六年级奥数第一讲数的整除
六年级奥数(数的整除)
六年级奥数(数的整除)整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a 也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1：四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+ 2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是987 65，设这个七位数是98765ab，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14 +a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是987 6504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，3 3，….例9 ○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104，8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51= 5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14 将8个数6，24，45，65，77，78，10 5，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3， 24＝23×3，45＝32×5， 65＝5×13，77＝7×11， 78＝2×3×13，105＝3×5×7， 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42， 100＝22×52，…例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝1 2（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，1 2这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95÷3，48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2，38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而 5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18 求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除 96 7，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么5 7+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝8×249＋ 6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0， 1， 2， 3， 4， 5， 6 的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×2 7＝999被 11除的余数是4×5＝20被 11除后的余数 9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例 21 191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝3× 665 ＋ 2.就知道21997被7除的余数，与21997被 7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3 -1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以0×3加6再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被1 2除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被1 2除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26，…，再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数2， 9， 16， 23， 30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，5 6分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是159， 160， 161.注意，本题实际上是：求一个数（100～20 0之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？。
六年级奥数.数论.整除问题ABC级.学生版
六年级奥数.-数论.整除问题-(ABC级).学生版数的整除知识框架一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
六年级第一讲（教师讲义）整数和整除
六年级第一讲（教师讲义）整数和整除第一讲（教师讲义）整数和整除【知识点1】1、整数整数；正整数、零、负正整统称为整数。
自然数：零和正整数统称为自然数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。
负整数的表示方法是在整数前面加上“–”最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
2、零0是一个数，是最小的自然数。
零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。
3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）5）任何数与0相加，值不变。
6）任何数与0相乘，积等于0。
7）任何数减去0它的值不变。
8）相同的两个数相减，差等于0。
9）0不能作除数。
10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
11）0被非0的数除商等于0。
3、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
注意：整除与除尽的区别。
【知识点2】因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数) 一个的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身。
注意：在研究因数和倍数时，所指的自然数不包括0。
【知识点3】奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数．注意：奇数、偶数包括负整数，0是偶数能被2、5整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除．个位上是0或者5的数都能被5整除．补充：能被3整除的数：各位数上的数之和为3的倍数。
一、填空题1、大于-2小于2的整数有： .2、在6,13,25,39这四个数中，能被整除.3、一个数的因数只有她本身，这个数是 .4、如果n是奇数，则和它相邻的奇数是 .5、一个数既有50的因数，又有50的倍数，则这个数是 .6、自然数m的最小因数是，最大因数是，最小倍数是 .7、如果a能整除11，则a是 .8、已知三个连续的偶数是30，则这三个连续的偶数是 .9、能被2和5同时整除的最大三位数是 .10、50以内，7的倍数且是奇数的数有： .11、有一个两位数，十位和个位上的数字互换，得到一个新的两位数，新、旧两位数都能被5整除，那么这个两位数是 .12、用0,2,5这三个数字组成一个三位数，它同时能被2,5整除，这个三位数最大的是，最小的是 .13、233至少加上能被5整除，至少加上能被3整除，至少加上能2，3，5整除.14、一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则符合此条件的自然数中最小的数是 .二、选择题（每题3分，共15分）16、下列算式中表示整除的算式是（）(A) 0.80.4÷ (D) 11÷(B) 816÷(C) 163÷17、既是18的因数又是27的因数的数是（）(A) 1 ,2,3 (B) 1,3,6 (C) 1,2,9 (D) 1,3,918、从5,0,1,3四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，能同时被2,3,5整除的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个19、A=2×3×5，A的因数有 ( )（A） 2、3、5 （B）2、3、5、6、10（C）1、2、3、5、6、10、15 （D）1、2、3、5、6、10、15、30三解答题（第20-25题各6分，26题7分，共43分）20、写出下列各数所有的因数.