第七章 卡平方测验

2 ( 26 － 34.7 － 0.5) ( 50－41.3 －0.5)2 2 c 41.3 34.7
( 200－208.7 －0.5)2 4.267 208.7 175.3
注意，最后要比实际资料多算一组。
查附表1得各组下限累积概率，列于第
5列(表7.2) 。
相邻两组累积概率之差为各组概率，列
于第6列(表7.2) 。
求各组理论次数列于第7列(表7.2) 。理论次数
少于5的组，应合并到5，以满足2测验的要求。
根据各组实际次数与理论次数计算2值。
因为理论次数受平均数 x 、标准差s、理论次
其步骤和方法是：
H0：两个变数相互独立，
HA：两个变数彼此相关。
确定显著水平 a0.05或0.01。 将资料按两向分组排列成r行、c列的 相依表(表7.3)，在H0下计算每一组性状 的理论次数，求出2值。 按自由度df=(r-1)(c-1)查表进行2测验。
【例7.4 】为防治小麦散黑穗病，播种 前对小麦种子进行灭菌处理，以未灭 菌处理的为对照，得结果于表5.4。试 分析种子灭菌与否和散黑穗病病穗的 多少是否有关。
表7.4 种子灭菌与小麦散黑穗病发病的2×2相依表 种子灭菌 不灭菌 总数
发病穗数
未发病穗数 总数
26（34.7）
50（41.3） 76
184（175.3）
200（208.7） 384
210
250 460
2×2表的独立性测验
H0:种子灭菌与散黑穗病发病无关，
HA:种子灭菌与散黑穗病发病有关 显著水平 a0.05。
0.470
df=k-1=4-1=3，
由附表6查出20.05，3 7.815。
2＜20.05，3 ，不能否定H0 ，认为豌豆
杂种F2代的分离是符合9:3:3:1的理论比
率。
【例7.2 】有一批水稻种子，规定发芽 率达80%合格，即发芽:不发芽=4:1。 随机抽200粒做发芽试验，发芽种子数 为150粒。这批水稻种子是否合格？
总数 538
山东
山西
37（105.5） 213（210.7） 239（172.8）
79（ 84.4） 157（168.5） 155（138.1）
489
391
总数
306
611
501
1418
r×c 表的独立性测验
H0：抗寒性与原产地无关，HA：有关。 显著水平 a0.05。
在H0下计算与各观察次数相应的理论 次数于表7.8。
⑴ 2分布的取值范围为[0， 。 ⑵2分布的形状决定于自由度df。 (图7.1。 ⑶ 2分布曲线与横坐标轴所围成的面积等于1，即 P(0≤ 2 <+ f(02)d(2)=1
+
2 2 因此， 分布右尾从 到 的概率为 i
p( x x ) 1 F ( x )
2 2 2 (241-231.8) (190-116.1) (155-138.1) 2 =156.79 + + …+ 116.1 231.8 138.1
df=(3-1)(3-1)=4，由附表6查出20.05，4 9.49 。
C品种 健康株理论数=900×(599/900) ×(300/900)=199.7
病株理论数= 900×(301/900) ×(300/900)=100.3
2 2 2 (169 － 199.7) (248 － 199.7) (182 － 199.7) 2 199.7 199.7 199.7
df=k-1=2-1=1，由附表6查出20.05，1 3.84。
结论：c 2＜ 20.05，1 ，不能否定H0 ，
认为这批水稻种子是合格的。
【例7.3 】试测验100株湘菊梨单株产
量数据是否服从正态分布(表7.2)。
H0：服从正态分布;
HA：不服从正态分布。 显著水平 a0.05。
第七章
卡平方测验
第一节 卡平方测验的意义与原理
第二节 适合性测验
第三节 独立性测验
第一节 χ2检验的意义与原理 一、χ2检验的意义
表7.1 花色 红 白 总和
豌豆杂种F2代花色分离的观察次数与理论次数
实际次数(O) 理论次数(E) 705 224 929 696.75 232.25 929
(O-E) +8.25 -8.25 0
Fra Baidu bibliotek
x 61.014和 s5.7052分别估计和， 用
按
离差(ui：
xi-xui= s
将各组下限换算成标准正态
第一组下限u1=
47.01－61.014
5.7052 50.01－61.014 5.7052
=-2.45
第二组下限u2=
=-1.93，
其余类推，结果列于表7.2第4列(表7.2) 。
数等于实际次数这3个条件限制，所以自由度
df=k-3=7-3=4。
2 2 2 查附表6， 0.05 =9.49 ，实得 ，4 0.05，4，不
能否定H0，认为湘菊梨单株产量资料服从正态 分布。
第三节 独立性测验
独立性测验是测验两个变数之间是相
互独立还是彼此相关的统计方法，是
次数资料的一种相关研究。
假设 H0：合格，即发芽:不发芽=4:1 ，
HA：不合格。
显著水平 a0.05。
2c
( Oi-Ei －0.5)2 =Σ i 1 Ei
k
( 150－160 －0.5)2 ( 50－40 －0.5)2 ＝2.82 40 160
⑵ 确定显著水平
⑶ 计算2值
确定a0.05或0.01等。
由样本资料和理论假设计算
2 2值；根据自由度，由附表6查出a ，df 。
⑷ 推断，若χ2≤χ2α.df，则p>α，故接受H0； χ2≥χ2α.df ，则p<α，故否定H0，
卡平方测验均为一尾测验，且是右尾测验。
次数资料是间断性的，而卡平方分布 则是连续性分布，为了使间断性的计算结 果适合于连续性分布给出的概率，在计算 卡平方值x2时需注意以下问题： 任何一组性状的理论次数都必须大于5； 在自由度为1时需进行连续性矫正；
三、卡平方测验的连续性矫正
2是连续分布，而次数资料是间断性 的，由间断性资料计算的2值均有不同程
度偏大的趋势，尤其在df=1时偏差较大。 为此，需对2进行连续性矫正使之符合2 的理论分布：
x [
2 c
( O E 0.5) E
2
]
当df≥2时，可以不作连续性矫正。
第二节 适合性测验

