天一大联考2017-2018学年高一年级期末考试(安徽版)数学(解析版)
2017-2018学年安徽省天一大联考高一(下)期末数学试卷及答案(a卷)
2017-2018学年安徽省天一大联考高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）9°＝（）A．B．C．D．2．（5分）下列选项中，与向量（1，﹣2）垂直的单位向量为（）A．（4，2）B．（﹣2，1）C．D．3．（5分）某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人．从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A．①④B．①③C．②④D．②③4．（5分）将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示，则这些数据的中位数是（）A．81B．83C．无中位数D．84.55．（5分）一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，从中任取3个球．事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．乙和丁6．（5分）已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A．3.4B．0.3C．0.6D．0.157．（5分）若锐角α满足，则＝（）A．B．C．D．38．（5分）已知△ABC满足﹣＝k×（其中k是非零常数）．则△ABC的形状是（）A．正三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形9．（5分）如图所示的程序框图，若输入的x的值为a（a∈R），则输出u＝（）A．a B．﹣a C．|a|D．﹣|a|10．（5分）函数在区间[﹣3，5]上的所有零点之和等于（）A．﹣2B．0C．3D．211．（5分）设非零向量，夹角为θ，若||＝2||，且不等式|2|≥|+λ|对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．[﹣1，3]B．[﹣1，5]C．[﹣7，3]D．[5，7]12．（5分）＝（）A．B．C．D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）从1～10这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为．14．（5分）数据x1，x2，…，x n的平均数是3，方差是1，则数据5﹣x1，5﹣x2，…，5﹣x n 的平均数和方差之和是．15．（5分）如图是出租汽车计价器的程序框图，其中x表示乘车里程（单位：km），S表示应支付的出租汽车费用（单位：元）．有下列表述：①在里程不超过3km的情况下，出租车费为8元；②若乘车8.6km，需支付出租车费20元；③乘车xkm的出租车费为8+2（x﹣3）④乘车xkm与出租车费S的关系如图所示：S（单位：元）则正确表述的序号是．16．（5分）如图为函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，|φ|≤）的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），都有f（x1+x2）＝，则φ等于．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量＝（2，3），＝（1，﹣1）．（Ⅰ）若实数m，n满足m+n＝（5，10），求m+n的值；（Ⅱ）若（+λ）∥（λ+），求实数λ的值．18．（12分）某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度（单位：毫米）在区间（99，101]内，则为一等品；若长度在（97，99]或（101，103]内，则为二等品；否则为不合格产品．现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）试估计该样本的平均数；（Ⅱ）根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润．19．（12分）某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如表：（Ⅰ）假设x与y线性相关，求y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数．附：对于线性相关的一组数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），其回归方程为y＝bx+a．其中b＝，a＝．20．（12分）函数的最小正周期为π，点为其图象上一个最高点．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点都向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g （x）在区间上的值域．21．（12分）甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局．（Ⅰ）求甲获胜的概率．（Ⅱ）现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜．请问：这个规则公平吗，为什么？22．（12分）如图所示，扇形OAB中，，OA＝1，矩形CDEF内接于扇形OAB．点G为的中点，设∠COG＝x，矩形CDEF的面积为S．（Ⅰ）若，求S；（Ⅱ）求S的最大值．2017-2018学年安徽省天一大联考高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】G4：弧度制．【解答】解：9°＝9×＝．故选：B．【点评】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，是基础题．2．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【解答】解：在A中，∵向量（4，2）的模为＝2≠1，不是单位向量，故A 错误；在B中，∵向量（﹣2，1）的模为＝，不是单位向量，故B错误；在C中，∵（1，﹣2）•（，）＝﹣≠0，故C错误；在D中，∵（1，﹣2）•（﹣，）＝0，向量（﹣，）的模为＝1，∴向量（1，﹣2）垂直的单位向量为（﹣，），故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查与已知向量垂直的单位向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：在①中，用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生：100×＝48人，中部地区学生：100×＝32人，西部地区学生20人：100×＝20人，故①正确；在②中，因为学生层次差异较大，且学生数量较多，应该利用分层抽样，故②错误；在③中，西部地区学生小刘被选中的概率为＝，故③正确；在④中，中部地区学生小张被选中的概率为＝，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查分层抽样、简单随机抽样、概率性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．【考点】BA：茎叶图．【解答】解：由茎叶图得这些数据从小到大依次为：78，81，83，86，93，95，∴这些数据的中位数是：＝84.5．故选：D．【点评】本题考查中位数的求法，考查中位数、茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．