浙教版中考三角形综合总复习
浙教版八年级三角形复习+尺规作图专题资料
第一章三角形【夯实基础】一、认识三角形1.三角形的概念及其分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
分类：①按内角大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形②按边分为两类：等腰三角形和等边三角形2.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边3.三角形的内角与外角（1）三角形的内角和为180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角③一个三角形中至少有两个内角是锐角（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和4.三角形的角平分线、中线、高和垂直平分线（1）角平分线定义：三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线性质：①角平分线可以得到两个相等的角②角平分线上的点到角两边的距离相等③三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边距离相等④三角形一个角的平分线，此角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例（2）中线定义:三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形有三条中线 性质：①三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心，重心分中线为2:1 ②任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。
中线都把三角形分成面积相等的两个部分③在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半（3）高定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段 性质：①锐角三角形：三条高都在三角形内部，交点也在三角形内部 ②直角三角形：两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。
交点是直角的顶点。
③钝角三角形：钝角的两边上的高在三角形外部，交点在三角形的外部（4）垂直平分线（中垂线） 定义：经过某一条线段的中点，且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线，又称“中垂线” 性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等 ④垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点（2）直线垂直线段判定方法：1、利用定义：经过某一条线段的中点，且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线 2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）作图方法：① 尺规作图法a. 在纸上任意点出A 、B 两个点，连接AB 两点作为要做出垂直平分线的线段b. 分别以A 、B 为圆心，以大于线段AB 的二分之一长度为半径画圆弧，得到两个圆弧的交点C 、D(两交点交于线段的两侧)c. 连接CD ，与AB 相交于E ，则CD 为AB 的垂直平分线，AE=BEd. AB 、CD 相互垂直平分，即CD 是AB 的垂直平分线 ② 度量法③ 折纸法（折叠法）【拓展提升】尺规作图一、知识点梳理：（一）尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
浙教版中考复习 解直角三角形复习PPT共18页
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11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
浙教版中考复习 解直角三角形复习
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
浙教版初中数学初三中考总复习：锐角三角函数综合复习--巩固练习(基础)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin AB ．tan A ＝12C ．cosBD ．tan B第1题 第2题2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若BC=2，则sin∠ACD 的值为（ ）A B D ．233．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）A ．125B ．512 C ．135 D ．13124．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，则tan ∠CAD 的值是（ ）A.2第4题 第6题5．（2015•大邑县校级模拟）一个物体从A 点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B ，AB=30米时，物体升高（ ）米． A ．B ．3C ．D ． 以上的答案都不对 6．如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（ ）A.sinA=cosAB.sinA ＞cosAC.sinA ＞tanAD.sinA ＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cos α的值是 .8．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.第8题 第12题9．计算2sin30°﹣sin 245°+t an30°的结果是 .10．已知α是锐角，且sin(α+15°)=2.1014cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭的值为 .11．（2015春•茅箭区月考）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为 海里．（结果保留根号）12．如图，正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ，HC 与NM 的延长线交于点P ，则tan ∠NPH 的值为．三、解答题13．如图所示，我市某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5m ，现要在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么EB 的高为多少米?(结果保留三个有效数字)14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB 和建筑物CD 的水平距离AC ，他们首先在A 点处测得建筑物CD 的顶部D 点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB 的顶部B 处测得建筑物CD 的顶部D 点的俯角为15°30′．已知建筑物AB 的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）15．（2015•成都）如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C ，其中AB 段与BC 段的运行路程均为200m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD ＝2.5m ，坝高4 m ，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】sinA ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ，cosB ＝BC AB ＝12．故选D.2.【答案】A ；【解析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD．∴ sin∠ACD=sin∠B=ACAB 故选A ．3.【答案】C ；【解析】根据三角函数性质 cosB==，故选C ．4.【答案】A ；【解析】∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt △ACD 中，，∴tan ∠CAD===2．故选A ．5.【答案】B ；【解析】∵坡度为1：7，∴设坡角是α，则sin α===，∴上升的高度是：30×=3米．故选B ．6.【答案】B ；【解析】∵45°＜A ＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小， 当∠A ＞45°时，sinA ＞cosA ，故选B ．二、填空题 7．【答案】21； 【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cos α=cos60°=21． 8．【答案】；【解析】过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设小方格的长度为1，在Rt △ACD 中，AC=22CD AD =25,∴sinA=CD AC .9．【答案】21+33；【解析】2sin30°﹣sin 245°+ t an30°=2×21－（22）2+（）2+33=1﹣21+33=21+33．