（1）11 （2）10221、一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，求这个数.22、从0、3、5、7这四个数字中，任选三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有几个，是哪几个？23、儿童乐园是3路和6路车的始发站，3路车每4分钟发一次车，6路车每3分钟发一次车.现在这两路车同时发车，至少再过多少时间又同时发车？24、数a的最大因数是60，且a是b的3倍，求a与b所含有的共同因数.25、48本爱心捐赠书籍分给一些学生，每人发一样多且不止一本，可以分给多少人？每人几本，有多少种分法？26、我们设n为大于5的正奇数，那么紧邻它而比它小的两个奇数可以表示为n －2和n－4，紧邻它而比它大的奇数可以表示为n＋2和n+4，因为n＋（n－4）+（n－2）＋（n＋2）+ （n+4）＝5n，所以我们可以说五个连续的奇数之和一定能被5整除.试用上面的方法说明“五个连续的正整数之和能被5整除”.回家作业：一：填空题：1、统称为自然数。
六年级第一讲：数的整除2篇
六年级第一讲：数的整除2篇六年级第一课：数的整除（第一篇）整数是我们数学课程中的重要内容之一。
在整数中，我们学习了许多相互关系，如数的比较、数的加减运算等。
而今天我们要学习的是数的整除。
整除是一个重要的概念，我们需要明确其含义。
当一个数能够被另一个数整除时，我们就可以说这个数是另一个数的倍数。
比如，如果一个数能够被2整除，那么我们就可以说这个数是2的倍数。
例如，4、6、8都是2的倍数，因为它们都可以被2整除。
那么，如何判断一个数能否被另一个数整除呢？我们可以使用除法来帮助我们判断。
例如，当8除以4时，我们发现8可以被4整除，所以我们可以说8是4的倍数。
此外，我们还可以使用数表法来发现规律。
我们可以列出一组数字，然后观察它们是否能够被某个数整除。
例如，我们观察一组数字：2、4、6、8、10。
我们发现这组数字都能够被2整除，所以我们可以得出结论，2、4、6、8、10都是2的倍数。
数的整除在我们的日常生活中也有很多应用。
例如，我们去超市买东西，商品通常会有价格标签，标签上会有价格和商品数量。
当我们要买一些相同商品时，我们可以通过除法来判断我们要买的数量能否被一包商品的数量整除。
如果可以，我们就可以直接按照包装的数量购买，这样就能节省一些时间和金钱。
总之，数的整除是一个相对简单但又重要的概念。
通过学习和理解整除的含义，我们可以更好地应用于我们的日常生活中。
通过数的整除，我们能够更好地判断一个数是否是另一个数的倍数，为我们的计算和购物带来便利。
六年级第一课：数的整除（第二篇）在上一篇文章中，我们了解了数的整除的基本概念和应用。
今天我们将继续学习数的整除，并且进一步探讨整数倍数的性质。
首先，我们要了解什么是公倍数。
当一个数同时是两个或更多数的倍数时，我们可以称之为这些数的公倍数。
例如，12是3和4的倍数，那么我们可以说12是3和4的公倍数。
那么如何求两个数的公倍数呢？我们可以通过列举法来找到它们的公倍数。
以3和4为例，我们可以列出3的倍数和4的倍数，然后找出它们共有的数。
小学奥数全能解法及训练精讲-数的整除
各个数位上数 字的和能被3、 9整除。
精讲4
整除判断方法
能被11整除
奇数位上的数字和与偶 数位上的数字和的差能 被11整除。
能被7、11、 13整除
末三位上数字所组成的数 与末三位以前的数字所组 成的数之差能被7、11、 13整除。
典例精析
例1 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。
思路分析：
如果a能被b整除,c是整数,那么a乘c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
精讲3
整 除 判 断 方法
2、5
末位上的数字 能被2、5整除
4、25
8、125
3、9
末两位的数字 所组成的数能 被4、25整除。
末三位的数字 所组成的数能 被8、125整除。
能被2、5整除,个 位数应为0,其他 数位上尽量取9。
答案揭秘：
□ 用7去除999 0, 方
框内应填6,所以, 最
大五位数是99960。
例2
1～200这200个自然数中,能
被6或8整除的数共有多少个？
思路 分析
先求出1～200中能 被6或8整除的数分 别有几个,再找出它 们的公倍数有几个。
例2
答案 揭秘
能被6整除： 200÷6=33… 2 能被8整除： 200÷8=25 最小公倍数：［6,8］=24 同时整除： 200÷24=8 … 8 共有个数
举一反三
已知一个五位数A691B能被55整 除,所有符合题意的五位数是_____。
规
五位数A691B能被55
律
整除,五位数既能被5
总
六年级上册数的整除
六年级上册数的整除一、数的整除的基本概念。
1. 整除。
- 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
例如：15÷3 = 5，我们就说15能被3整除，3能整除15。
2. 因数和倍数。
- 如果a×b=c（a、b、c都是非0的整数），那么a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
例如：3×4 = 12，3和4是12的因数，12是3和4的倍数。
- 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
例如：6的因数有1、2、3、6，其中最小因数是1，最大因数是6。
- 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
例如：3的倍数有3、6、9、12……，最小倍数是3。
3. 能被2、3、5整除的数的特征。
- 能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
例如：10、12、14等都能被2整除。
- 能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数。
例如：10、15等能被5整除。
- 能被3整除的数的特征：一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。
例如：123，各位数字之和1 + 2+3 = 6，6能被3整除，所以123能被3整除。
4. 偶数和奇数。
- 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
例如：2、4、6是偶数，1、3、5是奇数。
- 0也是偶数。
5. 质数和合数。
- 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
例如：2、3、5、7等都是质数，2只有1和2两个因数。
- 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
例如：4、6、8、9等都是合数，4的因数有1、2、4。
- 1不是质数也不是合数。
6. 分解质因数。
- 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。
例如：12 = 2×2×3，2和3都是质数，这就是12的分解质因数。
- 分解质因数的方法：可以用短除法。
小学奥数教程之数的整除
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
数的整除学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识梳理1.常见数字的整除判定方法（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）注：在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。
对于11的单独判定特性需要重点讲解。
2.整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．注：在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．可以引入下面的问题2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am （m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；3．重点难点解析（1）.常见数字的整除判定性质（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用（4）．试除法的理解和应用4.竞赛考点挖掘（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目（2）.代数式之间的整除性问题例题精讲【试题来源】【题目】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。
