辽宁卷,高考数学理科卷
2021年辽宁省高考数学试卷(理科)
2021年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的模长为（）A．B．C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C． D．7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1612．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率差不多上，答对每道乙类题的概率差不多上，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范畴．请考生在21、22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分。
2024年辽宁高考数学试题(含答案)
2024年辽宁高考数学试题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （ ）A ．12B C D ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．()f x 与()g x 有相同最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+= .14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =(1)证明：EF PD ⊥；(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--=故选：C.2．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.3．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，故选：B.4．C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.5．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得AM =111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D =可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AADN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=-++，解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A B C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则11661832P ABCV d-=⨯⨯⨯=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.8．C【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为(),b-+∞，分类讨论a-与,1b b--的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 10．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心12．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+ ()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin αβ+=法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==，cos β=则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为：14． 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅== ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅=⇔又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 1t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c ==故ABC 的周长为216．(1)()e 110x y ---=(2)()1,+∞【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞.17．(1)证明见解析【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ,所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥，所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ，所以EF ⊥平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ，故EF ⊥PD ；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=，在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z == ，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin θ==，即平面PCD 和平面PBF.18．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)Pq p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19．(1)23x =，20y =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】（1）由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n nn ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = ，(),UW c d =，则12UVW S ad bc =- .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S = ）证明：1sin ,2UVW S UV UW UV UW =⋅=12UV UW =⋅===12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+-- ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--.所以3n n P P + 和12n n P P ++ 平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++= ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
辽宁高考数学理科卷解析
一、选择题（每小题5分，共60分）. 1.已知集合{}{}35,55M x x N x x =-<=-<<,则MN =( )A. {}55x x -<< B. {}35x x -<< C. {}55x x-< D. {}35x x -<【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合运用集合间的交集运算求解交集表示的范围. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 2.已知复数12i z =-，那么1z=( )A.55+ B.i 55- C.12i 55+ D.12i 55- 【测量目标】复数的基本运算、共轭复数.【考查方式】给出复数的共轭复数的分数形式求其值. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】21112i 12i 12i 12i (12i)(12i)1255z --====-++-+. 3.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b( )【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出平面向量之间的夹角及一个向量的坐标表示求模. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由已知2222,2444421cos60412︒=+=++=+⨯⨯⨯+=a a b a a b b ,∴2+=a b 4. 已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为( )A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的方程.【考查方式】已知圆与一条已知直线之间的位置关系和圆心所在的直线方程求圆的一般方程. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】圆心在0x y +=上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出实际问题运用排列组合的性质运算求解答案. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】直接法：一男两女,有1254C C ＝5×6＝30种,两男一女,有2154C C ＝10×4＝40种,共计70种.间接法：任意选取39C ＝84种,其中都是男医生有35C ＝10种,都是女医生有14C ＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =,则69SS = ( )A. 2 B. 73C. 83D.3【测量目标】等比数列的前n 项和，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列的前n 项和的比的形式求解其值.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】设公比为q ,则3336333(1)132S q S q q S S +==+=⇒=.于是63693112471123S q q S q ++++===++. 7.曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为( ) A. 2y x -= B.32y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =-+ 【测量目标】函数的导数，切线方程.【考查方式】给出一个曲线的解析式求其在某个定点的切线方程. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】2222(2)(2)x x y x x ---'==--,当1x =时切线斜率为2k =-. 8.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，π2()23f =-，则(0)f = ( )第8题图A.23-B.23C.12-D. 12【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.【考查方式】给出函数sin()y A x ωϕ=+的图像，运用其性质求解未知数. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由图象可得最小正周期为2π3于是2π(0)()3f f =,注意到2π3与π2关于7π12对称所以2ππ2()()323f f =-=. 9.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ）A. 12(,)33B.12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 12(,)23 D. 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【测量目标】利用函数的单调性求参数范围.【考查方式】已知函数在某个区间的单调性求未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由于()f x 是偶函数,故()()f x f x =∴得1(21)()3f x f -<,再根据()f x 的单调性得1213x -<解得1233x <<. 10.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，... N a ，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )第10题图A.0,A V S T >=-B.0,A V S T <=-C.0,A V S T >=+D.0,A V S T <=+【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】已知某个循环结构的程序框图，给出输出结果逆推出原程序框图中的残缺部分. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】月总收入为S,因此0A >时归入S ,判断框内填0A >支出T 为负数,因此月盈利V S T =+.11.正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥 P －GAC 体积之比为( )A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 3:2 【测量目标】锥的体积.【考查方式】求解已知几何体中部分几何体的体积之比. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由于G 是PB 的中点,故P －GAC 的体积等于B －GAC 的体积. 在底面正六边形ABCDEF 中3tan 303BH AB AB ︒==而3BD AB =故DH ＝2BH 于是22D GAC B GAC P GAC V V V ---==第11题图12.若1x 满足225xx +=, 2x 满足222log (1)5x x +-=, 12x x +=( )A.52 B.3 C. 72D.4 【测量目标】对数函数、指数函数的性质.【考查方式】给出满足对数函数、指数函数的未知数，运用对数函数、指数函数的性质求解未知数之和.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由题意225xx += ①222log (1)5x x +-= ②（步骤1）所以112252,log (52)xx x x =-=-即12122log (52)x x =-（步骤2）令1272x t =-,代入上式得22722log (22)22log (1)t t t -=-=+-2522log (1)t t ∴-=-与②式比较得2t x = 于是12272x x =-（步骤3）1272x x ∴+=,故选C.（步骤4） 13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分 层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命 的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h ，1020h ，1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_________h. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际问题运用分层抽样的方法求解答案. 【难易程度】容易 【参考答案】1013 【试题解析】9801102021032110134x ⨯+⨯+⨯==.14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系.【考查方式】已知数列的通项与其前n 项和之间的关系求解数列的未知项.【难易程度】中等 【参考答案】13【试题解析】∵11(1)2n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413a =. 15.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）.则该几何体的体积为 3m .第15题图【测量目标】三视图，求几何体的体积【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于16×2×4×3＝4.16.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程，运用其简单的几何性质求两条线段模的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为(4,0)F ', 于是由双曲线性质24PF PF a '-==而5PA PF AF ''+=两式相加得9PF PA+,当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立.17.（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75︒，30︒，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60︒，0.1AC = km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414， 6≈2.44）第17题图【测量目标】正弦定理的实际应用.