三角形和性质(基础)知识讲解

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全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解

A．
B．
C． D．如图，在 5 个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.
类型二、全等三角形的对应边，对应角如图，△ABN≌△ACM，∠B 和∠C 是对应角，AB 与 AC 是对应边，写出其他对应边和对应角.
如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.
DF 4cm ，求：（1） 1 的度数；（2） AC 的长．
E
F
A
C D
1
B
如图，已知 △ ABC 中， AB AC 10 厘米， BC 8 厘米，点 D 为 AB 的中点．（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △BPD 与 △CQP 是否全等，
已知：△ABC≌△ADE，求证：∠BAE=∠DAC
顶点 C 与 B 对应，写出其他对应角及对应顶点． △ ABE 与 △ ACD 全等，D 与 E 对应，
ＡＤＭＮＥ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
如图 △ ABD ≌△ ACE ，试说明 EBD 与 DCE 的关系．
C
O B E
A 三、全等三角形性质
如图所示，Rt△EBC 中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以 B 为中心，将 Rt△EBC 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△ABD，求∠ADB 的度数.AB=3cm，AC=8cm，求 DE 的长.
全等三角形的概念和性质
一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE，BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；∠A 和∠D，∠B 和∠E， ∠C 和∠F 是对应角.

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质(基础)知识讲解三角形及其性质知识讲解三角形是几何学中最基本的图形之一，广泛应用于各个领域。

本文将对三角形及其性质进行详细的讲解。

一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段相互连接，构成一个封闭的图形。

三角形的名称通常是由连接它们的顶点表示，如ABC表示由线段AB、BC和CA所形成的三角形。

二、三角形的分类根据三角形的边长关系和角度关系，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1)等边三角形：三条边的长度都相等。

每个内角都为60度。

(2)等腰三角形：两条边的长度相等。

顶角所对的两边相等。

(3)普通三角形：三条边的长度各不相等。

2. 根据角度分类(1)锐角三角形：三个内角都小于90度。

(2)直角三角形：一个内角为90度。

较长的边称为斜边，与直角所对的边称为直角边。

(3)钝角三角形：一个内角大于90度。

三、三角形的性质三角形具有以下一些重要的性质：1. 三角形的内角和定理三角形的所有内角之和等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180度。

2. 三角形的外角和定理三角形的外角等于与之相对的内角之和。

即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A。

3. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分为两个相等的角。

三角形的角平分线相交于三角形的内心。

4. 三角形的中线三角形的中线是指连接一个顶点和对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。

5. 三角形的高线三角形的高线是指从一个顶点引垂线到对边上的垂足所形成的线段。

三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。

6. 三角形的外心三角形的外心是指过三角形三个顶点的圆的圆心。

在任何非等边三角形中，外心都存在且唯一。

四、三角形的应用三角形的性质在实际应用中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 三角形的距离计算通过已知的边长和角度，可以使用三角函数来计算三角形之间的距离。

三角形的分类与性质(知识点总结)

三角形的分类与性质（知识点总结）三角形是几何学中的基本图形之一，其分类与性质是我们学习和掌握三角形知识的基础。

本文将对三角形的分类以及其相关性质进行总结，以帮助读者更好地理解和应用相关概念。

一、三角形的分类根据三角形的边长长短和角度大小，三角形可以分为以下几类：1.按边长分类：（1）等边三角形：三条边的长度相等。

（2）等腰三角形：两条边的长度相等。

（3）普通三角形：三条边的长度各不相等。

2.按角度大小分类：（1）锐角三角形：三个内角均小于90度。

（2）直角三角形：其中一个内角为90度。

（3）钝角三角形：其中一个内角大于90度。

3.根据边长和角度分类的组合：根据边长和角度的不同组合，可以得到以下三角形的特殊分类：（1）等边等角三角形：即正三角形，三个内角均为60度，且三条边长度相等。

（2）等腰直角三角形：拥有一个直角，且两条腰的长度相等。

（3）等腰锐角三角形：拥有两个锐角，且两条腰的长度相等。

（4）等腰钝角三角形：拥有一个钝角，且两条腰的长度相等。

二、三角形的性质除了分类外，三角形还有一些重要的性质值得我们关注和记忆：1.内角和：任意三角形的三个内角和等于180度。

2.角的关系：（1）锐角三角形中，三个内角的大小按大小顺序排列即可。

(如A<B<C)（2）直角三角形中，其中一个内角为90度，另外两个内角互为补角。

（3）钝角三角形中，其中一个内角大于90度，另外两个内角的和小于90度。

3.边的关系：（1）等边三角形的三条边长度相等。

（2）等腰三角形的两个底角（等腰三角形两腰之间的夹角）相等。

（3）等腰直角三角形中，两条腰的长度相等，且斜边是两腰长度的平方和的平方根。

4.勾股定理：勾股定理是直角三角形最重要的定理，描述了直角三角形斜边平方等于两直角边平方和的关系。

5.海伦公式：海伦公式用于计算任意三角形的面积，公式为：面积 = （p * (p - a) * (p - b) * (p - c)）的平方根，其中p为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边长。

自学初中数学资料-三角形的定义与性质(资料附答案)

