2020朝阳二模数学试题与答案
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.若代数式x2−x的值等于零，则x=()x−1A. 1B. 0C. 0或1D. 0或−12.圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的，那么下列四个图中绕着虚线旋转一周可以得到如图所示的立体图形的是()．A.B.C.D.3.下列四个选项中，既是轴对称又是中心对称的图形是()A. 矩形B. 等边三角形C. 正五边形D. 正七边形4.已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是()A. −a<−bB. a+b<0C. |a|<|b|D.5.若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为()A. 3B. 3√2C. 3√3D. 66.若a+b=3且ab=1，则代数式(1+a)(1+b)的值等于()A. 5B. 1C. 3D. −17.某校七(3)班的同学进行了一次安全知识测试，测试成绩进行整理后分成四个组，并绘制如图所示的频数直方图，则第二组的频数是()A. 0.4B. 18C. 0.6D. 278.如图，矩形ABCD的长和宽分别为2cm和1cm，以D为圆心，AD为半径作弧AE，再以AB的中点F为圆心，FB长为半径作弧BE，则阴影部分的面积是()A. 1cm2B. 2cm2C. 3cm2D. 4cm2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.比√7大且比√10小的整数是______．10.如图，能用字母表示的直线有______条；能用字母表示的线段有______条；在直线EF上的射线有______条．11.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是_______m(结果保留根号)．12.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE=______ ．13.北京市2009～2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约________万人次，你的预估理由是______________．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−3,0)，B(−1,2).以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移两个单位，得到△A’O’B’，其中点A’与点A对应，点B’与点B对应.则点A’的坐标为__________，点B’的坐标为__________．15.下表记录了某射击运动员同一条件下的成绩．射击次数n306020050010005000“射中9环以上”的次数m23491623998074001“射中9环以上”的频率mn0.7670.8170.8100.7980.8070.800(精确到0.001)由此估计这名运动员射中9环以上的概率约是________(精确到0.1)．16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线a和直线外一点P．求作：直线a的垂线，使它经过P．作法：如图2，(1)在直线a上取一点A，连接PA；AP的长为半径作弧，(2)分别以点A和点P为圆心，大于12两弧相交于B，C两点，连接BC交PA于点D；(3)以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）)−117.计算：√12−3tan30°+(π−4)0−(1218.解不等式x−24>x+13−1，并在数轴上表示解集．19.如图，在△ABC中；(1)作∠C的角平分线CE交AB于E(保留痕迹，不写作法)，过点E分别作AC、BC的垂线EM、EN，垂足分别为M、N；(2)若EN=2，AC=4，求△ACE的面积．20.已知关于x的方程kx2−x−2k=0(k≠0)．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．21.如图，平面直角坐标系中，反比例函数y1=k图象与函数y2=mx图象交于点A，过点A作AB⊥xx轴于点B，已知点A坐标(2,1)．(1)求反比例函数解析式；(2)当y2>y1时，求x的取值范围．22.如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE//BD，BE//AC，OE=CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，若∠ADC=60°，AD=4，求AE的长．23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E.连接OC，BE，相交于点F．(1)求证：EF=BF；(2)若DC=4，DE=2，求直径AB的长．24.在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：(1)求这次调查的50名学生读书的册数的平均数和众数．(2)根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．25.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E.设AE长为xcm，BD长为ycm(当D与A重合时，y=4；当D 与B重合时y=0)．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈______．(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为______cm．26.已知抛物线y=ax2−2ax−2(a≠0)．(1)当抛物线经过点P(4,−6)时，求抛物线的顶点坐标；(2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为11，求点M和点N的坐标；2(3)点A(x 1,y1)，B(x2,y2)为抛物线上的两点，设，当时，均有，求t的取值范围．27.27.已知△ABC中，AC=BC，∠C=100°，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AB上一点，且∠EDB=∠B.求证：AB=AD+CD．28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．(1)当⊙M半径为2，点M和点O重合时，1点P1(−2,0)，P2(1,1)，P3(2,2)中，⊙O的“美好点”是______；2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；(2)点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B的值等于零，解析：解：∵代数式x2−xx−1∴x2−x=0，x−1≠0，解得：x=0．故选：B．直接利用分式的值为零条件进而分析得出答案．此题主要考查了分式为零的条件，正确把握定义是解题关键．2.答案：A解析：本题考查了面动成体，由于图中立体图形是由两个圆柱组合而成，根据“圆柱是由长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周所得到的”这一规律，即可作出正确判断．解：由长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周可得到圆柱体，图中立体图形是由两个圆柱组合而成，则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在的直线旋转一周即可得到，故选A．3.答案：A解析：解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.答案：C解析：本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、绝对值性质的应用，掌握法则是解题的关键．根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，即可作出判断．解：根据点a、b在数轴上的位置可知−1<a<0，1<b<2，则−a>−b，a+b>0，|a|<|b|，a−b<0．故选：C．5.答案：D解析：本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答此题要熟悉正多边形的边长、半径、边心距等概念，以及正六边形和正三角形的关系等概念．连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．解：边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，而正三角形的边长即为正六边形的外接圆半径，其长度为6cm．6.答案：A解析：本题考查了整式的混合运算—化简求值，能正确运用多项式乘多项式的法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入得思想，难度适中.先根据多项式乘多项式的法则计算，再变形，最后整体代入求出即可．解：∵a+b=3，ab=1，∴(1+a)(1+b)=1+b+a+ab=1+(a+b)+ab=1+3+1=5，故选A．7.答案：B解析：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.根据频数分布直方图即可求解．解：根据频数分布直方图可知，第二组的频数是18．故选B．8.答案：A解析：解：∵AD=1cm，AB=2cm，AB的中点是F，AB=1cm=AD，∴AF=BF=12∴扇形DAE的面积=扇形FBE的面积，∴阴影部分的面积=1×1=1(cm2).故选：A．根据题意扇形DAE的面积与扇形FBE的面积相等，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半．本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质以及拼图的能力．得出阴影部分的面积等于矩形面积的一半是解题的关键．9.答案：3解析：此题主要考查了估算无理数的大小，基础题直接利用比√7大且比√10小的整数是√9即可得出答案．解：比√7大且比√10小的整数是：√9=3．故答案为：3．10.答案：3 6 6解析：解：图中有直线3条，分别是AB，AD，EF；线段有：AB、BC、AC、BD、CD，AD共有6条．有射线BE，CE，DE，BF，CF，DF，共有6条；故答案是：3，6，6．根据直线、射线、线段的表示法即可得到．本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键．11.答案：(3√3+9)解析：此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD ，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=ADCD，∴tan30∘=AD9，即AD9=√33，∴AD=3√3m．在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=9m，∴AB=AD+BD=(3√3+9)m．故答案为(3√3+9)．12.答案：10解析：解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD =AEAC，即63=AE5，解得，AE=10，故答案为：10．根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13.答案：980；因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．解析：此题考查用样本估计总体有关知识，根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．解：980，因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．故答案为980；因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．14.答案：(2,3)，(4,1)解析：本题考查了旋转中的坐标变换和平移中的坐标变换.根据点A(−3,0)，利用旋转的性质得到点A0的坐标，再利用平移的性质得A′坐标，同理得B′坐标．解：将OA以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°到点A0外，则A0(0,3)，再把A0沿x轴向右平移两个单位到A′处，则A′(2,3)．将OB以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°到点B0外，则B0(2,1)，再把B0沿x轴向右平移两个单位到B′处，则B′(4,1)．故答案为(2,3)，(4,1)．15.答案：0.8解析：本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键.根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．故答案为0.8．16.答案：直径所对的圆周角是直角．解析：解：由作图知，点E在以PA为直径的圆上，所以∠PEA=90°，则PE⊥直线a，所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，故答案为：直径所对的圆周角是直角．由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠PEA=90°，即PE⊥直线a．本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角．17.答案：解：原式=2√3−3×√3+1−23=2√3−√3+1−2=√3−1．解析：直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.答案：解：x−24>x+13−1，去分母，得3(x−2)>4(x+1)−12解这个不等式，得x<2∴不等式组的解集为：x<2，将不等式解集表示在数轴上如图：．解析：根据解一元一次不等式的方法可以解答本题，并在数轴上表示出不等式的解集．本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．19.答案：解：(1)如图所示：CE为∠ACB的角平线，(2)∵CE为∠ACB的角平线，∠EMC=∠ENC=90°，∴EM=EN=2，∴S=12AC×EM=4．解析：(1)利用角平分线的作法以及过一点作已知直线的作法得出即可；(2)利用角平分线的性质以及三角形面积求法求出即可．此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质，得出EM的长是解题关键．20.答案：(1)证明：∵k≠0，∴kx2−x−2k=0(k≠0)为关于x的一元二次方程，∵Δ=(−1)2−4k×(−2k)=9>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解：x=1±√92k =1±32k，解得x1=2k，x2=−1k，∵方程的两个实数根都是整数，且k是整数，∴k=−1或k=1．解析：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．(1)先判断方程为关于x的一元二次方程，再计算出Δ=9，于是根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；(2)利用求根公式解方程得到x1=2k ，x2=−1k，然后利用整数的整除性确定k的值．21.答案：解：(1)∵反比例函数y1=kx经过点A(2,1)，∴k=xy=2×1=2，∴反比例函数的解析式为y=2x．(2)根据对称性可知：A、C关于原点对称，可得C(−2,−1)，观察图象可知，当y2>y1时，x的取值范围为−2<x<0或x>2．解析：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称性确定点C坐标．(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)根据对称性确定点C坐标，观察图象，y2的图象在y1的图象上方的自变量的取值，即为所求．22.答案：证明：(1)∵AE//BD，BE//AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∵OE=CD，∴OE=AB，∴平行四边形AEBO是矩形，∴∠BOA=90°，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=4，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∠ADO=30°，∴AO=2，结合勾股定理得DO=√3AO=2√3=BO，∵四边形OBEA是平行四边形，∴AE=OB=2√3．解析：本题考查的是矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质等有关知识．(1)证明平行四边形AEBO是矩形，得出AC⊥BD，根据菱形的判定证明即可；(2)由菱形的性质可得AD=CD=4，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∠ADO=30°，可求AO=2，DO=√3AO=2√3=BO，由平行四边形的性质可求AE的长．23.答案：(1)证明：∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC//AD，∴∠BFO=∠AEB，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴OC⊥BE∴EF=BF；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BFO=90º，∵∠OCD=∠CFE=90°，∴四边形EFCD是矩形，∴EF=CD，DE=CF，∵DC=4，DE=2，∴EF=4，CF=2，设⊙O的为r，∵∠OFB=90°，∴OB2=OF2+BF2，即r2=(r−2)2+42，解得，r=5，∴AB=2r=10，即直径AB的长是10.解析：本题考查切线的性质，圆周角定理及其推论和垂径定理，勾股定理．(1)有切线的性质得OC⊥CD，再由AD⊥CD得OC//AD，从而有OC⊥BE，再有垂径定理即可解答．(2)先证明四边形EFCD是矩形，再由勾股定理得方程，解方程即可．，24.答案：解：(1)观察表格，可知这组样本数据的平均数为：(0×3+1×13+2×16+3×17+4×1)÷50=2，故这组样本数据的平均数为2；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；=108．(2)∵在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，有300×1850∴根据样本数据，可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名．解析：(1)先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；(2)从表格中得知在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，所以可以估计该校八年级300名学=108．生在本次活动中读书多于2册的约有300×1850本题考查了加权平均数、众数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．25.答案：(1)2.9；(2)根据已知数据描点连线得：(3)2.3解析：解：(1)根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9(2)见答案(3)当DB=AE时，y与x满足y=x，在(2)图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3(1)按题意，认真测量即可；(2)利用数据描点、连线；(3)当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26.答案：解：(1)把P(4,−6)代入y=ax2−2ax−2得a=−12，又∵对称轴为直线x=1，∴代入解析式计算得该抛物线的顶点坐标为；(2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，，∴当x=5时，y的值最大，即M(5,112)，把M(5,112)代入y=ax2−2ax−2，解得a=12，∴该二次函数的表达式为y=12x2−2x−2，当x=1时，y=52，∴N(1,−52)；(3)当a>0时，该函数的图象开口向上，显然不符合题意，当a<0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，，当时，具有，点A(x1,y1)B(x2,y2)在该函数图象上，∴，，t的取值范围．解析：本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．(1)抛物线经过点P(4,−6)，代入抛物线即可求出顶点坐标；(2)根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式．即可求出点M，点N的横坐标；(3)根据二次函数的开口的情况进行分类讨论即可．27.答案：见解析解析：由∠C=100°，AC=BC得到∠B=∠CAB=40°，再由∠EDB=∠B得到∠DEB=100°，BE=DE，则∠AED=80°，然后根据角平分线的定义得∠DAE=20°，于是利用三角形内角和定理可计算出∠ADE=80°，所以AD=AE，于是AB=AE+BE=AD+CD．【详解】∵∠C=100°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=40°，∵∠EDB=∠B，∴∠DEB=100°，BE=DE，∴∠AED=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAF=20°，∴∠ADE=180°−80°−20°=80°，∴AD=AE，过点D作DF⊥AC于点F，作DH⊥AB于点H，∴DF=DH，在△CDF和△EDH中，∵∴△CDF≌△EDH(AAS)，∴CD=DE，∴CD=BE，∴AB=AE+BE=AD+CD．本题考查全等三角形的判定(AAS)与性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(AAS)与性质、等腰三角形的判定与性质．28.答案：解：(1)P1和P2如图2中，（2）当直线y=4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM=E′M′=2，∴M′(2,2)，m(6,6)，∴满足条件的m的取值范围为2<m<6．解析：解：(1)如图1中，∵OP1=2+r，OP2=√2<r，OP3=2√2>r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2当直线y=x+b与⊙O相切时，设切点分别为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．在Rt△OTK中，OT=2，∠TKO=45°，∴∠KEO=45°，OE=√2OT=2√2，∴b=2√2，根据对称性可知：OF=OE=2√2，∴b=−2√2，∴b的取值范围为：−2√2≤b≤2√2．(2)见答案(1)根据⊙M的“美好点”即可判断，求出直线y=x+b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；(2)当直线y=4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；本题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）
1. 已知集合 A={x|x＞1}，B={x|x（x-2）＜0}，则 A∪B=（ ）
A. {x|x＞0}
B. {x|1＜x＜2}
C. {x|1≤x＜2}
D. {x|x＞0 且 x≠1}
2. 复数 i向上投影为|DP|=|x|，
则 在 方向上投影的最大值是 ，
故选：C．
先建系，再由到角公式得：
=tan ，化简得：x2+（y- ）= ，则 x2 ，则- ≤x＜0，
再由 在 方向上投影的几何意义可得解．
本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．
9.答案：c
解析：解：b=ln3＞1， 又 2＜e＜3， 所以 log32＜log3e＜1， 即 c＜a＜b， 故 a，b，c 中最小的是 c． 故答案为：c 由对数值大小的比较得：b=ln3＞1，又 2＜e＜3，所以 log32＜log3e＜1，即 c＜a＜b，得 解． 本题考查了对数值大小的比较，属简单题．
11.答案： -1
解析：解：由
得 x2+（y-1）2=1，由，
圆心（0，1）到直线 x+2y+1=0 的距离 d= 所以所求距离的最小值为 -1．
=，
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得 x-2y-3=0，