六年级奥数全教程
第一章 数与计算第一单元 同余问题1．知识前提。
（1） 整除：如果整数a 除以自然数b ,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或b 能整除a 。
（2） 乘方的意义：求n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
n 个相同因数a 相乘，即n aa a a •L 14243个，记做n a 。
其中a 叫做底，n 叫做指数，na 读做a 的n 次方。
（3） 幂的运算法则：① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即m n m n a a a +•=。
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即 ()mn nm a a =。
③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
即 ()nn n ab a b =•。
2．同余如果两个整数的a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记为a =?h （mod m ）。
我们把m 称为模。
如果a 、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a 、b 对于m 是同余的。
3．规律、方法应用。
（1） 反身性规律：a 和a 对于m 同余。
（2） 对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。
（3） 传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。
（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a ＋c ，和b ＋d ，a －c 和b －d ，a c 和bd 对于m 同余。
（5） 同余的乘方规律：如果a 和b 对于m 同余，那么n a 和n b 也对于m 同余。
（6） 同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……na 和nb 对于m 同余，那么123n a a a a +++L 和123n b b b b +++L 也对于m 同余。
六年级数学上册《数的整除》教案
六年级数学上册《数的整除》教案一、教学内容1. 整除的定义：如果一个整数a除以大于0的整数b，商为整数，且余数为0，那么我们说a能被b整除。
2. 整除的特征：能被2、3、5整除的数的特征。
3. 整除的性质：如果a能被b整除，那么a的倍数也能被b整除。
二、教学目标1. 理解整除的概念，掌握整除的特征和性质。
2. 能够运用整除知识解决实际问题，提高逻辑思维能力。
3. 培养学生合作交流、自主探究的学习习惯。
三、教学难点与重点教学难点：整除性质的运用。
教学重点：整除的定义、特征及性质。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入让学生分组，每组发放一些数字卡片，要求他们将卡片分成能被2、3、5整除的数。
通过这个活动，让学生感受到整除在实际生活中的应用。
2. 例题讲解（1）讲解整除的定义，举例说明。
（2）讲解能被2、3、5整除的数的特征。
（3）讲解整除的性质，并通过例题进行演示。
3. 随堂练习出示一些题目，让学生判断哪些数能被2、3、5整除，并说明理由。
4. 小组讨论让学生分组讨论如何运用整除知识解决实际问题，如分配物品、计算平均数等。
六、板书设计1. 板书数的整除2. 板书内容：（1）整除的定义（2）整除的特征：能被2、3、5整除的数的特征（3）整除的性质（4）实践应用：分配物品、计算平均数等七、作业设计1. 作业题目：（2）一个数能同时被2和3整除，这个数最小是多少？（3）已知一个数能被3整除，那么这个数的倍数也能被3整除吗？为什么？2. 答案：（1）能被2整除的数：12、18、20、24。
能被3整除的数：12、15、18、21、24。
能被5整除的数：15、20、25。
（2）6（3）能。
因为如果一个数能被3整除，那么它乘以任意整数后，仍然能被3整除。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对整除的定义、特征和性质掌握程度如何？在教学中是否存在需要改进的地方？2. 拓展延伸：引导学生思考如何运用整除知识解决更复杂的问题，如求解最小公倍数、最大公约数等。
2024年六年级数学《数的整除》精彩教案设计
2024年六年级数学《数的整除》精彩教案设计一、教学内容本节课选自2024年六年级数学教材第二章《数的整除》第1节，内容包括整除的概念、性质、判定方法以及与倍数的关系。
详细内容如下：1. 整除的定义：当一个整数a除以大于0的整数b，商为整数且余数为0时，我们称a能被b整除。
2. 整除的性质：若a能被b整除，那么a的任意倍数也能被b整除。
3. 整除的判定方法：通过因数分解、试除法等方法判断一个数是否能被另一个数整除。
4. 倍数与整除的关系：若a能被b整除，则a是b的倍数。
二、教学目标1. 理解整除的概念，掌握整除的性质，能正确判断两个数之间是否存在整除关系。
2. 学会使用因数分解、试除法等方法判断一个数是否能被另一个数整除。
3. 掌握倍数与整除的关系，能灵活运用整除知识解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：整除性质的运用，因数分解和试除法的灵活运用。
教学重点：整除的定义，整除与倍数的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入利用生活实例，如分苹果、糖果等，让学生体会整除的意义。
2. 例题讲解（1）通过具体例题讲解整除的定义和性质。
（2）讲解因数分解和试除法判定整除的方法。
3. 随堂练习（1）让学生根据例题尝试解决类似问题。
（2）针对练习中的错误，及时纠正并讲解。
4. 小组讨论（1）讨论整除在实际生活中的应用。
（2）探讨整除与倍数的关系。
（2）拓展整除知识，引入最大公因数、最小公倍数等概念。
六、板书设计1. 整除的定义2. 整除的性质3. 判定整除的方法4. 倍数与整除的关系七、作业设计1. 作业题目（2）找出36的所有因数，并判断哪些是36的倍数。
2. 答案（1）6能被2整除，12能被3整除，18能被3整除，24能被3整除，30能被5整除。
（2）36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，其中2、3、4、6、12、18、36是36的倍数。
小学六年级奥数全册精品讲义
第一讲分小四则混合运算一、数的互化1.小数化成分数：2.分数化成小数：3.分数化成有限小数与无限循环小数的条件：4.小数化成百分数：5.百分数化成小数：6.分数化成百分数：7.百分数化成小数：二、数的整除1.把一个合数分解质因数，通常用。
2.求几个数的最大公约数的方法是：3.求几个数的最小公倍数的方法是：4.成为互质关系的两个数：三、约分和通分1.约分的方法：2.通分的方法：四、性质和规律1.商不变的规律2.小数的性质3.小数点位置的移动引起小数大小的变化4.分数的基本性质5.分数与除法的关系五、运算的意义1.整数四则运算2.小数四则运算3.分数四则运算4.运算定律5.运算法则6.运算顺序例1：计算：例2：计算：例3：计算：例4：解关于x的方程：例5. 已知，那么□＝________。
