结构动力学

第九章结构动力学
§9.1概述
一、结构动力计算的特点和内容
前面各章讨论了结构在静力荷载作用下的计算问题。

它研究的是当结构处于静力平衡位置时，外荷载对结构的影响。

此时，荷载的大小、方向和作用点以及结构产生的内力、位移等均看作是不随时间t变化的。

本章将讨论结构在动力荷载作用下的计算问题。

所谓动力荷载，亦称为干扰力，是指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并且使结构产生不容忽视的惯性力的荷载。

与静力计算所不同的是，结构在动力荷载作用下，其质量具有加速度，计算过程中必须考虑惯性力的作用。

结构的内力和位移是位置和时间ｔ的函数，称为动内力和动位移，统称为结构的动力反应。

在实际工程中，绝大多数荷载都是随着时间变化的。

从工程实用角度来说，为了简化计算，往往将使结构产生的振动很小以至于惯性力可以略去不计的荷载视为静力荷载。

例如当人群缓慢行走在桥梁上时，桥梁不会产生明显的振动，这时人群的自重可以作为静力荷载考虑；当人群跑动通过时，桥梁将产生明显的振动，其上各质量将产生不容忽视的惯性力，因而，人群的自重必须作为动力荷载来考虑。

显然，区分静力荷载和动力荷载，主要是看其对结构产生的影响。

本章内容只将不仅随时间变化而且使结构产生较大动力反应的荷载作为动力荷载来考虑。

随着科学技术的迅速发展，研究动力荷载作用下结构的计算方法具有十分重要的工程意义。

在结构设计中，如何减小机器振动对现代化厂房的影响，如何减小风荷载及地震作用引起的高层建筑的动力反应等，都需要对动力荷载的作用进行深入的研究。

结构的动力反应与结构本身的动力特性和动力荷载的变化规律密切相关。

研究结构的自
－192－
－193－
由振动，得到的结构自振频率、振型和阻尼参数等正是反应结构动力特性的指标。

因此，研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力反应。

二、动力荷载的分类
根据动力荷载的变化规律及其对结构作用的变化特点，将其分为以下几类：
１、简谐性周期荷载 它是按简谐规律随时间连续变化其量值的荷载，可以用正弦或余弦函数表示，也称为简谐荷载，是工程中最常见的动力荷载。

如图9-1所示具有偏心质量的回转机器，当其匀速转动时，传到结构上的由偏心质量ｍ产生的离心力2
θmr P =，它的垂直分力t P θsin 和水平分力t P θcos 就是简谐荷载。

图9-1
２、一般周期荷载
图9-2
它是指除了简谐荷载以外的其它形式的周期荷载。

如图9-2a所示的曲柄连杆机构，当其匀速转动时，产生的水平干扰力的变化规律即为图9-2b所示的周期性多波形。

３、冲击荷载
它是短时间内作用于结构上，荷载值急剧增大或急剧减小的荷载。

如各种爆炸荷载、锻锤对机器的碰撞等都属于这类荷载。

图9-3所示为一种爆炸荷载，荷载值急剧减小。

图9-3
４、随机荷载
它是指荷载值随时间的变化极不规律，任一时刻的数值不能事先确定的荷载。

因为不能将荷载与时间的关系做出准确的数学描述，又称为非确定荷载。

如风荷载、地震作用等都属于随机荷载。

分析随机荷载，需要应用概率和数理统计的方法。

三、动力计算中体系振动的自由度
在动力计算中，需要考虑质量的惯性力，而惯性力又与质量的运动状态有关，因此，必须确定质量的分布情况并计算质点的位移。

在动力计算中，总是以质点的位移作为基本未知量，结构上全部质量有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。