10．【答案】3；，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式﹣1+1+3=3． 11．【答案】40 ；【解析】解：作PC ⊥AB 于C ，在Rt △PAC 中，∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，在Rt △PBC 中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°， ∴PB=40海里，故答案为：40．12．【答案】13； 【解析】∵正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ， ∴MC=1，HN=2， ∵DC ∥EH ， ∴12PC MC PH NH ==， ∵HC=3， ∴PC=3， ∴PH=6， ∴tan ∠NPH=2163NH PH ==， 故答案为：13．三、解答题13.【答案与解析】解：在Rt △BCD 中，∠BDC ＝40°，DB ＝5 m ，∵tanBC BDCDB ∠=．∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．14.【答案与解析】解：如图所示，过D作DH⊥AB，垂足为H．设AC＝x．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，所以CD＝AC·tan∠DAC＝x tan 25°．在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，所以BH＝DH·tan 15°30′＝AC·tan 15°30′＝x·tan 15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，所以x(tan 25°+tan 15°30′)＝30．所以3040.3tan25tan1530x='+≈°°(米)．答：两建筑物的水平距离AC约为40.3米．15.【答案与解析】解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．16.【答案与解析】解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tanB＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝11.5 DFCF=，∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．又∵EF＝AD＝2.5，∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC为12．5 m．。
浙教版 三角形综合总复习
三角形基本问题第一节 三角形内角和【知识点拨】三角形内角和定理：三角形三个内角和为1800。
推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
凸n 边形的内角和为（n －2）×1800，凸n 边形的外角和为3600。
【赛题精选】例1、在△ABC 中，∠B ＝320，∠C ＝250，AD ⊥BC ，AE平分∠BAC 。
求：∠DAE 的度数。
例2、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数。
例3、如图，∠DEA 的平分线与∠BCA 的平分线相交于点F 。
求证：∠F ＝21（∠B ＋∠D ）。
例4、如图，B 、C 、D 三点在同一直线上，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点E 。
求证：∠E ＝21∠A 。
例5、如图E 是△ABC 中AC 边延长线上一点，∠BCE 的平分线交AB 延长线于D 。
若∠CAB ＝400，∠CBD ＝680。
求CDB 的度数。
例6、凸n 边形的内角和再加上某个外角等于13500。
求这个凸多边形的边数n 。
第二节 三角形不等式【知识点拨】定理：三角形两边之和大于第三边。
推论：三角形两边之差小于第三边。
证明三条线段a 、b 、c 可以构成三角形的充分必要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+b a c a c b cb a【赛题精选】例1、O 为△ABC 内任意一点。
求证：21（AB ＋BC ＋CA ）＜AO ＋BO ＋CO第三节三角形全等判定【知识点拨】三角形全等的判定：（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）有两角和其中的一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）有三边对应相等的两个三角形全等。
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
三角形全等的性质：（1）全靠三角形的对应边相等，对应角相等。
【赛题精选】例1、已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB。
浙教版初中数学初三中考总复习：几何初步及三角形--知识讲解(基础)
中考总复习：几何初步及三角形—知识讲解（基础）【考纲要求】1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高,了解三角形的稳定性.【知识网络】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段1．直线代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).要点诠释：1）．直线的两种表示方法：(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.2)．直线和点的两种位置关系(1)点在直线上(或说直线经过某点)；(2)点在直线外(或说直线不经过某点).3).直线的性质：过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A 是射线上一点；(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.3.线段直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：1)．线段的表示方法：(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；(2)用一个小写字母表示，如线段a.2)．线段的性质：所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).3)．线段的中点：线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.4)．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.考点二、角1．角的概念：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边. 要点诠释：1）．角的表示方法：(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.2）．角的分类：(1)按大小分类：锐角----小于直角的角(0°＜＜90°);直角----平角的一半或90°的角(=90°);钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于360°.(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.3）．角的度量：(1)度量单位：度、分、秒；(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.4）．角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.2．角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.考点三、相交线1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．垂线（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.要点诠释：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.4．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.考点四、平行线1．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.2．平行公理及推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.3．性质：(1)平行线永远不相交；(2)两直线平行，同位角相等；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a.4．判定方法：(1)定义；(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.考点五、命题、定理、证明1．命题：(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.(2)命题的结构：题设+结论=命题；(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；(4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.2．