结构动力学
结构动力学稳定分析与优化设计
结构动力学稳定分析与优化设计概述：结构动力学稳定性是指结构在受到外力作用后能否保持稳定的能力。
在工程设计中，稳定性是确保结构的安全和可靠性的关键因素之一。
结构动力学稳定分析与优化设计是通过对结构的动力学响应进行分析和优化，以提高结构的稳定性和性能。
1. 结构动力学稳定性分析结构动力学稳定性分析是确定结构在受到外力作用时是否会发生不稳定现象的过程。
它通常包括以下几个步骤：1.1. 力学模型的建立：根据结构的实际情况，建立结构的力学模型。
可以采用有限元法、弹性力学理论等方法进行建模。
1.2. 动力学方程的建立：根据结构的力学模型，建立结构的动力学方程。
通过求解动力学方程，可以得到结构的动力学响应。
1.3. 稳定性判据的选择：选择合适的稳定性判据来评估结构的稳定性。
常用的稳定性判据包括屈曲、失稳、临界荷载等。
1.4. 分析与评估：根据所选的稳定性判据，对结构的稳定性进行分析与评估。
如果结构不稳定，则需要进行优化设计以提高结构的稳定性。
2. 结构动力学优化设计结构动力学优化设计是通过对结构参数的调整和优化，以提高结构的稳定性和性能。
它的核心思想是在满足结构约束条件的前提下，通过改变结构的几何形状、材料参数或连接方式等因素，来达到最优的结构性能。
2.1. 设计变量的选择：设计变量是指影响结构性能的参数，包括结构的几何形状、材料参数、连接方式等。
在优化设计中，需要选择合适的设计变量来进行调整和优化。
2.2. 目标函数的设定：目标函数是衡量结构性能的指标，例如结构的最小重量、最小位移、最大刚度等。
在优化设计中，需要设定合适的目标函数来指导优化过程。
2.3. 约束条件的设置：结构的优化设计必须满足一定的约束条件，例如材料的强度、几何形状的限制等。
在优化设计中，需要设置适当的约束条件来保证结构的可行性和可靠性。
2.4. 优化算法的选择：优化算法是实现结构优化设计的关键工具。
常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
力学中的结构动力学响应与优化
力学中的结构动力学响应与优化力学是研究物体静态和动态力学性质的学科，而结构动力学响应与优化则是力学中的一个重要分支，通过分析结构体在外部力作用下的波动响应，找到最优的结构设计方案。
一、结构动力学响应在力学中，结构动力学响应是指结构体在受到外部力作用后所产生的振动与变形情况。
结构动力学响应可以分为静力响应和动力响应两种情况。
1. 静力响应静力响应是指结构体在受到稳定作用力后的平衡状态。
通过分析材料的力学性质和结构体的几何形状，可以计算出结构体在受力状态下的内力和变形情况。
静力响应的分析方法通常采用力平衡方程和材料本构关系进行计算。
2. 动力响应动力响应是指结构体在受到动态作用力或振动载荷时的响应情况。
动力响应的分析需要考虑结构的惯性和阻尼特性。
通过求解结构的振动方程，可以得到结构体在不同频率下的振动模态和共振情况。
动力响应的分析方法通常采用有限元法、模态分析等数值计算方法。
二、结构动力学优化结构动力学优化是在给定一定的约束条件下，通过调整结构体的形状、材料和结构参数，使得结构体在外部力作用下具有更好的响应性能。
结构动力学优化可以分为静力优化和动力优化两种情况。
1. 静力优化静力优化是指通过调整结构体的形状和几何参数，以使结构体在受力状态下具有更小的应力和变形。
静力优化的目标可以是最小化结构的重量、最大化结构的刚度或满足特定的结构性能要求。
静力优化的方法有拓扑优化、形状优化和尺寸优化等。
2. 动力优化动力优化是指通过调整结构体的参数和材料特性，以使结构体在受到动态作用力或振动载荷时具有更好的阻尼特性和振动响应控制能力。
动力优化的目标可以是最小化结构的振动幅值、最大化结构的振动模态频率或实现特定的振动控制要求。
动力优化的方法有结构参数优化、材料优化和阻尼控制优化等。
结构动力学响应与优化在工程领域具有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，通过分析房屋结构在地震作用下的动力响应，可以设计出具有良好抗震性能的建筑物；在航空航天工程中，通过优化飞机结构的动力响应特性，可以提高飞机的飞行稳定性和安全性。
结构动力学
结构动力学
结构动力学是一门应用物理和数学原理研究动态可塑结构行为的
工程学科。
它不仅涉及到结构力学中的结构响应，而且还涉及到动力