结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目，称为体系振动的自由度。

一切实际结构都具有分布质量，严格说来都是具有无限自由度的体系。

但在一定条件下，可以略去次要因素而使问题简化。

将实际结构简化为有限自由度体系的方法很多，最常见的方法是将分布质量集中为有限个质点，集中质点数目可以根据具体情况及精度要求来确定。

图9-4a所示简支梁，跨中安装一台电动机。

当梁本身的质量远小于机器的质量时，可以
－194－
－195－
图9-4 略去不计取图9-4b 所示的计算简图。

如果不考虑梁的轴向变形并略去机器的转动惯性，集中质量可以视为质点。

在梁作小变形振动的前提下，该质点只能在竖直方向振动，即质点ｍ的位置可以由挠度)(t y 确定，故体系的振动自由度等于１。

这种体系称为单自由度体系。

同理，图9-5所示体系的振动自由度也等于１，虽然体系有三个集中质量，但它们的位置只用一个几何参数)(t 便可确定。

图9—5
图9-6a 所示两层平面刚架，在水平力作用下作水平振动时，其横梁沿竖直方向的振动很小，可以忽略不计。

计算时把梁柱的质量集中在结点上，则简化后的体系有四个集中质量，
图9-6
－196－
计算简图如图9-6b 所示。

若忽略梁和柱的轴向变形，则质点有四个水平位移，且21y y =， 43y y =，故体系有两个振动自由度。

图9-7所示悬臂刚架的计算简图。

梁端部有一集中质量，刚架振动时，集中质量既有水平位移x 又有竖向位移y 。

决定质点位置有两个独立的几何参数，因此，体系具有两个振动自由度。

图9-7
除了上述杆件体系外，在实际工程中，时常遇到具有质量块的体系。

图9-8所示构架式基础，计算时将顶板简化为一刚性质量块。

当不考虑地基变形时，顶板只能沿水平面运动。

此时，将柱的31质量集中在柱顶，32质量集中在柱底，则板的运动情况可用其质心在水平面的两个分位移)(t u 、)(t v 及板的扭转角)(t θ表示，故体系的振动自由度等于3。

凡具有两个以上且为有限数目振动自由度的体系称为多自由度体系。

图9-8 图9-9 图9-9所示具有连续分布质量的体系，可将其视为无限多个质点，而每个质点的位移又是独立的，因而其振动自由度有无限多个，这种体系称为无限自由度体系。

需要考虑杆件本身
质量的结构（称为质量杆）都是无限自由度体系。

严格的讲，一切弹性体系都是无限自由度体系。

由上述讨论可见：
１、体系的振动自由度数目不一定等于体系的集中质量数目；
２、体系的振动自由度数目与体系是静定或超静定无关；
３、体系的振动自由度数目与计算精度有关，如图9-6b所示刚架，若考虑梁和柱的轴向变形，体系的振动自由度数目将增加。