公理、定理：(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.3．证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.考点六、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.7. 三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.要点诠释：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.【典型例题】类型一、直线、射线及线段1．数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是( )A.a-bB.a+bC.│a-b│D.│a+b│【思路点拨】根据数轴上两点之间的距离公式即可解决问题．【答案】C.【解析】本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.【总结升华】解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.2．有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？【思路点拨】先求得单程的车票数，再求出往返的车票数即可．【答案与解析】线段有10条；车票需要2×10=20种.【总结升华】在直线上确定线段的条数公式为: (其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.举一反三：【变式】如图，点A、B、C在直线上，则图中共有______条线段.【答案】3.类型二、角3．如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有______对，互补的角有______对.【思路点拨】先要确定等角，再根据角的性质进行判断.【答案与解析】互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对.【总结升华】在本题目中，当图中的角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.举一反三：【变式】【：几何初步及三角形专题一 2】【答案】70°.类型三、相交线与平行线4．（2015春•南京校级月考）如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的等量关系为．【思路点拨】通过观察图形，可作出一条辅助线即平行线，从而把问题化难为易.【答案】∠α+∠β﹣∠γ=180°.【解析】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠1+∠γ=∠β，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠α=180°，∴∠α﹣∠γ=180°﹣∠β，∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．故答案为：∠α+∠β﹣∠γ=180°．【总结升华】本题考点：平行线的性质.举一反三：【变式】（1）两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交【答案】B.类型四、三角形5．（2014•怀化模拟）三角形三边长分别是6，2a﹣2，8，则a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜8 D．1＜a＜4【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【答案】C.【解析】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，∴2a﹣2＜6+8，即a＜8，任意两边之差小于第三边，∴2a﹣2＞8﹣6，即a＞2，∴2＜a＜8，故选：C．【总结升华】涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.举一反三：【变式】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.【答案】∵a，b，c为△ABC的三条边∴a-b-c＜0， b-a-c＜0∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.6. 下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60°；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( )A.0 个B.1个C.2个D.3个【思路点拨】认真阅读各小题提供的已知条件，依据三角形的分类方法，然后根据三角形内角和为180°进行分析解答．【答案】B.【解析】(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以只有(2)错，故选B.【总结升华】本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.举一反三：【变式】【：几何初步及三角形专题二 3】【答案】15°.。
数学(浙教版)第二章 特殊三角形 总复习 知识点+典型例题+同步练习(答案版)
第二章复习知识讲解一、轴对称图形1.对称轴的性质：轴对称图形的对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。
2.成轴对称的两个图形是全等图形。
3.折叠问题二、等腰三角形的性质及判定（一）性质1.等边对等角。
2.三线合一（同一顶点）。
3.两腰上的中线相等。
4.两底角平分线相等。
（二）判定满足以上四条性质即可判定为等腰三角形。
注：等边三角形的性质与等腰三角形的性质相似，但判定不可。
（二）等边三角形的判定1.有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。
2.三条边相等或两角为60°的三角形为等边三角形。
三、逆命题与逆定理1.逆命题：原命题的条件和结论互换位置的命题称为该命题的逆命题。
2.逆定理：一定是真命题。
3.定理一定是真命题，但不是所有的真命题都是定理。
四、直角三角形的性质1. 两锐角互余。
2. 斜边上的中线为斜边的一半。
3. 30°角所对直角边为斜边一半。
且两直角边成3倍关系。
五、勾股定理1. a²+b²=c²，两直角边平方和等于斜边的平方。
2. 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；9,12,13.3. 利用勾股定理会求第三边，会算距离，构建直角三角形，会算方向，会画出一些特殊线段。
六、直角三角形的判定1. 有两个角互余的角为直角三角形。
2. 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（勾股定理的逆定理）3. 一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL ）七、补充点1. 垂直平分线逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
2. 角平分线逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例1 有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（ B ）A.1个B.2个C.3个D.4个例2 下列说法中正确的是（ C ）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方典型例题C.在Rt △ABC 中，∠C =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)D.在Rt △ABC 中，∠B =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)例3 如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（C ）A.2B.2C.3D.23例4 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是11≤a≤12例5 已知等边三角形的高为23，则它的边长为 4例6 如图，已知∠BAC =130°，AB=AC ，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，则∠ADB=50°例7 如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=62一、选择题1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( A )A. AD与BDB. BD与BCC. AD与BCD. AD，BD与BC2. 若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为( B )A. 5B. 7C. 5或7D. 63.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( C )A.44°B. 60°C. 67°D. 77°4.