【考查方式】运用正弦定理在实际问题中构建三角形求解实际问题. 【难易程度】中等【试题解析】在ABC △中，30,6030DAC ADC DAC ︒︒︒∠=∠=-∠=.（步骤1）所以0.1CD AC == 又180606060BCD ︒︒︒︒∠=--=，（步骤2）故CB 是CAD △底边AD 的中垂线，所以BD BA =,（步骤3）在ABC △中，sin sin AB ACBCA ABC=∠∠即sin 60326sin1520AC AB ︒︒+==（步骤4）因此，3260.33km 20BD +=≈.故B ，D 的距离约为0.33km. （步骤5）18.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点 .（1）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正值弦；（2）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线.第18题图【测量目标】面面垂直，异面直线之间的关系.【考查方式】给出立体几何体，由已知知识点求解面面垂直与异面直线之间的关系. 【难易程度】较难【试题解析】（1）解法一：取CD 的中点G ，连接MG ，NG .设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，则MG ⊥CD ，MG =2，NG 2=（步骤1）因为平面ABCD ⊥平面DCED ，所以MG ⊥平面DCEF ，可得∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角. （步骤2）因为MN 6=，所以6sin 3MNG ∠=为MN 与平面DCEF 所成角的正弦值.（步骤3） 解法二：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为,,x y z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. （步骤1）则M （1,0,2）,N (0,1,0),可得(1,1,2)MN =-（步骤2） 又(0,2,2)DA =为平面DCEF 的法向量，可得6cos(,)3MN DA MN DA MN DA==-· 所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为6cos ,3MN DA =（步骤3）第18题(1)图(2)假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB ⊄平面DCEF .又AB //CD ，所以AB //平面DCEF .而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB //EN .又AB //CD //EF ，所以EN //EF ，这与ENEF =E 矛盾，故假设不成立.所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线. 19.（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1:3:6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.（1）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；（2）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求()P A【测量目标】数学期望，分布列.【考查方式】运用数学期望的相关知识求解实际问题. 【难易程度】中等【试题解析】（1）依题意X 的分列为X 0 1 2 3 4P1681 3281 2481 881 181（2）设A 1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，1,2i =.B 1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”,1,2i =依题意知P （A 1）=P (B 1)=0.1，P （A 2）=P (B 2)=0.3，（步骤1）11111122A A B A B A B A B =,（步骤2）所求的概率为11111122()()()()P A P A B P A B PA B P A B =+++（） =11111122()()())()()()P A B P A P B PA PB P A P B +++（ =0.10.90.90.10.10.10.30.30.28⨯+⨯+⨯+⨯= . （步骤3）20.（本小题满分12分）已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为(1,0),(1,0)-.（1） 求椭圆C 的方程；（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】已知椭圆的几个参数求解椭圆的标准方程，判断直线与椭圆的位置关系. 【难易程度】较难【试题解析】(1)由题意，c =1,可设椭圆方程为2219114b b+=+，（步骤1）解得23b =，234b =-（舍去）所以椭圆方程为22143x y +=. （步骤2） (2)设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得 2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=（步骤3）设(,)E E E x y ,(,)F F F x y ,因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以2234()12234F k x k--=+,32E E y kx k =+-（步骤4） 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得2234()12234F k x k +-=+32E Ey kx k =-++（步骤5）所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--即直线EF 的斜率为定值，其值为12. （步骤6） 21.（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+->. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--.【测量目标】函数的单调性.【考查方式】已知函数解析式求解函数的单调性，已知参数范围求解区间内函数的单调性. 【难易程度】较难【试题解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.211()a x ax a f x x a x x--+-'=-+= (1)(1)x x a x-+-=（步骤1）（i ）若11a -=即2a =,则2(1)()x f x x-'=故()f x 在(0,)+∞单调增加. （步骤2）(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<;（步骤3） 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. （步骤4）(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. （步骤5）(2)考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+（步骤6）则211()(1)2(1)1(11)a a g x x a x a a x x--'=--+--=---（步骤7） 由于15a <<,故()0g x '>，即()g x 在(4, +∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，（步骤8）即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---.（步骤9） 22.（本小题满分10分）已知ABC △中，AB =AC , D 是ABC △外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ,C 重合），延长BD 至E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC =30︒，ABC △中BC 边上的高为2+3， 求ABC △外接圆的面积.第22题图【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的简单几何性质.【考查方式】给出圆与直线的位置关系，运用其简单几何性质求解角与线的关系.【难易程度】中等【试题解析】(1)如图，设F 为AD 延长线上一点∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC （步骤1） 又AB =AC ∴∠ABC =∠ACB ,且∠ADB =∠ACB , ∴∠ADB =∠CDF , （步骤2）对顶角∠EDF =∠ADB , 故∠EDF =∠CDF ,即AD 的延长线平分∠CDE . （步骤3）第22题图(2)设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ,则AH ⊥BC .连接OC , OA 由题意∠OAC =∠OCA =15︒, ∠ACB =75︒,∴∠OCH =60︒.（步骤4）设圆半径为r ,则r +23r =2+3,a 得r =2,外接圆的面积为4π.（步骤5） 23.（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为πcos()3ρθ-=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】建立坐标系求解参数方程.【难易程度】中等【试题解析】（1）由πcos()13ρθ-=得13(cos )12ρθθ+=（步骤1） 从而C 的直角坐标方程为13122x y +=即32x +=（步骤2） 0θ=时，2,ρ=所以(2,0)M π2θ=时，3=3ρ所以3π()32N （步骤3） （2）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为3(0,3（步骤4） 所以P 点的直角坐标为3,则P 点的极坐标为23π()6所以直线OP 的极坐标方程为π,(,)6θρ=∈-∞+∞（步骤5） 24.（本小题满分10分）设函数()|1|||f x x x a =-+-.(1)若1,a =-解不等式()3f x ； (2)如果x ∀∈R ,()2f x ,求a 的取值范围.【测量目标】不等式.【考查方式】给出函数解析式求解不等式.【难易程度】中等【试题解析】(1)当1a =-时，()11f x x x =-++.由()3f x 得113x x -++（步骤1） ○1当1x -时，不等式化为113x x---即23x -（步骤2）○2当1x >时，联立不等式组1()3x f x >⎧⎨⎩解得其解集为3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，综上得()3f x 的解集为33,,22⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.（步骤3） (2)若1,()21a f x x ==-，不满足题设条件.○1若1a <,21,,()1,1,2(1),1x a x a f x a a x x a x -++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩()f x 的最小值为1a -（步骤4） ○2若1,a >21,1,()1,1,2(1),x a x f x a x a x a x a -++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩()f x 的最小值为1a -（步骤5） 所以()2x f x ∀∈R ，的充要条件是12a -，从而a 的取值范围为][13∞-+∞（-，，）.（步骤6）。
07年辽宁高考数学理科真题及答案
理科数学试题辽宁卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件AB ，互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =如果事件AB ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p n n -=-= ，，，，一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()UUA B =痧（ ）A {1}B {2}C {24}，D {1234}，，， 2 若函数()y f x =的反函数图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ）A (11)，B(15)，C(51)，D(55)，3若向量a与b不共线，0≠a b，且⎛⎫⎪⎝⎭a ac=a-ba b，则向量a与c的夹角为（）A0 B π6 Cπ3 Dπ24设等差数列{}na的前n项和为n S，若39S=，636S=，则789a a a++=（）A63 B45 C36 D275若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin)(sin cos)iθθθθ++-在复平面内所对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6若函数()y f x=的图象按向量a平移后，得到函数(1)2y f x=+-的图象，则向量a=（）A (12)--，B(12)-，C(12)-，D(12)，7若m n，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若mβαβ⊂⊥，，则mα⊥ B若mαγ=nβγ=，m n∥，则αβ∥C若mβ⊥，mα∥，则αβ⊥D若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥8已知变量x y，满足约束条件20170x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则yx的取值范围是（）A965⎛⎫⎪⎝⎭，B[)965⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦，，C (][)36-∞+∞，，D[36]，9 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）A 122B 111C 322D 21110 设p q ，是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件11 设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）AB 12 CD 2412 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A 0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值B 0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值C 0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值D 0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13 已知函数2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a 14 设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP DF =+ ，则||OM=15若一个底面边长为216 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分12分）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R，（其中0ω>）（I ）求函数()f x 的值域；（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间18 （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，ACBC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30（I ）证明：111A B C D⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离19 （本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++>ABA 1M该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式；（II ）当产量q 确定时，求期望kE ξ；（III ）试问产量q 取何值时，kE ξ取得最大值20 （本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF，的最大值和最小值 21 （本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：n na b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*（I ）若()102f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim nn a →∞存在，求x 的取值范围；（II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1()()g x f x -=，1b =，(1)1f <，证明对任意n ∈N*，lim nn a →∞（用t 表示）22 （本小题满分12分）已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x =（I）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（III ）证明：3()2f x ≥答案与评分参考一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 每小题5分，满分60分（1）B （2）C （3）D （4）B （5）B （6）A （7）C （8）A （9）D （10）A （11）B （12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 每小题4分，满分16分（13）-1（14）2（15）π34（16）30 三、解答题（17）本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力 满分12分(Ⅰ)解：)1(cos cos 21sin 23cos 21sin 23)(+--++=x x x x x x f ωωωωω1)cos 21sin 23(2--=x x ωω1)6πsin(2--=x ω···············5分由1-≤)6πsin(-x ω≤,得3-≤2)6πsin(-x ω1-≤1 可知函数)(x f 的值域为[-3,1] ······················· 7分（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(x f y =的周期为ω又由π,＞0，得π2π2=，即得.2=ω 9分于是有1)2π2sin(2)(--=x x f ，再由2π2-πk ≤6π2-x ≤2π2+πk )(Z ∈k ，解得 6π-πk ≤x ≤3π+πk )(Z ∈k所以)(x f y =的单调增区间为[6π-πk ，3π+πk ])(Z ∈k ······ 12分（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维满分12分(Ⅰ)证明：连结CD ∵三棱柱ABC-A ，BC 是直三棱柱∴.1ABC CC 平面⊥∴CD 为C 1D 在平面ABC 内的射影∵△ABC 中，AC =BC ，D 为AB 中点∴,CD AB ⊥∴,1D C AB ⊥∵,//11AB B A ∴.111D C B A ⊥（Ⅱ）解法一：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连结MF∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点 ∵,//AC DE 又,,//AC CE CE AF ⊥∴,DE AF ⊥∵AF 为MF 在平面ABC 内的射影，ABA 1∴,DE MF ⊥∴MFA ∠为二面角A DE M --的平面角，︒=∠30MFA在Rt △MAF 中,,221aBC AF ==︒=∠30MFA ,∴.63a AM = 作MF AG ⊥，垂足为G ∵,,DE AF DE MF ⊥⊥∴.AMF DE 平面⊥∴.AMF MDE 平面平面⊥∴.MDE AG 平面⊥在Rt △GAF 中, ︒=∠30MFA ，AF =,2a∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4a∵,//DE CA ∴,//MDE CA 平面∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等,为4a，解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连结MF∵D 、E 分别为AB 、CB 的中点，∴,//AC DE 又∵,,//AC CE CE AF ⊥∴,DE AF ⊥∵,ABC MA 平面⊥∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影，∴,DE MF ⊥∴MFA ∠为二面角A DE M --的平面角，︒=∠30MFA在Rt △MAF 中,,221aBC AF ==︒=∠30MFA ,∴.63a AM =设C 到平面MDE 的距离为h ∵MDE C CNEM V V --=,∴.·31·31h S MA S MDE CDE ∆∆=,63,8·212a MA a DE CE S CDE ===∆,6330cos ,21·212a AF DE MF CE S MDE=︒==∆∴,12383122h a a ⨯⨯⨯∴4a h =,即C 到平面MDE 的距离相等,为4a(19)本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力 满分12分(Ⅰ)解:由题意可得L 1=)102033() 3164(22++---q q q q q 1014433-+-=q q (q ＞0)同理可得1081332-+-=q q L (q ＞0)1050333-+-=q q L (q ＞0)················ 4分(Ⅱ) 解:由期望定义可知3212.04.04.0L L L E ++=ξ)10503(2.0)10813(4.0)101443(4.0333-+-⨯+-+-⨯+-+-⨯=q q q q q q .1010033-+-=q q(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知ξE 是产量q 的函数,设101003)(3-+-==q q E q f ξ(q ＞0)得='+-=')(.100)(2q f q q f 令0解得 10,10-==q q (舍去)由题意及问题的实际意义(或当0＜q ＜10时,f ′(q )＞0;当q ＞10时, f (q ) ＜0＝可知,当q=10时, f (q )取得最大值,即ξE 最大时的产量q 为10(20)本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14分(Ⅰ)解法一:设A 、B 两点坐标分别为),2(),,2(222121y y y y ，由题设知.)()22()2()2(221222212222221221y y y y y y y y -+-=+=+解得,122221==y y 所以).32,6(),32,6()32,6(),32,6(B A B A --或设圆心C 的坐标为（r ,0），则.4632=⨯=r 因此圆C 的方程为.16)4(22=+-y x ···················· 4分解法二：设A 、B 两点坐标分别为),,(),,(2211y x y x 由题设知22222121y x y x +=+又因为,22,2,2222121222121x x x x x y x y +=+==可得即.0)2)((2121=++-x x x x 由x 1＞0，x 2＞0，可知x 1=x 2，故A 、B 两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上设C 点的坐标为（r ,0），则A 点坐标为)23,23(r r ，于是有rr 232)23(2⨯=，解得r =4,所以圆C 的方程为 .16)4(22=+-y x ···················· 4分(Ⅱ)解：设∠ECF =2a ,则16cos 322cos 162|穋os |穦|·2-===a a a CF CE CF CE ·· 8分在Rt △PCE 中,||4||cos PC PC r a ==由圆的几何性质得||PC ≤,8171||=+=+MC ||PC ≥,6171||=-=-MC ·· 10分 所以21≤αcos ≤32，由此可得8-≤CF CE ·≤916- 故·的最大值为916-，最小值为8- ········· 14分 （21）本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力 满分12分(Ⅰ)解法一：由题设知⎩⎨⎧=++=++,21111n n n b a tbn a 得112++=n n a t a ，又已知2≠t ,可得).22(2221-+=-++t a t t a n n 由⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t t tb t a t t b g b f n 所以可知 是等比其首项为2,2t t t tb 公比为-+ 于是.2)2)(2()2)(2(221,1---++-+=-+--t t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即又lim a n 存在，可得0＜|2|t ＜1,所以-2＜t ＜2且.0≠t .22lim t a n n -=∞→ 解法二 由题设知tb n +1=2b n +1,且.2≠t 可得).21(2211-+=-++t b t t b n n由,0,2),()(≠≠≠t t b g b f 可知02,021≠≠-+t t b ,所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+21t b n 是首项为21-+t b ,公2t 的等比数列 .21)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即由12++n n b a 可知，若n n a ∞→lim 存在，则n n b ∞→lim 存在 于是可得0＜|2|t ＜1,所以-1＜t 0≠n n a ∞→lim =2n n b ∞→lim .22t -=解法三:由题设知tb n +1=2b n +1,即,2121+=+n n b t b ①于是有,21212+=++n n b t b ②②-①得得令,),(21112n n n n n n n b b c b b t b b -=-=-++++.21n n c t c =+由02,021)2(10,2),()(12≠≠+-=-=≠≠≠t b t b b c t t b g b f 可知，所以{}n c 是首项为b 公比为2t 的等比数列，于是.)(21)2(1)(121211b b b t t b c c c b n n n +---=++⋯⋯++=+t t b a n n n --==+2])2(1[421（b 2-b 1）+2b又n n a ∞→lim 存在，可得0＜|2|t ＜1,所以-2＜t ＜2且.0≠t.222)(24lim 12t b b b t a n n -=+--=∞→说明：数列{}n a 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准(Ⅱ)证明：因为)(),)(),()(11(111n n n n n a f b b f b g a x f x g ====++-+-即所以下面用数学归纳法证明1+n a ＜*)(N ∈n an(1)当n =1时，由f (x )为增函数,且)1(f ＜1,得)1()(11f b f a ==＜1)1()(12f a f b ==＜1)(22b f a =＜1)1(a f =，即2a ＜1a ，结论成立（2）假设n=k 时结论成立，即1+k a ＜k a 由f (x )为增函数，得)(1+k a f ＜f k a 即2+k b ＜1+k b 进而得)(1+k a f ＜f (1+k b )即2+k a ＜1+k a 这就是说当n =k +1时，结论也成立根据（1）和（2）可知，对任意的*)(N ∈n ，1+n a ＜n a(22)本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，考查综合运用数学知识解决问题的能力 满分12分(Ⅰ)证明：由题设得.12)(,)1()(22+-='++-=x x x x te e x g x e t e x g 又由x x e e -+2≥22,且t ＜22得t ＜x x e e -+2，即12)(2+-='x x te e x g ＞0由此可知，)(x g 为R 上的增函数(Ⅱ)证法一：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t12)(2+-='x x te e x g ＜0，即t ＞x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上成立即可因此y =x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上连续，故在闭区[a ,b ]上有最大值，设其为k ，t ＞k 时, )(x g '＜0在闭区间[a ,b ]上恒成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数证法二：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t ＞k 时12)(2+-='x x te e x g ＜0，在闭区间[a ,b ]上成立即可 令,x e m =则)(x g '＜0(],[b a x ∈)当且仅当122+-tm m ＜0(],[b a e e m ∈) 而上式成立只需⎩⎨⎧+-+-,012,01222 b b a a te e te e 即⎩⎨⎧++--b b aa e e t e e t 22 成立 取a a e e -+2与b b e e -+2中较大者记为k ，易知当t ＞k 时，)(x g '＜0在闭区[a ,b ]成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数(Ⅲ)证法一：设即,1)(22)(222++++-=x e t x e t t F x x,1)(21)2(2)(22+-++-=x e x e t t F x x 易得)(t F ≥1)(212+-x e x令,)(x e x H x -=则,)(x e x H x -='易知0)0(='H 当x ＞0时, )(x H '＞0;当x ＜0,)(x H ' ＜0 故当x =0时，)(x H 取最小值，1)0(=H 所以1)(212+-x e x ≥23，于是对任意x 、t ，有)(t F ≥23，即)(x f ≥23证法二：设)(t F =,1)(22222++++-x e t x e t x x )(t F ≥23，当且仅当21)(22222-+++-x e t x e t x x ≥0只需证明 )21(42)(4222--⨯-+x e x e x x ≤0，即2)(x e x -≥1 以下同证法一证法三：设)(t F =1)(22222++++-x e t x e t x x ，则 ).(24)(x e t t F x +-=' 易得.0)2(=+'x e F x 当t ＞2x e x +时, )(t F '＞0; t ＜2x e x +时, )(t F '＜0，故当t =2xe )(t F 取最小值.1)(212+-x e x 即)(t F ≥.1)(212+-x e x 以下同证法一。
2017年辽宁省高考数学试卷(理科)含答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层 灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一 部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ． 1D ． 96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们 四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成 绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上 信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A2 BCD．310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2014年高考真题(理科数学)辽宁卷 纯Word版解析可编辑