§9.2单自由度体系的无阻尼自由振动
实际工程中的很多动力问题都可以简化为单自由度体系进行近似计算。

单自由度体系的动力分析又是多自由度体系动力分析的基础。

本节讨论单自由度体系的无阻尼自由振动。

一、运动微分方程的建立
图9-10a所示为一单自由度体系，梁本身的质量忽略不计。

当其未受外界干扰时，梁将在质点重量Ｗ的作用下处于虚线所示的静平衡位置，质点m的静力位移为st y。

如果质点ｍ在外界干扰下离开了静平衡位置，干扰消失后，由于梁的弹性作用，质点m将在静平衡位置附近作往返运动。

这种在运动过程中不受干扰力作用，而由初始位移或初始速度或两者共同作用下所引起的振动称为自由振动或固有振动。

它可以用图9-10b所示的理想模型（称为弹性体系）
图9-10
－197－
－198－
表示。

此时，梁对质量m 提供的弹性力用弹簧来表示。

因此，弹簧的刚度系数11k （使弹簧伸长或缩短单位长度需要的力）与梁在端点处的刚度系数（使端点产生单位竖向位移时在端点处施加的竖向力）相等。

下面介绍两种建立自由振动微分方程的方法。

１、刚度法
取质量ｍ为隔离体，如图9-10c 所示。

在振动的任意时刻ｔ，作用与质量m 上的力有：
（１）重力Ｗ；
（２）弹性力)(t F e 。

它的方向与位移)(t y 的方向相反，其值为：
)()()(1111d st e y y k t y k t F +-=-=
（３）惯性力)(t F I 。

它的方向恒与加速度)(t y
的方向相反，其值为： )()()(d st I y
y m t y m t F +-=-= 根据达朗伯原理，列出隔离体的动力平衡方程为：
)(11d st y y k ++)(d st y
y m += W （a ） 式中是由Ｗ产生的静力位移，故有Ｗ＝11k st y ，0=st y
，则式（a ）简化为： 011=+d d y k y
m （b ） （b ）式表明，建立体系的运动方程时以静平衡位置为计算位移的起点，所得动力位移的微分方程与重力无关。

为计算方便，略去表示动力位移的下标“ｄ”，这样（b ）式可改写为：
011=+y k y
m （9-1） 式（9-1）即为单自由度体系在不考虑阻尼情况下的自由振动方程。

这种由力系平衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。

2、柔度法
以体系为研究对象，由变形协调条件列出位移方程。

用11δ表示弹簧的柔度系数（单位力
－199－
作用下弹簧产生的位移），则作用于质点m 上的惯性力y m t F I
-=)(。

此时，质点m 的动位移)(t y 可视为由惯性力引起的，即
1111)()(δδy
m t F t y I -== （c ） 整理得：
011=+y y
m δ （9-2） 式（c ）表明：质点在运动过程中任一时刻的位移，等于此时惯性力作用下的静位移。

对单自由度体系来说，柔度系数11δ与刚度系数11k 的关系为：
11
111k =δ （d ） 将式（d ）代入式（9-2）可得到式（9-1）。

由此可见，两种方法所得到的运动方程实质是一致的，只是表现形式不同。

这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法，所建立的运动方程又称为位移方程，其物理意义是质点的动位移与其加速度要互相协调。

二、自由振动微分方程的解
单自由度体系无阻尼自由振动的微分方程（9-1）可改写为：
02=+y y
ω （9-3） 式中
m
k 11=ω （9-4） 式（9-3）是二阶常系数齐次微分方程，其通解为：
t C t C t y ωωsin cos )(21+= （e ）
其中1C 、2C 为积分常数，可以由运动初始条件确定。

设ｔ=０时质点m 有初位移0y 和
－200－
初速度0v ，即0)0(y y =及0)0(v y
= 。

代入（e ）式可得： 01y C =，ω02v C =
于是，动位移)(t y 的表达式为：
t v t y t y ωωωsin cos )(00+
= （9-5）
将上式改写成单项式的形式 )sin()(ϕω+=t A t y （9-6）
式中：
20
20)(ωv y A +=，)arctan(0
0v y ωϕ= （9-7） 式（9-6）表明，无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。

式中A 表示体系振动时质点m 的最大动位移，称为振幅。

ϕ称为初始相位角，又称初相角，)(ϕω+t 称为相位角。

三、结构的自振周期和频率
式（9-6）表示的简谐振动是周期运动，质点m 的位移是周期性的，其周期为：
ωπ2=
T （9-8） 可以导出： )()(T t y t y +=
)()(T t y t y
+= )()(T t y
t y += 这表明：在自由振动过程中，每经过一段时间T 后，质点又重复原来的运动情况，因此，T 被称为结构的自振周期。

自振周期的倒数f 称为工程频率： T
f 1= （9-9）
－201－ 表示体系每秒钟的振动次数，单位是1/秒（1/S ），或称为赫兹（ＨZ ）。

由式（9-9）可得： T f ππω22== （9-10） ω表示π2秒内体系振动的次数，被称为体系自由振动的圆频率或角频率，简称为自振频率或频率。

由式（9-4）可得出结构自振频率ω的计算公式为：
st
y g W g m m k ====1111111δδω （9-11） 相应地，结构的自振周期T 的计算公式为：
g
y m k m T st πδππ2221111=== （9-12） 由自振周期和自振频率的计算公式可见：它们只与结构的质量和刚度有关，与外界的干扰因素无关，是结构本身固有的属性。

