8.1.2假设检验的两类错误和假设的提法
假设检验一般概念
x 400 k 时接受原假设H0；
(1)
x 400 k 时拒绝原假设H0接受备择假设H1
(2)
进一步，由于当H0为真时，有
u x400 ~N(0,1) 25/ n
1 |u|要构x造一40个0具有明确k分布的统计量，可将(1)、(2)式转化为
25/ n 25/ n
2 |u|时接x受原40假0设H0 k
2. 拒绝域与接受域 称是检验水平或显著性水平，它是我们
制定检验标准的重要依据。常数u/2把标准正态分布密度曲线下
的区域分成了两大部分，其中一部分
(x1,x2, ,xn)uu/2
称为H0的拒绝域或否定域， 当样本点落入拒绝域时，我们便拒 绝原假设H0(同前述(6)式)，另一部分
(x1,x2, ,xn)uu/2
（1）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和备择假设H1的
具体内容。
（2）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量并确定其分布。 （3）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计量的分布查表 或计算确定出临界值，进而得到H0的拒绝域和接受域。
（4）由样本观察值计算出统计量的值。
（5）做出推断：当统计量的值满足“接受H0的条件”时就接受 H0，否则就拒绝H0接受H1 。
u
2
时接受原假设H0 (5)
时拒绝原假设H0，接受备择假设 H1 (6)
分析(5)、(6)两式，可以这 样认为：
拒绝H0，是因为以H0成立 为出发点进行推理时，得到 了不合情理的结论，使小概 率事件在一次试验中发生了。
接受H0，是因为以H0成立 为出发点进行推理时，未发 现异常。
这就是带有概率特征的反证 法，认为小概率事件在一次 试验中不可能发生。
H0：X服从泊松分布；H1：X不服从泊松分布.
概率论与数理统计-假设检验
14
若
取伪的概率较大.
15
/2
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
/2 H0 真
60 62.5 65 67.5 70 72.5 75
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
H0 不真
67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5
16
现增大样本容量,取n = 64, = 66,则
41
两个正态总体
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 )
两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
42
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布拒绝域 Nhomakorabea1 – 2 = 1 – 2
1 – 2 1 – 2 <
1 – 2 1 – 2 > ( 12，22 已知)
43
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2
拒绝域
1 – 2 1 – 2 <
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
其中
44
(2)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
假设检验的基本思想
(1)假设H0：= 0=4.55，H1：≠4.55；
(2)选择检验用统计量 ；
(3)对于给定小正数，如=0.05，查标准正态分表得到临界值z/2 =z0.025 =1.96；
因为| z|=3.9＞1.96，所以拒绝H0，接受H1，即认为新工艺改变了铁水的平均含碳量。
以上两例都是科技领域中常见的假设检验问题。 我们把问题中涉及到的假设称为原假设或称待检假设，一般用H0表示。而把与原假设对立的断言称为备择假设，记为H1。
如例1，若原假设为H0：= 0=4.55，则备择假设为H1：≠4.55。 若例2的原假设为H0：X服从正态分布，则备择假设为H1：X不服从正态分布。
例如，在100件产品中，有一件次品，随机地从中取出一个产品是次品的事件就是小概率事件。 因为此事件发生的概率=0.01很小，因此，从中任意抽一件产品恰好是次品的事件可认为几乎不可能发生的，如果确实出现了次品，我们就有理由怀疑这“100件产品中只有一件次品”的真实性。 那么取值多少才算是小概率呢？这就要视实际问题的需要而定，一般取0.1，0.05，0.01等。
一、假设检验问题的提出
统计推断的另一个重要问题是假设检验问题。在总体的分布函数未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设。例如，提出总体服从泊松分布的假设，又如，对于正态总体提出数学期望μ0的假设等。
这里，先结合例子来说明假设检验的基本思
二、假设检验的基本思想
假设检验的一般提法是：在给定备择假设H1下，利用样本对原假设H0作出判断，若拒绝原假设H0，那就意味着接受备择假设H1，否则，就接受原假设H0。 换句话说，假设检验就是要在原假设H0和备择假设H1中作出拒绝哪一个和接受哪一个的判断。究竟如何作出判断呢？对一个统计假设进行检验的依据是所谓小概率原理，即 概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生
