线性代数试题A卷(1) (1)

合集下载

山东工商学院2022秋季考试_线性代数复习资料_普通用卷

山东工商学院2020学年第一学期线性代数课程试题 A卷（考试时间：120分钟，满分100分）特别提醒：1、所有答案均须填写在答题纸上，写在试题纸上无效。

2、每份答卷上均须准确填写函授站、专业、年级、学号、姓名、课程名称。

一单选题 (共60题，总分值60分 )1. （）（1 分）A. 2B. 4C. 8D. 122. （1 分）A. 2B. 3C. 4D. 53. （1 分）A.B.C. 2D. 104. （）（1 分）A.B.C.D.5. （1 分）A.B.C.D.6. （1 分）A. -2B. 4C. -6D. 87. （1 分）A.B.C. 2D. 108. （）（1 分）A.B.C. 14D. 179. （1 分）A.B.C. 32D. 1010. （1 分）A. 4B. -4C. 3D. -311. 下述结论中不正确的有（）。

（1 分）A.B.C.D.12. （1 分）A.B.C.D.13. （）（1 分）A. 2B. 4C. 8D. 1214. 下列阶行列式的值不为零的有（）。

（1 分）A. 三角形行列式主对角线上的元素全不为零B. 三角形行列式主对角线上有一个元素为零。

C. 行列式零元素的个数多于n个。

D. 行列式非零元素的个数等于n个。

15. （1 分）A.B.C.D.16. （1 分）A. 2B. 4C. 8D. 1617. （1 分）A.B.C.D.18. （）（1 分）A. -2B. 4C. -1D. 319. （1 分）A. -2B. 4C. -6D. 820. （1 分）A.B.C.D.21. （）（1 分）A.B.C. 14D. 1022. （）（1 分）A.B.C.D.23. （1 分）A. 8B. -8C. 6D. -624. 下列4阶行列式的值必为零的有（）。

（1 分）A. 行列式主对角线上的元素全为零。

B. 三角形行列式主对角线上有一个元素为零。

C. 行列式零元素的个数多于4个。

12-13-1《线性代数试卷A》第一学期期末考试试卷

河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷（A 卷）１．设()()()，，，，，，，，t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关，则t =．２．矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于．３．设A 为4阶方阵，2-=A ，则A 3-= ．４．()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=AB．５．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ，则A 的逆矩阵1-A =．６．设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =，且Ad e t =5，又设()231215432ααααα,,B ++=，则B =．7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ，x 为某常数，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则x = ． 8．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21ηη,是它的两个解向量．且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为．1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中成立的为（）．(A) det(AB ) = 0，则0A =或0B =； (B) det(AB ) = 0，则det A = 0或det B = 0； (C) AB = 0，则0A =或0B =； (D) AB ≠ 0，则det A ≠ 0或det B ≠ 0．2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA ．3. 已知A 、B 均为3阶方阵，且A 与B 相似，若A 的特征值为1，2，3，则()12-B 的特征值为（）(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,．４. 向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有．(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1．（7分）计算行列式211112111121=n D ．一、填空题,每小题4分二、选择题，每小题5分2．（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ，求1-A ．3．（7分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组．4．（12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多个解？5．（15分）已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=，求一个正交变换Py x =，把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型．。

复旦大学《线性代数》2019-2020学年第一学期期末试题A卷

共4页第1页复旦大学期末考试卷(A 卷)课程名称线性代数考试学期19-20-1得分适用专业非电类专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟题号一二三四五六七得分一.（30%）填空题（E 表示n 阶单位矩阵，O 表示n 阶零矩阵）：1.若对任意3维列向量(,,)Tx y z η=，矩阵A 满足23x y A x z η+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则A =。

2.假设1002A ⎛⎫=⎪⎝⎭，34x B x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且AB 是对称矩阵，则x 满足条件。

3.若1324A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A 的逆矩阵1(*)A -=。

4.如果向量组1212,1,333k αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关，则参数k =。

5.假设n 阶方阵A 满足232A A E O +-=，则1A-=。

6.向量空间{}(,,)|0V x y z x y z =--=的一组基是。

7.若33⨯矩阵A 的特征值是1,1,2-，则行列式22A A E --=。

8.如果矩阵1a a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值都大于零，则参数a 的取值范围是。