所以，自振周期、自振频率也称为固有周期、固有频率，可以说T 和ω是反映结构动力特性的重要参数。

【例9-1】图9-11a 为一水塔的简化图形。

设顶端集中重物重Ｗ，塔身截面的抗弯刚度EI 为常数。

求塔顶重物的水平自振周期。

图9-11
【解】该水塔的计算简图如图9-11b 所示。

EI
l 3311=δ
－202－
由式（9-11）求得自振频率
3
111131Wl
EIg
W g m ===
δδω 自振周期为
EIg
Wl T 3223
π
ωπ
== 【例9-2】图9-12为三种不同支承情况的单跨梁，EI=常数，在梁中点有一集中质量ｍ，不计梁的质量，试比较三者的自振频率。

图9-12
【解】根据前面学习过的方法计算出三种情况下的静力位移分别为：
EI mgl y ast
483=，EI
mgl y bst 76873
=，EI mgl y cst 1923=
由式（9-11）求得三种情况下的自振频率分别为：
3
48ml EI
a =
ω，37768ml EI b =ω，3
192ml
EI
c =ω
由此可得：
=c b a ωωω::１:1.512:2
－203－
【例9-3】图9-13a 为一门式刚架。

两个立柱的截面抗弯刚度分别为E 1I 1和E 2I 2，横梁的截面抗弯刚度EI=∞，横梁的总质量为m ，立柱的质量不计。

求刚架作水平振动时的频率。

图9-13
【解】图9-13a 所示体系，如果忽略杆件的轴向变形，则横梁上各质点的水平位移相等。

由表4-1查得，当横梁产生单位位移时，左右两柱的柱端剪力分别为3
1
1112h I E Q =
，3
21
2212h
I E Q =。

因而，使刚架产生单位水平位移所施加的力11k （图9-13b ）为： )(12
22113
2111I E I E h Q Q k +=
+=
由式（9-11）求得刚架水平振动时的自振频率为：
3
221111)
(12mh I E I E m k +==
ω 四、简谐自由振动的特性 由式（9-6）)sin()(ϕω+=t A t y
可导出 )sin()(2ϕωω+-=t A t y
又惯性力 )sin()()(2
ϕωω+=-=t mA t y m t F I
以上各式表明：在无阻尼自由振动中，位移)(t y 、加速度)(t y
和惯性力)(t F I 都是按正弦规律作相位角相同的同步运动。

因此，这三者同时达到各自的最大值（幅值）。

即当
－204－
1)sin(=+ϕωt 时：
A y =max
2max ωA y
-= 2max ,ωmA F I = （9-13）
利用这个特性，可以在幅值处建立运动方程。

此时，方程中将不包含时间ｔ因素，从而
微分方程转化为代数方程，使计算得到简化。

【例9-14】求图9-14a 所示体系的自振频率。

图9-14
【解】该体系的振动方式是绕Ａ点往复转动，设体系振动时转角的幅值为（图9-12b ）。

当转角达到幅值时，质点的位移也达到幅值，质量ｍ１和ｍ２上的惯性力也同时达到幅值，其大小可由（9-13）式求得：
l m A m F I αωω2121max ,121
=
= l m l m A m F I αωαωω22222max ,22
1
233=⋅==
在幅值处列出动力平衡方程如下：
0=∑B M
l m αω2212l ⋅+02
3
212=⋅-⋅l l k l l m ααω
由上式求得：
m
k
=
ω
－205－
§9.3单自由度体系的无阻尼受迫振动
体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。

