机械振动基础第2章习题
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1 2 1 ml 2 2 系统势能:U = 1 k(u lθ )2 + 1 k(u + lθ )2 系统动能:T = mu + θ 2 2 2 4 2 2 12
0 u 2k kl / 4 u 0 m + 运动方程: 0 ml 2 /12 θ kl / 4 5kl 2 /16 θ = 0
( K ω 2 M )φ = 0
2k 2k ω1 = 1 , ω2 = 1 + 2 J 2 J
1 1 φ1 = , φ2 = 1/ 2 1/ 2
P88,2-6: 不计刚杆质量,按图示坐标建立运动微分方程,并求出固有频率和固有振型.
系统动能:T = 系统势能:U = 1 1 2 mu12 + 2mu2 2 2 1 1 k (2u1 u2 ) 2 + k (2u2 u1 ) 2 2 2
m1 (2l )2θ1 = k1lθ1 l k2 (2lθ1 2lθ2 ) 2l m (2l )2θ = k (2lθ 2lθ ) 2l
2 2 2 2 1
m 运动方程: 1 0
0 θ1 k1 / 4 + k2 + k m2 θ 2 2
k2 θ1 0 θ = 0 k2 2
1 初始条件:u0 = 1/ 3
1 cos ω1t u1 (t ) 1 = u 2 (t ) 0.5 1 0 1 1 1 cos ω2t 0.5 1 1/ 3 0
1
u1 (t ) 8 / 9 1/ 9 k 2k = cos( )t + u (t ) cos( m )t 2m 1/ 9 2 4 / 9
系 统 的 固 有 频 率 : ω 1 = 1 8 9 (rad /s), ω 2 = 9 7 3 .7 7 (rad /s)
H 1 1 ( ω )的 分 子 :
12 EI ω 2m2 = 0 3 7l
反 共 振 频 率: ω = 12 EI = 4 4 3 .6 (rad /s) 7l 3m 2
P89,2-13: 图示刚杆质量不计,并求系统的固有频率和固有振型.如果将杆向下平移0.1l , 求 突然释放后的自由振动.
2 mu (t ) = ku (t ) k (u (t ) lθ (t )) 2 ml 2θ (t ) = kl (u (t ) lθ (t ))
0 u 2k Байду номын сангаас2m 运动方程: 0 2ml 2 θ + kl
P88,2-4: 图示电车由两节质量均为2.28 ×104 kg的车厢组成, 中间连接器的刚度为 2.86 ×106 N/m. 求电车振动的固有频率和固有振型.
m 0 u1 k 0 m u + k 2
k u1 0 u = 0 k 2
( K ω 2 M )φ = 0
(3) 求结构的稳态响应
m1u1 (t ) = k1 (u1 (t ) u2 (t )) m2u2 (t ) = k1 (u1 (t ) u2 (t )) k2 (u2 (t ) v(t ))
m 0 u1 k 运动方程: 0 2m u + k 2 k k
k k , ω2 = 1.144 m m
1 cos ω1t 1.618 0 l
kl u 0 = kl 2 θ 0
ω1 = 0.437
1 1 φ1 = 0.618 , φ2 = 1.618 l l
1 0 0.618 cos ω 2t l 1 0.1l 1.618 0 l
Φ = [φ1
φ2 ]
0.707 0.707 φ1 = , φ2 = 1 1
ω1 = 0.7654
g g , ω2 = 1.8478 l l
θ Θ0 = 0 0
θ (t ) 0.707 0.707 g g Θ (t ) = 1 = 0.707θ 0 cos(0.7654 )t 0.707θ 0 cos(1.8478 )t θ 2 (t ) 1 1 l l
ma 2 / 3 0 θ k1b 2 + k2 a 2 运动方程: + 0 m u k2 a
k2 a θ 0 = k2 u 0
P89,2-10: 建立图示双单摆的微振动微分方程,并求固有频率和固有振型.