概率论与数理统计第八章假设检验
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
假设检验的两类错误及检验水准的调整
实际情况
H0 真 H0 不真
表1
假设检验的两类错误
检验结果
不拒绝 H0 结论正确 （1-琢）
Ⅱ型错误 （茁）
拒绝 H0 Ⅰ型错误 （琢） 结论正确 （1-茁）
统计学中还存在Ⅲ型和Ⅳ型错误。Ⅲ型错误指假 设检验回答了一个错误的问题，而这种错误的问题主 要是由研究设计错误引起的；Ⅳ型错误指对正确假设 检验作出错误解释 ［2］。
2 多重比较检验水准的调整
2.1 问题的提出 当多组资料的假设检验 （如方差 分析等） 拒绝 H0，接受 H1，如需进一步了解哪几对 样本间存在统计学差异，须进行多样本间多重比较。 如仍采用 t 检验或类似方法进行多重比较，将增加犯 Ⅰ型错误概率，进行 c 次比较犯Ⅰ型错误概率为：1（1-琢） c （琢 为检验水准）。多重比较一般分为各样本 间两两比较 ［比较次数 c=k （k-1） /2，k 为组数］ 和 各处理组与对照组比较 （c= k-1）。 2.2 检验水准的调整 通过直接调整检验水准或采 用专门的统计方法可控制多重比较Ⅰ型错误概率。 Bonferroni 法用于多样本两两比较检验水准的调整，
LSD-t 检验常被列在统计教科书或统计软件多重 比较方法的第一个。但 LSD-t 检验没有对检验水准或 统计量进行调整，采用此法会增加犯Ⅰ型错误概率， 比较次数越多，犯Ⅰ型错误概率越大。因此在多重比 较时应慎用 LSD-t 检验。
从表 2 可见，采用 Bonferroni 法调整后的检验水 准低于 Sidak 法，随着比较次数增加，两者差距增 大。相对于 Bonferroni 法， 在两两比较时建议 选用 Sidak 法，尤其是组数较多时。
假设检验作出的推断具有概率性，因此其结论不 可能完全正确，可能发生两类错误。假设检验Ⅰ型错 误指拒绝了实际上成立的 H0，即“假阳性”。进行假 设检验应先设定检验水准，检验水准是预先规定允许 犯Ⅰ型错误的概率最大值，Ⅰ型错误概率大小用 琢 表示。 Ⅱ型 错 误 指接受 了 实 际 上 不 成 立 的 H0， 即 “假阴性”。Ⅱ型错误概率大小用 茁 表示，茁 只取单 尾。琢 越小，茁 越大，反之亦然。同时减小 琢 和 β 的唯一方法是增大样本量 ［1］。
第四版统计学课后习题答案
第四版统计学课后习题答案《统计学》第四版统计课后思考题答案第一章思考题1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。
1.2解释描述统计和推断统计描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。
推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分；（定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述；（定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。
它也是有类别的，但这些类别是有序的。
（定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
统计数据；按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。
实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。
统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据。
时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。
1.4解释分类数据，顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。
1.6变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量，数值型变量。
变量也可以分为随机变量和非随机变量。
经验变量和理论变量。
1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。
假设检验的两类错误
测得燃烧率的样本均值为: x41.25cm/s.
设在新方法下总体均方差仍为 2cm/s,
问: 这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有 显著的提高?取显著性水平 α=0.05.
解:提出假设: H 0: 0 4H 0 1: 0
取பைடு நூலகம்计量:U
数理统计
测得 X =21.55公斤.
假设强力指标服从正态分布 N(μ,σ2),
且已知 σ=1.2公斤, 问在显著性水平 α=0.01 下,
新生产织物比过去的织物强力是否有提高?
解:提出假设: H 0:2 1H 1:21
取统计量: UX21~N(0,1)
n
数理统计
否定域为W : u u0.01 =2.33
0 一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.
一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.
第二类错误
小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .
犯两类错误的概率: P{拒绝H |H 为真}=α, 如果H0不成立, 但统计量的实测值未落入否定域,
故拒绝原假设H0 , 如果H0不成立, 但统计量的实测值未落入否定域,
代入 σ=2, n=25, 并由样本值计算得统计量U的实测值:
u=2.51>2.33
落入否定域
故拒绝原假设H0 ,
即新生产织物比过去的织物的强力有提高。
两类错误是互相关联的, 当样本容量固定时,
H0不真
故拒绝原假设H0 ,
拒绝H 第一类错误 由于作出结论的依据是:
0 从中随机取 n=25只, 测得燃烧率的样本均值为:
代入 σ=2, n=25, 并由样本值计算得统计量U的实测值:
贾俊平版统计学课件 第8章
▽与原假设对立的假设称备择假设，记为 H1 ,用 、 或 表示。 对于新生儿体重的例子，可以表示为
H 0 : 3190
H1 : 3190
(2)确定检验统计量及其分布
▽用于检验假设的统计量称为检验统计量
▽根据 H 0 及相应条件选择适当的统计量，并确定统计量
的分布 对于新生儿体重的例子，可利用 x 0 构造检验统计量. 若新生儿体重为正态分布 N ( , 2 ) ，且 已知，则在 H 0 为真 时，用 z 作为检验统计量，并且
H 0 : 3190 H1 : 3190
并已知 x 3210, 80, n 100 ，则
z0 x 0
n
3210 3190 80 100
2.5
于是
p 2Pz z0 2 0.00621 0.01242
双侧检验的P值
/ 2
/ 2 拒绝
▽犯第二类错误的概率为 。
表8-1 假设检验中各种可能结果的概率
实际情况
H 0 为真 H 0 不真
决策
接受 H 0
1
拒绝 H 0
1
假设检验中的两类错误（决策结果）
H0: 无罪
假设检验就好像一场审判过程 统计检验过程
陪审团审判
实际情况 裁决 无罪 无罪 有罪 正确 错误 有罪 错误 正确 接受H0 拒绝H0 决策
若p-值 /2, 不能拒绝 H0 若p-值 < /2, 拒绝 H0
8.1.6 假设检验的形式
研究的问题 假设
双侧检验
H0 H1
左侧检验
右侧检验
= 0 ≠0
贾俊平《统计学》第8章 假设检验
备择假设的方向为“ 备择假设的方向为“<”，称为左侧检验 备择假设的方向为“ 备择假设的方向为“>”，称为右侧检验
双侧检验与单侧检验
(假设的形式) 假设的形式)
以总体均值的检验为例
假设
原假设 备择假设
双侧检验
H0 : =0 H1 : ≠0
单侧检验 左侧检验
H0 : ≥0 H1 : <0
右侧检验
提出假设
(结论与建议) 结论与建议)
1. 原假设和备择假设是一个完备事件组，而且 原假设和备择假设是一个完备事件组， 相互对立
在一项假设检验中， 在一项假设检验中， 原假设和备择假设必有一 个成立， 个成立，而且只有一个成立
2. 先确定备择假设，再确定原假设 先确定备择假设， 3. 等号“=”总是放在原假设上 等号“ 4. 因研究目的不同，对同一问题可能提出不同 因研究目的不同， 的假设(也可能得出不同的结论) 的假设(也可能得出不同的结论)
1、某厂生产的化纤度服从正态分布， 纤维度的均值为1.4。某天测得25根纤维的 纤维度的均值为1.4。某天测得25根纤维的 均值为1.39，检验与原来设计的标准均值 均值为1.39，检验与原来设计的标准均值 相比是否有所变化，则假设形式是？
2、某一贫困地区估计营养不良人数高 达20%，然而有人认为这个比例实际上还 20%，然而有人认为这个比例实际上还 要高，要经验该说法是否正确，则假设形 式为？
假设检验中的两类错误及其控制方法
假设检验中的两类错误及其控制方法假设检验是统计学中常用的一种推断方法，用于判断关于总体参数的假设是否成立。
在进行假设检验时，我们一般会面临两类错误，即第一类错误和第二类错误。
本文将介绍这两类错误的含义、造成原因以及控制方法。
一、第一类错误的含义及控制方法第一类错误，也被称为α错误，指的是当原假设为真时，却错误地拒绝了原假设的情况。
换句话说，第一类错误意味着我们得出了一个错误的结论，即在事实上不存在的关系。
控制第一类错误的方法主要是通过控制显著性水平α来实现。
1. 显著性水平的控制显著性水平α定义了我们在进行假设检验时拒绝原假设的临界值。
通常情况下，α的取值为0.05或0.01，代表了我们容忍犯第一类错误的概率。
较小的α值会降低犯第一类错误的风险，但同时也增加了犯第二类错误的概率。
2. 样本容量的控制样本容量对于控制第一类错误也至关重要。
较大的样本容量可以提供更多的信息，从而降低犯第一类错误的概率。
因此，在进行假设检验时，我们应尽可能选择足够大的样本容量来增加推断的准确性。
二、第二类错误的含义及控制方法第二类错误，也被称为β错误，指的是当原假设为假时，却错误地接受了原假设的情况。
换句话说，第二类错误意味着我们未能发现事实上存在的关系。
控制第二类错误的方法主要是通过改进实验设计或增大样本容量来实现。
1. 实验设计的改进良好的实验设计可以降低发生第二类错误的概率。
例如，在两组样本进行比较时，我们可以增加处理组与对照组的差异，从而提高检测到显著差异的能力。
此外，合理的随机分组和对照设计也能够有效地控制第二类错误。
2. 样本容量的增大与控制第一类错误类似，增大样本容量也是控制第二类错误的一种方法。
较大的样本容量可以提高检测到真实差异的概率，从而减少第二类错误的发生。
在做出假设检验计划时，我们应考虑到研究资金、时间和实验设计等方面的限制，尽可能选择足够大的样本容量。
总结：在假设检验中，我们需要控制两类错误，即第一类错误和第二类错误。
贾俊平《统计学》(第7版)考点归纳和课后习题详解(含考研真题)(第8章 假设检验)【圣才出品】
3．单侧检验和双侧检验 表 8-2 常用假设检验形式