自学资料一、三角形的定义与性质【知识探索】1．三角形外角的性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；第1页共44页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．2．三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．【说明】三角形任意两边的差小于第三边．【错题精练】例1．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=42°，∠ACB=74°，则∠FDE=______．【解答】解：在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-42°-74°=64°在四边形AFDE中，∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=64°∴∠FDE=360°-90°-90°-64°=116°故答案为：116°【答案】116°例2．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是______．【解答】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠CBD1=12∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=12∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=12（∠ABC+∠ACB）=12×128°=64°，第2页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴∠BD1C=180°-1（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，2（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°，同理∠BD2C=180°-34（∠ABC+∠ACB）=180°-124°=56°．依此类推，∠BD5C=180°-3132故答案为：56°．【答案】56°例3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，AB=3cm，BC=2.5cm，△ABD的面积为2cm2，求△ABC的面积．【答案】解：在△ABD中，∵S△ABD=12AB•DE，AB=3cm，S△ABD=2cm2，∴DE=43cm…（2分）过D作DF⊥BC于F．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∴DF=43第3页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训cm…（4分）在△BCD中，BC=2.5cm，DF=43cm∴S△BCD=12BC•DF=53(cm)2…（6分）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，∴S△ABC=2+53=113(cm)2…（8分）例4．已知：如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC 的边AB、AC和CB的延长线于D、E、F．求证：∠F+∠FEC=2∠A．【答案】证明：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE=∠BDF，第4页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．例5．问题1如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是______研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是______研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．猜想：______理由问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是______．【解答】解：（1）根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）由图形折叠的性质可知，∠CEA′=180°-2∠DEA′…①，∠BDA′=180°-2∠A′DE…②，①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360°-2（∠DEA′+∠A′DE即∠BDA′+∠CEA′=360°-2（180°-∠A），故∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．证明如下：连接AA′构造等腰三角形，∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，得∠BDA'-∠CEA'=2∠A，（4）如图④，由图形折叠的性质可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，两式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．第5页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】∠BDA′=2∠A∠BDA′+∠CEA′=2∠A∠BDA′-∠CEA′=2∠A∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°例6．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．应用拓展：如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°-∠MON=30°，∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“和谐三角形”，故答案为：30；是；（2）证明：∵∠MON=60°，∠ACB=80°，∵∠ACB=∠OAC+∠MON，∴∠OAC=80°-60°=20°，∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC，∴△AOC是“和谐三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，第6页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD，∵AE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC=3∠B，或∠B=3∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∴∠B=36°或∠B=540°7．【答案】30°是【举一反三】1．如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，则∠BEC的度数是______．【解答】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD=65°+30°=95°，∠BEC=∠BDC+∠DCE=95°+30°=125°，故答案为125°．【答案】125°2．已知等腰三角形的周长为29，一边长为7，则此等腰三角形的腰长为______．【解答】解：若腰长为7，则底边=29-2×7=15，∵7+7＜15∴不能组成三角形第7页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训若底边为7，则腰长=（29-7）÷2=11故答案为11【答案】113．在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC、AD、CE的中点，且三角形ABC的面积等于4cm2，则三角形BEF的面积等于______cm2．【解答】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，高相等；∴S△BEF=12S△BEC，同理得，S△EBC=12S△ABC，∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=4cm2，∴S△BEF=1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故答案为：1．【答案】1第8页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训4．如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B′，C′，A′，且使BB′=AB，CC′=2BC，AA′=3AC．若S△ABC=1，那么S△A'B'C'是（）A. 15B. 16C. 17D. 18【解答】解：连接CB'，∵AB=BB'，∴S△BB'C=S△ABC=1，又CC'=2BC，∴S△B'CC'=2S△BB'C=2．∴S△BB'C'=3．同理可得S△A'CC'=8，S△A'B'A=6．∴S△A'B'C'=3+8+6+1=18．∴故选D．【答案】D5．如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E．（1）若∠B=35°，∠C=75°，求∠DAE的度数；（2）若∠B=α，∠C=β，且0°＜α＜β＜90°，试探究下列问题：①∠DAE=______（用含α、β的代数式表示）；②若点P为射线AD上任意一点（除点A、点D外），过点P作PQ⊥BC，垂足为Q（请在图2、图3中将图形补充完整），请用含α、β的代数式表示∠DPQ并说明理由．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠C=75°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=35°，∴∠DAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠C=75°，第9页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴∠EAC=90°-75°=15°，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-15°=20°；（2）①∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=（180-α-β）°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=12（180-α-β）°=90°-12α-12β，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠C=β，∴∠EAC=90°-β，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=（90°-12α-12β）-（90°-β）=12β-12α，故答案为：12β-12α；②如图，∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=12×（180°-α-β）=90°-12α-12β，∵∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-β-（90°-12α-12β）=90°-12β+12α，∴∠QDP=∠ADC=90°-12β+12α，∵PQ⊥BC，∴∠PQD=90°，∴∠DPQ=90°-∠PDQ=90°-（90°-12β+12α）=1 2β-12α，即∠DPQ=12β-12α．【答案】12β-12α第10页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训6．（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC两个内角∠ABC、∠ACB的平分线．①若∠A=70°，求∠BDC的度数．②∠A=α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A=α，请用含有α的代数式表示∠BEC的度数．【答案】解：（1）①∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A=180°，∴2∠DBC+2∠BCD+∠A=180°，∴2（180°-∠BDC）+∠A=180°，∴∠BDC=90°+12∠A，∵∠A=70°，∴∠BDC=90°+12×70°=90°+35°=125°．②∠A=90°+12α．（2）∵BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线，∴∠EBC=12∠MBC，∠BCE=12∠BCM，∵∠CBM、∠BCN是△ABC的两个外角∴∠CBM+∠BCN=360°-（180°-∠A）=180°+∠A∴∠EBC+∠BCE=12（∠MBC+∠BCN）=12（180°+∠A）=90°+12∠A，在△DBC中，∵∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A，且∠A=α，∴∠BEC=90°-12α．7．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C 不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是_______②当∠BAD=∠ABD时，求∠OAC；③当∠BAD=∠BDA时，求∠OAC．（2）如图2，若AB⊥OM，且D在线段OB上，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【解答】【答案】（1）①20∘②120∘③60∘（2）存在，x=20∘,30∘,50∘,125∘二、全等三角形【知识探索】1．能够重合的两个图形叫做全等形．两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形．两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角．【错题精练】例1．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（）（1）这两个三角形一定全等；（2）这两个三角形不一定全等；（3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等；（4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等．A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种【解答】解：两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足SSA，但是SSA不能判定三角形的全等．但当相等的角是钝角时，这两个三角形全等．则说法正确的只有（2）（4）．故选：B．【答案】B例2．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．【答案】证明：（1）∵BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，∴△BEC≌△DEA（HL）；（2）∵△BEC≌△DEA，∴∠B=∠D．∵∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF，∴∠BAF+∠B=90°．即DF⊥BC．例3．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．例4．如图，点F、G分别是正五边形ABCDE边BC、CD上的点，且BF=CG，AF与BG交于点H．（1）求证：△ABF≌△BCG（2）求∠AHG的度数．【答案】（1）证明：∵正五边形ABCDE，∴AB=BC，∠ABF=∠C，∴在△ABF和△BCG中AB=CB∠ABF=∠C BF=CGAB=CB∠ABF=∠CBF=CG，∴△ABF≌△BCG（SAS）；（2）解：∵△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠ABH=∠AHG，∴∠CBH+∠ABH=∠AHG=∠ABC=(5-2)180°5=108°．∴∠AHG=108°．例5．如图，点A、B、C在⊙O上，AĈ=CB̂．（1）若D、E分别是半径OA、OB的中点，如图1，求证：CD=CE．（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB=90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A、O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ的最小值．【答案】解：（1）连接CO．∵AĈ═CB̂，∴∠AOC=∠BOC，∵D、E分别是半径OA、OB的中点，∴OD=12OA，OE=12OB，∴OD=OE，在△ODC和△OEC中，∵OD=OE，∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△ODC≌△OEC（SAS）∴CD=CE；（2）当CP⊥OA时，∵∠AOB=90°，∠PCQ=90°，∴∠CQO=90°，即CQ⊥OB．∵∠AOC=∠BOC，∴CP=CQ，当CP与OA不垂直时，如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，M、N为垂足．∵∠AOC=∠BOC，∴CM=CN，又∵∠AOB=90°，∴∠MCN=90°，∴四边形CMON是正方形，∵∠PCQ=90°，∴∠PCM=∠QCN，∴△PCM≌△QCN（AAS）∴CP=CQ，∴PQ=√2CP，∴当CP取得最小值即CM的长时，PQ有最小值，∴PQ=√2CP≥√2CM=CO=4，PQ的最小值为4．【举一反三】1．下列4个判断：①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；②两个三角形的6个边．角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；其中正确判断的编号是______．【解答】解：①如图，△ABC与△ABC′中，AB=AB，AC=AC′，高AD相同，但是，△ABC与△ABC′不全等，，故选项错误；②设△ABC的三边长分别为AB=16AC=24，BC=36；△A′B′C′的三边长分别为A′B′=24A′C′=36，B′C′=54．由于△ABC与△A′B′C′的对应边成比例故△ABC∽△A′B′C′，从而它们有5个边角元素分别相等：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=A′B′，BC=A′C′，但它们不全等；故该选项错误；③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，如图：△ABC和△ACD，的边AC=AC，BC=CD，高AE=AE，但△ABC和△ACD不全等，故选项错误；④可根据SSS证明△ABD≌△A′B′D′以及利用SAS证明△ABC≌△A′B′C′，故选项正确．故选④．【答案】④2．如图，△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）BH=AC；（3）如果BC=14，AH=2，AC=10，求HE的长度．【答案】解：（1）∵AD，BE是△ABC的高∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°∴∠DBH=∠DAC；（2）由（1）题已得∠DBH=∠DAC，∵在△BDH和△ADC中，∠BDH=∠A DC BD=AD∠DBH=∠DAC∠BDH=∠A DCBD=AD∠DBH=∠DAC，∴△BDH≌△ADC（ASA），∴BH=AC；（3）由（2）题已证△BDH≌△ADC，∴HD=DC（设长度为x）设AD=BD=y，∵BC=14，AH=2，AC=10∴x+y=14，y-x=2．解得x=6，y=8，∵12×AC×BE=12×BC×AD，∴10×BE=14×8，解得BE=11.2，∴HE=BE-BH=11.2-10=1.2．3．如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD，求证：∠BAP+∠BCP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PD⊥BC，∴PD=PE，在Rt△BPE和Rt△BPD中，BP=BP PE=PDBP=BPPE=PD，∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL），∴BE=BD，∵AB+BC=2BD，∴BE-AE+BD+CD=2BD，∴AE=CD，在△APE和△CPD中，AE=CDPD=PE∠AEP=∠CDP=90°PD=PE∠AEP=∠CDP=90°AE=CD，∴△APE≌△CPD（SAS），∴∠BCP=∠PAE，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠BAP+∠BCP=180°．4．已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，（1）求证：DE=DF．（2）连接BC，求证：线段AD垂直平分线段BC．【答案】解：（1）如图，连接AD ．在△ACD 和△ABD 中，AC=AB CD=BD AD=ADAC=AB CD=BD AD=AD∴△ACD ≌△ABD （SSS ）． ∴∠FAD=∠EAD ，即AD 平分∠EAF ．又∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ， ∴DE=DF ．（2）∵△ACD ≌△ABD （已证）． ∴DC=DB ，∴点D 在线段BC 的垂直平分线上．又∵AB=AC∴点A 在线段BC 的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线， ∴AD 垂直平分BC ．5．如图，AĈ是劣弧，M 是AC ̂的中点，B 为AM ̂上任意一点．自M 向BC 弦引垂线，垂足为D ，求证：AB+BD=DC ．【答案】证明：在CD 上取点N ，使CN=AB ，连接CM ，MN∵M 是AC ̂的中点， ∴AM̂=CM ̂， ∴AM=CM （等弧对等弦），又∵∠BAM=∠BCM ，在△ABM 和△CNM 中，{CN=AB∠BAM=∠BCMAM=CM，∴△ABM≌△CNM（SAS），∴BM=MN，∴△BMN为等腰三角形（BN为底），又∵MD⊥BN，∴D为BN中点（等腰三角形三线合一），∴BD=DN∴AB+BD=CD．三、等腰三角形【知识探索】1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形2．三边都相等的三角形叫做等边三角形．【说明】等边三角形的三边都相等，它是特殊的等腰三角形．【错题精练】例1．如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（）A. 0.4cm2B. 0.5cm2C. 0.6cm2D. 0.7cm2【解答】解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EB P BP=BP∠APB=∠EPB∠ABP=∠EB PBP=BP∠APB=∠EPB，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE，∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，∴S△PBC=12S△ABC=12×1cm2=0.5cm2，故选：B．