2014·辽宁卷(理科数学)1．[2014·辽宁卷] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}1．D [解析] 由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}． 2．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i2．A [解析] 由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i，故z ＝2＋3i.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a3．C [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .4．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4．B [解析] B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交，故D 错误．5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．246．D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 34＝24. 7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4图1-17．B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分⎝⎛⎭⎫占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >08．C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所得a 1d <0.9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．10．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.4310．D [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为x ＋2＝m (y －3)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得到y 2－8my ＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m ＝－12(舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率k BF ＝8－08－2＝43.11．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]11．C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2. 12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18 12．B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.13．[2014·辽宁卷] 执行如图1-2所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________．图1-213.299 [解析] 当x ＝9时，y ＝5，则|y －x |＝4；当x ＝5时，y ＝113，则|y －x |＝43；当x ＝113时，y ＝299，则|y －x |＝49<1.故输出y ＝299. 14．[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图1-3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．图1-314.23 [解析] 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 31－1＝83，故质点落在阴影区域的概率P ＝834＝23. 15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．15．12 [解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16．、[2014·辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC→＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1-4所示．图1-4将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．18．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. X 的分布列为X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X ～B (3，0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 19．、[2014·辽宁卷] 如图1-5所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求二面角E -BF -C 的正弦值．图1-519．解：(1)证明：方法一，过点E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连接OF .由△ABC ≌△DBC可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2，即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ，EO ∩FO ＝O ，所以BC ⊥平面EFO .又EF ⊂平面EFO ，所以EF ⊥BC .图1方法二，由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC →＝0，从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .图2(2)方法一，在图1中，过点O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连接EG .因为平面ABC ⊥平面BDC ，所以EO ⊥面BDC ，又OG ⊥BF ，所以由三垂线定理知EG ⊥BF ，因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角．在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32.由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BO BC ·FC ＝34，因此tan ∠EGO ＝EOOG＝2，从而得sin ∠EGO＝255，即二面角E -BF -C 的正弦值为2 55.方法二，在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)． 设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，又BF →＝(32，12，0)，BE →＝(0，12，32)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15，因此sin θ＝25＝2 55，即所求二面角正弦值为2 55.20．、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.图1-6(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0，解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x－4(1＋sin x )ln⎝⎛⎭⎫3－2x π.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )·(π＋2x )－2x －23cos x <0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．又f (0)＝π－83>0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)记函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x－4ln ⎝⎛⎭⎫3－2πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令t ＝π－x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4 ln ⎝⎛⎭⎫1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )<0.故在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ⎝⎛⎭⎫π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2，使u (t 1)＝0，故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 1)＝0.因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π. 22．[2014·辽宁卷] 选修4-1：几何证明选讲 如图1-7所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .图1-722．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .又AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB . 23．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.24．[2014·辽宁卷] 选修4-5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。
辽宁省2022年高考[数学卷]考试真题与答案解析
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辽宁省2022年高考[数学卷]考试真题与答案解析一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤A B = A. B. C. D. {1,2}-{1,2}{1,4}{1,4}-本题答案：B本题解析：，故，故选：B.{}|02B x x =≤≤{}1,2A B = 2. （ ）(22i)(12i)+-=A. B. C. D. 24i -+24i--62i+62i-本题答案：D本题解析：，故选：D.()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率111123111,0.5,DD CC BB k k k OD DC CB ====123,,k k k OA 为0.725，则（）3k =A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9本题答案：D本题解析：设，则，11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意，有，且，31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以，故，故选：D30.530.30.7254k +-=30.9k =4. 已知，若，则（）(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ,,<>=<>a cbc t =A. B. C. 5D. 66-5-本题答案：C本题解析：解：,,即,解得,故选：C ()3,4c t =+ cos ,cos ,a c b c =931635t t c c+++= 5t =5. 有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）A. 12种 B. 24种C. 36种D. 48种本题答案：B本题解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置3!插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，3!2224⨯⨯=故选：B6. 角满足，则（ ）,αβsin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭A. B. tan()1αβ+=tan()1αβ+=-C. D. tan()1αβ-=tan()1αβ-=-本题答案：D本题解析：由已知得：,()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-即：，sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=即：,所以，故选：D()()sin cos 0αβαβ-+-=()tan 1αβ-=-7. 正三棱台高为1，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A. B. 100π128πC. D. 144π192π本题答案：A本题解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以12,r r 1222r r ==，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以123,4r r ==12,d d R 1d =，故或，2d =121d d -=121d d +=-1+=解得符合题意，所以球的表面积为．225R =24π100πS R ==故选：A ．8. 若函数的定义域为R ，且，则（）()f x ()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==221()k f k ==∑A. B. 3-2-C. 0 D. 1本题答案：A本题解析：因为，令可得，，所()()()()f x y f x y f x f y ++-=1,0x y ==()()()2110f f f =以，令可得，，即，所以函数为偶函数，()02f =0x =()()()2f y f y f y +-=()()f y f y =-()f x 令得，，即有，从而可知1y =()()()()()111f x f x f x f f x ++-==()()()21f x f x f x ++=+，，故，即，所()()21f x f x +=--()()14f x f x -=--()()24f x f x +=-()()6f x f x =+以函数的一个周期为．()f x 6因为，，()()()210121f f f =-=-=-()()()321112f f f =-=--=-，，，所以()()()4221f f f =-==-()()()5111f f f =-==()()602f f ==一个周期内的．由于22除以6余4，()()()1260f f f +++= 所以．故选：A ．()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 函数的图象以中心对称，则（）()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<2π,03⎛⎫⎪⎝⎭A. 在单调递减y =()f x 5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 在有2个极值点y =()f x π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭C. 直线是一条对称轴7π6x =D. 直线是一条切线y x =-本题答案：AD本题解析：由题意得：，所以，，2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4ππ3k ϕ+=k ∈Z 即，4ππ,3k k ϕ=-+∈Z又，所以时，，故．0πϕ<<2k =ϕ2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ，当时，，由正弦函数图象知在上5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =()y f x =5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递减；对B ，当时，，由正弦函数图象知只有1个π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =()y f x =极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；2π3π232x +=5π12x =5π12x =对C ，当时，，，直线不是对称轴；7π6x =2π23π3x +=7π()06f =7π6x =对D ，由得：，2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得或,2π2π22π33x k +=+2π4π22π,33x k k +=+∈Z从而得：或,πx k =ππ,3x k k =+∈Z 所以函数在点处的切线斜率为，()y f x=⎛ ⎝2π2cos 13x k y =='==-切线方程为：即．故选：AD．(0)y x -=--y x =-10. 已知O 为坐标原点，过抛物线的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，2:2(0)C y px p =>点A 在第一象限，点，若，则（ ）(,0)M p ||||AF AM =A. 直线的斜率为 B.AB ||||OB OF =C. D. ||4||AB OF >180OAM OBM ∠+∠<︒本题答案：ACD本题解析：对于A ，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为(,0)2p F AF AM =A FM A ，3224p pp +=代入抛物线可得，则，则直线A 2233242p y p p =⋅=3(4p AAB=正确；对于B ，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得AB 2p x y =+，220y py p -=设，则，则，代入抛物线得，解得11(,)B xy 1p y p +=1y =212p x ⎛=⋅ ⎝，则，13p x=(,3p B 则，B错误；2p OB OF ==≠=对于C ，由抛物线定义知：，C 正确；325244312p p pAB p p OF =++=>=对于D，，则为钝2333((,043434p p p p p OA OB ⎛⋅=⋅=⋅+=-< ⎝ AOB ∠角，又，则为2225((,043436p p p p p MA MB ⎛⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-+=-< ⎪ ⎝⎭⎝ AMB ∠钝角，又，则，D 正确.故选：ACD.360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= 180OAM OBM ∠+∠< 11. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥ABCD ED ⊥ABCD ,2FB ED AB ED FB ==∥，，的体积分别为，则（）E ACD -F ABC -F ACE-123,,V V V A. B. 322V V =312V V =C. D. 312V V V =+3123V V =本题答案：CD本题解析：设，因为平面，，则22AB ED FB a ===ED ⊥ABCD FB ED ，()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，连接交于点，连接，易得()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= BD AC M ,EM FM ，BD AC ⊥又平面，平面，则，又，平面，ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥ED BD D = ,ED BD ⊂BDEF 则平面，AC ⊥BDEF又，过作于，易得四边形为矩形，则12BM DM BD ===F FG DE ⊥G BDGF，,FG BD EG a ===则，，,EM FM ====3EF a ==，则，，，222EM FM EF +=EM FM ⊥212EFM S EM FM =⋅= AC =则，则，，，故A 、B 错误；33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅= 3123V V =323V V =312V V V =+C 、D 正确。