故答案为： -1． 化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径． 本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 （Ⅰ）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于 9 的概率； （Ⅱ）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中 随机选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E （Y）的值； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.关于对称轴，有以下两种说法：①轴对称图形的对称轴有且只有一条；②如果两个图形关于某直线对称，那么所有各组对应点所连线段的垂直平分线重合．正确的判断是()A. ①对，②错B. ①错，②对C. ①②都对D. ①②都错2.2017年5月15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京雁栖湖国际会议中心举行.据报道，2016年中国与沿线国家贸易总额约为953590000000美元，占中国对外贸易总额的比重达25.7%，将953590000000用科学计数法表示应为A. 9.5359×1011B. 95.359×1010 C. 0.95359×1012D.9.5×10113.一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是()A. B. C. D.4.实数a、b在数轴上的位置如图，则|−a|+|a−b|等于()A. aB. −bC. b−2aD. 2a−b5.如图，直线AD//BC，若∠1=42°，∠2=60°，则∠BAC的度数为()A. 72°B. 78°C. 80°D. 88°6.如果a−b=1，那么代数式(1−b2a2)⋅2a2a+b的值是A. 2B. −2C. 1D. −17.小明对某校同学校本课程选修情况进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的扇形统计图．已知参加巧手园地的有30人．则参加趣味足球的人数是()人A. 35B. 48C. 52D. 708.如果矩形的面积为8，那么它的长y与宽x的函数关系的大致图象表示为()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）+√x+2的自变量的取值范围是______．9.函数y=2xx−110.14.若一个凸多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是___________11.已知二次函数y=−x2−2x+3的图象上有两点A(−7,y1)，B(−8,y2)，则y1______y2.(用>、<、=填空)．12.某水果公司以2元/千克的单价新进了10000千克柑橘，为了合理定出销售价格，水果公司需将运输中损失的水果成本折算到没有损坏的水果售价中(损坏率约为11%).如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元利润，那么在出售柑橘时，每千克大约定价________元．(结果精确到0.1元)13.如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与CB⏜相交于点D.若CD⏜=1BD⏜，则∠B=______°.314.如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是______ ．15.观察表格x… 10 20 30 40 50…y… 50 68 86 104 122…16.滨海公园成人票10元/张，学生票为6元/张，某一天在这个公园共售出800张门票，共得门票款6000元，则成人票______张，学生票______张．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17. 计算：|−√2|+(12)−1−2cos45°．18. 解不等式组{x −2(x −3)≥5,2x−15<x+12,并写出不等式组的所有整数解．19. 用直尺和圆规经过直线AB 外一点P 作AB 的垂线．20. 已知关于x 的方程(k −1)x 2−(k −1)x +14=0有两个相等的实数根，求k 的值．21.如图，已知▱ABED，延长AD到C使AD=DC，连接BC，CE，BC交DE于点F，若AB=BC．(1)求证：四边形BECD是矩形；(2)连接AE，若∠BAC=60°，AB=4，求AE的长．22.如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，连接AC，BC，OP，AC与OP相交于点D．(1)求证：∠B+∠CPO=90°；(2)连结BP，若AC=125，sin∠CPO=35，求BP的长．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+1与函数y=k的图象交于A(−2,a)，B两点．x(1)求a，k的值；(2)已知点P(0,m)，过点P作平行于x轴的直线l，交函数y=k的图象于点C(x1,y1)，交直线y=x−x+1的图象于点D(x2,y2)，若|x1|>|x2|，结合函数图象，直接写出m的取值范围．24.如图，⊙O的直径AB=4cm，点C为线段AB上一动点，过点C作AB的垂线交⊙O于点D，E，连结AD，AE.设AC的长为xcm，△ADE的面积为ycm2．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)确定自变量x的取值范围是______；(2)通过取点、画图、测量、分析，得到了y与x的几组对应值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm200.7 1.7 2.9______ 4.8 5.2 4.60(3)如图，建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(4)结合画出的函数图象，解决问题：当△ADE的面积为4cm2时，AC的长度约为______cm．25.某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从八、九两个年级各随机抽取20名学生，进行了体质健康测试，测试成绩(百分制)如下：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：格，60分以下为体质健康不合格) 分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 得出结论(1)估计九年级体质健康优秀的学生人数为______；(2)可以推断出______年级学生的体质健康情况更好一些，理由为______.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx −1a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． (1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P(12,−1a)，Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27.如图，这一会线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上)，连结AC，DE．(1)当∠APB=30°时，求∠B的度数；(2)求证：AB2=BC⋅PB；(3)在点P的运动过程中，当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值．28.如图1，直线y=13x+2分别交x、y轴于A、B两点．(1)求S △ AOB；(2)如图2，若点P是直线y=−x−1上的动点，当直线y=−x−1平分∠APB时，求点P的坐标；(3)若直线y=mx−2m与直线AB交于点M，与x轴交于点N，若∠AMN≤135°，求m的取值范围；-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查的是轴对称的性质的有关知识，由题意利用轴对称的性质进行求解即可．【解答】解：①轴对称图形的对称轴不一定有且只有一条，例如圆的对称轴有无数条，故①错误；②如果两个图形关于某直线对称，那么所有各组对应点所连线段的垂直平分线重合，故②正确．故选B．2.答案：A解析：【分析】此题考查了科学记数法的知识点，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：953590000000=9.5359×1011．故选A．3.答案：B解析：解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．4.答案：C解析：【分析】此题考查的是数轴和绝对值的化简.先根据a、b在数轴上的位置确定符号，再判断a−b的符号，最后按照绝对值的性质化简即可．【解答】解：由数轴得：a<0，b>0，∴a−b<0，−a>0，∴|−a|+|a−b|=−a+b−a=b−2a，故选C．5.答案：B解析：解：∵AD//BC，∴∠2=∠ABC=60°，∵∠1=42°，∴∠BAC=180°−60°−42°=78°，故选：B．根据AD//BC，即可得出∠2=∠ABC=60°，依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先计算括号内的减法，再计算乘法，继而将a−b=1整体代入计算可得．【解答】解：原式=(a+b)(a−b)a2⋅2a2 a+b=2(a−b)，当a−b=1时，原式=2×1=2，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题考查扇形统计图，其中整个圆的面积表示总数(单位1)，各个扇形面积表示各部分占总数的百分数，属于基础题．用参加巧手园地的人数除以其所占的百分数得出被调查学生的总数，再用参加趣味足球所占的百分数乘以总人数即可．【解答】解：∵被调查的学生总数为30÷15%=200(人)，∴参加趣味足球的人数是200×35%=70(人)，故选D．8.答案：B解析：【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．【解答】解：由题意得xy=8，(x>0,y>0)．∴y=8x故选：B．9.答案：x≥−2且x≠1解析：【分析】本题考查的知识点为函数自变量的取值范围，属于基础题．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得x+2≥0且x−1≠0，解得x≥−2且x≠1，+√x+2的自变量的取值范围是x≥−2且x≠1．故函数y=2xx−1故答案为x≥−2且x≠1．10.答案：8解析：【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．【详解】解：设这个凸多边形的边数是n，根据题意得：(n−2)⋅180°=3×360°，解得：n=8．故这个凸多边形的边数是8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．11.答案：>解析：解：∵二次函数y=−x2−2x+3的对称轴是x=−1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A(−7,y1)，B(−8,y2)是二次函数y=−x2−2x+3的图象上的两点，−7>−8，∴y1>y2．故答案为：>．先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．解析：【分析】本题考查一元一次方程的应用，估计出本次的损坏是难点，找到相应的等量关系是解决问题的关键．根据损坏率约为11%可以估计10 000千克中约有1100千克损坏，通过理解题意可知本题的等量关系，即没有损坏的水果的售价−所有水果的成本=5000元，即可列方程解决．【解答】解：根据损坏率约为11%，则没有损坏的有10000(1−11%)=8900千克．设定价为x 元．由题意可列方程：8900x −2×10000=5000，解得x ≈2.8(元)．答：出售柑橘时，每千克大约定价2.8元．故答案为2.8．13.答案：18解析：解：如图，连接OC ．∵CD ⏜=13BD ⏜，AC ⏜=CD ⏜， ∴AC ⏜=14BC ⏜， ∴AC ⏜=15ACB ⏜， ∴∠AOC =15×180°=36°，∵OC =OB ，∴∠OCB =∠B ，∵∠AOC =∠B +∠OCB ，∴∠B =18°，故答案是：18如图，连接OC.首先证明AC ⏜=15ACB ⏜，即可推出∠AOC =15×180°=36°解决问题； 本题考查了圆周角定理，翻折变换等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．解析：【分析】先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4(1+x)，又四边形ABCD是正方形，那么AD//BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF= (BE)2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+ ADS△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4(1+x)=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找出正方形面积的两种表示方式．【解答】解：根据题意，设△BEF的面积是x，∵E是BC中点，∴S△DBE=S△DCE，∴S△BCD=2(1+x)，=4(1+x)，∴S正方形∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，AD=BC，∴△BEF∽△DAF，)2，∴S△BEF：S△DAF=(BEAD∵E是BC中点，∴BE=CE，∴BE：AD=1：2，∴S△DAF=4x，∵S△ABE=S△BED，∴S△ABF=S△DEF=1，=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，∴S正方形∴4(1+x)=1+x+4x+1+1+x，解得x=0.5，∴S=4(1+x)=4(1+0.5)=6．正方形故答案为6．15.答案：y =1.8x +32解析：【分析】本题考查了函数关系式，利用待定系数法是解函数解析式的关键，又利用了自变量与函数值的对应关系．根据待定系数法，可得函数解析式．【解答】解：设函数解析式为y =kx +b ，将(10,50)，(20,68)代入，得{10k +b =5020k +b =68， 解得{k =1.8b =32， 函数解析式为y =1.8x +32，经检验，符合题意；故答案为：y =1.8x +32．16.答案：300 500解析：解：设成人票为x ，依题意列方程：10x +(800−x)×6=6000解得：x =300，则学生票为500．设成人票为x ，则学生票为800−x ，题目中的相等关系是：人数×票价=票款．根据相等关系列方程，即可求出成人票，计算出学生票．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．17.答案：解：原式=√2+2−2×√22=√2+2−√2=2．故答案为2．解析：本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．18.答案：解：解不等式x −2(x −3)≥5，得x ≤1．解不等式2x−15<x+12，得x >−7．∴不等式组的解集为−7<x≤1，∴不等式组的整数解是−6，−5，−4，−3，−2，−1，0，1．解析：此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．19.答案：解：如图，PE⊥AB．解析：本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．以点P为圆心，大于点P到直线l的距离长为半径画弧，交直线l于点C、D；分别以C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E.连结PE，则PE⊥AB．大于12=0有两个相等的实数根，20.答案：解：∵关于x的方程(k−1)x2−(k−1)x+14∴△=0，=0，∴[−(k−1)]2−4(k−1)×14整理得，k2−3k+2=0，即(k−1)(k−2)=0，解得：k=1(不符合一元二次方程的定义，舍去)或k=2．∴k=2．解析：根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．21.答案：(1)证明：∵四边形ABED是平行四边形，∴BE//AD，BE=AD，∵AD=DC，∴BE//DC，BE=DC，∴四边形BECD是平行四边形，∵在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴四边形BECD是矩形；(2)解：∵四边形BECD是矩形，∴∠ACE=∠BDC=90°，∵∠BAC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCD=∠ABC=60°，AC=BC=AB=4，∵AD=CD，∴∠CBD=12∠ABC=12×60°=30°，∴CD=12AC=2，由勾股定理得：BD=√42−22=2√3，∴CE=BD=2√3，AC=AB=4，由勾股定理得：AE=√AC2+CE2=√42+(2√3)2=2√7．解析：(1)先求出四边形BECD是平行四边形，根据等腰三角形性质求出∠BDC=90°，根据矩形的判定得出即可；(2)根据矩形的性质求出∠DCE=90°，根据等边三角形的性质和判定求出AC，求出CE，根据勾股定理求出AE即可．本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．22.答案：(1)证明：连接OC，如图．∵PA ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，∴OC ⊥PC ，OA ⊥PA ，∠APC =2∠CPO ．∴∠OCP =∠OAP =90°．∵∠AOC +∠APC +∠OCP +∠OAP =360°，∴∠AOC +∠APC =180°．∵∠AOC =2∠B ，∴∠B +∠CPO =90°．(2)解：连接BP ，如图．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∴∠ABC +∠BAC =90°．∵∠ABC +∠CPO =90°，∴∠BAC =∠CPO =∠APO ．∵AC =125，sin∠BAC =35， ∴AB =3，OA =32．∵OA =32，sin∠APO =35，∴AP =2．∴PB =√AP 2+AB 2=√13．解析：(1)连接OC ，如图．根据切线的性质得到OC ⊥PC ，OA ⊥PA ，∠APC =2∠CPO.由垂直的定义得到∠OCP =∠OAP =90°.求得∠AOC +∠APC =180°.于是得到结论；(2)连接BP ，如图．根据圆周角定理得到∠ACB =90°.推出∠BAC =∠CPO =∠APO.解直角三角形即可得到结论．本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 23.答案：解：(1)∵直线y =−x +1与函数y =k x 的图象交于A(−2,a)，把A(−2,a)代入y =−x +1解得a =3，∴A(−2,3)．把A(−2,3)代入y =k x ，解得k =−6；(2)画出函数图象如图解{y =−6x y =−x +1得{x =−2y =3或{x =3y =−2， ∵A(−2,3)，∴B(3,−2)，根据图象可得：若|x 1|>|x 2|，则0<m <3或−2<m <0．解析：(1)将点A(−2,a)代入y =−x +1，得出点A 的坐标，再代入函数y =kx ，即可求出k 的值；(2)求出点B 的坐标，结合函数的图象即可求解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 24.答案：(1)0≤x ≤4 (2) 4(3)函数图象如图所示：(4) 2.0或3.7解析：解：(1)由题意：0≤x ≤4；故答案为：0≤x ≤4．(2)当x =2时，点C 与点O 重合，此时DE 是直径，y =12×4×2=4．故答案为4．(3)见答案(4)观察图象可知：当△ADE的面积为4cm2时，AC的长度约为2.0或3.7cm故答案为2.0或3.7．(1)根据线段AB的长度即可确定x的取值范围；(2)当x=2时，点C与点O重合，此时DE是直径，由此即可解决问题；(3)利用描点法即可解决问题；(4)利用图象法，确定y=4时x的值即可；本题考查圆综合题，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．25.答案：7 10 81(1)108；(2)九，两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些．解析：解：整理、描述数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：(1)估计九年级体质健康优秀的学生人数为人，20故答案为：108；(2)可以推断出九年级学生的体质健康情况更好一些，理由为两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些．故答案为：九年级；两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些．整理、描述数据：根据八、九年级各的20名学生的成绩即可补全表格；分析数据：根据众数的定义即可得；(1)总人数乘以样本中九年级体质优秀人数占九年级人数的比例即可得；(2)从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些．本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．)26.答案：解：(1)A(0,−1a)；点A向右平移2个单位长度，得到点B(2,−1a(2)A与B关于对称轴x=1对称，∴抛物线对称轴x=1；(3)∵对称轴x=1，∴b=−2a，∴y=ax2−2ax−1，a<0，如图(1)，①a>0时，y=−1a∴根据图象可得函数与线段PQ无交点；>0，如图(2)，②a<0时，y=−1a∵抛物线不可能同时经过点A和点P，∴当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，即−1a ⩽2，解得a≤−12，综上所述，当a≤−12时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．解析：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．(1)根据点的平移规律即可得；(2)根据A与B关于对称轴x=1对称即可得；(3)结合函数图象即可得．27.答案：解：(1)∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=30°，∴∠B=75°，(2)如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD//AP，∴∠MDB=∠APB，∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°−∠APB−∠B，∠ACB=180°−∠BAC−∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB，由(1)可知PA=PB，∴△ABC∽△PBA，∴ABPB =BCAB，∴AB2=BC⋅PB；∴AC=AB；(3)如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+(4−PR)2=22+PR2，∴PR=138，∴MR=198，Ⅰ.当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=198；Ⅱ.如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=134，∴MQ=34；Ⅲ.如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=√17，∴DP=12BP=√172，∵cos∠MPB=MPPB =DPPQ，∴PQ=178，∴MQ=158；Ⅳ.如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ =∠BDQ =90°， ∴MQ =158；综上所述，MQ 的值为198或34或154．解析：(1)根据三角形ABP 是等腰三角形，可得∠B 的度数；(2)连接MD ，根据MD 为△PAB 的中位线，可得∠MDB =∠APB ，再根据∠BAP =∠ACB ，∠BAP =∠B ，即可得到∠ACB =∠B ，进而得出△ABC∽△PBA ，得出答案即可；(3)记MP 与圆的另一个交点为R ，根据AM 2+MR 2=AR 2=AC 2+CR 2，即可得到PR =138，MR =198，再根据Q 为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ =90°时，当∠QCD =90°时，当∠QDC =90°时，当∠AEQ =90°时，即可求得MQ 的值．此题主要考查了圆的综合题、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．28.答案：解：(1)把x =0代入y =13x +2，得y =2，∴B(0,2)，把y =0代入y =13x +2，得13x +2=0， 解得x =−6， ∴A(−6,0)， ∴OA =6，OB =2， ∵OA ⊥OB ，∴S △AOB =12OA ·OB =6；(2)直线y =−x −1交x 、y 轴于S 、T 两点，过S 作SQ ⊥x 轴交PQ 于点Q ，∵S(−1,0)，T(0,−1)， ∴OS =OT =1， ∴∠TSO =∠OTS =45°， ∴∠ASP =∠QSP =135°， ∵∠APS =∠QPS ，PS =PS ， ∴△ASP≌△QSP ， ∴QS =AS =5， ∴Q(−1,5)，设直线PQ 的解析式为y =kx +2，把Q(−1,5)代入，得−k +2=5， ∴k =−3，∴直线PQ 的解析式为y =−3x +2， 联立两解析式得{y =−3x +2y =−x −1， 解得{x =32y =−52，∴ P(32,−52)；(3)∵y ==mx −2x =m(x −2)， ∴无论m 为何值，当x =2时y =0， ∴N(2,0)，当∠AMN =135°时，过N 作NG ⊥MN 交AB 于点G ，过M 作ME ⊥x 轴于E ，过G 作GF ⊥x 轴于F ，∵∠MEN =∠NFG ，∠ENM =∠FGN ，MN =NG ， ∴△MEN≌△NFG ， ∴ME =NF ，EN =FG ， 设ME =NF =a ，EN =FG =b ，则M(2−b,a)，N(2+a,b)，代入y =13x +2，得{a =13(2−b )+2b =−13(2+a )+2 解得{a =85b =165， ∴ M(−65,85)，把M (−65,85)代入y =mx −2m ，可得m =−12， 经分析可得m ≤−12或0<m <13或m >1313．解析：本题为一次函数综合题，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定定理与性质定理是解决此题的关键．(1)分别把y=0，x=0代入直线解析式，求出A、B的坐标，从而求出OA，OB的长，然后由三角形的面积公式求解即可；(2)设直线y=−x−1交x、y轴于S、T两点，过S作SQ⊥x轴交PQ于点Q，则△ASP≌△QSP，所以QS=AS=5，所以Q(−1,5)，然后用待定系数法求出PQ的解析式，然后联立y=−x−1，解方程组即可得到P的坐标；(3)由y=mx−2m=m(x−2)，可得无论m为何值，当x=2时y=0，所以N(2,0)，当∠AMN=135°时，过N作NG⊥MN交AB于点G，过M作ME⊥x轴于E，过G作GF⊥x轴于F，则△MEN≌△NFG，所以ME=NF，EN=FG，设ME=NF=a，EN=FG=b，则M(2−b,a)，N(2+a,b)，代入y=1x+2，求出M的坐标，再把M的坐标代入y=mx−2m即可．3。
2020年6月朝阳二模数学
北京市朝阳区高三年级高考练习二数 学 2020.6（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（2）函数()ln 1=-f x x x 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞U (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞U（3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >>（C ）2a c b +> （D ）->-a c b c（4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y（B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y （D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n a n b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 （7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称 （B ）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称 （C ）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D ）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增 （8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（A ）sin532sin 47a o o （B ）2sin 47sin53a oo（C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a o o o （D ）sin 26.5sin73.5sin 47a o oo（9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=u u u u r u u u r u u u r u u u r BM CN BC CD ，则⋅u u u u r u u u r AM AN 的最大值为 （A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：（第8题图）①()3=f x x ； ②()3=x f x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是（A ）①③ （B ） ①④（C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年北京市朝阳区中考二模数学试题(有答案)
……
请参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）.