9.若矩阵1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭与133B k ⎛⎫= ⎪⎝⎭合同，则参数k 的取值范围是。

10.已知22⨯矩阵,A P 满足11002P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭。

若()(),,,P Q αβαβα==-，则1Q AQ -=。

二.(12%)已知123012001A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，101210B⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵X使得2XA B X-=。

三.(12%)根据参数a的值，讨论矩阵23123123aA aa⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭的秩。

共4页第2页共4页第3页四.(14%)若方程组1231231():234x x x I x x ax +-=⎧⎨++=⎩的每个解都满足方程12():2II x x b +=。

求参数,a b 的值，并求线性方程组()I 的通解．五.(14%)设在正交变换x Qy =下，二次型22212312313(,,)2f x x x x ax x x x =+++变成标准形222123123(,,)22g y y y y by y =++，求参数,a b 的值，并求一个正交矩阵Q 。

2007级线性代数试题和答案 A卷

2007级线性代数试题和答案 A 卷2007级线性代数期末试题答案一、填空题（每小题4分、本题共28分）1．设A *是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2A =，则*2A = .2n n n 12 2|=22222n -=⨯=n-1**n-1n-1解应填因为行列式|2A |A |=|A|2．设4阶方阵A 和B 的伴随矩阵为A *和B *，且它们的秩分别为3)(=A r ，4)(=B r ，则秩=)(**B A r .()()()()****** 1.14 1.r A r B B r A B r A ====解应填由题设可知，，的可逆矩阵，故 3．设n 维向量(,0,,0,)T x x α=，其中0x <；又设矩阵T A E αα=-，且11T A E xαα-=+，则x = .()()()()()2-1-12 -12111- --111----21 -1-201111-22-12-11012T T T T T T TT T T T T T TT T x AA E E E x x x E E x x x x E x x AA E x x x x x x x x x x αααααααααααααααααααααααααααααααα=⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭=+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=≠+=+=+==解应填因为，而由及可知故或-10-1x x =<=，又由可得4．已知n 阶方阵()ij n nA a ⨯=，12,,n ααα⋅⋅⋅，是A 的列向量组，行列式0A =，伴随矩阵*O A ≠，则齐次线性方程组*0A x =的通解为 .解应填α =111221...n i i n i k k k ααα--+++ ,其中 121n i i i ααα⋅⋅⋅- 是向量组 12n ααα⋅⋅⋅的极大线性无关组， 121n k k k ⋅⋅⋅- 是任意常数。

因为|A|=0，A *≠0 所以秩r(A)=n-1，因此，向量组12n ααα⋅⋅⋅的秩r(12n ααα⋅⋅⋅)=n-1，由此又可知线性方程组A *x=0的基础解系含n-1个解，12n ααα⋅⋅⋅的极大线性无关组含n-1个向量，而A *A= A *(12n ααα⋅⋅⋅)=|A|E=0即A *=0(j=1 n) ，亦即12n ααα 都是A *x=0 的解，故12n ααα的极大线性无关组可作为A *x=0 的基础解系。

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：3的一组标准正交基，=___________《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）1、 256；2、 132465798⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭； 3、112211221122000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 4、； 5、 4； 6、 2 。

三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法：231211201012010*******121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−−→--−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭―――――（6分）所以1278144103X A B -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭.―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111431212011310113100000000000000000000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩12345{,,,,}ααααα＝2（8分）且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--――――（10分）五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−→------- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭(分)(1) 当10,(2)(1)0,p p p -≠-+-≠且时即1,2,p p ≠≠-且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） (2) 当1,p =时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）(3) 当2,p =-时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪−−→------ ⎪ ⎪⎝⎭（分）故原方程组与下列方程组同解:132311x x x x -=-⎧⎨-=-⎩ 令30,x =可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)Tξ=--;它对应的齐次线性方程组13230x x x x -=⎧⎨-=⎩的基础解系含有一个元素,令31,x =可得1(1,1,1)T ξ=为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为001101,,.k k k k ξξ+这里为任意常数――――（12分）六．解：（1）由于A的特征多项式2124||222(3)(6)421I A λλλλλλ----=-+-=+----故A 的特征值为13λ=-（二重特征值），36λ=。

线性代数-统考试题(A)试题(答案)

