辽宁卷,高考数学理科卷

2010年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试··理
科数学(辽宁卷)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.(2010辽宁,理1)已知A ,B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集,且A ∩B ={3},(U B )∩A ={9},
则A =
A.{1,3}
B.{3,7,9}
C.{3,5,9}
D.{3,9}
答案:D
2.(2010辽宁,理2)设a ,b 为实数,若复数i
i
21b a ++=1+i,则A.a =
23,b =2
1 B.a =3,b =1
C.a =21,b =
2
3 D.a =1,b =3
答案:A
3.(2010辽宁,理3)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为32和4
3
,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A.
2
1 B.
12
5 C.
4
1 D.
6
1答案:B
4.(2010辽宁,理4)如果执行下面的程序框图,输入正整数n ,m ,满足n ≥m ,那么输出的p 等于
A.1
C −m n B.1
A −m n C.m n C D.m n
A 答案:D
5.(2010辽宁,理5)设ω>0,函数y =sin(ωx +3π)+2的图像向右平移3
π4个单位后与原图像重合,则ω的最小值是
A.
3
2
B.
34 C.
2
3 D.3
答案:C
6.(2010辽宁,理6)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则
S 5=
A.
2
15 B.
4
31 C.
4
33 D.
2
17答案:B
7.(2010辽宁,理7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |=
A.43
B.8
C.83
D.16
答案:B
8.(2010辽宁,理8)平面上O ,A ,B 三点不共线,设OA =a ,=b ,则△OAB 的面积等于A.222)(||||b a b a ⋅− B.222)(||||b a b a ⋅+C.
2
12
22)(||||b a b a ⋅− D.
2
12
22)(||||b a b a ⋅+答案:C
9.(2010辽宁,理9)设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为
A.2
B.3
C.
2
13+ D.
2
15+答案:D
10.(2010辽宁,理10)已知点P 在曲线y =1
e 4
+x
上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是
A.［0,
4
π) B.［
2,4ππ) C.(
4
3,2π
π］ D.［
4
3π,π)答案:D
11.(2010辽宁,理11)已知a >0,则x 0满足关于x 的方程ax =b 的充要条件是
A.
∈R ,21ax 2-bx ≥21
ax 02-bx 0 B.∈R ,
21ax 2-bx ≤21
ax 02-bx 0 C.∈R ,21ax 2-bx ≥2
1
ax 02-bx 0
D.∈R ,21ax 2-bx ≤2
1
ax 02-bx 0
答案:C
12.(2010辽宁,理12)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是
A.(0,6+2)
B.(1,22)
C.(2626+−,)
D.(0,22)
答案:A
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2010辽宁,理13)(1+x +x 2)(x -
x
1)6
的展开式中的常数项为_______.答案:-5
14.(2010辽宁,理14)已知-1<x +y <4且2<x -y <3,则z =2x -3y 的取值范围是_______.(答案用区间表示)
答案:(3,8)
15.(2010辽宁,理15)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为_______.
答案:23
16.(2010辽宁,理16)已知数列{a n }满足a 1=33,a n +1-a n =2n ,则n
a n
的最小值为_______.答案:
2
21三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2010辽宁,理17)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sinC.
(1)求A 的大小;
(2)求sin B +sin C 的最大值.
解:(1)由已知,根据正弦定理得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc .
由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故cos A =-
2
1
,A =120°.(2)由(1)得sin B +sin C =sin B +sin(60°-B )=
23cos B +2
1
sin B =sin(60°+B ).故当B =30°时,sin B +sin C 取得最大值1.
18.(2010辽宁,理18)为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A ,另一组注射药物B .
(1)甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同组的概率;
(2)下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm 2)表1:注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积［60,65)［65,70)［70,75)［75,80)频数30
40
2010表2:注射药物B
后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积［60,65)［65,70)
［70,75)［75,80)［80,85)频数
10
25
20
30
15
①完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
②完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.
表3:
疱疹面积小于70mm 2
疱疹面积不小于70mm 2
合计
注射药物A a =b =注射药物B c =d =
合计
n =
附:K 2
=
)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n ++++−P (K 2≥k )
0.1000.0500.0250.0100.001k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
解:(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为P =10020099100C C 2=199
100
.
(2)①
图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.
②表3:
疱疹面积小于70mm 2
疱疹面积不小于70mm 2
合计注射药物A a =70b =30100注射药物B c =35d =65100
合计
10595
n =200
K 2=95
105100100)30356570(2002
××××−××≈24.56.
由于K 2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.
19.(2010辽宁,理19)已知三棱锥P —ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,PA =AC =
2
1
AB ,N 为AB 上一点,AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点.
(1)证明CM ⊥SN ;
(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小.
解:设PA =1,以A 为原点,射线AB ,AC ,AP 分别为x ,y ,z 轴正向建立空间直角坐标系如图
.
则P (0,0,1),C (0,1,0),B (2,0,0),M (1,0,
21),N (21,0,0),S (1,2
1,0).(1)证明:CM =(1,-1,21),SN =(-21,-21
,0),
因为·=-21+2
1
+0=0,所以CM ⊥SN .