(3)用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．
29.在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r＞0)的⊙O和点P，给出如下定义：
2011年，朝阳区生产总值3272.2亿元．2012年，朝阳区生产总值3632.1亿元，比上年增长359.9亿元．2013年，朝阳区生产总值4030.6亿元，比上年增长398.5亿元．2014年，朝阳区生产总值4337.3亿元，比上年增长7.6%．2015年，朝阳区生产总值4640.2亿元，比上年增长7.0%，其中，第一产业1.2亿元，第二产业358.0亿元，第三产业4281.0亿元．2016年，朝阳区生产总值4942.0亿元，比上年增长6.5%，居民人均可支配收入达到59886元，比上年增长8%．
(2)预估理由须包含折线图中提供的信息，且支撑预估的数据.
25．（1）证明：连接OB．
∵∠A=45°，
∴∠DOB=90°．
∵OD∥BC,
∴∠DOB+∠CBO =180°.
∴∠CBO=90°．
∴直线BC是⊙的切线．
（2）求解思路如下：
如图,延长BO交⊙于点F，连接AF.
①由AB=AC，∠BAC=45°，可得∠ABC=67.5°，∠ABF=22.5°；
27．解：（1）由题意，当x=0时，y=2.
∴A(0,2).
∵，
∴对称轴为直线x=1.
∴B(1,0).
（2）由题意，C（-1,0），D（3,0）.
①当m＞0时，
结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x轴下方，
2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
A. 〔-00, 0〕B. 〔-00, 1〕C. 〔1, +°°〕7. 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E, F 分别为线段CD 和A I B I 上的动点,且满足 CE=A I F,那么四边形D I FBE 所 围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶 点的三个面上的正投影的面积之和〔〕D. (0, +°°)A.有最小值B.有最大值jC.为定值35 . 等差数列｛a n ｝首项为a 1,公差dwQ 那么“ a 〔,a 3, a 9成等比数列〞是“ a 1二d的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .函数f 〔x 〕 =：,；；］：,假设函数f 〔x 〕存在零点,那么实数a 的取值范围是〔 〕2021年北京市朝阳区高考数学二模试卷〔二〕 、选择题〔本大题共 8小题,共40.0分〕1. 集合 A={x|x>1}, B={x|x (x-2)<0},贝U AUB=( ) A. {x|x>0} B. {x|1<x< 2} C.{x|1 买v 2} D. {x|x>0且 xw 1} 2 . 复数i 〔1 + i 〕的虚部为〔 〕 A. B. 1 C. 0 3 .在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率 兀进行 了估算.根据德国数学家莱布尼茨在 1674年给出的求 兀D. -1的方法绘制的程序框图如下图. 执行该程序框图, s 的值为〔 A. 4 B. D.输出 4. 在 AABC 中,H c=4, cosC = -5,那么 b=()D.为定值28 . 在同一平面内, A 为动点,B, C 为定点,且/BAC4, 二A 却？于口,BC=1, P为BC 中点•过点p 作pQ gC 交AC 所在直线于Q ,那么;Q 在;c 方向上投影的最大值 二、填空题(本大题共 6小题,共30.0分)9 . a=log 3e, b=ln3, c=log 32,贝U a, b, c 中最小的是 .10 .点M (1, 2)在抛物线 C: y 2=2px (p>0)上,那么点M 到抛物线C 焦点的距 离是.I x - votO.* ( i = 1 + 2r,11 .圆心；｛y = 1十(.为参数)上的点P 到直线| y = —1 + (t 为参数)的距离 最小值是. f 工之L12 .实数x, y 满足 ¥=#,能说明“假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1, y=3〞为假 [x 4- y < 4.命题的一组(x, y)值是.13 .由数字1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的三位数,偶数共有 个,其中 个位数字比十位数字大的偶数共有 个. 14 .如图,在平面直角坐标系xOy 中,点 O (0, 0) , M (-4, 0) , N (4, 0),P (0, -2) , Q (0, 2) , H (4, 2).线段OM 上的动点A 满足;力一%时(''(必‘))； 线段HN 上的动点B 满足j 二"N 直线PA 与直线QB 交于点L,设直线PA 的斜 ntf ni\ 7率记为k,直线QB 的斜率记为k',那么k?k'的值为;当入变化时,动点L 一定 在 (填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个)上.三、解做题(本大题共 6小题,共80.0分) 15 .函数 fix) = 2sinxcosx + 入瓦,".一超.(I )求函数f (x)的最小正周期；(n )当某E [一彳,同时,求证：/(X )之一十B.C.是(某电视台举行文艺比赛, 并通过网络比照赛进行直播. 比16.赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分, 场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分. 每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分,将评分根据[7, 8) , [8, 9) , [9, 10]分组,绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分9.69.59.68.99.7(I )求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率；(n)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率, Y表示评分不小于9分的人数；试求 E (X)与E (Y)的值；(出)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数匚作为该选手的最终得分.r 4方案二：分别计算专家评分的平均数;和观众评分的平均数；,用以士作为该选手最终得分.请直接写出f与',的大小关系.频率在三^柱ABC-A i B i C i中,底面ABC是正三角形,侧棱AAUB面17.ABC. D, E分别是边BC, AC的中点,线段BC i与B i C交于点G,且AB=4, 叫=2k.(I )求证：EG//平面AB i D；(n)求证：BC i"面AB i D；(m )求二面角A-B i C-B的余弦值.18.函数f (x) = (2ax2+4x) lnx-ax2-4x (aCR,且a*O) (I )求曲线y=f(x)在点(1, f (1))处的切线方程;(n )假设函数f (x)的极小值为试求a的值.19 .椭圆C: 4 + y Z= l (a>1)的离心率为坐.(I )求椭圆C的方程；(n)设直线l过点M (1, 0)且与椭圆C相交于A, B两点.过点A作直线x=3 的垂线,垂足为D .证实直线BD过x轴上的定点.20 .对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S (A) ={a+b|aCA, bCA},记集合S(A)的元素个数为d (S (A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T (A) =AUS (A).(I )假设A={0 , 1, 2},求S (A) , T (A);(n)假设集合A有n个元素,证实：" d (S (A) ) =2n-1〞的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为.的等差数列〞；(出)假设A?{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}且{1 , 2, 3,…,25, 26}? T (T (A)), 求元素个数最少的集合 A.1 .答案：A解析：解：根据不等式的解法,易得 B={x|0vx 匚< 2},均召-2? 4 5 .又有 A={ x|x> 1},那么 AUB={x|x>0}. 应选：A.根据不等式的解法,B={x[0vx<2},然后根据并集的定义“由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集〞进行求解即可. 此题考查并集的运算,注意结合数轴来求解,属于容易题.2 .答案：B 解析：解：.i (1 + i) =-1 + i,. i (1 + i)的虚部为1. 应选：B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的根本概念,是根底题.3 .答案：C 解析：解：第一次,s=4, k=1, k>3否,第二次, 乂辐,k =2 ,k4否, 第二次,s= |+?=m ,k=3, k>3是, 程序终止,输出s=* 应选：C.根据程序框图进行模拟运算即可. 此题主要考查程序框图的识别和判断, 根据条件进行模拟运算是解决此题的关键.比拟根底.4 .答案：B 解析：【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求 值. 此题主要考查了同角三角函数根本关系式, 础题. 【解答】解：*c=4, CORC =(, sinC=dl-co5i 々巧,,由正弦定理 岛可得：解得：b=3. 应选：B.答案与解析sinC 的值,根据正弦定理即可计算得解b 的正弦定理在解三角形中的综合应用,属于基5 .答案：C 解析：【分析】此题考查等差、等比数列的定义以及判断,涉及充分必要的定义与判断,属于根底题. 根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,从充分性与必要性的角度分析“ a i, a 3, a 9成等比 数列〞和“ a i =d 〞的关系,综合即可得答案. 【解答】解：根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,假设 a i, a 3, a 9成等比数列,那么〔a 3〕2=a i 39,即〔a i +2d 〕 2=a i • 〔a i +8d 〕,变形可得：a i =d,那么“a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充分条件；假设 a i =d,贝U a 3=a i +2d=3d, a 9=a i +8d=9d,贝U 有〔a 3〕2=a i a 9,贝U " a i, a 3, a 9成等比数 列〞是“ a i =d 〞的必要条件；综合可得：“ a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充要条件； 应选：C.6 .答案：D 解析：解：函数f 〔x 〕=：上管,函数的图象如图：函数f 〔x 〕存在零点,那么实数 a 的取值范围是： 〔.,+°°〕. 应选：D.画出函数的图象,利用数形结合推出 a 的范围即可.此题考查分段函数的应用,函数的零点的判断, 考查数形结合以及计算水平.7 .答案：DD'B'E f解后面解：依题意,设四边形D I FBE的四个顶点在后面,上面,左面的投影点分别为D', F', B', E',那么四边形D I FBE在上面,后面,左面的投影分别如上图.所以在后面的投影的面积为S后=1 M=1 ,在上面的投影面积S±=D'E' 1=DEX1 = DE,在左面的投影面积S左=B'E' 1=CEX1=CE,所以四边形D1FBE所围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1 + DE+CE=1 + CD=2.应选：D.分别在后,上,左三个平面得到该四边形的投影,求其面积和即可.此题考查了正方体中四边形的投影问题,考查空间想象水平.属于中档题.8 .答案：C 解析：解：建立如下图的平面直角坐标系,那么〔4, 0〕, C4,0〕, P〔0,0〕,设 A 〔x, y〕,那么xv 0,设直线AB, AC的斜率分别为k b k2, 由到角公式得：G an J化简彳导:x2+ (y-,)=；,口次那么x*:,那么」苧叔V0,由;在；方向上投影的几何意义可得:.在；方向上投影为DP|二|x|, 那么H、方向上投影的最大值是降应选：C.先建系,再由到角公式得：=常二tan,化简得：x2+ (y<)=：,那么x29［那么-;今v 0,再由二在M方向上投影的几何意义可得解・此题考查了到角公式及平面向量数量积的运算,属中档题.9 .答案：c 解析：解：b=ln3>1,又2V ev 3,所以10g32V log3ev 1,即cv a< b,故a, b, c中最小的是 c.故答案为：c由对数值大小的比拟得：b=1n3>1,又2V e<3,所以10g32v1og3ev 1,即cvavb,得解.此题考查了对数值大小的比拟,属简单题.10 .答案：2解析：解：由点M (1, 2)在抛物线C: y2=2px (p>0)上,可得4=2p, p=2,抛物线C： y2=4x,焦点坐标F (1, 0),那么点M到抛物线C焦点的距离是：2,故答案为：2.由题意可知：点的坐标代入抛物线方程,求出p=2,求得焦点F (1, 0),利用直线的两点式,即可求点M到抛物线C焦点的距离.此题考查抛物线的标准方程及简单几何性质,直线的两点式方程,考查计算水平,属于根底题. 11 .答案：睥1 解析：解：由ly = 1+ 就月.得x2+(y-1)2=1,由,ly =一1 + t 得x-2y-3=0 ,,一,、一■ 一I r , r、 _ ■ - . |0"2~ 3| J-1圆心〔0, 1〕到直线x+2y+1=0的距离d=:=、后,所以所求距离的最小值为-1故答案为：.^5-1.化成直角坐标方程后用点到直线的距离,再减去半径. 此题考查了参数方程化成普通方程,属中档题.12 .答案:〔2, 2〕r x>l,解析：解：实数x, y 满足y 皂币 的可行域 以及x+y=4的直线方程如图：能说明"假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1,y=3〞 为假命题的一组〔x, y 〕值是〔2, 2〕. 故答案为：〔2, 2〕.画出约束条件的可行域,目标函数取得最大值 的直线,然后求解即可.此题考查线性规划的简单应用,画出可行域是 解题的关键.13 .答案：60 36解析：解：根据题意, 对于第一空：分 2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数,其个位是 ②在剩下的5个数字中任选2个,安排在前 那么有3X20=60个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分 3种情况讨论：①,当其个位为2时,十位数字只能是 的三位数；②,当其个位为4时,十位数字可以是 个符合题意的三位数；③,当其个位为6时,十位数字可以是5 >4=20个符合题意的三位数；那么有4+12+20=36个符合题意的三位数; 故答案为：60, 36.对于第一空：分 2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有 3种情况,②在剩下的 5个数字中任选2个,安排在前2个数位,由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分 3种情况讨论,分别求出每种情况下的三位数的数目,由加 法原理计算可得答案.此题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于根底题.解析：解：叫；「A (-4 入,0),又 P (0, -2) , .*=*$； r 二厂 _ ___ . , 2(-2) / . . , L HRB (4,2-2 k= 4^0- =-2, kk =,设 L (x, y),那么 k=\ k =^, .kk1 = 1?；〞=；, 1 / = = X,即彳-适=1 .2、4或6,有3种情况, 2个数位,有 A 52=20种情况,1,百位数字有4种情况,此时有4个符合题意 1、2、3,百位数字有4种情况,此时有 3>4=121、2、3、4、5,百位数字有4种情况,此时有14.答案：； 双曲线故答案为：:,彳先=1 .根据向量关系得到 A, B 的坐标,再根据斜率公式可得 kk'=;设P (x, y),根据斜 I 率公式可得P 点轨迹方程.此题考查了圆锥曲线的轨迹问题,属中档题. 15 .答案：解：(I) J ⑺="Ehwhh + 笈 3gA -木, =#i 也 2M + \3cosZx, =・ 证实：(II)由于第中, 即归+沁一,1, 所以f (x)在上单调递增. 当 2# + ；=—；时, J Q即工:一;,时, /.%山=一"手所以当X E 时,f W > 75.解析：(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换, 把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期.(n )利用函数的关系式,进一步利用函数的定义域求出函数的值域.此题考查的知识要点：三角函数关系式的变换,正弦函数的性质的应用,主要考察学生 的运算水平和转换水平,属于根底题型.16 .答案：解：(I)由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是1. (n ) X 的可能取值为 2, 3. P (X=2)所以X 的分布列为： X233 dP 弱3J 12 所以 E (X ) =2乂-+3XG = M .J0*J 1由题意可知,T 〜巩工］,所以E (Y)所以f (x)的最小正周期 2ltT=V =n3 / 、端 2W ； P (X =3)= np=|(m)* * * = 2 ^ x0 + 0x4 + 0x 2.= 0BC i DA'-=OxO + 〔-2〕x4+2\Nx2u2 = OBC 1 叫'所以 BC i ±DA, BCUDB i.又由于DA ADB I =D,所以BC i,平面AB i D. ............................ 〔 9分〕 (出)解：显然平面 B i CB 的一个法向量为“ =(I, 0, 0)'=0, L *呼n 8-诙平片灯=0,付1 4尸窗％ ; 0, 【电/ 4叼如ririA.设二面角A-BiC-B 的平面角为0,由图可知此二面角为锐二面角,解析：(I)证实EG/AB i.然后利用直线与平面平行的判定定理证实 EG/印面AB i D.(n )取B iC i 的中点D i,连接DD i,建立空间直角坐标系 D-xyz,通过向量的数量积证实BC i IDA, BCODB i,然后证实BC i 」平面AB i D.(出)求出平面 B i CB 的一个法向量,平面 AB i C 的一个法向量,设二面角 A-B i C-B 的平面角为0,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可. 此题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用, 二面角的平面角的求法,考查计算水平.解析：此题考查了离散型随机变量的期望和方差,属中档题.(I )由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是:(n )计算概率可得分布列和期望;(m)专家评分的平均分高于观众评分的平均分,17.答案：(本小题总分值14分)(I)证实：由于E 为AC 中点,G 为B i C 中点.所以EG/AB 1. 又由于EG?平面AB i D, AB i ?平面AB i D, 所以EG/狂面AB i D. .................... ( 4分) (II )证实：取BiCi 的中点Di,连接DDi.显然DA, DC, DD i 两两互相垂直,如图,建立空间直角坐 标系D-xyz,那么 D (0,0,0),42、, 0, 0),B (0,-2,0),fl 1(O 1 -2, 2j),2. 2^2), B R G, 1, 0), C (0, 2, 0). 所以又由于 设平面AB i C 的一个法向量为:叼=〔x, y, z 〕,又；=(一2屈 2,.) ni L, ■ =〔.,4, -西设x=i ,贝U y =/1,上二亚,那么:a,隹两.'III所以COSfi =而・. 〔 I4 分〕但专家人数远小于观众人数, 故小于.18 .答案：(本小题总分值13分)解：(I )函数 f (x) = (2ax 2+4x) lnx-ax 2-4x (aCR,且 aw .. 由题意可知 f' (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +°°).f' (1) =0, f (1) =-a-4, .•曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程为 y=-a-4. ....... ( 3分) (n )①当av-1时,x 变化时f (x) , f (x)变化情况如下表：x ◎ 4 Tf-l 1)1 (1, +°°) f (x) -0 +0 -f (x)极小值极大值此时晨一：)②当a=-1时,f' (x) wo 在(0, +oo )上恒成立,所以f (x)在(0, +°°)单调递减. 此时f (x)无极小值,故不成立.③当-1<av .时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表： x (0, 1) 1 J 1A+ 8)f (x) -0 + 0 -f (x)极小值/极大值解得u = -2 +避或a = -2—?3. 由于-1vav0,所以 u =④当a>0时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表: x (0, 1) 1 (1, +°°) f (x)-+f (x)极小值解得a =—2 +小或H =一2-$3 ,故不成立. 综上所述,二-2 +祠. ............ . (13分)解析：(I )由题意可知 f (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +0°) , f' (1) =0, f (1) =-a-4, 由此能求出曲线 y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程.(n )当av-1时,求出f]-3 =1 +力M-口)=；,解得口 = -^>-1 ,不成立；②当a=-1 f (x)在(0, +8)单调递减.f (x)无极小值;由题意可得一以一4=：,求出4=\信-2；当a>0时,极小值f (1) =-a-4.由此能求出a 的值.此题考查切线方程的求法,考查实数值的求法,考查导数性质、函数的单调性、最值等 根底知识,考查运算求解水平,考查化归与转化思想,是中档题.= 119 .答案：(I )解：由题意可得[〞 —3 解得a=J , b=1 ,\a 2 = b 2 + c 2时,f (x) w 师(0, +oo)上恒成立, 当-1vav0 时,极小值 f (1) =-a-4,所以椭圆C 的方程为；+y 2=i.(n )直线BD 恒过x 轴上的定点 N (2, 0).证实如下 (1)当直线l 斜率不存在时,直线l 的方程为x=1, 不妨设 A (1,乎),B (1, ¥), D (3,悟)此时,直线BD 的方程为：y ((x-2),所以直线BD 过点(2, 0)(2)当直线l 的斜率存在时,设 A (xi, yi) , B (x2, y2),直线AB 为y=k (x-1), D (3, yi).解析：(I )由题意列关于a, b, c 的方程组,求解可得 a, b, c 的值,那么椭圆方程可 求；(n)当直线AB 的斜率不存在时,直线 BD 过点(2, 0).当直线AB 的斜率存在时, 设直线AB 为y=k (x-i),联立方程组,消去 y 整理得：(i+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0,利 用韦达定理、直线方程,结合条件求出直线BD 过x 轴上的定点.此题考查椭圆方程求法,考查考查两直线的交点是否为定点的判断与求法,考查椭圆、 韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等根底知识,考查推理论证水平、运算求 解水平,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.20 .答案：解：(I )假设集合 A={0 , i, 2},那么 S (A) =T (A) ={0 , i, 2, 3, 4} •….(3 分)(n )令 A={Xi, x2,…xn}.不妨设 xi 〈x2<e y xn. 充分性：设{xk}是公差为d (dWQ)的等差数列. 贝U x i +x j =x i + (i-i) d+x i + (j-i) d=2x i + (i+j-2) d (iW, j 而)且2M+jwm.所以x i +x j 共有2n-i 个不同的值.即 d (S (A) ) =2n-i. 必要性：假设 d (S (A) ) =2n-i . 由于 2x i 〈x i +x i+i v 2x i+i, ( i=i, 2,…,n-i).所以 S (A)中有 2n-i 个不同的元素：2x i, 2x 2 ,…,2x n, x i + x 2, x 2+x 3,…,x n-i +x n. 任意x i +x j (iw, j 切)的值都与上述某一项相等.又 x i +x i+i v x i +x i+2V x i+i + x i+2, 且 x i + x i+i V 2x i+i V x i+i +x i+2 , i=i , 2 , …,n-2 . 所以X i +x i+2=2x i+i ,所以{x k }是等差数列,且公差不为 0.….(8分)(出)首先证实：iCA.假设i?A, A 中的元素均大于i,从而i?S (A), 因此 i?T (A) , i?S (T (A)),故 i?T (T (A)),与{i , 2, 3,…,25, 26} ?T (T (A))矛盾,因此i CA. 设A 的元素个数为n, S (A)的元素个数至多为C ： + n,从而T (A),的元素个数至多为 C -+n+n=,f^m. * 2假设n=2,那么T (A)元素个数至多为5,从而T (T (A))的元素个数至多为亨=20, 而T (T (A))中元素至少为 26,因此n>3假设 A 有三个元素,设 A={1 , a2, a 3},且 1va 2〈a3W8,那么 1, 2, a2, a 2+1, a 3, a 3+1, 2a 2, a 2+a 3, 2a 3C T (A),, = «一1) x 2+ 所以 x i +x 2= :(1+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0.直线 北BD: y-y i = 所以由于(x-3),令 y=0,得 x-3=故直线BD 过点(2,0). 综上所述,直线 BD 恒过x 轴上的定点(2, 0)从而1, 2, 3, 47(T (A) ) .假设a2>5, T (T (A))中比4大的最小数为32,那么5?T (T (A)),与题意矛盾,故a2<5.集合T (T (A)).中最大数为4a3,由于26CT (T (A)),故4a3> 26从而a3>7, (i)假设A={1 , a2, 7},且a2<5.此时1, 2, a2, a2+1, 7, 8, 2a2, 7+a2, 14b (A), 那么有8+14=22, 2X14=28CT (T (A)),在22 与28之间可能的数为14+2a2, 21+a2. 此时23, 24, 25, 26不能全在T (T (A)).中,不满足题意. (ii)假设A={1 , 32, 8},且32<5 此时1, 2 , 32 , 32+1, 8 , 9 , 232 , 8+ 32, 16CT (A), 那么有16+9=25 CT (T (A)),假设26 CT (T (A)),那么16+232=26 或16+ (8+32)=26, 解得32=5或32=2 .当A={1 , 2, 8}时,15, 21, 23?T (T (A)).,不满足题意.当A={1 , 2, 8}时,T (T (A) ) ={1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32},满足题意.故元素个数最少的集合A为{1, 5, 8} ....................... ... ( 13分)解析：(I)根据定义直接进行计算即可(n)根据充分条件和必要条件的一结合等差数列的性质进行证实(m )首先证实：1 CA,然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论.此题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用, 综合性强,难度比拟大.不太好理解.。