【答案】B例2．如图，在△ABC中，AB=AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB=8，∠C=60°，求阴影部分的面积；（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．例3．如图钢架中，∠A=n°，依次焊上等长的钢条P1P2，P2P3，…，来加固钢架，若P1A=P1P2，要使得这样的钢条只能焊上4根，则n的取值范围是______．【解答】解：∵AP1=P1P2，P1P2=P2P3，P3P4=P2P3，P3P4=P4P5，∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P3P1，∠P3P2P4=∠P3P4P2，∠P4P3P5=∠P4P5P3，∴∠P3P5P4=4∠A，∵要使得这样的钢条只能焊上4根，∴∠P5P4C=5∠A，由题意4n＜905n≥904n＜905n≥90，∴18≤n＜22.5，故答案为：18≤n＜22.5．【答案】18≤n＜22.5例4．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=3，ON=7，点P是直线OB 上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有______个．【解答】解：过M作MM′⊥OB于M′，过N作NN′⊥OB于N′，∵OM=3，ON=7，∠AOB=45°，∴MN=4，MM′=OM×sin45°=32√2＜4，NN′=ON×sin45°=72√2＞4，MH=M′N′=4×sin45°=2√2＜4，所以只有一小两种情况：①以M为圆心，以4为半径画弧，交直线OB于P1、P2，此时△NP1M和△NMP2都是等腰三角形；②作线段MN的垂直平分线，交直线PB于P3，此时△MNP3是等腰三角形，即有3个点P符合，故答案为：3．【答案】3例5．如图，D和E分别是△ABC的边BC和AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则下列说法正确的是（）A. 当∠1为定值时，∠CDE为定值B. 当∠2为定值时，∠CDE为定值C. 当∠3为定值时，∠CDE为定值D. 当∠B为定值时，∠CDE为定值【解答】解：A∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠ADC=∠1+∠B，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠1+∠B-∠CDE，∵AD=AE，∴∠ADE=∠3=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B，∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B，∴∠1=2∠CDE，∴当∠1为定值时，∠CDE为定值，故选：A．【答案】A例6．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（）A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 不能确定【解答】解：本题分两种情况讨论：（1）当BD在三角形内部时，AB，∠ADB=90°，∵BD=12∴∠A=30°；（2）当BD在三角形外部时，AB，∠ADB=90°，∵BD=12∴∠DAB=30°，∠ABC=180°-∠DAB=30°=150°．故选：C．【答案】C例7．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有______个．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个，故答案为：8【答案】8例8．等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．【答案】解：在△ABC 中，AB=AC ，BD 是中线，设AB=x ，BC=y（1）当AB+AD=12时，则{x +12x =12y +12x =15，解得{x =8y =11．∴三角形三边的长为8、8、11；（2）当AB+AD=15时，则{x +12x =15y +12x =12，解得{x =10y =7．∴三角形三边的长为10、10、7经检验，两种情况均符合三角形三边关系定理因此这个三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．例9．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=30°，点D 从点B 出发，沿B→C 方向运动到点C （D 不与B ，C 重合），连接AD ，作∠ADE=30°，DE 交线段AC 于点E ，设∠BAD=x°，∠AED=y°．（1）当BD=AD 时，求∠DAE 的度数；（2）求y 与x 的关系式；（3）当BD=CE 时，求x 的值．【答案】解：（1）当BD=AD 时，∠B=∠BAD=30°，∵△ABC 等腰三角形，∴∠BAC=120°，∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90° （2）由题可知，∠BAD+∠DAE=120°即x+∠DAE=120 ∠AED+∠DAE=180°-∠ADE=150°即y+∠DAE=150 两式相减得y-x=30即y=x+30（3）由题可知，∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC 且∠B=∠ADE=30° ∴∠BAD=∠EDC=x 又∵∠B=∠C 和BD=CE ∴△ABD ≌△DCE∴CD=AB=AC∴△ACD为等腰三角形且∠C=30°∴∠DAE=75°∴x=∠BAC-∠DAE=120°-75°=45即x=45【举一反三】1．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（）A. 70° B. 45° C. 36° D. 30°【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=180°−x2可得2x=180°−x，2解得：x=36°，则∠A=36°，故选：C．【答案】C2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，∵∠BAC=108°，AD、AE三等分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴∠DAC=∠BAE=72°，∴∠AEB=∠ADC=72°，∴BD=AD=AE=CE，AB=BE=AC=CD，∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，∴一共有6个等腰三角形．故选：D．【答案】D3．如图，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，已知AG⊥BD，AF⊥CE，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为______．【解答】解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的角平分线，则在△ABD和△GBD中，BD=BD∠ADB=GDB∠ABD=∠GBD∠ABD=∠GBDBD=BD∠ADB=GDB，∴△ABD≌△GBD，∴AB=BG．即△ABG是等腰三角形，同理：△ACF也是等腰三角形．∴AB=BG，AC=CF，又∵AG⊥BD，AF⊥CE，∴E、D分别是AF和AG 的中点，∴ED是△AFG的中位线，∴FG=2DE，则△ABC的周长为：AB+BC+AC=BG+CG+BC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG，由BF=2，ED=3，GC=4，FG=2DE=6得△ABC的周长为30．故答案为：30．4．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，该等腰三角形的顶角等于______．【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=40°，∴∠A=50°，即顶角的度数为50°．②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=130°．故答案为50°或130°．【答案】50°或130°5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角为______．【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，由已知可知，∠ABD=30°，又BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠ABC=∠C=60°．当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，由已知可知，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∴∠C=∠ABC=30°．故答案为：60°或30°．【答案】60°或30°6．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取AE=AC，BD=BC．求证：∠DCE=45°．【答案】证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵AC=AE，BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=12（180°-∠B），∠ACE=∠AEC=12（180°-∠A），∴∠BCD+∠ACE=180°-12（∠A+∠B）=135°，∴∠DCE=∠BCD+∠ACE-∠ACB=135°-90°=45°．7．如图所示，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF，求证：EF=BC．【答案】证明：∵CA=CB，∴∠B=∠A，又∵∠DCA=2∠FCA，∠DCA=∠A+∠B=2∠A，∴∠FCA=∠A．∴CF∥AB．又∵∠FCA=∠FEA（同弧所对的圆周角相等），∴∠FEA=∠B．∴BC∥EF．∴四边形CFEB为平行四边形．∴EF=BC．8．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=105°．（1）求∠DAC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长．【答案】解：（1）∵AB=AC，̂=AĈ，∴AB∴∠ABC=∠ACB，̂的中点，∵D为AĈ=CD̂，∴AD∴∠CAD=∠ACD，̂=2AD̂，∴AB∴∠ACB=2∠ACD，又∵∠DAE=105°，∴∠BCD=105°，×105°=35°，∴∠ACD=13∴∠CAD=35°；（2）∵∠DAE=105°，∠CAD=35°，∴∠BOC=80°，∴弧BC的长=80•π×32360=2π．1．等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A. 顶角B. 底角C. 顶角的一半D. 底角的一半【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，则AE平分∠BAC，∴∠2=12∠A，∵BD⊥AC，∴∠1+∠C=90°，又∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，∴∠1=12∠A，即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故选：C．【答案】C2．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是______；在△ACD中∠C所对的边是______；在△ABD中边AD所对的角是______；在△ACD中边AD 所对的角是______．【解答】解：在△ABC中∠C所对的边是AB；在△ACD中边AD所对的角是∠C；故答案为：AB；AD；∠B；∠C．【答案】ABAD∠B∠C3．如图，△ABC中，∠A=96°，D是BC延长线上的一点，∠ABC与∠ACD（△ACB的外角）的平分线交于A1点，则∠A1=______度；如果∠A=α，按以上的方法依次作出∠BA2C，∠BA3C…∠BA n C（n为正整数），则∠A n=______度（用含α的代数式表示）．【解答】解：∵∠ABC与∠ACD（△ACB的外角）的平分线交于A1点，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1=180°-（∠A1BC+∠A1CB）=180°-（12∠ABC+12∠ACD+∠ACB）=180°-[12∠ABC+12（∠ABC+∠A）+∠ACB]=180°-[∠ABC+∠ACB+12∠A]=180°-[180°-∠A+12∠A]=12∠A．∵∠A=96°，∴∠A1=48°．∵∠A=α，依此类推可知∠A n=12nα度．【答案】4812nα4．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是______．【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【答案】γ=2α+β5．如图：将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．（1）若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2；∠A与∠1之间的关系；（不必证明）（2）若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式；（不必证明）（3）若折成图⑤，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式．（不必证明）【答案】解：延长BD、CE，交于点P；则△BCP即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE=∠DPE．图①中：连接AP；由三角形的外角性质知：∠1=∠DAP+∠DPA，∠2=∠EAP+∠EPA；则∠1+∠2=∠DAE+∠DPE=2∠DAE，即∠1+∠2=2∠A．图②中：由三角形的外角性质知：∠2=∠DPE+∠DAE=2∠DAE，即∠2=2∠A．图③中：∠1=2∠A，解法同图②．图④中：由三角形的外角性质，知：∠2=∠3+∠P，∠3=∠1+∠A，即∠2=∠P+∠1+∠A=2∠A+∠1，故∠2-∠1=2∠A．图⑤中：∠1-∠2=2∠A，解法同图④．故当点A落在四边形BCDE内部，∠1+∠2=2∠A．（1）图②中，∠2=2∠A；图③中，∠1=2∠A．（2）图④中，∠2-∠1=2∠A．（3）图⑤中，∠1-∠2=2∠A．6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．若△ABC的周长为35，BC=11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AB，AC的长．【答案】解：∵AD是BC边上的中线，△ABD与△ACD的周长差为3，∴AB-AC=3，∵△ABC的周长为35，BC=11，∴AB+AC=35-11=24，∴AC+3+AC=24，解得：AC=10.5，∴AB=13.5．7．已知△ABC．（1）如图1，若P点为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，试说明：∠P=90°+12∠A；（2）如图2，若P点为∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试说明：∠P=12∠A；（3）如图3，若P点为外角∠CBD和∠BCE的角平分线的交点，试说明：∠P=90°-12∠A．【答案】证明：（1）∠P=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12（180°-∠A）=90+12∠A（2）∠P=∠PCD-∠PBD=12∠ACD-12∠ABC=12∠A（3）∠P=180°-12∠CBD-12∠BCE=180°-12（∠CBD+∠BCE）=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-12（180°+∠A）=90°-12∠A．8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．【答案】解：PB+PC＞AB+AC．如图，在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，连接EP，由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP=∠EAP，又AP是公共边，AE=AC，在△ACP与△AEP中，{AE=AC∠EAP=∠CAPAP=AP，∴△ACP≌△AEP（SAS），从而有PC=PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，而BE=AB+AE=AB+AC，故PB+PE＞AB+AC，所以PB+PC＞AB+AC．9．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AĈ上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD．（1）试判断△CDE的形状，并加以证明．（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的长．证明如下：如图1，连接AC、BC，则∠DAC=∠DBC，∵AB为直径，CO⊥AB，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，在△ADC和△BEC中{AD=BE∠DAC=∠EBCAC=BC∴△ADC≌△BEC（SAS），∴CD=CE，∠DCA=∠BCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∴∠DCA+∠ACE=90°，即∠DCE=90°，∴△CDE为等腰直角三角形；（2）如图2，连接OD，则∠AOD=2∠ABD=2×15°=30°，∵∠AOC=90°，∴∠DOC=60°，且OD=OC=OA=4，∴△OCD为等边三角形，∴CD=CE=OA=4，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE=√CD2+CE2=√42+42=4√2．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为AĈ的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=126°，则∠CAD等于（）A. 36°B. 42°C. 38°D. 27°【解答】解：∵AO⊥BC，且AO是⊙O的半径，∴AO垂直平分BC，∴AB=AC，即∠ABC=∠ACB，̂的中点，∵D是AC∴∠ABC=2∠DCA=2∠DAC，∴∠ACB=2∠DCA，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=∠DAE=126°，∴∠ACB+∠DCA=126°，即3∠DCA=126°，∴∠DAC=∠DCA=42°．故选：B．【答案】B11．一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（）A. 72°或45°B. 45°或36°C. 36°或45°D. 72°或90°【解答】解：①设三角形底角为x，顶角为2x，则x+x+2x=180°，解得：x=45°，②设三角形底角为2x，顶角为x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴2x=72°，综上所述，这个三角形底角为72°或45°，故选：A．【答案】A12．如图钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…至多需要8根加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A的取值范围为______．【解答】解：设∠A=x，∴∠P2P1P3=2x，∴∠P3P2P4=3x，…，∠P8P9P7=8x，∴8x≤90°且9x＞90°，则10°≤∠A＜11.25°．故答案为：10°≤∠A＜11.25°．【答案】10°≤∠A＜11.25°13．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=BD=BC，求∠A的度数；（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE．①若∠EDM=84°，求∠A的度数：②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），直接写出∠A的取值范围．【答案】解：（1）设∠A=x°，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°；（2）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得：∠A=21°；②∵以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外）∴E到射线AM的距离大于DE，∴90°≤∠EDM＜120°，14．在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=______（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=______（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：______（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°．（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°．∠BAD）（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=12（4）仍成立，理由如下∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠BAD=2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC=1∠BAD2【答案】15°20°∠BAD∠EDC=1215．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，（1）求证：FG⊥DE；（2）若BC=16，ED=4，求FG的长．（结果保留根号）【答案】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，BC，∴在Rt△CEB中，EF=12在Rt△BDC中，FD=1BC，2∴FE=FD，∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，∴FG⊥DE；（2）解：由（1）得，EF=1BC=8，2∵FE=FD，G是ED的中点，∴EF=1ED=2，2在Rt△FGE中，FG=√EF2−EG2=4√15．。

