向量的数乘运算练习题
6.2.3向量的数乘运算习题课件—2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)
知识对点练
课时综合练
2．已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，
b 共线的是( )
①2a－3b＝4e 且 a＋2b＝－2e；
②存在相异实数 λ，μ，使 λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数 x，y 满足 x＋y＝0)；
→
→
④已知梯形 ABCD，其中AB＝a，CD＝b.
知识对点练
课时综合练
课时易错点
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误
→
→
10．在△ABC 中，点 D 为 BC 的三等分点，设向量 a＝AB，b＝AC，用
→ 向量 a，b 表示AD为________．
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有B→D＝13
B→C或B→D＝23B→C.解题时条件转化要全面准确． 答案 13a＋23b 或23a＋13b
知识对点练
课时综合练
正解 因为 D 为 BC 的三等分点，
当 BD＝13BC 时，如图 1，
所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C
＝A→B＋13(A→C－A→B)
＝23A→B＋13A→C＝23a＋13b.
知识对点练
课时综合练
当 BD＝23BC 时， 如图 2，
所以A→D＝A→B＋B→D
＝A→B＋23(A→C－A→B)
联立得方程组3mm－＋32nn＝＝ba，，
m＝131a＋121b， 解得n＝111a－131b.
知识对点练
课时综合练
10. 如图，平行四边形 OACB 中，BD＝13BC，OD 与 BA 相交于点 E.求 证：BE＝14BA.
知识对点练
课时综合练
2.2.3向量数乘运算及其几何意义同步训练题
2.2.3向量数乘运算及其几何意义同步训练题1、设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是（ ）A 、a 与a λ-的方向相反B 、||||a a ≥λ-C 、a a 2λ与的方向相同D 、a a ||||λ=λ-2、下列计算正确的有（ ）①a a 426)7(-=⨯-； ②a b a b a 3)32(2=++-；③0)(=+-+b a b aA 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3、若a b a 与,5||=的方向相反，且7||=b ，则=a _________b 。
4、若且,7,511e e -==||||=，则四边形ABCD 是（ ）A 、平行四边形B 、等腰梯形C 、菱形D 、梯形但两腰不等5、设)(3,82),5(22b a b a b a -=+-=+=，则共线的三点是（ ） A 、A 、B 、C B 、B 、C 、D C 、A 、B 、D D 、A 、C 、D6、设21,e e 是不共线的两个向量，有下列四组向量：①212122,e e b e e a +-=-=；②212122,e e b e e a -=+=；③212161,312e e b e e a --=-=； ④113,2e b e a -==;其中b a 与共线的组数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、47、若21k e e +与21k e e +共线，其中21e e 与不共线，则实数k 的值为（ ）A 、1±B 、1C 、1-D 、不确定8、设21,e e 是两个不共线向量，且2121212,3,k 2e e e e e e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，则k=_________。
9、已知向量21e e 与不共线，21212184,236,32e e e e e e -=+=+=，求证：A 、B 、D 三点共线。
10、设两个非零向量b a ,不共线，（1）若)(3CD ,82BC ,AB b a b a b a -=+=+=，求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k ，使b a b a k k ++与共线。
041向量数乘运算及其几何意义(1)
高一数学041 高一 年级 8 班 教师 方雄飞 学生 课题 2.2.3向量数乘运算及其几何意义（1）学习目标：理解向量的数乘运算及其意义，掌握向量数乘运算的运算律 学习过程 一．复习二．新课学习1、向量数乘运算：与数的乘法类似a+a+a=3a 一样a a a 3a =++实数λ与向量a →的积是一个 ，这种运算叫做向量的 。
记作 ，其长度与方向规定如下：2、向量数乘的运算律：()1a λμ→⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()()2a λμ→+= ()3a b λ→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭特别的有：()a λ→-= = ， a b λ→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
三．新知应用练习1、下面给四个命题：①对于实数m 和向量a ，b 恒有：m （a －b ）= m a －m b②对于实数m 、n 和向量，恒有：（m －n ）a = m a －n a③若m a =m b （m ∈R ），则有：a =b④若m a =n a（m 、n ∈R ），则m = n其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4练习2、 已知a ，b 方向相同，且｜a ｜=3, ｜b ｜=7,｜2a －b｜= ．练习3、下列各式计算正确的有（ ）(1) (－7)6a →= —42a →(2) 7(a →+b →)－8b →=7a →+15b →(3) a →－2b →+a →+2b →=2a →(4) 若a →=m →+n →, b →=4m →+4n →,则a →∥b →A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1、化简（1）826222a b c a b c a c →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）)]24()82(21[31--+（3）()()m n a b m n a b →→→→⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习4、如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交于O ，AB =a ，AD =b ，用a ，b表示向量OA ，OBB CABCACFB EDGAB 图1例3、在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13AG AB AC练习5、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =三、课堂小结四、课外作业一、选择题1、 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是：（ ）A ．a 与a λ- 的方向相反B ．||||a a λ-≥C ．a 与2a λ 的方向相同 D ．||=||a a λλ-2、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -+B ． 12BC BA --C ． 12BC BA -D ． 12BC BA +3、如图△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中∙∙∙不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=4、 点G 是ABC ∆内一点，且有0GA GB GC ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心D ．垂心5、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A 、C ），则AP=（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().AB BC λλ+∈C ．().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈二、填空题6、已知向量a →，b →，且3()2(2)4()b →→→→→→→→++---+=0x a x a x a ，则→x =__________．7、四边形ABCD 中，若3AB e = ，5CD e =- ，且||||AD BC =，则四边形ABCD 是 .三、解答题8、△ABC 中，1,//4AD AB DE BC = ，且与边AC 相交于点E ，AM 为△ABC 的中线．设,,AB a AC b == 用,a b 分别表示向量,AM AE9、 已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=4。
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形 C ．可构成钝角三角形 D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．（1，5）D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x+-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，A∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)2SD a =-，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量002OS =（，，），设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-（.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.（完）。
课时作业26：3.1.2 空间向量的数乘运算
3.1.2 空间向量的数乘运算基础巩固类一、选择题1．如图，在平行六面体ABCD EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56D.12．已知在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( ) A.AA 1→＋12AB →＋12AD →B.12AA 1→＋12AB →＋12AD →C.12AA 1→＋16AB →＋16AD → D.13AA 1→＋16AB →＋16AD → 3．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量4．已知空间向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝146．下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝07．在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若P A →＝a →，PB →＝b →，PC →＝c →，则BE →＝( )A.12a →－12b →＋12c →B.12a →－12b →－12c →C.12a →－32b →＋12c →D.12a →－12b →＋32c → 8．如图是一平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，E 为BC 延长线上一点，BC →＝2CE →，则D 1E →＝( )A.AB →＋AD →＋AA 1→B.AB →＋12AD →－AA 1→C.AB →＋AD →－AA 1→D.AB →＋13AD →－AA 1→二、填空题9．化简12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝_____________. 10．如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 边上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝____________ (用a ，b ，c 表示)．11．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝ . 三、解答题12．如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．13．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是线段AC 的中点，N 是线段A 1B 上的点，若MN ∥平面B 1BCC 1，试确定点N 的位置，并说明理由．能力提升类14．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面． 其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．415．如图，H 为四棱锥P ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝12HC ，点G 在AH 上，且AG＝mAH ，四边形ABCD 为平行四边形，若B ，G ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．参考答案基础巩固类一、选择题1．