2020朝阳二模数学试题与答案
高三数学试卷 第1页（共14页）北京市朝阳区高三年级高考练习二数 学 2020.6（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞ (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞（3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数π()sin(2)6f x x，则下列四个结论中正确的是（A）函数()f x的图象关于5π(,0)12中心对称（B）函数()f x的图象关于直线π8x对称（C）函数()f x在区间(π,π)内有4个零点（D）函数()f x在区间π[,0]2上单调递增（8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（A）sin532sin47a（B）2sin47sin53a（C）tan26.5tan73.5tan47a（D）sin26.5sin73.5sin47a（9）在平行四边形ABCD中，π=3∠A，=2AB，1=AD，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足||||||||=BM CNBC CD，则⋅AM AN的最大值为（A）2 （B）4 （C）5 （D）6（第8题图）高三数学试卷第2页（共14页）高三数学试卷 第3页（共14页）（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020届北京市朝阳区高考二模数学模拟试题(文)有答案(已审阅)
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则A B =U （ ） A ．(2]-∞， B ．(1)+∞， C ．(12)， D ．[1)+∞， 2.计算2(1)i -=（ ）A ．2iB ．2i -C ．2i -D ．2i +3.已知x ，y 满足不等式220101x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（ ）A ．1B ．3-C ．1-D ． 72-4.在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ）A ．62+ B ．62- C.6 D ．25.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A ．恒为正B ．恒为负 C.恒为0 D ．无法确定8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．7第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是 ；渐近线方程是 .11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 . 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 ．14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且2AB 1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π，，a ∈R .（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当[0]2x π∈，时，求函数()f x 的最小值.16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17. 年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 侧柏 3200 3600 3300 3900 3500 3300 3900 3600 4100 4000 银杏3400330036003600370042004400370042004200（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =（1）求证：AB ∥平面PDC ；（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.19. 已知椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>3，其左顶点A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标原点）.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20. 已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。
朝阳区2020届高三二模数学试题及答案(word版)
高三数学试卷 第1页（共14页）北京市朝阳区高三年级高考练习二数 学 2020.6（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞U (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞U （3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件高三数学试卷 第2页（共14页）（7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是 （A ）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称 （B ）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称 （C ）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D ）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增 （8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（A ）sin532sin 47a o o （B ）2sin 47sin53a oo （C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a o o o （D ）sin 26.5sin73.5sin 47a o oo（9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=u u u u r u u u ru u ur u u u r BM CN BC CD ，则⋅u u u u r u u u r AM AN 的最大值为 （A ）2（B ）4 （C ）5 （D ）6（第8题图）高三数学试卷 第3页（共14页）（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年北京人大附中朝阳分校九年级(下)数学二模试卷+答案
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（）A．6B．﹣6C．3D．﹣32．（2分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（）A．AF B．BH C．CD D．EC3．（2分）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱4．（2分）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A．面朝上的点数是6B．面朝上的点数是偶数C．面朝上的点数大于2D．面朝上的点数小于25．（2分）下列是一组log o设计的图片（不考虑颜色），其中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间7．（2分）某商场一名业务员12个月的销售额（单位：万元）如下表：则这组数据的众数和中位数分别是（ ）月份（月） 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 销售额（万元） 6.2 9.89.8 7.8 7.2 6.4 9.8 8 7 9.8 10 7.5 A ．10，8 B ．9.8，9.8 C ．9.8，7.9 D ．9.8，8.18．（2分）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ．则下列说法正确的是（ ）A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B ．跑步过程中，两人相遇一次C ．起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D ．乙在跑前300米时，速度最慢二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分解因式：x 3﹣2x 2+x ＝ ．10．（2分）如果分式x 2−4x+2的值为0，那么x 的值为 ．11．（2分）已知，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点（0，2），且y 随x 的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ．12．（2分）某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x 人，依题意，可列方程为 ．13．（2分）若2x 2+3y 2﹣5＝1，则代数式6x 2+9y 2﹣5的值为 ．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣1，3），在经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A ''、B ''的坐标分别为（1，0）、（3，﹣3），则由线段AB 得到线段A 'B '的过程是： ，由线段A 'B '得到线段A ''B ''的过程是： ．15．（2分）如图，⊙O 的半径为2，切线AB 的长为2√3，点P 是⊙O 上的动点，则AP 的长的取值范围是 ．16．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣2，m ）绕坐标原点O 顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（8分）计算：（12）﹣13tan60°﹣|√3−2|． 18．（8分）解不等式x+22−4x−16≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +m ＝0．（1）当m 为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；（2）在（1）的条件下，求方程的根．20．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝﹣2x +b 与x 轴，y 轴分别交于点A(12，0)，B，与反比例函数图象的一个交点为M（a，3）．（1）求反比例函数的表达式；（2）设直线l2：y＝﹣2x+m与x轴，y轴分别交于点C，D，且S△OCD＝3S△OAB，直接写出m的值．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE（1）求证EH＝EC；（2）若AB＝4，sin A=23，求AD的长．22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x＝3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y＝kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．23．（9分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ＝DP，求CE的长．24．（9分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y＝﹣x+2，当x取值a和a+1时，函数值分别为b1＝﹣a+2，b2＝﹣a+1，故b2﹣b1＝﹣1≥k，因此函数y ＝﹣x+2是限减函数，它的限减系数为﹣1．（1）写出函数y＝2x﹣1的限减系数；（2）m＞0，已知y=1x（﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数k＝4，求m的取值范围．（3）已知函数y＝﹣x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y＝﹣x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k≥﹣1，直接写出P点横坐标n的取值范围．。
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷及答案.doc
A．10，8
B．9.8，9.8
C．9.8，7.9
D．9.8，8.1
8．（2 分）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程 S（单位：米）与所用时间 t
（单位：秒）之间的函数图象分别为线段 OA 和折线 OBCD．则下列说法正确的是（ ）
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．跑步过程中，两人相遇一次
A．6
B．﹣6
C．3
D．﹣3
【分析】根据题意表示出 B 点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：B 点对应的数是：a+6，
∵点 A 和点 B 表示的数恰好互为相反数，
∴a+a+6＝0，
解得：a＝﹣3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了数轴以及相反数，正确表示出 B 点对应的数是解题关键．
，
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B，与反比例函数图象的一个交点为 M（a，3）． （1）求反比例函数的表达式；
（2）设直线 l2：y＝﹣2x+m 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D，且 S△OCD＝3S△OAB，直接写
出 m 的值
．
21．（9 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与
第4页（共23页）
24．（9 分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 k，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k 都成立，则称这个函数是限减函数，在所 有满足条件的 k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数 y＝﹣x+2，当 x 取 值 a 和 a+1 时，函数值分别为 b1＝﹣a+2，b2＝﹣a+1，故 b2﹣b1＝﹣1≥k，因此函数 y ＝﹣x+2 是限减函数，它的限减系数为﹣1． （1）写出函数 y＝2x﹣1 的限减系数； （2）m＞0，已知 （﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数 k＝4，求 m 的取 值范围． （3）已知函数 y＝﹣x2 的图象上一点 P，过点 P 作直线 l 垂直于 y 轴，将函数 y＝﹣x2 的图象在点 P 右侧的部分关于直线 l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象， 如果这个新函数是限减函数，且限减系数 k≥﹣1，直接写出 P 点横坐标 n 的取值范围．
2020届北京市朝阳区中考数学二模试卷(有解析)
2020届北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列汽车标志图案中不是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，将0.00519用科学记数法表示应为A. 5.19×10−2B. 5.19×10−3C. 519×10−5D. 519×10−63.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是()A. 青B. 春C. 梦D. 想4.下列各组数中，结果相等的是()A. −22和(−2)2B. 23和32C. −33和(−3)3D. −|−3|和−(−3)5.如图所示，直线AB//CD，∠1=64°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是()A. 32°B. 30°C. 31°D. 35°=()6.已知x2−2x−1=0，那么x2+1x2A. 4B. 5C. 6D. 77.如图是某市某中学八年级(1)班学生参加音乐、美术、体育课外兴趣小组人数的部分条形统计图和扇形统计图，则下列说法错误的是()A. 八年级(1)班参加这三个课外兴趣小组的学生总人数为30人B. 在扇形统计图中，八年级(1)班参加音乐兴趣小组的学生人数所占的圆心角度数为82°C. 八年级(1)班参加音乐兴趣小组的学生人数为6人D. 若该校八年级参加这三个兴趣小组的学生共有200人，那么估计全年级参加美术兴趣小组的学生约有60人8.如图是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的图象，观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在函数y=x−1中，自变量x的取值范围是______ ．2x+310.三角形形内角和为______度，三角形外角和为______度，多边形外角和为______度．11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数的图象的顶点，AB=2，若△ABC是边长为2的等边三角形，则a=______．12.小明在某月历上圈出如图所示的呈十字形的5个数，如果圈出的五个数的和为65，那么其中最大的数为______．13. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =45°，BD 为⊙O 的直径，BD =√2，连结CD ，则CD 的长为______．14. 如图将边长为2的正方形纸片ABCD 沿EF 所在直线折叠，使得点A 恰好落到边BC 的中点G处．则折痕EF 的长等于______．15. 已知y −5与x −2成正比例，且当x =3时，y =2，则y 与x 之间的函数关系式是______．16. 东方商场把进价为200元的商品按标价的八折出售，仍可获利20%，则该商品的标价为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17. (1)计算 − +( )0； (2)(3)求式中的x 值(x −1)3=27. (4)已知：(x +5)2=16，求x ；18. 解不等式组{3(x +1)>x +5x−12≤x 3(要求：画出数轴并根据数轴写不等式的解集)19. 如图1，⊙O的直径BC的长为6，AB与⊙O相切于点B.点D是半圆上一动点．(1)当∠A+2∠C=180°时，请你判断点D是否是直线AD与⊙O的唯一交点，说明理由．(2)如图2，DE⊥AD，交BC于点E.若tan∠CAB=3，EB=2CE.求AD的长．220. 关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)请选择一个方程有根的k值，并求出方程的根．21. 阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF 即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．22. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为4，CF=6，求tan∠CBF．23. 如图，直线l1：y=x与双曲线y=k相交于点A(a,2)，将直线l1向上平移3个单位得到l2，直线l2x与双曲线相交于B、C两点(点B在第一象限)，交y轴于D点．(1)求双曲线y=k的解析式；x(2)求tan∠DOB的值．24. 已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部(如图1)，将半圆O绕点A顺时针旋转α度(0°≤α≤180°)(1)半圆的直径落在对角线AC上时，如图2所示，半圆与AB的交点为M，求AM的长；(2)半圆与直线CD相切时，切点为N，与线段AD的交点为P，如图3所示，求劣弧AP的长；(3)在旋转过程中，半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d，直接写出d的取值范围．25. 某校七年级共有500名学生，准备调查他们对“低碳”知识的了解程度．(1)在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查七年级部分女生；方案二：调查七年级部分男生；方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生．请问其中最具有代表性的一个方案是______．(2)团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图(如图①、图②所示)，请你根据图中信息，将两个统计图补充完整．(3)在扇形统计图中，“比较了解”所在扇形的圆心角的度数是______．(4)请你估计该校七年级约有多少名学生比较了解“低碳”知识？26. 如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，对角线AB所在直线的函x+4．数关系式为：y=−12(1)对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，求线段AM的长；(2)在(1)的条件下，若点P是直线AB上一个动点，当△PAM的面积与长方形AOBC的面积相等时，求点P的坐标．27. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是射线AB上的一个动点，经过B，C，E三点的⊙O交线段DB于点G，EC所在的直线交射线DB于点F．(1)求证：若CG平分∠DCE，则△DCG是等腰三角形；(2)当点E在线段AB上时①若CG=CF，求BE的长；②连接GE，OB，当GE//OB时，取四边形GEBC的一边的两个端点和射线DB上的一点P，若以这三个点为顶点的三角形是直角三角形，且P为锐角顶点，求所有满足条件的BP的值；(3)点E的运动过程中，在GC=GF时，记△CGE的面积为S1，△EBF面积为S2，请直接写出S1的值．S228. 一次函数y=kx+3交x轴于点B，y轴于点A.(如图1)(1)若k=1，求线段AB的长度；(2)如图2，点M、N是直线y=kx+3(k>0)上的两点，设点M、N的横坐标分别为a，b，且a<0，b>0，a+b≠0，过M作直线l1：y=ax和过N作直线l2：y=bx．①求ab的值；②在y轴的负半轴上是否存在一点P，使得∠MPA=∠APN，若存在求出P点坐标；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：A、是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意．故选：B．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析．此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：0.00519用科学记数法表示为5.19×10−3，故选B．3.答案：B解析：解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”是对面；故选：B．根据正方体展开z字型和L型找对面的方法即可求解；本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图找对面的方法是解题的关键．4.答案：C解析：解：A、−22=−4，(−2)2=4，故选项不符合题意；B、23=8，32=9，故选项不符合题意；C、−33=−27，(−3)3=−27，故选项符合题意；D、−|−3|=−3，−(−3)=3，故选项不符合题意；故选：C．A、根据有理数的乘方运算法则计算即可判定；B、根据幂的定义化简即可判定；C、根据幂的定义计算即可判定；D、根据绝对值的定义及相反数的定义即可判定．此题主要考查了绝对值、相反数的定义及有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和法则即可求解．5.答案：A解析：解：∵AB//CD，∴∠EFD=∠1=64°，∵FG平分∠EFD，∴∠DFG=12∠EFD=12×64°=32°，∵AB//CD，∴∠2=∠DFG=32°．故选：A．