；（2）单项式乘以多项式，它的积仍为多项式，项数与原多项式（没有同类项）的项数相同，不要漏乘项；（3）乘积中符号的确定与括号法则基本一致，括号前的单项式系数为正数，去括号后多项式各项的符号都不变，否则都改变；（4）对混合运算应该注意运算顺序，并且有同类项时，必须合并同类项，从而得到最简结果；（5）由法则可以看出：单项式与多项式相乘就是根据乘法分配律把问题转化为单项式的乘法，它的思路是例5.计算:（1）（2）（3）（4）例6.计算：（1）（2）例7.解方程：（1）（2）例8.先化简，后求值：，其中.例9.化简：．（n是正整数）6.多项式与多项式相乘的法则：使用多项式的每项分别乘以多项式的每项，再把所得的积相加.例10.计算：(1) (2)(3) （4）(5) (6)例11.计算：(1) (2)(3) (4)例12.计算：（1）（2）例13.计算：（1）（2）例14.先化简，后求值:(1) ,其中(2) ,其中例15.按如图的程序计算：若开始输入n值为，则最后输出结果是__________.例16.已知：二次三项式和的乘积中不含项和项．求p,q的值．例17.计算：（1）（2）（3）（4）例18.解答题：（1）已知代数式与的值相等，求x．（2）解不等式．（3）已知：．求m、n的值．因式分解1．分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做分解因式．2．因式分解的基本方法有：(1) 提取公因式法；(2) 公式法；(3) 分组分解法；(4) 十字相乘法．例1.单项式与的公因式为___________.例2.若4x2+2(m+1)x+25是完全平方式，则m的值等于___________.例3.若x2+x+m=(x-n)2，则m+n=_________.例4.在多项式m2+n2，-a3+b3，x4+4y2，-4s2+9t2中，可以使用平方差公式分解因式的有___________.例5.若x2-mx-28=(x+4)(x-7)，则m=___________.例6.若的值为0，则的值为___________.例7.若，则___________.例8.方程的解为___________.例9.若=，则=___________.例10.因式分解：（1）=___________.（2）=___________.（3）=___________.（4）=___________.（5）=___________.（6）=___________.（7）m2+5n-mn-5m=___________.（8）bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=___________.课堂反思1.幂的运算是初中代数运算的重点和必考点，但是它的内容简单，只需要深刻地记忆幂的运算的相关性质，并且适量地解决经典题型，要求学生熟练掌握.2.整式的乘法属于基本内容，只要熟练地掌握运算法则并且能够准确地解题即可.3.因式分解是初中代数运算的重点和必考点，要求学生熟练掌握，需要灵活地运用因式分解的各种方法准确地解题.课后训练1.下列4个算式：(1) (2)(3) (4)其中,计算错误的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.你认为下列各式正确的是 ( )A． B．C．D．3.下列运算正确的是 ( )A．3a+2b=5ab B．a3a2=a5 C．a8÷a2=a4D．（－2a2）3=－a64.下列计算正确的是 ( )A．x4·x4=x16 B．(a3)2·a4=a9 C．(ab2)3÷(－ab)2=－ab4 D．(a6)2÷(a4)3=1 5．计算：的结果是 ( )A．B． C． D．6．下列运算中，结果是的是 ( )A． B．C． D．7.已知是大于1的自然数,则等于 ( )A. B. C. D.8.已知a=，b=，c=，那么a、b、c 的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. a＜b＜cD. c＞a＞b9.的计算结果是 ( )A. B．C． D.10.下列计算中正确的是 ( )A.B．C.D．11.三个连续偶数，中间一个为k，则这三个数的积为 ( )A. B. C. D.12.使的积中不含和的项，则p、q的值分别为 ( )A． B．C． D.13.计算：的结果是 ( )A． B．C. D．14.若，，则的值为 ( )A． B． C．D．15.若，则________．(使用幂的形式表示）16.计算：；的结果是．17.已知，，则．18.如果等式，则的值为．11.因式分解：（1）______________.（2）______________. （3）______________.（4）=______________.（5）______________.（6）______________.（7）______________.（8）______________.（9）______________.12.计算：()15×(315)3（2）(m (1)为偶数,)（3）（4）（5）（n是正整数）（5）（6）（6）（7）（8）（9）（10）（10）（11）（12）13.解方程：．14.求证：代数式的值与x的值无关．15.若，解关于的方程．16.若.17.已知（1）求的值；（2）求的值.18.求使得成立的所有的值.19.若a、b、c都是正数，且a2=2，b3=3，c4=4，比较a、b、c的大小.20.已知，求代数式[－3.5（x+y）]3·（x－y）·[－2（x+y）（x－y）]2的值.21.已知a2+a=－1，求a2005+a3006+a4007的值.22.一长方体的高是厘米，底面积是平方厘米，则它的体积是_______立方厘米．23.一种细菌的半径是厘米，用科学计数法表示为分米24.︱x︱＝(x－1)0，则x = .25.汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程.某工程队承包了该项目，计划每天加固60米.在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务.设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了天.（使用含有a的代数式表示）26.阅读下列一段话，并且解决后面的问题.观察下面一列数：1，2，4，8，…我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比值都是2.我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比.（1）等比数列5，―15，45，…的第4项是；（2）如果一列数a1,a2,a3,…是等比数列，且公比是q,那么根据上述规定有所以则a n= .(用a1与q的代数式表示)（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项和第4项.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