【答案】C【解析】易知AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，则x ＝1，y ＝－12，z ＝13，故x ＋y ＋z ＝56.2．【答案】D【解析】如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13(AA 1→＋12A 1C 1→)＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.3．【答案】A【解析】∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ， ∴2a －b 与a ，b 共面． 4．【答案】A【解析】∵BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ， BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴A ，B ，D 三点共线，故选A. 5．【答案】D【解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14.6．【答案】C【解析】C 选项中MA →＝－MB →－MC →， ∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C. 7．【答案】C【解析】BE →＝12(BP →＋BD →)＝－12PB →＋12(BA →＋BC →)＝－12PB →＋12BA →＋12BC →＝－12PB →＋12(P A →－PB →)＋12(PC →－PB →)＝－32PB →＋12P A →＋12PC →＝12a →－32b →＋12c →.故选C. 8．【答案】B【解析】取BC 的中点F ，连接A 1F ，则A 1D 1綊FE ，所以四边形A 1D 1EF 是平行四边形，所以A 1F 綊D 1E ，所以A 1F →＝D 1E →.又A 1F →＝A 1A →＋AB →＋BF →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →，所以D 1E →＝AB →＋12AD →－AA 1→，故选B. 二、填空题9．【答案】56a ＋92b －76c .【解析】原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c＝⎝⎛⎭⎫12＋103－3a ＋⎝⎛⎭⎫1－52＋6b ＋⎝⎛⎭⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c . 10．【答案】－23a ＋12b ＋12c【解析】MN →＝MO →＋ON →＝23AO →＋12(OB →＋OC →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .11．【答案】215【解析】根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215.三、解答题12．解：∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．13．解：设BN →＝λBA 1→，因为MN ∥平面B 1BCC 1，所以存在实数x ，y ， 使得MN →＝xBC →＋yBB 1→. ①又MN →＝BN →－BM →＝λBA 1→－12(BC →＋BA →)＝λ(BB 1→＋BA →)－12(BC →＋BA →)＝－12BC →＋λBB 1→＋(λ－12)BA →. ②比较①②，可得λ＝12，即点N 是线段A 1B 的中点．能力提升类14．【答案】C【解析】显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.15．解：∵AB →＝PB →－P A →，且AB →＝DC →，∴DC →＝PB →－P A →. ∵PC →＝PD →＋DC →，∴PC →＝PD →＋PB →－P A →＝－P A →＋PB →＋PD →. ∵PH HC ＝12，∴PH →＝13PC →＝13(－P A →＋PB →＋PD →)＝－13P A →＋13PB →＋13PD →. 又AH →＝PH →－P A →，∴AH →＝－43P A →＋13PB →＋13PD →.∵AG AH ＝m ，∴AG →＝mAH →＝－4m 3P A →＋m 3PB →＋m 3PD →. ∵BG →＝－AB →＋AG →＝P A →－PB →＋AG →， ∴BG →＝(1－4m 3)P A →＋(m 3－1)PB →＋m3PD →.又B ，G ，P ，D 四点共面， ∴1－4m 3＝0，解得m ＝34.。
课时作业3：6.2.3 向量的数乘运算
6.2.3 向量的数乘运算[基础达标练]一、选择题1.已知向量a ，b 且P 1P 2→＝a ＋2b ，P 2P 3→＝－5a ＋6b ，P 3P 4→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．P 1，P 2，P 3B ．P 1，P 3，P 4C ．P 2，P 3，P 4D ．P 1，P 2，P 42.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝( )A ．－14B.14C.12D.343.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12二、填空题4.若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)5.13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )＝________. 6.若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →. 三、解答题7.已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．8.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围．[等级过关练]1．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43.若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．4.在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________.5.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求λ的值．【参考答案】[基础达标练]一、选择题1. D [∵P 2P 4→＝P 2P 3→＋P 3P 4→＝2a ＋4b ＝2P 1P 2→，∴P 1，P 2，P 4三点共线．]2. C [∵m 与n 共线，∴存在实数λ，使得m ＝λn ，∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2λ，k ＝λ，∴λ＝12，k ＝12.] 3. D [DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.] 二、填空题4. 32e 2－e 1 [∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1. 又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.] 5. 2b －a [13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝2b －a .] 6. －25 [∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向， ∵|AC →||AB →|＝57(如图)，∴|BC →||AC →|＝25， 又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →. ]三、解答题7. [证明] 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．8. [解] (1)证明：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，OM →－OA →＝λOB →－λOA →，∴AM →＝λAB →(λ∈R ，λ≠0，且λ≠1)．又AM →与AB →有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．(2)由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →与AB →同向， ∴|AM →|>|AB →|>0，∴λ>1.[等级过关练]1．A [∵e 1，e 2不共线，∴向量a ，b 不为0.又∵a ，b 共线，∴存在实数λ，使a ＝λb ，即2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1.] 2．C [由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心．取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →， ∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝1.]3. 等腰梯形 [∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →， ∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|.又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．]4. 13 23 [AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.] 5. [解] (1)由A 是BC 的中点，则有OA →＝12(OB →＋OC →)， 从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD →＝23OB →，从而DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b . (2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC →＝μDC →，又EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ， 从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。
向量的数乘运算题型练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 6.2.3向量的数乘运算【基础篇】题型1 向量的数乘的定义与运算法则 1．已知λ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>02．若a ，b 为已知向量，且 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.题型2 向量的数乘的应用3．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AG →＝2GD →，则用向量AB →，AC →表示BG →为( )A .BG →＝－23AB →＋13AC →B .BG →＝－13AB →＋23AC →C .BG →＝23AB →－13AC →D .BG →＝23AB →＋13AC →4．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，AD →＝m ，BC →＝n ，则EF →＝( ) A .12m ＋12n B .23m ＋13n C.34m ＋14nD .13m ＋23n题型3 向量共线的判定5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线6．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形7．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？题型4 向量共线定理的应用8．如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A .911B .211C .311D .1119．在△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且BC →＝3CD →.若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，－13<x<0，则点O 在( ) A ．线段BC 上 B ．线段CD 上 C ．线段AC 上D ．线段AD 上10．在△ABC 中，点D 满足AD →＝16AB →＋12AC →，直线AD 与BC 交于点E ，则|CE →||CB →|的值为( ) A .12 B .13 C .14D .1511．设e 1，e 2是空间内两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．【提升篇】1．在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，则( ) A .AO →＝AB →＋AD → B .AO →＝12(AB →＋AD →)C .AO →＝AB →－AD → D .AO →＝12(AB →－AD →)2．已知向量a ，b 不共线．若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ的值为( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．