2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析
2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析一、选择题1. 题目：设函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} $，求 $ f'(0) $。
答案：$ f'(0) = \frac{1}{2} $。
解析：根据导数的定义，我们有 $ f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) f(0)}{x 0} $。
将 $ f(x) $ 和 $ f(0) $ 代入，得到$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} 1}{x} $。
由于$ \sqrt{x^2 + 1} $ 在 $ x = 0 $ 附近可近似为 $ 1 +\frac{x^2}{2} $，所以 $ f'(0) $ 可近似为 $ \lim_{x \to 0}\frac{1 + \frac{x^2}{2} 1}{x} = \frac{1}{2} $。
2. 题目：已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为$d$，求 $a_5$。
答案：$a_5 = a_1 + 4d$。
解析：根据等差数列的定义，我们有 $a_5 = a_1 + (5 1)d =a_1 + 4d$。
3. 题目：已知函数 $f(x) = x^3 3x$，求 $f(x)$ 的极值点。
答案：极小值点为 $x = 1$，极大值点为 $x = 1$。
解析：求导数 $f'(x) = 3x^2 3$，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$。
然后求二阶导数 $f''(x) = 6x$，当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 > 0$，所以 $x = 1$ 是极小值点；当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 < 0$，所以 $x = 1$ 是极大值点。
4. 题目：已知函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，求 $f(x)$ 的反函数。
2006年高考.辽宁卷.理科数学试题及详细解答
2006年高考试题辽宁卷理科数学试题一. 选择题(1) 设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是(A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2) 设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数(3) 给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行.④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(4) 双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩(5) 设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集(6)ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π(D) 23π(7) 与方程221(0)x xy e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为(A)ln(1y =+(B) ln(1y =-(C) ln(1y =-+(D) ln(1y =--(8) 曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同(9) 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -(10) 直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(11)已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是 (A)[]1,1-(B) 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) 1,2⎡-⎢⎣⎦(D) 1,2⎡--⎢⎣⎦(12) 设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(A)112λ≤≤(B) 11λ-≤≤(C) 112λ≤≤(D) 11λ≤≤+二. 填空题(13) 设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________(14) 2222464646()()...()575757lim 545454()()...()656565n n n n n →∞-+-++-=-+-++-_____________ (15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______ 三． 解答题(17) (本小题满分12分)已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；(II) 函数()f x 的单调增区间. (18) (本小题满分12分)]已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<.(I) 证明//BF 平面ADE ;(II)若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.(19) (本小题满分12分)CDFCE现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I) 求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ; (II) 当12E E ξξ<时,求p 的取值范围. (20) (本小题满分14分)已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足O A O B O A O B+=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+= (I) 证明线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P 的值。
(完整版)2012辽宁高考理科数学试卷(带答案)
2012年高考辽宁卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合{}=2,4,5,6,8B ，则()()=U U C A C B IA ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,6难度 易 正确答案B ()()(){}=C =7,9U U U C A C B A B I U2.复数2-=2+ii A ．34-55iB ．34+55iC ．41-5iD ．31+5i难度 易 正确答案A()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i 3. 已知两个非零向量,a b r r满足+=-a b a b r r r r ，则下面结论正确A ．//a b r rB ．a b ⊥r rC ．=a b r rD ．+=-a b a b r r r r难度 中 正确答案B+=-a b a b r r r r ，可以从几何角度理解，以非零向量,a b r r为邻边做平行四边形，对角线长分别为+,-a b a b r r r r ，若+=-a b a b r r r r，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥r r ；也可由已知得22+=-a b a b r r r r ，即2222-2+=+2+=0a ab b a ab b ab a b ∴∴⊥r r r r r r r r r r r r4. 已知命题()()()()122121:,,--0p x x R f x f x x x ∀∈≥，则p ⌝是A ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∃∈≤B ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∀∈≤C ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∃∈ D ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∀∈难度 易 正确答案C全称命题的否定形式为将“∀”改为“∃”，后面的加以否定，即将“()()()()2121--0f x f x x x ≥”改为“()()()()2121--<0f x f x x x ”5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A ．33!⨯ B ．()333!⨯ C ．()43! D ．9!难度 中 正确答案C每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()43!6. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 难度 中 正确答案B4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a 7.已知()sin -cos 0,αααπ∈，则tan α=A ．1-B ．22-C ．22D ．1难度 中 正确答案A方法一：()sin -cos =2,0,αααπ∈，两边平方得1-sin 2=2,α()sin 2=-1,20,2,ααπ∈332=,=,24ππααtan =-1α∴ 方法二：由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0,tan =-1ααα∴8. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．55 难度 中 正确答案D如图所示过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．-1B ．23 C ．32D ．4 难度 中 正确答案D 当=1i 时，经运算得2==-12-4S ； 当=2i 时，经运算得()22==2--13S ；当=3i 时，经运算得23==222-3S ； 当=4i 时，经运算得2==432-2S ； 当=5i 时，经运算得2==-12-4S ；从此开始重复，每隔4一循环，所以当=8i 时，经运算得=4S ；接着=9i 满足输出条件，输出=4S10. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为 A ．16B ．13 C ．23 D ．45难度 中 正确答案C如图所示，令=,=AC x CB y ，则()+=12>0,y>0x y x ，矩形面积设为S ，则()==12-32S xy x x ≤。
2012年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析2012年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ）A ． {5，8}B ． {7，9}C ． {0，1，3}D ． {2，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析： 由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A ，B 的补集，再由交的运算求出（∁U A ）∩（∁U B ） 解解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，答： 6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，所以（C U A ）∩（C U B ）={7，9} 故选B 点评： 本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则2．（5分）（2012•辽宁）复数=（ ） A ．B ．C ．D ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果． 解答：解：===，故选A ．点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•辽宁）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（ ） A ． ∥ B ． ⊥ C ． ||=||D ． +=﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用． 分析： 由于||和||表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论． 解答： 解：由两个两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，||和||表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度．再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，故有⊥． 故选B ． 点评： 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．4．（5分）（2012•辽宁）已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≥0，则￢p 是（ ） A ． ∃x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≤0B ． ∀x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≤0C ． ∃x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）＜0D ． ∀x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）＜0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析： 由题意，命题p 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项解答： 解：命题p ：∀x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p ：∃x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）＜0． 故选：C ．点评： 本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．5．（5分）（2012•辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A ． 3×3!B ． 3×（3!）3C ． （3!）4D ． 9!