1 1 0 记 P 0 1 0 ，则（
0 0 1
）。【A】
（A） C PAP 1 ；（B） C P 1AP ；（C） C P T AP ；（D） C PAP T 。
3．设 m n 阶矩阵 A 的秩等于 n ，则下面结论错误的是（）。【D】
（A） AT A 是对称矩阵；
诚信关乎个人一生，公平竞争赢得尊重。
以下行为是严重作弊行为，学校将给予留校察看或开除学籍处分：1.替他人考试或由他人替考；2.通讯工具作弊；3.团伙作弊。
中国矿业大学 2017～2018 学年第 1 学期
《线性代数》试卷（A）卷
答题时间：100 分钟
考试方式：闭卷
学院____________班级_______________姓名__________________学号_____________
2
与向量组 α1, α2 等价，则向量 β2 _____________。【 1 [1, 2, 1]T 或 1 [1, 2, 1]T 】
6
6
a a a a

4．已知矩阵 A
1
1
1

(a

0)
，则
A
的所有代数余子式之和等于________。【1】
1 1

1
5．设二次型 f (x1, x2 , x3 ) t x12 x22 2x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 为正定二次型，则 t 的取值范围
k11 k22 k33 0
式（1）两边左乘 A 得
k11 k22 k3 2 3 0
式（1）减式（2）
2k11 k32 0

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

线性代数试题(A 卷)

线性代数试题（A 卷）一、单项选择题1．如果将n 阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（） (A) 不变; (B)变号;(C)若n 为奇数，行列式变号；若n 为偶数，行列式不变; (D)若n 为奇数，行列式不变；若n 为偶数，行列式变号. 2．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则（） (A)0λ可以是任意一个数; (B)00>λ; (C)00≠λ; (D) 00<λ.3.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，1η和2η是其任意2个解，则下列结论错误的是（）(A) 12ηη+是Ax=0的一个解; (B) 121122ηη+是Ax=b 的一个解;(C) 12ηη-是Ax=0的一个解;(D) 122ηη-是Ax=b 的一个解.4. 若1112α=-（，，）,2764α=（，，），3000α=（，，），则向量组123,,ααα是( )(A) 线性相关; (B) 线性无关;(C) 可能线性相关，可能线性无关; (D) 秩123(,,)3ααα=.5.设100020004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的特征值为（）(A) 1,1,2 ； (B) 1,2,2 ； (C) 1,2,4 ； (D) 2,4,4.二、填空题（每小题4分，本大题共20分） 1. 排列32514的逆序数为 .2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A ，则矩阵=3A . 3. 设3阶方阵A 的元素全为1，则秩(A )为 .4．二次型12(,)f x x =22112264x x x x ++的矩阵是 .5.实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有特征值全是 .三、（本题10分）计算行列式ef cf bf de cd bd aeac ab ---.四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025 的逆矩阵.五、（本题12分）求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.六、（本题12分）求三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值及特征向量，并判断A 是否与对角形矩阵相似？七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关. 八、（本题8分）证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.参考答案和评分标准一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1．C ； 2．C ； 3. A ； 4. A ； 5. C 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）1. 5 ；2、4444⎛⎫⎪⎝⎭；3. 1 ；4．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4331 ；5．正数. 三、（本题10分）计算行列式efcf bf de cdbd aeacab ---.解：ef cfbf de cdbd aeac ab ---=ec b e c bec b adf ---……….…….…..…………（3分） =111111111---adfbce ……………………………………………………………………………….（6分） =abcdef 4……….………………………………………………………....……（10分）四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025的逆矩阵. 解：,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ,112251==A ,125382==A .……….……..……..（3分） ,5221111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==*-A A .……….……………………………………………（5分）,8532212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-A A .…………………………………………..……..…（7分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=- 8 5-003-2000000 2- 1 521A .……….…………………………………….…（10分）五、（本题12分）求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 通解.解.对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000175100172021211117847246373542A ………………………..（4分）于是方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=434217517221x x x x x ，42,x x 为自由未知量……………………..………..（8分）所以方程组的通解为：21432117507200120101k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ . …………….…..….（12分）六、（本题12分）解：A 的特征方程为2134011||----+=-λλλλA E =0)1)(2(2=--λλ，……………..………....（2分）故A 的特征值为21=λ，132==λλ. ……………..………………….……..（5分）(1) 对于特征值21=λ，得到齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-0040312121x x x x x ，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100，所以属于特征值2的全部特征向量为,100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k (0≠k ).………..…….（7分）(2) 对于特征值132==λλ，得到齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-002402312121x x x x x x ，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121，所以属于特征值1的全部特征向量为,121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k (0≠k ).………...（9分）因此A 不与对角形矩阵相似. .…………….…………………………….（12分）七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.证明：设0)()()(3213322211=++++++αααααααk k k ，………..…….（2分）则有0)()()(3322321131=++++++αααk k k k k k k ， ……………….（4分）321,,ααα 线性无关，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+∴0003232131k k k k k k k ，0321===∴k k k ……….….（6分）所以3213221,,ααααααα++++线性无关. …………………………..….（8分）八、（本题8分）证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.证明：必要性：因为秩（A ）=1，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得10010000(100)0000PAQ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.……………………..….（2分）得到11)001(001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A=)(2121n n b b b a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011 P ，)(21n b b b =1)001(-Q 。

