结构力学[第八章矩阵位移法]课程复习
结构力学第8章
第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
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对于每个结点位移分量数相同的结构，原始刚度矩 阵的阶数为结构的总结点数乘以结点位移分量的数目， 例如，每个结点位移分量数为3的平面刚架，结构原始 刚度矩阵的阶数为3n×3n 。
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第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
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第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
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对于支座位移等于给定值时，采用“乘大数法”。 设结点位移向量中第 r个位移等于d0，在矩阵K与向量P中， ， 主对角元素krr 改为Gkrr，将Pr改为d0Gkrr，其中G为一 大数通常取108～1010 。
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第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
2. 先处理法
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(1) 集成。将单元刚度矩阵先按边界条件进行处理 , 然后按照单元连接结点的总位移编号将单元刚度矩阵的 元素在结构的刚度矩阵中对号入座，形成总刚后即可进 行求解。上述过程可通过引入定位向量来实现。在单元 定位向量中考虑边界条件，凡给定的结点位移分量，其 位移总码均编为零，与总码编为零相应的行、列元素在 集成总刚时被屏弃在外。 单元定位向量：按单元连接结点编号顺序由结点未 知位移编号组成的向量。
（2）边界条件处理
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对于刚性支座，用划行划列法处理刚性支座，即直 接划去原始刚度方程中与零位移对应的行和列。这样做 有时要改变原方程的排列顺序,会给编程带来麻烦。为了 不改变原方程的排列顺序，同时又要引入边界条件 ,采用 “主一副零”法。
结构力学——矩阵位移法
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4
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。
采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便 于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计 算机进行自动化计算的要求。
结构力学
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学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
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16
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
与单元刚度方程相应的正、反两类问题
力学 模型
解的 性质
正问题 e
F e
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。
控e 制附加约束加以指
定。
e 为任何值时，F e都
有对应的唯一解，且总 是平衡力系。
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1、整体刚度矩阵的集成 将单元刚度矩阵按单元定位向量扩展为单元贡献矩阵
（换码扩阵）
1
1
3
K
1
k11
0
1
k21
1
0 0
0
k12
1
0
k22
1
2
2
3
0
K 2
结构力学十三讲(矩阵位移法)
1 i1 2i23
2 i2 2i22
2 i2
4i23 3
F1
4i1 2i1 0 1
F2 = 2i1 4i1+4i2 2i2 2
传统位移法 根据每个结点位移 对附加约束上的约束
F3
0 2i2 4i2 3
{F}=[K]{}
力{F}的贡献大小进 行叠加而计算所得。
7
一、 单元集成法的力学模型和基本概念
一、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，
单元 分析
整体 分析
任务
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
意义 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。
单元
(1) (2)
1 (1)
[k] = (2)
4i1 2i1
2i1 4i1
1
=
1 2
12 3
1 40i1 20i1 0
1
[K] = 2
20i1
40 i1
0
30 0 0
单元
(1) (2)
2 (1)
[k] = (2)
2i1
0
2
[k] =
4i2 2i2 2i2 4i2
12 [K] =
00 0
0 4i2 2i2 0 2i2 4i2