系 统动能 : T = 1 1 1 1 1 m (lθ1 ) 2 + m (lθ1 + lθ2 ) 2 = 2 ml 2θ12 + ml 2θ22 + 2 ml 2θ1θ2 2 2 2 2 2
3
8l d 22 = 3EI
3
l3 1 柔度矩阵:D = 3 E I 2 .5
2 .5 8
刚 度 矩 阵 :K =
6E I 16 7l 3 5
5 2
m 运动方程: 1 0
0 u1 6 EI u + 7l 3 m2 2
16 5 u1 f1 sin ωt 5 2 u = 0 2
1
1 u (t ) θ (t ) = 0.618 l
1 1 u (t ) k k = 0.618 0.07236l cos(0.437 )t + 1.618 0.02764l cos(1.144 )t θ (t ) m m l l
P89,2-14: 图示悬臂梁宽b = 0.036m, 厚h = 2.5 × 103 m, 长2l = 0.14m, 材料弹性模量E = 2.1×102 GPa. 梁上安装有两个重块m1 = 0.5kg和m1 = 0.25kg, 梁的质量可以忽略. (1) 求系统的固有频率 (2) 当简谐力 f1 sin ωt 作用于 m1 时, 不计阻尼,求反共振频率f a.
me h k1 0 h 0 m me J + me2 + 0 k θ = 0 0 θ 2
(e < 0)
P87,2-2: 图示双复摆在(u1 , u2 )平面内微摆动,其中两个刚体质量为m1和m2 , 绕质心C1和C2 的转动惯量分别为J1和J 2. 试建立系统运动微分方程.
k u1 0 u = 2kv sin ωt 3k 2
a 设稳态解为: * (t ) = 1 sin ωt u a2
k m 0 a1 0 ω2 a = 2kv 3k 0 2m 2
k m 0 0 ω2 3k 0 2m 2kv
P88,2-3: 求图示系统的固有频率和固有振型.
m 0 u1 4k 0 2m u + 3k 2 3k u1 0 = 5k u 2 0
( K ω 2 M )φ = 0
ω1 = k / m , ω2 = 11k / 2m
1 1 φ1 = , φ2 = 1 0.5
1 1 1 动能: = ( J1 + m1a 2 )θ12 + m2 (lθ1 + bθ 2 ) 2 + J 2θ 22 T 2 2 2 1 1 1 = ( J1 + m1a 2 + m2l 2 )θ12 + m2 (2lbθ1θ 2 ) + ( J 2 + m2b 2 )θ 22 2 2 2
ω1 = 0, ω2 = 2k / m = 15.84 (rad/s)
1 1 φ1 = , φ2 = 1 1
P88,2-5: 求图示扭转振动系统的固有频率和固有振型.
J 0 0 u1 k + 2 J u2 k k u1 0 = 2k u2 0
悬臂梁在单位力作用下的挠度公式为
x2 δ= (3 a x ), 0 ≤ x ≤ a 6EI a2 δ= (3 x a ), a ≤ x ≤ 2 l 6EI
bh3 截 面 惯 性 矩 :I = 12
2l 悬臂梁总长; a 力作用点到固定端的距离 计算柔度系数: = l d11
3
3EI
5l d 12 = 6EI
ω1 = 0.7654
g g , ω2 = 1.8478 l l
0.707 0.707 φ1 = , φ2 = 1 1
P89,2-12: 若θ1 (0) = θ 0 ,θ 2 (0) = 0,θ1 (0) = 0,θ 2 (0) = 0, 求其自由摆动.
θ (t ) cos ω1t Θ (t ) = 1 = Φ θ 2 (t ) 1 Φ Θ0 cos ω2t
0.946 1 φ1 = , φ2 = 1 0.757
ω1 = 7.3384(rad/s), ω2 = 48.1783(rad/s)
P88,2-9: 图示均匀刚杆质量为m,求系统的固有模态.