学中的系统性研究。
目标是了解和计算结构受外力作用时的运动行为，预测出结构所受冲击能量，强度和变形情况。
例如，对于一艘平衡船，结构动力学可以帮助我们发现哪些部件会受到激烈的冲击力，以及船
体什么时候会趋向平衡。
为了理解结构动力学，我们需要了解力学。
力学是一种使用物理
学原理的工程学科，主要关注作用在物体上的各种力和它们之间的作用。
例如，重力和导热力是两个典型的力，它们混斗在一起影响物体
的运动。
结构动力学是将力学概念应用于特定可塑结构上，用来分析结构
随时间改变的行为特性。
其中，最常见的类型包括结构稳定性和可塑性，它们可以被应用于从最小的桥梁到最大的建筑结构。
在更深层次上，结构动力学考察不同刚度结构之间的行为，并且考察这些行为如
何通过各种力学和外力来影响复杂系统。
此外，结构动力学还可以用来检查建筑结构的设计是否正确。
它
可以检查系统中机械强度，稳定性和结构完整性，以免因结构设计不
当而出现过分的变形和破坏。
总之，结构动力学是一门复杂的工程学科，研究的内容涉及到力学，动力学，计算机技术和材料科学等多个领域。
它被广泛用于建筑，船舶，飞机，汽车，桥梁，机器人和其他复杂结构的设计与研究中。
结构动力学习题解答
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是研究结构在外力作用下的变形和运动规律的学科。
它能够揭示结构的响应特性，并应用于工程和建筑物的设计、分析和优化等领域。
在结构动力学中，克拉夫方法是一种常用的数值分析方法，可以有效地求解结构的动力响应。
下面将详细介绍克拉夫方法的原理和应用。
克拉夫方法是一种离散激励动力分析方法，适用于求解线性多自由度系统的动力响应。
克拉夫方法的基本原理是离散化结构，将其简化为一系列互相连接的质点，然后通过求解质点的加速度、速度和位移来获取结构的动态特性。
克拉夫方法中引入了模态分析的概念，将结构的振型表示为一系列正交的模态，并通过求解每个模态的响应来得到结构的总响应。
在应用克拉夫方法进行结构动力分析时，首先需要建立结构的有限元模型。
该模型需要包括结构的几何形状、材料特性和边界条件等信息。
然后，通过解结构的动力方程可以得到结构的模态频率和振型。
一般情况下，结构的模态频率并不是均匀分布的，其中低频模态对结构的响应起主导作用。
因此，在求解结构的总响应时，可以只考虑前几个重要的低频模态。
在进行克拉夫分析时，需要给定一个外力激励。
这个外力激励可以是单个点的冲击载荷、均匀分布的动力载荷或者地震作用等。
通过将外力激励进行傅里叶变换，可以将其转化为频域中的振动谱。
然后，根据每个模态的频率和阻尼比，可以得到每个模态的响应谱。
最后，通过叠加所有模态的响应谱，可以得到结构的总响应谱。
这个总响应谱描述了结构在给定的外力激励下的动力响应特性。
克拉夫方法的优点是能够考虑结构的动态特性和边界条件，同时对结构的几何形状和材料特性并不敏感。
它可以用来分析和优化各种类型的结构，包括桥梁、建筑物、风力发电机塔等。
克拉夫方法可以帮助工程师预测结构的响应，并在设计阶段进行结构的优化，以提高结构的稳定性和安全性。
然而，克拉夫方法也有一些局限性。
首先，克拉夫方法仅适用于线性多自由度系统，对于非线性或者含有阻尼的系统，需要进行额外的处理。
结构动力学-第一章
2019/9/16
38
2019/9/16
39
2019/9/16
40
2019/9/16
41
2019/9/16
42
2019/9/16
43
三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
结构动力学傅里叶变换
结构动力学傅里叶变换全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：结构动力学是研究结构在受到外力作用时的变形、振动以及稳定性等问题的学科。
而傅里叶变换则是一种重要的数学工具，可用于分析结构的振动响应并识别结构的固有频率及模态形态。
结构动力学与傅里叶变换的结合，不仅可以帮助工程人员更好地理解结构的动态响应特性，还可以指导设计人员优化结构的设计，提高结构的抗震性能和安全性。
一、结构动力学基础结构动力学是一个复杂的领域，需要掌握一定的数学和物理知识。
结构动力学主要涉及结构的振动、变形和稳定性等问题。
结构在受到外力作用时会发生振动，其振动特性取决于结构的固有频率、质量、刚度和阻尼等因素。