【考点】C4：互斥事件与对立事件．【解答】解：一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，从中任取3个球．事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，在A中，甲和乙能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，甲和丙是互斥而不对立事件，故B正确；在C中，乙和丙是对立事件，故C错误；在D中，乙和丁能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：B．【点评】本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．6．【考点】CF：几何概型．【解答】解：设月牙图形的面积为S，由边长为2的正方形面积为4，且＝，解得S＝0.6，∴月牙图形的面积大约是0.6．故选：C．【点评】本题考查了利用面积比计算几何概型的概率问题，是基础题．7．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：由锐角α满足，得，则＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是中档题．8．【考点】GZ：三角形的形状判断．【解答】解：△ABC中，﹣＝k×（其中k是非零常数），如图所示；∴﹣＝k×（﹣），∴+k＝k+，∴（+k）＝（k+），又、不共线，∴+k＝k+＝0，∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的线性运算问题，是基础题．9．【考点】EF：程序框图．【解答】解：若输入的x值为a，当a≤0时，y＝2a，则y＝log2y＝a，当a＞0时，y＝2﹣a，则y＝log2y﹣a＝﹣a，则输出u＝﹣|a|，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构进行求解即可．10．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：函数＝0，x∈[﹣3，5]．∴（x﹣1）＝kπ，解得x＝3k+1，k∈Z．令k＝﹣1，0，1，可得x＝﹣2，1，4．∴函数在区间[﹣3，5]上的所有零点之和＝﹣2+1+4＝3．故选：C．【点评】本题考查了函数零点、三角函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【解答】解：∵非零向量，夹角为θ，若||＝2||，＝2，不等式|2|≥|+λ|对任意θ恒成立∴，∴，整理可得，（13﹣λ2）+（8﹣4λ）cosθ≥0恒成立，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴，∴，∴﹣1≤λ≤3故选：A．【点评】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用．12．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：＝＝＝＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：从1～10这十个自然数中任选一个数，基本事件总数n＝10，该数为质数包含的基本事件个数m＝4，∴该数为质数的概率为p＝＝0.4．故答案为：0.4．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：根据题意，若数据x1，x2，…，x n的平均数是3，即（x1+x2+……+x n）＝3，方差是1，即[（x1﹣3）2 +（x2﹣3）2+……+（x n﹣3）2]＝1；则数据5﹣x1，5﹣x2，…，5﹣x n的平均数＝[（5﹣x1）+（5﹣x2）+……（5﹣x n）]＝5﹣（x1+x2+……+x n）＝5﹣3＝2，其方差S2＝[（5﹣x1﹣2）2 +（5﹣x2﹣2）2+……+（5﹣x n﹣2）2]＝[（x1﹣3）2 +（x2﹣3）2+……+（x n﹣3）2]＝1，故数据5﹣x1，5﹣x2，…，5﹣x n的平均数和方差之和为2+1＝3；故答案为：3．【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握平均数、方差的计算公式，属于基础题．15．【考点】EF：程序框图．【解答】解：由已知中程序框图可得：①在里程不超过3km的情况下，出租车费为8元，正确；②若乘车8.6km，此时按9km收取费用，需支付出租车费20元，正确；③乘车xkm的出租车费为8+2（x﹣3）只在x为整数时成立，不正确④乘车xkm与出租车费S的关系如图所示：S（单位：元），不正确故答案为：①②【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，难度中档．16．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由三角函数的最大值可知A＝2，不妨设＝m，则x1+x2＝2m，由三角函数的性质可知：2m+φ＝2kπ+，k∈Z，则：f（x1+x2）＝2sin[2（x1+x2）+φ]＝2sin（2×2m+φ）＝2sin[2×（2m+φ）﹣φ]＝2sin[2×（2kπ+）﹣φ]＝2sin[4kπ+π﹣φ]＝2sinφ＝，则sinφ＝，结合|φ|≤，故，φ＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：（Ⅰ）由题意得m+n＝（2m+n，3m﹣n）＝（5，10）∴，解得，∴m+n＝2．（Ⅱ）+λ＝（2+λ，3﹣λ），λa+b＝（2λ+1，3λ﹣1）•∵（+λ）∥（λ+），∴（2+λ）（3λ﹣1）＝（3﹣λ）（2λ+1）解得λ＝±1．【点评】本题考查了向量共线定理及其向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02．平均数估计值是96×0.02+98×0.18+100×0.38+102×0.30+104×0.10+106×0.02＝100.68．（Ⅱ）由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14．用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件．故该企业生产这批零件预计可获利润3.8×10+4.8×8﹣1.4×6＝68万元．【点评】本题主要考查了频率分布直方图，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．19．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（Ⅰ），，以y关于x的回归直线方程是y＝3x+9．（Ⅱ）当x＝8时，由回归方程可得y＝3×8+9＝33，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人．【点评】本题考查线性回归分析，考查运算能力．20．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：（Ⅰ）因为函数的最小正周期为π，得，解得ω＝2；又点为其图象上一个最高点，得A＝2，所以；又因为，所以；所以；（Ⅱ）由题意得，当时，；因为y＝sin x在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以g（x）在区间上的值域为（﹣1，2]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数图象平移应用问题，是基础题．21．