北师版七下数学第一章《整式的乘除》幂的运算与乘法公式学习中的技巧性问题探究

北师版七下数学第一章《整式的乘除》幂的运算与乘法公式学习中的技巧性问题探究学习幂的运算性质应注意的几个问题幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．在学习中应注意以下问题．1．注意符号问题例1判断下列等式是否成立：①(-x)2＝-x2，②(-x3)＝-(-x)3，③(x-y)2＝(y-x)2，④(x-y)3＝(y-x)3，⑤x-a-b＝x-(a+b)，⑥x+a-b＝x-(b-a)．解：③⑤⑥成立．以上六个等式，是否成立？为什么？这些都应分析清楚．所有这些问题的解决，对今后的学习是否能够顺利进行，都有着重要的意义．2．注意幂的性质的混淆例如：(a5)2＝a7，a5·a2＝a10．产生这样错误的原因是对运算性质发生混淆．只一般地纠正错误是不能彻底解决问题的，有必要从乘方的意义以及性质是怎样归纳得出的，找出产生错误的根源．3．注意幂的运算性质的逆用四个运算性质反过来也是成立的．有创新精神的学生在解题时逆用性质，但大部分学生不会逆用性质或想不到，能正反灵活地运用幂的运算性质会给解题带来很大的帮助．例2已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．解：103m+2n＝(10m)3×(10n)2＝43×52＝1600．例3试比较355，444，533的大小．解：∵355＝(35)11＝24311，444＝(44)11＝25611，533＝(53)11＝12511，而125＜243＜256，∴533＜355＜444．4．注意幂的意义与幂的运算性质的混淆例如：比较234与243的大小．错解：∵234＝212，243＝212，∴234＝243．产生错误的原因是：对幂的意义与幂的乘方混淆不清，教师要弄清幂的意义．并与幂的性质进行比较．例4已知a＝234，b＝243，c＝324，d＝432，e＝423，则a、b、c、d、e的大小关系是()(A)a＝b＝d＝e＜c．(B)a＝b＝d＝e＞c．(C)e＜d＜c＜b＜a．(D)e＜c＜d＜b＜a．解：a＝234＝281，b＝243＝264，c＝324＝316，d＝432＝49＝218，e＝423＝48＝216．而216＜218＜316＜264＜281．∴e＜d＜c＜b＜a．故应选(C)．你会巧用幂的运算法则吗？幂的运算法则是进行整式乘除的基础，在应用中，如能注意以下技巧，常可获得妙解．一、化成同底数幂进行计算例1若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．解：∵2m＝x-1，∴y＝3+4m＝3+22m．＝3+(2m)2＝3+(x-1)2＝x2-2x+4．二、化成同指数幂进行计算例2比较3555、4444、5333的大小；解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111，4444＝44×111＝(44)111＝256111，5333＝53×111＝(53)111＝125111，又256＞243＞125，∴5333＜3555＜4444．例3如果a≠0，b≠0且，(a+b)x＝(a-b)y，(a+b)y＝(a-b)x成立，那么x+y的值是_____．(A)0．(B)1．(C)2．(D)不能确定．解：将已知两等式相乘有(a+b)x+y＝(a-b)x+y．又a≠0，b≠0，∴a+b≠a-b，要使(a+b)x+y＝(a-b)x+y成立，只有x+y＝0，所以选(A)．三、化成已知幂的形式进行计算∴53x+2y＝53x·52y＝(5x)3·(5y)2比较大小A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997B＝19981998试比较A与B的大小．分析：(1)把A化简成B．∵1998+1997×1998＝1998×(1+1997)＝19982，这样反用乘法分配律，使1998的指数逐次增加1，和后面再反用乘法分配律，最后就化简成B．(2)把B化成A∵19981998＝1998×19981997＝(1+1997)×19981997＝19981997+1997×19981997这是仅用同底数幂的性质，应用乘法分配律，把此过程继续下去就可由B 得到A．