本节讨论单自由度体系的无阻尼受
迫振动。

图9-15
图9-15a 所示为单自由度体系无阻尼振动模型，取图9-15b 所示隔离体，列出运动微分方程为：
)(11t P y k y
m =+ 改写为
m
t P y y
)
(2=+ω （9-14） 式（9-14）即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。

式中m
k 11
=ω。

下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。

一、简谐荷载
当)(t P 为简谐荷载时，其表达式为：
t P t P θsin )(= （a ）
－206－
式中P 为简谐荷载的幅值，θ为简谐荷载的圆频率。

将式（a ）代入式（9-14）得：
t m
P
y y
θωsin 2=+ （b ） 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，它的解由两部分组成：一部分是对应齐次方程的通解，即式（9-6）；另一部分是它的特解*
y 。

设特解为：
t D y θsin =* （c ）
将式（c ）代入式（b ），得：
2
2
1
θω-⋅=
m P D （d ） 故特解为：
t m P y θθ
ωsin 122-⋅=
* （9-15） 因此，微分方程（9-14）的通解为：
t m P t A y θθωϕωsin 1)sin(2
2-⋅+
+= （9-16）
式中积分常数Ａ、初相位ϕ可由初始条件确定。

式（9-16）由两部分组成，第一部分是按自振频率进行自由振动，是伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动；第二部分是按简谐荷载的频率θ进行的振动，称为纯受迫振动。

在实际振动过程中，由于阻尼作用不可避免，自由振动部分将逐渐消失，只剩下纯受迫振动。

振动刚开始时两种振动同时存在的阶段称为过渡阶段；随着自由振动的消失，只按简谐荷载频率振动的阶段称为稳定阶段。

稳定阶段的振幅和频率都是恒定的，此阶段的振动又称为纯受迫振动或稳态受迫振动。

下面只讨论纯受迫振动的情况。

此时
t m P
t m P t y θω
θωθθωsin 11
sin 1)(2
2
2
22-⋅=-⋅=
（e ）
由于
11
1121δωm m k ==
－207－
故
st y P m P
==112
δω
（f ） st y 为将干扰力幅值P 视为静力荷载作用于结构时所引起的最大静位移。

将式（f ）代入
式（e ）得：
t y t y st θωθsin 11)(2
2
-
⋅
= （9-17）
令：
2
2
11ωθμ-
=
（9-18）
式（9-17）可改写为
t y t y st θμsin )(⋅⋅= （9-19）
由式（9-19）可知，在简谐荷载作用下，动力位移的幅值Ａ等于最大静位移st y 乘上系数μ，故称μ为位移动力系数或放大系数。

可以证明，对于干扰力作用于质量上的单自由度体系来说，它所承受的干扰力和产生的惯性力可以合并为一个外力。

因而内力和位移是按照同一比例变化的，故内力动力系数和位移动力系数完全相同，统称为动力系数。

对于多自由度体系而言，不仅内力动力系数和位移动力系数不同，而且不同截面上的内力动力系数和位移动力系数也各不相同（后面将讨论）。

请读者注意：此时，不能用同一的动力系数去计算结构的动力反应。

从（9-19）式中可见，动力系数是描述受迫振动的一个重要指标。

为进一步说明单自由度体系在简谐荷载作用下的动力特性，现在来分析动力系数的变化规律。

令：
ω
θ
β=
β称为频比。

－208－
则式（9-18）可改写为：
2
2
211
11
βω
θμ-=
-=
（9-20）
以为横坐标，以的绝对值为纵坐标，绘出图9-16所示图形。

根据图9-16可以分析结构在简谐荷载作用下无阻尼稳态受迫振动的规律。

图9-16
（1）当ωθ<，即1<β，1>μ时
此时，动力位移)(t y 的方向与干扰力)(t P 的方向相同，而且动力位移恒大于干扰力幅值所产生的静位移st y 。