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（D）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里5.如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（C）A.（1，2）B.（2，2）C.（3，2）D.（4，2）6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（D）同步练习A.27B.18C.183D.937.如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3:4:5；(3)三边之比为5:12:13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为( D )A．50°B．130°C．55°或130°D．50°或130°10.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（C）A.0B.1C.2D.311.如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为( A )A. 10cmB. 8cmC. 12cmD. 20cm12.如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ C ）A.AE=EFB.E是AC的中点C.△ADF和△ADE的面积相等D.△ADE和△FDE的面积相等二、填空题24 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是52.如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝33.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10 米．4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为115．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠2，则△ABC的边BC的长为AGE=30°，若AE=EG=3三、解答题1. 如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是AC上的一点，CD=1.5，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连接AP（1）求AB的长度；45（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.16,45（3）过点D做DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，能不能使得DE=CD？若能，请求出此时t的值，若不能请说明理由. 53.如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．等边三角形4.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD 的右侧．．作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 °．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图（2），当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.∠α+∠β=180②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．α=β。
三角形的复习--浙教版
作图题的步骤：已知、求作、(分析)、作法、(证明)、(讨论)
等边对等角 性质 等腰三角形 判定 特 殊 三 角 形 性质 直角三角形 判定 等边三角形 判定 顶角平分线，底边上中线和高三线合一 定义 等角对等边 每个内角都相等，且每个角都等于60° 性质 每个角的平分线，对边上的中线和高三线合一 定义 三个角都相等的三角形 有一个角等于60°的等腰三角形 两锐角互余° 30°锐角所对直角边等于斜边的一半 斜边大于任何一条直角边 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方(勾股定理) 1、定义 2、一个三角形中如果两条边长的平方和等于第三 条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
轴对称图形
互 逆 命 题
ห้องสมุดไป่ตู้
定义：(1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结 论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫 做互逆命题。2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它 也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理。) 1、角平分线的性质和判定：用”集合“表达的定理 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 2、等腰三角形的性质和判定： 例： 等边对等角、 等角对等边 3、线段垂直平分线的性质和判定：用”集合“表达的定 理 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等 的所有点的集合。 4、勾股定理和勾股定理的逆定理
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浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习
浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习三角形是初中数学中的重要内容，而特殊三角形更是具有独特的性质和应用。
在八年级的数学学习中，我们深入研究了三角形及特殊三角形的相关知识。
接下来，让我们一起进行一次全面的总复习。
一、三角形的基本概念三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
三角形按边分类，可以分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特殊情况）；按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、三角形的性质1、三角形的内角和为 180°。
这是三角形的一个基本性质，可以通过多种方法进行证明，如拼图法、平行线法等。
2、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
外角和为360°。
3、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这一性质在判断三条线段能否组成三角形时非常有用。
三、三角形的全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3、全等三角形的判定方法：SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、特殊三角形1、等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
性质：等腰三角形的两腰相等。
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
浙教版 三角形基础知识点复习
三角形考点一、三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
三角形复习[下学期]--浙教版-
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∴
7-4 ＜Ｘ ＜ 7+4
∴ 第三边可能是:4、5、6、7、8、9、10 。
1、下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成 三角形吗?先动手摆一摆，然后和同伴交流。 （1）7cm，5cm，10cm （2）4cm，3cm，7cm （3）5cm，10cm，4cm 2、有 3、5、7、9 厘米长的四根木条，你能摆出 三角形的个数（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
A 一个三角形 有几条中线？ ∵AD是△ ABC的
中线
B
D
1 BD =CD = BC 2
C
A
B
D
C
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的高。 如图，AD⊥BC于点D，AD就是△ABC的BC边上的高。 ∵AD就是△ABC的BC边上的高。 ∴AD⊥BC
1、三角形的三条角平分线交于一 点，三条中线交于一点。 2、三角形的三条高所在的直线交 于一点。
A
b
C
a
角：
三角形中有三个角：∠A，∠B，∠C
顶点： 三角形中有三个顶点，顶点A，顶点B，顶 边：
点C 如图三角形中三边 AB、BC、AC 边BC也可表示为a，边AC表示为b，边AB 表示c
三角形第三边的范围:a-b<c<a+b a-b<c a-c<b a+b>c a+c>b
a c
b-c<a
b+c>a
.A
1.三角形任意两边之和大于第三边 2.两点之间的所有连线中，线段最短
1.三角形内角和:
三角形的内角和等于180°。
即：△ABC中， ∠A +∠B +∠C=180 ° 2.