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质(基础）知识讲解【学习目标】1、理解三角形及与三角形有关得概念,掌握它们得文字、符号语言及图形表述方法、2、理解三角形内角与定理得证明方法;3、掌握并会把三角形按边与角分类4、掌握并会应用三角形三边之间得关系、5、理解三角形得高、中线、角平分线得概念，学会它们得画法、【要点梳理】要点一、三角形得定义由不在同一条直线上得三条线段首尾顺次相接所组成得图形叫做三角形、要点诠释:(1)三角形得基本元素:①三角形得边：即组成三角形得线段;②三角形得角:即相邻两边所组成得角叫做三角形得内角,简称三角形得角；③三角形得顶点:即相邻两边得公共端点、（2）三角形得定义中得三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”、(3)三角形得表示:三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C得三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABＣ”,注意单独得△没有意义；△ABC得三边可以用大写字母AB、BC、ＡC来表示，也可以用小写字母ａ、b、c来表示，边BＣ用a表示,边AC、AB分别用b、c 表示、要点二、三角形得内角与三角形内角与定理：三角形得内角与为180°、要点诠释:应用三角形内角与定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角得度数可以求出第三个角得度数;②已知三角形三个内角得关系,可以求出其内角得度数；③求一个三角形中各角之间得关系、要点三、三角形得分类１、按角分类:要点诠释:①锐角三角形：三个内角都就就是锐角得三角形；②钝角三角形：有一个内角为钝角得三角形、2、按边分类:要点诠释:①不等边三角形:三边都不相等得三角形；②等腰三角形:有两条边相等得三角形叫做等腰三角形,相等得两边都叫做腰,另外一边叫做底边，两腰得夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等得三角形、要点四、三角形得三边关系定理:三角形任意两边之与大于第三边、推论:三角形任意两边之差小于第三边、要点诠释:(1)理论依据:两点之间线段最短、(2)三边关系得应用：判断三条线段能否组成三角形,若两条较短得线段长之与大于最长线段得长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形、当已知三角形两边长,可求第三边长得取值范围、(３)证明线段之间得不等关系、要点五、三角形得三条重要线段三角形得高、中线与角平分线就就是三角形中三条重要得线段,它们提供了重要得线段或角得关系，为我们以后深入研究三角形得一些特征起着很大得帮助作用，因此,我们需要类型一、三角形得内角与ﻩ1、证明:三角形得内角与为18０°、【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠Ｂ+∠C=180°、证法1:如图１所示，延长BC到Ｅ,作CD∥AB、因为AB∥ＣD(已作),所以∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠B=∠2（两直线平行,同位角相等)、又∠ACB+∠1+∠２=1８0°(平角定义),所以∠ACB+∠A＋∠Ｂ=１８０°(等量代换)、证法2：如图2所示,在ＢC边上任取一点D,作DE∥AB,交AＣ于E，DF∥AC,交AB于点F、因为DＦ∥ＡC（已作),所以∠1=∠C（两直线平行,同位角相等),∠2=∠DＥC（两直线平行,内错角相等)、因为DE∥AＢ（已作）、所以∠3=∠Ｂ,∠DEＣ=∠Ａ（两直线平行,同位角相等)、所以∠A=∠2(等量代换)、又∠1+∠2+∠3=180°(平角定义),所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换)、２、在△AＢC中,已知∠Ａ+∠Ｂ=80°,∠Ｃ=2∠B,试求∠A,∠B与∠Ｃ得度数、【思路点拨】题中给出两个条件:∠A＋∠B＝80°,∠C=2∠B,再根据三角形得内角与等于180°，即∠A+∠B+∠Ｃ＝180°就可以求出∠A,∠Ｂ与∠C得度数、【答案与解析】解:由∠A+∠B＝80°及∠A+∠Ｂ+∠C＝180°,知∠C=100°、又∵∠Ｃ＝2∠B,∴∠B=50°、∴∠A=80°－∠B＝80°-50°＝３0°、【总结升华】解答本题得关键就就是利用隐含条件∠Ａ＋∠B+∠C＝1８０°、本题可以设∠B=x,则∠A=8０°-x,∠C＝2ｘ建立方程求解、【变式】已知,如图,在△AＢC中,∠Ｃ=∠AＢC=2∠Ａ，BD就就是AC边上得高,求∠ＤBC 得度数、【答案】解:已知△ABC中,∠C=∠ＡＢＣ=2∠A设∠A＝x 则∠C=∠AＢC=２ｘx＋2x+2ｘ=180°解得:ｘ=36°∴∠C=2x＝72°在△BDC中, BD就就是ＡＣ边上得高,∴∠BDC=90°,,∴∠DBC=180°-9０°-72°＝１8°类型二、三角形得分类3、一个三角形得三个内角分别就就是75°、30°、75°，这个三角形就就是( )Ａ锐角三角形 B 等腰三角形 C 等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中,一个内角得度数等于另外两个内角得与得2倍,这个三角形就就是( )三角形A 锐角B 直角Ｃ钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角与就就是1８0°以及已知条件,可以得到其中较大内角得度数为1２０°,所以三角形为钝角三角形、类型三、三角形得三边关系４、 (四川南充)三根木条得长度如图所示,能组成三角形得就就是()【思路点拨】三角形三边关系得性质,即三角形得任意两边之与大于第三边,任意两边之差小于第三边、注意这里有“两边”指得就就是任意得两边，对于“两边之差”它可能就就是正数,也可能就就是负数,一般取“差”得绝对值、【答案】D【解析】要构成一个三角形、必须满足任意两边之与大于第三边、在运用时习惯于检查较短得两边之与就就是否大于第三边、A、B、C三个选项中,较短两边之与小于或等于第三边、故不能组成三角形、D选项中,2cm+3ｃｍ>4cm、故能够组成三角形、【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形得简易方法就就是:①判断出较长得一边；②瞧较短得两边之与就就是否大于较长得一边，大于则能够成三角形,不大于则不能够成三角形、举一反三:【变式】判断下列三条线段能否构成三角形、（1) 3,４,5; （2) 3，５,9 ； (３) 5，５，8、【答案】(１)能; (2)不能; (3)能、5、若三角形得两边长分别就就是２与7,则第三边长c得取值范围就就是＿_＿_＿__、【答案】【解析】三角形得两边长分别就就是2与7，则第三边长c得取值范围就就是│2-7│<c<2+7,即5<ｃ<９、【总结升华】三角形得两边a、b，那么第三边ｃ得取值范围就就是│ａ-b│<c＜a+b、举一反三:【变式】(浙江金华）已知三角形得两边长为４，8，则第三边得长度可以就就是________(写出一个即可)【答案】５,注:答案不唯一,填写大于4,小于１2得数都对、类型四、三角形中重要线段６、(江苏连云港）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为４，9,12,如何求这个三角形得面积?”小明提示:“可通过作最长边上得高来求解、”小华根据小明得提示作出得图形正确得就就是()、【答案】C;【解析】三角形得高就就就是从三角形得顶点向它得对边所在直线作垂线,顶点与垂足之间得线段、解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对得顶点、然后过这个顶点作最长边得垂线即得到三角形得高、【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在得直线交于一点、这里一定要注意钝角三角形得高中有两条高在三角形得外部、【变式】如图所示,已知△ＡBC,试画出△ABC各边上得高、【答案】解:所画三角形得高如图所示、7、如图所示,CD为△AＢＣ得AＢ边上得中线，△BCD得周长比△ＡCD得周长大3cm,BC=8cm,求边ＡC得长、【思路点拨】根据题意,结合图形，有下列数量关系:①AD=BＤ,②△BCD得周长比△ACD得周长大3、【答案与解析】解:依题意:△BCD得周长比△AＣD得周长大3cm,故有:BC+CD+BD-(AC+ＣD+AD)=3、又∵CD为△ABC得AB边上得中线,∴AD=ＢＤ,即BC-ＡC=3、又∵BC=8，∴AC=5、答:ＡC得长为5ｃm、【总结升华】运用三角形得中线得定义得到线段ＡＤ＝BD就就是解答本题得关键，另外对图形中线段所在位置得观察,找出它们之间得联系,这种数形结合得数学思想就就是解几何题常用得方法、举一反三：【变式】如图所示,在△ABC中,D、E分别为BC、ＡＤ得中点,且，则为＿______＿、【答案】1一、选择题１、一位同学用三根木棒拼成如图所示得图形,其中符合三角形概念得就就是( )2、如图所示得图形中,三角形得个数共有()Ａ、1个B、2个C、３个D、４个3、任何一个三角形至少有( )个锐角Ａ、１Ｂ、2 C、3 Ｄ、不能确定４、已知三角形两边长分别为4 cｍ与９cm，则下列长度得四条线段中能作为第三边得就就是()Ａ、13 ｃm B、6 cｍC、5 cｍD、4cm5、为估计池塘两岸A、B间得距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得ＰA=16m,PB=12ｍ,那么AB间得距离不可能就就是( ）A、5m Ｂ、15m C、２0ｍD、28m第八题6、三角形得角平分线、中线与高都就就是（)A、直线B、线段Ｃ、射线Ｄ、以上答案都不对7、下列说法不正确得就就是()Ａ、三角形得中线在三角形得内部Ｂ、三角形得角平分线在三角形得内部Ｃ、三角形得高在三角形得内部D、三角形必有一高线在三角形得内部８、如图,AＭ就就是△ABC得中线,那么若用S1表示△ABM得面积，用Ｓ2表示△ＡＣＭ得面积,则Ｓ1与S2得大小关系就就是（)A、S1>Ｓ2B、S1<Ｓ2C、S1＝Ｓ2D、以上三种情况都有可能９、若△AＢC得∠A=60°，且∠B:∠C=2:１,那么∠B得度数为（)A、4０°B、80°C、60°D、１２0°二、填空题10、三角形得三边关系就就是＿_______,由这个定理我们可以得到三角形得两边之差____＿_＿_第三边,所以，三角形得一边小于_____＿_＿并且大于_＿__＿_＿_、１1、如果三角形得两边长分别就就是3 ｃｍ与6 cm,第三边长就就是奇数,那么这个三角形得第三边长为__＿___＿_ｃｍ、１2、已知等腰三角形得两边分别为4cm与７ｃm，则这个三角形得周长为_____＿__、１3、如图,ＡＤ就就是△ＡBC得角平分线,则∠___＿__=∠__＿___＝∠__＿____;BＥ就就是△ABC得中线,则＿_______＝＿__＿＿__＝_＿_____＿;ＣＦ就就是△ABC得高，则∠_＿_＿__＿＿＝∠_＿______=90°,ＣF_____＿_＿ＡB、14、如图,ＡＤ、AＥ分别就就是△ABC得高与中线,已知ＡD＝５ｃm,CE＝6cｍ,则△AＢＥ与△AＢC得面积分别为___＿＿＿___＿_＿_＿_＿、15、在△ABC中,（１）若∠A:∠B:∠C＝1：2:3,则∠A=＿___＿_＿,∠Ｂ＝＿_____＿,∠C=__＿____,此三角形为_______三角形；(2)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为_＿_____＿三角形、三、解答题16、判断下列所给得三条线段就就是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，ａcm(0＜ａ<1０）;(2)ａ+1,ａ+2,ａ+3;(３)三条线段之比为2：3:5、17、如图,在△ABＣ中,∠BＡD＝∠CAD,AＥ＝CＥ,AG⊥BＣ,AD与BＥ相交于点F,试指出AD、AF分别就就是哪两个三角形得角平分线,BＥ、DE分别就就是哪两个三角形得中线?AG 就就是哪些三角形得高?１8题18、如图所示，已知AD,ＡＥ分别就就是ΔABＣ得中线、高，且AB=５cm,AC＝3cm,则ΔABD 与ΔACD得周长之差为多少,ΔABD与ΔACＤ得面积有什么关系、19、利用三角形得中线，您能否将图中得三角形得面积分成相等得四部分(给出3种方法）？。