1 2 ma θ = k1b2θ k2 (aθ u) a 3 mu = k2 (u aθ )
(1) 求结构的固有频率和固有振型
m 0 u1 k 运动方程: 0 2m u + k 2 k u1 0 = 3k u2 0
k 2k ω1 = , ω2 = 2m m
1 1 φ1 = , φ2 = 0.5 1
(2) 求结构的自由响应
θ1 θ2
1 1 势能: = ( m1 ga + m2 gl )θ12 + m2 gbθ 22 U 2 2
J1 + m1a 2 + m2l 2 m2lb
m2lb θ1 (m1a + m2l ) g + 2 0 J 2 + m2b θ 2
0 θ1 0 θ = 0 m2bg 2
m 0 u1 5k 运动方程: 0 2m u + 4k 2
k ω1 = 0.81 m k ω2 = 2.62 m
4k u1 0 = 5k u2 0
1 1 φ1 = , φ2 = 1.09 0.46
P88,2-7: 已知刚杆质量为m,按图示坐标建立运动微分方程,并求出固有频率和固有振型.
30 EI H 2 1 (ω )的 分 子 : 7l 3
P89,2-15: 双层建筑结构简化模型如图所示, 其中m1 = m, m2 = 2m, 剪切刚度k1 = k , k2 = 2k. (1) 求结构的固有频率和固有振型 (2) 若在m1上作用力产生单位位移,然后无初速度释放,求其自由响应; (3) 由于地震,基础产生水平方向运动v = v sin ωt , 求结构稳态响应.
2 2 2
θ θ θ 系统势能:U = mgl (1 cos θ1 ) + mgl (2 cos θ1 cos θ 2 ) ≈ mgl 2 1 + mgl (2 1 + 2 2 ) 2 2 2
2 1 θ1 g 2 0 θ1 0 运动方程: 1 1 + l 0 1 θ = 0 θ 2 2
k k ω1 = 1.282 , ω2 = 2.026 m m
1 1 φ1 = , φ2 = 1.43 / l 8.42 / l
P88,2-8: 图示刚杆质量不计, 1 = 4kg, m2 = 5kg, k1 = 2 ×103 N/m, k2 = 5 × 103 N/m, 求系统 m 的固有频率和固有振型.
P87,2-1: 图示用于风洞试验的翼型剖面由拉伸弹簧k1和扭转弹簧k2支承着, 剖面重心G到支承点 的距离为e, 剖面绕重心的转动惯量为J 0 , 试建立系统运动微分方程.
1 1 动能: = m(h + eθ ) 2 + J 0θ 2 T 2 2 1 1 势能:U = k1h 2 + k2θ 2 2 2
0 u 2k kl / 4 u 0 m + 运动方程: 0 ml 2 /12 θ kl / 4 5kl 2 /16 θ = 0
( K ω 2 M )φ = 0
2k 2k ω1 = 1 , ω2 = 1 + 2 J 2 J
1 1 φ1 = , φ2 = 1/ 2 1/ 2
P88,2-6: 不计刚杆质量,按图示坐标建立运动微分方程,并求出固有频率和固有振型.
系统动能:T = 系统势能:U = 1 1 2 mu12 + 2mu2 2 2 1 1 k (2u1 u2 ) 2 + k (2u2 u1 ) 2 2 2
m1 (2l )2θ1 = k1lθ1 l k2 (2lθ1 2lθ2 ) 2l m (2l )2θ = k (2lθ 2lθ ) 2l
2 2 2 2 1
m 运动方程: 1 0
0 θ1 k1 / 4 + k2 + k m2 θ 2 2
k2 θ1 0 θ = 0 k2 2
1 初始条件:u0 = 1/ 3
1 cos ω1t u1 (t ) 1 = u 2 (t ) 0.5 1 0 1 1 1 cos ω2t 0.5 1 1/ 3 0
1
u1 (t ) 8 / 9 1/ 9 k 2k = cos( )t + u (t ) cos( m )t 2m 1/ 9 2 4 / 9
系 统 的 固 有 频 率 : ω 1 = 1 8 9 (rad /s), ω 2 = 9 7 3 .7 7 (rad /s)
H 1 1 ( ω )的 分 子 :
12 EI ω 2m2 = 0 3 7l
反 共 振 频 率: ω = 12 EI = 4 4 3 .6 (rad /s) 7l 3m 2
P89,2-13: 图示刚杆质量不计,并求系统的固有频率和固有振型.如果将杆向下平移0.1l , 求 突然释放后的自由振动.