根据两直线平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根据角平分线的定义求出∠DFG，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠DFG．本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．6.答案：C解析：解：∵当x=0时，x2−2x−1=−1≠0，∴x=0不是方程x2−2x−1=0的解，则方程两边都除以x，得：x−2−1x =0，即x−1x=2，∴(x−1x )2=4，即x2−2+1x2=4，∴x2+1x2=6，故选：C．将x=0代入方程得知方程中x≠0，据此方程两边都除以x得x−1x =2，继而知(x−1x)2=4，展开、移项即可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．7.答案：B解析：根据图表信息，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：A.参加体育的有15人，所占百分比为50%，所以总人数为30人，选项正确；B.参加音乐兴趣小组的学生人数所占的圆心角度数为360°×0.2=72°，选项错误；C.参加音乐兴趣小组的学生人数为30−15−9=6人，选项正确；D.若该校八年级参加这三个兴趣小组的学生共有200人，那么估计全年级参加美术兴趣小组的学生约有200×0.3=60人，选项正确．故选B．8.答案：B解析：解：根据图象可知，分成2段，也就是说着两段的速度不同前慢后快，所以虽然时间用了10分钟，但是所走过的路程不是一半，故③错，其他都对，故选：B．根据图象上特殊点的实际意义即可求出答案．主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9.答案：x≠−32解析：解：由题意得，2x+3≠0，解得x≠−32．故答案为：x≠−32．根据分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10.答案：180 360 360解析：解：三角形形内角和为：180度，三角形外角和为：360度，多边形外角和为360度．故答案为：180，360，360．直接利用三角形内角和定理以及多边形外角和的性质分别分析得出答案．此题主要考查了三角形内角和定理以及多边形外角和的性质，正确掌握相关性质是解题关键．11.答案：√3解析：解：设点A、B的横坐标分别为m、n，则m+n=−ba ，mn=ca，∵AB=2=|m−n|，∴(m−n)2=4，∴m2−2mn+n2=(m+n)2−4mn=(−ba )2−4ca=4，∴b2−4ac=4a2，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴点C到AB的距离为√3，∵a>0，∴点C的纵坐标为−√3，∴4ac−b24a=−√3，∴4ac−b2=−4√3a，∴4a2=4√3a，a=√3，故答案为：√3．设点A、B的横坐标分别为m、n，利用根与系数的关系得：m+n=−ba ，mn=ca，根据AB=2=|m−n|，列式变形后得：b2−4ac=4a2，根据△ABC是边长为2的等边三角形，计算其高为√3，即二次函数顶点的纵坐标为−√3，根据公式列式为4ac−b24a=−√3，可得结论．本题主要考查二次函数与坐标轴的交点及顶点坐标，一元二次方程根与系数的关系，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．12.答案：20解析：解：设五个数中最大的数为x，则另外四个数分别为(x−14)，(x−8)，(x−7)，(x−6)，依题意，得：x−14+x−8+x−7+x−6+x=65，解得：x=20．故答案为：20．设五个数中最大的数为x，则另外四个数分别为(x−14)，(x−8)，(x−7)，(x−6)，根据五个数的和为65，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及钟面角，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．13.答案：1解析：本题考查的是圆周角定理和等腰直角三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理求出∠D和∠BCD的度数，得到△BCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质计算即可．解：∵∠A=45°，∴∠D=∠A=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，又BD=√2，∴CD=1，故答案为1．14.答案：√5解析：解：连接AG，过点F作FH//AD，则四边形AFHD为矩形；∴FH=AD=AB；∵AG⊥EF，FH//AD，∴∠BAG+∠AFE=90°，∠AFE+∠EFH=90°，∴∠BAG=∠EFH；在△ABG与△FHE中，{∠BAG=∠EFH AB=FH∠ABG=∠EHF，∴△ABG≌△FHE(ASA)∴AG=EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABG=90°；由勾股定理得：AG2=22+(2÷2)2=5，∴AG=√5，∴折痕EF的长等于√5．故答案为：√5．连接AG，过点F作FH//AD，证明Rt△ABG≌Rt△FHE，根据全等三角形的性质得到EF=GA，根据勾股定理即可求出AG的长，从而求解．本题考查了全等三角形的判定及其性质、勾股定理、对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．15.答案：y=−3x+11解析：解：设y−5=k(x−2)(k≠0)，即y=kx+5−2k，将x=3、y=2代入，得：3k+5−2k=2，解得：k=−3，∴y与x之间的函数关系式是y=−3x+11．故答案为：y=−3x+11．设y−5=k(x−2)(k≠0)，即y=kx+5−2k，将x、y的值代入，求解得出k的值即可；本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，根据所给的条件利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．16.答案：300元解析：此题考查一元一次方程的应用，属于基础题，根据利例利润为20%得出方程是关键，难度一般．设标价为x元，则售价为80%x，根据获利20%，可得出方程，解出即可．解：设该商品的标价为x元，则售价为0.8x元，根据题意得：0.8x−200=200×20%，解得：x=300，即标价为300元．故答案为300．17.答案：解：(1)原式=|−2|−3+1=2−3+1=0；(2)原式=−4+1+2−=−1−； (3)开立方得：x −1=3;解得：x =4.(4)开平方得：x +5=±4 解得：. 解析：(1)根据实数的运算法则：先算开方与零指数幂，再算加减即可；(2)根据实数的运算法则：先算负整数指数幂、零指数幂与绝对值，再算加减即可；(3)先把方程两边同时开立方，得到一个一元一次方程，解此方程即可；(4)先把方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可．18.答案：解：{3(x +1)>x +5①x−12≤x 3② ∵解不等式①得：x >1，解不等式②得：x ≤2，在数轴上表示为：∴不等式组的解集为1<x ≤2．解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和再数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19.答案：解：(1)点D是直线AD与⊙O的唯一交点．理由如下：如图1，连接OD，∵∠DOB=2∠C，∠A+2∠C=180°，∴∠A+∠BOD=180°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠B=90°，∴∠ADO=90°，∴AD与⊙O相切，∴点D是直线AD与⊙O的唯一交点；(2)如图2，连接AE、BD、DC，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠B=90°，∵tan∠CAB=32，BC=6，∴AB=4，∵EB=2CE，∴BE=4，CE=2，∴AE=4√2，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∵∠ADE=90°，∴∠ABD=∠CDE，∵∠ABD+∠DBC=90°，∠DCE+∠DBC=90°，∴∠ABD=∠DCE，∴△DCE∽△DAB，∴DEAD =CEAB=24=12，∴AD=2DE，在RT△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴(4√2)2=(2DE)2+DE2，∴DE=45√10，∴AD=2DE=85√10．解析：(1)连接OD，证明AD与⊙O相切，即可得出结论；(2)连接AE、BD、DC，根据题意求得BE=4，CE=2，AE=4√2，根据圆周角定理求得∠BDC=90°，进而求得∠ABD=∠CDE，然后证得△DCE∽△DAB，得出DEAD =CEAB=24=12，得出AD=2DE，然后根据勾股定理即可求得．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，(2)证得三角形相似是解题的关键．20.答案：解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴(−3)2−4k>0，即−4k>−9，解得k<94；(2)当k=0时，原方程为x2−3x=0，解得：x1=0，x2=3．解析：(1)因为方程有两个不相等的实数根，△>0，由此可求k的取值范围；(2)在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．21.答案：解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．(2)此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF．易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．(3)此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：L1=2Sa +2a,L2=2Sb+2b,L3=2Sc+2c，∴L1−L2=(2Sa +2a)−(2Sb+2b)=−2Sab(a−b)+2(a−b)=2(a−b)·ab−Sab，而ab>S，a>b，∴L1−L2>0，即L1>L2，同理可得，L2>L3，∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．解析：本题考查的是新定义的问题，理解题中的新定义，能够根据定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用求差法比较数的大小．(1)类似“友好矩形”的定义，即可写出“友好平行四边形”的定义：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”；(2)根据定义，则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边，过第三个顶点作它的对边，从而画出矩形．根据每个矩形和直角三角形的面积的关系，比较两个矩形的面积大小；(3)分别以三角形的一边当矩形的另一边，过第三个顶点作矩形的对边，从而画出矩形，根据三角形和矩形的面积公式，可知三个矩形的面积相等，设矩形的面积是S，三角形的三条边分别是a，b，c.根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边，进一步求得其周长，运用求差法比较它们的周长的大小．22.答案：(1)证明：连接AE，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB =AC ，∴2∠1=∠CAB ．∵∠BAC =2∠CBF ，∴∠1=∠CBF∴∠CBF +∠2=90°即∠ABF =90°∵AB 是⊙O 的直径，∴直线BF 是⊙O 的切线；(2)解：过C 作CH ⊥BF 于H ，∵AB =AC ，⊙O 的直径为4，∴AC =4，∵CF =6，∠ABF =90°，∴BF =√AF 2−AB 2=√102−42=2√21，∵∠CHF =∠ABF ，∠F =∠F ，∴△CHF∽△ABF ，∴CH AB =CF AF ， ∴CH 4=64+6， ∴CH =125，∴HF =√CF 2−CH 2=√62−(125)2=6√215， ∴BH =BF −HF =2√21−6√215=4√215， ∴tan∠CBF =CH BH =1254√215=√217． 解析：(1)连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF =90°，于是得到结论；(2)过C 作CH ⊥BF 于H ，根据勾股定理得到BF =√AF 2−AB 2=√102−42=2√21，根据相似三角形的性质得到CH =125，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点、正确的作出辅助线是解题的关键．23.答案：解：(1)∵A(a,2)是y =x 与y =kx 的交点，∴A(2,2)，把A(2,2)代入y =kx ，得k =4， ∴双曲线的解析式为y =4x ；(2)∵将l 1向上平移了3个单位得到l 2， ∴l 2的解析式为y =x +3， ∴解方程组{y =4x y =x +3，得{x 1=−4y 1=−1，{x 2=1y 2=4， ∴B (1,4)， ∴tan∠DOB =14．解析：(1)由点A(a,2)在直线y =x 上可知a =2，再代入y =kx 中求k 的值即可；(2)将l 1向上平移了3个单位得到l 2的解析式为y =x +3，联立l 2与双曲线解析式求交点B 坐标，根据B 点坐标，利用锐角三角函数定义求解．本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数图象与几何变换，锐角三角函数定义．关键是根据y =x 求点的坐标，根据点的坐标及平移规律，求函数解析式，再根据函数解析式求交点坐标．24.答案：解：(1)在图2中，连接B′M ，则∠B′MA =90°．在Rt △ABC 中，AB =4，BC =3， ∴AC =5．∵∠B =∠B′MA =90°，∠BCA =∠MAB′， ∴△ABC∽△AMB′， ∴AM AB=AB′AC，即AM 4=45，∴AM =165．(2)在图3中，连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G．∵半圆与直线CD相切，∴ON⊥DN，∴四边形DGON为矩形，∴DG=ON=2，∴AG=AD−DG=1．在Rt△AGO中，∠AGO=90°，AO=2，AG=1，∴∠AOG=30°，∠OAG=60°．又∵OA=OP，∴△AOP为等边三角形，∴AP⏜=60×π×4360=23π.(3)由(2)可知：△AOP为等边三角形，∴DN=GO=√32OA=√3，∴CN=CD+DN=4+√3．当点B′在直线CD上时，如图4所示．在Rt△AB′D中(点B′在点D左边)，AB′=4，AD=3，∴B′D=√AB′2−AD2=√7，∴CB′=4−√7．∵AB′为直径，∴∠ADB′=90°，∴当点B′在点D右边时，半圆交直线CD于点D、B′．∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时，4−√7≤d<4或d=4+√3．解析：(1)连接B′M，则∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根据相似三角形的性质可求出AM的长度；(2)连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G，则四边形DGON为矩形，进而可得出DG、AG的长度，在Rt△AGO中，由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°，进而可得出△AOP为等边三角形，再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长；(3)由(2)可知：△AOP为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OG、DN的长度，进而可得出CN的长度，画出点B′在直线CD上的图形，在Rt△AB′D中(点B′在点D左边)，利用勾股定理可求出B′D的长度进而可得出CB′的长度，再结合图形即可得出：半圆弧与直线CD只有一个交点时d的取值范围．本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及切线的性质，解题的关键是：(1)利用相似三角形的性质求出AM的长度；(2)通过解直角三角形找出∠OAG=60°；(3)依照题意画出图形，利用数形结合求出d的取值范围．25.答案：方案三108°解析：解：(1)根据抽样调查的意义和方法，可得方案三具有代表性，故答案为：方案三；(2)5÷10%=50人，50−5−15=30人，30÷50=60%，15÷50=30%，补全两个统计图如图所示：(3)360°×30%=108°；故答案为：108°；(4)根据题意得：500×30%=150(名)答：该校七年级约有150名学生比较了解“低碳”知识．(1)根据抽样调查的意义和取样要求进行选择，(2)计算出“比较了解”“了解一点”的人数和百分比，即可补全两个统计图；(3)“比较了解”占30%，因此圆心角占360°的30%，可求出度数；(4)样本估计总体，样本中，“比较了解”的占30%，估计总体500人中有30%的对低碳知识“比较了解”．考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．26.答案：解：(1)对于y=−12x+4，当y=0时，x=8，当x=0时，y=4，∴点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(8,0)，即OA=4，OB=8，∵MN是AB的垂直平分线，∴MA=MB，在Rt△AOM中，OA2+OM2=AM2，即42+(8−AM)2=AM2，解得，AM=5；(2)长方形AOBC的面积=4×8=32，设点P的纵坐标为y，当点P在第二象限时，12×5×|y|−12×5×4=32，解得，y=845，当y=845时，845=−12x+4解得，x=−1285，当点P在第四象限时，−12×5×y+12×5×4=32，解得，y=−445，当y=−445时，−445=−12x+4解得，x=1285，则点P的坐标为(1285,−445)或(−1285,845).解析：(1)求出直线与坐标轴的交点，得到OA、OB的长，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MB，根据勾股定理计算即可；(2)求出长方形AOBC的面积，设点P的纵坐标为y，根据题意列出方程，解方程即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，掌握直线与坐标轴的交点的求法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD//AB，∴∠CDG=∠EBG，∵∠EBG=∠FCG，∴∠CDG=∠FCG，∵CG平分∠DCE，∴∠DCG=∠FCG，∴∠CDG=∠DCG，∴DG=CG，∴△DCG是等腰三角形；(2)①∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，∴CD=AB=8，BD=√AB2+AD2=10，∵CG=CF，∴∠CGF=∠CFG，∵∠CGF=∠BEF，∠CFG=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵CD//AB，∴∠DCF=∠BEF，∴∠DCF=∠CFD，∴DF=DC=8，∴BF=BD−DF=10−8=2，∴BE=2；②∵GE//OB，∴∠EGB=∠OBG，当点P与点D重合时，如图1，△PCB是直角三角形，BP=BD=10；当PE⊥BE时，△PEB是直角三角形，如图2，∵∠GCE=∠DBA∴tan∠GCE=tan∠DBA=GEGC=DAAB=68∴设GE=6x，GC=8x，∴CE=√GC2+GE2=10x，∴OB=OE=OC=5x∵GE//OB∴OBGE =OFFE=56，且OE=5x，∴OF=2511x，EF=30x11∴CF=8011x∵PE⊥BE，BC⊥AB∴PE//BC∴BC=CF即6PE =83∴PE=94∵∠DBA=∠PBE，∠PEB=∠DAB=90°∴△DAB∽△PEB∴BPBD=PEDA∴BP10=946∴BP=15 4③当△CGP是直角三角形，∠GCP=90°时，如图3，∵∠EGB=∠OBG，∠GBC=∠GEC∴∠EOB=∠GBC∵CO=BO∴∠OCB=∠OBC∵∠EOB=∠OBC+∠OCB=2∠OBC=2∠OCB，∴∠GBC=2∠OBC=2∠OCB，∵∠CEB+∠OCB=90°，∠CGP+∠CPG=90°，且∠CGB=∠CEB ∴∠OCB=∠CPG，∵∠GBC=∠BCP+∠CPG=2∠OBC=2∠OCB，∴∠BCP=∠OBC=∠OCB=∠BPC∴CB=BP=6④△GEP是直角三角形，∠GEP=90°时，如图4∵∠GCE=∠DBA∴tan∠GCE=tan∠DBA=GEGC=DAAB=68∴设GE=6x，GC=8x，∴CE=√GC2+GE2=10x，∴OB=OE=OC=5x∵GE//OB∴OBGE =OFFE=56，且OE=5x，∴OF=2511x，EF=30x11∴CF=8011x∵∠CGE+∠GEP=90°+90°=180°∴GC//EP∴GCEP=CFEF=83∴EP=3x∵∠EGB=∠ECB，∠CBE=∠GEP=90°∴△GEP∽△CBE∴∠GPE=∠CEB，PEGE =BEBC即3x6x =BE6∴BE=3∵∠CBE=∠GEP=90°，且∠GEC=∠GBC∴∠PEF=∠PBE∵OE=OB∴∠OEB=∠OBE，∴∠OBF=∠PEB=∠BCE=∠EGB ∵∠PEB=∠EGB，∠EBP=∠EBG∴△EPB∽△BEG∴BEBG=BPBE=PEGE=3x6x ∴3BG=BP3=12∴BP=32(3)如图5，过点G作GM⊥CF，过点F作FN⊥BE，∵∠GCE =∠GBE =∠ABD ， ∴tan∠ABD =tan∠GCE =GE CG=ADAB =68∴设GE =6x ，GC =8x ， ∴CE =√GC 2+GE 2=10x ，∵S △CGE =12×CG ×GE =12×CE ×GM =24x 2，∴GM =245x ∴CM =√BC 2−GM 2=325x ，ME =√GE 2−GM 2=185x ，∵GC =GF ，GM ⊥CF ∴CM =MF =325x ，∠GCF =∠GFC∴EF =MF −ME =145x ，∠GCF =∠GFC =∠EBF∴BE =FE =145x ，∵CE 2=BE 2+BC 2，∴100x 2=19625x 2+36 ∴x =58∴CE =254，EF =74 ∵CB//FN ∴BC NF =CE EF =25474=257∴NF =4225∵S1=24×(58)2=758S2=12×74×4225=147100∴S1S2=62598解析：(1)由角平分线性质和圆周角定理可得∠CDG=∠DCG，可得DG=CG；(2)①由等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠CGF=∠CFG=∠BFE=∠BEF=∠DCF，可得DC= DF=8，BE=BF，即可求BE的长；②分四种情况讨论，由勾股定理和相似三角形的性质可求BP的值；(3)设GE=6x，GC=8x，通过勾股定理和等腰三角形的性质求出x的值，分别求出S1，S2的值，即可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．28.答案：解：(1)当k=1时，直线AB的解析式为y=x+3，令x=0，则y=3，∴A(0,3)，令y=0，则x+3=0，∴x=−3，∴B(−3,0)，∴AB=3√2；(2)①∵直线y=ax过点M，∴M(a,a2)，∵直线y=bx过点N，∴N(b,b2)，∵点M、N是直线y=kx+3(k>0)上的两点，∴a2=ak+3①，b2=bk+3②，①−②得，(a−b)k=(a+b)(a−b)，∵a<0，b>0，a+b≠0，∴k=a+b，∴直线AB的解析式为y=(a+b)x+3，∵M(a,a2)在直线AB上，∴a2=a(a+b)+3，∴ab=−3；②如图2，作点M(a,a2)关于y轴的对称点M′，∴M′(−a,a2)，∵∠APM=∠APN，∴点P，M′，N在同一条直线上，∵M′(−a,a2)，N(b,b2)，∴直线M′N的解析式为y=(b−a)x+ab，由①知，ab=−3，∴直线M′N的解析式为y=(b−a)x−3，令x=0，∴y=−3，∴P(0,−3)．解析：(1)先求出点A，B坐标，即可求出AB的长；(2)①先将点M，N的横坐标分别代入直线l1，l2中，确定出点M，N的坐标，再代入直线MN的解析式中，求出k，最后将点M的坐标代入直线MN的解析式中，即可得出结论；②先找出点M关于y轴的对称点M′的坐标，结合点N的坐标求出M′N的解析式，即可求出点P的坐标．此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，解方程组的方法，求出ab是解本题的关键，根据直线M′N的解析式求出点P的坐标是解本题的难点．。
【6月朝阳区高三二模数学】2020年6月北京市朝阳区高三年级高考练习(二)数学试卷含答案
（5）直线 l 过抛物线 y2 2x 的焦点 F ，且 l 与该抛物线交于不同的两点 A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ．若 x1 x2 3 ，
则弦 AB 的长是 （A） 4
（B） 5
（C） 6
（D） 8
（6）设等差数列{an} 的公差为 d ，若 bn 2an ，则“ d 0 ”是“{bn} 为递减数列”的
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（2）函数
f
x
ln x x 1
的定义域为
(A) (0, )
(B) (0,1) (1, )
(C) [0, )
（3）若 a ， b ， c R 且 a b c ，则下列不等式一定成立的是
(D) [0,1) (1, )
（A） ac2 bc2
（C）函数 f (x) 在区间 (- π, π) 内有 4 个零点
（D）函数 f (x) 在区间[- π ,0] 上单调递增 2
（8）圭表（如图 1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标 竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照
（第 8 题图）
（A）
a sin 2 sin
53o 47o
（B）
2 sin a sin
47o 53o
（C）
a
tan
26.5o tan tan 47o
73.5o
（D）
a
sin
26.5o sin sin 47o
73.5o
（9）在平行四边形 ABCD 中， A = π ， AB = 2 ， AD 1，若 M ， N 分别是边 BC ， CD 上的点，且
北京市朝阳区2020届高三二模数学试题及答案
