2019高考数学专题训练--解三角形(有解析)

2019高考数学专题训练--解三角形（有解析）

专题限时集训(二) 解三角形 (建议用时：60分钟) 一、选择题1．(2018•天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB＝13，a＝3，∠C＝120°，则AC等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 A [由余弦定理得13＝AC2＋9－6ACcos 120° 即AC2＋3AC－4＝0 解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.] 2. (2018•合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为( ) A．4π B．8π C．9π D．36π C[由bcos A＋acos B＝2，得b2＋c2－a22c ＋a2＋c2－b22c＝2 化简得c＝2，又sin C＝13，则△ABC的外接圆的半径R＝c2sin C＝3，从而△ABC的外接圆面积为9π，故选C.] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积( ) A．3 B.932 C.332 D．33 C [因为c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－

2abcosπ3，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为12absin C＝3×32＝332，选C.] 4．如图216，为测得河对岸塔AB的高，先

在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高为( ) 图216 A．10米 B．102米 C．103米 D．106米 D [在△BCD中，∠DBC＝180°－105°－45°＝30°，由正弦

定理得10sin 30°＝BCsin 45°，解得BC＝102. 在△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝102×tan 60°＝106.] 5．(2018•长沙模拟)在△ABC 中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝a，cos A2，n＝b，cos B2，p＝c，cosC2共线，则△ABC的形状为( ) A．等

边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A [由m∥n得acosB2＝bcosA2，即sin Acos B2＝sin Bcos A2化简得sinA2＝sinB2，从而A＝B，同理由m∥p得A＝C，因此△ABC为等边三角形．] 6．如图217，在△ABC中，C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cos A＝( ) 图217 A.223 B.24 C.64 D.63 C [∵DE＝22，∴BD＝AD＝DEsin A＝22sin

A.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝BDsin C，

∴4sin2A＝22sin A×23＝423sin A，∴cos A＝64，故选C.] 7．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图218所示，则小区的面积为( ) 图218 A.3＋64 km2 B.3－64 km2 C.6＋34 km2 D.6－34 km2 D [如图，连接AC，根据余弦定理可得AC

＝3，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，从而△ADC为等腰三角形，且∠ADC＝150°，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x2＋x2＋3x2＝3，即x2＝32＋3＝3(2－3)．所以所求小区的面积为12×1×3＋12×3(2－3)×12＝23＋6－334＝6－34(km2)．] 8．在△ABC中，A＝60°，BC＝10，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝2，△BCD的面积为1，则AC的长为( ) A．23 B.3 C.33 D.233 D [由S△BCD＝1，可得12×CD×BC×sin∠DCB＝1，即

sin∠DCB＝55，所以cos∠DCB＝255或cos∠DCB＝－255，又∠DCB ＜∠ACB＝180°－A－B＝120°－B＜120°，所以cos∠DCB＞－12，所以cos∠DCB＝255.在△BCD中，cos∠DCB＝CD2＋BC2－BD22CD•BC ＝255，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝BD2＋BC2－CD22BD•BC＝31010，所以sin∠DBC＝1010.在△ABC中，由正弦定理可得AC＝BCsin Bsin A＝233，故选D.] 二、填空题 9．如图219，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m. 图219 1039 [分析题意可知，设CD＝h，则AD＝h3，BD＝3h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD•AD•cos 120°，可得1302＝3h2＋h23－2•3h•h3•－12，解得h＝1039，故塔的高度为1039 m．] 10．(2018•衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝45，c＝5，且B＝2C，点D为边BC上一点，且CD＝3，则△ADC的面积为________． 6 [在△ABC中，由正弦定理得bsin B＝csin C，又B＝2C，则b2sin Ccos C＝csin C，又sin C＞0，则cos C＝b2c ＝255，又C为三角形的内角，则sin C＝1－cos2C＝1－2552＝55，则△ADC的面积为12AC•CDsin C＝12×45×3×55＝6.] 11．(2018•济南模拟)已知△ABC中，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，AD⊥BC于

点D，则BDCD的值为________． 6 [在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC•ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB

＝6或AB＝－2(舍)，则cos∠ABC＝28＋36－162×27×6＝27，BD＝AB•cos∠ABC＝6×27＝127，CD＝BC－BD＝27－127＝27，所以BDCD ＝6.] 12．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝________. 23 [由题意知

S△ACD∶S△BCD＝4∶3，即12AC•CDsin∠ACD12BC•CD•sin∠BCD＝43，化简得ACBC＝43 又ACsin B＝BCsin A，所以sin Bsin A＝ACBC ＝43 因为B＝2A，所以sin 2Asin A＝43，化简得cos A＝23.] 三、解答题 13．如图2110，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°. 图2110 (1)若PB＝12，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA. [解] (1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋14－

2×3×12cos30°＝74.故PA＝72. (2)设∠PBA＝α，由已知得PB

＝sin α. 在△PBA中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin30°－α，化简得3cos α＝4sin α. 所以tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. (教师备选) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A＝acos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝3，求△ABC 周长的最大值． [解] (1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理，得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，∴2sin Bcos A＝sin Ccos A ＋sin Acos C，∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0. ∵A∈(0，π)，cos A＝12，∴A＝π3. (2)由(1)得A ＝π3，由正弦定理得bsin B＝csin C＝asin A＝332＝23，∴b＝23sin B，c＝23sin C. △ABC的周长l＝3＋23sinB＋23sinB＋π3 ＝3＋23sinB＋23sin Bcosπ3＋cos Bsinπ3 ＝3＋33sin B＋3cos B ＝3＋6sinB＋π6. ∵B∈0，2π3，∴当B＝π3时，△ABC的周长取得最大值为9.