北京理工大学2012级线性代数(A)A卷及答案

课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。

二、（10分）设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。

三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。

(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。

四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。

(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。

五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。

六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。

七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量，（1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值；（2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。

线性代数试题(济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷(A卷))

济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷（A 卷）一、选择题（每小题3分，共15分）1．D 2333231232221131211==a a a a a a a a a ，则333132312321222113111211322322322a a a a a a a a a a a a ---的值为 [ C ] (A ) 4; (B ) 6; (C ) 8; (D ) 10.2. 设n 阶方阵A ，B ，C ，满足ABC=E ，则必有 [ D ](A ) ACB=E ; (B ) CBA=E ; (C ) BAC=E ; (D ) BCA=E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式225144196151214111=_________.2. 设矩阵A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1102,230311⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B 则=B A T .6. 4阶行列式D 某一行的所有元素都相等且它们对应的余子式也相等，则D = 0 . 三、（本题满分10分）计算4阶行列式 b b a a -+-+1111111111111111.四、（本题满分12分）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021012，矩阵B 满足：AB=A+2B ，求矩阵B .五、（本题满分14分）试求b 为何值时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=---=++=+++bx x x x x x x x x x x x x x 43214324324321223121220有解,并求其通解.一、选择题（每小题3分，共18分） 1．若622211211=a a a a ，则120020221221112--a a a a 的值为 [ A ] (A ) 12-; (B )12; (C ) 18; (D ) 0.3. 设n 元齐次线性方程组=Ax 0的系数矩阵的秩为r ，则方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是 [ D ] (A ) n r =； (B ) n r ≥； (C ) n r >； (D ) n r <. 5. 设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有 [ B ](A ) ACB=E ; (B ) BCA =E ; (C ) BAC=E ; (D ) CBA =E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式222111c b a c b a=_________. 2. 设A ，B 均为3阶方阵,且A =2,21=B ，则12-A B T =_____ __.4. 非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件是 . 56. 设n 阶矩阵A 满足=-+E A A 102320，则1)2(--E A = .三、（本题满分10分）计算4阶行列式aa a a a a a a aa a a 0000. 四、（本题满分12分）设AX +B =X ，其中A =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3-5021-1，求矩阵X .五、（本题满分14分）试求a 为何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321a x x ax x ax x ax x x有唯一解、无解、有无穷多解？并在无穷多解时求其通解.一、填空题（每小题3分，共18分）2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，则(A +3E )-1 (A 2-9E )=.3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031021A ，则A -1=.二、选择题（每小题3分，共18分）1. 若矩阵A 有一个r 阶子式不为零，则下列结论正确的是 [ ](A ) R (A )<r ； (B ) R (A )≤ r ； (C ) R (A )>r ； (D ) R (A )≥ r .2. 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则下列结论一定成立的是 [ D ](A ) AB = BA ； (B ) 存在可逆矩阵P ，使P -1 AP =B ； (C ) 存在可逆矩阵C ，使C T AP =B ； (D ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P -AQ =B . 5. 矩阵方程AX =B 有解的充分必要条件是 [ C ](A ) R (A )= R (B )； (B ) R (B )=R (A , B )； (C ) R (A )=R (A , B )； (D ) R (A )<R (A , B ).6. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ,,101010001,10000101021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则[ D ](A ) B =P 1AP 2； (B ) B =P 2AP 1； (C ) B =A P 1P 2； (D ) B =P 1P 2A .三、计算题（第1、2题每小题10分，第3小题12分，共32分）1. 计算行列式3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++.2. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+++000224214324321x x x x x x x x x x 的全部解.3. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2001,1121B P 满足P -1AP=B ，计算： (1) |-A 5|； (2) A 3.济南大学2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课程线性代数考试时间 2012 年 7 月 2 日一、填空题（每小题3分，满分27分）1、设行列式==11110342226111304z y xzy x，则行列式_________. 4、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100120000120025，则A -1=________________. 6、三元线性方程x 1+ x 2+ x 3=1的全部解是_______________.三、计算题（每小题9分，满分18分）（1）D =cc b b a a ------1100110011001.（2）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛161020101,而X 满足AX +E =A 2+X ，求X .四、应用题（每小题10分，满分20分）（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1-11020011-λλλ, b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11-a ，已知非齐次线性方程组Ax=b 存在两个不同的解，求（I ）a ，λ的值；（II ）Ax =b 的通解.。