2i1 44i1i+1 4i2 20i2 0 20i2 40i2
4i1 2i1 0
整体刚度矩阵: [K]= 2i1 4(i1+i2) 2i2
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
6.按”对号入座”原则，将ki叠加到 k 中。
结构力学基础 矩阵位移法基本概念、计算程
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
矩阵位移法
那么就是说，这个杆端力它首先呢，是在局部坐标系下的（我只想知道我的 杆的轴力，剪力啊，什么的，并不想知道某个大方向上的力） ，那么就要用到局 部坐标系的各种参数。 其次，力是刚度乘位移的。 所以就是说，应该有这样
e e e F e k e e F e P k T F P
不过这个位移的话， 其实之前求出来了的话反正就这样吧。注意如果原来有 节点荷载的话这里是不用加它的， 我们只要加杆内荷载计算得到的固端力就好了， 这个力之前是查表得到的，非常方便加上去哦。 然后这里就告一段落啦。
呢？ 在这之前， 必须要把局部坐标系下的单元刚度矩阵转化为整体坐标系下的单 元刚度矩阵。 那么必须要有这个杆件的方位角。假设这个杆件的正方形和水平向 右的夹角 （顺时针） 是 ， 那么， 就有一个坐标变换矩阵的问题， 这个玩意叫 T 。 还有一个玩意叫坐标变化子矩阵，这玩意叫 t 。 这两个家伙有这么个关系。
e
e
t T kii et
其实还是挺麻烦的。如果说刚好是 90°的话，倒是就把对角线上第一第二 排换一下，然后右上角左下角的和旁边的换一下位子就 OK 了。 然后就可以用整体坐标系下的单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵了。 这个其实 非常简单， 只要在整体坐标系下的单元刚度矩阵的周围写好它的定位向量，然后 在空白的地方把 0 以外的数字从小到大写好， 在相应的空位里把上面的抄下来加 起来就好啦。 因为这个整体刚度矩阵具有对称性和带状稀疏性， 所以只要把左下角三角形 的都写出来就好了，右上角是一模一样的。至于带状稀疏性的话，就是说它中间 的是有的，周围的基本都是 0，这是编码造成的，很小的码和很大的码应该是没 有交集的。 那么现在我们得到了一个整体刚度矩阵。
12 EI l3 6 EI l2 ke k e 12 EI 3 l 6 EI l2 6 EI l2 4 EI l 6 EI l2 2 EI l 12 EI l3 6 EI 2 l 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI 2 l 4 EI l 6 EI l2 2 EI l
第8章矩阵位移法例题 结构力学
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
4.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵
单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以
4 0
0 4 0
l
1 ql
1 ql
2
2
p
1 pl 8
1 pl 8
l
l
2
2
1p
1p
2
2
第8章矩阵位移法
例题 2 （1）求各单元在局部坐标系中固端力向量
例题 2
第8章矩阵位移法
(2)将
转换成
单元①
单元②
例题 2
第8章矩阵位移法
(3)利用单元定位向量，将
中元素反号后叠加集成
第8章矩阵位移法
例题 3
图示桁架，已知结点位移列阵
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
0
0
1
第8章矩阵位移法
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求： 对于桁架，一般只有结点荷
载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数，EA=常数， EI=20EA，试用矩阵位移法分析
5
6
1 2
88.889 0.0
0.0 5.268
0.0 11.852
-88.889 0.0
0.0 -5.268
0.0 11.852
1 2
k②
EA l1
3 4
0.0 88.889
5 0.0
11.852 0.0
5.268
35.556 0.0
11.852
0.0 88.889
0.0
11.852 0.0
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§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
结构力学矩阵位移法学习
第8章 矩阵位移法 ♍♦♐ 制作同济大学教材笔记(本章答案陆续上传中)一、知识要点： 1.结构坐标系一般采用右手坐标系，记为xoy 。
此时，结点位移和结点力均取与结构坐标系方向一致为正，其中结点的角位移和结点力矩按右手法则均取逆时针方向为正。
2.局部坐标系主要注意α角的定义，看如下图示即明白。