解：方法一A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+19981996+1997×19981997＝1998(1+1997)+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝19982(1+1997)+…+1997×19981996+1997×19981997＝19983+…+1997×19981996+1997×19981997＝……＝19981996+1997×19981996+1997×19981997＝19981996(1+1997)+1997×19981997＝19981997+1997×19981997＝19981997(1+1997)＝19981998∴A＝B方法二B＝19981998＝1998×19981997＝(1+1997)×19981997＝19981997+1997×19981997＝1998×19981996+1997×19981997＝(1+1997)×19981996+1997×19981997＝19981996+1997×19981996+1997×19981997＝……＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝1998×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝(1+1997)×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997∴A＝B求值已知：3a·5b·7c·19d+1＝1996，其中a，b，c，d都是自然数，计算：(a+b-c-d)1996之值．分析：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996∴3a·5b·7c·19d＝1995．因为3、5、7、19是互质数，所以a、b、c、d的值是唯一确定的，只须把1995分解质因数．1995＝3×5×7×19∴a＝b＝c＝d＝1．此题可解解：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996∴3a·5b·7c·19d＝1995∵1995＝3×5×7×19∴a＝b＝c＝d＝1∴(a+b-c-d)1996＝(1+1-1-1)1996＝01996＝0在“整式乘除”教学中培养学生逆向思维义务教育数学教学大纲明确指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心”在初中数学教学中主要是发展学生的逻辑思维能力，包括培养学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理，会准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质．本文仅就在“整式乘除”一章的教学谈谈自己培养学生逆向思维的点滴做法，不妥之处请专家同行指正．在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都是直接套用公式计算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算正确．如果把公式反过来使用，就会化繁为简、化难为易．一、在幂的运算性质教学中培养学生逆向思维1．同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算．例1与a n b 2的积为3a 2n+1b 2n+1的单项式是______．例2如果M ÷3xy ＝－91x n +1＋181，则M ＝．例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被除式，这时可利用乘法与除法的互逆来解答．例3已知2a ＝3，2b ＝5，求2a +b ．本题如果想先求出a 、b 的值，再代入2a +b 中求值，是很难办到的，初一学生无法进行，但若将同底数幂乘法的性质反过来用，就得到2a +b ＝2a ·2b ，这样问题就迎刃而解了．2．积的乘方与幂的乘方性质的逆用．例4计算（－3）1995×（31）1997观察两个幂的底数，－3和31呈互为负倒数关系，积为－1，于是可联想到将积的乘方的性质逆用，但两个幂指数又不一样，怎么办呢？再将同底数幂乘法性质逆用一次，得到（－3）1995×（31）1995×（31）2，这样问题就解决了．该题在学习整式除法这一内容后，还可将负指数幂的性质逆用，也可得解．＝-31995·(3-1)1997＝-31995·3-1997＝-3-2平方差公式与完全平方公式一、公式透析平方差公式：22))((b a b a b a -=-+特点是相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

整式乘法

精心整理整式乘法整式乘法定义1.单项式和单项式相乘把它们的（系数），（相同字母的幂）分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则（连同它的指数作为积的一个因式）。

2.单项式乘多项式就是（用单项式去乘多项式的每一项），再把（所得的积相加）。

3.多项式和多项式相乘，先用（一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项），再把所得的（积相加）。