北京市高考模拟北京市朝阳区高三年级高考练习二数 学 2020.6（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞U (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞U （3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件北京市高考模拟（7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是 （A ）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称（C ）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D ）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增 （8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（A ）sin532sin 47a o o （B ）2sin 47sin53a oo （C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a o o o （D ）sin 26.5sin73.5sin 47a o oo（9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=u u u u r u u u ru u u r u u u r BM CN BC CD ，则⋅u u u u r u u u r AM AN 的最大值为 （A ）2（B ）4 （C ）5 （D ）6（第8题图）北京市高考模拟（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．3的相反数是（）A．B．3C．D．﹣32．如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长D．线段PD的长度3．方程组的解是（）A．B．C．D．4．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．如果x2+x＝3，那么代数式（x+1）（x﹣1）+x（x+2）的值是（）A．2B．3C．5D．66．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：会员卡类型办卡费用/元有效期优惠方式A类401年每杯打九折B类801年每杯打八折C类1301年一次性购买2杯，第二杯半价例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员卡B．购买B类会员卡C．购买C类会员卡D．不购买会员卡8．在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则x的值为．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为m．11．如图的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：．12．如表显示了用计算机模拟随机拋掷一枚硬币的某次实验的结果．抛掷次数n300500700900110013001500170019002000“正面向上”的次数m1372333354415446507498529461004“正面向上”的频率0.4570.4660.4790.4900.4950.5000.4990.5010.4980.502估计此次实验硬币“正面向上”的概率是．13．若点A（4，﹣3），B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为．14．如图1，将矩形ABCD和正方形EFCH分别沿对角线AC和EG剪开，拼成如图2所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为．15．甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如表：甲164164165165166166167167乙163163165165166166168168两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是．（填“甲”或“乙”）16．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，毎小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题每小题5分）17．计算：4cos45°+（﹣1）0﹣+|﹣2|．18．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP；③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BQ，∵PQ＝，BQ＝，∴四边形PABQ是平行四边形（）（填推理依据）．∴PQ∥l．20．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的b，c 的值，并求此时方程的根．21．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．（1）求证：AF＝CE；（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．22．为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A项指标成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）：b．A项指标成绩在7≤x＜8这一组的是：7.2，7.3，7.5，7.67，7.7，7.71，7.75，7.82，7.86，7.9，7.92，7.93，7.97．c．A，B两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数A项指标成绩7.37m8.2B项指标成绩7.217.38根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是（填“A“或“B”），理由是；（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，tan E＝，求CD的长．24．如图，AB是半圆的直径，P是半圆与直径AB所围成的图形的外部的一定点，D是直径AB上一动点，连接PD并延长，交半圆于点C，连接AC，BC．已知AB＝6cm，设A，D两点之间的距离为xcm，A，C两点之间的距离为y1cm，B，C两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照如表自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm00.47 1.31 5.02 5.916y2/cm6 5.98 5.86 5.26 3.29 1.060（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ABC有一个角的正弦值为时，AD的长约为cm．25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣kx+2与x轴交于点C．（1）求点B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为G．①当k＝2时，结合函数图象，求区域G内整点的个数；②若区域G内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．（1）求c的值；（2）当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若抛物线y＝ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．已知直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙O的半径为1．（1）若b＝2，①求d（B，⊙O）的值；②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．3的相反数是（）A．B．3C．D．﹣3【分析】根据相反数的定义即可求解．解：3的相反数是：﹣3．故选：D．2．如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长D．线段PD的长度【分析】按照平行线间的距离的定义即可得出答案．解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度．观察图形可得PB为直线l1∥l2之间的垂线段．故选：B．3．方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：，①+②得：3x＝6，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为，故选：A．4．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选B．5．如果x2+x＝3，那么代数式（x+1）（x﹣1）+x（x+2）的值是（）A．2B．3C．5D．6【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而把已知代入得出答案．解：（x+1）（x﹣1）+x（x+2）＝x2﹣1+x2+2x＝2x2+2x﹣1＝2（x2+x）﹣1，∵x2+x＝3，∴原式＝2×3﹣1＝5．故选：C．6．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：D．7．某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：会员卡类型办卡费用/元有效期优惠方式A类401年每杯打九折B类801年每杯打八折C类1301年一次性购买2杯，第二杯半价例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员卡B．购买B类会员卡C．购买C类会员卡D．不购买会员卡【分析】设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x＝75、85代入计算，比较大小得到答案．解：设一年内在便利店购买咖啡x次，购买A类会员年卡，消费费用为40+2×（0.9×10）x＝（40+18x）元；购买B类会员年卡，消费费用为80+2×（0.8×10）x＝（80+16x）元；购买C类会员年卡，消费费用为130+（10+5）x＝（130+15x）元；把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡．故选：C．8．在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断．解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；故①正确，∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与70%之间，∴不能确定哪个年级的优秀率大，故②错误；∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间．∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．故③正确．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则x的值为1．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解可得．解：∵分式的值为0，∴1﹣x＝0且x≠0，∴x＝1，故答案为：1．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为14m．【分析】直接利用同一时刻物体影长与实际高度比值相同进而得出答案．解：设这根旗杆的高度为xm，根据题意可得：＝，解得：x＝14．即这根旗杆的高度为14m．故答案为：14．11．如图的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：m（a+b）＝ma+mb．【分析】根据矩形的面积公式，利用大矩形的面积等于两个小矩形的面积和即可写出一个正确的等式．解：根据图形可得：m（a+b）＝ma+mb．故答案为：m（a+b）＝ma+mb．12．如表显示了用计算机模拟随机拋掷一枚硬币的某次实验的结果．抛掷次数n300500700900110013001500170019002000“正面向上”的次数1372333354415446507498529461004 m“正面向上”的频率0.4570.4660.4790.4900.4950.5000.4990.5010.4980.502【分析】用大量重复试验事件发生的频率的稳定值估计概率即可．解：观察表格发现：随着试验次数的增多，“正面向上”的频率逐渐稳定在常数0.500附近，所以估计此次实验硬币“正面向上”的概率是0.500，故答案为：0.500．13．若点A（4，﹣3），B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为﹣6．【分析】设反比例函数解析式为y＝，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝4×（﹣3）＝2m，然后解关于m的方程即可．解：设反比例函数解析式为y＝，根据题意得k＝4×（﹣3）＝2m，解得m＝﹣6．故答案为﹣6．14．如图1，将矩形ABCD和正方形EFCH分别沿对角线AC和EG剪开，拼成如图2所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为15．【分析】根据正方形的面积公式求得正方形EFCH和正方形KRST的边长，再根据线段的和差关系可求矩形ABCD的长和宽，再根据矩形的面积公式即可求解．解：∵正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1，∴正方形EFCH和正方形KRST的边长分别是4和1，则矩形ABCD的面积为（4+1）×（4﹣1）＝15．故答案为：15．15．甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如表：甲164164165165166166167167乙163163165165166166168168两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是甲．（填“甲”或“乙”）【分析】先算出两组数据的平均数，再计算两组数据的方差．解：甲组演员身高的平均数为：（164×2+165×2+166×2+167×2）＝165.5，乙组演员身高的平均数为：（163×2+165×2+166×2+168×2）＝165.5，∵＝[（164﹣165.5）2+（164﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（167﹣165.5）2+（167﹣165.5）2]＝（2.25+2.25+0.25+0.25+0.25+0.25+2.25+2.25）＝1.25；＝[（163﹣165.5）2+（163﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（168﹣165.5）2+（168﹣165.5）2]＝（6.25+6.25+0.25+0.25+0.25+0.25+6.25+6.25）＝3.25；∴甲组芭蕾舞团演员身高的方差较小．故答案为：甲．16．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形．所有正确结论的序号是①②④．【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．∵PQ垂直平分线段MN，∴PM＝PN，QM＝QN，∵四边形ABCD是正方形，∴PAN＝∠QAN＝45°，∴∠APQ＝∠AQP＝45°，∴AP＝AQ，∴AC垂直平分线段PQ，∴MP＝MQ，∴四边形PMQN是菱形，在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，∴①③④正确，故答案为①③④．三、解答题（本题共68分，第17-22题，毎小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题每小题5分）17．计算：4cos45°+（﹣1）0﹣+|﹣2|．【分析】先计算立方根、零指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．解：原式＝4×+1﹣2+2＝2+1﹣2+2＝3．18．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．解：解不等式4（x+1）≤2x+6，得：x≤1，解不等式x﹣3＜，得：x＜2，则不等式组的解集为x≤1，所以不等式组的非负整数解为0、1．19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP；③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BQ，∵PQ＝AB，BQ＝AP，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理依据）．∴PQ∥l．【分析】（1）根据尺规作图过程即可补全图形；（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可完成证明．解：（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：连接BQ，∵PQ＝AB，BQ＝AP，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴PQ∥l．故答案为：AB，AP，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．20．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的b，c 的值，并求此时方程的根．【分析】利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4c＝0，设b＝2，c＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．解：答案不唯一，∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4c＝0，若b＝2，c＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．21．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．（1）求证：AF＝CE；（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．【分析】（1）证明△DAF≌△BCE（ASA），即可得出结论；（2）证明∠CAB＝∠DCA，得出AF＝4，可得出∠FAC＝∠DCA，则FC＝AF＝4，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，∵∠DAF＝∠BCE，∴△DAF≌△BCE（ASA），∴AF＝CE；（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵CE＝4，∴AF＝4，∵AC平分∠FAE，∴∠FAC＝∠CAB，∴∠FAC＝∠DCA，∴FC＝AF＝4，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝2，∴CD＝6．22．为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A项指标成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）：b．A项指标成绩在7≤x＜8这一组的是：7.2，7.3，7.5，7.67，7.7，7.71，7.75，7.82，7.86，7.9，7.92，7.93，7.97．c．A，B两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数A项指标成绩7.37m8.2B项指标成绩7.217.38根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是B（填“A“或“B”），理由是该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名；（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．【分析】（1）根据频数分布直方图可得表中m的值：3+8+6＝17，再从A项指标成绩在7≤x＜8这一组的数据中数到第25、26个数是7.82和7.86，进而可得m的值；（2）根据B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名，进而可以判断；（3）根据题意可得，在样本中，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是29，进而可以估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为290家．解：（1）m＝（7.82+7.86）÷2＝7.84；（2）该企业成绩排名更靠前的指标是B，理由是：该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名；故答案为：B，该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名；（3）根据题意可知：在样本中，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是29，因为×500＝290．所以估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为290家．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，tan E＝，求CD的长．【分析】（1）如图，连接OD，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠DOC＝90°，由切线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠E＝∠ACB，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵AD＝CD，∴∠DOC＝90°，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠DOC+∠ODE＝180°，∴DE∥AC；（2）解：∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝8，tan∠ACB＝，∴AC＝10，∵∠ADC＝90°，AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AC＝5．24．如图，AB是半圆的直径，P是半圆与直径AB所围成的图形的外部的一定点，D是直径AB上一动点，连接PD并延长，交半圆于点C，连接AC，BC．已知AB＝6cm，设A，D两点之间的距离为xcm，A，C两点之间的距离为y1cm，B，C两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照如表自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm00.47 1.31 2.88 5.02 5.916y2/cm6 5.98 5.86 5.26 3.29 1.060（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ABC有一个角的正弦值为时，AD的长约为 2.52或4.51cm．【分析】（1）利用图象法解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）由题意BC＝2或AC＝2，利用图象法判断出y＝2时，x的值即可．解：（1）故答案为2.88．（2）函数图象如图所示：（3）∵△ABC有一个角的正弦值为，∴AC＝2或BC＝2，如图当y＝2时，x＝2.52或4.51．故答案为2.52或4.51．25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣kx+2与x轴交于点C．（1）求点B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为G．①当k＝2时，结合函数图象，求区域G内整点的个数；②若区域G内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据函数解析式即可得到结论；（2）①当k＝2时，根据函数解析式得到A（﹣1，0），C（2，0），结合函数图象即可得到结论；②结合函数图象，即可得到结论．解：（1）∵直线l1：y＝kx+2（k＞0）与y轴交于点B，∴当x＝0时，y＝2，∴点B的坐标为（0，2）；（2）①当k＝2时，直线l1：y＝2x+2，直线l2：y＝﹣kx+2，∴A（﹣1，0），C（2，0），结合函数图象，区域G内整点的个数为1；②若区域G内恰有2个整点，k的取值范围为1≤k＜2．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．（1）求c的值；（2）当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若抛物线y＝ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的解析式即可得到结论；（2）把a＝2代入抛物线解析式即可得到结论；（3）当a＞0时，①当a＝2时，如图1，抛物线与AB只有一个交点；②当a＝1+时，如图2，抛物线与线段AB有两个交点，当a＜0时，抛物线与线段AB只有一个交点或没有交点，于是得到结论．解：（1）∵抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2），∴c的值为2；（2）当a＝2时，抛物线为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，∴抛物线顶点的坐标为（﹣1，0）；（3）当a＞0时，①当a＝2时，如图1，抛物线与AB只有一个交点；②当a＝1+时，如图2，抛物线与线段AB有两个交点，结合函数图象可知：2＜a≤1+；当a＜0时，抛物线与线段AB只有一个交点或没有交点，综上所述，a的取值范围为2＜a≤1+．27．已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP ＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：如图1中，∵∠MBN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．理由：在射线PA设取一点G，使得PG＝OM，连接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．已知直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙O的半径为1．（1）若b＝2，①求d（B，⊙O）的值；②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围．【分析】（1）①直接利用圆外一点到圆上的一点的最大距离，即可得出结论；②先判断出OC⊥AB时，OC最短，即可得出结论；（2）Ⅰ、当b＞0时，当直线AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小，当点E恰好在点D时，d（E，⊙O）最大，即可得出结论；Ⅱ、当b＜0时，同Ⅰ的方法即可得结论．解：（1）如图1，∴B（0，2），∴d（B，⊙O）＝2+1＝3；②过点O作OC⊥AB于C，此时，直线上的点C到点O的距离最小，即d（C，⊙O）取最小值，∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝2，∴A（2，0），∴OA＝2，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），∴OB＝2，根据勾股定理得，AB＝＝4，∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OC，∴OC＝＝，∴d（C，⊙O）的最小值为+1；（2）Ⅰ、当b＞0时，如图2，针对于直线y＝﹣x+b（b≠0），令x＝0，则y＝b，∴B（0，b），∴OB＝b，令y＝0，则0＝﹣x+b，∴x＝b，∴A（b，0），则AB＝2b，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，由旋转知，AD＝AB＝2b，∠BAD＝120°，连接OD，过点D作DE⊥x轴于E，∴∠DAE＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴DE＝b，AE＝b，∴OD＝＝b，∵⊙O的半径为1，∴当线段AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小＝2，同（1）的方法得，OF＝＝1，∴b＝（舍去负值），对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，∴b＜6﹣1，∴b＜，即≤b＜；Ⅱ、当b＜0时，如图3，同Ⅰ的方法得，﹣＜b≤﹣，综上述，﹣＜b≤﹣或≤b＜．。