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果有36种，分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），其中事件“甲获胜”包含的结果有15种，分别为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）．所以甲获胜的概率为p＝（Ⅱ）两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果有25种，分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），其中卡片上的数字之和为偶数的结果有13种，分别为：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）．根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平．【点评】本题考查概率的求法，考查考查概率的性质、古典概型的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，设OG与CF，DE分别交于M，N两点，由已知得CM＝ND＝OC sin x＝sin x，CF＝2CM＝2sin x．OM＝OC cos x＝cos x，，∴．故，∴．当时，；（Ⅱ）∵，∴，当且仅当，即时，S取得最大值．【点评】本题考查三角函数模型和三角两数的性质，考查应用意识，是中档题．。
2017-2018学年天一大联考(安徽版)高一期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年天一大联考（安徽版）高一期末考试数学试题一、单选题1．（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．下列选项中,与向量垂直的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可.详解：逐一考查所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；本题选择D选项.点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）A. 81B. 83C. 无中位数D. 84.5【答案】D【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可.详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：，则这些数据的中位数是.本题选择D选项.点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．5．一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查事件之间的关系即可.详解：由题意逐一考查所给的两个事件之间的关系：A.甲和乙既不互斥也不对立；B.甲和丙互斥而不对立；C.乙和丙互斥且对立；D.乙和丁既不互斥也不对立；本题选择B选项.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.6．已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A. 3.4B. 0.3C. 0.6D. 0.15【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．若锐角满足，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由同角三角函数基本关系可知：结合题意可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知满足(其中是常数)，则的形状一定是（）A. 正三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．9．如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可.详解：结合流程图分类讨论：若，则，输出值，若，则，输出值，即输出值为：.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10．函数在区间上的所有零点之和等于（）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数的零点满足：，解得：，取可得函数在区间上的零点为：，则所有零点之和为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．设非零向量夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法则进行化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：不等式等价于：，即，①其中，，将其代入①式整理可得：，由于是非零向量，故：恒成立，将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：，解得：；且：，解得：；综上可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．【答案】0.4【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由质数的定义可知：这十个自然数中的质数有：等4个数，结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 14．数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是__________．【答案】3【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：数据，，…，的平均数为：，方差为：，则平均数和方差之和是.点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②若乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如图所示：则正确表述的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：结合流程图逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①在里程不超过的情况下，，则，即出租车费为8元，该说法正确；②由流程图可知，超出的部分的计费方式为向上取整后每公里元，若乘车，，需支付出租车费为：元，该说法正确.当乘车里程为和时，出租车车费均为元，据此可知说法③④错误.综上可得，正确表述的序号是①②.点睛：本题主要考查流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如图为函数的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________．【答案】【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由三角函数的最大值可知，不妨设，则，由三角函数的性质可知：，则：，则，结合，故.点睛：本题主要考查三角函数图象的对称性，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．已知向量，.(1)若实数满足，求的值；(2)若，求实数的值.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：(1)由题意得，据此求解关于m,n的方程组有所以.