三角形知识点总结完

三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （RtA^RtA）2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

结论总结：①高二亘边【即： AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即：S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④斜边中线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

”）5、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高二直角边的乘积斜边（1）线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点人、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点乂、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。

三角形的特征与性质知识点总结

三角形的特征与性质知识点总结三角形是几何学中最基本的图形之一，其特征与性质是我们学习和应用几何学的基础。

本文将对三角形的特征与性质进行总结，并介绍其相关知识点。

一、三角形的定义与基本特征三角形是由三条线段构成的图形，它有三个顶点、三条边和三个内角。

三角形的基本特征包括：1. 三角形的边：三角形有三条边，用线段统一表示为AB、BC和CD。

2. 三角形的顶点：三角形有三个顶点，用大写字母A、B和C表示。

3. 三角形的内角：三角形有三个内角，用小写字母a、b和c表示。

二、三角形的分类根据三角形的特征和性质，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边的长度分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等，如ABC为等边三角形。

b. 等腰三角形：两条边的长度相等，如AB=AC的三角形。

c. 普通三角形：三条边的长度都不相等，如AB≠BC≠CA的三角形。

2. 根据角的大小分类：a. 直角三角形：其中一个内角为直角（90度），如∠A=90°的三角形。

b. 钝角三角形：其中一个内角为钝角（大于90度），如∠A>90°的三角形。

c. 锐角三角形：三个内角都为锐角（小于90度），如∠A、∠B 和∠C都小于90°的三角形。

三、三角形的性质三角形具有一些重要的性质，它们对于解决几何问题非常有用。

以下是一些重要的三角形性质：1. 三角形内角和性质：三角形的三个内角之和为180度，即a + b +c = 180°。

2. 三角形的外角性质：三角形的每个外角等于其对应内角的补角。

3. 三角形的边长关系性质：a. 三角形两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。

b. 两边之差小于第三边，即|AB - BC| < AC，|AC - BC| < AB，|AB - AC| < BC。

4. 三角形的角度关系性质：a. 在锐角三角形中，最大的角所对的边也最长，最小的角所对的边也最短。

相似三角形的性质与判定专题讲义(基础)(精)

相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理(一、相似三角形的性质:1、相似三角形的对应角 ,对应边。

2、相似三角形的对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于。

3、相似三角形对应周长的比等于。

4、相似三角形对应面积的比等于。

注意:在运用相似三角形的性质解题时,一定要确定好对应边、对应角;若果不能确定,则应当进行分类讨论。

(二、相似三角形的判定: 1、判定两个三角形相似的条件:(1平行截割: _____(2两角对应相等: (3两边夹: (4三边比:_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤:(1先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角 (2若只能找到一对对应角相等,则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。

(3若找不到相等的角,就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积,化等比;横找、竖找定相似;不相似,莫生气,等线等比来代替。

二、基础练习1.(2013•重庆已知△ABC ∽△DEF ,若△ABC 与△DEF 的相似比为3:4,则△ABC 与△DEF 的面积比为( A .4:3B .3:4C .16:9D .9:162.两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ,它们的面积之差为32cm 2,那么小三角形的面积为( A .10cm 2B .14cm 2C .16cm 2D .18cm 23.如图,已知△ABC ,AB=6,AC=4,D 为AB 边上一点,且AD=2,E 为AC 边上一点(不与A 、C 重合,若△ADE 与△ABC 相似,则AE=( A .2B .34C .3或43D .3或345.如图,D 、E 分别是AC ,AB 上的点,∠ADE =∠B ,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点F.若AD =3,AB=5,求: (1AGAF;(2△ADE 与△ABC 的周长之比;ABCDEF三、重难点高效突破专题一:计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是:1、运用勾股定理计算;2、运用相似三角形对应边成比例计算;3、综合运用进行计算。

(完整版)直角三角形的性质和判定

直角三角形的性质和判定一、知识要点1、直角三角形的性质：(1)在直角三角形中，两锐角 _____________________ ;(2) _________________________________________ 在直角三角形中，斜边上的中线等于■勺一半；(3) _______________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 _________________________________ ;(4) ________________________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ____________________ 。

2、直角三角形的判定：(1) ____________________ 有一个角等于■勺三角形是直角三角形；(2) ____________________ 有两个角■勺三角形是直角三角形；(3) _________________________________________ 如果三角形一边上的中线等于这条边的 ____________________ 那么这例2、如图，在Rt△ ABC中, CD是斜边上的中线, CEL AB 已知AB=10cm DE=2.5crr，求CD和/ DCE个三角形是直角三角形。

二、知识运用典型例题例1、在厶ABC中，/ C=90°，/ A=30°, CD丄AB,⑴若BD=8求AB的长；(2)若AB=8求BD的长。

例3、如图，在△ ABC 中，/ C=90°，Z A=x °，Z B=2 x。

决战中考之三角形专项突破专题01 三角形的基本概念和性质(老师版)