结构动力学的研究对象包括建筑、桥梁、船舶、飞机等各种工程结构。
结构动力学的研究方法包括模态分析、频域分析、时域分析和模态综合等。
模态分析是一种常用的方法，通过对结构进行模态分解，可以得到结构的固有频率和模态形态。
频域分析则是利用傅里叶变换将结构的时域响应转换为频域响应，可以进一步分析结构的频域特性。
二、傅里叶变换原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波形成的谱。
傅里叶变换在处理各种信号和振动问题中得到广泛应用，而在结构动力学中，傅里叶变换可以用于分析结构的振动响应和识别结构的固有频率及模态形态。
傅里叶变换的基本原理是将时域函数f(t)分解为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，其数学表达式为：F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dtF(ω)为频率为ω的谱，f(t)为时域函数，e^(-jωt)为复指数函数。
三、结构动力学中的傅里叶变换应用结构动力学中常用的傅里叶变换方法包括离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)。
DFT是将一个有限长度的时域信号分解为不同频率的正弦和余弦波的线性组合，而FFT则是一种高效的计算DFT的快速算法，可以在计算上更快速地得到频域响应。
第二篇示例：结构动力学是一个研究结构在受到外部力作用时的振动和变形特性的学科。
结构动力学分析与优化
结构动力学分析与优化结构动力学是工程结构力学中的分支，主要研究结构在受到动力荷载（如振动、地震等）作用下的响应和稳定性，是建筑、桥梁、风力机、船舶等工程结构设计中必不可少的内容。
而结构动力学分析与优化则是在结构设计中不可或缺的一环，通过对结构的动态响应进行分析，达到优化结构设计、提高结构稳定性和抗震性能的目的。
1. 结构动力学分析结构动力学分析是对结构在受到动力荷载下的响应进行分析，包括了自由振动、强迫振动以及响应谱等分析方法。
自由振动是指结构在无外力作用下的振动，通过计算自然振动频率和振动模态，可以得到结构的基本特性。
强迫振动是指在结构受到外部动力荷载作用下的振动，可以通过计算结构的响应来确定结构在荷载作用下的状态和性能。
响应谱分析则是一种综合考虑外部荷载和结构响应的方法，通过计算结构在一定工况下的响应谱，得到结构受到该工况影响下的响应情况。
结构动力学分析的结果可以为结构设计、施工和维护提供重要的参考依据。
通过对结构的响应进行分析，可以确定结构重点部位、改善结构的响应性能、提高结构的稳定性和减小结构的损伤程度，为结构设计的安全、节能、环保提供技术保障。
2. 结构动力学优化结构动力学优化主要是在结构设计过程中，通过对结构响应进行分析，寻找和确定最优化方案，达到优化结构设计、提高结构稳定性和抗震性能的目的。
结构动力学优化主要包括两个方面，一是优化结构设计，二是优化结构的抗震性能。
优化结构设计是指在设计阶段通过对结构响应进行分析，调整结构的空间布置、结构的构型和减少结构的重量，达到最优化的结构设计方案。
在优化结构设计时，需要结合结构的工作环境、载荷条件和工艺要求等因素综合考虑，尽量减少结构的材料消耗，提高结构的力学性能。
同时，在优化结构设计时也需要考虑结构施工的方便性以及之后的日常维护和使用。
优化结构抗震性能是指在设计和施工过程中，通过对结构响应进行分析和改善，提高结构的抗震性能和防震能力。
在考虑结构抗震性能时，需要综合考虑结构的地质条件、工期、设计带来的经济效益、规范要求等因素，对结构进行合理优化设计。
结构动力学分析
(a) (a)
(b) (b)
(c)
中南大学
退出
返回
02:25
§14-2 结构振动的自由度
结构力学
分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变 的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的 振动自由度。 刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置， 则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。