(2)=(-2
1
,1,0),设a =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量,
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=+−,021,021y x z y x 令x =2,得a =(2,1,-2).因为|cos 〈a ,〉|=|
2
2
321
1×
−
−|=22所以SN 与平面CMN 所成角为45°.
20.(2010辽宁,理20)设椭圆C :22
22b
y a x +=1(a >b >0)的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C
相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,AF =FB 2.
(1)求椭圆C 的离心率;(2)如果|AB |=
4
15
,求椭圆C 的方程.解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知y 1<0,y 2>0.(1)直线l 的方程为y =3(x -c ),其中c =22b a −.
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+−=1
),(322
22b y a x c x y 得(3a 2+b 2)y 2+23b 2cy -3b 4=0.解得y 1=2223)2(3b a a c b ++−,y 2=2
223)
2(3b a a c b +−−.
因为AF =2FB ,所以-y 1=2y 2,
即2222223)2(323)2(3b a a c b b a a c b +−−⋅=++.得离心率e =3
2=a c .
(2)因为|AB |=3
1
1+
|y 2-y 1|,所以32·4153342
22=+b
a a
b .由32=a
c 得b =a 35.所以
4
15
45=a ,得a =3,b =5.椭圆C 的方程为15
92
2=+y x .
21.(2010辽宁,理21)已知函数f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1.
(1)讨论函数f (x )的单调性;
(2)设a <-1,如果对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)-f (x 2)|≥4|x 1-x 2|,求a 的取值范围.
解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=x a 1++2ax =x
a ax 1
22++.
当a ≥0时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调增加;
当a ≤-1时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,+∞)上单调减少;当-1<a <0时,令f ′(x )=0,解得x =a
a 21
+−
.则当x ∈(0,a a 21+−
)时,f ′(x )>0;当x ∈(a a 21
+−,+∞)时,f ′(x )<0.故f (x )在(0,
a a 21+−
)上单调增加,在(a
a 21
+−,+∞)上单调减少.(2)不妨假设x 1≥x 2,而a <-1,由(1)知f (x )在(0,+∞)上单调减少,从而
x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)-f (x 2)|≥4|x 1-x 2|,
等价于
x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 2)+4x 2≥f (x 1)+4x 1.
①
令g (x )=f (x )+4x ,则g ′(x )=
x
a 1
++2ax +4.①等价于g (x )在(0,+∞)上单调减少,即
x
a 1
++2ax +4≤0,
从而a ≤12142+−−x x =21
2)12(1224)12(2
2
222−+−=+−−−x x x x x ,故a 的取值范围为(-∞,-2］.
22.(2010辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲
如图,△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E
.
(1)证明△ABE ∽△ADC ;(2)若△ABC 的面积S =
2
1
AD ·AE ,求∠BAC 的大小.(1)证明:由已知条件,可得∠BAE =∠CA D.
因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以∠AEB =∠AC D.故△ABE ∽△AD C.
(2)解:因为△ABE ∽△ADC ,所以
AC
AD
AE AB =
,即AB ·AC =AD ·AE .又S =21AB ·AC sin ∠BAC ,且S =2
1
AD ·AE ,故AB ·AC sin ∠BAC =AD ·AE .
则sin ∠BAC =1,又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC =90°.23.(2010辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程
已知P 为半圆C :⎩
⎨⎧==θθsin ,
cos y x (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标
原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧的长度均为
3
π
.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标;(2)求直线AM 的参数方程.解:(1)由已知,M 点的极角为3π,且M 点的极径等于3
π,故点M 的极坐标为(
3π,3
π).(2)M 点的直角坐标为(
6
π
3,
6π),A (1,0),故直线AM 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=−+=t y t x 6π3,)16π(1(t 为参数).
AP
24.(2010辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲已知a ,b ,c 均为正数,证明:a 2+b 2+c 2+(c
b a 111++)2
≥63,并确定a ,b ,c 为何值时,等号成立.
证法一:因为a ,b ,c 均为正数,由平均值不等式得a 2+b 2+c 2≥3(abc )3
2,
①
31
)(31
11−≥++abc c
b a 所以(c
b a 111++)2
≥9(abc )32
−.
②
故a 2+b 2+c 2+(c
b a 1
11++)2≥3(abc )32
+9(abc )32
−.
又3(abc )3
2+9(abc )3
2−≥227=63,③
所以原不等式成立.
当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc )3
2=9(abc )
3
2−时,③式等号成立.
即当且仅当a =b =c =34
1时,原式等号成立.
证法二:因为a ,b ,c 均为正数,由基本不等式得a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac .所以a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac .
①同理
ac
bc ab c b a 1
11111222+
+≥++,②
故a 2+b 2+c 2+(c b a 1
11++)2
≥ab +bc +ac +3ab 1+3bc 1+3ac
1
≥63.
③
所以原不等式成立.
当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立.
即当且仅当a =b =c =34
1时,原式等号成立.。