三角形和性质(基础)知识讲解

三角形及其性质（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 理解三角形及与三角形有关的概念 , 掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．

2. 理解三角形角和定理的证明方法；

3. 掌握并会把三角形按边和角分类

4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．

5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．

【要点梳理】 要点一、三角形的定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

要点诠释：

（1）三角形的基本元素：

① 三角形的边：即组成三角形的线段；

② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点

•

（2）三角形的定义中的三个要求： “不在同一条直线上” 、“三条线段”、“首尾顺次相接” . （3）三角形的表示：三角形用符号"△”表示，顶点为 A 、B 、C 的三角形记作"△ ABC ”， 读作“三角形

ABC ”，注意单独的△没有意义；△ ABC 的三边可以用大写字母 AB 、BC 、 AC 来表示，也可以用小写字母 a 、b 、c

来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、 c 表示． 要点二、三角形的角和

三角形角和定理： 三角形的角和为 180°． 要点诠释： 应用三角形角和定理可以解决以下三类问题： ① 在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ② 已知三角形三个角的关系，可以求出其角的度数； ③ 求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类

1. 按角分类：

三角形

要点诠释：

①锐角三角形： 三个角都是锐角的三角形 ; ②钝角三角形： 有一个角为钝角的三角形

.

2. 按边分类：

不等边三角形

三角形

底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形

等边三角形

要点诠释：

① 不等边三角形：三边都不相等的三角形；

② 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边 叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角 ；

③ 等边三角形：三边都相等的三角形

•

直角三角形

斜三角形锐锐角三角形

要点四、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边•推论：三角形任意两边之差小于第三边• 要点诠释：

（1 ）理论依据：两点之间线段最短•

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长

线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长, 可求第三边长的取值围. （3）证明线段之间的不等关系.

要点五、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或

角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从

不同的角度弄清这三条线段，列表如下：

类型一、三角形的角和

1证明：三角形的角和为180° .

【答案与解析】

解：已知：如图，已知△ ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180

证法1:如图1所示，延长BC到E,作CD // AB .因为AB // CD （已作），所以Z 1= Z A （两直线平行，错角相等），/ B= Z 2 （两直线平行，同位角相等）.

又Z ACB+ Z 1 + Z 2=180。（平角定义），

所以Z ACB+ Z A+ Z B=180。（等量代换）.

证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE // AB，交AC于E, DF // AC，交AB 于点F.

因为DF // AC （已作），所以Z仁Z C （两直线平行，同位角相等），

Z 2= Z DEC （两直线平行，错角相等）.因为DE // AB （已作）.

所以Z 3= Z B, Z DEC= Z A （两直线平行，同位角相等）.

所以Z A= Z 2 （等量代换）.又Z 1 + Z 2+ Z 3=180。（平角定义），

所以Z A+ Z B+ Z C=180。（等量代换）.

2.在厶ABC中，已知Z A+ Z B= 80°,Z C = 2 Z B,试求Z A , Z B和Z C的度数.

【思路点拨】题中给出两个条件：Z A+ Z B = 80°,Z C = 2Z B，再根据三角形的角和等于180°,即Z A+ Z B+ Z C = 180°就可以求出Z A , Z B和Z C的度数.

【答案与解析】

解：由Z A+ Z B= 80°及/ A+ Z B+ Z C = 180° ,

知Z C= 100° . 又T Z C= 2Z B,

••• Z B = 50°.••• Z A = 80° - Z B = 80° -50°= 30°.

【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件Z A+ Z B+ Z C= 180 ° .本题可以设Z B = x,

则Z A = 80° -x, Z C= 2x建立方程求解.

【变式】已知，如图，在△ ABC中，Z C=Z ABC=2/ A, BD是AC边上的高，求Z DBC的度数.

【答案】

解：已知厶 ABC 中，/ C=Z ABC=ZA 设/A=x 则/C=Z ABC=2x x+2x+2x=180°

解得：x=36°

•••/ C=2x=72 在厶BDC 中, BD 是AC 边上的高，

•••/ BDC=90 , , •••/ DBC=180 — 90° -72° =18°

类型二、三角形的分类

3. 一个三角形的三个角分别是 75°、30°、75°，这个三角形是（

）

A 锐角三角形

B 等腰三角形 C

等腰锐角三角形

【答案】C

【变式】一个三角形中，一个角的度数等于另外两个角的和的 2倍，这个三角形是（

）

三角形

A 锐角

B 直角

C 钝角

D 无法判断

【答案】C

【解析】利用三角形角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大角的度数为 120°，所

以三角形为钝角三角形• 类型三、三角形的三边关系

4.

（）三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是 （ ）

2cm —— 2cm

5cm -------------------------------------

A

2cm i

3cm ----------------

C

【思路点拨】 三角形三边关系的性质， 即三角形的任意两边之和大于第三边， 任意两边之差 小于第

三边•注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也 可能是负数，一般取“差”的绝对值.

【答案】D

A 、

B 、

C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边.故 2cm+3cm > 4cm .

故能够组成三角形.

【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：

①判断出较长的一边；②

看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形. 举一反三：

【变式】判断下列三条线段能否构成三角形

•

⑴ 3 , 4, 5; （2） 3 , 5, 9 ;

（3） 5 , 5, 8.

【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.

5.

若三角形的两边长分别是 _______________________ 2和7,则第三边长c 的取值围是

【答案】5 c 9

5

【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值围是|a-b |

2cm ------------ 2cm 4cm ------------------------

B 2cm ... .. ..

-- ------------------

4cm ■ ■ i

D

【解析】要构成一个三角形. 必须满足任意两边之和大于第三边.

在运用时习惯于检查较短

的两边之和是否大于第三边. 不能组成三角形.D 选项中,

【解析】三角形的两边长分别是

2和7,则第三边长c 的取值围是| 2-7 |