§14-10 计算频率的近似方法
中南大学
退出
返回
02:25
§14-1 概述
一、结构动力计算的特点和任务
1. 动力荷载与静力荷载的区别：
结构力学
静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变 化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结 构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题 称为静力计算。
m
k11
yd y
m
F1 ( t )
质点在惯性力F1和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：
将F1和Fc的表达式代入 或 令 有
k11 y 0 my k11 y 0 my k11 2 m y 2 y 0
F1 Fc 0
（14-1） （14-2）
单自由度结构自由振动微分方程
中南大学
退出
返回
02:25
§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
11 y F111 my
即
k11 y 0 my
同刚度法所得方程
结构动力学(无限自由度)
解：边界条件引入振幅曲线
左边： Y 0 0，Y0 0
得： C1 C3 0
振幅曲线简化为
Y x C2 sinh x C4 sin x 右边： Y l 0，Yl 0
C2 sinh l C4 sin l 0 C2 sinh l C4 sin l 0
令系数行列式=0
sinh l sin l
T t 2T t 0
Y IV x 4Y x 0
4 2m
EI
2 EI
m
两个方程的解分别为
T t asint
Y x C1 cosh x C2 sinh x C3 cosx C4 sin x
C1——C4由边界条件确定
则，振动方程的解为
yx，t Y xsint
例 14-5 试求等截面简支梁的自振频率和主振型。
1
Ep 2
EI
n i 1
aii
2
dx
2
2
m
n 1
aii
2
dx
令
kij EIi jdx，mij mi jdx
得
Ep
1 2
n i 1
n j 1
kij 2mij
aia j
应用驻值条件 Ep 0 ai
i 1，2， ，n
得
n
等截面梁弯曲时的静力平衡方程为
EI
d4 y dx4
q
在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即
q
m
2 t
y
2
因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为
EI
4 y x4
m
2 y t 2
0
用分离变量法求解，令
yx，t Y xT t
代入振动方程，并整理得
结构动力学 -回复
结构动力学
结构动力学是一门研究结构物在受外力作用下的动力响应与结构破坏过程的科学，它利用动力学原理对结构物进行分析和设计，以保证结构的安全性、稳定性和可靠性。
它的研究对象包括建筑物、桥梁、塔架、风力发电机、机械设备等各种结构物。
结构动力学主要研究几个方面：
1.结构物的振动特性：包括自由振动、强迫振动、阻尼振动等；
2.结构物的响应：研究结构物在外力作用下的力学响应，包括加速度、位移、速度等参数；
3.结构物的破坏过程：研究结构物在外力作用下的破坏机制、失效模式和损伤等问题；
4.结构物的动态设计：研究如何设计结构物以满足其动态响应要求，如减震、减振、控制振动等。
结构动力学是建筑工程、土木工程和机械工程等领域都需要掌握的重要学科，它在结构设计、灾害预防和控制、以及动力系统分析与控制等方面都有广泛的应用。
土木工程中的结构动力学分析
土木工程中的结构动力学分析
结构动力学分析是土木工程中一个重要的研究领域，主要用于确定结构在动荷载作用下的反应规律，以便进行合理的动力设计。
结构反应是指结构的位移、速度、加速度、内力等，也称为结构响应。
在结构动力分析中，通常将质量的位移作为求解时的基本未知量，当质量的位移求出后，即可求出其他反应量，如速度、加速度、内力等。
因此，确定体系上有多少独立的质量位移对问题的求解甚为关键，这个问题归结为振动自由度问题。
在振动过程中的任一时刻，确定体系全部质量位置所需的独立参数个数，称为体系的振动自由度。
在结构动力分析中，要确定体系中所有质量的运动规律，需建立质量运动与动荷载及结构基本参数间的关系方程，即运动方程。