线性代数试题

.线性代数试卷（1）一. 填空题(每小题3分,满分30分) 1. 设21321,,,,ββααα 都是4维列向量,且4阶行列式,,3221121n m ==αβαααβαα 则4阶行列式()=+21123ββααα_-_m+n_____________2. 已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示则21,αα线性__相关________3. 设A 是n m ⨯阶矩阵 ,,B 是s n ⨯阶矩阵,,()r A R =,且0=AB ,则()B R 的取值范围是________________4.设A 是4⨯3矩阵,且A 的秩()2=A R 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301020201B 则()=AB R __________-25.设0是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 01020101的特征值,则=a _____________-6.设2123222213212),,(x x x k kx x x x x f +++=是正定二次型, 则t 的取值区间为 >17.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314120401A 对应的二次型是_______________ 8. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=44644325x A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321,则=x9.设A 为3阶方阵,*A 为伴随矩阵,81=A ,则*1831A A -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=____64______10.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=14523121x A 是不可逆矩阵,则=x ____________二. (8分)计算行列式yy x x -+-+1111111111111111……………..三.(8分) 三阶方阵B A ,满足关系式:BAE AB +=+2,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,求B四.(10分)设()()()()()6,5,1,2,0,2,1,1,14,7,0,3,2,1,3,0,4,2,1,154321=-===-=ααααα求向量组的秩及其一个极大无关组.五. (12分)问常数k 取何值时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4243212321321x x x k x kx x kx x x无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型 ()32312123222132184444,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设B A ,都是n 阶矩阵,且A 可逆,证明AB 与BA 有相同的特征值八. (8分)设向量组:A mααα,,,21线性无关,向量1β可由向量组A 线性表示,而向量2β不能由向量组A 线性表示.证明:1+m 个向量2121,,,,ββααα+l m 必线性无关.线性代数试卷（2）填空题 (每小题3分，满分30分) 1..________,___,04334221321111==-x xx x 的根方程2.().________)(,,2010,2101===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A R A 则矩阵设αββα3. 设A 、B 为4阶方阵，且2-=A ，3=B ，则_________1))((=-T AB4..______,=A A 则相似于单位矩阵设5. A 是34⨯矩阵，其秩rank ()A =1,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0030000108532001B , 则rank ()BA = _____6.._________ ,0,11223112321==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=t Ax t A 则有非零解且方程组设7.设方阵A 有一特征值为λ，则()rr A a A a E a A f +++= 10的特征值为。