专题01 三角形的基本概念和性质知识对接考点一、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.专项训练一、单选题1．（2021·福建九年级其他模拟）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（）A．GD，EI，MH B．GF，EF，MF C．DE，GH，MI D．AD，AG，GD 【答案】A【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．【详解】A、拿掉GD，EI，MH后，剩下的图形如下：图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；B、拿掉GF，EF，MF后，剩下的图形如下：图形中有4个三角形，此项不符题意；C、拿掉DE，GH，MI后，剩下的图形如下：图形中有6个三角形，此项不符题意； D 、拿掉AD ，AG ，GD 后，剩下的图形如下：图形中有9个三角形，此项不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．2．（2021·黑龙江九年级三模）有长度分别为1,2,3cm cm cm 的小木棒若干，从中任取三根首尾顺次相接组成三角形，则能组成形状不同的三角形（） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分类讨论即可．【详解】解：∵1+2=3，∵三边长只能组成等边三角形或者等腰三角形，∵长度分别为1,1,1cm cm cm ，2,2,2cm cm cm ，3,3,3m cm cm 组成等边三角形，边长不等，但形状相同，则为一种；∵当两边长相等时有：2,2,1cm cm cm ，3,3,1cm cm cm ，2,2,3cm cm cm ，3,3,2cm cm cm ，4种形状不同的三角形；因此共有5种，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键在于根据任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分析．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级其他模拟）锐角∵ABC中，∵B＝45°，BC则AC的长可以是（）A．1B C D【答案】D【分析】作CD∵AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD∵AB于D，如图所示：∵∵B＝45°，∵∵BCD是等腰直角三角形，∵BD＝CD＝sin=1BC B，∵BCD＝45°，当AC＝1时，点D与A重合，∵ABC是直角三角形，选项A不符合题意；当AC1AD CD==，则∵ACD是等腰直角三角形，∵ACD＝45°，∵∵ACB＝90°，∵ABC是直角三角形，选项B不符合题意；当AC AC＜CD，∵∵ACD＞∵A，则∵ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；当AC时，12AD CD ==<∵∵ACD＜∵A，则∵ABC是锐角三角形；选项D符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）如图，在Rt ABC 中，∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∵A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点，连接PM ，则线段PM 的最大值是（）A ．4B ．2C ．3D．【答案】C 【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接PC ， ∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°， ∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==， ∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==，∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线，故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·福建省同安第一中学）下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A ．3，4，8 B ．5，6，11C ．4，4，8D ．8，8，8【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A 、3+4＜8，不能构成三角形； B 、5+6=11，不能构成三角形； C 、4+4=8，不能构成三角形； D 、8+8＞8，能构成三角形．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．6．（2021·福建九年级其他模拟）若某三角形的两边长分别为5和9，则该三角形第三边的长可能是（） A ．4 B ．5C ．14D ．15【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系即可得．【详解】设该三角形第三边的长为a ，由三角形的三边关系得：9559a -<<+，即414a <<，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．本号资料皆来源于微信公众号：数学第六*感7．（2021·辽宁）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则S ∵ABC 的面积为（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】C 【分析】利用割补法求∵ABC 面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可．【详解】解：在网格中添加字母如图， S ∵AEB =1112122AE BE ⋅=⨯⨯=， S ∵AFC =1123322AF FC ⋅=⨯⨯=， S ∵BGC =11313222BG GC ⋅=⨯⨯=，S 正方形=9EF FC ⋅=，∵S ∵ABC = S 正方形- S ∵AEB - S ∵AFC - S ∵BGC =9-1-3-3722=．故选择C ．【点睛】本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键． 8．（2021·福建宁德市·）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．2，3，4B ．2，3，5C ．2，2，4D ．2，2，5【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+2＞4，能够组成三角形；符合题意 B 中，2+3＝5，不能组成三角形；不符合题意 C 中，2+2＝4，不能组成三角形；不符合题意 D 中，2+2＜5，不能组成三角形．不符合题意故选：A ．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．9．（2021·陕西咸阳市·九年级一模）如图，CM 是ABC ∆的中线，BCM 的周长比ACM ∆的周长大3cm ，8cm BC =，则 AC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C 【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．【详解】解：∵CM 为∵ABC 的AB 边上的中线， ∵AM =BM ，∵∵BCM 的周长比∵ACM 的周长大3cm ， ∵（BC +BM +CM ）-（AC +AM +CM ）=3cm ， ∵BC -AC =3cm ， ∵BC =8cm ， ∵AC =5cm ，故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．本号资*料皆来源于微信公众号：数学第六感10．（2021·福建省厦门第六中学九年级三模）如图，在ABC 中，BC 边上的高是（）A ．CDB ．AEC ．AFD ．AH【答案】C 【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论．【详解】由图可知，过点A 作BC 的垂线段AF ，则ABC 中，BC 边上的高是AF ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键．二、填空题11．（2021·内蒙古包头市·）在ABC 中，,A B ∠∠都是锐角，且满足2sin cos 0A B ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则三角形的形状是__．【答案】钝角三角形【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,A B ∠∠,再根据三角形内角和定理求得C ∠,判断三角形的形状即可．【详解】2sin 0cos 0A B ⎫≥≥⎪⎪⎝⎭∴sin0A=cos0B=45,30A B∴∠=︒∠=︒1804530105C∴∠=︒-︒-︒=︒∴ABC是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．12．（2021·浙江九年级专题练习）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．【答案】2 5【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、83、5、103、5、133、8、103、8、133、10、135、10、135、8、105、8、138、10、13其中能组成三角形的有：∵3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；∵5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；∵5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；∵8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；所以有4种方案符合要求，故能构成三角形的概率是P=410=25，故答案为：2 5 .【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.13．（2021·扬州市梅岭中学）判断命题“若ABC的边a、b、c满足22a b ac bc-=-，则ABC 是等腰三角形”的真假，答：_________．（选填“真命题”或“假命题”或“无法判断”）【答案】真命题【分析】根据22a b ac bc-=-变形即可求得,,a b c的关系，再进行判断即可【详解】22a b ac bc-=-()()()a b a b c a b∴+-=-a b c+≠a b∴-=a b∴=∴ABC是等腰三角形故答案为：真命题【点睛】本题考查了命题，因式分解，三角形三边关系，等腰三角形的定义，因式分解后根据三角形三边关系判断是解题的关键．14．（2021·内蒙古包头市·）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F 在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G ，则AGF的面积是________．【答案】5611．【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH∵CD，交AB于N，先证明∵ABE∵∵MCE，由CF=3DF，可求DF =1，CF =3，再证∵ABG ∵∵MFG ，则利用相似比可计算出GN ，再利用两三角形面积差计算S ∵DEG 即可．【详解】解：延长AG 交DC 延长线于M ，过G 作GH ∵CD ，交AB 于N ，如图， ∵点E 为BC 中点， ∵BE =CE ，在∵ABE 和∵MCE 中， ABE MCE BE CEAEB MEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵ABE ∵∵MCE （ASA ）， ∵AB =MC =4，∵CF =3DF ，CF +DF =4，∵DF =1，CF =3，FM =FC +CM =3+4=7， ∵AB∥MF ，∵∵ABG =∵MFG ，∵AGB =∵MGF ， ∵∵ABG ∵∵MFG ， ∵47AB GN MF GH ==， ∵4GN GH +=， ∵1628,1111GN GH ==， S ∵AFG =S ∵AFB -S ∵AGB =1111165644422221111AB HN AB GN ⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=，故答案为5611．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．15．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）如图，在Rt∵ABC中，AB＝AC，D、E 是斜边BC上两点，且∵DAE＝45°，将∵ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到∵AFB，连接EF，下列结论：∵∵AED∵∵AEF；∵AE ADBE CD=；∵∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵BE2+DC2＝DE2；∵BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是_____________（填序号）【答案】∵∵∵【分析】∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF，因为∵BAC=90°，∵DAE=45°，所以∵CAD+∵BAE=45°，可得∵EAF=45°=∵DAE，由此即可证明∵AEF∵∵AED；∵当∵ABE∵∵ACD时，该比例式成立；∵根据旋转的性质，∵ADC∵∵ABF，进而得出∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵据∵知BF=CD，EF=DE，∵FBE=90°，根据勾股定理判断．∵根据∵知道∵AEF∵∵AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．【详解】解：∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF．本号资料皆来源于微@信公众号：数学第*六感∵∵BAC=90°，∵DAE=45°，∵∵CAD+∵BAE=45°，∵∵EAF=45°，∵∵AED∵∵AEF；故本选项正确；∵∵AB=AC，∵∵ABE=∵ACD；∵当∵BAE=∵CAD时，∵ABE∵∵ACD，∵AE AD BE CD=；当∵BAE≠∵CAD时，∵ABE与∵ACD不相似，即AE AD BE CD≠；∵此比例式不一定成立，故本选项错误； ∵根据旋转的性质知∵ADC ∵∵AFB ，∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ABF =S 四边形AFBD ，即三角形ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积，故本选项正确；∵∵∵FBE =45°+45°=90°， ∵BE 2+BF 2=EF 2．∵∵ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到∵AFB ， ∵∵AFB ∵∵ADC ， ∵BF =CD ．又∵EF =DE ，∵BE 2+DC 2=DE 2，故本选项正确；∵根据∵知道∵AEF ∵∵AED ，得CD =BF ，DE =EF ，∵BE +DC =BE +BF ＞DE =EF ，即BE +DC ＞FE ，故本选项错误．综上所述：正确的说法是∵∵∵．本@号资料皆来源于微信公众号：数学@第六#感故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系．三、解答题16．（2021·浙江）如图，在84⨯的正方形网格中，按ABC 的形状要求，分别找出格点C ，且使5BC =，并且直接写出对应三角形的面积．【答案】见解析；10S =；252S =；12S =【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可【详解】解：钝角三角形时，如图，∵BC∵BD，BC=5，∵∵ABC是钝角三角形，根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,∵11=45=10 22S BC BD=⨯⨯⨯；直角三角形时，如图，取格点F使得BF=4，FC=3，根据勾股定理，得BC，∵AE=BF=4，EB=FC=3，∵AEB=∵BFC=90°，∵∵AEB∵∵BFC，∵∵EAB=∵FBC，∵∵EAB+∵EBA=90°，∵∵FBC+∵EBA=90°，∵∵ABC =90°，∵∵ABC是直角三角形，根据勾股定理，得AB，∵11=5522S BA BC=⨯⨯⨯252=；锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，根据勾股定理，得BC，根据直角三角形时的作图，知道∵ABN=90°，本号资料皆来源于微信公众号：#数学第六感∵∵ABC＜∵ABN，∵∵ABC＜90°∵AB=BC，∵∵ABC是等腰三角形，∵∵A=∵C＜90°，∵∵ABC是锐角三角形，∵1462S=⨯⨯=12；【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．17．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：BF CE=；（2）若ACE的面积为4，CED的面积为3，求∵ABF的面积．本号资料#皆#来源于微信公众号：数学第*六感【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据垂直，中线的性质，证明∵CDE∵∵BDF即可；（2）根据三角形全等，确定∵BDF和∵CDE的面积相等，根据中线的性质，得∵ABD和∵ACD 的面积相等，计算即可．【详解】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∵CE ∵AF ，BF ∵AF ， ∵∵CED =∵F =90°， ∵∵CDE =∵BDF , ∵CED F CDE BDF DC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵CDE ∵∵BDF , ∵CE =BF ；（2）解：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∴ΔΔABD ACD S S =，Δ4ACE S =，3CEDS=∴ΔΔACD ACE CEDS S S =+43=+7=∴7ABDS=由（1）已证：∵CDE ∵∵BDF ,∴ΔΔ3BDF CDE S S == ∴ΔΔΔABF ABD BDF S S S =+73=+10=．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法，灵活运用三角形中线与三角形面积的关系是解题的关键．18．（2021·吉林九年级其他模拟）图∵、图∵、图∵均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图∵中画一个钝角三角形，在图∵中画一个直角三角形，在图∵中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图∵面积为12；图∵面积为1；图∵面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．19．（2021·江苏九年级月考）如图，在Rt ∵ABC 中，∵C =90°，点D 是AB 的中点，AC ＜BC ． (1)试用无刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．，在BC 上作一点E ，使得直线ED 平分ABC 的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE 分Rt ∵ABC 面积为1﹕2两部分，请探究AC 与BC 的数量关系．【答案】(1)作图见解析；(2)BC=3AC 【分析】（1）在BC 上用圆规截取BF=AC ，然后再作FC 的垂直平分线，其与BC 的交点即为E 点，最后连接DE 即可．（2）连接DC ，由点D 是AB 的中点，则S ∵ADC =S ∵BCD ;设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ，则有（x+y ）：（x -y ）=2:1，解得x=3y ，即E 为BC 的三等分点，即可说明BC=3EC;有EC=EF=BF=AC,即BC=3AC ．【详解】解：（１）如图：DE 即为所求；（2）连接DC ∵点D 是AB 的中点 ∵S ∵ADC =S ∵BCD设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ， ∵S ∵BDC :S 四边形CADE =1:2∵(S ∵BDC -S ∵DCE ):( S ∵ADC +S ∵DCE )=1:2, ∵2（x -y ）=x+y ，即x=3y∵点E 为BC 的三等分点, 即BC=3EC ∵EC=EF=BF=AC ∵BC=3AC ．【点睛】本题考查了尺规作图、三角形中线的性质、三角形n 等分点的性质等知识点，其中根据题意完成（1）是解答本题的关键．20．（2021·广东）若a,b,c 为∵ABC 的三边长（1）化简：-+2+-||a b c a b c b a c -+---（2）若a,b ()220b -=，且c 是整数，求c 的值. 【答案】（1）2a ；（2）1<c<5．【分析】（1）由a ，b ，c 为三角形ABC 的三边，利用三角形的两边之和大于第三边列出关系式，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．（2）根据非负数的性质列式求出a 、b ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．【详解】（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵a+b>c ，即−a−b+c<0，a+c>b ，即a−b+c>0，b−a−c<0，则|−a−b+c|+2|a−b+c|−|b−a−c|=a+b−c+2(a−b+c)+b−a−c=a+b−c+2a−2b+2c+b−a−c=2a ；（2）由题意得，a−3=0，b−2=0，解得a=3，b=2， ∵3−2=1，3+2=5， ∵1<c<5．【点睛】此题考查二次根式的性质，绝对值，三角形三边关系的应用，解题关键在于利用两边之和大于第三边.21．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级一模）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：∵2222690m mn n n ++-+=∵2222690m mn n n n +++-+=∵22()(3)0m n n ++-= ∵0,30,m n n +=-=∵3, 3.m n =-=问题（1）若∵ABC 的三边长a b c 、、都是正整数，且满足22661830a b a b c +--++-=，请问∵ABC 是什么形状?说明理由.（2）若224212120x y xy y +-++=，求y x 的值．（3）已知24,6130a b ab c c -=+-+=，则a b c ++= ．【答案】（1）∵ABC 是等边三角形，理由见解析；（2）14；（3）3 【分析】（1）先把a 2+b 2-6a -6b +18+|3-c |=0，配方得到（a -3）2+|3-c |=0，根据非负数的性质得到a =b =c =3，得出三角形的形状即可；（2）首先把x 2+4x 2-2xy +12y +12=0，配方得到（x -y ）2+3(y +2)2=0，再根据非负数的性质得到x =-2，代入求得值即可；（3）首先根据a -b =8，ab +c 2-16c +80=0，应用因式分解的方法，判断出（a -4）2+（c -8）2=0，求出A 、B 、C 的值各是多少；然后把a 、b 、c 的值求和，求出a +b +c 的值是多少即可.【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，理由如下：由题意得()()223330a b c -+-+-=∵3a b c ===∵∵ABC 是等边三角形．（2）由题意得()()22320x y y -++=∵2x y ==-． ∵14y x =．（3）∵24,6130a b ab c c -=+-+=，即a =b +4，（b +4)b +c 2 –6c +13=0，∵（b 2+4b +4 ）+（c 2 –6c +9）=0，∵b +2=0，c –3=0，∵b = –2，c =3，a =2，∵a +b +c =3．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于弟三边；任意两边之差小于第三边.22．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作ABC的高AM；（2）在图2中，作ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）格点ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF∵AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE∵AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC 与点N，即AN为所求．【详解】（1）如图1，∵格点ABC中AB=AC且垂直，∵以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM∵BC（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线∵过点C 且是4×1格的对角线即为如图所示的CF ，∵CF ∵AB同理AC 是4×3格的对角线，∵过点B 且是3×4格的对角线即为如图所示的BE∵BE ∵AC∵三角形的三条高所在的直线交于一点∵连接AG 并延长交BC 与点N ，即AN 为所求．【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m ×n 格的对角线与n ×m 格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键． 23．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级其他模拟）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∵以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，BC 于点D ，E ；∵分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的相同长度为半径作弧，两弧交于点F ； ∵作射线BF 交AC 于点G ．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果8AB =，12BC =，那么ABG 的面积与CBG 的面积的比值是________．【答案】（1）见解析；（2）23【分析】（1）根据尺规作图要求,按给定的步骤与作法画图即可；（2）根据角分线性质，两三角形的AB 与BC 边上的高相等，可得面积比为底的比即可．【详解】解：（1）根据步骤（1）得弧线交AB ，BC 于点D ，E ，根据步骤（2）得两弧交点F ，根据步骤（3）得射线BG ，根据作图的步骤与图形结合得BG 平分∵ABC ；如图所示，即为所求．（2）过点G 作GH ∵BC 于H ，GM ∵射线AB 于M ，∵BG 平分∵ABC ，∵GM =GH ，S ∵ABG =118422AB GM GM GM ⋅=⨯⨯=， S ∵BCG =1112622BC GH GH GH ⋅=⨯⨯=， S ∵ABG : S ∵BCG =4:64:62:3GM GH GH GH ==，故答案为：23．【点睛】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积，掌握尺规作图步骤与要求，角平分线性质，三角形面积，利用角平分线性质得出两三角。