例6. 计算例7. 计算：183706581327185131713⨯+⨯-⨯+÷.1997199719981997÷1997199719971998÷111151 2.4538322x x ⎛⎫+⨯-=⨯+ ⎪⎝⎭16241770012781.[()].⨯-⨯÷=□19931219921319911219901311213-+-++- 96891993110324251993.⨯+⨯⨯A1.2. 3.4. 5. 2005×97.75＋4010×1.1256. 37×1111＋7777×9B 7. 199×208－198×2098. 35×67－34×689. 10. 11. 12×3434－34×121212. 20182018×1998－19981998×201813. 14. C15. 16.585757⨯411412001÷199819971997⨯51151601÷35225533951⨯+⨯+⨯361911361117⨯+⨯124123123123÷157511574157315731573+÷104103105535353353535159⨯-⨯200320022004131313111111169⨯+⨯17. 18. 19. 20. 1. 计算： 2. 计算：3. 计算：4.计算：5. 计算：6. 计算： 10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯101992972752532⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯90197217561542133011209127651+-+-+-+-413121()514131211(4131211(51413121(++⨯++++-+++⨯+++9999100999999⨯+.[(.](.)65233121815719510-÷-⨯+=□()6117665811121995131133131741221+÷++144855183661533555412⨯÷-+⨯+-(...)(.(()()()(112113114115111998-⨯+⨯-⨯+⨯⨯- 1110210545554021415⨯⨯⨯⨯⨯...1. 31×43－31＋58×312. 3. 4. 56×78＋13×83＋27×78＋83×95. 6. 7. 199 + 99×998. 7.63×9.9＋0.7639. 3.74×5.8＋62.6×0.5810. 3.43×14＋1.4×75.7－1411.12. 536375.04.383⨯+⨯201128.245.7542⨯+⨯09.125.15491.0⨯+÷537632124⨯+÷%5.37625.1583834375.0⨯+-⨯1012694.8437⨯+⨯第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
奥数题解析“数的整除”解题方法
奥数题解析“数的整除”解题方法奥数题解析“数的整除”解题方法本文将要教各位同学小学奥数题目中“数的整除”这一问题的解析思路和技巧，提供给各位同学学习。
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.11与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.2若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
3若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
4若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
5若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
6若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
7若一个整数的个位数字截去，再从余下的.数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
奥数数论：数的整除问题要点及解题技巧（六年级）
奥数数论：数的整除问题要点及解题技巧（六年级）
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
小学六年级奥数 整除综合之整除判别方法
【例6】(★★★★)
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数， 共有多少个。
【例7】 (★★★)
如果(a＋2b)是7的倍数，求证：(3a－b)也是7的倍数。 (a、b都是 自然数)。
一、本讲重点知识回顾 1．末尾系：2,5；4,25；8,125
2. 和系：3,9；99
3. 差系：7,11,13
11倍数
若：11 d c b a 则 11 abcd
5．拆分系 12=3×4 ，72＝8×9，1001＝7×11×13…… 注：要拆分成互质的数
三位一段求数段差：7、11、13
6．试除法
abcdefg 1000000a 1000bcd efg
999999a 1001bcd efg bcd a
9倍数
若：9 a b c 则 9 abc
两位一段求数段和：99
abcde 10000a 100bc de 9999a99bc de bc a
99倍数
若：99 de bc a 则：99 abcde
4．差系 一位一段求数段差：11
abcd 1000a 100b 10c d 1001a99b 11c d c b a
整除综合之整除判别方法
1．整除的意义 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除。 2．末尾系 能否被2或5整除是看末一位； 能否被4或25整除是看末两位； 能否被8或125整除是看末三位。
3．和系 一位一段求数码和：3和9 abc 100a 10b c 99a9b a b c
若 ：1 0 0 1 efg b cd a 则 ：1 0 0 1 a b cd efg 1
奥数数的整除讲义,理解练习含答案解析
数的整除（1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b ）或差（a - b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a 必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4 （或25 ）整除，则这个数能被4 （或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8 （或125 ）整除，则这个数能被8 （或125 ）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3 （或9）整除，则这个数能被3 （或9）整除。
（4 ）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7 （或13）整除，则这个数能被7 （或13）整除。
奇偶性：（1 ）奇数土奇数=偶数（2）偶数土偶数=偶数（3 ）奇数土偶数=奇数（4）奇数X奇数=奇数（5）偶数X偶数=偶数（6）奇数X偶数=偶数（7）奇数一奇数=奇数（8）•••【典型例题】例1 :」个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几?例2 : 1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?例3 :任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数?例4 :有“ 1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个?例5如果41位数芳…299…9能被7整除，那么中间方格内的数字杲几？【精英班】屏20“【竞赛班】例6 :某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？【课后分层练习】1、判断306371A组：入门级能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
六年级奥数数地整除
实用文档，0b，商是整数且余数为整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数的一个因数a此时，b是a，记作b丨a.我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除. 的倍数是b，（约数）a 整除的性质 1.. ）整除（这里设a>ba+b，a-b也都能被m性质1如果a和b都能被m整除，那么. ）丨（18-1218+12），3丨18，3丨12，那么3丨（例如：3 c整除。