当ωθ<<，即1≈μ时
即干扰力的频率很小时，结构的动力反应与干扰力幅值所产生的静力反应趋于一致。

例如，5
1
==
ωθβ时，041.12425)5
1(112
==-=
μ 与１很接近。

因此，当简谐荷载的周期大于结构的自振周期五倍以上时，可视为静力荷载。

（2）当ωθ>，即1>β，0<μ时
此时，动力位移)(t y 的方向与干扰力)(t P 的方向相反。

－209－
当ωθ.>>时，0→μ，表明质量ｍ只在静平衡位置附近作极微小的振动。

某些测量位
移的测振仪器就是按照这一原理设计的。

（3）当ωθ=，即1=β，∞→μ时
此时，干扰力的频率与结构的自振频率相等，动位移与动内力将无限增加，这种现象称
为共振。

实际情况是，由于阻尼不可避免的存在，共振发生时内力和位移虽然很大，但不会趋于无限大。

然而，由于共振时将产生较大的位移和内力，在工程设计中应该设法避免这种情况的发生。

一般规定，θ与ω的值至少应相差25%。

下面分两种情况讨论单自由度体系在简谐荷载作用下内力和位移的计算。

1、 简谐荷载直接作用在质点上
图9-17所示为单自由度体系，当简谐荷载)(t P 作用在质点ｍ上时，荷载与惯性力作用点
和作用线相同。

在竖向单位力的作用下，质点ｍ的竖向位移为11δ，故在荷载)(t P 和惯性力
)(t F I 共同作用下，质点的位移幅值为：
11)(δI F P A += （g ）
式中，P 为简谐荷载的幅值，I F 为惯性力的幅值。

由式（9-19）得：
μδμ11P y A st == （9-21）
比较式（g ）与（9-21），得：
μP F P I =+ （h ）
因此，只要将μP 加在梁上质点处，便可按照静力学方法计算动内力和动位移的幅值。

【例9-5】图9-17所示，简支梁跨中安装一台电动机。

已知电动机重35kN ，转速为400r/min 。

转动时由于偏心产生的离心力P =10kN ，离心力的竖向分力t P t P θsin )(=。

梁的截面抗弯刚
－210－
度EI=1.57⨯104kN.m 2。

忽略梁的自重，求梁中点的总位移和总弯矩。

图9-17
【解】简支梁的柔度系数为：
kN m EI l 543311
1049.810
57.148448-⨯=⨯⨯==δ 跨中质点的静力位移为：
m W y st 35111097.21049.835--⨯=⨯⨯==δ
结构的自振频率为：
233
21103.31097.28.9s y g st ⨯=⨯==
-ω
简谐荷载的频率为：
232
211075.1)60
4002(
s ⨯=⨯=πθ
动力系数
13.2103.31075.111
11
3
3
2
2
≈⨯⨯-
=
-=
ω
θμ 梁跨中总位移等于动位移幅值（振幅）与自重引起的静位移之和，
m y P y st 33511max 1078.41097.213.21049.810---⨯=⨯+⨯⨯⨯=+=μδ
梁跨中总弯矩等于动弯矩幅值与自重引起的静弯矩之和，
－211－
m kN l W l P M ⋅=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=
3.564354
1
13.24104144max μ 2、 简谐荷载不直接作用在质点上
图9-18
图9-18a 所示单自由度体系，简谐荷载不直接作用在质点上。

如图9-18b 、c 、d 所示，根
据叠加原理，结构在简谐荷载和惯性力共同作用下，质点的竖向位移为：
12111211)()()(δδδδt P y
m t P t F y I +-=+= 整理得
)(1
11
12
11
t P y y
m δδδ=
+ （i ） 该方程纯受迫振动的解为：
t A t P t y θθωθδsin sin 11)(2
2
12=-
⋅
⋅= （9-22）
式中振幅Ａ为：
μδωθδ122
2
1211P P A =-
⋅
⋅= （9-23）
－212－
【例9-6】图9-19a 所示简支梁跨中有一集中质量，梁右端作用一个简谐变化的力矩
t M t M θsin )(=。