北京理工大学2011-2012年度第一学期《线性代数》期末试题及详细参考答案

证明：
(1) 秩 ( A − λ0 I ) = 秩 ( A − λ0 I ) ；2 (2) 不存在 Y ，使得 ( A − λ0I )Y = X0 ；
6
2011 年线性代数 A 期末考试答案
一解在方程 A* X = 2 A−1 + 2 X 两端左乘 A 得 A X = 2I + 2AX ………………………………………..4 分
七、（ 10 分）设 A 为 2 × 2 的实矩阵，证明： A 的特征值都为实数的充要条件为
A
≤
trA 2 2
（其中
trA
为
A
的迹，即
A
的主对角元之和）。
4
1 2 2 八、（10 分已知实二次型 f ( x1, x2 , x3 ) = X TAX ，其中 A = 2 1 2。
−2 −2 λ− 1
特征值为λ1 = −1(二重)，λ2 = 5。…………………………………4 分
−2 −2 −2 1 1 1
当λ= −1 时，(λI − A) = − 2−2
−2 −2
−−22 → 00
0 0
00
3
相应的特征向量为
α1=( − 1,1,0), α2=( − 1,0,1)
0
1 0
0
-
3 2
1
1
2
0 0 0 0
所以 r (α1 ,α2 ,α3 ,α4 ) = 3,
极大无关组为α ,1α ,α2 , 3
剩余向量的表出
α 4=
−
3α 2
−1
3α 2
+2
1
α. 2
3

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案线性代数是数学的重点知识，多进⾏试题练习提⾼⾃⼰的能⼒。

以下是由店铺整理线性代数试题及答案，希望⼤家喜欢! 线性代数试题及答案(⼀) 说明：在本卷中，AT表⽰矩阵A的转置矩阵，A*表⽰矩阵A的伴随矩阵，E表⽰单位矩阵。

表⽰⽅阵A的⾏列式，r(A)表⽰矩阵A的秩。

⼀、单项选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错癣多选或未选均⽆分。

1.设3阶⽅阵A的⾏列式为2，则 ( )A.-1B. C. D.1 2.设则⽅程的根的个数为( )A.0B.1C.2D.3 3.设A为n阶⽅阵，将A的第1列与第2列交换得到⽅阵B，若则必有( ) A. B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶⽅阵，下列命题中正确的是( ) A. B. C. D. 5.设其中则矩阵A的秩为( )A.0B.1C.2D.3 6.设6阶⽅阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为( )A.0B.2C.3D.4 7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为( )A.-10B.-4C.3D.10 8.已知线性⽅程组⽆解，则数a=( ) A. B.0 C. D.1 9.设3阶⽅阵A的特征多项式为则 ( )A.-18B.-6C.6D.18 10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为( )A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3 ⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

11.设⾏列式其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为__________. 12.设则 __________. 13.设A是4×3矩阵且则 __________. 14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的'秩为__________. 15.设线性⽆关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表⽰，则r与s的关系为__________. 16.设⽅程组有⾮零解，且数则 __________. 17.设4元线性⽅程组的三个解α1，α2，α3，已知则⽅程组的通解是__________. 18.设3阶⽅阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________. 19.设矩阵有⼀个特征值对应的特征向量为则数a=__________. 20.设实⼆次型已知A的特征值为-1，1，2，则该⼆次型的规范形为__________. 三、计算题(本⼤题共6⼩题，每⼩题9分，共54分) 21.设矩阵其中均为3维列向量，且求 22.解矩阵⽅程 23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和⼀个极⼤⽆关组. 24.设3元线性⽅程组 , (1)确定当λ取何值时，⽅程组有惟⼀解、⽆解、有⽆穷多解? (2)当⽅程组有⽆穷多解时，求出该⽅程组的通解(要求⽤其⼀个特解和导出组的基础解系表⽰). 25.已知2阶⽅阵A的特征值为及⽅阵 (1)求B的特征值; (2)求B的⾏列式. 26.⽤配⽅法化⼆次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换. 四、证明题(本题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0. 线性代数试题及答案(⼆)【线性代数试题及答案】。

重庆理工大学线性代数A卷(13-14经管)含答案

当时，由，
得时对应的特征向量为；（4分）
当时，由，
得时对应的特征向量为。（6分）
解：（2分）
令得（4分）
于是标准形为，所用的可逆线性变换为（6分）
四、证明题（5分）
有
于是，（3分）
故可逆，并且（5分）
（7）设是齐次线性方程组的基础解系，下列向量组中不能构成的基础解系的是（）
（A）（B）
（C）（D）
（8）设为矩阵，若，则齐次线性方程组的基础解系中包含的解向量的个数是（）
（A）2（B）3（C）4（D）5
（9）设为三阶方阵，的特征值分别为，则在下列矩阵中为可逆矩阵的是（）
（A）（B）（C）（D）
学生答题不得超过此线
题号
一
二
三
四
总分
总分人
分数
得分
评卷人
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。
（1）下列各项中，为某五阶行列式中带负号的一项是（）.
（A）（B）（C）（D）
（2）设行列式，，则与的关系为（）
（A）（B）（C）（D）
（3）对于三阶行列式，则有等于（）
（A）（B）（C）（D）
（4）设、为三阶矩阵， ,则（）
（A）（B）（C）（D）
（5）若阶矩阵、都可逆，且，则下列（）结论错误。
（A）（B）（C）（D）
（6）设为阶方阵，如果经过若干次初等变换成矩阵，则（）成立．
（A）（B）（C）若，则必有（D）若，则必有
学生答题不得超过此线
（7）求向量组
的秩和一个最大无关组。