专题1.13 三角形的初步知识章末十六大题型总结(拔尖篇)(浙教版)(原卷版)
专题1.13 三角形的初步知识章末十六大题型总结（拔尖篇）【浙教版】【题型1 利用三角形的中线求面积】 (1)【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】 (3)【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】 (3)【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】 (4)【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】 (6)【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】 (8)【题型7 多边形中的阅读理解类问题】 (10)【题型8 与多边形内角和有关的角度探究问题】 (13)【题型9 由全等三角形的判定与性质求最值】 (16)【题型10 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】 (17)【题型11 由全等三角形的判定与性质求面积】 (18)【题型12 尺规作图与全等三角形的综合】 (19)【题型13 三角形的三边关系与全等三角形的综合】 (23)【题型14 全等三角形的动态问题】 (25)【题型15 全等三角形与坐标系的综合运用】 (26)【题型16 全等三角形中的多结论问题】 (28)【题型1利用三角形的中线求面积】【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（）A．60B．56C．70D．48【变式1-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF 的面积为4，则四边形AEFD的面积为．【变式1-2】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为．【变式1-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）【问题情境】苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以S△ABD=S△ACD，于是S△ABC=2S△ABD．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．【深入探究】（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．①若AD是△ABC的中线，求证：S△APB=S△APC；②若BD=3DC，则S△APB:S△APC=______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．①求证：S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD；②若S四边形ABCD=3，则S四边形EFGH=______．【题型2利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】【例2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，∠AOB<90°，点M在OB上，且OM=6，点M到射线OA 的距离为a，点P在射线OA上，MP=x．若△OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（）A．x=a或x≥6B．x≥6C．x=6D．x=6或x>a【变式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是【变式2-2】（2023秋·安徽·八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x>5B．x<7C．2<x<12D．1<x<6【变式2-3】（2023秋·浙江杭州·八年级期末）设a,b,c表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中a≤b≤c，若b=2020，则满足此条件的三角形共有个．【题型3利用三角形的三边关系化简或证明】【例3】（2023·八年级单元测试）如图，已知点O为ΔABC内任意一点.证明：（1）OA+OB+OC>1(AB+BC+AC).2（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）若A，B，C为三个城镇，AB+AC+BC=10km，要在ΔABC内建造供水站O向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【变式3-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，点P是△ABC内部一点，连接BP，并延长交AC于点D．(1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系；(2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系；(3)如图2，点D，E是△ABC内部两点，试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系．【变式3-3】（2023春·六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由【题型4与角平分线有关的三角形角的计算问题】【例4】（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；(2)若∠A=α，直线MN经过点D．①如图2，若MN∥AB，求∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC−∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．【变式4-1】（2023秋·河南漯河·八年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P的度数；（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．【变式4-2】（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O 重合)．(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB=°；(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．【变式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图1，∠MON =90°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．(1)若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反方向延长线与∠BAO 的平分线交于点D ．①若∠BAO =60°，则∠D =______°；②猜想：∠D 的度数是否随A ，B 的移动发生变化？并说明理由．(2)如图2，若∠OAD =35∠OAB ，∠NBC =35∠NBA ，则∠D =______°；(3)若将∠MON =90°改为∠MON =120°（如图3），∠OAD =m n ∠OAB ，∠NBC =m n ∠NBA ，其余条件不变，则∠D =______（用含m ，n 的代数式表示，其中m <n ）．【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】【例5】（2023春·辽宁盘锦·八年级统考期末）（1）问题情境：如图1，AB ∥CD ，∠PMB =140°，∠PND =120°，求∠MPN 的度数；（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP 的角平分线与∠CNP 的角平分线交于点F ，则∠MFN 的度数为多少？请说明理由；（3）问题拓展：如图3，AB ∥CD ，点P 在射线OM 上移动时（点P 与点O ，M ，D 三点不重合），记∠PAB =α，∠PCD =β，请直接写出∠APC 与α，β之间的数量关系．【变式5-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，AB ∥CD ，点P 在直线AB 上，作∠BPM =50°，交CD 于点M ，点F 是直线CD 上的一个动点，连接PF ，PE ⊥CD 于点E ，PN 平分∠MPF ．(1)若点F在点E左侧且∠PFM=32°，求∠NPE的度数；(2)当点F在线段EM（不与点M，E重合）上时，设∠PFM=α°，直接写出∠NPE的度数（用含α的代数式表示）；(3)将射线PF从（1）中的位置开始以每秒10°的速度绕点P逆时针旋转至PM的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，△FPM为直角三角形．