考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分完成任务可分为两步，第一步，三口之家内析： 部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可 解答： 解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！×3！×3！种排法；第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法故不同的作法种数为3！×3！×3！×3！=3!4 故选 C 点评： 本题主要考查了分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，捆绑法计数的技巧，属基础题6．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=（ ） A ． 58 B ． 88 C ． 143 D ． 176考点：等差数列的性质；等差数列的前n 项和．专题：计算题．分根据等差数列的定义和性质得析： a 1+a 11=a 4+a 8=16，再由S 11=运算求得结果． 解答： 解：∵在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16， ∴a 1+a 11=a 4+a 8=16，∴S 11==88，故选B ．点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2012•辽宁）已知，则tan α=（ ）A ． ﹣1B ．C ．D ． 1考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题． 分析： 由条件可得 1﹣2sin αcos α=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，从而求得tan α 的值． 解解：∵已知，∴1﹣答： 2sin αcos α=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，tan α=﹣1．故选A ． 点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得 α=，是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2012•辽宁）设变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为（ ） A ． 20 B ． 35 C ． 45 D ． 55考点：简单线性规划．专题：计算题．分析： 先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案． 解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y 可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y 轴上的截距，截距越大，z 越大 作直线l ：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D 时2x+3y 最大， 由可得x=5，y=15，此时z=55故选D点评： 本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．9．（5分）（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（ ）A ． ﹣1B ．C ．D ． 4考点：循环结构．专题：计算题．分析： 直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=9＜9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可． 解答： 解：第1次判断后循环，S=﹣1，i=2，第2次判断后循环，S=，i=3，第3次判断后循环，S=，i=4， 第4次判断后循环，S=4，i=5， 第5次判断后循环，S=﹣1，i=6，第6次判断后循环，S=，i=7，第7次判断后循环，S=，i=8， 第8次判断后循环，S=4，i=9，第9次判断不满足9＜8，推出循环，输出4． 故选D ．点评： 本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力．10．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．考点：几何概型．专题：计算题．分析： 设AC=x ，则0＜x ＜12，若矩形面积为小于32，则x ＞8或x ＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比解答： 解：设AC=x ，则BC=12﹣x ，0＜x ＜12 若矩形面积S=x （12﹣x ）＜32，则x ＞8或x ＜4即将线段AB 三等分，当C 位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm 2的概率为P== 故选 C 点评： 本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题11．（5分）（2012•辽宁）设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）=f （x ），f （x ）=f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x 3．又函数g （x ）=|xcos （πx ）|，则函数h （x ）=g （x ）﹣f （x ）在上的零点个数为（ ） A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8考点： 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析： 利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x ∈[0，]，x ∈[]时，g （x ）的解析式，推出f （0）=g （0），f （1）=g （1），g （）=g （）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可． 解答： 解：因为当x ∈[0，1]时，f （x ）=x 3． 所以当x ∈[1，2]时2﹣x ∈[0，1]，f （x ）=f （2﹣x ）=（2﹣x ）3，当x ∈[0，]时，g （x ）=xcos （πx ）；当x ∈[]时，g （x ）=﹣xcos πx ，注意到函数f （x ）、g （x ）都是偶函数， 且f （0）=g （0），f （1）=g （1）=1， g （）=g （）=0，作出函数f （x ）、g （x ）的草图， 函数h （x ）除了0、1这两个零点之外， 分别在区间[﹣，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．共有6个零点， 故选B点评：本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大．12．（5分）（2012•辽宁）若x ∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（ ） A ． e x ≤1+x+x 2B ．C ．D ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题．分对于A ，取x=3，e 3＞1+3+32，；析： 对于B ，令x=1，，计算可得结论；对于C ，构造函数，h ′（x ）=﹣sinx+x ，h ″（x ）=cosx+1≥0，从而可得函数在[0，+∞）上单调增，故成立；对于D ，取x=3，．解答： 解：对于A ，取x=3，e 3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B ，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x ∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C ，构造函数，h ′（x ）=﹣sinx+x ，h ″（x ）=cosx+1≥0，∴h ′（x ）在[0，+∞）上单调增 ∴h ′（x ）≥h ′（0）=0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h （x ）≥0，∴； 对于D ，取x=3，，所以不等式不恒成立； 故选C ． 点本题考查大小比较，考查构造函数，考查导评： 数知识的运用，确定函数的单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 38 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析： 通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可． 解答： 解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积﹣圆柱的两个底面面积． 即S=2×（3×4+1×3+1×4）+2π×1﹣2×12π=38．故答案为：38． 点评： 本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，判断三视图复原几何体的形状是解题的关键．14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{a n }为递增数列，且a 52=a 10，2（a n +a n+2）=5a n+1，则数列{a n }的通项公式a n = 2n ． 考点：数列递推式．专题： 计算题．分通过，求出等比数列的首项与公比的关析： 系，通过2（a n +a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．解答： 解：∵，∴，∴a 1=q ， ∴，∵2（a n +a n+2）=5a n+1， ∴，∴2（1+q 2）=5q ，解得q=2或q=（等比数列{a n }为递增数列，舍去） ∴． 故答案为：2n ． 点评： 本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．15．（5分）（2012•辽宁）已知P ，Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P ，Q 的横坐标为4，﹣2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ﹣4 ． 考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析： 通过P ，Q 的横坐标求出纵坐标，通过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A 的纵坐标．解答： 解：因为点P ，Q 的横坐标分别为4，﹣2， 代入抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8，2．由x 2=2y ，则y=，所以y ′=x ，过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为y=4x ﹣8，y=﹣2x ﹣2 联立方程组解得x=1，y=﹣4 故点A 的纵坐标为﹣4． 故答案为：﹣4． 点评：本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题．16．（5分）（2012•辽宁）已知正三棱锥P ﹣ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为的球面上，若PA ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ． 考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析： 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算 解答： 解：∵正三棱锥P ﹣ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接圆O ， ∵圆O 的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2 球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积V=S △ABC ×h=S △PAB ×PC=××2×2×2=2△ABC 为边长为2的正三角形，S △ABC =×∴h==∴正方体中心O 到截面ABC 的距离为﹣= 故答案为 点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列．（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）边a ，b ，c 成等比数列，求sinAsinC 的值． 考数列与三角函数的综合．点： 专题：计算题；综合题．分析： （Ⅰ）在△ABC 中，由角A ，B ，C 成等差数列可知B=60°，从而可得cosB 的值；（Ⅱ）（解法一），由b 2=ac ，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC 的值； （解法二），由b 2=ac ，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c ，从而可得△ABC 为等边三角形，从而可求得sinAsinC 的值． 解答： 解：（Ⅰ）由2B=A+C ，A+B+C=180°，解得B=60°，∴cosB=；…6分（Ⅱ）（解法一）由已知b 2=ac ，根据正弦定理得sin 2B=sinAsinC ， 又cosB=，∴sinAsinC=1﹣cos 2B=…12分 （解法二）由已知b 2=ac 及cosB=，根据余弦定理cosB=解得a=c ，∴B=A=C=60°， ∴sinAsinC=…12分 点评： 本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．（Ⅰ）证明：MN ∥平面A ′ACC ′； （Ⅱ）若二面角A ′﹣MN ﹣C 为直二面角，求λ的值．考用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平点： 行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；转化思想．分析： （I ）法一，连接AB ′、AC ′，说明三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′为直三棱柱，推出MN ∥AC ′，然后证明MN ∥平面A ′ACC ′；法二，取A ′B ′的中点P ，连接MP 、NP ，推出MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′，然后通过平面与平面平行证MN ∥平面A ′ACC ′．（II ）以A 为坐标原点，分别以直线AB 、AC 、AA ′为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系，设AA ′=1，推出A ，B ，C ，A ′，B ′，C ′坐标求出M ，N ，设=（x 1，y 1，z 1）是平面A ′MN 的法向量，通过，取，设=（x 2，y 2，z 2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'﹣MN ﹣C 为直二面角，所以，解λ．解答： （I ）证明：连接AB ′、AC ′， 由已知∠BAC=90°，AB=AC ，三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′中点， 又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′， 又MN ⊄平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′；法二：取A ′B ′的中点P ，连接MP 、NP ， M 、N 分别为A ′B 、B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，NP ∥A ′C ′， 所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′，又MP ∩NP=P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′， 而MN ⊂平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．（II ）以A 为坐标原点，分别以直线AB 、AC 、AA ′为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系，如图，设AA ′=1，则AB=AC=λ，于是A （0，0，0），B （λ，0，0），C （0，λ，0），A ′（0，0，1），B ′（λ，0，1），C ′（0，λ，1）． 所以M （），N （）， 设=（x 1，y 1，z 1）是平面A ′MN 的法向量， 由，得，可取，设=（x 2，y 2，z 2）是平面MNC 的法向量， 由，得，可取，因为二面角A'﹣MN ﹣C 为直二面角， 所以， 即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0， 解得λ=．点评： 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中．第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明．19．