c能被整除，那么a 能被2如果a能被b整除，b性质24.3丨6丨24，那么例如： 3丨6， a也一定m、n整除，那么性质3如果a能同时被.n的最小公倍数整除能被m和36. 18丨的最小公倍数是18，丨36，6和9丨例如：636，9. ，那么它们称为互质的如果两个整数的最大公约数是1.是互质的18与91 例如：7与50是互质的，. 整除×cc与互质，那么a能被b性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b72 互质，与43和4整除，由3 例如：72能分别被.整除的乘积12能被3与4488整除，但不能被乘积.72分别能被6和性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的2. 8的最大公约数是不互质，6与与整除，这就是因为68 互b与c因为性质4可以说是性质3的特殊情形.，我们常常运用如下解题思路：c.事实上，根据性质4 质，它们的最小公倍数是b×. c整除整除与被ba被整除，如果a被b×cb与c互质，就可以分别考虑，a 要使整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征11，9，，，3，4，58能被 2. 来判断许多数的整除问题数的整除特征 2.2整除的数的特征：（ 1）能被. 整除如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被 2 5整除的数的特征：）能被（2.整除，那么它必能被或如果一个整数的个位数字是 055实用文档）整除的数的特征：（或93 （）能被3. ）整除（或93（或9）整除，那么它必能被3 如果一个整数的各位数字之和能被）整除的数的特征：（或25 （4）能被4. ）整除（或25（或25）整除，那么它必能被44 如果一个整数的末两位数能被）整除的数的特征：（或125（5）能被8. ）整除（或125（或125）整除，那么它必能被8 如果一个整数的末三位数能被8 11整除的数的特征：（6）能被那么它11整除，如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被.11整除必能被：例1 b是什么数字？18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和四位数7a4b 能被. 9整除，可以分别考虑被2和9，并且2与9互质，根据前面的性质4解：18=2×8. ，，，46整除，b只能是0，2 要被27+4=11. 整除，已有9整除，四个数字的和就要被9 再考虑被； a=7，此数是 7740 如果 b=0，只有；a=5，此数是7542 如果b=2，只有；，此数是73444，只有a＝3 如果b＝；，此数是 7146，只有 a＝1如果 b＝67848. 8，此数是8，只有a＝＝如果b7146.因此其中最小数是. 1就是一个典型根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这只桶，共□67.92一本老账本上记着：72例.笔账补上，4.按照前面的性质88，9与又互质.72把□解：67.9□写成整数679，它应被72整除＝9×96792能被b＝2.从整除的特征，9整除.从被879要被8整除，因此被只要分别考虑6798和被3. ＝9整除，因此a能被整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24.元这笔帐是367.92六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可6，45，，在例31，23，.，使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小以重复出现）整除，64255解：如果选数字，组成数的最后一位数字就必须是，这样就不能被偶数，，实用文档，1，而选其他五个数字，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5也就是不能选2，4整除，只能再添上36，所用的数字之和要能被16，为了能整除3和2，3，4，6.1+2+3+4+6＝ .整除组成的数是整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4一个2，16+2＝18能被3122364.. 55整除，求出所有这样的四位数7□4□能被例4四位数. 11整除11互质，可以分别考虑被5与＝5×11，5与解：555. 0或要被5整除，个位数只能是.11整除再考虑被7040. 0，所得四位数是）要能被11整除，百位数字只能是（7+4）-（百位数字+0（零能被所有不等于零的整6）要能被11整除，百位数字只能是（7+4）-（百位数字+57645.，所得四位数是数整除）7645.，满足条件的四位数只有两个：7040最大的是哪一这样的数中，并且它能被11整除，例5一个七位数的各位数字互不相同，个？11，要使它被，设这个七位数是98765ab 解：为了使这个数最大，先让前五位是98765 ）（14+a（21+b）-（整除，要满足（9+7+5+b）-8+6+a）=中的两个，4，2，3整除，但是a与b 只能是0，1整除，也就是能被117+b-a要能被119876504. 0，满足条件的最大七位数是，a ＝数，只有b＝4思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？）（答：1023495都整除，那么它的最后三个数98，，6，7，2例6某个七位数1993□□□能被，3，4，5字组成的三位数是多少？.解一：从整除特征考虑0. 这个七位数的最后一位数字显然是.整除8，，7 另外，只要再分别考虑它能被9整除，最后三位组，要被8整除，十位与百位的数字和是5或14，要被＋＋ 19＋93＝229 整除，因此只可能是下面三个数：成的三位数要能被8 1993680，， 19935001993320，320.整除，因此所求的三位数是能被其中只有 1993207实用文档.…101，5，7，，一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2不是质.1501，…12，99，一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，个约数的整3恰好只有两个约数的整数是质数，至少有数，也不是合数.也可以换一种说法，.1只有一个约数，也就是它本身数是合数，，但是奇数不一定是质数，例如，15质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数..33， (209)+△）例9○×（□. 在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立209可以写成两个质数的乘积，即解：19.11× 209＝，偶质数只有2+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，不论○中填11或19，□17. ，而□填不是质数，因此○填，911不妨假定△内填2.当○填19，□要填9 ，2）＝209 这个算式是 11×（17＋209.）＝2＋17 11×（把一个整数分解成若干个整数的乘.的首要一步是把209分解成两个质数的乘积解例9这也是这一节所讲述的主要是解决整数问题的一种常用方法，积，特别是一些质数的乘积，.内容的427，都是一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，.的因数，但不是质因数也是42质因数，6，14 例如如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，任何一个合数，5.3×2×3× 360＝2×2×5.3×＝2×还可以写成360233次方，在的33称为2的指数，读作22表示3个2相乘，32个3相乘.在中，2 这里表示2233.2次方3称为的指数，读作3的中，2，岁，而他们的年龄的乘积是5040 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1例10那么，他们的年龄各是多少？分解质因数解：我们先把5040 7.5××＝23×5040 24再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：10.×××＝××3× 25778924实用文档.岁9岁和10 所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、为寻求一般方.（包括1和它本身）利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数. 法，先看一个简单的例子对于较大的数，如果一个一个地24.，12，4，6，82 我们知道24的约数有8个：1，，3，.去找它的约数，将是很麻烦的事）之间的31，，2）与3的约数（，3，所以24的约数是2的约数（12，2 因为24＝2×3323.两两乘积3.×，2，2×13，2×1，2×3× 1×1，1×3，2×1，23322）＋1中的2，有（3＋1）个，即对于24＝2×3（这里有4×2＝8个，即 3＋1）×（133. 1）种选择）×（1＋1）种选择.因此共有（3＋1，对于种选择：1，2，2，23有（1＋32这个方法，可以运用到一般情形，例如，.×3144＝2 24. （个）2+1）＝15144的约数个数是（4＋1）×（因此. 的所有整数150之间，找出约数个数是811在100至例. ）两种情况＋13＋1）×（18解：有＝7＋1； 8＝（，符合要求，＝128（1）2 7. 7次方的数符合要求＞ 3150，所以不再有其他78，2）2＝（3.136，符合要求×17＝8×13＝104， 8；3＝27 3.符合要求5＝135 只有27×136. 135，，个数合要求：128，104，它乘以任何质数都大于 5＝135150，因此共有43先把它们各自进行利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.