结构动力学分析类型包括：模态分析、谐响应分析、响应谱分析、随机振动响应分析、瞬态动力学分析、刚体动力分析、显式动力分析等。
以上信息仅供参考，如有需要，建议咨询专业人士。
10结构动力学概论
当 FP (t)为简谐荷载时，其解的形式为
第十章 结构动力学简介
y(t)
y0
cos ωt
ν0 ω
sin ωt
F
θ sin ωt
F
sin θt
m(ω2 θ 2 ) ω
m(ω2 θ 2 )
前两项为初始条件引起的自由振动;第三项为荷载（干扰力）引起的自由振 动，称为伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快 衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。第四项为按荷载频率 进行的振动，此阶段为振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。
2、平衡方程的建立
平衡方程的建立有两种方法：一是刚度法；一是柔度法。
my
y k
k
m
刚度法：根据达兰贝尔原理，沿位移正向，在质点上加上惯性力，列动态平 衡方程
ky my
k y ——总是与位移方向相反，指向平衡位置
平m衡y 方—程—与加速m度y方向相k反y 0
第十章 结构动力学简介
柔度法：在惯性力作用下，质点的位移等于实际位移
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第十章 结构动力学简介
§10-1 概述
一、动力计算的内容
动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等），类似静力学中的I、S等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
纯受迫振动解的讨论请同学们课下自学完成！
第十章 结构动力学简介
三、阻尼对振动的影响
§10-3 单自由度体系的振动分析
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章结构动力学§9.1概述一、结构动力计算的特点和内容前面各章讨论了结构在静力荷载作用下的计算问题。
它研究的是当结构处于静力平衡位置时，外荷载对结构的影响。
此时，荷载的大小、方向和作用点以及结构产生的内力、位移等均看作是不随时间t变化的。
本章将讨论结构在动力荷载作用下的计算问题。
所谓动力荷载，亦称为干扰力，是指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并且使结构产生不容忽视的惯性力的荷载。
与静力计算所不同的是，结构在动力荷载作用下，其质量具有加速度，计算过程中必须考虑惯性力的作用。
结构的内力和位移是位置和时间ｔ的函数，称为动内力和动位移，统称为结构的动力反应。
在实际工程中，绝大多数荷载都是随着时间变化的。
从工程实用角度来说，为了简化计算，往往将使结构产生的振动很小以至于惯性力可以略去不计的荷载视为静力荷载。
例如当人群缓慢行走在桥梁上时，桥梁不会产生明显的振动，这时人群的自重可以作为静力荷载考虑；当人群跑动通过时，桥梁将产生明显的振动，其上各质量将产生不容忽视的惯性力，因而，人群的自重必须作为动力荷载来考虑。
显然，区分静力荷载和动力荷载，主要是看其对结构产生的影响。
本章内容只将不仅随时间变化而且使结构产生较大动力反应的荷载作为动力荷载来考虑。
随着科学技术的迅速发展，研究动力荷载作用下结构的计算方法具有十分重要的工程意义。
在结构设计中，如何减小机器振动对现代化厂房的影响，如何减小风荷载及地震作用引起的高层建筑的动力反应等，都需要对动力荷载的作用进行深入的研究。
结构的动力反应与结构本身的动力特性和动力荷载的变化规律密切相关。
研究结构的自－192－－193－由振动，得到的结构自振频率、振型和阻尼参数等正是反应结构动力特性的指标。
因此，研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力反应。
二、动力荷载的分类根据动力荷载的变化规律及其对结构作用的变化特点，将其分为以下几类：１、简谐性周期荷载 它是按简谐规律随时间连续变化其量值的荷载，可以用正弦或余弦函数表示，也称为简谐荷载，是工程中最常见的动力荷载。
