2011-6.4同余关系

2011-12-1
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6.4同余关系 6.4同余关系
『定理』 定理』
是从代数系统A=<S,*, △,k>到A’=<S’,*’, 设g是从代数系统 是从代数系统 到
△’,k’>的一个同态映射，如果在 上定义二元关 的一个同态映射， 的一个同态映射 如果在A上定义二元关
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6.4同余关系 6.4同余关系
运算上的同余关系： 运算上的同余关系：等价关系在运算下的可保
持性是指参与运算的对应元素， 持性是指参与运算的对应元素，如果在同一个等价 类中，则运算后所得的结果也必在同一个等价类中。 类中，则运算后所得的结果也必在同一个等价类中。
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6.4同余关系 6.4同余关系
例题1】 【例题 】
是整数集合I上的普通加法运算 设+是整数集合 上的普通加法运算，~是I上的模 是整数集合 上的普通加法运算， 是 上的模 k (k∈I+)相等关系，问~在运算 上是否是 上的 相等关系， 在运算+上是否是 相等关系 在运算 上是否是I上的 同余关系？ 同余关系？ 分析：任意 和 有 分析：任意a,b和c,d有： a≡b(mod k) 其实就是 其实就是a-b=n*k c≡d(mod k) 其实就是c-d=m*k 其实就是 那么(a+c)-(b+d)=(m+n)*k，即(a+c) ≡(b+d)(mod k) ， 那么
系R为:<a,b>∈R 当且仅当 为 ∈ g(a)=g(b) 那么， 是 上的一个同余关系 上的一个同余关系。 那么， R是A上的一个同余关系。 证明： 若 证明：(i)若a~b,则g(a)=g(b), △’g(a) = △’g(b)。 则 。
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6.4同余关系 6.4同余关系
同余的定义
运算上的同余关系： 运算上的同余关系：设A=<S,*,△>是一个代数 是一个代数 系统，~是载体 上的等价关系，任取 是载体S上的等价关系 系统， 是载体 上的等价关系，任取a,b,c∈S。 。 (1)当a~b时，若△a~△b,则等价关系 在一元运算 当 则等价关系~在一元运算 时 则等价关系 是关于运算△ △下是可保持的，称~是关于运算△同余关系。 下是可保持的， 是关于运算 同余关系。 (2)当a~b和c~d时，若有 当 和 时 若有a*c~b*d，则等价关系 在 ，则等价关系~在 二元运算*下是可保持的， 是关于运算*同余 二元运算 下是可保持的，称~是关于运算 同余 下是可保持的 是关于运算 关系。 关系。
△a -△b=(a+b)(a-b)=(a+b)*n*k，即△a≡ △b
整数m
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6.4同余关系 6.4同余关系
代数系统上的同余关系： 代数系统上的同余关系：
是一个代数系统， 是载体 是载体S上的 设A=<S,*, △>是一个代数系统，~是载体 上的 是一个代数系统 等价关系，若~在A上的所有运算下都是可保持 等价关系， 在 上的所有运算下都是可保持 为代数系统A上的同余关系 的，则称~为代数系统 上的同余关系。 则称 为代数系统 上的同余关系。
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6.4同余关系 6.4同余关系
是从A到 的同态映射 的同态映射， 又g是从 到A’的同态映射，所以有 是从
△’g(a)=g(△a)= △’g(b)=g(△b)
故△a~ △b，这说明 在运算△下是可保持的。 在运算△ ，这说明~在运算 下是可保持的。 (ii)若a~b且c~d,且有 若 且有g(a)=g(b),g(c)=g(d),所以 且 且有 所以 g(a)*’g(c)=g(b)*’g(d),又因 是从 到A’的同态映射， 又因g是从 的同态映射， 又因 是从A到 的同态映射 所以有g(a)*’g(c)=g(a*c)=g(b)*’g(d)=g(b*d) 所以有 这说明等价关系~在运算 下是可保持的。 故a*c~b*d,这说明等价关系 在运算 下是可保持的。 这说明等价关系 在运算*下是可保持的 可得， 是代数系统 上的同余关系。 是代数系统A上的同余关系 由(i)(ii)可得，~是代数系统 上的同余关系。 可得
代数系统上的同余关系：等价关系R如果在一 代数系统上的同余关系：等价关系 如果在一
个代数系统中的所有运算下都是可保持的， 个代数系统中的所有运算下都是可保持的，则R是 是 A上的同余关系。同余关系使得元素所在的等价类 上的同余关系。 上的同余关系 在运算上可以作为一个整体来看待。 在运算上可以作为一个整体来看待。
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6.4同余关系 6.4同余关系
例题2】 【例题 】
上的一元运算， 设△是集合I上的一元运算，任取 ∈I, △a=a2,~ 是集合 上的一元运算 任取a 是I上的模 (k∈I)相等关系，问~在运算△是否 上的模k 相等关系， 在运算△ 上的模 相等关系 在运算 上的同余关系？ 是否是代数系统 是否是代数系统A＝ 是I上的同余关系？ ~是否是代数系统 ＝ 上的同余关系 <I,+,△>上A的同余关系？ △ 上 的同余关系 的同余关系？ 分析： 就相当于(a-b)=n*k 分析：a≡b(mod k) 就相当于
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6.5商代数 6.5商代数
例题】 【例题】
代数系统A=<S, △,~>，其中 代数系统 ，其中S={a1,a2,a3,a4,a5},一 一 元运算△ 由下表所示的运算表定义。 元运算△和~由下表所示的运算表定义。又S上 由下表所示的运算表定义 上 的等价关系R产生的 上的划分 的等价关系 产生的S上的划分 产生的 л= {{a1,a3},{a2,a5},{a4}} (a)证明：R是A上的同余关系。 证明： 是 上的同余关系 上的同余关系。 证明 (b)给出 给出A/R。 给出 。
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△’[a]=[△a] [a]*’[b]=[a*b]
注意： 是集合的集合 即等价类的集合， 是集合的集合， 注意：S/~是集合的集合，即等价类的集合，
形如： 形如：{[a], [b], …} *’, △’是集合之间的运算 是集合之间的运算 [k]是代数常元的集合 是代数常元的集合
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6.4同余关系 6.4同余关系
a b
△a △b △c △d a*c b*d
a b
c d
△’[a]=[△a] △’[c]=[△c]
c d
[a]*’[c]=[a*c]
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△ ~
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a1 a4 a3
a2 a3 a2
a3 a4 a1
a4 a2 a3
a5 a1 a5
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6.5小结 6.5小结
商代数：由等价关系R可以得到代数系统 可以得到代数系统A的载体 商代数：由等价关系 可以得到代数系统 的载体
的一个划分，以这个划分为新的载体， 的一个划分，以这个划分为新的载体，按照原运算 的规则建立等价类之间新的运算，这样得到的代数 的规则建立等价类之间新的运算， 系统是原代数系统的商代数。 系统是原代数系统的商代数。
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6.5商代数 6.5商代数
商代数定义: 商代数定义 设A=<S,*, △,k>是一个代数系 是一个代数系 上的同余关系， 关于 关于~的商代数 统，~是A上的同余关系，A关于 的商代数 是 上的同余关系 A/~=<S/~,*’, △’,[k]>。其中 。