梁的截面抗弯刚度EI 为常数。

作出梁的动弯矩幅值图。

图9-19
【解】梁的柔度系数为：
EI l 48311=δ； EI
l 162
12=δ
结构的自振频率为：
3
112481ml EI
m ==
δω 动力系数
EI
l m 4811
11
322
2
θω
θμ-
=
-=
振幅
EI
Ml M A 162
12μμδ=
=
惯性力幅值
EI
Ml m A m F I 162
2
2
⋅==θθ
根据叠加原理，跨中动弯矩幅值为：
－213－
)321(2423
2max ,μθEI
l m M l F M M I d +=+=
动弯矩幅值图如图9-17b 所示。

二、一般动力荷载
在一般动力荷载作用下，式（9-14）的特解可利用瞬时冲量作用下的振动来推导。

图9-20a 所示为一瞬时荷载，当荷载作用于结构的时间很短即dt t =∆时，将Pdt dI
=称
为瞬时冲量。

一个静止的体系，在瞬时冲量作用下的振动可视为一个由初始条件引起的自由振动。

因而，需要先确定由瞬时冲量引起的初位移和初速度。

图9-20
根据牛顿第二定律 dt
dv m ma P == 由此
m
Pdt
dv =
式中，dv 为速度的增量。

如果质量m 在瞬时冲量的作用前ｔ=0时处于静止状态，则为dv 受作用后质量m 在ｔ=dt 时的速度。

由此，可求出dt 时间内的平均速度为：
m
Pdt
dv v 2)0(21=
+= 则质量m 在ｔ=dt 时的位移为：
2)(2dt m
P
dt v dy =
= 当ｔ>dt 时，荷载已经不在结构上，因而结构的振动是以dy 和dv 为初始条件的自由振动。

因为dt 为一无穷小量，则dy 为高阶无穷小量可以忽略不计。

因此，以00=y ，m
Pdt
v =0
代
－214－
入式（9-5），其动力位移可表示为：
t m dI
tdt m P t y ωω
ωωsin sin )(==
（9-24） 式（9-24）即为在ｔ=0时瞬时冲量dI 引起的结构动力反应。

利用式（9-24）即瞬时冲量作用下的位移计算公式，可求得任意干扰力作用下的振动方程。

图9-20b 为一按任意规律变化的干扰力图形，如果将时间划分为无限多个dt 微段，则在每一个dt 微段内的P 值可视为常量，其瞬时冲量dI =P dt 。

因而，图9-20b 所示的干扰力可以看作是由无限多个瞬时冲量所组成的。

根据线性微分方程的特性，利用叠加原理，其位移方程可以用单个瞬时冲量的作用叠加求出。

考察某一时间ｔ的位移)(t y ，计算时应考虑时间ｔ以前的各个瞬时冲量ττd P dI )(=的影响。

由式（9-24）可知，单个瞬时冲量ττd P dI )(=所产生的位移为：
ττωω
τd t m P t dy )(sin )
()(-=
（j ） 式中之所以用)(τ-t 来代替式（9-24）中的ｔ，是因为式（9-24）中的ｔ是从加载的瞬时算起的，而现在从加载瞬时到所求位移经过了时间)(τ-t 。

将上式积分后，求得总反应如下：
⎰-=
t
d t P m t y 0)(sin )(1)(ττωτω
（9-25） 式（9-25）称为杜哈梅积分。

它是初始时刻处于静止状态的单自由度体系在任意动力荷载作用下的位移计算公式。

如果初位移0y 和初速度0v 不为零，则总位移应为：
⎰-+
+
=t
d t P m t v t y t y 00
0)(sin )(1sin cos )(ττωτω
ωω
ω （9-26） 下面应用式（9-26）讨论几种动力荷载作用下的动力反应。