±13．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，已知PTAP ＝5－12，则( )A .CT →＝3－52CA →＋3－52CE →B .CT →＝5－12CA →＋5－12CE →C .CT →＝3－54CA →＋3－54CE →D .CT →＝3－54CA →＋5－12CE →4．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P 是△ABC 的中线BD 上一点(不包含端点)且AP →＝xAB →＋yAC →，则下列说法正确的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．2x ＋y ＝1C ．2x ＋4y ≥2 2D ．log 2x ＋log 2y≥－36．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →＋2PB →＋3PC →＝0.若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．向量PA →与PC →可能平行 B ．点P 在线段EF 的延长线上 C ．点P 在线段EF 上 D ．PE ∶PF ＝2∶17．已知M 是△ABC 所在平面内的一点．若满足6AM →－AB →－2AC →＝0，且S △ABC ＝λS △ABM ，则实数λ的值是________．8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC 中，点P 满足BP ＝2PC ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)，求1λ＋1μ的最小值．9．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，且AB →＝k e 1－4e 2，CD →＝－e 1＋k e 2，BD →＝e 1＋2e 2.(1)若AB →，CD →方向相反，求k 的值； (2)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值．答案及解析1.【答案】C【详解】当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C. 2.【答案】1213b －839a【详解】∵23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，∴83a －2c ＋15c －12b ＝0，化简得13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839a . 3.【答案】A【详解】由题意可得BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋23AD →＝BA →＋23×12(AB →＋AC →)＝BA →＋13AB →＋13AC →＝13AC→－23AB →.故选A. 4.【答案】A【详解】由已知可得CF →＋DF →＝0，EA →＋EB →＝0，由平面向量的加法可得⎩⎪⎨⎪⎧EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，上述两个等式相加可得2EF →＝AD →＋BC →＝m ＋n ，则EF →＝12(m ＋n )．故选A. 5.【答案】B【详解】∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，∴BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b .∵AB →＝a ＋5b ，∴BD →＝AB →，即BD →与AB →共线，则A ，B ，D 三点共线，故选B. 6.【答案】B【详解】∵2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，∴2(OA →－OD →)＝3(OB →－OC →)，∴2DA →＝3CB →，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.7.【答案】由题意得d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2， 若d 与c 共线，则存在实数k ≠0，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d 与c 共线． 8.【答案】D【详解】由题意可得AC →＝5AN →，则AP →＝mAB →＋211×5AN →＝mAB →＋1011AN →.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋1011＝1，即m ＝111.9.【答案】B【详解】由向量共线定理可知O ，B ，C 三点共线． ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3AD →－3AC →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.又∵－13<x <0，∴点O 在线段CD 上，且不与C ，D 两点重合．10.【答案】C【解析】设AE →＝λAD →＝λ6AB →＋λ2AC →，则CE →＝AE →－AC →＝λAD →－AC →＝λ6AB →＋λ2AC →－AC →＝λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →， CB →＝AB →－AC →，且CE →，CB →共线，设CE →＝kCB →， 则λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →＝k (AB →－AC →)， 所以⎩⎨⎧λ6＝k ，λ2－1＝－k ，所以λ6＝1－λ2，解得λ＝32，此时CE →＝14AB →－14AC →，所以CE →＝14CB →，故|CE →||CB →|＝14.故选C. 11.【答案】1【详解】依题意，CD →＝e 1＋2e 2， 故AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 已知A ，B ，D 三点共线，可设AD →＝λAB →， 则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝λ，k ＋6＝kλ，解得k ＝1.1.【答案】B【详解】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，由平行四边形法则得AB →＋AD→＝AC →＝2AO →，所以AO →＝12(AB →＋AD →)．故选B.2.【答案】C【详解】∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m ，使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b .∵a 与b 不共线，∴1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3.【答案】A【详解】设AP ＝1，则PT ＝5－12＝TS ，CP ＝1＋5－12＝5＋12＝CS ， CT →＝CA →＋AT →＝CA →＋25－1TS →＝CA →＋25－1(CS →－CT →)＝CA →＋25－1(1＋5－122＋5－12CE →－CT →)＝CA→＋CE →－5＋12CT →，所以5＋32CT →＝CA →＋CE →，所以CT →＝3－52CA →＋3－52CE →. 故选A. 4.【答案】B【详解】AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，设∠BAC 的平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为AD → 的方向． 又∵λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在射线AD 上移动． ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 5.【答案】AC【详解】因为AP →＝xAB →＋yAC →，所以AP →＝xAB →＋2yAD →.又B ，P ，D 三点共线，所以x ＋2y ＝1，所以选项A 正确，选项B 错误．x ＋2y ＝1，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ·22y ＝2 2x＋2y＝2 2(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)，所以选项C 正确．因为x ＋2y ＝1≥2 2xy ，所以xy ≤18⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 218＝－3，所以选项D 错误．故选AC. 6.【答案】CD【详解】点P 为△ABC 所在平面内一点，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则P A →＋PC →＝2PE →，PB →＋PC →＝2PF →，而P A →＋2PB →＋3PC →＝0，即(PA →＋PC →)＋2(PB →＋PC →)＝0，于是得2PE →＋4PF →＝0，即EP →＝2PF →，所以点P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，即点P ，A ，C 不共线，则向量PA →与PC →不可能平行，A 不正确，B 不正确，C 正确，D 正确．故选CD .7.【答案】3【详解】如图，记2AM →＝AN →.∵AN →－AB →＋2AN →－2AC →＝0， ∴BN →＝2NC →，S △ABC ＝32S △ABN .又∵S △ABM ＝12S △ABN ，∴S △ABC ＝3S △ABM ，∴λ＝3.8.【答案】【详解】连接AP ，如图．∵△ABC 中，BP →＝BA →＋AP →，PC →＝PA →＋AC →， 点P 满足BP →＝2PC →， ∴－AB →＋AP →＝2(AC →－AP →)， ∴AP →＝23AC →＋13AB →.又∵AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)， ∴AP →＝2μ3AN →＋λ3AM →.又∵M ，P ，N 三点共线， ∴2μ3＋λ3＝1，λ>0，μ>0， ∴1λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫1λ＋1μ·⎝⎛⎭⎫2μ3＋λ3＝2μ3λ＋λ3μ＋1≥2 2μ3λ·λ3μ＋1＝2 23＋1, 当且仅当2μ3λ＝λ3μ，即⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3（2－2）2，λ＝3（2－1） 时取“＝”，则1λ＋1μ的最小值为2 23＋1. 9.【答案】(1)由题意知，AB →∥CD →，则存在λ∈R ，使得AB →＝λCD →，即k e 1－4e 2＝λ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋λ)e 1＝(kλ＋4)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋λ＝0，kλ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝2. 又AB →，CD →方向相反，则λ＝－2，k ＝2，故k 的值为2.(2)由题意知，AD →＝AB →＋BD →＝(k ＋1)e 1－2e 2.由A ，C ，D 三点共线得，存在μ∈R ，使得AD →＝μCD →，即(k ＋1)e 1－2e 2＝μ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋μ＋1)e 1＝(kμ＋2)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋μ＋1＝0，kμ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，μ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，μ＝1.综上，k ＝1或k ＝－2.。
6.2.3 向量的数乘运算
(3) ( x y )a ( x y )a [( x y ) ( x y )]a 2 ya
例析
例6.如图，□ 的两条对角线相交于点，且 = ， = ，
用，表示，，和.
解：在□中， = + = + ， = − = − .
= + 3.猜想, , 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，
不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想, , 三点共线.
3
事实上，因为 = − = + 2 − ( + ) = ，
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a ) 15a 10b 8b 12a 3a 2b;
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) (a b )
3
4
2
1
2
3
1
1
1
11
1
a b a b a b a b
3
3
4
2
2
2
12
3
(3)原式= 2 + 3 − − 3 + 2 − = − + 5 − 2.
2. 化简：课本练习（第16页）
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a );
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) ( a b );
3
4
2
(3) ( x y )a ( x y )a .
量.