质因数分解，例如7.××3＝3×5，1682× 720＝2324上面两个整数都含有质因那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，的最大公约数是720与168，类似地都含有2数，较低指数次方是23，因此3 24.＝× 23372请注意在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数 .实用文档 168的最小公倍数是，可以认为较高指数次方是5=5.720与0中有5，而168中无515040. 7＝×5× 2×324另一个数是90，30，已知其中一个数是12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是例多少？，3×5解：180＝2×225.×2×3 30＝而最大公约数是在两数中取最小公倍数是在两数中取次数较高的，对同一质因数来说，，33就知道，一数中含，另一数中含2；从3与次数较低的，从2与2就知道，一数中含22222，从一数是另一数中含35.××3 90＝2 2就知道另一数是60.5＝2×3×2还有一种解法：30的整数倍，也就是在下面这些数中去找另一数一定是最大公约数.，…，， 90 120 30， 60现在碰巧第二30.180，最大公约数是否是这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是.逐一去检验，有时会较费力就是.60个数如果把所有这样的分数从420. 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是例13小到大排列，那么第三个分数是多少？ 420分解质因数解：把7.×5×3×420 ＝2×2，相同质了）分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420 为了保证分子、分子从小到.），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母因数（上面分解中的2 大排列是20.15，，，4，57，12，， 13 分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是实用文档. 就称这两个数是互质的两个整数，如果它们的最大公约数是1..分解成两个互质的整数实质上是把420 例13是非常基本又是很有用的方法，把一个整数分解成若干个整数的乘积，利用质因数分解，.再举三个例题个个数，并且每组4，110分成两组，每组47845，65，77，，105例 14将8个数6，24，.数的乘积相等，请写出一种分组个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也要想每组4解：. 8个数分解质因数一样才行.把 3，＝2× 24 6＝2×3，3 13，＝5×45＝3×5， 65 2，3×13 78×11，＝2× 77＝711.×2×55×7， 110＝ 105＝3×，6的因子，必须把为了使第二组里也有三个先放指数最高的质因数，把24放在第一组，21，看质因数777和65放在第一组中.78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把放在第一组中，得到应放在第二组中，450545. 77，，第一组：2465，105.110，6，78，第二组：. --完全平方数在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数都是完全平625144，×25.4，9，＝，3×3 144＝12×12， 62525＝×例如： 4＝22， 9. 方数. 一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数，…×＝25×例如：144＝34， 100 2222，那么甲数和乙280010个约数，甲、乙两数最小公倍数是15 例甲数有9个约数，乙数有数分别是多少？.所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对解：一个整数被它的约数除后，.它的约数的个数才会是奇数只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，.因此，甲数是一个完全平方数7.××2800＝25 24在它含有的约数中是完全平方数，只有实用文档.52×，5，2×5 1，2，2，2222442.（个））＝92＋1）×（2+1 在这6个数中只有2×5＝100，它的约数是（22，因此乙数至少要含52× 2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22112. （个）约数，从而乙数就是）＝10）×（1＋17，而2×7＝112恰好有（4+1有2和44112.100，乙数是综合起来，甲数是.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵支共用了17元.例16小明买红蓝两种笔各1元恰，可是他无论怎么买都不能把35小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种）好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？17-元恰好用完），也不能是7元（否则能把35＝355×7.红、蓝的单价不能是5元或解：. 7元支是5元或17-7＝10（元），否则另一种笔1（元）和5＝12.这四个数10，125 记住：对笔价来说，已排除了，7，元恰好都买成笔，18如果笔价是18的约数，就能把笔价不能是35-17=18（元）的约数.，3，2，.因此笔价不能是18的约数：1再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了9.，6现在笔价又排除8. 17-9＝17-6＝11，，16，17-2＝1517-3＝14，当然也不能是 17-1＝了：16.15，11，14，3，6，8，9， 1，2，元，蓝笔每支17，就知道红笔每支 13＝13未被排除，而4＋134 综合两次排除，只有与.元4 三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例通常的表示是：不能整除就产生了余数.3， 48÷5.÷如 95 3.7…… 38÷5＝21 65÷3＝…… 2，就是余数，写成文字是3上面两个算式中2和.商……余数被除数÷除数=上面两个算式可以写成3.＋5×7＝＋＝ 653×212， 38 也就是.除数×商=+余数被除数出发去考虑问题，这正是某些它使我们容易从“余数”通常把这一算式称为带余除式，实用文档.整数问题所需要的. 特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据. 15.求这个质数175397被一个质数除，所得余数是例解：这个质数能整除5382， 5397-15＝3＝2×而 538223.×13×199723.大，除数又是质数，所以它只能是因为除数要比余数15从而得求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，当被除数较大时，.到余数.的余数645763除以7例18求3余下，再去掉140015763，再去掉14000还余下 1763解：可以先去掉7的倍数630000余这个过程可简单地记成，最后得出余数是6.，再去掉350余13636.13→1763→363→645763 →15763→如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：6.1000→→15000→ 645763 带余除法可以得出下面很有用的结论：. 如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除那么这个整数是多少？，2001得到相同的余数，1的整数，它除967，1000例19有一个大于的两两之差，即，2001解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，100011，＝＝333× 1000-967 ，13×11×2001-1000 ＝1001＝747. ××11＝ 2001-967＝1034211.这个整数是这三个差的公约数因为另一个差总可以由这两请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了..个差得到，与2001-10001000-967 例如，求出差那么差））＋（＝（ 2001-9672001-10001000-967实用文档33 1001＋＝1034.＝从带余除式，还可以得出下面结论：乙两数之和被这个除数除，得到两个余数，那么甲、甲、乙两数，如果被同一除数来除，.