2013-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题 教师版

2
2
(I)求实数 m 的取值范围；
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(II)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)
解: (I)设 A(x1, y1), B(x2, y2), AB 的中点 M(x0, y0), 则 2x0=x1+x2, 2y0=y1+y2
显然 m≠0, 故可设直线 AB 的斜率 k= y1 y2 = 1 x1 x2 m
又∵点 M(x0, y0)在直线 y=mx+ 1 上, ∴y0=mx0+ 1 , 整理得 bm= m2 2
2
2
2m
代入(*)式得
m2+2
(m2 2)2 4m2
>0
即 4m2-(m2+2)>0,
解得 m2> 2 3
因此, m> 6 或 m< 6
3
3
(其中也可得 x0= 1 , y0= 1 )
1 k2
整理得 d
a2 b2
，
b2
a2
a2k 2
b2 k2
因为 a2k 2
b2 k2
2ab
，所以
a2 b2
b2
a2
a2k 2
b2 k2
a2 b2
ab，
b2 a2 2ab
当且仅当 k 2 b 时等号成立， a
所以点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a b .
3、（2015 年）已知椭圆 x2 y2 =1 上两个不同的点 A, B 关于直线 y=mx+ 1 对称．
∴|AB|= 1 k 2 |x1-x2|= 1 k 2
4k 2
2(2k 2
1)
8 2k 2 1
1 k2 2k 2 1
6 4k 2
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故 S△AOB= 1 |AB|d= 1 (2k 2 1)(6 4k 2 ) 1 8(k 2 1 )2 8 ≤ 2 , 且 0<k2< 3
y2 1 的内部,
故得 1 2m2
1 <1, 4
解得 m2> 2 3
因此, m> 6 或 m< 6 (此题用点差法最佳, 简明使得出错的几率小)
3
3
法二: 设 A(x1, y1), B(x2, y2), AB 的中点 M(x0, y0), 则 2x0=x1+x2
显然 m≠0, 故可设直线 AB 的方程为 y = 1 x+b m
解析：（I）设直线 l 的方程为
y
kx m k
0
，由
x2
a2
y2 b2
，
1
消去 y 得， b2 a2k 2 x2 2a2kmx a2m2 a2b2 0 ，
由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ，故 0 ，即 b2 m2 a2k 2 0 ，
解得点
P
的坐标为
a2km b2 a2k2
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2013-2017 年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题
（教师版）
1、（2013 年）如图，点 P(0, 1) 是椭圆 C1
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的一个顶点， C1 的长轴是圆 C2 : x2 y2 4 的直径， l1, l2 是过点 P
且互相垂直的两条直线，其中 l1 交 C2 于 A, B 两点， l2 交 C1 于另一点 D .
|
AB | |
PD |
8
4k 2 3 4 k2
所以 S
32
4k 2 3 13
4k 2 3
32
16 13
4k 2 3 13
13
4k 2 3
当且仅当 k
10
时取等号.
2
所求直线 l1 的方程为 y
10 x 1 . 2
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2、（2014年）如图，设椭圆 C :
m
2
(II)由 k= 1 , 则 0<k2< 3 . 由(I)可得直线 AB: y+ 1 =k(x-k) 即 kx-y-k2 1 =0
m
2
2
2
k2 1
∴原点 O 到直线 AB 的距离 d=
2
1 k2
由
y
kx
k
2
x2 2 y2
2
1 2
得
x2-2kx+
1 2
(2k2+1)
2k
2 2
1
=0
(利用|x1-x2|= )
又圆 C2 : x2 y2 4 ，故点 O 到直线 l1 的距离 d
1, k2 1
所以| AB | 2
4d2 2
4k 2 3 k2 1
又 l1 l2 ，故直线 l2 的方程为 x ky k 0
故
x0
4
8k k2
.
所以 |
PD
|
8
4
k2 1 k2
.
设 ABD
的面积为 S
，则 S
1 2
由 x12 2 y12 2 , x22 2 y22
2,
相减得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0
即 x0 2 y0=0 m
又点 M(x0, y0)在直线 y=mx+ 1 上, ∴y0=mx0+ 1 , 故得 x0= 1 , y0= 1
2
2
m
2
又点 M 在椭圆 x2 2
由
y
1 m
x
b
得(1+
x2 2 y2 2
2 m2
Байду номын сангаас
)x2
4b m
x
+2(b2-1)=0
有两个不等实根
x1,
x2,
∴△=
16b2 m2
8(1
2 m2
)(b2
1)
>0
整理得 m2+2-m2b2>0
(*)
且
x0=
1 2
(x1+x2)=
2bm m2 2
,
y0=
1 m
x0+b=
bm2 m2 2
x2 a2
y2 b2
1a
b
0, 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ，且点 P 在第
一象限.
(Ⅰ) 已知直线 l 的斜率为 k ，用 a, b, k 表示点 P 的坐标；
(ⅠⅠ) 若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a b .
y kx m
(Ⅰ) 求椭圆 C1 的方程；
(ⅠⅠ) 求 ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.
a 2 (Ⅰ) 解：依题意得 b 1
，所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 4
(ⅠⅠ) 设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), D(x0 , y0 ), 由题意知直线 l1 的斜率存在，
不妨设为 k ，则 l1 的方程为 y kx 1 .
,
b2
b2m a2k2
，
由点 P 在第一象限，故点 P 的坐标为
a2k
,
b2
；
b2 a2k2 b2 a2k2
（II）由于直线 l1 过原点 O ，且与 l 垂直，故直线 l1 的方程为 x ky 0 ，所以点 P 到直线 l1 的距离
a2k
b2
d
b2 a2k2
b2 a2k2 ，
2
4
4
2
2
2
因此, 当 k2= 1 即 m= 2
2 时, △AOB 的面积 S△AOB 有最大值