新知探索
向量数乘和线性运算精选题32道附参考答案与试题解析
向量数乘和线性运算精选题32道附参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣23．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．212．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝．24．已知，，，则＝．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．向量数乘和线性运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【解答】解：∵＝+，＝＝（﹣）＝﹣＝×﹣＝﹣，∴＝+（﹣）＝+；又＝λ+μ，∴λ＝，μ＝；∴＝×＝3．故选：B．3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+【解答】解：＝，＝，＝，则＝+＝+＝+（﹣）＝﹣＝﹣．故选：C．4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意及图，可知：＝+＝+＝+（+）＝﹣，∴λ＝，μ＝﹣，∴λ•μ＝﹣．故选：A．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：如图所示，点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，延长OB到D点，以OA，OD为邻边作平行四边形AODF，连接CF分别交AB，AD于E，G点．则点E是△OAD的重心．∵＝，不妨设CE＝7，则OC＝3，OE＝4，EG＝2，OF＝12．∴m＝＝﹣4，解得m＝﹣4．故选：D．7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，＝，＝，则＝＝﹣＝﹣，又E是DC的中点，则＝+＝（﹣）+＝﹣＝﹣+．故选：C．8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+【解答】解：因为D为△ABC所在平面内一点，3＝，所以．故选：A．9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵；∴；∴．故选：B．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：设＝k＝k（﹣）＝k（﹣），∵＝+＝k（﹣）+﹣＝（k﹣1）+（1﹣k），＝﹣＝﹣．∵∥，∴＝λ，则（k﹣1）+（1﹣k）＝λ（﹣）．∴，∴k＝，＝﹣，∴＝+＝+．故选：B．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：以B为坐标原点，BC方向为X轴正方向建立直角坐标系，∴A（0，6）C（8，0），∴外接圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，即，∴设M（4+5cosθ，3+5sinθ），∴，，∵，∴，∴，∴，故选：C．12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：由＝16，得||＝4，∵＝||＝4，而∴＝2故选：C．二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的【解答】解：若＝，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝，即有﹣＝﹣，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝，即++＝，则点M是△ABC的重心，故C正确；若＝，且x+y＝，可得2＝2x+2y，设＝2，由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选：ACD．（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内【解答】解：因为若λ+μ＝1且λ＞0，故即又λ＞0则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；若λ+μ＝1且λ＜0，同上可得而λ＜0则点P在线段BC的延长线上，B正确；若λ+μ＞1，，同上可得，当λ+μ＞1时，λ+μ﹣1＞0根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；若λ+μ＜1，不防令λ＝0，μ＝﹣1则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误．故选：BC．（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由条件可得：，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以，D项正确．故选：AD．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．【解答】解：＝＝，A正确；+＝＝，B正确；＝，C正确；＝，D错误．故选：ABC．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴A（，），∵BC＝6，∴C（6，0），∵＝λ，∴AD∥BC，设D（x0，），∴＝（x0﹣，0），＝（﹣，﹣），∴•＝﹣（x0﹣）+0＝﹣，解得x0＝，∴D（，），∴＝（1，0），＝（6，0），∴＝，∴λ＝，∵||＝1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴＝（x﹣，﹣），＝（x﹣，﹣），∴•＝（x﹣）（x﹣）+＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2+，当x＝2时取得最小值，最小值为，故答案为：，．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝【解答】解：如图，根据题意不妨设△ABC的边，AB＝4，AC＝2，BC＝＝2，建立如图坐标系，则BC的方程为x+2y﹣4＝0，则3a﹣4＜0，设O点坐标为（a，a），点O在三角形内，则O到BC的距离d＝＝，则根据S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，得（•4a）：（2×）：（×2a），解得a＝，∴＝（，），＝（4，0），＝（0，2），由，得，解得，，所以：λ+μ＝，故填：19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是6．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．【解答】解：如图，∵AD＝DB，BE＝2EC；∴，＝，且；∴＝；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故答案为：．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝12．【解答】解：根据题意，如图，在AB上取一点E，使＝，则有＝+＝+＝+（﹣）＝+，又由，则有＝，四边形AECD为平行四边形，则有＝＝，又由AB＝6，则＝6×2＝12；故答案为：12．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．【解答】解：由得：||＝||＝||，则点O是△ABC的外心，则，由＝10×＝30所以，所以，所以m+3n＝，故答案为：23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝0．【解答】解：∵，∴x+y＝2（﹣），∴（x+2）+（y﹣2）＝，∴x＝﹣2，y＝2，x+y＝0，故答案为：0．24．已知，，，则＝2．【解答】解：因为，，，所以＝7，所以＝1，则2＝＝4﹣4×1+4＝4，则＝2．故答案为：2．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【解答】解：G为△ABC的重心，所以＝+，设＝μ，故＝+，因为P，G，Q三点共线，故+＝1①，所以+＝3，＝＝＝②，由①②得或，故答案为：或．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．【解答】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）；设∠AOC＝α，则＝（cosα，sinα），∵，∴（cosα，sinα）＝（x，0）+（﹣y，y）；即cosα＝x﹣y，sinα＝y，解得：x＝sinα+cosα，y＝sinα；∴x+2y＝sinα+cosα＝sin（α+θ），其中tanθ＝；又sin（α+θ）≤1，∴x+2y≤．故答案为：．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．【解答】解：因为，所以，分别取AC，BC的中点D，E，则，，所以，即O，D，E三点共线且，则，因为D为AC中点，所以，所以．故答案为：．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．【解答】解：△ABC的重心为点G，由题意可知△ABC与△A1B1C1关于中心点G对称，由，＝（+）＝λ（+），故，故答案为：．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．【解答】解：（1）由题意，D为BC的中点，且＝，∵+＝2，∴＝2﹣，∴＝﹣＝2﹣﹣＝﹣+2；（2）∵＝t＝t，∴＝﹣＝﹣+（2﹣t），∵＝﹣+2，，共线，∴，∴t＝．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．【解答】解：（1）由A，M，D三点共线，可设＝，由B，M，C三点共线，可设＝，因为，不共线，所以，解得，，故．（2）因为E，M，F三点共线，设＝，由（1）知，，即，，所以，故为定值，即得证．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•＝﹣时，即（cos）（cos）+sin2α＝，整理得到cos，所以锐角α＝60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||＝||恒成立，得到＝，整理得2cosα（2+x）＝x2﹣4，所以存在x＝﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵D为BC边中点；∴；∴由得，；∴；（2）如图，根据条件：＝＝；∴；∴DE＝3DO；又AB＝2DE；∴AB＝6DO；∴S△ABC＝6S△BOC＝12；即△ABC的面积为12．。
向量的数乘运算(练习)(含解析)高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
6.2.3向量的数乘运算1.[2022·浙江台州高一期末]3(2a －b )－2(a ＋3b )的化简结果为( )A ．4a ＋3bB ．4a －9bC ．8a －9bD ．4a －3b2．[2022·广东惠州高一期末]在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ＝2DC ，则AD → ＝( )A ．AB → ＋13 AC → B ．AB → －13AC → C ．23 AB → ＋13 AC → D ．13 AB → ＋23AC → 3．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB → ＝e 1＋2e 2，BC → ＝－5e 1＋6e 2，CD → ＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．4．化简：(1)2(a －b )＋3(a ＋b )；(2)12 (a ＋b )＋12(a －b )； (3)3(a ＋2b )－2(a ＋3b )－2(a ＋b ).5.若AP → ＝14PB → ，AB → ＝λBP → ，则实数λ的值是( ) A ．45 B ．－45C ．54D ．－546．[2022·福建泉州高一期中]如图，已知△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE → ＝mAB → ＋nAC → ，则2m ＋n ＝( )A ．－16B ．－12C ．－14D ．127．[2022·广东广州高一期中]设e 1、e 2是两个不共线的向量，已知AB → ＝2e 1＋k e 2，BC → ＝e 1＋3e 2，CD → ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值为________．8．两个非零向量a ，b 不共线，若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD → ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．9．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，E 为AD 上一点，且AE → ＝3ED → ，若AD → ＝a ，试用a 表示EA → ＋EB → ＋EC → .10．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．11.[2022·山东潍坊高一期中]在△ABC 中，AP → ＝119 AB → －29AC → ，则P 点( ) A ．在线段BC 上，且BP BC ＝29B ．在线段CB 的延长线上，且BP BC ＝29C ．在线段BC 的延长线上，且BP BC ＝29D ．在线段BC 上，且CP BC ＝2912．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE → ＝23AD → ，AB → ＝a ，AC → ＝b .(1)用a ，b 表示AD → ，AE → ，AF → ，BE → ，BF → ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．答案：1．解析：由题意，3(2a －b )－2(a ＋3b )＝4a －9b .故选B.答案：B2．解析：因为在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ＝2DC ，所以AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋23 BC → ＝AB → ＋23 (AC → －AB → )＝13 AB → ＋23AC → ，故选D. 答案：D3．解析：∵AB → ＝e 1＋2e 2，BD → ＝BC → ＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB → . ∴AB → ，BD → 共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A ，B ，D4．