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣32．（2分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（）A．AF B．BH C．CD D．EC3．（2分）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱4．（2分）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于25．（2分）下列是一组log o设计的图片（不考虑颜色），其中不是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．6．（2分）一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间7．（2分）某商场一名业务员12个月的销售额（单位：万元）如下表：则这组数据的众数和中位数分别是（ ）月份（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 销售额（万元）6.2 9.8 9.87.8 7.2 6.4 9.8 87 9.8 10 7.5 A ．10，8 B ．9.8，9.8 C ．9.8，7.9 D ．9.8，8.18．（2分）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ．则下列说法正确的是（ ）A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B ．跑步过程中，两人相遇一次C ．起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D ．乙在跑前300米时，速度最慢二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分解因式：x 3﹣2x 2+x ＝ ．10．（2分）如果分式x 2−4x +2的值为0，那么x 的值为 ．11．（2分）已知，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点（0，2），且y 随x 的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ．12．（2分）某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x 人，依题意，可列方程为 ．13．（2分）若2x 2+3y 2﹣5＝1，则代数式6x 2+9y 2﹣5的值为 ．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣1，3），在经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A ''、B ''的坐标分别为（1，0）、（3，﹣3），则由线段AB 得到线段A 'B '的过程是： ，由线段A 'B '得到线段A ''B ''的过程是： ．15．（2分）如图，⊙O 的半径为2，切线AB 的长为2√3，点P 是⊙O 上的动点，则AP 的长的取值范围是 ．16．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣2，m ）绕坐标原点O 顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（8分）计算：（12）﹣1√3−tan60°﹣|√3−2|．18．（8分）解不等式x+22−4x−16≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0．（1）当m为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；（2）在（1）的条件下，求方程的根．20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于点x(12，0)，B，与反比例函数图象的一个交点为M（a，3）．（1）求反比例函数的表达式；（2）设直线l2：y＝﹣2x+m与x轴，y轴分别交于点C，D，且S△OCD＝3S△OAB，直接写出m的值．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE（1）求证EH＝EC；（2）若AB＝4，sin A=23，求AD的长．22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x＝3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y＝kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．23．（9分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D 与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ＝DP，求CE的长．24．（9分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y＝﹣x+2，当x取值a和a+1时，函数值分别为b1＝﹣a+2，b2＝﹣a+1，故b﹣b1＝﹣1≥k，因此函数y＝﹣x+2是限减函数，它的限减系数为﹣21．（1）写出函数y＝2x﹣1的限减系数；（﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数k＝4，（2）m＞0，已知x=1x求m的取值范围．（3）已知函数y＝﹣x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y＝﹣x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k≥﹣1，直接写出P点横坐标n的取值范围．2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．D； 2．A； 3．B； 4．C； 5．A； 6．B； 7．C； 8．C；二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．x（x﹣1）2；10．2；11．答案不唯一如：y＝﹣x+2；12．x+（2x ﹣30）＝600； 13．13；14．向右平移4个单位长度；绕原点顺时针旋转90°； 15．2≤AP≤6；16．2.5≤m≤3；三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.；18．x≤1；19．m＝0；解得x1＝0，x2＝﹣217．原式=√3320．±√3；21．AD=4；22．（1，4）；±√35；xx=2√2−223．DP=√173≤m＜1；﹣1≤n≤1．24．2；12。
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷
2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是( )A.6B.−6C.3D.−32. 如图，在△ABC中，BC边上的高是（）A.AFB.BHC.CDD.EC3. 如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（）A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.四棱柱4. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A.面朝上的点数是6B.面朝上的点数是偶数C.面朝上的点数大于2D.面朝上的点数小于25. 下列是一组log o设计的图片（不考虑颜色），其中不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6. 一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（）A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间7. 某商场一名业务员12个月的销售额（单位：万元）如下表：则这组数据的众数和中位数分别是（）A.10，8B.9.8，9.8C.9.8，7.9D.9.8，8.18. 甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是（）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢二、填空题（本题共16分，每小题2分）分解因式：x3−2x2+x＝________．如果分式x2−4的值为0，那么x的值为________．x+2已知，一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象经过点(0, 2)，且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：________．某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x人，依题意，可列方程为________．若2x2+3y2−5＝1，则代数式6x2+9y2−5的值为________．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(−4, 1)、(−1, 3)，在经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A′′、B′′的坐标分别为(1, 0)、(3, −3)，则由线段AB得到线段A′B′的过程是：________，由线段A′B′得到线段A′′B′′的过程是：________．如图，⊙O的半径为2，切线AB的长为2√3，点P是⊙O上的动点，则AP的长的取值范围是________．在平面直角坐标系xOy中，点A(−2, m)绕坐标原点O顺时针旋转90∘后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是________．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.计算：(12)−1√3−tan 60∘−|√3−2|．解不等式x+22−4x−16≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +m ＝0．（1）当m 为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；（2）在（1）的条件下，求方程的根．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1:y ＝−2x +b 与x 轴，y 轴分别交于点A(12,0)，B ，与反比例函数图象的一个交点为M(a, 3)．（1）求反比例函数的表达式；（2）设直线________．如图，在△ABC 中，∠C ＝90∘，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC 交于点F ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，连接BE（1）求证EH ＝EC ；（2）若AB ＝4，sin A =23，求AD 的长．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+4x +c(a ≠0)经过点A(3, −4)和B(0, 2)．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线x ＝3翻折，得到图象N ．若过点C(9, 4)的直线y ＝kx +b 与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．在△ABC中，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B 对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ＝DP，求CE的长．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点(a, b1)，(a+1, b2)，b2−b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y＝−x+2，当x取值a和a+1时，函数值分别为b1＝−a+2，b2＝−a+1，故b2−b1＝−1≥k，因此函数y＝−x+2是限减函数，它的限减系数为−1．（1）写出函数y＝2x−1的限减系数；(−1≤x≤m, x≠0)是限减函数，且限减系数k＝4，求m的（2）m>0，已知y=1x取值范围．（3）已知函数y＝−x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y＝−x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k≥−1，直接写出P点横坐标n的取值范围．参考答案与试题解析2020年北京人大附中朝阳分校中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.【答案】D【考点】相反数数轴【解析】根据题意表示出B点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案．【解答】解：由题意可得：B点对应的数是：a+6，∵点A和点B表示的数恰好互为相反数，∴a+a+6=0，解得：a=−3．故选D.2.【答案】A【考点】三角形的角平分线、中线和高【解析】根据三角形的高线的定义解答．【解答】根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．3.【答案】B【考点】几何体的展开图【解析】侧面为4个三角形，底边为正方形，故原几何体为四棱锥．【解答】观察图形可知，这个几何体是四棱锥．4.【答案】C【考点】可能性的大小【解析】根据概率公式分别求出每种情况发生的概率，然后比较出它们的大小即可．【解答】∵抛掷一枚骰子共有1、2、3、4、5、6这6种等可能结果，∴A、面朝上的点数是6的概率为16；B、面朝上的点数是偶数的概率为36=12；C、面朝上的点数大于2的概率为46=23；D、面朝上的点数小于2的概率为16；5.【答案】A【考点】中心对称图形【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；6.【答案】B【考点】估算无理数的大小【解析】先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．【解答】设正方形的边长等于a，∵正方形的面积是12，∴a=√12=2√3，∵9<12<16，∴3<√12<4，即3<a<4．7.【答案】C【考点】中位数众数【解析】根据众数和中位数的概念求解可得．【解答】这组数据的众数是9.8，6.2，6.4，7，7.2，7.5，7.8，8，9.8，9.8，9.8，9.8，10，中位数是7.8+82=7.9，8.【答案】C【考点】一次函数的应用【解析】根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．【解答】A、两人从起跑线同时出发，甲先到达终点，错误；B、跑步过程中，两人相遇两次，错误；C、起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远，正确；D、乙在跑后200米时，速度最慢，错误；二、填空题（本题共16分，每小题2分）【答案】x(x−1)2【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】x3−2x2+x＝x(x2−2x+1)＝x(x−1)2．【答案】2【考点】分式值为零的条件【解析】根据分式值为零的条件可得x2−4＝0，且x+2≠0，再解即可．【解答】由题意得：x2−4＝0，且x+2≠0，解得：x＝2，【答案】答案不唯一如：y＝−x+2【考点】一次函数的性质【解析】根据题意可知k<0，这时可任设一个满足条件的k，则得到含x、y、b三求知数的函数式，将(0, 2)代入函数式，求得b，那么符合条件的函数式也就求出．【解答】∵y随x的增大而减小∴k<0∴可选取−1，那么一次函数的解析式可表示为：y＝−x+b把点(0, 2)代入得：b＝2∴要求的函数解析式为：y＝−x+2．【答案】x+(2x−30)＝600【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解析】设到植物园的人数为x人，则到野生动物园的人数为(2x−30)人，根据到野生动物园和植物园开展社会实践活动的总人数为600人，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】设到植物园的人数为x人，则到野生动物园的人数为(2x−30)人，根据题意得：x+(2x−30)＝600．【答案】13【考点】列代数式求值【解析】由代数式2x2+3y2−5＝1，得出2x2+3y2＝6，2x2+3y2＝6整体代入代数式6x2+ 9y2−5求得数值即可．【解答】∵2x2+3y2−5＝1，∴2x2+3y2＝6，把2x2+3y2＝6代入6x2+9y2−5＝18−5＝13，【答案】向右平移4个单位长度,绕原点顺时针旋转90∘【考点】几何变换的类型坐标与图形变化-平移坐标与图形变化-旋转【解析】依据对应点的坐标，即可得到平移的方向和距离；依据对应点的位置，即可得到旋转中心和旋转角度．【解答】如图所示，点A、B的坐标分别为(−4, 1)、(−1, 3)，点A′′、B′′的坐标分别为(1, 0)、(3, −3)，∴由线段AB得到线段A′B′的过程是向右平移4个单位长度；连接A′A“，B′B“，作这两条线段的垂直平分线，交于点O，∠A′OA“＝90∘，则由线段A′B′得到线段A′′B′′的过程是：绕原点O顺时针旋转90∘；【答案】2≤AP≤6【考点】切线的性质【解析】连接OB，根据切线的性质得到∠OBA＝90∘，根据勾股定理求出OA，根据题意计算即可．【解答】连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90∘，∴OA=√AB2+OB2=4，当点P在线段AO上时，AP最小为2，当点P在线段AO的延长线上时，AP最大为6，∴AP的长的取值范围是2≤AP≤6，【答案】2.5≤m≤3【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】将阴影区域绕着点O逆时针旋转90∘，与直线x＝−2交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．【解答】如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90∘，与直线x＝−2交于C，D两点，则点A(−2, m)在线段CD上，又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，∴m的取值范围是2.5≤m≤3，三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【答案】−√3+√3−2原式＝2+√33=√3．3【考点】零指数幂、负整数指数幂特殊角的三角函数值实数的运算【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】−√3+√3−2原式＝2+√33=√3．3【答案】去分母，得3(x+2)−(4x−1)≥6，去括号，得3x+6−4x+1≥6，移项，合并同类项：−x≥−1，系数化为1:x≤1，把解集表示在数轴上：【考点】解一元一次不等式在数轴上表示不等式的解集【解析】先去分母、去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可．【解答】去分母，得3(x+2)−(4x−1)≥6，去括号，得3x+6−4x+1≥6，移项，合并同类项：−x≥−1，系数化为1:x≤1，把解集表示在数轴上：【答案】∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝4−4m>0，解得m<1又m为非负整数，∴m＝0；当m＝0时，方程变形为x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝−2．【考点】根的判别式【解析】（1）判别式的意义得到△＝4−4m>0，再解不等式得到m的范围，然后在此范围内找出非负整数即可；（2）利用（1）中m的值得到x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝4−4m>0，解得m<1又m为非负整数，∴m＝0；当m＝0时，方程变形为x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝−2．【答案】∵一次函数y＝−2x+b的图象过点A(1,0)，2∴0=−2×1+b．2∴解得，b＝1．∴一次函数的表达式为y＝−2x+1．∵一次函数的图象与反比例函数y=k(keq0)图象交于点M(a, 3)，x∴3＝−2a+1，解得，a＝−1．(keq0)图象过点M(−1, 3)，由反比例函数y=kx得k＝−1×3＝−3，∴反比例函数的表达式为y=−3．xl2:y＝−2x+m与x轴，y轴分别交于点C，D，且S△OCD＝3S△OAB，直接写出m的值±√3【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】,0)，即可得到一次函数的表达式为y＝（1）依据一次函数y＝−2x+b的图象过点A(12(keq0)图象交于点M(a, 3)，即可−2x+1．再根据一次函数的图象与反比例函数y=kx(keq0)图象过点M(−1, 3)，可得反比例函数的表达式得出a的值，由反比例函数y=kx为y=−3．x（2）由一次函数的表达式为y＝−2x+1，可得A(0, 1)，依据直线l2:y＝−2x+m与直线l1:y＝−2x+1互相平行，即可得出△AOB∽△COD，依据S△OCD＝3S△OAB，即可得到|m|=√3，进而得出m的值为±√3．【解答】∵一次函数y＝−2x+b的图象过点A(1,0)，2∴0=−2×1+b．2∴解得，b＝1．∴一次函数的表达式为y＝−2x+1．∵一次函数的图象与反比例函数y=k(keq0)图象交于点M(a, 3)，x∴3＝−2a+1，解得，a＝−1．(keq0)图象过点M(−1, 3)，由反比例函数y=kx得k＝−1×3＝−3，∴反比例函数的表达式为y=−3．x由一次函数的表达式为y＝−2x+1，可得A(0, 1)，即OA＝1，∵直线l2:y＝−2x+m与直线l1:y＝−2x+1互相平行，∴△AOB∽△COD，又∵S△OCD＝3S△OAB，∴OBOD =√13=√3，即OD=√3，又∵D(0, m)，∴|m|=√3，∴m的值为±√3．故答案为：±√3．【答案】如图，连接OE，∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC，且BC⊥AC，∴OE // BC∴∠CBE＝∠OEB，∵EO＝OB，∴∠EBO＝∠OEB∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB，∴CE＝EH∵sin A=23=OEAO，∴设OE＝2a，AO＝3a，(a≠0)∴OB＝2a，∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4∴a=45∵AD＝AB−BD＝4−4a∴AD=45【考点】切线的性质解直角三角形【解析】（1）根据切线的性质可得AC⊥OE，即可得OE // BC，可证∠CBE＝∠EBO，根据角平分线的性质可得CE＝EH；（2）设OE＝2a，AO＝3a，(a≠0)，根据AB＝4，可求a的值，根据AD＝AB−DH＝4−4a，可求AD的值．【解答】如图，连接OE，∵ AC 与⊙O 相切，∴ OE ⊥AC ，且BC ⊥AC ，∴ OE // BC∴ ∠CBE ＝∠OEB ，∵ EO ＝OB ，∴ ∠EBO ＝∠OEB∴ ∠CBE ＝∠EBO ，且CE ⊥BC ，EH ⊥AB ，∴ CE ＝EH∵ sin A =23=OE AO ，∴ 设OE ＝2a ，AO ＝3a ，(a ≠0)∴ OB ＝2a ，∵ AB ＝AO +OB ＝3a +2a ＝4∴ a =45 ∵ AD ＝AB −BD ＝4−4a∴ AD =45【答案】∵ 抛物线y ＝ax 2+4x +c(a ≠0)经过点A(3, −4)和B(0, 2)，可得：{9a +12+c =−4c =2解得：{a =−2c =2∴ 抛物线的表达式为y ＝−2x 2+4x +2．