如图9-1所示具有偏心质量的回转机器，当其匀速转动时，传到结构上的由偏心质量ｍ产生的离心力2θmr P =，它的垂直分力t P θsin 和水平分力t P θcos 就是简谐荷载。
图9-1２、一般周期荷载图9-2它是指除了简谐荷载以外的其它形式的周期荷载。
如图9-2a所示的曲柄连杆机构，当其匀速转动时，产生的水平干扰力的变化规律即为图9-2b所示的周期性多波形。
３、冲击荷载它是短时间内作用于结构上，荷载值急剧增大或急剧减小的荷载。
如各种爆炸荷载、锻锤对机器的碰撞等都属于这类荷载。
图9-3所示为一种爆炸荷载，荷载值急剧减小。
图9-3４、随机荷载它是指荷载值随时间的变化极不规律，任一时刻的数值不能事先确定的荷载。
因为不能将荷载与时间的关系做出准确的数学描述，又称为非确定荷载。
如风荷载、地震作用等都属于随机荷载。
分析随机荷载，需要应用概率和数理统计的方法。
三、动力计算中体系振动的自由度在动力计算中，需要考虑质量的惯性力，而惯性力又与质量的运动状态有关，因此，必须确定质量的分布情况并计算质点的位移。
在动力计算中，总是以质点的位移作为基本未知量，结构上全部质量有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。
结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目，称为体系振动的自由度。
一切实际结构都具有分布质量，严格说来都是具有无限自由度的体系。
但在一定条件下，可以略去次要因素而使问题简化。
将实际结构简化为有限自由度体系的方法很多，最常见的方法是将分布质量集中为有限个质点，集中质点数目可以根据具体情况及精度要求来确定。
图9-4a所示简支梁，跨中安装一台电动机。
当梁本身的质量远小于机器的质量时，可以－194－－195－图9-4 略去不计取图9-4b 所示的计算简图。
如果不考虑梁的轴向变形并略去机器的转动惯性，集中质量可以视为质点。
在梁作小变形振动的前提下，该质点只能在竖直方向振动，即质点ｍ的位置可以由挠度)(t y 确定，故体系的振动自由度等于１。
这种体系称为单自由度体系。
同理，图9-5所示体系的振动自由度也等于１，虽然体系有三个集中质量，但它们的位置只用一个几何参数)(t 便可确定。
图9—5图9-6a 所示两层平面刚架，在水平力作用下作水平振动时，其横梁沿竖直方向的振动很小，可以忽略不计。
计算时把梁柱的质量集中在结点上，则简化后的体系有四个集中质量，图9-6－196－计算简图如图9-6b 所示。
若忽略梁和柱的轴向变形，则质点有四个水平位移，且21y y =， 43y y =，故体系有两个振动自由度。
图9-7所示悬臂刚架的计算简图。
梁端部有一集中质量，刚架振动时，集中质量既有水平位移x 又有竖向位移y 。
决定质点位置有两个独立的几何参数，因此，体系具有两个振动自由度。
图9-7除了上述杆件体系外，在实际工程中，时常遇到具有质量块的体系。
图9-8所示构架式基础，计算时将顶板简化为一刚性质量块。
当不考虑地基变形时，顶板只能沿水平面运动。
此时，将柱的31质量集中在柱顶，32质量集中在柱底，则板的运动情况可用其质心在水平面的两个分位移)(t u 、)(t v 及板的扭转角)(t θ表示，故体系的振动自由度等于3。
凡具有两个以上且为有限数目振动自由度的体系称为多自由度体系。
图9-8 图9-9 图9-9所示具有连续分布质量的体系，可将其视为无限多个质点，而每个质点的位移又是独立的，因而其振动自由度有无限多个，这种体系称为无限自由度体系。
需要考虑杆件本身质量的结构（称为质量杆）都是无限自由度体系。
严格的讲，一切弹性体系都是无限自由度体系。
由上述讨论可见：１、体系的振动自由度数目不一定等于体系的集中质量数目；２、体系的振动自由度数目与体系是静定或超静定无关；３、体系的振动自由度数目与计算精度有关，如图9-6b所示刚架，若考虑梁和柱的轴向变形，体系的振动自由度数目将增加。
§9.2单自由度体系的无阻尼自由振动实际工程中的很多动力问题都可以简化为单自由度体系进行近似计算。
单自由度体系的动力分析又是多自由度体系动力分析的基础。
本节讨论单自由度体系的无阻尼自由振动。
一、运动微分方程的建立图9-10a所示为一单自由度体系，梁本身的质量忽略不计。
当其未受外界干扰时，梁将在质点重量Ｗ的作用下处于虚线所示的静平衡位置，质点m的静力位移为st y。