解析：(1)2(a －b )＋3(a ＋b )＝2a －2b ＋3a ＋3b＝5a ＋b .(2)12 (a ＋b )＋12(a －b ) ＝12 a ＋12 b ＋12 a －12b ＝a .(3)3(a ＋2b )－2(a ＋3b )－2(a ＋b )＝3a ＋6b －2a －6b －2a －2b＝－a －2b .5．解析：由AP → ＝14 PB → ，则A ，P ，B 三点共线，且AP → ＝15AB → ， 所以PB → ＝45 AB → ，即AB → ＝－54BP → .故选D. 答案：D6．解析：依题意得，AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋13 BC → ＝AB → ＋13 (AC → －AB → )＝23 AB → ＋13AC → ， 故CE → ＝CA → ＋AE → ＝CA → ＋12 AD → ＝－AC → ＋12 (23 AB → ＋13 AC → )＝13 AB → －56AC → ， 所以m ＝13 ，n ＝－56， 故2m ＋n ＝2×13 －56 ＝－16.故选A. 答案：A7．解析：由A 、B 、D 三点共线，可得AB → ＝λBD → (λ≠0)，又AB → ＝2e 1＋k e 2，BD → ＝BC →＋CD → ＝3e 1＋2e 2，则2e 1＋k e 2＝3λe 1＋2λe 2，又e 1、e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λk ＝2λ ，解得k ＝43 . 答案：438．证明：因为AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD → ＝3(a －b )，所以BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5a ＋5b ，则BD → ＝5AB → ，所以BD → ，AB → 共线，两个向量有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．9．解析：如图，∵AE → ＝3ED → ，且AD → ＝a ，∴ED → ＝14 AD → ＝14 a ，EA → ＝－34 AD → ＝－34a ， 又D 为边BC 的中点，∴EB → ＋EC → ＝2ED → ＝12a ， ∴EA → ＋EB → ＋EC → ＝－34 a ＋12 a ＝－14a . 10．解析：b 与a ＋c 共线．证明如下：∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a ＋b ＝λc .①∵b ＋c 与a 共线，∴存在唯一实数μ，使得b ＋c ＝μ a .②由①－②得，a －c ＝λc －μa .∴(1＋μ) a ＝(1＋λ)c .又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.∴a ＋c ＝－b .故a ＋c 与b 共线． 11．解析：由题设，AP → －AB → ＝29 (AB → －AC → )，则BP → ＝29CB → ， 所以C ，P ，B 共线且P 在CB 延长线上，BP CB ＝29.故选B. 答案：B12．解析：(1)在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋12 BC → ＝AB → ＋12 (AC → －AB → )＝12 AB → ＋12 AC → ＝12 a ＋12b ， 故AE → ＝23 AD → ＝13 a ＋13b ， AF → ＝12 AC → ＝12b ， BE → ＝AE → －AB → ＝13 a ＋13 b －a ＝13 b －23a ， BF → ＝AF → －AB → ＝12b －a ； (2)证明：因为BE → ＝13 b －23 a ＝13 (b －2a )，BF → ＝12(b －2a )， 所以BE → ＝23BF → ，所以BE→∥BF→，又因为BE→，BF→有公共点B，所以B，E，F三点共线．。
高中数学6.2.3《向量的数乘运算》基础过关练习题
第六章 6.2 6.2.3A 级——基础过关练1．(多选)设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa|≥|a|C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a【答案】ABD 【解析】当λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的，选项A 错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a |不成立，选项B 错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同．|－λa |＝|λ|a 中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D 错误；故选ABD ．2．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD →B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12AD →D ．12AB →－23AD →【答案】D 【解析】EF →＝EC →＋CF →＝12AB →＋23CB →＝12AB →－23AD →.3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－23【答案】A 【解析】(方法一)由AD →＝2DB →，可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)⇒CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．(方法二)CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上 D ．BC 边所在的直线上【答案】B 【解析】∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →.∴CP →＝λP A →.∴P ，A ，C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．5．(2020年深圳月考)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( )A ．AB →＋AC →＝3HM →＋3MO → B ．AB →＋AC →＝3HM →－3MO → C ．AB →＋AC →＝2HM →＋4MO →D ．AB →＋AC →＝2HM →－4MO →【答案】D 【解析】如图所示的Rt △ABC ，其中∠B 为直角，则垂心H 与B 重合，∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OC ，即O 为斜边AC 的中点．又∵M 为BC 的中点，∴AH →＝2OM →.∵M 为BC 的中点，∴AB →＋AC →＝2AM →＝2(AH →＋HM →)＝2(2OM →＋HM →)＝4OM →＋2HM →＝2HM →－4MO →.故选D ．6．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足5x a ＋(8－y )b ＝4x b ＋3(y ＋9)a ，则x ＝________；y ＝________.【答案】3 －4 【解析】因为a 与b 不共线，根据向量相等得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝3y ＋27，8－y ＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－4.7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12 【解析】由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.8．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________. 【答案】－4 【解析】因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．9．化简：(1)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (2)4(a －b )－3(a ＋b )－b .解：(1)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (2)原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .10．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 分别为AC ，BA 的中点，AD ，BE ，CF 相交于点O ，求证：(1)AD →＝12(AB →＋AC →)；(2)AD →＋BE →＋CF →＝0； (3)OA →＋OB →＋OC →＝0.证明：(1)∵D 为BC 的中点，∴AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，∴2AD →＝AB →＋BD →＋AC →＋CD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)∵AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝12(BC →＋BA →)，CF →＝12(CA →＋CB →)，∴AD →＋BE →＋CF →＝0.(3)∵OA →＝－23AD →，OB →＝－23BE →，OC →＝－23CF →，∴OA →＋OB →＋OC →＝0.B 级——能力提升练11．已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在的直线上 D ．P 在线段AC 上【答案】D 【解析】P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →.∴P 在AC 边上． 12．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A ．14a ＋12bB ．13a ＋23bC ．12a ＋14bD ．23a ＋13b【答案】D 【解析】∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ．∴AF →＝AD →＋DF →＝AD→＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .13．在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，记a ＝AB →，b ＝AC →，则CG →＝( ) A ．13a －23bB ．13a ＋23bC ．23a －13bD ．23a ＋13b【答案】A 【解析】因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b .所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .14．下列各组向量中，能推出a ∥b 的是( ) ①a ＝－3e ，b ＝2e ； ②a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 22－e 1；③a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 2＋e 1＋e 22.A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B 【解析】①中a ＝－32b ，所以a ∥b ；②中b ＝e 1＋e 22－e 1＝e 2－e 12＝－12a ，所以a ∥b ；③中b ＝3e 1＋3e 22＝32(e 1＋e 2)，若e 1与e 2共线，则a 与b 共线，若e 1与e 2不共线，则a 与b 不共线．15．已知在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．【答案】2∶3 【解析】因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PC →＝AB →－PB →－P A →＝AB →＋BP →＋AP →＝2AP →.所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点．所以△PBC 和△ABC 的面积之比为2∶3.16．设点O 在△ABC 的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且|OD →＋2OE →|＝1，则|OA →＋2OB →＋3OC →|＝________.【答案】2 【解析】如题图所示，易知|OA →＋2OB →＋3OC →|＝|OA →＋OC →＋2(OB →＋OC →)|＝|2OD →＋4OE →|＝2|OD →＋2OE →|＝2.17．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：四边形EFGH 是平行四边形．证明：在△BCD 中，∵G ，F 分别是CD ，CB 的中点，∴CG →＝12CD →，CF →＝12CB →.∴GF →＝CF→－CG →＝12CB →－12CD →＝12DB →.同理HE →＝12DB →.∴GF →＝HE →.又∵G ，F ，H ，E 四点不在同一条直线上，∴GF ∥HE ，且GF ＝HE .∴四边形EFGH 是平行四边形．18．设OA →，OB →不共线，且OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )． (1)若a ＝13，b ＝23，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若A ，B ，C 三点共线，则a ＋b 是否为定值？并说明理由．解：(1)证明：当a ＝13，b ＝23时，OC →＝13OA →＋23OB →，所以23(OC →－OB →)＝13(OA →－OC →)，即2BC →＝CA →.所以BC →与CA →共线．又BC →与CA →有公共点C ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)a ＋b 为定值1，理由如下： 因为A ，B ，C 三点共线，所以AC →∥AB →.不妨设AC →＝λAB →(λ∈R )，所以OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.又OC →＝aOA →＋bOB →，且OA →，OB →不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－λ，b ＝λ，所以a ＋b ＝1(定值)．C 级——探索创新练19．(2020年合肥月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A ．5＋12B ．2C ．5D ．5＋1【答案】C 【解析】由题意，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →.∴x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52.∴x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.故选C ．。