例如：第十五章整式【课标要求】再加以验证，这几个环节都是必不可少的，再就是灵活运用公式解决实际问题。

4．正确理解整式的概念：整式的系数、次数、项、同类项等概念必须清楚，是今后学习方程、整式乘除、分式和二次函数的基础。

5．熟练掌握合并同类项、去（添）括号法则：要处理好合并同类项及去（添）括号中各项符号处理，式的运算是数的运算的深化，加强式与数的运算对比与分析，体会其中渗透的转化思想。

6．能熟练地运用幂的运算性质进行计算：幂的运算是整式的乘法的基础，也是考试的重点内容，要求熟练掌握。

运算中注意“符号”问题和区分各种运算时指数的不同运算。

7．能熟练运用整式的乘法法则进行计算：整式运算常以混合运算出现，其中单项式乘法是关键，其他乘除都要转化为单项式乘法。

89101(1) a 3= -(b-a)3A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 2．计算()()533522aa -÷-的结果是（）A 、—2B 、2C 、4D 、—4 3．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（） A ．5- B ．5 C ．2- D ．24.已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（）A 、()n m -21B 、()n m --21 C 、()n m -41 D 、()n m --41 5．若x 2+mx+1是完全平方式，则m=（）。

A.2 B.-2 C.±2 D.±46A C 7A 、8 A.9 A.214a c B.14ac C.294a c D.94ac10．)12()12)(12)(12(242+⋅⋅⋅+++n 的值是（） A. 12-n B. 122-n C. 142-n D. 1222-n11．规定一种运算：a*b=ab+a+b,则a*（-b ）+ a*b 计算结果为（）A. 0B. 2aC. 2bD.2a b12．已知7)(2=+b a ,3)(2=-b a ,则22b a +与ab 的值分别是（）A. 4,1B. 2,23C.5,1D. 10,23 二、填空题1．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ] 2．已知a －a1 =3，则a 2+a12 的值等于 · 3．如果4．若⎩⎨⎧a a 5．已知； 1① 32③2(x -312。

第一章整式乘法-乘法公式拓展提升(教案)

2.加强课堂互动，鼓励学生们提问和发表观点，提高他们的课堂参与度；
3.注重个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导和指导；
4.定期对学生们进行评价，了解他们在整式乘法方面的掌握程度，以便调整教学策略。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对整式乘法的基础知识掌握得相对扎实，但在乘法公式的运用上还存在一些问题。尤其是在完全平方公式、平方差公式等拓展提升部分，学生们在理解上还有一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重乘法公式的推导过程和实际应用。
课堂上，我尽量用生动的语言和具体的例子来解释乘法公式的来源和运用，但显然，这部分内容对于一些学生来说仍然难以消化。我想，在下一节课中，可以尝试通过更多的互动和实际操作，让学生们亲自参与到公式的推导和应用中来，以提高他们的理解和记忆。
（3）各类乘法公式在实际问题中的综合运用。
举例：
-多项式乘法法则：要求学生掌握(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd的展开方法；
-完全平方公式：熟练运用a²±2ab+b²=(a±b)²解决实际问题；
-平方差公式：掌握a²-b²=(a+b)(a-b)，并能应用于求解相关问题；
-立方和与立方差公式：熟练运用a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)和a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)解决具体问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、乘法公式的重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧

初中数学整式乘法与因式分解教案：起点破题,渐入佳境

初中数学整式乘法与因式分解教案：起点破题，渐入佳境教案章节：一、整式乘法概述1. 理解整式的概念2. 掌握整式乘法的定义及基本规则3. 了解整式乘法在实际问题中的应用二、整式乘法的运算方法1. 平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)2. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，a^2 2ab + b^2 = (a b)^23. 多项式乘以多项式的法则4. 整式乘法的计算步骤与方法三、整式乘法的应用1. 解决实际问题中的整式乘法2. 列出一元二次方程3. 求解实际问题中的未知量四、因式分解的概念与意义1. 理解因式分解的概念2. 掌握因式分解的方法及步骤3. 了解因式分解在数学中的重要性五、提公因式法与公式法1. 提公因式法a. 找出多项式的公因式b. 提取公因式后的简化形式2. 公式法a. 运用平方差公式进行因式分解b. 运用完全平方公式进行因式分解教学目标：1. 掌握整式乘法的定义、运算方法及应用。