它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数除13＝14被13除，余数是5＋9除余13除余5，152被139，那么57+152=209被被例如，571.的余数，从第三个数起，每个数恰40，第二个数是例20有一串数排成一行，其中第一个数是15除的余数是多少？个数被3好是前面两个数的和，问这串数中，第1998除的余数有什么规律，3我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被解：根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数.但这样做太麻烦除的余数，这样就很容易算出前十个，就得到这个数被33被3除所得的余数相加，然后除以 3除的余数，列表如下：数被.3除的余数相同从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数，每八个循环一次，因为因此这一串数被 6，×249＋ 1998＝ 82. 除的余数一样，也就是3除的余数，应与第六个数被3 所以，第1998个数被计算钟点是.我们的计算方法，就是循环制. 一些有规律的数，常常会循环地出现12.11，9，10，74，5，6，，8，31 ，2，，. 这十二个数构成一个循环按照七天一轮计算天数是.日，一，二，三，四，五，六除的余数这也是一个循环，相当于一些连续自然数被76，，， 4 5，， 0 1， 2 3.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象的循环..用数来反映循环现象也是很自然的事个数的循环，71212循环现象，我们还称作具有“周期性”，个数的循环，就说周期是，实用文档. 发现周期性和确定周期，是很有趣的事20中余数的周期是8.研究数的循环，7.就说周期是例在讲述例题之前，再讲一个从带余除式下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子. 得出的结论：那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数..余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数除后被 115＝20＝999被 11除的余数是 4×2737被11除余4，被11除余5，37×27 例如， 9.的余数4. ＝2×21997×1997被7除的余数是2 1997＝7×285＋，就知道除余几？ 19被7例211997我们只要考虑一.7除的余数相同219被7除的余数与被解：从上面的结论知道，19971997. 除的余数的连乘，被7些2 先写出一列数8，＝×2×2 2，2×2＝4，2.16，…2×2＝ 2×2× .列表如下：然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律除的77除，就可以得到后一个数被2 事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以，再被）.（为什么？请想一想.余数就根据上面对余数的计算，都是2.第四个数与第一个数的余数相同，从表中可以看出，循环的周期是.3个数循环一轮知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3.2.665 ＋1997 ＝ 3×4.除的余数相同，这个余数是被 7 2 就知道2被7除的余数，与19971997.再看一个稍复杂的例子每个数的三倍都恰好等于它两边两个数个数排成一行，70除了两头的两个数以外，例22 .这一行最左边的几个数是这样的：的和.55，…，3，821，，， 01 除余几？个数）被问：最右边一个数（第 706实用文档倍减去再前一个3 解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的数：，×3-0 3＝1 ，×3-1 8=3 ，×3-3 21=8 ，×3-8 55=21 ……能否从前面的余数，那就太麻烦了.真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，不过，，从第三个数起，余数的算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？）计算办法如下：. 6除，所得余数即是将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：因为我们求被这在小学数学范围不允许，0×3-1 注意，在算第八个数的余数时，要出现 1. 再来减3加66除的余数，所以我们可以 0×从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就12.知道余数的循环周期是5+10.×＝12 704. 6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是因此，第七十个数被在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：.，求这个数余2，除以2，除以5余37一个数除以 3余它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余这样的问题，也有人称为“韩信点兵” .目，这是由中国人首先提出的.式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”.但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，. 这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法余几？，问这个数除以余，除以余有一个数，除以例 23324112实用文档的数有：余2 解：除以3.…， 23， 17， 20， 2 5， 8， 11，14的余数是：它们除以12.11，…5，8，2，5，8，11，， 2 1的数有：除以4余.29，… 21， 25，， 9， 13， 17， 1， 5 12的余数是：它们除以.9，…， 5，1， 5， 9， 112是共同的，因此这个数除以5的余数是唯一的.上面两行余数中，只有一个数除以125.的余数是然后逐个考的整数，4除余1我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被上面解法中，这样的列举的办法，在考虑的.除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数虑被12.数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的很明显，满足条.12除的余数，而是求这个数的问题改变一下，不求被如果我们把例23 件的数是很多的，它是×整数，＋ 12 5的最43与5后，注意到12是整数可以取 0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出”余1余2，除以4小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先”一个条件.两个条件合并成“除以12余5. .然后再与第三个条件合并，就可找到答案把两个条件合并成一个. ，求符合条件的最小数7余22余，除以5余3，除以例24一个数除以3 的数：3余2 解：先列出除以 26，…， 20，23， 17 5，， 8， 11， 14，， 2 3的数：再列出除以5余.，…， 28，， 13 18， 23， 3 8 15.两个条件合并成一个就是8.3与5的最小公倍数是这两列数中，首先出现的公共数是×整数，＋158列出这一串数是，…，，， 8 23 38实用文档的数7余2 再列出除以，…，， 30 9， 16， 23 2，23.就得出符合题目条件的最小数是23. 除余事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105.最后再看一个例子整整除，中间的能被5至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3例25在100. 7整除，写出这样的三个连续自然数除，最大的能被.1）整除（又是被3除余解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被511.，下一个连续的自然数是和例如，找出91056＝×37的整数倍，使加得的数能被整除.11＋155 3和的最小公倍数是15，考虑11加15.7整除3，5，56能被7整除，那么54，55，这三个连续自然数，依次分别能被所求三105.7的最小公倍数5，56分别加上3，，54100 为了满足“在至200之间”将，55 数是 161.160， 159，5.除余，被5除余47整除，被，它被200100 注意，本题实际上是：求一个数（～之间）3 24解法有哪些相同之处？请考虑，本题解法与例。
六年级下册奥数试题数的整除特征(一)全国通用(含答案)