初二数学知识点三角形的性质

初二数学知识点：三角形的性质三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性： (1)三角形有三条线段(2)三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 (3)首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形(有一个角为直角的三角形)三角形锐角三角形(三个角都是锐角的三角形) 斜三角形钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

(2)三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

16.相似三角形的性质及应用--知识讲解(基础)

相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D 处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC,∴∠ABO=∠DCO=90°.又∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC.∴.∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,∴AB=85m.即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .(2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴.∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴.∴DE=16m,即古塔的高度为16m.【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.举一反三【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，∠BAP=∠DCP=90°，∴△ABP∽△CDP,∴AB APDC PC =, 即1.827DC =, ∴DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.要点二、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.类型二、相似三角形的性质3. （2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键．举一反三【变式】（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B．提示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm..∴.【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴相似三角形的性质及应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE: S△ABC为( ).A. 9:4B. 4:9C. 1:4D. 3:23．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ).A．3 B．7 C．12 D．155．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）. A ．6米 B ．8米 C ．18米 D ．24米6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍. A.2 B.4 C.2D.64二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，则树AB 的高度为______m ．8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.9．（2015•吉林）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5m ，测得AB=2m ，BC=14cm ，则楼高CD 为 m ．10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________. 11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？14.（2015•蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点. (1)找出与相似的三角形. (2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？【答案与解析】一．选择题 1．【答案】D ．【解析】∵S △BDE ：S △CDE =1：3，∴BE ：EC=1：3；∴BE ：BC=1：4；∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，∴=，∴S △DOE ：S △AOC ==，故选D ．2．【答案】B ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方． 3．【答案】C . 4．【答案】B . 5．【答案】B .【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP ∽△CDP ． 6．【答案】C ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．二．填空题 7．【答案】3. 8．【答案】45cm 2. 9．【答案】12． 10．【答案】25.【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2A O DB O C49S AO CO S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴ AO :CO ＝2:3，又∵AOD DOC 23S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 C O D A O B S S =△△，∴ ABCD 492625S =++⨯=梯形．11.【答案】4:10:25【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2DEF AEB S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴DEFBAF S S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴DEF BEF S S △△24.510==12．. 三.综合题 13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ，∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m∴ 1 1.20.9 2.7x -= 即 x ＝4.2m14．【解析】解：如图，∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED ，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE ∽△DCE ∴；∵CE=2.5米，DC=1.6米， ∴；∴AB=12.8答：大楼AB 的高为12.8米．15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：△PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ，则12PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时，则12PC BC =， ∵ △PCE ∽△BCP∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时，∴ 2BP BC = ∵ △BPE ∽△BCP∴△BPE与△BCP2，∴△BCP a．.。

三角形基础知识及习题

三角形基础知识及习题三角形是几何学中最基本的图形之一，其基础知识对于学习几何学和解决几何问题至关重要。

本文将介绍三角形的基本定义、分类和性质，并提供一些习题供读者练习。

一、三角形的定义和分类1. 定义：三角形是由三条线段（边）所围成的图形。

三角形的三个顶点（角）和三个边缘（边）都相互连接。

2. 分类：根据三个角的大小，三角形可以分为三种类型：a. 锐角三角形：三个角都小于90度。

b. 直角三角形：其中一个角为90度。

c. 钝角三角形：其中一个角大于90度。

二、三角形的性质1. 角度和：三角形的三个角的角度和总是等于180度。

无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，其内角之和都是180度。

2. 边长关系：a. 等边三角形：三个边的长度都相等。

b. 等腰三角形：两个边的长度相等。

c. 直角三角形：满足毕达哥拉斯定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方。

3. 角度关系：a. 锐角三角形：三个角都是锐角。

b. 直角三角形：其中一个角是直角。

c. 钝角三角形：其中一个角是钝角。

三、三角形的习题下面是几个关于三角形的习题，供读者练习运用三角形的基础知识与技巧。

1. 题目：已知三角形的两边长分别为5厘米和8厘米，夹角为60度，求第三条边的长度。

解法：利用余弦定理，可以得到第三条边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。

带入数值计算得到c≈7.53厘米。

2. 题目：在直角三角形ABC中，AB = 3厘米，BC = 4厘米，求AC的长度。

解法：根据毕达哥拉斯定理，可以得到AC的长度：AC^2 =AB^2 + BC^2。

带入数值计算得到AC = 5厘米。

3. 题目：已知三角形的两边长分别为6厘米和8厘米，以及夹角为30度，求第三条边的长度。

解法：利用正弦定理，可以得到第三条边的长度：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

带入数值计算得到第三条边的长度约为7.61厘米。

4. 题目：在锐角三角形ABC中，AB = 7厘米，BC = 9厘米，夹角为45度，求角度C的大小。

相似三角形的性质及应用--知识讲解(基础)

相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则2 1122=1122A B CA B CB C A D kB C kA DSk S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

中考总复习：几何初步及三角形--知识讲解(基础)

中考总复习：几何初步及三角形—知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段1．直线代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).要点诠释：1）．直线的两种表示方法：(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.2)．直线和点的两种位置关系(1)点在直线上(或说直线经过某点)；(2)点在直线外(或说直线不经过某点).3).直线的性质：过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A 是射线上一点；(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.3.线段直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：1)．线段的表示方法：(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；(2)用一个小写字母表示，如线段a.2)．线段的性质：所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).3)．线段的中点：线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.4)．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.考点二、角1．角的概念：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边. 要点诠释：1）．角的表示方法：(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.2）．角的分类：(1)按大小分类：锐角----小于直角的角(0°＜＜90°);直角----平角的一半或90°的角(=90°);钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于360°.(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.3）．角的度量：(1)度量单位：度、分、秒；(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.4）．角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.2．角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.考点三、相交线1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．垂线（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.要点诠释：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.4．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.考点四、平行线1．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.2．平行公理及推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.3．性质：(1)平行线永远不相交；(2)两直线平行，同位角相等；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a.4．判定方法：(1)定义；(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.考点五、命题、定理、证明1．命题：(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.(2)命题的结构：题设+结论=命题；(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；(4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.2．公理、定理：(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.3．证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.考点六、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边. 6．三角形具有稳定性.7. 三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.要点诠释：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.【典型例题】类型一、直线、射线及线段1．数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是( )A.a-bB.a+bC.│a-b│D.│a+b│【思路点拨】根据数轴上两点之间的距离公式即可解决问题．【答案】C.【解析】本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.【总结升华】解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.2．有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？【思路点拨】先求得单程的车票数，再求出往返的车票数即可．【答案与解析】线段有10条；车票需要2×10=20种.【总结升华】在直线上确定线段的条数公式为: (其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.举一反三：【变式】如图，点A、B、C在直线上，则图中共有______条线段.【答案】3.类型二、角3．如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有______对，互补的角有______对.【思路点拨】先要确定等角，再根据角的性质进行判断.【答案与解析】互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对.【总结升华】在本题目中，当图中的角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.举一反三：【变式】【答案】70°.类型三、相交线与平行线4．如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的等量关系为．【思路点拨】通过观察图形，可作出一条辅助线即平行线，从而把问题化难为易.【答案】∠α+∠β﹣∠γ=180°.【解析】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠1+∠γ=∠β，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠α=180°，∴∠α﹣∠γ=180°﹣∠β，∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．故答案为：∠α+∠β﹣∠γ=180°．【总结升华】本题考点：平行线的性质.举一反三：【变式】（1）两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交【答案】B.类型四、三角形5．三角形三边长分别是6，2a﹣2，8，则a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜8 D．1＜a＜4【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【答案】C.【解析】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，∴2a﹣2＜6+8，即a＜8，任意两边之差小于第三边，∴2a﹣2＞8﹣6，即a＞2，∴2＜a＜8，故选：C．【总结升华】涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.举一反三：【变式】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.【答案】∵a，b，c为△ABC的三条边∴a-b-c＜0， b-a-c＜0∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.6. 下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60°；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( )A.0 个B.1个C.2个D.3个【思路点拨】认真阅读各小题提供的已知条件，依据三角形的分类方法，然后根据三角形内角和为180°进行分析解答．【答案】B.【解析】(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以只有(2)错，故选B.【总结升华】本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.举一反三：【变式】【答案】15°.。

(完整版)三角形知识点总结

三角形知识点总结一、基础知识1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.（三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点）2、三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．如图：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC= BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段如图：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线.（2）∠1=∠2= ∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心）③角平分线上的点到角的两边距离相等（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。

三角形三条高所在直线交于一点（垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE⊥BC于D；BD=DC注意：①三角形的中垂线是直线；②三角形的三条中垂线交于一点（外心）小总结：内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边距离相等.外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.性质：到三个顶点距离相等.重心：三条中线的交点.性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.垂心：三条高所在直线的交点.5、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.7、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

三角形的知识点整理

三角形的知识点整理一、三角形的定义与性质1. 定义：三角形是由三条线段所围成的封闭图形。

2. 性质：（1）三角形的内角和为180度；（2）任意两边之和大于第三边；（3）任意两角之和大于第三角；（4）三角形的边数、角数和面积都是有限的。

二、三角形的分类1. 根据边长：（1）等边三角形：三条边的长度相等；（2）等腰三角形：两边的长度相等；（3）普通三角形：三边的长度都不相等。

2. 根据角度：（1）锐角三角形：三个内角都小于90度；（2）直角三角形：一个内角为90度；（3）钝角三角形：一个内角大于90度。

三、三角形的重要定理1. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。

2. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为对应的内角。

3. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c分别为三边的长度，C为对应的内角。

4. 高度定理：在任意三角形ABC中，三条高的平方之和等于三边的平方和。

四、三角形的相关应用1. 三角形的相似性：根据三角形的相似性质，可以解决许多实际问题，如影子的长度与物体的高度、建筑物的高度与影子长度之间的关系等。

2. 三角形的面积计算：可以利用海伦公式或三角形的底边和高来计算三角形的面积，这在测绘、建筑、物理等领域有着广泛的应用。

3. 三角形的角平分线：角平分线将一个角分成两个相等的角，可以应用于求解角度相等的问题，如导弹的角度控制、射击的角度调整等。

4. 三角形的余弦定理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、平衡力的计算、桥梁的设计等。

总结：三角形作为平面几何中的基本图形，具有独特的性质和特点。

通过对三角形的分类、重要定理和相关应用的整理和阐述，可以更好地理解和应用三角形的知识，为解决实际问题提供帮助。

专题15 三角形的概念和性质核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题15 三角形的核心知识点精讲1.理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线；2.理解并掌握三角形的中位线的性质；3.理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围；4.掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理；5.能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明。

