【同步检测】2020届江苏省高考数学应用题模拟试题选编(十二)

2020届江苏高考应用题模拟试题选编（十二）1、（江苏省淮阴中学2020届高三阶段模拟考试试题）一个拐角处为直角的走廊如图所示，走廊宽2m.，为了美化环境，现要在拐角位置布置一处盆景. 盆景所在区域为图中阴影部分，其中直角边OA ，OB 分别位于走廊拐角的外侧. 为了不影响走廊中正常的人流走动. 要求拐角最窄处CH 不得小于32m.(1) 若OA=OB=1m ，试判断是否符合设计要求；(2) 若O1=2OB ，且拐角最处恰好为32m 时，求盆景所在区域的面积；(3) 试判断对满足AB ＝52m 的任意位置的A ，B ，是否均符合设计要求? 请说明理由.（第1题） （第2题） 2、（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟（三）数学试题）杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园．欲在该公园内搭建一个平面凸四边形ABCD 的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中DC ＝4百米，DA ＝2百米，△ABC 为正三角形．建成后△BCD 将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，△ABD 将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域．（1）当∠ADC ＝3π时，求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD 的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD 的面积的最大值．3、（上海市杨浦区2020届高三下学期第二次模拟数学试题）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-； 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.B 。

（第 4题）（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？4、（江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题）如图， 某地有一块半径为R 的扇形 AOB 公园， 其中O 为扇形所在圆的圆心，∠AOB=120。

，OA, OB, ⋂AB 为公园原有道路． 为满足市民观赏和健身的需要， 市政部门拟在⋂AB 上选取一点M ，新建道路OM 及与 OA 平行的道路MN （点N 在线段OB 上）， 设 ∠AOM ＝ θ（1）如何设计， 才能使市民从点O 出发沿道路OM, MN 行走至点N 所经过的路径最长？请说明理由(2）如何设计， 才能使市民从点A 出发沿道路AM, MN 行走至点N 所经过的路径最长？请说明理由．（第5题） 5、（江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（二）数学试题）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，»PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，»PQ所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）． （1）若512πθ=，求QN 的长度；（2）求新路总长度的最小值．6、（江苏省2020届高考数学全真模拟试卷（五）（南通教研室））为了提升学生“数学建模”核心素养，某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务：如图，有一张边长为27cm 的等边三角形纸片ABC ，从中裁出等边三角形纸片111A B C 作为底面，从剩余梯形11ABB A 中裁出三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱（不计损耗）．（1）若三棱柱的侧面积等于底面积，求此三棱柱的底面边长； （2）当三棱柱的底面边长为何值时，三棱柱的体积最大？（第6题） （第7题）7、（江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为85海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB ＝2013海里，tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD 5现一艘科考船以5海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇． （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值． 8、（江苏省2020届模拟数学试题）如图所示，在某海滨城市A 附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A 的东偏南60°方向、距城市A300km 的海面点P 处，并以20km/h 的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km ，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A 是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.（第8题） （第10题）9、（江苏省天一中学2020届第二学期高三6月模拟试题）给出两块相同的正三角形铁皮(如图1,图2),(1) 要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,① 请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明; ② 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小(2) 设正三角形铁皮的边长为a ，将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图3)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大? 最大容积是多少?10、（江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O 的道路l 1，l 2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C 到l 1，l 2的距离相等，点C 到点O 的距离约为 10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC 上取一点P ，新建一条道路OP ，并过点P 新建两条与圆C 相切的道路PM ，PN （M ，N 为切点），同时过点P 新建一条与OP 垂直的道路AB （A ，B 分别在l 1，l 2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）（第9题）（图1）（图2）（图3）1、2、3、4、5、解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1， 答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，»PQ 6π=，NQ ＝2tan tan 233tan()233tan 11tan tan πθπθπθθ--==-+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即3tan θ≥ ∴tan 3323()tan tan 663tan 13tan 3f πθπθθθθθ+=+=--，23+6≥，当tan 3θ=时取“＝”，答：新路总长度的最小值为23+6π．6、】设三棱柱的底面边长为xcm ,即1AC x =, 则127A A x =-.因为ABC V 为等边三角形,所以三棱柱的高为1(27))326x x ⨯⨯-=-.（1）因为三棱柱的底面积为212x x x ⨯=⨯,侧面积为23))62x x x x ⨯⨯-=-,所以22)42x x x =-, 解得18x =或0x =（舍去）. 即三棱柱的底面边长为18cm.（2）三棱柱的体积2231)(27)8V x x x x =-=-.因为0x >,)06x ->, 所以027x <<.因为213(543)(18)88V x x x x '=-=-, 所以当018x <<时,0V '>,故V 单调递增; 当1827x <<时,0V '<,故V 单调递减. 所以当18x =时,V 取到极大值,也是最大值,23max 1729(271818)82V =⨯-=.即当底面边长为18cm 时,三棱柱的体积最大,为3729cm 2. 7、解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ．因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，且A(100，0)．(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C，则OC＝105(t＋2)，AC＝50t．因为OA＝100，cos∠AOD＝55，所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD，即(50t)2＝1002＋[105(t＋2)]2－2×100×105(t＋2)×55．化得t2＝4，解得t1＝2，t2＝－2（舍去），所以OC＝405．因为cos∠AOD＝55，所以sin∠AOD＝255，所以C(40，80)，所以直线AC的方程为y＝－43(x－100)，即4x＋3y－400＝0．因为圆心B到直线AC的距离d＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B的半径r＝85，所以d＜r，此时直线AC与圆B相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险．(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切，且与科考船相遇于点E．设直线AE的方程为y＝k(x－100)，即kx－y－100k＝0．因为直线AE与圆B相切，所以圆心B到直线AC的距离d＝|60k－40－100k|12＋k2＝85，即2k2＋5k＋2＝0，解得k＝－2或k＝－1 2．由（1）可知k＝－12舍去．因为cos ∠AOD＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100，所以E(50，100)，所以AE ＝50 5，OE ＝505，此时两船的时间差为50510 5－50550＝5－ 5，所以x ≥5－ 5－2＝3－5． 答：x 的最小值为(3－5)小时．8、如图所示，设台风的中心xh 后到达位置Q ，且此时1003km AQ =.在△AQP 中，有APQ ∠=60°-30°=30°，且300AP km =，20PQ xkm =， 100330020sin sin xAQP PAQ==∠∠. 从而可解得3sin 1003AQP ︒∠==AQP ∠=60°或AQP ∠=120°. 当60AQP ∠=o 时，180306090PAQ ︒︒︒︒∠=--=，因此100320sin 30x ︒=，103x = 当AQP ∠=120°时，1803012030PAQ ︒︒︒︒∠=--=，因此201003x =53x =. 这就说明，城市A 在3h 后会受到影响，持续的时间为1035353=（h ）. 9、10、解：连接CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ，OP ＝OC ﹣PC ＝10﹣1cos θ，AB ＝2OP ＝20﹣2cos θ， 设新建的道路长度之和为()f θ，则3()2tan 30cos f PM PN AB OP θθθ=+++=-+由1＜PC ≤10得110≤θ＜1，设01cos 10θ=，0θ∈(0，2π)，则θ∈(0，0θ]，0sin 10θ=，0223cos ()cos f θθθ-'=，令0()0f θ'=得2sin 3θ= 设12sin θ=，1θ∈(0，0θ]，θ，0()f θ'，()f θ的情况如下表：θ=，()30f θ=答：新建道路长度之和的最大值为30。