(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数）（ A 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝，a ＝，b ＝。

《线性代数》2018-2019学年第一学期期末考试A卷

河海大学2018-2019学年第一学期期末考试《线性代数》试题（A）卷姓名：_______班级：_______学号：_______成绩：_______一、填空题(每空4分，共20分)1、已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -=。

2、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 322-+=，则B 的特征值为。

3、设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -=。

4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则Ax b =的通解x =。

5、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为，正定性为。

二、判断题（每小题2分，共10分）1、B A ,为n 阶方阵则BA AB =（）2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则b Ax =有无穷多解。

（）3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关；（）4、设21,λλ是方阵A 的特征值，则21λλ+也是方阵A 的特征值。

（）5、4个3维向量一定线性相关。

（）三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求4131211122A A A A +++.2、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A 是否可逆。

若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的伴随矩阵A *四、计算：(每小题10分，共20分)1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-034220222402024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。

2、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解。

五、(10分)判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1210,1012,0212,11014321αααα的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。

线性代数试题A答案

东莞理工学院本科试卷A 卷答案2005 -2006 学年第一学期开课单位：数学教研室 ,考试形式：闭卷,允许带入场科目：_线性代数 _班级： 0 姓名：学号：一．填空题每小题3分,共15分1．()013121221110⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭()15202. 若n 阶方阵A 的秩 r n <, 则A = 0 ．3．设0=x A ,A 是5阶方阵,且=)(A R 3, 则基础解系中含 2 个解向量．4．若３阶矩阵A 的特征值为２,２,３,则=A 12 ．5．设21,λλ是对称阵A 的两个不同的特征值,21,p p 是对应的特征向量,则=],[21p p0 ．二．选择题每小题3分,共15分1．若A 为3阶方阵,且2=A ,则2A -= C ．Ａ．-4 Ｂ．4 Ｃ．-16 Ｄ．162．设B A ,为n 阶方阵,满足等式O AB =,则必有Ｂ．Ａ．O A =或O B = Ｂ．0=A 或0=B Ｃ． O B A =+ Ｄ．0=+B A3．设n 元线性方程组b x A=,且n b A R A R ==),()( ,则该方程组ＢＡ．有无穷多解Ｂ．有唯一解Ｃ．无解Ｄ．不确定 4．设P 为正交矩阵,则P 的列向量 AA ．组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向量 5．若二次型()f '=x x Ax 为正定, 则对应系数矩阵A 的特征值ＡＡ．都大于0；Ｂ．都大于等于0；Ｃ．可能正也可能负Ｄ．都小于0三．8分计算行列式2111121111211112D =的值．解．21234314211111111111121112110100555112111210010111211120001r r D r r r r r r r r -=+++-=-． 3分 5分四．8分设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100210321A ,求1-A ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100 010 001 100210321) (E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100 010 021 100210101221r r 4分1323100 121010 0122001 001r r r r -⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1002101211A 或用伴随矩阵7分 8分五．8分求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--03203 0 432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=321131111111A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→210042001111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000021001111 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000021001011,4分通解方程组⎩⎨⎧=-=--02043421x x x x x ,基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111ξ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12012ξ ,7分通解为2211ξξk k +,21,k k 为任意常数．8分六．8分已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32111α ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11112α ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=53313α ,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组表示．解：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==513312311111,,321ααα A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→220110220111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→000000110201 5分极大无关组21,αα ,且2132ααα-=．8分七．10分讨论λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2321321321)1( )1(0)1( λλλλλx x x x x x x x x1 有唯一解；2 无解；3 有无穷多解．解：法1 )3(1111111112+-=+++=λλλλλA 2分（１）当0≠λ且3-≠λ时,有0≠A ,方程组有惟一解； 4分２当3-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=93 0 112121211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→600033300211,3)(2)(=<=A R A R ,所以无解； 6分３当0=λ时,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→000000000111A , 1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解．法2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=220001111111110111λλλλλλλλλλλλA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+→2)2(000111λλλλλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+→)1()3(0000111λλλλλλλλ 10分八．8分用配方法将二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +--=化为标准形,并求可逆的线性变换．解：232223312132162)44(),,(x x x x x x x x x f --++=232223162)2(x x x x --+=,4分令⎪⎩⎪⎨⎧==+=33223112x y x y x x y ,即⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311 2y x y x y y x , 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100010201y y y x x x , 变换矩阵,100010201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C .01≠=C 标准形23222162y y y f --= ．8分九．10分求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400032020A 的特征值与最大特征值所对应的特征向量．解：)1()4(2+--=-λλλE A ,特征值.1,4321-===λλλ 4分当421==λλ时,解0)4(=-x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0211ξ ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002ξ ,A 的对应于421==λλ的全体特征向量为2221ξξη k k +=, 0(2221≠+k k ． 10分十．每小题5分,共10分1．设向量组321,,ααα线性无关,讨论向量组 112123,,αααααα+++的线性相关性．解：令112123123()()0,k k k αααααα+++++= 即 123123233()()0k k k k k k ααα+++++=因为321,,ααα 线性无关,所以有123223 000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩, 3分由于方程组只有零解,故112123,,αααααα+++线性无关;5分２．设A 为满足等式O E A A =+-232的矩阵,证明A 可逆,并求1A -．解：O E A A =+-2321(3)2(3)2A A E E A A E E -⇒-=-⇒⋅-= 3分所以A 可逆,且11(3)2AE A -=- 5分。