人教A版高一必修第二册第六章《6.2.3 向量的数乘运算》练习题 1
6.2.3 向量的数乘运算1、（多选）已知a 、b 为两个非零向量，下列说法中正确的是（ ） A 、2a 与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍 B 、-2a 与5a 的方向相同，且-2a 的模是5a 的模的52C 、-2a 与2a 是一对相反向量D 、a-b 与-（b-a ）是一对相反向量2、如图，在△ABC 中，BD=2DC ，若AB =a ，=AC b ，则AD =（ ）A 、32a +31b B 、32a -31bC 、31a +32bD 、31a -32b3、在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则λ=（ ）A 、32 B 、31 C 、- 31 D 、-32 4、在△ABC 中，点D 在BC 边上，且4=CD ，AC s AB r CD DB +=,，则3r+s 的值为( ） A 、56 B 、512 C 、58 D 、54 5、若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足OA OC OB OC OB 2-+=-,则△ABC 的形状为 （ ）A 、等边三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、直角三角形6、O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=AC AB OA OP λ,[)+∞∈,0λ,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心7、若将上题中的条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=AC AC AB AB OA OP λ，[)+∞∈,0λ改为()AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）8、在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）A 、AC AB 4143- B 、AC AB 4341- C 、4143+D 、4341+9、设D 为△ABC 所在平面内一点，3=,则（ ）A 、3431+-=B 、3431-=C 、3134+=D 、3134-= 10、设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+（ ）A 、ADB 、AD 21C 、BCD 、2111、在三角形ABC 中，向量a =+,b =++83,c =+4,则下列结论一定成立的是（ ）A 、向量a +c 一定与向量b 平行B 、向量b +c 一定与向量a 平行C 、向量a +b 一定与向量c 平行D 、向量a -b 一定与向量c 平行 12、设P 、Q 为△ABC 内的两点，且AC AB AP 5152+=,AC AB AQ 4132+=,则ABQABP S S ∆∆=( ) A 、31 B 、41C 、53D 、5413、已知在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足AB PC PA PA =++,则△PBC 与△ABC 的面积之比为 。
1.3 向量的数乘
1.3 向量的数乘必备知识基础练1.在△ABC 中,D 是线段BC 的中点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE⃗⃗⃗⃗⃗ . 2.如图,在矩形ABCD 中,E 为CD 的中点,那么向量12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.AE ⃗⃗⃗⃗⃗B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.DC⃗⃗⃗⃗⃗ D.BC⃗⃗⃗⃗⃗E 为CD 的中点,∴12AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a +b ,则( ) A.A ,B ,D 三点共线 B.A ,B ,C 三点共线 C.A ,C ,D 三点共线 D.B ,C ,D 三点共线向量BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +4b ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即A ,B ,D 三点共线. 4.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-7e ,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 的形状是 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-57CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因此AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 是梯形. 又因为|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以四边形ABCD 是等腰梯形.5.已知a 与b 是两个不共线的向量,且向量(a +λb )与(b -3a )共线,则λ的值为 . -13a +λb =k (b -3a ),即a +λb =k b -3k a ,∴(1+3k )a =(k-λ)b . ∵a ,b 不共线,∴{1+3k =0,k -λ=0,解得λ=-13.6.如图,已知D ,E 分别为△ABC 的边AB ,AC 的中点,延长CD 到M 使DM=CD ,延长BE 至N 使BE=EN ,求证:M ,A ,N 三点共线.D 为MC 的中点,且D 为AB 的中点,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可证明AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A. ∴M ,A ,N 三点共线.7.(1)已知a =3i +2j ,b =2i -j ,求(13a -b)-a -23b +(2b-a ); (2)已知向量a ,b ,且5x+2y=a ,3x-y=b ,求x ,y.原式=13a-b-a+23b+2b-a=(13-1-1)a+(-1+23+2)b=-53a+53b .∵a=3i+2j ,b=2i-j ,∴原式=-53(3i+2j )+53(2i-j )=(-5+103)i +(-103-53)j =-53i-5j . (2)将3x-y=b 两边同乘2,得6x-2y=2b . 与5x+2y=a 相加,得11x=a+2b , ∴x=111a+211b . ∴y=3x-b=3(111a +211b)-b=311a-511b. 关键能力提升练8.在△ABC 中,O 为其内部一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则△AOB 和△AOC 的面积比是( ) A.3∶4 B.3∶2C.1∶1D.1∶3AC 的中点M (图略),则由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2|OM|=3|OB|,点O 在线段BM 上. 因此S △AOB ∶S △AOC =S △AOB ∶2S △AOM =|OB|∶2|OM|=1∶3.9.(2021福建福州期中)如图,在直角梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P 在线段BC 上运动(包含点C ,不包含点B ),且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则1m +2n 的最小值是( ) A.3 B.3+2√2 C.4 D.4+2√2P 在线段BC 上运动(包含点C ,不包含点B ),则BP⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1), 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-12λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以m=1-12λ,n=λ, 则1m +2n =11-12λ+2λ=22-λ+2λ=12-λ+1λ[(2-λ)+λ]=2+λ2-λ+2-λλ≥2+2√2-λλ·λ2-λ=4, 当且仅当2-λλ=λ2-λ,即λ=1时等号成立.故1m+2n 的最小值为4.故选C .10.在平行四边形ABCD 中,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R ,则λ+μ= .,有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即1-λ3-μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ+μ2-1AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,∴{λ3+μ=1,λ+μ2=1,解得{λ=35,μ=45,故λ+μ=75.11.在△ABC 中,P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M ,且CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴3CP⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即2CP⃗⃗⃗⃗⃗ -2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2AP⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A ),如图所示.∵A ,M ,Q 三点共线, ∴设CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x )CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴{x 2=t 3,x 2-1=-t ,解得t=34.12.已知在△OBC 中,A 是线段BC 的中点,D 是线段OB 的一个三等分点(靠近点B ),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b .(1)用向量a 与b 表示向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,判断C ,D ,E 是否共线,并说明理由.∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 是BC 的中点, ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a . ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -b . (2)C ,D ,E 不共线.理由如下,假设存在实数λ,使CE⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +35(-b )=a +25b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2a +13(-a +b )=53a +13b , ∴a +25b =λ(53a +13b),∴{53λ=1,13λ=25,此方程组无解,∴不存在实数λ,满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴C ,D ,E 三点不共线.学科素养创新练13.如图,F 为线段BC 的中点,CE=2EF ,DF=35AF ,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,试用a ,b 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b-a ),所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +13b .因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b ),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =85AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(a+b ),所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(a+b )-b=45a-15b .。
人教A版数学高二向量的数乘运算及其几何意义精选试卷练习(含答案)3
34．
35． 2 36． 7
2 37． 2 3
38．-6
39． 1 b a . 3
40． 3 − 2
41．①②③
42． 3
3
2
43．
5
5
44．见解析
45．（Ⅰ）点 B 坐标为(2, 1) （Ⅱ） 9 5 5
46． 1
3
47．（1） DE
6
AB
1 12
AC
；（2）DE
3 2
4
4
评卷人 得分
二、填空题
22．已知平面向量 m,n 的夹角为 且 m 3, n 2 ，在 ABC 中， AB 2 ，
6
mn
AC 2m 6n ， D 为 BC 中点，则 AD ．
23．已知向量a sin ,1 ， b sin, 0 ， c cos ,1 ，且 2a b / /c ，
试卷第 6页，总 8页
（Ⅰ）求点 B 的坐标；
（Ⅱ）求向量 BA 在向量 BC 方向上的投影． 46．如图，平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点， CM 与 BD 相交于点 N ，若
BN BD ，求实数的值.