如果质点ｍ在外界干扰下离开了静平衡位置，干扰消失后，由于梁的弹性作用，质点m将在静平衡位置附近作往返运动。
这种在运动过程中不受干扰力作用，而由初始位移或初始速度或两者共同作用下所引起的振动称为自由振动或固有振动。
它可以用图9-10b所示的理想模型（称为弹性体系）图9-10－197－－198－表示。
此时，梁对质量m 提供的弹性力用弹簧来表示。
因此，弹簧的刚度系数11k （使弹簧伸长或缩短单位长度需要的力）与梁在端点处的刚度系数（使端点产生单位竖向位移时在端点处施加的竖向力）相等。
下面介绍两种建立自由振动微分方程的方法。
１、刚度法取质量ｍ为隔离体，如图9-10c 所示。
在振动的任意时刻ｔ，作用与质量m 上的力有：（１）重力Ｗ；（２）弹性力)(t F e 。
它的方向与位移)(t y 的方向相反，其值为：)()()(1111d st e y y k t y k t F +-=-=（３）惯性力)(t F I 。
它的方向恒与加速度)(t y的方向相反，其值为： )()()(d st I yy m t y m t F +-=-= 根据达朗伯原理，列出隔离体的动力平衡方程为：)(11d st y y k ++)(d st yy m += W （a ） 式中是由Ｗ产生的静力位移，故有Ｗ＝11k st y ，0=st y，则式（a ）简化为： 011=+d d y k ym （b ） （b ）式表明，建立体系的运动方程时以静平衡位置为计算位移的起点，所得动力位移的微分方程与重力无关。
为计算方便，略去表示动力位移的下标“ｄ”，这样（b ）式可改写为：011=+y k ym （9-1） 式（9-1）即为单自由度体系在不考虑阻尼情况下的自由振动方程。
这种由力系平衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
2、柔度法以体系为研究对象，由变形协调条件列出位移方程。
用11δ表示弹簧的柔度系数（单位力－199－作用下弹簧产生的位移），则作用于质点m 上的惯性力y m t F I-=)(。
此时，质点m 的动位移)(t y 可视为由惯性力引起的，即1111)()(δδym t F t y I -== （c ） 整理得：011=+y ym δ （9-2） 式（c ）表明：质点在运动过程中任一时刻的位移，等于此时惯性力作用下的静位移。
对单自由度体系来说，柔度系数11δ与刚度系数11k 的关系为：11111k =δ （d ） 将式（d ）代入式（9-2）可得到式（9-1）。
由此可见，两种方法所得到的运动方程实质是一致的，只是表现形式不同。
这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法，所建立的运动方程又称为位移方程，其物理意义是质点的动位移与其加速度要互相协调。
二、自由振动微分方程的解单自由度体系无阻尼自由振动的微分方程（9-1）可改写为：02=+y yω （9-3） 式中mk 11=ω （9-4） 式（9-3）是二阶常系数齐次微分方程，其通解为：t C t C t y ωωsin cos )(21+= （e ）其中1C 、2C 为积分常数，可以由运动初始条件确定。
设ｔ=０时质点m 有初位移0y 和－200－初速度0v ，即0)0(y y =及0)0(v y= 。
代入（e ）式可得： 01y C =，ω02v C =于是，动位移)(t y 的表达式为：t v t y t y ωωωsin cos )(00+= （9-5）将上式改写成单项式的形式 )sin()(ϕω+=t A t y （9-6）式中：2020)(ωv y A +=，)arctan(00v y ωϕ= （9-7） 式（9-6）表明，无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。
式中A 表示体系振动时质点m 的最大动位移，称为振幅。
ϕ称为初始相位角，又称初相角，)(ϕω+t 称为相位角。
三、结构的自振周期和频率式（9-6）表示的简谐振动是周期运动，质点m 的位移是周期性的，其周期为：ωπ2=T （9-8） 可以导出： )()(T t y t y +=)()(T t y t y+= )()(T t yt y += 这表明：在自由振动过程中，每经过一段时间T 后，质点又重复原来的运动情况，因此，T 被称为结构的自振周期。