【总结】假设检验：①依据的是小概率原理； ②小概率标准在抽样前依照需要确定； ③假设检验的结果只能是拒绝或不拒绝原假设，而不能证明原假设成立； ④统计假设检验的结果不是绝对正确。
考点二：一个总体参数的检验
1．检验统计量的确定 一个总体参数的检验中，检验统计量主要有三个：z 统计量，t 统计量，χ2 统计量。 选择检验统计量需要考虑的因素：样本量、总体方差 σ2 是否已知。
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α 的最大允许值，一般是人们事先指定的。 显著性水平 α 越小，犯第Ⅰ类错误的可能性越小，但犯第Ⅱ类错误的可能性则随之增
大。
【真题精选】 下列哪种情况下属于犯第二类错误？（ ）[浙江财经大学 2019 研] A．H0 为真，接受 H1 B．H0 不真，接受 H0 C．H0 为真，拒绝 H1 D．H0 不真，拒绝 H0 【答案】B 【解析】在假设检验中，第一类错误指原假设 H0 为真却被拒绝了，犯这种错误的概率 用 α 表示，所以也称其为 α 错误或弃真错误；第二类错误是当原假设 H0 为伪却没有被拒绝， 犯这种错误的概率用 β 表示，所以也称其为 β 错误或取伪错误。
考点三：两个总体参数的检验
1．检验统计量的确定（如图 8-1 所示）
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图 8-1 检验统计量的确定 2．两个总体均值之差的检验
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大样本时，若 np＞5，n（1－p）＞5，样本比例近似服从正态分布。
检验统计量： z
假设检验中的第一类错误和第二类错误分别是什么如何控制错误率
假设检验中的第一类错误和第二类错误分别是什么如何控制错误率在统计学中，假设检验是一种常用的统计方法，用于对一个或多个统计假设进行验证。
然而，在进行假设检验时，我们经常会遇到两种错误，即第一类错误和第二类错误。
本文将详细介绍这两种错误的含义，并讨论如何控制错误率。
一、第一类错误第一类错误是指在进行假设检验时，当原假设为真时却拒绝了原假设的情况。
换句话说，第一类错误是将正态分布的假设标为非正常分布。
一般将第一类错误的概率表示为α（alpha），称为显著性水平。
α的大小决定了拒绝原假设的标准。
常见的α值有0.05和0.01，分别对应着5%和1%的显著性水平。
控制第一类错误的方法之一是选择适当的显著性水平。
一般来说，当研究的结果对于决策具有较大的影响时，选择较小的α值可以帮助我们更加谨慎地作出决策。
另一种方法是增加样本量，通过增加样本量可以减小概率发生第一类错误的可能性。
二、第二类错误第二类错误是指在进行假设检验时，当原假设为假时却未能拒绝原假设的情况。
换句话说，第二类错误是将非正态分布的假设标为正态分布。
一般将第二类错误的概率表示为β（beta）。
控制第二类错误的方法之一是增加显著性水平α。
增加α会减小β，从而减小发生第二类错误的可能性。
然而，增加α的同时会增加发生第一类错误的概率，所以在进行假设检验时需要权衡这两个错误。
另一种方法是增加样本量。
增加样本量有助于减小概率发生第二类错误的可能性，提高假设检验的准确性。
总结假设检验中的第一类错误和第二类错误都是我们在进行统计推断时需要注意的问题。
第一类错误涉及将正态分布的假设标为非正常分布，第二类错误则涉及将非正态分布的假设标为正态分布。
在进行假设检验时，我们可以通过选择适当的显著性水平和增加样本量来控制这两种错误。
然而，在实际应用中，控制错误率是一个复杂的问题。
我们需要对研究的背景、目的和具体情况进行综合考虑，选择合适的错误率控制方法。
同时，我们也需要警惕其他可能导致错误的因素，例如统计模型设定不当或数据收集不准确等。
假设检验的两类错误.ppt
谢谢观看
X0 n
u0.05
1.645
否定域为W : u u0.05 =1.645
代入 σ=2, n=25, 并由样本值计算得统计量U的实测值:
u=3.125>1.645
落入否定域
故拒绝H0 , 即认为这批燃料率较以往生产的有显著的提高。
例2: 某织物强力指标X的均值 μ0=21公斤. 改进工艺后生产一批织物, 今从中取30件,
If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2020年11月8日星期日2020/11/82020/11/82020/11/8
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年11月2020/11/82020/11/82020/11/811/8/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/11/82020/11/8November 8, 2020
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/11/82020/11/82020/11/82020/11/8
假设检验的两类错误
实际情况
决定
H0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ真
H0不真
数理统计
拒绝H0 第一类错误
正确
接受H0
正确
第二类错误
犯两类错误的概率: P{拒绝H0|H0为真}=α,
P{接受H0|H0不真}=β.
显著性水平 α为犯第一类错误(Type I error)的概率; β为犯第二类错误(Type II error)的概率.