47．如图，在 ABC 中，已知 D, E 分别在边 AB, BC 上，且 AB 3AD, BC 2BE .
）．
A．平行四边形
B．梯形
C．平行四边形或梯形
18．已知轴上的单位向量e ， a 在轴上的坐标为-3，则| a |=（
）
A．3
B．6
C．-3
D．-6
19．已知平面向量 a ，b ，c 满足对任意 x R 都有 a xb a b ， a xc a c
向量的数乘运算
基础测试 一、选择题1、已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ） A 3(x-1) B ．2(x-1) C ．2x-1 D ．x-1 解析：求导后带入验证可得选A.2、曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为（ ）A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(－2，－8)或(2，8)D ．(－1，－1)或(1，1)解析：在点P 处的切线斜率为3，即导数为3.因为23x y ='，所以332=x .可得1±=x ，故选D.3、若f （x ）=sin α－cos x ，则)(x f '等于 （ ）A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α解析：根据导数的运算公式得x x x f sin cos )(+='，故选C. 4、函数f （x ）=x x x 的导数是A ．81x（x >0） B ．887x（x >0） C ．8781x（x >0） D ．881x-解析：f （x ）=87x x x x =，8187)(-='x x f ，故选B.5、某质点的运动方程是t S sin =，则在t =πs 时的瞬时速度为 （ ）A ．－1B ．－3C ．7D ．13解析：瞬时速度即函数在该点的导数.t s cos ='，当t =π时1-='s .故选A.6、函数 的导数是A ．B ．C ．D ． 解析：222221)1()()1()(xx x x x x x x f +=-'-'-='，故选.C. 7、下列命题正确的是（ ） （A ）)(lg 'x =1x（B ）)(lg 'x =x 10ln （C ）x x 3)3(='（D ）3ln 3)3(xx ='解析：根据导数的运算得D 正确. 8、函数x x y cos 2=的导数为x x 12-x x 12+221x x +221xx -x x y 12-=A ．x x x x y sin cos 22-=' B.x x x x y sin cos 22+=C ．x x x x y sin 2cos 2-=' D.x x x x y sin cos 2-=解析：)(cos cos )()cos (222'+'='='x x x x x x y x x x x sin cos 22-=，故选A.二、填空题9、函数)0,4(cos π在点x y =处的切线方程是 .___________解析：因为x y sin -='，当4π=x ，22-='y ，所以切线方程为)4(22π--=x y .10、函数y=sinxcosx 的导数为 .解析：)cos (sin '='x x y =)(cos sin cos )(sin '+'x x x x =x x x 2cos sin cos 22=-.11、物体的运动方程是523123-+-=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ）,则物体在3=t 时的瞬时速度为______.解析：瞬时速度即函数在该点的导数. t t s 42+-='，当3=t 时，3='s .故为3m/s.三、解答题12、求函数y =xxsin 的导数. 解：22sin cos sin )()(sin x xx x x x x x x y +='+'=' .13、求经过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程.分析：验证点是否在曲线上后根据导数进行求导.解：可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为),(00y x P . 由201'x y -= 得所求直线方程为 )(10200x x x y y --=-. 由点（2，0）在直线上，得00202x y x -=，再由),(00y x P 在曲线上，得100=y x ，联立可解得10=x ，10=y .所求直线方程为x+y-2=0.14． 确定抛物线y =x 2＋bx ＋c 中的常数b 和c ,使得抛物线和直线y =2x 在x =2处相切. 分析：根据和直线y =2x 在x =2处相切，得到点在抛物线上，和切点的导数为2. 解： 抛物线和直线y =2x 在x =2处相切.∴抛物线过（2，4）点和在x=2时切线斜率为2. 又b x y +='2∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+⨯424222c b b ⎩⎨⎧=-=∴42c b 15、物体的运动方程是1223-+=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ），当2=t 时，求物体的瞬时速度及加速度.分析：求物体的瞬时速度v 即求s 关于时间t 的导数，求加速度a 即求速度v 关于时间t 的导数.解： 1223-+=t t st t s 432+='∴46)(+=''t s故当2=t 时,16)(,20=''='s s所以当时间2=t 时，2/16,/20s m a s m v ==.答：当2=t 时，求物体的瞬时速度s m v /20=加速度2/16s m a =.理科题目：8、函数y =x ln 的导数为A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．xx ln 1D ．xx ln 21分析：21)(ln 21)(ln -⋅'='x x y xx ln 21=，故选D.9、曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的方程为___________．分析：因为x y 3cos 3='，当3π=x ，3-='y ，所以切线方程为π+-=x y 3.12、求函数y=e 2x lnx 的导数.分析：利用复合函数和导数的乘法运算求解. .解：x x e x x e y 22)(ln ln )('+'='=x xe x x e221ln 2+=21'(2).x y lnx e x=+。
(完整版)向量的数乘运算练习题.docx
§2. 2. 2向量数乘运算及其几何意义班级 ___________姓名 ____________学号 ____________得分 ____________一、选择题1．已知向量 a= e 1 -2 e 2，b=2 e 1+e 2, 其中 e 1、 e 2 不共线，则 a+b 与 c=6 e 1-2 e 2 的关系为 （）A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2．已知向量 e 1、 e 2 不共线，实数 (3x-4y)e 1＋(2x-3y)e 2 =6e 1+3e 2 ,则 x － y 的值等于 （）A ． 3B ． -3C ． 0D ． 2uuur uuur uuur | uuur3．若 AB =3 a, CD =－ 5a ,且 | AD | BC | ,则四边形 ABCD 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形uuur uuur D ．不等腰梯形4． AD 、 BE 分别为△ ABC 的边 BC 、 AC 上的中线，且uuurAD =a , BE =b ,那么 BC 为（）A ． 2 a ＋ 4bB ． 2 a － 2bC ． 2 a － 4bD ． － 2 a ＋ 4b333333335．已知向量 a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ）① 2a -3b=4e 且 a+2b= -3e②存在相异实数 λ， μ，使 λa -μb=0③ xa+yb=0 (其中实数 x, y 满足 x+y=0)uuur uuur④已知梯形 ABCD ，其中 AB =a , CD =bA ．①②B ．①③C ．②D ．③④*6．已知△ ABC 三个顶点 A 、 B 、 C 及平面内一点 uuur uuur uuur uuurP ，若 PA PB PCAB ，则（）A ． P 在△ ABC 内部B ． P 在△ ABC 外部C ．P 在 AB 边所在直线上D ． P 在线段 BC 上二、填空题7．若 |a|=3,b 与 a 方向相反 ,且 |b|=5,则 a=b8．已知向量 e 1 ,e 2 不共线，若 λe 1－ e 2 与 e 1－ λe 2 共线 ,则实数 λ=uuur uuur uuur9．a,b 是两个不共线的向量， 且 AB =2a ＋ kb , CB =a ＋ 3b , CD =2a － b ,若 A 、B 、D 三点共线，则实数 k 的值可为uuur uuur *10．已知四边形 ABCD 中， AB =a － 2c,CD =5a ＋ 6b － 8c 对角线 AC 、BD 的中点为 E 、 F ，uuur则向量 EF三、解答题11．计算：⑴ (－ 7) ×6a=⑵ 4(a ＋ b)－ 3(a － b)－8a=⑶ (5a － 4b ＋ c)－ 2(3a － 2b ＋ c)=uuur uuur uuuur12．如图，设AM 是△ ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求 AM13．设两个非零向量 a 与 b 不共线 ,uuur uuur uuur⑴若 AB =a＋ b , BC =2a＋ 8b , CD =3( a－ b) ,求证： A、 B、D 三点共线 ;⑵试确定实数 k，使 ka＋ b 和 a＋ kb 共线 .uuur uuur uuur uuur uuur* 14．设 OA ,OB 不共线 ,P 点在 AB 上,求证 : OP =λOA +μOB 且λ+μ=1( λ, μ∈ R).。
3.1.2空间向量数乘运算
由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面．
研一研·问题探究、课堂更高效
因此E→G＝O→G－O→E ＝kO→C－kO→A＝kA→C ＝k(A→B＋A→D)＝k(O→B－O→A＋O→D－O→A) ＝O→F－O→E＋O→H－O→E＝E→F＋E→H. 由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面．