2. 理解因式分解的概念、方法及意义。

3. 学会使用提公因式法和公式法进行因式分解。

4. 能够将实际问题转化为整式乘法或因式分解问题，并解决。

六、十字相乘法与分组分解法1. 十字相乘法a. 理解十字相乘法的概念b. 掌握十字相乘法的步骤与技巧c. 解决实际问题中的十字相乘法2. 分组分解法a. 了解分组分解法的原理b. 学会将多项式进行合理分组c. 运用分组分解法进行因式分解七、多项式相乘与因式分解的综合应用1. 理解多项式相乘与因式分解之间的关系2. 掌握多项式相乘在因式分解中的应用3. 解决实际问题中的多项式相乘与因式分解问题八、因式分解在代数式求值中的应用1. 理解代数式求值的基本方法2. 学会运用因式分解简化代数式求值过程3. 解决实际问题中的代数式求值问题九、因式分解在解方程中的应用1. 理解解方程的基本方法2. 学会运用因式分解法解一元二次方程3. 解决实际问题中的方程求解问题十、巩固与提高1. 总结整式乘法与因式分解的主要知识点2. 掌握整式乘法与因式分解的基本技巧3. 通过练习题巩固所学知识，提高解题能力教学目标：1. 掌握十字相乘法与分组分解法的概念、步骤与应用。