∵ y ＝−2x 2+4x +2＝−2(x −1)2+4，∴ 顶点坐标为(1, 4)；设点B(0, 2)关于x ＝3的对称点为B ’，则点B ’(6, 2)．若直线y ＝kx +b 经过点C(9, 4)和B ′(6, 2)，可得b ＝−2．若直线y ＝kx +b 经过点C(9, 4)和A(3, −4)，可得b ＝−8．直线y ＝kx +b 平行x 轴时，b ＝4．综上，−8<b <−2或b ＝4．【考点】二次函数的性质二次函数图象与几何变换待定系数法求二次函数解析式一次函数图象上点的坐标特点二次函数图象上点的坐标特征【解析】（1）把点A 、B 的坐标代入抛物线解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解该方程可以求得它们的值．由函数解析式求得顶点坐标；（2）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．【解答】∵ 抛物线y ＝ax 2+4x +c(a ≠0)经过点A(3, −4)和B(0, 2)，可得：{9a +12+c =−4c =2解得：{a =−2c =2∴ 抛物线的表达式为y ＝−2x 2+4x +2．∵ y ＝−2x 2+4x +2＝−2(x −1)2+4，∴ 顶点坐标为(1, 4)；设点B(0, 2)关于x ＝3的对称点为B ’，则点B ’(6, 2)．若直线y ＝kx +b 经过点C(9, 4)和B ′(6, 2)，可得b ＝−2．若直线y ＝kx +b 经过点C(9, 4)和A(3, −4)，可得b ＝−8．直线y ＝kx +b 平行x 轴时，b ＝4．综上，−8<b <−2或b ＝4．【答案】①如图1，补全图形②连接AD ，如图1．在Rt △ABN 中，∵ ∠B ＝90∘，AB ＝4，BN ＝1，∴ AN =√17∵ 线段AN 平移得到线段DM ，∴ DM ＝AN =√17，AD ＝NM ＝1，AD // MC ，∴ △ADP ∽△CMP ．∴ DP MP =AD MC =12∴ DP =√173连接NQ，由平移知：AN // DM，且AN＝DM．∵MQ＝DP，∴PQ＝DM．∴AN // PQ，且AN＝PQ．∴四边形ANQP是平行四边形．∴NQ // AP．∴∠BQN＝∠BAC＝45∘．又∵∠NBQ＝∠ABC＝90∘，∴BN＝BQ．∵AN // MQ，∴ABBQ =NBBM．又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4，∴4NB =NB2．∴NB=2√2（负数舍去）．∴ME=BN=2√2．∴CE=2√2−2【考点】等腰直角三角形平移的性质【解析】（1）利用平移的性质画出图形，再利用相似得出比例，即可求出线段DP的长．（2）根据条件MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决．【解答】①如图1，补全图形②连接AD，如图1．在Rt△ABN中，∵∠B＝90∘，AB＝4，BN＝1，∴AN=√17∵线段AN平移得到线段DM，∴DM＝AN=√17，AD＝NM＝1，AD // MC，∴△ADP∽△CMP．∴DPMP =ADMC=12∴DP=√173连接NQ，由平移知：AN // DM，且AN＝DM．∵MQ＝DP，∴PQ＝DM．∴AN // PQ，且AN＝PQ．∴四边形ANQP是平行四边形．∴NQ // AP．∴∠BQN＝∠BAC＝45∘．又∵∠NBQ＝∠ABC＝90∘，∴BN＝BQ．∵AN // MQ，∴ABBQ =NBBM．又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4，∴4NB =NB2．∴NB=2√2（负数舍去）．∴ME=BN=2√2．∴CE=2√2−2【答案】当x取值a和a+1时，函数值分别为b1＝2a−1，b2＝2a+1，故b2−b1＝2≥k，因此函数y ＝2x −1是限减函数，它的限减系数为2．若m >1，则m −1>0，(m −1, 1m−1)和(m, 1m )是函数图象上两点，1m −1m−1=−1m(m−1)<0，与函数的限减系数k ＝4不符，且m ＝1不符合题意，∴ m <1．若0<m <12，(t −1, 1t−1)和(t, 1t )是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0<t ≤m ，1t −1t−1=1−t(t−1)，∵ −t(t −1)>0，且−t(t −1)=−(t −12)2+14≤−(m −12)2+14<14，∴ 1t −1t−1>4，与函数的限减系数k ＝4不符．∴ m ≥12． 若12≤m <1，(t −1, 1t−1)和(t, 1t )是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0<t ≤m ，1t −1t−1=1−t(t−1)，∵ −t(t −1)>0，且−t(t −1)=−(t −12)2+14≤14，∴ 1t −1t−1=1−t(t−1)≥4，当t =12时，等号成立，故函数的限减系数k ＝4． ∴ m 的取值范围是12≤m <1． 设P(n, −n 2)，则翻折后的抛物线的解析式为y ＝x 2−2n 2，对于抛物线y ＝−x 2，(m −1, −(m −1)2)，(m, −m 2)是抛物线图象上两点， 由题意：−m 2+m 2−2m +1≥−1，解得m ≤1，对于抛物线y ＝x 2−2n 2，(m, m 2−2n 2)，(m +1,(m +1)2−2n 2)是抛物线图象上两点，由题意：(m +1)2−2n 2−(m 2−2n 2)≥−1，解得m ≥−1，∴ 满足条件的P 点横坐标n 的取值范围：−1≤n ≤1．【考点】二次函数综合题【解析】（1）根据限减函数的定义即可判断；（2）根据限减函数分m >1，0<m <12，12≤m ≤1，分别构建不等式即可解决问题； （3）设P(n, −n 2)，则翻折后的抛物线的解析式为y ＝x 2−2n 2，对于抛物线y ＝−x 2，(m −1, −(m −1)2)，(m, −m 2)是抛物线图象上两点，由题意：−m 2+m 2−2m +1≥−1，解得m ≤1，对于抛物线y ＝x 2−2n 2，(m, m 2−2n 2)，(m +1,(m +1)2−2n 2)是抛物线图象上两点，由题意：(m +1)2−2n 2−( )m−2−2n 2)≥−1，解得m ≥−1，由此即可解决问题；【解答】当x 取值a 和a +1时，函数值分别为b 1＝2a −1，b 2＝2a +1，故b 2−b 1＝2≥k ，因此函数y ＝2x −1是限减函数，它的限减系数为2． 若m >1，则m −1>0，(m −1, 1m−1)和(m, 1m )是函数图象上两点，1m −1m−1=−1m(m−1)<0，与函数的限减系数k ＝4不符，且m ＝1不符合题意， ∴ m <1．若0<m <12，(t −1, 1t−1)和(t, 1t )是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0<t ≤m ，1t −1t−1=1−t(t−1)，∵ −t(t −1)>0，且−t(t −1)=−(t −12)2+14≤−(m −12)2+14<14， ∴ 1t −1t−1>4，与函数的限减系数k ＝4不符．∴ m ≥12．若12≤m <1，(t −1, 1t−1)和(t, 1t )是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0<t ≤m ，1t −1t−1=1−t(t−1)，∵ −t(t −1)>0，且−t(t −1)=−(t −12)2+14≤14， ∴ 1t −1t−1=1−t(t−1)≥4，当t =12时，等号成立，故函数的限减系数k ＝4． ∴ m 的取值范围是12≤m <1． 设P(n, −n 2)，则翻折后的抛物线的解析式为y ＝x 2−2n 2， 对于抛物线y ＝−x 2，(m −1, −(m −1)2)，(m, −m 2)是抛物线图象上两点， 由题意：−m 2+m 2−2m +1≥−1，解得m ≤1， 对于抛物线y ＝x 2−2n 2，(m, m 2−2n 2)，(m +1,(m +1)2−2n 2)是抛物线图象上两点，由题意：(m +1)2−2n 2−(m 2−2n 2)≥−1，解得m ≥−1，∴ 满足条件的P 点横坐标n 的取值范围：−1≤n ≤1．。
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高三数学试卷 第1页（共14页）北京市朝阳区高三年级高考练习二数 学 2020.6（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞ (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞（3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数π()sin(2)6f x x，则下列四个结论中正确的是（A）函数()f x的图象关于5π(,0)12中心对称（B）函数()f x的图象关于直线π8x对称（C）函数()f x在区间(π,π)内有4个零点（D）函数()f x在区间π[,0]2上单调递增（8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（A）sin532sin47a（B）2sin47sin53a（C）tan26.5tan73.5tan47a（D）sin26.5sin73.5sin47a（9）在平行四边形ABCD中，π=3∠A，=2AB，1=AD，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足||||||||=BM CNBC CD，则⋅AM AN的最大值为（A）2 （B）4 （C）5 （D）6（第8题图）高三数学试卷第2页（共14页）高三数学试卷 第3页（共14页）（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知平面向量(,3)=m a ，(1,6)=b ，若ab ，则=m ________．（12）在61()+x x的展开式中，常数项为________．（用数字作答）（13）某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．（14）已知双曲线C 的焦点为1(0,2)F ，2(0,2)F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是________；若点Q是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ⊥，则12QF F △的面积为________． （第13题图）高三数学试卷 第4页（共14页）（15）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中outC 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点i j A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值(1,2,1,2,3,4)==i j ．该研究小组得到以下结论：① 在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高； ② 在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；③ 在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；④ 在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低． 其中，所有正确结论的序号是________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分．0（第15题图）高三数学试卷 第5页（共14页）三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，且51=a ， ．若存在正整数n ，使得n S 有最小值．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n S 的最小值．从①31=-a ，②2=d ，③2=-d 这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，ADDE ，4AD ，2DE EF ，且π3EDC. （Ⅰ）求证：AD平面CDEF ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值； （Ⅲ）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．高三数学试卷 第6页（共14页）（18）（本小题14分）近年来，随着5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程(单位：万公里)将这些汽车分为4组：[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9]并整理得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0μ．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1μ；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2μ．有同学认为0102μμμμ-<-，你认为正确吗？说明理由．（19）（本小题14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1=x 交于点Q ，设λ=AP PB ，μ=AQ QB (λ，)μ∈R ，求证：λμ+为定值．高三数学试卷 第7页（共14页）（20）（本小题15分）已知函数()2sin cos =--f x x x x ax ()∈a R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1．（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）证明：函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点； （Ⅱ）当1≤a 时，证明：对任意(0,π)∈x ，()0>f x ．（21）（本小题14分）设集合1234{,,,}=A a a a a ，其中1a ，2a ，3a ，4a 是正整数，记1234=+++A S a a a a ．对于i a ，∈j a A(14)≤<≤i j ，若存在整数k ，满足()+=i j A k a a S ，则称+i j a a 整除A S ，设A n 是满足+i j a a 整除A S 的数对(,)(<)i j i j 的个数．（Ⅰ）若{1,2,4,8}=A ，{1,5,7,11}=B ，写出A n ，B n 的值； （Ⅱ）求A n 的最大值；（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．北京市朝阳区高三年级高考练习二数学 参考答案2020.6第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）B （2）B （3）D （4）A （5）A （6）C （7）C （8）D （9）C （10）A第二部分（非选择题 共110分）高三数学试卷 第二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）15 （13）12 （14）2； （15）②④三、解答题（共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（不可以选择③作为补充条件.）选择①作为补充条件.解答如下：（Ⅰ）因为51=a ，31=-a ，所以1=d ．所以1(5)14()*=+-⨯=-∈n a n n n N ． ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知13=-a ．所以1()1(7)22+==-n n n a a S n n ． 因为*∈n N ，所以当3=n 或4时，n S 取得最小值，最小值为6-．故存在正整数3=n 或4，使得n S 有最小值，最小值为6-． ……………14分选择②作为补充条件.解答如下：（Ⅰ）因为51=a ，2=d ，所以1(5)229()*=+-⨯=-∈n a n n n N ． ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知17=-a ．所以21()82+==-n n n a a S n n ．所以当4=n 时，n S 取得最小值，最小值为16-． 故存在正整数4=n ，使得n S 有最小值，最小值为16-． ……………14分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 是正方形，所以ADCD ．又因为ADDE ，DE 平面CDEF ，CD 平面CDEF ，CD DE D ，高三数学试卷 第9页（共14页）所以AD平面CDEF ． ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AD平面CDEF , 所以平面ABCD 平面CDEF ．过点E 作EO CD ，垂足为O ，则OE平面ABCD ．在平面ABCD 内，过O 作OH CD ，则OEOH ．如图建立空间直角坐标系-O xyz ， 因为4AD，2DE EF，且π3EDC，所以1DO ，3OE ．则(4,1,0)A ，(4,3,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)D，E ， 所以(4,0,0)AD，(4,1,3)AE ，(4,4,0)BD ．设平面ADE 的一个法向量为(,,)x y z n，则0,0.AD AEn n 即40,430.x xyz令=y 0=x ，1=-z ，于是(0,3,1)n．设直线BD 与平面ADE 所成角为，则||436sin|cos ,|4242||||BD BD BD nn n ． 所以直线BD 与平面ADE ． ……………10分（Ⅲ）棱AB 上存在点G ，使得//MG 平面ADE ，此时3AG．理由如下：因为//DC AB ，DC平面ABFE ，AB平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE ． 因为DC平面DCFE ，平面DCFE平面ABFEEF ，所以//DC EF ．高三数学试卷 第10页（共14页）由（Ⅱ）知，F ，5(0,2M ．设11(4,,0)(13)G y y ，则153(4,,)22MGy ． 由（Ⅱ）知，平面ADE 的一个法向量为(0,3,1)n ．若//MG 平面ADE ，则0MG n153)022y ，解得12y ，即(4,2,0)G ．经验证，此时//MG 平面ADE ．所以棱AB 上存在点G ，使得//MG 平面ADE ，此时3AG ． ……………14分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意知，1(0.10.20.4)1a ⨯+++=，所以0.3a =． ……………3分 （Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[7,8)这一组的无人驾驶汽车有410410⨯=辆， 行驶里程在[8,9]这一组的无人驾驶汽车有310310⨯=辆． 由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2．24272(0)7C P X C ===， 1143274(1)7C C P X C ===， 23271(2)7C P X C ===．所以X 的分布列为所以X 的数学期望()0127777=⨯+⨯+⨯=E X ． ……………11分 （Ⅲ）这种说法不正确．理由如下：由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果影响． 因此有可能1μ更接近0μ，也有可能2μ更接近0μ，高三数学试卷 第11页（共14页）所以0102||||μμμμ-<-不恒成立．所以这种说法不正确． ……………14分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,2⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ab c a 得22=b ，24=a ． 所以椭圆C 的方程为22142+=x y ． ……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ．由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ．由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k 设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=AP PB ，μ=AQ QB 且11(4,)=--AP x y ，22(4,)=-PB x y ， 11(1,3)=---AQ x k y ，22(1,3)=-+QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x高三数学试卷 第12页（共14页）1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x .因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k 22228064881612-+--=+k k k k0=， 所以0λμ+=. ……………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()2sin cos =--f x x x x ax ，所以()2cos (cos sin )cos sin '=---=+-f x x x x x a x x x a ． 因为曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1，所以(0)1'=f ，即11-=a ，故0=a ．经检验，符合题意． ……………4分（ⅱ) 由（ⅰ）可知()2sin cos =-f x x x x ，()cos sin '=+f x x x x ．设()()'=g x f x ，则()cos '=g x x x ．令()0'=g x ，又)π(0,∈x ，得2π=x ． 当(0,)2π∈x 时，()0'>g x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<g x ，所以()g x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减．又(0)1=g ，ππ()22=g ，(π)1=-g ，因此，当π(0,]2∈x 时，()(0)0>>g x g ，即()0'>f x ，此时()f x 在区间π(0,]2上无极值点；当π(,π)2∈x 时，()0=g x 有唯一解0x ，即()0'=f x 有唯一解0x ，且易知当0π(,)2∈x x 时，()0'>f x ，当0(,π)∈x x 时，()0'<f x ，故此时()f x 在区间π(,π)2内有唯一极大值点0x ．综上可知，函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点． (10)高三数学试卷 第13页（共14页）分（Ⅱ） 因为()cos sin '=+-f x x x x a ，设()()'=h x f x ，则()cos '=h x x x ．令()0'=h x ，又(0,π)∈x ，得π2=x ．且当π(0,)2∈x 时，()0'>h x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<h x ， 所以()'f x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减．当1≤a 时，(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，()1'π=--f a ．（1）当()10'π=--≥f a ，即1≤-a 时，()0'≥f x ．此时函数()f x 在(0,π)内单调递增，()(0)0>=f x f ；（2）当()10'π=--<f a ，即11-<≤a 时，因为(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，所以，在π(0,)2内()0'≥f x 恒成立，而在区间π(,π)2内()'f x 有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在1(0,)x 内单调递增，在1(,π)x 内单调递减． 又因为(0)0=f ，()(1)0π=-π≥f a ，所以此时()0>f x ．由（1）（2）可知，当1≤a 时，对任意(0,π)∈x ，总有()0>f x ． ……………15分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）2=A n ；4=B n ． ……………4分 （Ⅱ）不妨设12340<<<<a a a a ．因为1234243411()22=+++<+<+<A A S a a a a a a a a S ，所以24+a a ，34+a a 不能整除A S ． 因为(,)i j 最多有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)六种情况， 而(2,4)，(3,4)不满足题意，所以624≤-=A n ．当{1,5,7,11}=A 时，4=A n ，所以A n 的最大值为4． ……………9分 （Ⅲ）假设12340<=<<<a a a a a ．由（Ⅱ）可知，当A n 取到最大值4时，12+a a ，13+a a ，14+a a ，23+a a 均能整除A S ．高三数学试卷 第14页（共14页）因为14231max{,}2≤++<A A S a a a a S ，故14231=max{,}2++A S a a a a ， 所以1423+=+a a a a ．设12=+u a a ，13=+v a a ，则u ，v 是2312()2(2)=+=+-A S a a u v a 的因数， 所以v 是12(2)-u a 的因数，且u 是12(2)-v a 的因数． 因为<u v ，所以12(2)22-<<u a u v ， 因为v 是12(2)-u a 的因数，所以124=-v u a ．因为u 是112(2)412-=-v a u a 的因数，所以u 是112a 的因数．因为124<=-u v u a ，所以14>u a ，所以166u a a ==，或11212u a a ==． 故1111{,5,7,11}=A a a a a ，或1111{,11,19,29}=A a a a a ．所以当A n 取到最大值4时，{,5,7,11}=A a a a a ，或{,11,19,29}=A a a a a ． ……………14分。