2 mu (t ) = ku (t ) k (u (t ) lθ (t )) 2 ml 2θ (t ) = kl (u (t ) lθ (t ))
0 u 2k Байду номын сангаас2m 运动方程: 0 2ml 2 θ + kl
P88,2-4: 图示电车由两节质量均为2.28 ×104 kg的车厢组成, 中间连接器的刚度为 2.86 ×106 N/m. 求电车振动的固有频率和固有振型.
m 0 u1 k 0 m u + k 2
k u1 0 u = 0 k 2
( K ω 2 M )φ = 0
(3) 求结构的稳态响应
m1u1 (t ) = k1 (u1 (t ) u2 (t )) m2u2 (t ) = k1 (u1 (t ) u2 (t )) k2 (u2 (t ) v(t ))
m 0 u1 k 运动方程: 0 2m u + k 2 k k
k k , ω2 = 1.144 m m
1 cos ω1t 1.618 0 l
kl u 0 = kl 2 θ 0
ω1 = 0.437
1 1 φ1 = 0.618 , φ2 = 1.618 l l
1 0 0.618 cos ω 2t l 1 0.1l 1.618 0 l
Φ = [φ1
φ2 ]
0.707 0.707 φ1 = , φ2 = 1 1
ω1 = 0.7654
g g , ω2 = 1.8478 l l
θ Θ0 = 0 0
θ (t ) 0.707 0.707 g g Θ (t ) = 1 = 0.707θ 0 cos(0.7654 )t 0.707θ 0 cos(1.8478 )t θ 2 (t ) 1 1 l l
ma 2 / 3 0 θ k1b 2 + k2 a 2 运动方程: + 0 m u k2 a
k2 a θ 0 = k2 u 0
P89,2-10: 建立图示双单摆的微振动微分方程,并求固有频率和固有振型.
系 统动能 : T = 1 1 1 1 1 m (lθ1 ) 2 + m (lθ1 + lθ2 ) 2 = 2 ml 2θ12 + ml 2θ22 + 2 ml 2θ1θ2 2 2 2 2 2
3
8l d 22 = 3EI
3
l3 1 柔度矩阵:D = 3 E I 2 .5
2 .5 8
刚 度 矩 阵 :K =
6E I 16 7l 3 5
5 2
m 运动方程: 1 0
0 u1 6 EI u + 7l 3 m2 2
16 5 u1 f1 sin ωt 5 2 u = 0 2
1
1 u (t ) θ (t ) = 0.618 l
1 1 u (t ) k k = 0.618 0.07236l cos(0.437 )t + 1.618 0.02764l cos(1.144 )t θ (t ) m m l l
P89,2-14: 图示悬臂梁宽b = 0.036m, 厚h = 2.5 × 103 m, 长2l = 0.14m, 材料弹性模量E = 2.1×102 GPa. 梁上安装有两个重块m1 = 0.5kg和m1 = 0.25kg, 梁的质量可以忽略. (1) 求系统的固有频率 (2) 当简谐力 f1 sin ωt 作用于 m1 时, 不计阻尼,求反共振频率f a.
me h k1 0 h 0 m me J + me2 + 0 k θ = 0 0 θ 2
(e < 0)
P87,2-2: 图示双复摆在(u1 , u2 )平面内微摆动,其中两个刚体质量为m1和m2 , 绕质心C1和C2 的转动惯量分别为J1和J 2. 试建立系统运动微分方程.
k u1 0 u = 2kv sin ωt 3k 2
a 设稳态解为: * (t ) = 1 sin ωt u a2
k m 0 a1 0 ω2 a = 2kv 3k 0 2m 2
k m 0 0 ω2 3k 0 2m 2kv
P88,2-3: 求图示系统的固有频率和固有振型.
m 0 u1 4k 0 2m u + 3k 2 3k u1 0 = 5k u 2 0
( K ω 2 M )φ = 0
ω1 = k / m , ω2 = 11k / 2m
1 1 φ1 = , φ2 = 1 0.5
1 1 1 动能: = ( J1 + m1a 2 )θ12 + m2 (lθ1 + bθ 2 ) 2 + J 2θ 22 T 2 2 2 1 1 1 = ( J1 + m1a 2 + m2l 2 )θ12 + m2 (2lbθ1θ 2 ) + ( J 2 + m2b 2 )θ 22 2 2 2
ω1 = 0, ω2 = 2k / m = 15.84 (rad/s)
1 1 φ1 = , φ2 = 1 1
P88,2-5: 求图示扭转振动系统的固有频率和固有振型.