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解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用
◆类型一利用公式求值
一、逆用幂的相关公式求值
1．已知5x＝3，5y＝4，则5x＋y的结果为【方法7①】( )
A．7 B．12 C．13 D．14
2．如果(9n)2＝312，则n的值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3．若x2n＝3，则x6n＝________．
4．(湘潭期末)已知a x＝3，a y＝2，求a x＋2y的值．
5．计算：－82015×(－0.125)2016＋0.253×26.【方法7③】
二、多项式乘法中求字母系数的值
6．如果(x＋m)(x－3)中不含x的项，则m 的值是( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
7．(邵阳县期中)若(x－5)(2x－n)＝2x2＋mx－15，则m，n的值分别是( ) A．m＝－7，n＝3 B．m＝7，n＝－3
C．m＝7，n＝3 D．m＝－7，n＝－3
8．已知6x 2－7xy －3y 2
＋14x ＋y ＋a ＝(2x －3y ＋b)(3x ＋y ＋c)，试确定a ，b ，c 的值．
三、逆用乘法公式求值
9．若x ＝1，y ＝12
，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( ) A ．2 B ．4 C.32 D.12
10．已知a ＋b ＝3，则a 2－b 2＋6b 的值为( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
11．(衡阳中考)已知a ＋b ＝3，a －b ＝－1，则a 2－b 2的值为9.【方法9①】
12．已知x ＋y ＝3，x 2－y 2＝21，求x 3＋12y 3的值．
四、利用整体思想求值
13．若x ＋y ＝m ，xy ＝－3，则化简(x －3)(y －3)的结果是( )
A ．12
B ．3m ＋6
C ．－3m －12
D ．－3m ＋6
14．先化简，再求值：
(1)(菏泽中考)已知4x ＝3y ，求代数式(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y 2的值；
(2)已知2a2＋3a－6＝0，求代数式3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
◆类型二利用乘法公式进行简便运算
15．计算2672－266×268得( )
A．2008 B．1 C．2006 D．－1
16．已知a＝7202，b＝719×721，则( )
A．a＝b B．a>b
C．a<b D．a≤b
17．计算：
(1)99.8×100.2; (2)1022；
(3)5012＋4992; (4)19992－1992×2008.
◆类型三利用乘法公式的变形公式进行化简求值
18．如果x ＋y ＝－5，x 2＋y 2
＝13，则xy 的值是( )
A ．1
B ．17
C ．6
D ．25
19．若a ＋b ＝－4，ab ＝12
，则a 2＋b 2＝________． 20．(永州模拟)已知a ＝2005x ＋2004，b ＝2005x ＋2005，c ＝2005x ＋2006，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值为________．
21．已知(x ＋y)2＝5，(x －y)2＝3，求3xy －1的值．
◆类型四整式乘法中的拼图问题
22．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是( )
A ．(a ＋b)(a ＋2b)＝a 2＋3ab ＋2b 2
B ．(3a ＋b)(a ＋b)＝3a 2＋4ab ＋b 2
C ．(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2
D ．(3a ＋2b)(a ＋b)＝3a 2＋5ab ＋2b 2
23．如图，边长为(m ＋2)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为2，其面积是( )
A．2m＋4 B．4m＋4 C．m＋4 D．2m＋2
24．★如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长是多少？
(2)请你用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积；
(3)观察图②，你能写出下列三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系吗？
(4)根据(3)中的结论，解决下列问题：若a＋b＝9，a－b＝7，求ab的值．
参考答案与解析
1．B
2．B 解析：∵(9n )2＝[(32)n ]2＝34n ，∴34n ＝312，∴4n ＝12，∴n ＝3.故选B.
3．27
4．解：∵a x ＝3，a y ＝2，∴a
x ＋2y ＝a x ·a 2y ＝3×22＝12. 5．解：原式＝－8
2015×(－0.125)2015×(－0.125)＋(0.25)3×23×23＝－[8×(－0.125)]2015×(－0.125)＋(0.25×2×2)3＝1×(－0.125)＋1＝0.875.
6．C 7.D
8．解：∵(2x －3y ＋b)(3x ＋y ＋c)＝6x 2－7xy －3y 2＋(2c ＋3b)x ＋(b －3c)y ＋bc ＝6x 2
－7xy －3y 2＋14x ＋y ＋a ，∴2c ＋3b ＝14，b －3c ＝1，bc ＝a.联立以上三式，可得a ＝4，b ＝4，c ＝1.
9．B
10．B 解析：a 2－b 2＋6b ＝(a ＋b)(a －b)＋6b ＝3(a －b)＋6b ＝3a ＋3b ＝3(a ＋b)＝9.故选
B.
11．－3 12．解：∵x ＋y ＝3，x 2－y 2＝21，∴x －y ＝21÷3＝7.联立方程组得⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝7，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－2.
当x ＝5，y ＝－2时，x 3＋12y 3＝53＋12×(－2)3
＝125－96＝29.
13．D
14．解：(1)(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝－4xy ＋3y 2.∵4x ＝3y ，∴原式＝－3y ·y ＋3y 2＝0.
(2)∵2a 2＋3a －6＝0，即2a 2＋3a ＝6，∴3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)＝6a 2＋3a －4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1＝6＋1＝7.
15．B 解析：2672－266×268＝2672－(267－1)(267＋1)＝2672－2672＋1＝1.故选B.
16．B
17．解：(1)原式＝(100－0.2)(100＋0.2)＝1002－0.22＝9999.96.
(2)原式＝(100＋2)2＝10000＋4＋400＝10404.
(3)原式＝(500＋1)2＋(500－1)2＝5002＋2×500×1＋12＋5002－2×500×1＋12＝2×5002＋2＝500002.
(4)原式＝(2000－1)2－(2000－8)(2000＋8)＝20002－2×2000×1＋1－(20002－82)＝－4000＋1＋64＝－3935.
18．C 19.15
20．3 解析：由题意知b －a ＝1，c －b ＝1，c －a ＝2.∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12
(a 2－2ab ＋b 2＋a 2－2ac ＋c 2＋b 2－2bc ＋c 2)＝12[(b －a)2＋(c －a)2＋(c －b)2]＝12
×(1＋4＋1)＝3. 21．解：∵(x ＋y)2－(x －y)2＝4xy ＝2，即xy ＝12，∴3xy －1＝3×12－1＝12
. 22．D
23．B 解析：依题意得剩余部分的面积为(m ＋2)2－m 2＝m 2＋4m ＋4－m 2＝4m ＋4.故选
B.
24．解：(1)m －n.
(2)方法一：(m －n)2＝m 2－2mn ＋n 2；
方法二：(m ＋n)2－4mn ＝m 2－2mn ＋n 2.
(3)(m ＋n)2－4mn ＝(m －n)2.
(4)∵(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab ，∴4ab ＝32，∴ab ＝8.。