（1）突加荷载
突然施加在结构上并继续作用于结构的荷载称为突加荷载。

它可以表示为：
()⎩⎨
⎧><=0
0t P t t P （k ）
－215－
如果原结构的初位移和初速度均为零，则在突加荷载作用下的受迫振动可以按照式（9-25）计算，将式（k ）代入式（9-25）后，求得动力位移为：
)cos 1()cos 1()(sin )(1)(20t y t m P
d t P m t y st t ωωω
ττωτω-=-=-=
⎰ （9-27） 式中：
112
δωP m P
y st ==
为静力荷载P 作用下产生的静力位移。

由式（9-27）可得st y t y 2)(max =，即突加荷载作用下动力系数2=μ。

（2）短时荷载
作用于结构上时间很短的荷载称为短时荷载。

它可以表示为：
=)(t P ⎩⎨⎧P
00t t t t ≤≤≥ （l ）
它可以认为是：ｔ=0时，有突加荷载P 作用在结构上，持续到时刻0t ；0t t =时，有一
个大小相等、方向相反的突加荷载P 作用在结构上。

因而，可以利用上述突加荷载作用下的计算结果叠加求得体系的振动方程。

设ｔ=0时，体系处于静止状态；
00t t <<时，荷载作用与突加荷载相同，则由式（9-27）求得：
)cos 1()(t y t y st ω-=
如果20T t ≥
，则当2
T
t =时，动力系数2=μ。

0t t >时，由上所述，有
)]
(cos 1[)cos 1()(0t t y t y t y st st ----=ωω
]cos )([cos 0t t t y st ωω--=
)2
(sin 2
sin
20
t t t y st -
=ωω （9-28）
－216－
由上式可得，最大位移发生在2
0π
=
-t t 时，其值为：
2
sin
20
max t y y st ω=
由此可得动力系数为：
2
sin
20
t ωμ=
值与短时荷载作用在结构上的时间0t 有关。

表9-1列出了T
t 0
与μ的关系值。

由上述讨论可知，短时荷载作用下结构的动力反应取决于荷载作用时间的长短，确切地
说，取决于T t 0的值。

当2
1
0≥T t 时，体系的最大动力反应与突加荷载相同，即动力系数2=μ。

（3）爆炸荷载
处值很大，迅速衰减为零的荷载称为爆炸荷载。

其图形如图（9-21）所示，表达式为：
=)(t P ⎪⎩
⎪
⎨⎧-)1(0
0t t P
0t t t t ≤> （m ）
在初始位移和初始速度为零时，爆炸荷载引起的动力反应可以由杜哈梅积分式（9-25）求得。

图9-19 图9-22
－217－
当0t t ≤时
)sin cos 1()(sin )1(1)(002
00t t
t t m P d t t P m t y t ωωωωττωτω+--=--=⎰
)sin cos 1(0
0t t
t t t y st ωωω+-
-= （9-29a ） 当0t t ≥时 ⎰--=
000
)(sin )1(1)(t d t t P m t y ττωτω )]}sin([sin 1
cos {00
t t t t t y st --+
-=ωωω （9-29b ） 结构的动力反应与荷载作用时间0t 有关。

通过求极值，可以求得)(t y 的最大值并由此得到结构的动力系数μ。

为了应用方便，图9-22给出了动力系数μ与
T
t 0
的关系图形。

由图可知，动力系数μ随着0t 的增加而增大。

当T t 35.00<时，1<μ；当T t 100>时，μ已经接近它的极限值２。

可以认为，当趋于无限时，爆炸荷载转化为突加荷载。

§9.4阻尼对振动的影响
前两节讨论体系的振动问题时，没有考虑阻尼的影响。

实际上，结构振动时总会产生一
些对振动的阻力，不断地消耗体系的能量，这种物理现象称为阻尼作用。

阻尼的概念是建立在振动过程中能量发生损耗的基础上的。

振动过程中产生阻尼的主要原因有：结构振动过程中材料之间的内摩擦力；支座、结点
等构件联结处的摩擦力；地基土等的内摩擦力；周围介质对振动的阻力以及人为设置的阻尼。