我来尝试给你讲清统计学中的假设检验和两类错误
我来尝试给你讲清统计学中的假设检验和两类错误学习过统计的同学一定对“两类错误”不会陌生，但是否已经完全理清了其中的逻辑，想必要打一个问号了。
希望我今天能“不辱使命”，用你听得懂的语言给你讲清楚这整套内容。
1. 从玩色子看假设检验到底在干嘛首先，两类错误是出现在假设检验过程中的，所以我们得先弄明白假设检验到底在做什么。
简单举一个赌桌上的例子。
看完周润发的《赌神》之后，朋友小金也来到赌场赌色子，一个色子，买单双号：1、3、5为单，2、4、6为双。
小金玩了100把，但是就只有4次买中，气的小金直跺脚，直呼运气太背……难道小金的运气就这么差吗？咱们回头看看，是否哪里有猫腻。
你肯定已经想到，每一把小金就算瞎猜，也会有50%的可能性猜对，这样重复玩100把，平均而言有50把的机会能买中，现在他只买中4把，这怎么可能呢？那原因在哪？很简单，问题出在色子上，我们说平均会有50把买中是建立在一个假设上的：色子是均匀的，没有人动手脚。
但现在的情况是，他确实只买中了4把，而如果色子是均匀的，那么这种情况发生的概率及其微小，接近0，概率接近0的事情一般在一次试验（这100把游戏）下是不可能发生的，但现在却真真切切的发生了，于是，我们就有理由怀疑假设的真实性。
在这个例子中，我们就会怀疑色子可能不是均匀的，或者被人为操控了。
所以，假设检验的基本逻辑就是：我们为了解决一个疑问，就先做一个假设，然后在这个假设的基础上推测已经发生了的事情的概率（在这个例子里面就是“小金猜中4次或少于4次的概率”），如果这个概率低于我们设定的参考值（如0.05），则我们就拒绝假设；而如果这个概率大于0.05，则我们就没有理由来拒绝原假设。
2. 第一类错误的概率为什么是α明白了假设检验的逻辑之后，我们就可以开始分析第一类错误。
统计学上把原假设H0为真而拒绝原假设称为犯了第一类错误。
回到小金的例子，因为他只买中4把，根据推测，他是有理由拒绝色子是均匀的这个原假设，但事后通过专业人员检验发现：色子没有问题，纯粹是小金的运气太背了，那么这时，小金就犯错了，这便是第一类错误的由来，接着我们会问，犯这个错误的概率是多少呢？为了便于理解，我们可以看另外一个计算简单的例子。
剖析假设检验的两类错误并举例说明
• 可能产生原因：1：实验设计不灵敏
•
2.样本数据变异性过大
•
3.处理效应本身比较小
两类错误的关系 2.
命题 1：在统计检验中，在样本容量一定的条件下，α 错误和 β 错误不可能同时减小。 例子：一个公司有员工3000 人（研究的总体） ，为了检验公司员工工资统计报表的真实性，研究者作了 50 人的大样本随机抽样调查， 人均收入的调查结果是： X （样本均值）=871 元；
影部分的面积（β错误）也将增大。 1：α与β是在两个前提下的概率，所以α+β不一定等于1 1：α与β是在两个前提下的概率，所以α+β不一定等于1 这个命题可以借助前面的图形1 来理解，一旦正态分布A 的拒绝域减小即 α 错误减小，则（ 2 1 Χ − Χ ）这个区域将增大，而图 A 上阴 影部分的面积（β错误）也将增大。 结果表明，如果总体的真值为 870 元，而虚无假设为880元的话，那么，平均而言每100 次抽样中，将约有8次把真实情况当作880 元 被接受，即犯β错误的概率大小是0. 命题 3：犯 α 错误的概率和犯 β 错误的概率之和不为 1。 根据现有的资料的性质，设计类型，样本含量大小，正确选用检验方法
元。
1：α与β是在两个前提下的概率，所以α+β不一定等于1
• 2：在其他条件不变的情况下，α与β不 这个命题也可以从图形1 得到说明。
可能产生原因：1：实验设计不灵敏 即H0本不真，却接受了他，犯这类错误的概率记为β，即P{接受H0/H1为真}＝β
能同时增加或减少 这个命题可以借助前面的图形1 来理解，一旦正态分布A 的拒绝域减小即 α 错误减小，则（ 2 1 Χ − Χ ）这个区域将增大，而图 A 上阴
β 错误出现原因
• 第二个问题是，统计检验的逻辑犯了从结论推 断前提的错误。命题 B 是由命题 A 经演绎推 论出来的，或写作符号 A→B，命题 C 是我们 在检验中所依据操作法则。如果A 是真的，且 我们从 A 到 B 的演绎推论如果也是正确的， 那么B 可能是真实的。相反，如果结果 B是真 实的，那么就不能得出A 必定是真实的结论。 这就是 β错误出现的原因。
假设检验的两类错误和假设的提法
