4.1压缩映射原理

则称（4.5）p阶收敛。特别，p = 1，称（4.5）线性收敛，p > 1，称（4.5）超线性收敛， p = 2，称（4.5）平方收敛. 接近收敛时, ek 是小量, ek +1 ≈ Cek 是p阶小量，所以p越大，迭代误差下降速度快，
p
定理4.4若ϕ ( x)在x = ϕ ( x)的根x ∗邻近有连续的1阶导数，且 | ϕ ′( x ∗ ) |< 1 则当ϕ ′( x ∗ ) ≠ 0时迭代公式（4.5）为线性收敛。若ϕ ( x)在x ∗邻近有连续的2阶导数， 则当ϕ ′( x ∗ ) = 0，ϕ ′′( x ∗ ) ≠ 0时迭代公式（4.5）为平方收敛。
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考虑方程 x = ϕ ( x) ( 4.3) 若x ∗ = ϕ ( x ∗ ) (4.4) 称x ∗是( 4.3)的根，又称x ∗是函数ϕ ( x)的不动点，称( 4.3)为不动点 形式的方程。 压缩性直观的给出一种 求不动点的方法 设ϕ ( x)是[a, b]上的压缩函数，x0 ∈ [a, b], xk +1 = ϕ ( xk )(k = 0,1,2...) ( 4.5) 称（4.5）为解方程（4.3）的不动点迭代公式， ϕ ( x)为迭代函数， x0为迭代初值，xk 为第k次迭代值。
定义4.2设x ∗是ϕ ( x)的不动点， k }是由迭代公式(4.5)生成的一个近似根 {x 数列，若Limxk = x ∗ ( k → ∞), 则称迭代公式（4.5）收敛。 定理4.1设ϕ ( x)是[a, b]上的压缩函数，则ϕ ( x)在[a, b]中有唯一的不动点 x∗，且对任意的x0 ∈ [a, b], 迭代公式（4.5）都收敛。 定理4.2设ϕ ( x)是[a, b]上的压缩函数，则下列误差估计成立 L | xk − xk −1 |, ( 4.6) 1− L Lk ∗ | x − xk |≤ | x1 − x0 |, ( 4.7) 1− L 注：（4.6）是后验误差估计，常用 | xk − xk −1 |≤ ε（允许误差）作为迭代 | x ∗ − xk |≤ 控制条件，用xk 作为所求近似根， .7)是先验误差估计，可用确定迭代次数。 (4
1.压缩映射原理与不动点迭代法 设ϕ ( x)是定义在[a, b]上的一元函数 定义4.1设ϕ ( x)满足下列条件： 1 ）封闭性条件，即对任意x ∈ [a, b], 有ϕ ( x) ∈ [a, b]； 2）压缩性条件，即存在常数L ∈ (0,1).使 | ϕ ( x) − ϕ ( y) |≤ L x − y , ∀x, y ∈ [a, b](4.2) 则称ϕ ( x)是[a, b]上压缩函数（映射），L是压缩系数 压缩函数的两个重要性质 压缩性；连续性：压缩函数是连续函数。
• 全局收敛：在固定[a, b]中任取一个初值x0 , 迭代都收敛，称为全局收敛。 定理4.1，定理4.2，推论都是全局收敛。 • 局部收敛：称一种迭代过程在根x ∗邻近收敛，如果存在x ∗的一个δ领域 ∆ = {x :| x − x ∗ |≤ δ }, 使得∀x0 ∈ ∆迭代过程均收敛
2.收敛速度 设迭代公式（4.5）收敛，所谓收敛速度，是指接近收敛的过程中 迭代误差的下降速度。 记ek = x ∗ − xk , 称ek 为第k次迭代误差。 定义4.3若ek → 0，且存在常数p ≥ 1, 使 Lim ek +1 = C (C ≠ 0)(k → ∞), ek
推论 : 设ϕ ( x) ∈ C 1[ a, b], 且 1 ∀x ∈ [ a, b]总有ϕ ( x) ∈ [a, b]， ） 2）存在L ∈ (0,1), 使 | ϕ ′( x) |≤ L, ∀x ∈ [a, b] 则定理4.1，定理4.2的结论成立 例4.4设ϕ ( x) = ( x + 1)
第四章 方程求根
4.1压缩映射原理与不动点迭代 4.2Newton迭代法 4.3简化Newton迭代法，弦截法， Newton下山法
4.1压缩映射原理与不动点迭代法
求解非线性方程的根，就是对高次方程和超越方程（指数和对数）， 因为这类方程没有求根公式。 函数方程 f ( x) = 0 （4.1 ） 若f ( x ∗ ) ≡ 0, 则称x ∗是方程（4.1 ）的根，又称x ∗是f ( x)的零点。 本章介绍求函数方程近似根的迭代法和二分法 • 迭代法又称逐次逼近法，它是从一个粗糙的近似解出发，使用某个 固定的公式逐次加工，使之逐步精确化以得到满足要求的近似解。
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1)证明ϕ ( x)是[1,2]上压缩函数，并确定压缩系数L 2)取初值x0 = 1.5, 用迭代公式（4.5），求ϕ ( x)的不动点，允许误差为 1 ×10 −4 2
定理4.3 设ϕ ( x)在（4.3）的根x ∗的附近有连续一阶导数，且 | ϕ ′( x ∗ ) |< 1 (4.10) 则存在x ∗的某个领域∆ = {x :| x − x ∗ |≤ δ }, 使对任意的x0 ∈ ∆, 迭代 公式（4.5）均收敛。 例4.5 设ϕ ( x) = e − x 1)判断迭代（4.5）在x0 = 0.5附近的收敛性； 2）在x0 = 0.5附近，求准确到小数后4位的根