是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1 不的，2共任使线意的 向a 向 量 量a1e，1，那有2么e且2
如果空间向量
p
与两不共线向量
a
，b
共
面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则
有 p x yb
反果过p来 ，x对空y间b，任那意么两向个量不p共与线向的量向a量 ,
小结 证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定 理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一 个向量用另外两个向量进行表示．
跟踪训练 3 如图所示，已知矩形 ABCD 和
矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M， N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM＝13BD， AN＝13AE.求证：向量M→N，C→D，D→E共面．
a
a // b(b 0)
b (b 0)
a b (b 0) 性质 a // b (b 0) 判定
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
数学课后训练：数乘向量
数乘向量练习1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是（) A．a与－λa的方向相反B．｜－λa|≥|a｜C．a与λ2a的方向相同D．｜－λa｜＝｜λ|a2．已知AD,BE，CF分别为△ABC的三条中线，G是它们的交点，则下列等式不正确的是( ）A．BG＝2BE B．DG＝12AG3C．CG＝－2FG D．1DA＋23FC＝12BC33．如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且E，F分别为AB,CD的中点，则( ）(a＋b＋c＋d)A．EF＝12B．EF＝1（a－b＋c－d）2（c＋d－a－b)C．EF＝12（a＋b－c－d）D．EF＝124．（2012·四川雅安期末)设四边形ABCD中，有DC＝1AB，且2|AD｜＝｜BC|,则这个四边形是（)A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC（不包括端点A，C）上,则AP等于( ）A．λ(AB＋AD）,λ∈（0,1)B ．λ(AB ＋BC ），λ∈0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．λ(AB －AD )，λ∈（0，1)D ．λ（AB －BC ），λ∈0,2⎛ ⎝⎭6．O 为平行四边形ABCD 的中心，若AB ＝4e 1，BC ＝6e 2，则BO ＝__________。
7．如图所示，已知AP ＝43AB ,若用OA ，OB 表示OP ,则OP 等于__________．8．给出下面四个结论：①对于实数p 和向量a ，b ，有p （a －b ）＝p a －p b ；②对于实数p ，q 和向量a ，有（p －q ）a ＝p a －q a ；③若p a ＝p b (p ∈R )，则a ＝b ；④若p a ＝q a (p ，q ∈R ,a ≠0),则p ＝q 。
其中正确结论的序号为__________．9．如图所示，L ，M ,N 是△ABC 三边的中点，O 是△ABC 所在平面内的任意一点，求证:OA ＋OB ＋OC ＝OL ＋OM ＋ON 。
向量的加减和数乘基础专项练习含解析
向量的加减和数乘一、单选题（共19题；共38分）1.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且，则（）A. B. C. D.2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则（）A. B. C. D.3.在三棱柱中，若，，，则A. B. C. D.4.空间四边形中，, , ,点在上，且，为中点，则=（）A. B. C. D.5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，M是AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.6.在直三棱柱中，若，，，则（）A. B. C. D.7.如图，在正方体中，若，则x+y+z的值为（）A. 3B. 1C. -1D. -38.已知空间四边形OABC，，N分别是OA，BC的中点，且，，=c，用a，b，c 表示向量为（）A. B.C. D.9.如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A. B. C. D.10.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣11.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（）A. + ﹣B. ﹣+C. ﹣+ +D. ﹣+ ﹣12..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于（）A. B.C. D.13.已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A. B.C. D.14.在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{ ，，}可表示为（）A. B. C. D.15.已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c 表示，则等于（）A. B. C. D.16.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣17.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若= ，= ，= ，则=（）A. （+ ﹣）B. （+ ﹣）C. （﹣）D. （﹣）18.如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A. ﹣=B. + =C. + + =D. + = +19.如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则+(+)等于（）A. B. C. D.二、填空题（共2题；共2分）20.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M．设，，，用，，表示向量，则=________．21.如图，三棱锥P﹣ABC中，M是AC的中点，Q是BM的中点，若实数x，y，z满足，则x﹣y+z=________答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】空间向量的加减法【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，∴α= ，β=﹣1，故答案为：A．【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义
班级___________姓名____________学号____________得分____________
一、选择题
1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（ ）
A ．不共线
B ．共线
C ．相等
D ．无法确定
2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于 （ ）
A ．3
B ．-3
C ．0
D ．2
3．若AB =3a , CD =－5a ,且||||AD BC =,则四边形ABCD 是 （ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．等腰梯形
D ．不等腰梯形
4．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =a ,BE =b ,那么BC 为（ ）
A ．32a ＋34b
B ．32a －32b
C ．32a －34b
D ． －32a ＋34b
5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e
②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0
③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0)
④已知梯形ABCD ，其中AB =a ,CD =b
A ．①②
B ．①③
C ．②
D ．③④
*6．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则（ ）
A ．P 在△ABC 内部
B ．P 在△AB
C 外部
C ．P 在AB 边所在直线上
D ．P 在线段BC 上
二、填空题
7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b
8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ=
9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB =2a ＋k b ,CB =a ＋3b ,CD =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为
*10．已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ,CD =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF =
三、解答题
11．计算：⑴(－7)×6a =
⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a =
⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )=
12．如图，设AM是△ABC的中线，AB=a , AC=b ,求AM
13．设两个非零向量a与b不共线,
⑴若AB=a＋b ,BC=2a＋8b ,CD=3(a－b) ,求证：A、B、D三点共线;
⑵试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线.
*14．设OA,OB不共线,P点在AB上,求证:OP=λOA+μOB且λ+μ=1(λ, μ∈R).。