(2)由题意可得，，结合向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程可知.详解：(1)由题意得所以解得所以.(2)，，·因为，所以解得.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间内，则为一等品；若长度在或内，则为二等品；否则为不合格产品.现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示.(1)试估计该样本的平均数；(2)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润.【答案】（1）100.68；（2）68万元【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.据此可估计该企业生产这批零件所获得的利润为万元.详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02.平均数估计值是.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件.故该企业生产这批零件预计可获利润万元.点睛：频率分布直方图问题需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 19．某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表：参加人数(1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程；（2）根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.其中，.【答案】（1）；（2）33【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得，，则线性回归方程为.(2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.详解：(1)，，所以关于的回归直线方程是.(2)当时，由回归方程可得，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20．函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得.由最大值可知，结合三角函数的性质可得，则.(2)由题意得，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域为.详解：(1)因为最小正周期为，得，.点为其图象上一个最高点，得，，又因为，所以.所以.(2)由题意得，当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以在区间上的值域为.点睛：本题主要考查三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为.(2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，则这个规则不公平.详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，共36种，其中事件“甲获胜”包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，共13种.根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.（1）若，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，取得最大值.详解：(1)如图所示，设与，分别交于，两点，由已知得，.，，所以.故，所以，当时，.(2)因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值.点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
2017-2018学年安徽省六安一中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年安徽省六安一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x-y+2=0的倾斜角是（）A. B. C. D.2.空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（3，4，5），则线段AB的中点坐标为（）A. 3，B. 3，C. 3，D. 4，3.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（）A.B.C.D.4.下列四个命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行直线确定三个平面．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知圆C1：x2+y2-6y+8=0，圆C2：x2+y2-8x+7=0，则两圆C1，C2的位置关系为（）A. 相离B. 相外切C. 相交D. 相内切6.光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为( )A. B. C. D.7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为（）A. 0B.C.D.8.已知α，β是两相异平面，m，n是两相异直线，则下列错误的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则9.若P是圆C：x2+（y-3）2=1上动点，则点P到直线y=kx-1距离的最大值（）A. 3B. 4C. 5D. 610.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积可能等于（）A. B. C. D. 211.直线x+y+m=0与圆x2+y2-4x-6=0相交于A，B两点，若|AB|≥2，则m的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线AM，BM相交于点M，且直线BM的斜率与直线AM的斜率的差是1，则点M的轨迹方程为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：（x-4）2+y2=25，则两圆公切线的方程为______．14.已知点P（x，y）为圆x2+y2=1上的动点，则x2-4y的最小值为______．15.如图，二面角α-l-β的大小是30°，线段ABα，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成角的正弦值是______．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x+1）2+y2=36，点B（1，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设b，a分别为点F，D的横坐标，定义函数b=f（a），给出下列结论：①f（1）=1；②f（a）是偶函数；③f（a）在定义域上是增函数；④f（a）图象的两个端点关于圆心A对称；⑤动点F到两定点A，B的距离和是定值．其中正确的是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知两条直线l1：（a-1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0．