（12分）（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女 10 55 合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E （X ）和方差D （X ） P （ K 2≥k ） 0.05 0.01 k 3.841 6.635． 考点：独立性检验的应用；频率分布直方图．专题：计算题；数形结合．分析： （I ）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K 2，与3.841比较即可得出结论；（II ）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X ∽B （3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可 解答： 解：（I ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K 2==≈3.03，因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．（II ）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是， 由题意X ∽B （3，），从而分布列为 X0 1 2 3 P所以E （X ）=np=3×=．D （X ）=npq=3××=．点评：本题考查独立性检验的运用及期望与方差的求法，频率分布直方图的性质，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型20．（12分）（2012•辽宁）如图，已知椭圆C 0：，动圆C 1：．点A 1，A 2分别为C 0的左右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．（Ⅰ）求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程； （Ⅱ）设动圆C 2：与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：为定值．考圆锥曲线的综合．点： 专题：综合题；压轴题．分析： （Ⅰ）设出线A 1A 的方程、直线A 2B 的方程，求得交点满足的方程，利用A 在椭圆C 0上，化简即可得到M 轭轨迹方程； （Ⅱ）根据矩形ABCD 与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A ，A ′坐标之间的关系，利用A ，A ′均在椭圆上，即可证得=a 2+b 2为定值． 解答： （Ⅰ）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），则直线A 1A 的方程为①直线A 2B 的方程为y=﹣（x ﹣a ）②由①×②可得：③∵A （x 1，y 1）在椭圆C 0上， ∴∴代入③可得：∴；（Ⅱ）证明：设A ′（x 3，y 3），∵矩形ABCD 与矩形A'B'C'D'的面积相等 ∴4|x 1||y 1|=4|x 3||y 3| ∴= ∵A ，A ′均在椭圆上， ∴=∴=∴∵t 1≠t 2，∴x 1≠x 3． ∴ ∵，∴∴=a 2+b 2为定值．点评： 本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．21．（12分）（2012•辽宁）设f （x ）=ln （x+1）++ax+b （a ，b ∈R ，a ，b 为常数），曲线y=f （x ）与直线y=x 在（0，0）点相切． （I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当0＜x ＜2时，f （x ）＜． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题． 分析：（I ）由y=f （x ）过（0，0），可求b 的值，根据曲线y=f （x ）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a 的值； （II ）由（I ）知f （x ）=ln （x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k （x ）=ln （x+1）﹣x ，可得ln （x+1）＜x ，从而当x ＞0时，f （x ）＜，记h （x ）=（x+6）f （x ）﹣9x ，可证h （x ）在（0，2）内单调递减，从而h （x ）＜0，故问题得证． 解答： （I ）解：由y=f （x ）过（0，0），∴f （0）=0，∴b=﹣1∵曲线y=f （x ）与直线在（0，0）点相切．∴y′|x=0=∴a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x＞0时，，∴①令k（x）=ln（x+1）﹣x，则k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0∴ln（x+1）＜x，②由①②得，当x＞0时，f（x）＜记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，则当0＜x ＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9＜＜=∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0∴当0＜x＜2时，f（x）＜．点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查不等式的证明，正确构造函数是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（10分）（2012•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．证明： （Ⅰ）AC •BD=AD •AB ； （Ⅱ）AC=AE ．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析： （I ）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB ，∠ACB=∠DAB ，从而有△ACB ∽△DAB ，=，由此得到所证．（II ）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD ，又∠ADE=∠BDA ，可得△EAD ∽△ABD ，=，AE •BD=AD •AB ，再结合（I ）的结论AC •BD=AD •AB 可得，AC=AE ． 解答： 证明：（I ）∵AC 与⊙O'相切于点A ，故∠CAB=∠ADB ，同理可得∠ACB=∠DAB ， ∴△ACB ∽△DAB ，∴=， ∴AC •BD=AD •AB ．（II ）∵AD 与⊙O 相切于点A ，∴∠AED=∠BAD ，又∠ADE=∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ， ∴=，∴AE •BD=AD •AB ．再由（I ）的结论AC •BD=AD •AB 可得，AC=AE ．点评： 本题主要考查圆的切线的性质，利用两个三角形相似得到成比列线段，是解题的关键，属于中档题．23．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：（x ﹣2）2+y 2=4．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题． 分（I ）利用，以及x 2+y 2=ρ2，直接写析： 出圆C 1，C 2的极坐标方程，求出圆C 1，C 2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II ）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解答：解：（I ）由，x 2+y 2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2， 圆，即的极坐标方程为ρ=4cos θ，解得：ρ=2，，故圆C 1，C 2的交点坐标（2，），（2，）．（II ）解法一：由得圆C 1，C 2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为（或圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcos θ=1从而于是圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为．点评： 本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知f （x ）=|ax+1|（a ∈R ），不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x ≤1}． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若恒成立，求k 的取值范围． 考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；压轴题．分析： （Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x ≤1}，分类讨41 论，即可得到结论． （Ⅱ）记，从而h （x ）=，求得|h （x ）|≤1，即可求得k 的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax ≤2∵不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x ≤1}．∴当a ≤0时，不合题意；当a ＞0时，，∴a=2； （Ⅱ）记， ∴h （x ）= ∴|h （x ）|≤1 ∵恒成立，∴k ≥1．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．。
(完整版)2013年辽宁省高考数学试卷(理科)
2013年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的模长为（）A．B．C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C． D．7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1612．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(完整版)2019年高考理科数学全国2卷(附答案)
学校：___________________________年_______班姓名：____________________学号：________---------密封线---------密封线---------绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国II 卷本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟(适用地区：内蒙古/黑龙江/辽宁/吉林/重庆/陕西/甘肃/宁夏/青海/新疆/西藏/海南)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|x 2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A ∩B=A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞）2．设z=-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB uuu r=(2,3)，AC uuu r =(3，t)，BC uuu r =1，则AB BC uu u r uuu r =A ．-3B ．-2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r rR.设r R，由于的值很小，因此在近似计算中34532333(1)，则r 的近似值为A ．21M RM B ．212M RM C ．2313M RM D ．2313M RM 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若a>b ，则A ．ln(a-b)>0B ．3a<3bC ．a 3-b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px(p>0)的焦点是椭圆2231xypp的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A ．f(x)=│cos 2x │B ．f(x)=│sin 2x │C ．f(x)=cos │x │D ．f(x)= sin │x │10．已知α∈(0，2)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B ．55C ．33D ．25511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x ya b ab的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222xy a交于P ，Q 两点.若PQ OF，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2 ()f xf x ，且当(0,1]x时，()(1)f x x x .若对任意(,]x m ，都有8()9f x ，则m的取值范围是A ．9,4B ．7,3C ．5,2D ．8,3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考辽宁省数学试卷-理科(含详细答案)
2021年高考辽宁省数学试卷-理科（含详细答案）2021年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） a为正实数，i为虚数单位，a?i?2，则a= i（A）2 （B）3 (C)2 (D)1（2）已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若N?C1M??,则M?N? (A)M (B) N (C)I (D)?(3)已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，AF?BF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (A)357 (B) 1 (C) (D) 444（4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=2a则b? a(A) 23 (B) 22 (C)3 (D)2 （5）从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B��A)= (A)1121 (B) (C) (D) 8452（6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是 (A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 21+?）=，则sin2?? 437117(A) ? (B) ? (C) (D)9999（（7）设sin（8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的．．．?是(A) AC⊥SB (B) AB∥平面SCD(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角?21-x，x ?1，（9）设函数f（x）=?则满足f（x）≤2的x的取值范围是1-logx，x＞1，2? （A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+?）（D）[0，+?）（10）若a，b，c均为单位向量，且a・b=0，（a-c）・（b-c）≤0，则a?b-c的最大值为（A）2-1 （B）1 （C）2 （D）2（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（A）（-1，1）（B）（-1，+?）（C）（-?，-1）（D）（-?，+?）（12）已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=3，?ASC??BSC?30?，则棱锥S-ABC的体积为（A）33 （B）23 （C）3 （D）1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2023年新课标II卷数学高考真题-辽宁适用(二)