考点1：三角形边角关系（1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。

（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。

考点2：三角形的重要线段考点3：三角形的内角和定理及推论①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。

②推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。

③直角三角形的两个锐角互余。

【题型1：三角形的三边关系】【典例1】（2023•宿迁）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4B．1，2，3C．3，4，5D．3，4，81．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，62．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1B．5C．7D．93．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【题型2：三角形内角和定理及推论】【典例2】（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．95°C．100°D．110°1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是三角形．2.（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝°．3．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【题型3：三角形中的重要线段】【典例3】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是度．1．（2021•雅安）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（）A．2B．4C．6D．82．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．3．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为．一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．74°B．32°C．22°D．16°3．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°4．若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°6．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．7．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75°B．60°C．105°D．120°8．下列图形中，是直角三角形的是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（）A．5°B．8°C．10°D．12°10．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（）A．65°B．67.5°C．75°D．80°11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．55°二．填空题（共3小题）12．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝6，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长之差为1．13．将一副三角板如图所示放置，使点D在BC上，DC∥AE，则∠EFB的度数为．14．一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A（选填“增加”或“减少”）．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．（1）求证：DF∥BC；（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．16．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°．（1）求∠ADB的度数；（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度数．一．选择题（共4小题）1．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交B C于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（）A．α﹣B．2α﹣βC．α+D．3α﹣β2．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°3．如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．85°B．60°C．50°D．95°4．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC ＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④二．填空题（共3小题）5．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝．6．如图，在△ABC中，BE，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BE，CD相交于一点P，若∠A＝5 0°，则∠BPC＝．7．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝70°，∠D＝10°，则∠P的度数为．三．解答题（共2小题）8．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．9．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝°，∠P＝°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数；（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．1．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，92．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线4．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC ＝．5．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．。

三角形的概念及基本性质-教案

.三角形相关的概念适用学科初中数学初中数学适用年级初中二年级初中二年级适用区域全国全国课时时长（分钟）120分钟分钟知识点1、三角形中几条重要的线段三角形中几条重要的线段2、三角形的一般性质三角形的一般性质3、三角形边角关系、性质的应用三角形边角关系、性质的应用教学目标理解掌握三角形的相关的概念；理解掌握三角形的相关的概念；能够利用三角形相关的概念解决一些实际问题能够利用三角形相关的概念解决一些实际问题教学重点三角形相关知识的点的灵活掌握三角形相关知识的点的灵活掌握教学难点三角形的边角关系、性质的灵活应用三角形的边角关系、性质的灵活应用教学过程一、复习预习二、知识讲解考点/易错点11. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

形。

2. 三角形中的几条重要线段：三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心））三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心））三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心））三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180180°°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。

）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在D ABC 中，中，D D 是BC 边上任意一点，边上任意一点，E E 是AD 上任意一点，则SSSSABECDEBDECAED D D D ×=×。

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三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念 , 掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：① 三角形的边：即组成三角形的线段；② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点•（2）三角形的定义中的三个要求： “不在同一条直线上” 、“三条线段”、“首尾顺次相接” . （3）三角形的表示：三角形用符号"△”表示，顶点为 A 、B 、C 的三角形记作"△ ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ ABC 的三边可以用大写字母 AB 、BC 、 AC 来表示，也可以用小写字母 a 、b 、c来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、 c 表示．要点二、三角形的角和三角形角和定理：三角形的角和为 180°．要点诠释：应用三角形角和定理可以解决以下三类问题： ① 在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ② 已知三角形三个角的关系，可以求出其角的度数； ③ 求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类1. 按角分类：三角形要点诠释：①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形 ; ②钝角三角形：有一个角为钝角的三角形.2. 按边分类：不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：① 不等边三角形：三边都不相等的三角形；② 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角；③ 等边三角形：三边都相等的三角形•直角三角形斜三角形锐锐角三角形要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边•推论：三角形任意两边之差小于第三边• 要点诠释：（1 ）理论依据：两点之间线段最短•（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长, 可求第三边长的取值围. （3）证明线段之间的不等关系.要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：类型一、三角形的角和1证明：三角形的角和为180° .【答案与解析】解：已知：如图，已知△ ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180证法1:如图1所示，延长BC到E,作CD // AB .因为AB // CD （已作），所以Z 1= Z A （两直线平行，错角相等），/ B= Z 2 （两直线平行，同位角相等）.又Z ACB+ Z 1 + Z 2=180。

（平角定义），所以Z ACB+ Z A+ Z B=180。

（等量代换）.证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE // AB，交AC于E, DF // AC，交AB 于点F.因为DF // AC （已作），所以Z仁Z C （两直线平行，同位角相等），Z 2= Z DEC （两直线平行，错角相等）.因为DE // AB （已作）.所以Z 3= Z B, Z DEC= Z A （两直线平行，同位角相等）.所以Z A= Z 2 （等量代换）.又Z 1 + Z 2+ Z 3=180。

（平角定义），所以Z A+ Z B+ Z C=180。

（等量代换）.2.在厶ABC中，已知Z A+ Z B= 80°,Z C = 2 Z B,试求Z A , Z B和Z C的度数.【思路点拨】题中给出两个条件：Z A+ Z B = 80°,Z C = 2Z B，再根据三角形的角和等于180°,即Z A+ Z B+ Z C = 180°就可以求出Z A , Z B和Z C的度数.【答案与解析】解：由Z A+ Z B= 80°及/ A+ Z B+ Z C = 180° ,知Z C= 100° . 又T Z C= 2Z B,••• Z B = 50°.••• Z A = 80° - Z B = 80° -50°= 30°.【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件Z A+ Z B+ Z C= 180 ° .本题可以设Z B = x,则Z A = 80° -x, Z C= 2x建立方程求解.【变式】已知，如图，在△ ABC中，Z C=Z ABC=2/ A, BD是AC边上的高，求Z DBC的度数.【答案】解：已知厶 ABC 中，/ C=Z ABC=ZA 设/A=x 则/C=Z ABC=2x x+2x+2x=180°解得：x=36°•••/ C=2x=72 在厶BDC 中, BD 是AC 边上的高，•••/ BDC=90 , , •••/ DBC=180 — 90° -72° =18°类型二、三角形的分类3. 一个三角形的三个角分别是 75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形 C等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中，一个角的度数等于另外两个角的和的 2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角D 无法判断【答案】C【解析】利用三角形角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大角的度数为 120°，所以三角形为钝角三角形• 类型三、三角形的三边关系4.（）三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是（）2cm —— 2cm5cm -------------------------------------A2cm i3cm ----------------C【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边•注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值.【答案】DA 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边.故 2cm+3cm > 4cm .故能够组成三角形.【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形. 举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形•⑴ 3 , 4, 5; （2） 3 , 5, 9 ;（3） 5 , 5, 8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.5.若三角形的两边长分别是 _______________________ 2和7,则第三边长c 的取值围是【答案】5 c 95<c<9.【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值围是|a-b | <c<a+b.2cm ------------ 2cm 4cm ------------------------B 2cm ... .. ..-- ------------------4cm ■ ■ iD【解析】要构成一个三角形. 必须满足任意两边之和大于第三边.在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边. 不能组成三角形.D 选项中,【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值围是| 2-7 | <c<2+7,即举一反三：【变式】()已知三角形的两边长为4, 8,则第三边的长度可以是_______________________ (写出一个即可) 【答案】5,注：答案不唯一，填写大于4,小于12的数都对.类型四、三角形中重要线段6.()小华在中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三角形的面积？”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解. ”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )•【答案】C;【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点.然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高. 【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点•这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部.【变式】如图所示，已知△ ABC，试画出厶ABC各边上的高.R ----------------- 1【答案】解：所画三角形的高如图所示.7.如图所示，CD ABC的AB边上的中线，△ BCD的周长比厶ACD的周长大3cm, BC=8cm，求边AC的长.【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD = BD，②△ BCD的周长比△ ACD的周长大3.【答案与解析】解：依题意：△ BCD的周长比厶ACD的周长大3cm,故有：BC+CD+BD -( AC+CD+AD ) = 3.又••• CD ABC的AB边上的中线，AD = BD，即BC-AC = 3.又T BC = 8 ,二AC = 5.答：AC的长为5cm.【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD = BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法. 举一反三：【变式】如图所示，在△ ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且S ^ABC 4，则S 阴影为如图所示的图形中，三角形的个数共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个D . 不能确定第八题6•三角形的角平分线、中线和高都是A •直线B •线段C .射线7.下列说法不正确的是（）A .三角形的中线在三角形的部 C .三角形的高在三角形的部 &如图，AM 是厶ABC 的中线，那么若用 S i 表示△ ABM 的面积，用 S 2表示△ACM 的面1. 、选择题一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是2. 3. ）个锐角4. (已知三角形两边长分别为） A . 13 cm B . 6 cmcm 和9 cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 C . 5 cm D . 4 cm为估计池塘两岸 A 、B 间的距离，阳在池塘一侧选取了一点 P,测得PA = 16m , PB = 12m , 那么AB 间的距离不可能是（ A . 5mB . 15mC .5. )20mD .28m）D •以上答案都不对B .三角形的角平分线在三角形的部 D .三角形必有一高线在三角形的部任何一个三角形至少有（积，则S i 和S 2的大小关系是( ) A . S i > S 2 B . S i v S 2C . S i = S 2D .以上三种情况都有可能9.若△ ABC 的/ A = 60°，且/ B: / C = 2: 1，那么/ B 的度数为()A . 40°B . 80°C . 60°D . 120°二、填空题10•三角形的三边关系是 _______________ ，由这个定理我们可以得到三角形的两边之差 ______________________第三边，所以，三角形的一边小于 _________________ 并且大于 ___________ .11.如果三角形的两边长分别是 3 cm 和6 cm ,第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为 ___________ cm .12. 已知等腰三角形的两边分别为 4cm 和7cm ,则这个三角形的周长为 ___________________ .113. 如图，AD 是厶ABC 的角平分线，则/=Z= - / _______ ； BE 是厶ABC214. 如图，AD 、AE 分别是△ ABC 的高和中线，已知 AD = 5cm , CE = 6cm ，则△ ABE 和厶 ABC 的面积分别为 _________________________ .15. 在厶 ABC 中，(1)若/ A: / B: / C = 1: 2: 3，则/ A = ______________ ，/ B = __________ ，/ C =_________ ，此三角形为 __________ 三角形；(2)若/ A 大于/ B+ / C ,则此三角形为 ____________________ 三角形.三、解答题16.判断下列所给的三条线段是否能围成三角形(1) 5cm, 5cm, a cm(0v av 10);(2) a+1, a+2, a+3; (3)三条线段之比为 2:3:5.17.如图，在△ ABC 中，/ BAD =Z CAD , AE = CE , AG 丄 BC , AD 与 BE 相交于点 F , 试指出AD 、AF 分别是哪两个三角形的角平分线， BE 、DE 分别是哪两个三角形的中线？ AG 是哪些三角形的高？18.如图所示，已知 AD, AE 分别是△ ABC 的中线、高，且 AB= 5cm, AC = 3。