J 0 0 u1 k + 2 J u2 k k u1 0 = 2k u2 0
悬臂梁在单位力作用下的挠度公式为
x2 δ= (3 a x ), 0 ≤ x ≤ a 6EI a2 δ= (3 x a ), a ≤ x ≤ 2 l 6EI
bh3 截 面 惯 性 矩 :I = 12
2l 悬臂梁总长; a 力作用点到固定端的距离 计算柔度系数: = l d11
3
3EI
5l d 12 = 6EI
ω1 = 0.7654
g g , ω2 = 1.8478 l l
0.707 0.707 φ1 = , φ2 = 1 1
P89,2-12: 若θ1 (0) = θ 0 ,θ 2 (0) = 0,θ1 (0) = 0,θ 2 (0) = 0, 求其自由摆动.
θ (t ) cos ω1t Θ (t ) = 1 = Φ θ 2 (t ) 1 Φ Θ0 cos ω2t
0.946 1 φ1 = , φ2 = 1 0.757
ω1 = 7.3384(rad/s), ω2 = 48.1783(rad/s)
P88,2-9: 图示均匀刚杆质量为m,求系统的固有模态.
1 2 ma θ = k1b2θ k2 (aθ u) a 3 mu = k2 (u aθ )
(1) 求结构的固有频率和固有振型
m 0 u1 k 运动方程: 0 2m u + k 2 k u1 0 = 3k u2 0
k 2k ω1 = , ω2 = 2m m
1 1 φ1 = , φ2 = 0.5 1
(2) 求结构的自由响应
θ1 θ2
1 1 势能: = ( m1 ga + m2 gl )θ12 + m2 gbθ 22 U 2 2
J1 + m1a 2 + m2l 2 m2lb
m2lb θ1 (m1a + m2l ) g + 2 0 J 2 + m2b θ 2
0 θ1 0 θ = 0 m2bg 2
m 0 u1 5k 运动方程: 0 2m u + 4k 2
k ω1 = 0.81 m k ω2 = 2.62 m
4k u1 0 = 5k u2 0
1 1 φ1 = , φ2 = 1.09 0.46
P88,2-7: 已知刚杆质量为m,按图示坐标建立运动微分方程,并求出固有频率和固有振型.
30 EI H 2 1 (ω )的 分 子 : 7l 3
P89,2-15: 双层建筑结构简化模型如图所示, 其中m1 = m, m2 = 2m, 剪切刚度k1 = k , k2 = 2k. (1) 求结构的固有频率和固有振型 (2) 若在m1上作用力产生单位位移,然后无初速度释放,求其自由响应; (3) 由于地震,基础产生水平方向运动v = v sin ωt , 求结构稳态响应.
2 2 2
θ θ θ 系统势能:U = mgl (1 cos θ1 ) + mgl (2 cos θ1 cos θ 2 ) ≈ mgl 2 1 + mgl (2 1 + 2 2 ) 2 2 2
2 1 θ1 g 2 0 θ1 0 运动方程: 1 1 + l 0 1 θ = 0 θ 2 2
k k ω1 = 1.282 , ω2 = 2.026 m m
1 1 φ1 = , φ2 = 1.43 / l 8.42 / l
P88,2-8: 图示刚杆质量不计, 1 = 4kg, m2 = 5kg, k1 = 2 ×103 N/m, k2 = 5 × 103 N/m, 求系统 m 的固有频率和固有振型.
P87,2-1: 图示用于风洞试验的翼型剖面由拉伸弹簧k1和扭转弹簧k2支承着, 剖面重心G到支承点 的距离为e, 剖面绕重心的转动惯量为J 0 , 试建立系统运动微分方程.
1 1 动能: = m(h + eθ ) 2 + J 0θ 2 T 2 2 1 1 势能:U = k1h 2 + k2θ 2 2 2