2.假设检验的两类错误当假设0H 正确时，小概率事件也有可能发生,我们会拒绝假设,0H 因而犯了“弃真”的错误，称此为第一类错误.犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率,α即{P 拒绝00|H H 为真}.α=反之，若假设0H 不正确，但一次抽样检验结果未发生不合理结果，这时我们会接受,0H 因而犯了“取伪”此时,的错误,称此为第二类错误,的概率，即记β为犯第二类错误{P 接受00|H H 为不真}.β=假设检验的犯两类错误的概率的关系：理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，当样本容量n 固定时，βα,不能同时都小，小时，β就变大；而β变小时，α就变大. 兼顾，在实际应用中，一般原则是：控制犯第一类错误的概率,即给定,α然后通过增大样本容量但即α变二者不可n 来减小.β关于显著性水平的选取：若注重经济效益，α可小些，如;01.0=α若注重社会效益，α可大些，如;1.0=α若要兼顾经济效益和社会效益，一般可取.05.0=αα3.假设检验问题的提法在假设检验问题中，把要检验的假设0H 称为原假设(零假设或基本假设),把原假设0H 的对立面称为备择假设或对立假设，记为.1H 例1某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉,洗衣粉包装机在正常工作时,)22(单位:g),每天开工后,需先检验包装机工作是否正常.某天开工后,在装好的洗衣粉中任取9袋,其重量为:NX ~装包量,500(本例的假设检验问题可简记为：)350.(:,:00100=≠=μμμμμH H （1）形如(1)式的备择假设,1H 表示μ可能大于,0u 能小于,0u 称为双侧(边)备择假设.也可形如(1)式的假设检验称为双侧(边)假设检验.假设总体标准差σ不变,即,2=σ试问这天包装机工作是否正常？505499502506498498497510503在实际问题中，有时还需要检验下列形式的假设：.:,:0100μμμμ>≤H H .:,:0100μμμμ<≥H H （2）（3）形如(2)式的假设检验称为右侧(边)检验.形如(3)式的假设检验称为左侧(边)检验.右侧(边)检验和左侧(边)检验统称为单侧(边)检验.为检验提出的假设，通常需构造检验统计量，并取总体的一个样本值，根据该样本提供的信息来判断假设是否成立.值时，我们拒绝原假设,0H 拒绝域的边界点称为临界点.完当检验统计量取某个区域W 中的则称区域W 为拒绝域,。
第四版统计学课后习题答案
时间在横轴，观测值绘在纵轴。一般是长宽比例10：7的长方形，纵轴下端一般从0开始，数据与0距离过大的话用折断符号折断。
3.6饼图和环形图的不同
饼图只能显示一个样本或总体各部分所占比例，环形图可以同时绘制多个样本或总体的数据系列，其图形中间有个“空洞”，每个样本或总体的数据系类为一个环。
4.6简述异众比率、四分位差、方差或标准差的适用场合
对于分类数据，主要用异众比率来测量其离散程度；对于顺序数据，虽然也可以计算异众比率，但主要使用四分位差来测量其离散程度；对于数值型数据，虽然可以计算异众比率和四分位差，但主要使用方差或标准差来测量其离散程度。
4.7标准分数有哪些用途？
4.9测度数据分布形状的统计量有哪些？
对分布形状的测度有偏态和峰态，测度偏态的统计量是偏态系数，测度峰态的统计量是峰态系数。
第五章 概率与概率分布
5.1频率与概率有什么关系？
在相同条件下随机试验n次，某事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数p波动，且波动幅度逐渐减小，趋于稳定，这个频率的稳定值即为该事件的概率。
1.4解释分类数据，顺序数据和数值型数据
答案同1.3
1.5举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念
对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。
《统计学》第四版
统计课后思考题答案
第一章思考题
假设检验中的两类错误
= (1 ≤ ሜ ≤ 2 )Fra bibliotek1-6
！
取伪的概率β1
四、α与β的关系
1. 设定α1小于α2，观
察图1中的取伪概
率β1明显大于图2
中的取伪概率β2。
图1 α1=0.05的取伪概率β1
取伪的概率β2
2. 结论：在其它条件完
全相同的条件下，弃真
的错误和取伪的错误是
一对矛盾，一个小，另
③
抽样的样本容量多少
④
显著性水平
！
（一）取伪错误的特点——以总体均值检验为例
1、在总体均值未知的情况下取伪概率是不能计算的。取伪概率的计算要依赖于
真实总体均值。抽样目的就是用样本数据推断假设总体，若真实总体是未知的，
在这种情况下是否取伪实际上也就是未知的。
2、取伪概率大小与原假设和真实总体的接近程度有关。若原假设和真实情况相
一个必然大；一个大，
另一个必然小。
1-7
图2 α2=0.1的取伪概率β2
！
五、应对两类错误的原则
1. 一般来说，哪一类错误所带来的后果严重，危害大，
在假设检验中就应当把哪一类错误作为首要控制目标
。
2. 奈曼（Neyman）和皮尔逊（Pearson）提出了一个原
则，即在控制第I类错误的概率α的条件下，尽可能使
图(A)中[x1,x2] 的范围内，就要
接受原假设μ=μ0
2、如图(B)所示：
真实的总体均值是μ=μ1
取伪的概率
真实总体的样本均值分布
B
如果在图(B)真实μ=μ1的总体中
抽取的样本均值落入了图(A)假设
μ=μ0 的接受域内，这样就把错
假设检验中的两类错误及其控制方法
假设检验中的两类错误及其控制方法在统计学中，假设检验是一种常用的分析方法，用于判断某个假设是否成立。
然而，进行假设检验时会存在两类错误，即第一类错误和第二类错误。
了解并掌握如何控制这两类错误是进行可靠假设检验的关键。