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；（3）末位数为0或5。
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第一讲数的整除学生黄文浩学生年级六年级学科数学授课教师马老师上课日期2016年 9 月24 日时段核心容数的整除课型一对一教学目标1.熟记2、5、3的倍数的特征。
2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。
3.综合运用所学知识灵活解决问题。
重难点掌握2、5、3、8、9、11的倍数的特征，解决问题。
【课首沟通】了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况；适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征；引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。
【知识导图】精准诊查【课首小测】1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？（口述回答）2.从下面四数字卡中取出三，按要求组成三位数。
（有几个写几个）奇数：（ ）偶数：（ ） 2的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 既是2又是3的倍数：（ ）【知识梳理】能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。
能被5整除的数：个位数是0或5。
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数导学一 2、5的倍数的特征 1.判断题。
（1）两个奇数的和不一定是偶数。
（ ） （2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
（ ）2.填一填。
（1）2的倍数中最小的三位数是（ ）；最大的三位数是（ ）。
（2）5的倍数中最小的两位数是（ ）；最大的两位数是（ ）。
（3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（ ）。
奇数＋奇数＝ 偶数＋偶数＝ 奇数－奇数＝ 奇数＋偶数＝奇数×奇数＝ 奇数×偶数＝3.选择题（1）能被5整除的数，个位上是（ ）。
A、2 4 6B、1 3 5C、0 5（2）既是2的倍数又是5的倍数的数中，最小的两位数是( ).A、10B、20C、25（3）一个奇数如果（），结果就是偶数。
A、乘1B、减2C、加1（4）如果用n表示自然数，那么偶数可以表示为（）。
A、2nB、n＋2C、n－14.解决问题。
食品店运来85个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个面包装一袋，能正好装完吗？为什么？答：。
【知识梳理】各位上的数的和能被3整除导学二 3的倍数的特征1.判断题（1）1既不是质数也不是合数。
（）（2）个位上是3的数一定是3的倍数。
（）2.填空题（1）在□里填一个数字，使每个数都是3的倍数□5，□里可以填（）; 3□7，□里可以填（）;□78，□里可以填（）; 14□3，□里可以填（）;60□1，□里可以填（）。
（2）在15、18、25、30、19中，2的倍数有( )，5的倍数有( ),3的倍数有( )，既是2、5又是3的倍数有( )。
（3）一个两位数，它既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是（）。
（4）能被2、3、5整除的最小两位数是（）。
3.解决问题（1）我是一个两位数，同时是2和5的倍数，十位与个位上的数字之和是6，我是多少？答：。
（2）有1包糖果，无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1块；如果平均分给3个人，那么正好分完。
这包糖果至少有多少块？答：。
【知识梳理】能被4整除的数：末两位数能被4整除。
能被8整除的数：末三位数能被8整除。
能被9整除的数：各数位上的数之和能被9整除。
难点：导学三 4、8、9的倍数的特征例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
能被4整除能被8整除能被9整除解：能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。
例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？答：。
解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
【知识梳理】一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
难点：导学四 11的倍数的特征例1.判断42559，7295871能否被11整除？分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
解：42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。
例2.有一个六位数能被11整除，这个六位数是。
例3.求下列数除以11的余数。
（1）65636 （2）19683578分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
求余数的时候也一样，用他们的差除以11，所得的余数就是该数除以11的余数。
但有时候奇数位数字之和远大于偶数位数字之和时，可以用偶数位数字之和减奇数位数字之和的差除以11。
【知识梳理】数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
导学五数的整除的综合应用例1从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
例2五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？A代表B代表分析与解：例 1.因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例2.已知能被72整除。
因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。
再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。
在这个围只有27能被9整除，所以A＝7。
解答的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A 所代表的数字。
在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。
例3 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。
再由六位数能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。
B可取0，3，6，9这4个值。
由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。
例4要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。
先试取A=0。
六位数的各位数字之和为12＋B＋C。
它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。
因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。
限时模拟（10分钟）1．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。
在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？答：。
2．学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？答：。
3.五位数能被12整除，求这个五位数。
答：。
【课后练习】1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？4．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？5．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。
1、学完这节课的容后，完成本堂课的课后作业。
2、标注理解不够深刻的例题回去复习。
本堂课中的错题要写到错题本上，下节课会对错题进行练习。
3、总结数的整除特征。