yxoijexyα3.桁架单元刚度方程000000000000eeexi i yi i xj j yj j EAEA F u l lF v EA EAF u l l F v ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭桁架结构变换矩阵Tcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T αααααααα⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭桁架在结构坐标系下的单元刚度矩阵22222222ee c sc c sc sc s sc s EA k l c sc c sc sc s sc s ⎛⎫-- ⎪-- ⎪=⎪-- ⎪⎪--⎝⎭4.刚架单元刚度方程32322232322212612664621261266264eeeyi i i i yj j j j EIEI EI EI l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EI EI EI EI F v l l l l M EI EI EI EI l l l l θθ⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭5.受轴向力作用的一般刚架单元刚度方程32322232322200001261260064620000001261260062640eexi i yi i i i xj j yj j EAEA ll EI EIEI EI F u l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EA EA F u l l F v EIEI EI EI M l l l l EI EI EI EI l lllθ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ej j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭一般刚架单元刚度方程的坐标变换矩阵Tcos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos 0001T αααααααα⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭结构坐标系下的一般刚架单元刚度矩阵e k12412423523545645612412423523545645622ea a a a a a a a a a a a a a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a --⎛-- --=---- ---- --⎝6.为什么已知杆端位移能求得单元的唯一杆端力，而已知杆端力却无法唯一确定杆端位移这是因为支座位移条件不已知，可能相差一个刚体位移，即位移的绝对值不同。
结构力学第八章位移法
二、等截面直杆的刚度方程
D
EI 1. 两端固定梁 i l
MAB 4iA M BA 2i A
由上图可得： i
A
M AB 4i A 2i B
M BA
B( ) 3．杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移
C ( )
A A
EI
B
A
B 可写成：
6i l 6i 2i A 4i B l
F M BA 0 F M BC
B
EI
C
上图示连续梁，取结点B的转角θB作为基本未 知量，这保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协 这保 与 在 截 位移协 调。
2
2）令 ）令B结点产生转角 结点产生转角 B ( ) 。此时 。此时AB、BC杆 杆 类似于B端为固端且产生转角 B 时的单跨梁。
l
MAB
B
MBA
MAB 2iB M BA 4i B
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负 号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。 为负 l B A A B
l
13
A
i
MAB
B
B
A
A
EI
B
l
B
A
i
MBA
M AB 4i 2i 6i A l B M 2i 4i 6i BA l
F M AB
A
i EI l
A
B
A
i EI l
A
B
1．结点转角未知量θ 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。 A B C D
MBA 4iA
MBA 2iA
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
返回目录
作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
结构力学课后答案第8章矩阵位移法
习 题8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。
8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。
8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。
(a)解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 θνθνθνθν=∆[]Ty M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2222322211211462661261226466126122EI 21 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①①⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222233332232223 33 6 3632336 362EI 21 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②②lll⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③（4）总刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=222222222234443343333322322222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件[][]00004311 θ θ θν=将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。