线性代数课程期末考试试卷(A卷)1

信息学院本科生2009－2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业：年级：学号：姓名：成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“⨯”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)1. 方阵,A B 满足，则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。

( )2. 若方阵A 有0k A =（0k >为整数）, 则必有||0A =。

( )3. ,A B 为同型矩阵，且秩(A)＝秩(B)，则0AX = 与0是同解方程组。

( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定，则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ，使T F AF 为对角矩阵。

(B) 的所有的特征值均为正值。

A (C) 是不可逆矩阵。

A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ，必有。

0T X AX >5. n 维向量,αβ正交，则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。

0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。

(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间，T 是V 中一个任意的线性变换，则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。

n (D) 是线性空间V 中线性变换，向量组T 12,,,m ααα 线性无关，则12,,,T m T T αα α线性无关。

)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

广东海洋大学 2013 —— 2014学年第一学期
《线性代数》课程试题
课程号： √ 考试 √ A 卷
√ 闭卷
□ 考查 □ B 卷 □ 开卷
一、填空题（30分）
1、设|A|=2，|B|=3，则|AB -1|= 。

2、设A 可逆，则矩阵方程XA=B 的解为X= 。

3、设A ，B 均可逆，则= 。

4、两个向量α与β线性相关⇔ 。

5、非齐次线性方程组AX=b 有解⇔ 。

6, n 阶方阵A 可逆⇔ 。

7、设，则R （A ）＝。

8、设D 是三阶行列式，则231322122111A a A a A a ++= 。

9、向量组。

10、设n 元齐次线性方程组AX=0，R （A ）=r ，则其基础解系由个向量构成。

班级：
姓
名：
学
号：
加白纸
张
密
封
线
1
00-⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→221002*********A 线性T T T )7,4,2(,)3,2,0(,)1,1,1(321===ααα
二、计算行列式的值（10分）
三、设A= ，B= ，求X ，使AX=B 。

（12分）
3
3514
31511022
113------=D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--113122214⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--132231
四、求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量由此极大无关组线性表示（14分）
T T T T 1234(111(110(100(123αααα====，，），，，），，，），，，－）
五，设 A= ，求A 1- （12分）
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--523012101
六求下列方程组的通解
x
1－x
2
－x
3
＋x
4
＝0
｛x
1－x
2
＋x
3
－3x
4
＝1 （15分）
x
1－x
2
－2x
3
＋3x
4
＝－1/2
七、设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是
AB=BA。

(7分)
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。