本文将介绍两类错误的概念以及控制方法。
一、第一类错误第一类错误，也称为α错误，是指当原假设为真时，拒绝原假设的错误。
这种错误将导致我们错误地得出结论，即拒绝了一个事实上是真实的假设。
为了控制第一类错误，我们可以通过设置显著性水平来进行调控。
显著性水平（α）是指在假设检验中所容忍的第一类错误的最大概率。
常见的显著性水平有0.05和0.01，分别表示一类错误的容忍程度为5%和1%。
设定更严格的显著性水平会减少第一类错误的发生概率，但同时也增加了第二类错误的风险。
二、第二类错误第二类错误，也称为β错误，是指当原假设不真实时，不能拒绝原假设的错误。
这种错误将导致我们未能发现一个实际上是错误的假设。
相比于第一类错误，控制第二类错误要更具挑战性。
通常，我们无法直接控制第二类错误的概率，但可以通过增加样本容量或改变检验方法来降低第二类错误的风险。
增加样本容量是一种常见的控制第二类错误的方法。
样本容量的增加意味着我们会有更多的观察值用于分析，从而提高检验的灵敏度。
通过增加样本容量，我们可以更容易地检测到真实效应，减少第二类错误的概率。
另一种控制第二类错误的方法是改变检验方法。
例如，可以选择更合适的统计检验方法，或者调整假设检验的参数，以提高检验的效力和准确性。
然而，改变检验方法需要在实践中进行谨慎考虑，并且需要充分了解不同方法的优缺点。
综上所述，假设检验中存在两类错误，即第一类错误和第二类错误。
为了控制第一类错误，可以通过设置显著性水平来调控。
而控制第二类错误则需要采取增加样本容量和改变检验方法等措施。
在进行假设检验时，我们应该充分考虑两类错误的控制方法，确保得出准确可靠的结论。
（文章长度：520字）。
8.3假设检验的两类错误
第一类错误(Type I error)：原假设H为真，但由于样本的随机性，使样的结论，这类错误称为第一类错本观测值落入拒绝域，从而作出拒绝H误，它发生的概率称为犯第一类错误的概率，也称为“拒真概率”.第二类错误(Type II error)：原假设H为假，但由于样本的随机性，使样的结论，这类错误称为第二类错本观测值落入接受域，从而作出保留H误，它发生的概率称为犯第二类错误的概率，也称为“取伪概率”.真实情况所作判断接受H 0拒绝H 0H 0为真H 0为假正确正确第一类错误（弃真）第二类错误（取伪）易知：第一类错误的概率=“拒真概率”=P (W |H 0)第二类错误的概率=“取伪概率”=P (A |H 1)1(|)P W H例1.某餐厅每天的营业额服从正态分布，按照以往的老菜单营业，营业额的均值μ0为8000，标准差σ为640.目前，该餐厅试用一新菜单，经过九天的运营，发现平均每天的营业额为8300，经理想知道这个差别是否是由于新菜单而引起的.（假定按照新菜单营业，营业额的标准差依然为640）H 0：μ=μ0=8000H 1：μ≠μ0=8000拒绝域为计算此检验犯两类错误的概率.:|800041.|813W x -≥解：先求犯第一类错误的概率易知当H 0成立H 0：μ=μ0=8000H 1：μ≠μ0=8000N (0,1):|800041.|813Wx -≥2220.0252418.13 1.96640964096409z z α=⨯==0(|)P W H (|8000|418.13|8000)P X μ=-≥=22(|8000|6409|8000)P X z αμ=-≥=22|8000|(|8000)6409X P z αμ-=≥=0.05α==2~(8000,6409)X N第二类错误的概率：H 1成立X N 2~(,6409)μH 0:μ=μ0=8000H1:μ≠μ0=8000:|800041.|813W x -≥1(|)P W H 22(|8000|6409|8000)P X z αμ=-<≠2222(8000640980006409|8000)P z X z ααμ=-<<+≠2222228000640980006409()()64096409z z ααμμ+---=Φ-Φ222280008000()()64096409z z αα--=Φ+-Φ-在一般情形，当样本容量固定时，减小一类错误概率会导致另一类错误概率的增加.我们总希望所用的检验方法尽量少犯错误，但不能完全排除犯错误的可能性.理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小.第一类错误的概率P W H 0(|)α=第二类错误的概率P (W |H 0)=α减小，导致z α/2增大，增大.12222(|)))64096409P W H z z αα=Φ+-Φ-1(|)P W H要同时降低两类错误的概率，或者要在第一类错误的概率不变的条件下降低第二类的错误概率，需要增加样本容量.一般来说，我们总是控制犯第一类错误的概率，使它不大于 .再在这一限制下使第二类的错误发生的概率尽可能地小.——控制第一类错误的原则H0与H1地位应平等，但在控制犯第一类错误的概率的原则下，使得采取拒绝H0的决策变得较慎重，即H得到特别的保护.因而，通常把有把握的、有经验的、不能轻易否定的结论作为原假设，或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误.