【变式5-2】（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD 之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【变式5-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）已知MN∥PQ，点D是直线PQ上一定点．(1)如图1，现有一块含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），将其点A固定在直线MN上，并按图1位置摆放，使∠MAC=30°，点B恰好落在射线DE上，此时，∠PDE=20°，求∠ABD的度数；(2)现将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，转到与DQ重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当DE与三角板的一边平行时，求t的值；(3)若将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板ABC也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，∠MAC的角平分线AH与∠PDE的角平分线DF交于点O．①如图2，当DF∥BC时，∠AOD=________度；②如图3，当DF∥BA时，∠AOD=________度．【题型6与折叠有关的三角形角的计算问题】【例6】（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．(1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．(2)当∠A′EB′=1∠B′EB时，设∠A′EB′=x．3①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．【变式6-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）（1）如图1，将一张三角形纸片ABC沿着AD折叠，使点C落在边AB上的C处，若∠CAB=70°，则∠CAD=______°；（2）如图2，将一张三角形纸片ABC沿着DE折叠(点D，E分别在边AB和AC上)，并使得点A和点A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=______°；（3）如图3，将长方形纸片沿着BC和BD折叠成如图所示的形状，BE和BI重合，①∠CBD的度数是多少？请说明理由；②如果∠IBD=58°17′，求∠ABC的度数．【变式6-2】（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．(1)如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC′=58°，则∠C=______，可以发现∠ADC′与∠C的数量关系是；(2)如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC′=42°，∠ADC′=20°，求∠C的度数；(3)如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC′的度数为x，∠ADC′的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．【变式6-3】（2023春·江苏·八年级统考期中）将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A′的位置，折痕为DE．(1)当点A落在四边形BCDE的外部A′的位置且A′与点C在直线AB的两侧．①如图1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1−∠2的度数；②如图2，请写出∠1、∠2和∠A的关系并证明；AB），请在AC (2)如图3，有一张三角形纸片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若点E是AB边上的固定点（AE<12上找一点D，将纸片沿DE折叠，DE为折痕点A落在A′处，使A′D与三角形ABC的其中一边平行，求∠AED的度数．【题型7多边形中的阅读理解类问题】【例7】（2023·全国·八年级专题练习）阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形．解决问题：如图，△AOD与△BOC是对顶三角形．(1)试说明：∠DAO+∠D=∠OBC+∠C；(2)试利用上述结论解决下列问题：若AP、BP分别平分∠DAC与∠DBC，∠C=m°，∠D=n°，①求∠P的度数（用含m、n的代数式表示）；②若AQ、BQ分别平分∠EAC与∠DBF，120°≤∠Q≤150°，求m+n的取值范围．【变式7-1】（2023秋·山西大同·八年级统考期中）阅读材料：解决问题：（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．证明：连接AD并延长AD到点E．联系拓广：（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．【变式7-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？如图1，在五边形ABCDE 中，∠1,∠2是它的两个外角，则∠1+∠2=∠A +∠B +∠C−180°．下面是该结论的证明过程（部分）：∵五边形的内角和为540°，∴∠A +∠B +∠C +∠3+∠4=540°．……(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．(2)知识应用：如图2，在五边形ABCDE 中，EF,DF 分别是∠DEH 和∠EDG 的平分线，若∠A +∠B +∠C =320°，求∠F 的度数；(3)拓展提升：如图3，∠C =∠E =90°,∠ABH =23∠ABF,∠GFH =23∠BFG ，∠H =140°，则∠D =_______．【变式7-3】（2023秋·山东青岛·八年级山东省青岛第二十六中学校联考期末）阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系为 ；探索二：如图2，若∠B ＝36°，∠D ＝14°，求∠P 的度数为 ；探索三：如图3，CP 、AG 分别平分∠BCE 、∠FAD ，AG 反向延长线交CP 于点P ，则∠P 、∠B 、∠D 之间的数量关系为 ．【模型应用】应用一：如图4，在四边形MNCB 中，设∠M ＝α，∠N ＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线BP ，CP 相交于点P ．则∠A ＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P ＝ ．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB 中，设∠M ＝α，∠N ＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线所在的直线相交于点P ，∠P ＝ ．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C ＝x ，∠B ＝y ，∠CAP ＝13∠CAB ，∠CDP ＝13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为 ．（用x 、y 表示∠P ）拓展二：如图7，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论 ．【题型8 与多边形内角和有关的角度探究问题】【例8】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，已知∠ACD 是△ABC 的一个外角，我们容易证明∠ACD =∠A +∠B ，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究；（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB______∠A+180°（选填“>”“<”或“=”），并说明理由；初步应用：（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=135°，∠2=100°，则∠C=______；（直接写出答案）拓展延伸：（3）如图4，在△ABC中，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：______；解决问题：（4）如图5，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A，∠D 的数量关系．