结构力学概念复习
结构力学概念复习矩阵位移法复习1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。
答案：正确2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。
答案：错误，是否考虑边界条件3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T是正交矩阵。
答案：正确4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。
答案：错误，反映了整体结构的变形协调条件和平衡条件5、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。
答案：正确6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。
答案：正确7、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。
答案：错误，计算反号8、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。
答案：正确9、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。
答案：正确 10、矩阵位移法中，结构在等效结点荷载作用下的内力与与结构在原有荷载作用下的内力相同。
答案：错误11、已知杆端力向量就可以通过单元刚度矩阵计算出杆端位移向量。
答案：错误12、已知杆端位移向量就可以通过单元刚度矩阵计算出杆端力向量。
答案：正确13、单元刚度矩阵是单元的固有特性，与坐标选取无关。
答案：错误14、整体坐标系中的杆端力，依次是N、Q、M。
答案：错误15、结构的整体刚度矩阵可直接由整体坐标下的单元刚度的元素按“对号入座”的方式集成。
答案：正确动力分析复习1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
答案：错误2、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
答案：错误3、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
答案：错误4、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
答案：错误5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a刚架的振动自由度为2，图b刚架的振动自由度也为2。
答案：正确(a)(b)6、设 W、Wd分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，两者的关系为W=Wd 答案：错误7、单体中某个杆件刚度减小时，结构自振周期不一定都增大。
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
第八章矩阵位移法-1
8-1 概述
局部坐标系示例
12
②
8-1 概述
13
5．结点位移整体码
• 按结点编码由小到大的顺序对结点的位移编码 • 不同问题，结点位移个数不同。
等截面连续梁每结点1个转角； 平面桁架每结点2个线位移； 平面刚架每结点3个位移；
8-1 概述
14
结构的离散化示例
8-1 概述
15
结构的离散化示例
后处理
Δi ui vi T
n个结点的位移向量为
Δ Δ1 Δ2 Δn T
或
Δ u1 v1 u2 v2
un vn T
8-1 概述
19
平面刚架FP2 的单元
FP1
平面刚架的结点位移向量：
Δ 1 2 3 4 u1 v1 1 u2
5 6 7 8 9
局部坐标系中:
(e)
(e)
1
(e)
δ
δi
(e)
2
ui
v
i
F1 (e) F xi (e)
(e)
F
F i
(e)
F 2
F
yi
δ j 3 u j
F j F 3 F xj
32
四.坐标系选择
常用的三种坐标系
8-1 概述
坐标系示例
33
②
2
3
②
2
3
8-1 概述
34
y
① x
2②
x
y
v2 2 u3 v3 3
建筑结构力学--8位移计算2复习课程共34页
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
建筑结构力学--8位移计算2复习课程
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
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第八章矩阵位移法
一、基本内容及学习要求
本章内容包括：矩阵位移法的解题思路，单元刚度矩阵及其坐标变换，直接刚度法(先处理)，等效结点荷载以及矩阵位移法应用中的问题。
要求会用矩阵位移法计算结构的位移和内力。
通过本章的学习应达到：
(1)掌握矩阵位移法的解题思路和步骤，了解矩阵位移法与位移法的内在联系。
