函数的性质与函数图像的关系

函数的性质与函数图像的关系

由特殊到一般,得出指数函数的

图象特征,进一步得出图象性质：

教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。

探究：指数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：

（1）x )31

(y =

（2）x )21

(y =

（3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y =

2．从画出的图象中你能发现函

数x 2y =的图象和函数x )2

1

(y =的图象有什么关系？可否利用x 2y =的图象

画出x )2

1

(y =的图象？

3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？

图象特征 函数性质

1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 1a 0=

自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

1a ,0x x >>

1a ,0x x <>

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

1a ,0x x << 1,0>

图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长

较慢，到了某一值后增长速度极

快；

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；[来源:学科网

要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质，是本节的重点。关键在于弄清底数a 对于函数值变

化的影响。对于时函数值变化的不同情

况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。为此，必须利用图像，数形结合。教师亲自板演，学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图像，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。

师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书

特别地，函数值的分布情况如下：

强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情况。

巩固与练习

例1：比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。

（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。

（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。

例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :

这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点。

（8）显然指数函数无界。