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（新高考全国Ⅱ卷）续上三、填空题: 本大题共4 小题, 每小题5 分, 共20 分.13. 已知向量a,b满足|a−b|=√3,|a+b|=|2a−b|, 则|b|=14. 底面边长为4 的正四棱雉被平行于其底面的平面所截, 截去一个底面边长为2 , 高为3 的正四棱雉, 所得棱台的体积为15. 已知直线x−my+1=0与⊙C:(x−1)2+y2=4交于A,B两点, 写出满≥的m的一个值足“△ABC面积为85与曲线y=f(x) 16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ), 如图, A,B是直线y=12的两个交点, 若|AB|=π, f(π)=6四、解答题: 本大题共6 小题, 共70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知△ABC面积为√3,D为BC的中点, 且AD=1., 求tanB;( 1 ) 若∠ADC=π3( 2 ) 若b2+c2=8, 求b,c.18. 已知{a n}为等差数列, b n={a n−6,n为奇数,2a n,n为偶数.记S n,T n分别为数列{a n},{b n}的前n项和, S4=32,T3=16.(1) 求{a n}的通项公式;（2）证明: 当n>5时, T n>S n.19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与末患病者的某项医学指标有明显差异, 经过大量调查, 得到如下的患病者和末患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准, 需要确定临界值c, 将该指标大于c的人判定为阳性, 小于或等于c的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率, 记为p(c); 误诊率是将末患病者判定为阳性的概率, 记为q(c). 假设数据在组内均匀分布, 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1) 当漏诊率p(c)=0.5%时, 求临界值c和误诊率q(c);（2)设函数f(c)=p(c)+q(c), 当c∈[95,105]时, 求f(c)的解析式, 并求f(c)在区间[95,105]的最小值.20. 如图, 三棱雉 A −BCD 中, DA =DB =DC,BD ⊥CD,∠ADB =∠ADC =60∘,E 为 BC 的中点.(1) 证明: BC ⊥DA ;(2) 点 F 满足 EF⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 求二面角 D −AB −F 的正弦值.21. 已知双曲线 C 的中心为坐标原点, 左焦点为 (−2√5,0), 离心率为 √5.(1) 求 C 的方程;(2) 记 C 的左、右顶点分别为 A 1,A 2, 过点 (−4,0) 的直线与 C 的左支交于 M,N 两点, M 在第二象限, 直线 MA 1 与 NA 2 交于点 P . 证明: 点 P 在定直线上.22. (1) 证明: 当 0<x <1 时, x −x 2<sinx <x ;（2）已知函数 f (x )=cosax −ln (1−x 2), 若 x =0 是 f (x ) 的极大值点, 求 a 的取值 范围.。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试··理科数学(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2010辽宁,理1)已知A ,B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集,且A ∩B ={3},(U B )∩A ={9},则A =A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}答案:D2.(2010辽宁,理2)设a ,b 为实数,若复数ii21b a ++=1+i,则A.a =23,b =21 B.a =3,b =1C.a =21,b =23 D.a =1,b =3答案:A3.(2010辽宁,理3)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为32和43,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A.21 B.125 C.41 D.61答案:B4.(2010辽宁,理4)如果执行下面的程序框图,输入正整数n ,m ,满足n ≥m ,那么输出的p 等于A.1C −m n B.1A −m n C.m n C D.m nA 答案:D5.(2010辽宁,理5)设ω>0,函数y =sin(ωx +3π)+2的图像向右平移3π4个单位后与原图像重合,则ω的最小值是A.32B.34 C.23 D.3答案:C6.(2010辽宁,理6)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=A.215 B.431 C.433 D.217答案:B7.(2010辽宁,理7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |=A.43B.8C.83D.16答案:B8.(2010辽宁,理8)平面上O ,A ,B 三点不共线,设OA =a ,=b ,则△OAB 的面积等于A.222)(||||b a b a ⋅− B.222)(||||b a b a ⋅+C.21222)(||||b a b a ⋅− D.21222)(||||b a b a ⋅+答案:C9.(2010辽宁,理9)设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为A.2B.3C.213+ D.215+答案:D10.(2010辽宁,理10)已知点P 在曲线y =1e 4+x上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是A.［0,4π) B.［2,4ππ) C.(43,2ππ］ D.［43π,π)答案:D11.(2010辽宁,理11)已知a >0,则x 0满足关于x 的方程ax =b 的充要条件是A.∈R ,21ax 2-bx ≥21ax 02-bx 0 B.∈R ,21ax 2-bx ≤21ax 02-bx 0 C.∈R ,21ax 2-bx ≥21ax 02-bx 0D.∈R ,21ax 2-bx ≤21ax 02-bx 0答案:C12.(2010辽宁,理12)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是A.(0,6+2)B.(1,22)C.(2626+−,)D.(0,22)答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2010辽宁,理13)(1+x +x 2)(x -x1)6的展开式中的常数项为_______.答案:-514.(2010辽宁,理14)已知-1<x +y <4且2<x -y <3,则z =2x -3y 的取值范围是_______.(答案用区间表示)答案:(3,8)15.(2010辽宁,理15)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为_______.答案:2316.(2010辽宁,理16)已知数列{a n }满足a 1=33,a n +1-a n =2n ,则na n的最小值为_______.答案:221三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2010辽宁,理17)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sinC.(1)求A 的大小;(2)求sin B +sin C 的最大值.解:(1)由已知,根据正弦定理得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc .由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故cos A =-21,A =120°.(2)由(1)得sin B +sin C =sin B +sin(60°-B )=23cos B +21sin B =sin(60°+B ).故当B =30°时,sin B +sin C 取得最大值1.18.(2010辽宁,理18)为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A ,另一组注射药物B .(1)甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同组的概率;(2)下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm 2)表1:注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积［60,65)［65,70)［70,75)［75,80)频数30402010表2:注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积［60,65)［65,70)［70,75)［75,80)［80,85)频数1025203015①完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图②完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.表3:疱疹面积小于70mm 2疱疹面积不小于70mm 2合计注射药物A a =b =注射药物B c =d =合计n =附:K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++−P (K 2≥k )0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解:(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为P =10020099100C C 2=199100.(2)①图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.②表3:疱疹面积小于70mm 2疱疹面积不小于70mm 2合计注射药物A a =70b =30100注射药物B c =35d =65100合计10595n =200K 2=95105100100)30356570(2002××××−××≈24.56.由于K 2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.19.(2010辽宁,理19)已知三棱锥P —ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,PA =AC =21AB ,N 为AB 上一点,AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点.(1)证明CM ⊥SN ;(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小.解:设PA =1,以A 为原点,射线AB ,AC ,AP 分别为x ,y ,z 轴正向建立空间直角坐标系如图.则P (0,0,1),C (0,1,0),B (2,0,0),M (1,0,21),N (21,0,0),S (1,21,0).(1)证明:CM =(1,-1,21),SN =(-21,-21,0),因为·=-21+21+0=0,所以CM ⊥SN .(2)=(-21,1,0),设a =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=+−,021,021y x z y x 令x =2,得a =(2,1,-2).因为|cos 〈a ,〉|=|223211×−−|=22所以SN 与平面CMN 所成角为45°.20.(2010辽宁,理20)设椭圆C :2222by a x +=1(a >b >0)的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,AF =FB 2.(1)求椭圆C 的离心率;(2)如果|AB |=415,求椭圆C 的方程.解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知y 1<0,y 2>0.(1)直线l 的方程为y =3(x -c ),其中c =22b a −.联立⎪⎩⎪⎨⎧=+−=1),(32222b y a x c x y 得(3a 2+b 2)y 2+23b 2cy -3b 4=0.解得y 1=2223)2(3b a a c b ++−,y 2=2223)2(3b a a c b +−−.因为AF =2FB ,所以-y 1=2y 2,即2222223)2(323)2(3b a a c b b a a c b +−−⋅=++.得离心率e =32=a c .(2)因为|AB |=311+|y 2-y 1|,所以32·415334222=+ba ab .由32=ac 得b =a 35.所以41545=a ,得a =3,b =5.椭圆C 的方程为15922=+y x .21.(2010辽宁,理21)已知函数f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1.(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)设a <-1,如果对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)-f (x 2)|≥4|x 1-x 2|,求a 的取值范围.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=x a 1++2ax =xa ax 122++.当a ≥0时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调增加;当a ≤-1时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,+∞)上单调减少;当-1<a <0时,令f ′(x )=0,解得x =aa 21+−.则当x ∈(0,a a 21+−)时,f ′(x )>0;当x ∈(a a 21+−,+∞)时,f ′(x )<0.故f (x )在(0,a a 21+−)上单调增加,在(aa 21+−,+∞)上单调减少.(2)不妨假设x 1≥x 2,而a <-1,由(1)知f (x )在(0,+∞)上单调减少,从而x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)-f (x 2)|≥4|x 1-x 2|,等价于x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 2)+4x 2≥f (x 1)+4x 1.①令g (x )=f (x )+4x ,则g ′(x )=xa 1++2ax +4.①等价于g (x )在(0,+∞)上单调减少,即xa 1++2ax +4≤0,从而a ≤12142+−−x x =212)12(1224)12(22222−+−=+−−−x x x x x ,故a 的取值范围为(-∞,-2］.22.(2010辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明△ABE ∽△ADC ;(2)若△ABC 的面积S =21AD ·AE ,求∠BAC 的大小.(1)证明:由已知条件,可得∠BAE =∠CA D.因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以∠AEB =∠AC D.故△ABE ∽△AD C.(2)解:因为△ABE ∽△ADC ,所以ACADAE AB =,即AB ·AC =AD ·AE .又S =21AB ·AC sin ∠BAC ,且S =21AD ·AE ,故AB ·AC sin ∠BAC =AD ·AE .则sin ∠BAC =1,又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC =90°.23.(2010辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程已知P 为半圆C :⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧的长度均为3π.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标;(2)求直线AM 的参数方程.解:(1)由已知,M 点的极角为3π,且M 点的极径等于3π,故点M 的极坐标为(3π,3π).(2)M 点的直角坐标为(6π3,6π),A (1,0),故直线AM 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+=t y t x 6π3,)16π(1(t 为参数).AP24.(2010辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲已知a ,b ,c 均为正数,证明:a 2+b 2+c 2+(cb a 111++)2≥63,并确定a ,b ,c 为何值时,等号成立.证法一:因为a ,b ,c 均为正数,由平均值不等式得a 2+b 2+c 2≥3(abc )32,①31)(3111−≥++abc cb a 所以(cb a 111++)2≥9(abc )32−.②故a 2+b 2+c 2+(cb a 111++)2≥3(abc )32+9(abc )32−.又3(abc )32+9(abc )32−≥227=63,③所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc )32=9(abc )32−时,③式等号成立.即当且仅当a =b =c =341时,原式等号成立.证法二:因为a ,b ,c 均为正数,由基本不等式得a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac .所以a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac .①同理acbc ab c b a 111111222++≥++,②故a 2+b 2+c 2+(c b a 111++)2≥ab +bc +ac +3ab 1+3bc 1+3ac1≥63.③所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立.即当且仅当a =b =c =341时,原式等号成立.。