关于零假设与备择假设的选取例2.设总体X ~N (μ,1)，其中μ为未知参数，X 1,X 2,…,X 9为来自总体X 的一个样本，考虑假设检验问题H 0：μ=2,H 1：μ=3，若检验的拒绝域由所确定.求该检验犯第一类错误的概率α和第二类错误的概率β.解：当原假设H 0：μ=2成立时，19{(,,): 2.6}W X X X =≥1~(2,)9X N 0(|)( 2.6|2)P W H P X αμ==≥=1/91/9X P =≥1(0.69)1(1.8)10.96410.0459=-Φ=-Φ=-=10.69)1/9X P =-<例2.H 0：μ=2,H 1：μ=3，检验的拒绝域由所确定.求第二类错误的概率β.解：当原假设H 1：μ=3成立时，犯第二类错误的概率为1~(3,)9X N 19{(,,): 2.6}W X X X =≥1(|)( 2.6|3)P W H P X βμ==<=32.63()1/91/9X P --=<(0.49)1/9X P =<-1(1.2)10.88490.1151=-Φ=-=( 1.2)=Φ-例3.设总体X ~π(λ)，其中λ>0为未知参数，X 1,X 2,X 3为来自总体X 的一个样本，考虑假设检验问题H 0：λ=3,H 1：λ=1/3，若检验的拒绝域由W ={X 1+X 2+X 3≤1.5}所确定.求该检验犯第一类错误的概率α和第二类错误的概率β.解：当H 0：λ=3成立时，X 1+X 2+X 3~π(9)0919990!1!e e --=+α=P (W ≤1.5|λ=3)=P (X 1+X 2+X 3≤1.5|λ=3)= P (X 1+X 2+X 3 =0)+P (X 1+X 2+X 3 =1)=10e −9犯第一类错误的概率为例2.假设检验问题H 0：λ=3，H 1：λ=1/3，检验的拒绝域为W ={X 1+X 2+X 3≤1.5}.求第二类错误的概率β.解：当H 1：λ=1/3成立时，X 1+X 2+X 3~π(1)123(|13)( 1.5|13)P W P X X X βλλ===++>=1231231(=0)(=1)P X X X P X X X =-++-++01111110!1!e e --=--=1−2e −1。
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当假设 H 0 正确时， 小概率事件也有可能发生, 此时, 我们会拒绝假设 H 0 , 因而犯了“弃真”的错误，
称此为第一类错误. 犯第一类错误的概率恰好就是“小概
率事件”发生的概率 , 即
P 拒绝H 0 | H 0 为真 .
反之， 若假设 H 0 不正确， 但一次抽样检验结果未发
3.假设检验问题的提法
在假设检验问题中， 把要检验的假设 H 0 称为原假 设(零假设或基本假设), 把原假设 H 0 的对立面称为 备择假设或对立假设， 记为 H 1 .
例1 某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣 粉, 洗衣粉包装机在正常工作时, 装包量 X ~ N ( 5 0 0 ,
2 2 ) (单位:g), 每天开工后, 需先检验包装机工作是 否
拒绝域的边界点称为临界点.
完
生不合理结果，这时我们会接受 H 0 , 因而犯了“取伪”
的错误, 称此为第二类错误, 记 为犯第二类错误
的概率，即 P 接受H 0 | H 0 为不真 .
假设检验的犯两类错误的概率的关系： 理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小， 但
当样本容量 n 固定时， , 不能同时都小，即 变 小时， 就变大；而 变小时， 就变大. 二者不可
形如(2)式的假设检验称为右侧(边)检验.
形如(3)式的假设检验称为左侧(边)检验. 右侧(边)检验和左侧(边)检验统称为单侧(边)检验. 为检验提出的假设，通常需构造检验统计量， 并取
总体的一个样本值， 根据该样本提供的信息来判断
假设是否成立. 当检验统计量取某个区域 W 中的 值时， 我们拒绝原假设H 0 , 则称区域 W 为拒绝域,
形如(1)式的备择假设 H 1 , 表示 可能大于u 0 , 也可 能小于 u 0 , 称为双侧(边)备择假设.
形如(1)式的假设检验称为双侧(边)假设检验.
在实际问题中， 有时还需要检验下列形式的假设：
H0 : 0 , H1 : 0 . H0 : 0 , H1 : 0 .
（2） （3）
兼顾，在实际应用中， 一般原则是：
控制犯第一类错误的概率, 即给定 , 然后通过增大样本容量 n 来减小 . 关于 显著性水平 的选取： 若注重经济效益， 可小些， 如 0 . 0 1 ;
若注重社会效益， 可大些， 如 0 . 1 ;
若要兼顾经济效益和社会效益， 一般可取 0 . 0 5 .
正常. 某天开工后, 在装好的洗衣粉中任取9袋, 其重量为:
505 499 502 506 498 498 497 510 503
假设总体标准差 不变, 即 2 , 试问这天包装机
工作是否正常？
本例的假设检验问题可简记为：
H 0 : 0 , H 1 : 0 . ( 0 3 5 ) （1）