【变式8-1】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？【回顾】如图①，请直接写出∠BCD与∠A、∠B之间的数量关系：______．【探究】如图②，∠ADE是四边形ABCD的外角，求证：∠ADE=∠A+∠B+∠C−180°．【结论】若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是______．【变式8-2】（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考阶段练习）【探究】（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°；（2）如图2，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；（用α、β表示）（3）如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．【挑战】（4）如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，交于点F，那么∠F与α、β有怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC=α，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E，BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．(1)特例感悟：如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F=30°．解决问题：①∠ABC=_______°；②求证：AC⊥AB；(2)深入探究；如图2，当α<90°，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD=______；(3)拓展延伸：当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．【题型9由全等三角形的判定与性质求最值】【例9】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD=BE，连接CD，CE，若AC=2，则CD+CE的最小值为．【变式9-1】（2023春·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC=8，AB=6，则四边形ACGH周长的最小值是．【变式9-2】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不与A,C重合），M是AD上一动点（不与A,D重合），则CM+MN 的最小值为．【题型10由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】【例10】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）回答问题（1）【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是 ；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【变式10-1】（2023春·上海·七年级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．【变式10-2】（2023春·陕西西安·八年级西安益新中学校考阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．【变式10-3】（2023春·上海静安·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分线，过点A作DA的垂线交BC延长线于点M，若BM=BA+AC，则∠ABC的度数是【题型11由全等三角形的判定与性质求面积】【例11】（2023春·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，BC=10，AC−AB=5，AD是∠BAC 的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为．【变式11-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于．【变式11-2】（2023春·江苏南京·八年级南京市科利华中学校考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3=12，则S4=．【变式11-3】（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D 为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE交直线AC于M，若2AC=7CM，则S△ADB的值为．S△AEM【题型12尺规作图与全等三角形的综合】【例12】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC （小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为．【变式12-1】（2023·全国·八年级专题练习）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：①画EF=BC；②在线段EF的上方画∠F=∠C；③画DE=AB；④顺次连接相应顶点得所求三角形．(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．【变式12-2】（2023春·山西·八年级统考阶段练习）综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点D在ΔABC的边BC的延长线上，过点D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB，再作∠DEF=∠A交线段BC于点F．实践操作（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；探究发现（2）勤奋小组在作出图形后，发现AC//EF，AC=EF，请说明理由；探究应用（3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得DF=5，CF=1，求线段BD的长．【变式12-3】（2023春·北京·八年级校考期中）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．( )（2）过两点作一条直线．( )（3）画一条长为3㎝的线段．( )（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′使∠A′O′B′=∠AOB作法：（1）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C ′为圆心，____________________；（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB ．说理：由作法得已知：OC =O ′C ′,OD =O ′D ′,CD =C ′D ′求证：∠A ′O ′B ′=∠AOB证明：∵OC =O ′C ′OD =O ′D ′CD =C ′D ′∴ΔOCD≅ΔO ′C ′D ′( )所以∠A ′O ′B ′=∠AOB ( )【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l 与直线外一点A ．求作：过点A 的直线l ′，使得l//l ′．【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．【题型13三角形的三边关系与全等三角形的综合】【例13】（2023春·广东广州·八年级统考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．(1)如图1，若BC＝4，则S△EBC＝ ．(2)如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．求证：MF＝MH；(3)如图3，连接BM，EM，过点B作BM′⊥BM于点B，且满足BM′＝BM，连接AM′，MM′，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，求线段AM′的长度的取值范围．【变式13-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=12，AD平分∠BAC，点E为AC中点，AD与BE相交于点F．