(131－100.3)2 (52－100.3)2 (118－100.3)2 53.75 100.3 100.3 100.3
df=(2-1)(3-1)=2，
由附表6查出20.05，2 5.99。
F2代红花与白花的理论比例为3：1
实际观察次数与理论次数的符合程度
(O-E) (O-E)2
(O E ) 2 E

2
(O E ) 2 = E
于是将各差数平方除以相应的理
论次数再相加，记为χ2，即：
(O E ) E
2 2
故χ2是度量实际观察次数与理论次数 偏离程度的一个统计量，χ2越小，表明实 际观察次数与理论次数越接近； χ2=0， 表示二者完全吻合；χ2越大，表示二者相 差越大。
312.75
a0.05。
2 2 2 2
(315-312.75) (101-104.25) (108-104.25) (32-34.75) 2 104.25 104.25 34.75
二、χ2分布与χ2测验
n个独立的正态离差u1、u2、…、un的平
方和则定义为2，即

2
u u
2 1
2 2
2 ... un
u2 i
i 1
n
2 ( x i )2
1
i 1
n
上式的的自由度df=n。
当用样本来计算时，因为∑（xi-）2需由 ( xi x ) 2 来估计，而
豌豆杂种F2代性状分离的观察次数与理论次数(n=556) 次数 黄子叶饱满 黄子叶皱缩 绿子叶饱满 绿子叶皱缩
实际次数(O)
理论次数(E)
315
312.75
101
104.25
108
104.25
32
34.75
假设 H0： F2代的分离符合9:3:3:1的理论比率，
HA： F2代的分离不符合9:3:3:1的理论比率。 显著水平
( 184－175.3 －0.5)2
df=(2-1)(2-1)=1，由附表6查出20.05，1 3.84
c220.05，1 ，否定H0 ，接受HA，种子灭
菌与散黑穗病发病有关。
【例7.5 】调查A、B、C三个大豆品种 病毒病发生情况，每个品种调查300株，
结果列于表7.6。试分析病毒病的发生
是否与品种有关。
表7.6 健株数 病株数 总数 大豆品种与病毒病发病情况的2×3相依表 A B C 52（100.3） 300 总数 599 301 900
182（199.7） 169（199.7） 248（199.7） 118（100.3） 131（100.3） 300 300
2×C 表的独立性测验
E11=460×(76/460)×(210/460)=34.7 同理，O12=184相应的理论次数为 E12=460×(384/460)×(210/460)=175.3 O21=50相应的理论次数为
E21=460×(76/460)×(250/460)=41.3
O22=200相应的理论次数为 E22=460×(384/460)×(250/460)=208.7
2 2 i 2

xi
f ( x 2 )d ( x 2 )
(图7.2)
各种自由度下右尾概率取a的临界
a，df值列于附表6，供测验时查用。
例如， df=10， a=0.05，
20.05，1018.31，表示
P( 2 > 18.310.05(图7.2)。
2测验的具体步骤为：
⑴ 提出无效假设与备择假设
H0：发病与品种无关， HA：发病与品种有关。 显著水平 a0.05
A品种 健康株理论数=900×(599/900) ×(300/900)=199.7 病株理论数=900×(301/900) ×(300/900)=100.3 B品种 健康株理论数=900×(599/900) ×(300/900)=199.7 病株理论数=900×(301/900) ×(300/900)=100.3
根据2分布的概率值来判断实际次数与预期
理论次数是否符合的假设测验，称为适合性测
验(goodness test。
测验实际结果与理论比例是否符合； 测验产品质量是否合格； 测验实验结果是否符合某一理论分布；
【例7.1 】孟德尔将黄子叶饱满豌豆与 绿子叶皱缩豌豆杂交，F2代观察556 株，黄子叶饱满315株，黄子叶皱缩 101株，绿子叶饱满108株，绿子叶皱 缩32株。试测验F2代的分离是否符合 9:3:3:1的理论比率。
S2
故
2 ( x x ) i
n 1
2 2 ( x x ) ( n 1 ) S i
x2
( xi x ) 2

2

( n 1) S 2
2
此式中x2值的自由度为（n-1)
若从正态总体中抽取无数个样
本，就可形成2值的概率分布，称
为2分布。
2分布的特性有：
2 2
0.05，2 ，否定H0
，接受HA，
可以认为发病与品种有关。
【例7.6】研究1418个小麦品种原产地与 抗寒性的关系，结果见表7.8。分析小麦 品种的抗寒性与原产地是否有关。
表7.8 原产地 河北 小麦原产地与品种抗寒性的3×3相依表
抗寒性
极强 强 中和弱 190（116.1） 241（231.8） 107（190.1）