(2)建立单元坐标系下的单元刚度矩阵，明确单元刚度矩阵的特性及矩阵元素的物理概念。
(3)弄清坐标变换的含义，形成结构坐标系下的单元刚度矩阵。
(4)借助定位向量，熟练应用直接刚度法(先处理)形成结构刚度矩阵。
(5)计算综合结点荷载。
(6)利用结构刚度方程求解结点位移进而计算杆端内力。
二、学习指导
(一)矩阵位移法的解题思路与步骤
矩阵位移法与位移法的解题思路基本相同，两者的差异仅在于前者从机算考虑，采用矩阵使公式规格化，以适应程序设计的要求，故解题步骤和处理方法都有所不同。
为使读者抓住学习要领，现用简例扼要说明两者间的关系。
图8．1所示三跨连续梁承受结点集中力
偶作用。
用位移法求解时若将其转化为三根两
端固定梁，按以下步骤直接建立位移法方程。
(1)把三根梁作为三个单元，利用转角位
移方程将其杆端弯矩表示成杆端位移的函数
矩阵位移法和位移法两者比较，求解过程基本相同，关键不同之处在于矩
阵位移法利用了K的组合特性，解算时绕过平衡条件直接建立结构刚度矩阵。
下面对此作简要说明，使读者有大致的了解。
位移法通过单元刚度方程，利用平衡条件建立位移法方程，其系数由各单元刚度方程的系数组合而成。
矩阵位移法则借助各单元刚度矩阵的元素直接形成结构刚度矩阵，只要把单元刚度矩阵的元素按其附标放到结构刚度矩阵的相应位置(有一方附标为零或两方附标均为零的元素不进入)，再将同一位置的元素相加即可，故又称直接刚度法。
这一过程归纳为“对号入座、同位相加”，本题按此即得
读者把K的建立过程与式(g)对照，不难发现二者的共同之处，其差别仅在于位移法的处理较为直观，矩阵位移法更加直接却稍嫌繁琐，以分别适应手算和机算的要求。
读者了解这些特点，会使学习思路更加清晰。
(二)单元刚度矩阵
应用矩阵位移法必须首先进行单元分析，建立单元杆端力与杆端位移间的关系(单元刚度方程)，其目的是找到单元杆端力与杆端位移间的转换矩阵——单元刚度矩阵(以下简称“单刚”)。
单刚的形式和元素与所取坐标系关系密切，矩
阵位移法将分别用到以两种坐标系(单元坐标系和结构坐标系)表示的单刚，教材§9—2、§9—4分别对其物理意义及建立方法作了详细论述，下面重点说明几个问题。
1．单元坐标系下的单刚
(3)单刚的两个重要性质分别是：主对角线两侧对称位置上的元素相等(可由力的互等定理推出)，单刚是对称方阵；与单刚相应的行列式｜K C｜=0，说明单刚是不存在逆矩阵的奇异矩阵，即可用式(9—3)由杆端位移求杆端力，但不能用它从杆端力反求杆端位移。
(4)不同类型的单元有形式不同的单刚。
教材式(9—5)所示单刚对应两端刚结且三个方向均可发生位移的自由式单元，故称为自由式单元的单刚。
式(9—6)则为两端无线位移单元的单刚。
不考虑单元轴向变形，即不计杆端轴向位移对杆端力的影响时，轴向力不能由单元刚度方程求得，由图9—3b、c、e、f四种情况叠加，推得受弯直杆忽略轴向变形单元的单刚为
式(8．1)也可由自由式单元单刚同时删去第一、四行及第一、四列获得。
注意到位移法中等截面直杆的转角位移方程也忽略轴向变形，故式(8．1)与教材式(5—3)、(5—4)的系数矩阵相同(只是杆端位移及杆端力正负号的规定有所不同)。
当只考虑轴向杆端位移和杆端力(如桁架单元)时，由图9—3a、d可得只考虑轴向变形的轴力单元单刚为
式(8．2)也可从自由式单元的单刚同时删去第二、三、五、六行及第二、三、
五、六列得到。
上述单刚同样具有自由式单元单刚的两个重要性质。
(5)单刚形式与杆端位移(杆端力)分量的排列顺序密切相关，若调换某两个
杆端位移(杆端力)的顺序，则单刚中元素的位置也会相应改变，读者务必注意。
2．结构坐标系下的单刚
(1)结构坐标系又称整体坐标系。
一般情况下，由于结构杆轴方向各不相同，故各单元的单元坐标系也不统一。
如教材图9—9a所示刚架三个单元的单元坐标系均不相同(图9—9b)，造成汇交同一结点不同单元的杆端位移和杆端力方向不一致，不便考虑结点的变形协调条件和静力平衡条件。
为解决这一矛盾，只有通过坐标变换把所有用单元坐标系表示的杆端位移和杆端力，统一转换到按右手螺旋法则确定的Oxy结构坐标系才便于求解。
单元的杆端位移和杆端力是客观存在的，坐标变换只是用不同的分量来表示而已，如同一个力总可以分解为若干组不同的分力一样。
(三)直接刚度法(先处理)的解题要点
应用直接刚度法时，按支承条件的处理方式分为先处理和后处理两种。
先处理方式是本章重点，读者应全面掌握。
前面介绍过的矩阵位移法解题思路即属先处理，其具体做法是：
(1)以结点独立位移为基本未知量，建立结点位移列向量△。
对结构位移依
次编号时应注意刚结点有3个、铰结点有2个结点位移，已约束的结点位移不再编号。
忽略受弯杆件轴向变形(引用轴向刚度条件)时，该单元两端的轴向位移编号相同。
(不包含位移被约束方向
(2)建立与结点独立位移相应的结点荷载列向量F
P
的结点力)。
单元承受非结点荷载时，应将其化为等效结点荷载计算。
(3)写出单元在结构坐标系下的单刚K e。
根据变形协调和位移边界条件，利用单元定位向量λe将单元的局部位移码换成整体位移码(换码)。
将单刚元素按整体位移码“对号入座”输送到结构刚度矩阵K的相应位置。
(4)对所有单元依次重复步骤(3)，再将结构刚度矩阵中同一位置的单刚元素实行“同位相加”，最终形成结构刚度矩阵，其阶数与结点独立位移个数相同。
(5)求解结构刚度方程或由△=K-1F，计算结点独立位移列向量△。
(6)利用定位向量从△中取出相应的单元杆端位移，由各单元刚度方程分别计算其杆端力。
非结点荷载作用下的单元还要叠加单元固端力。
计算忽略杆件轴向变形的连续梁和刚架时，先处理方式的解题思路与位移法更为接近。
本章在学习指导中按先处理介绍矩阵位移法的思路与步骤，正是由于两者互通，便于对照。