(1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠ADB的度数；(2)如图1，若AB=10，求线段BE的长的取值范围；(3)如图2，过点B作BH⊥AD交AD延长线于点H，设△BFH，△AEF的面积分别为S1，S2，若AB−AC=4，试求S1−S2的最大值．【变式13-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：PE=PF；(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB−PC>BD−CD．【变式13-3】（2023春·湖南长沙·八年级统考期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长AD到Q使得DQ=AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10，则AD的取值范围是___________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，试探究线段AD 与EF的数量和位置关系，并加以证明．【题型14全等三角形的动态问题】【例14】（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．【变式14-1】（2023春·八年级课时练习）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过() 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（）A．4B．4、8C．4、8、12D．4、12、16【变式14-2】（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，现有一动点P，从点A出发沿着三角形的边AC→CB→BA 运动回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s．。
第6讲 三角形-浙教版数学中考一轮复习讲义（6)--╚
一．比例线段 1．比例线段 (1)定义:在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那 么这四条线段叫做成比例线段．(2)性质:若a b ＝cd ，则ad ＝bc.当b ＝c 时，b 2＝ad ，那么b 是a 、d 的比例中项． (3)黄金分割点:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC)，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB ＝BCAC ＝5－12≈0.618，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例(1) 基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (2) 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 二．角、相交线、平行线 1. 直线、射线、线段 2. 角：余角、补角、对顶角3. 垂直：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线最短。
4. 点到直线的距离5. 角的平分线a) 性质：角的平分线上到角两边的距离相等b) 判定：角的内部到两边的距离相等的点在角平分线上。
6. 线段的垂直平分线c) 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等d) 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何初步与三角形知识讲解7. 平行线e)概念：同一个平面内，不相交的两条直线。
f)公理：经过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行．g)推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
h)性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
i)判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．j)平行线间的距离：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，两条平行线间线段的长度叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离处处相等。
8. 命题：k)定义：判定一件事情的句子。
l)分类：真命题、假命题。
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三角形基本问题
第一节 三角形内角和
【知识点拨】
三角形内角和定理：三角形三个内角和为1800。
推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
凸n 边形的内角和为（n －2）×1800，凸n 边形的外角和为3600。
【赛题精选】
例1、在△ABC 中，∠B ＝320，∠C ＝250，AD ⊥BC ，AE
平分∠BAC 。
求：∠DAE 的度数。
例2、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数。
例3、如图，B 、C 、D 三点在同一直线上，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点E 。
求证：∠E ＝2
1
∠A 。
例4、如图E 是△ABC 中AC 边延长线上一点，∠BCE 的平分线交AB 延长线于D 。
若∠CAB ＝400，∠CBD ＝680。
求CDB 的度数。
例5、凸n 边形的内角和再加上某个外角等于13500。
求这个凸多边形的边数n 。
第二节 三角形不等式
【知识点拨】
定理：三角形两边之和大于第三边。
推论：三角形两边之差小于第三边。
证明三条线段a 、b 、c 可以构成三角形的充分必要条件是：⎪⎩
⎪⎨⎧>+>+>+b a c a c b c
b a
【赛题精选】
例1、O 为△ABC 内任意一点。
求证：2
1
（AB ＋BC ＋CA ）＜AO ＋BO ＋CO
第三节三角形全等判定
【知识点拨】
三角形全等的判定：
（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）有两角和其中的一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）有三边对应相等的两个三角形全等。
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
三角形全等的性质：
（1）全靠三角形的对应边相等，对应角相等。
【赛题精选】
例1、已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线
上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB。
求证：AP＝AQ；AP
⊥AQ。
E
D
C
B
A
辅助线
2：如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD
第四节 三角形中位线与中点三角形
【知识点拨】
1、三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
2、三角形的中位线组成的三角形叫做中点三角形。
三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形，则中点三角形与原三角形的角对应相等；中点三角形的边等于原三角形对应边的一半；中点三角形的面积等于原三角形的面积的四分之一。
【赛题精选】
第五节勾股定理
【知识点拨】
1、勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、勾股定理的逆定理：有一条边的平方等于其他两边的平方和的三角形是直角三角形。
【赛题精选】
6 图形折叠
1. 如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=
2．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【】
A．3
2
B．
5
2
C．
9
4
D．3
3.如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【】
A． 8B． 4C． 8 D． 6
7.动点
1 如图，在梯形ABCD中，AD BC
BC=，梯形的高为4．动点M
DC=，10
∥，3
AD=，5
从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．
N
M
B
C
（1）当MN AB
∥时，求t的值；
（2）试探究：t为何值时，MNC
△为等腰三角形．。