（Ⅰ）若l1∥l2，求实数a的值；（Ⅱ）若l2l1，求实数a的值．18.如图所示，PA是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，PA=AB=2．（1）求证：BC PC；（2）求三棱锥P-ABC体积的最大值，并写出此时三棱锥P-ABC外接球的表面积．19.已知方程x2+y2+6mx-4my+12=0（m∈R）．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若此方程表示圆C，且点A（-2，2）在圆C上，求过点P（1，1）的圆C的切线方程．20.在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x-3的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C．（1）求圆C的方程；（2）若过点P（0，2）的直线l与圆C相交，所截得的弦长为4，求直线l的方程．21.如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：平面BDE平面ACF．22.已知圆O：x2+y2=1和定点T（3，2），由圆O外面动点P（m，n）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PT|．（1）求证：动点在定直线上；（2）求线段PQ长的最小值并写出此时点P的坐标；答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．先求出直线x-y+2=0的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可．【解答】解；设倾斜角为α，∵直线x-y+2=0的斜率为，又因为，∴tanα=，∴α=30°.故选A．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查线段的中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．利用中点坐标公式直接求解．【解答】解：∵点A（1，2，3），B（3，4，5），根据线段的中点坐标公式可得线段AB的中点坐标是，即（2，3，4）．∴线段AB的中点坐标为（2，3，4）．故选A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查三视图的与几何体的关系，考查空间想象能力，属于基础题.利用三视图的正视图与俯视图，判断几何体的形状，然后推出结果即可.【解答】解：由几何体的三视图可知，三棱锥的顶点在底面的射影在底面棱上，可知几何体如图：则侧视图为选项D.故选D.4.【答案】A【解析】【分析】根据平面的公理与性质，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了平面的公理与性质的应用问题，是基础题．【解答】解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①错误；对于②，一条直线和这条直线外的一个点确定一个平面，∴②错误；对于③，若四点不共面，则每三点一定不共线，假设有三点共线，则这四点一定共面，这与已知四点不共面矛盾，∴假设不成立，③正确；对于④，三条平行直线可以确定一个或三个平面，∴④错误；综上，其中正确的命题序号是③．故选：A．5.【答案】A【解析】【分析】分别求得两圆的圆心和半径，以及圆心距离和半径之和、之差的关系，即可判断两圆的位置关系．本题考查两圆的位置关系，求得圆的圆心和半径，运用圆心距离和半径的和与差的关系是解题关键，属于基础题．【解答】解：圆C1：x2+y2-6y+8=0，即C1（0，3），半径r1=1；圆C2：x2+y2-8x+7=0，即C2（4，0），半径r2=3；可得|C1C2|==5，即|C1C2|＞r1+r2，可得两圆C1，C2的位置关系为相离．故选A．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．先求出y=2x+11与y=x的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X轴的交点（1，0），然后两点确定直线．【解答】解：直线y=2x+1与y=x的交点为（-1，-1），又直线y=2x+1与y轴的交点（0，1）被y=x反射后，经过（1，0）所以反射后的光线所在的直线方程为：.故选B．7.【答案】A【解析】解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设AB=AC=AA1=1，则B（1，0，0），A1（0，0，1），C（0，1，0），B1（1，0，1），∴，，∴cos＜＞==0．故选：A．由题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用向量求解异面直线BA1与B1C 所成角的余弦值．本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，是中档题．8.【答案】B【解析】解：由α，β是两相异平面，m，n是两相异直线，得：在A中，若mα，mβ，则由面面垂直的判定定理得αβ，故A正确；在B中，若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若m∥n，mα，则由线面垂直的判定定理得nα，故C正确；在D中，若mα，nβ，m∥n，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：B．在A中，由面面垂直的判定定理得αβ；在B中，m与n平行或异面；在C中，由线面垂直的判定定理得nα；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线y=kx-1距离的最大值，加半径得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．【解答】解：如图，圆C：x2+（y-3）2=1的圆心坐标为（0，3），半径为1，直线y=kx-1过定点（0，-1），由图可知，圆心C到直线y=kx-1距离的最大值为4，则点P到直线y=kx-1距离的最大值为4+1=5．故选C．10.【答案】C【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为[1，]．，＜1，2，则该正方体的正视图的面积可能等于．故选：C．求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为[1，]即可得出．正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为[1，]是解题的关键．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．由垂径定理求得弦AB的长，代入|AB|≥2求得m的取值范围．【解答】解：由圆x2+y2-4x-6=0，得（x-2）2+y2=10，∴圆的圆心坐标为C（2，0），半径为．圆心C（2，0）到直线x+y+m=0的距离d=，则|AB|=，由|AB|≥2，得≥2，解得-8≤m≤4．∴m的取值范围是[-8，4]．故选C．12.【答案】B【解析】【分析】设P（x，y），k AM-k BM=，由此能求出动点P的轨迹方程.本题考查点的轨迹方程的求法，注意直线的斜率公式的合理运用，是中档题.【解答】解：设M（x，y），则k AM-k BM=，整理得y=，（x≠±2）.∴动点P的轨迹方程是y=，（x≠±2）.故选B.13.【答案】x+1=0【解析】【分析】根据题意判断两圆内切，公切线只有一条，求出即可，本题考查了求内切两圆的公切线方程问题，是基础题．【解答】解：∵圆C1：x2+y2=1的圆心为C1（0，0），半径为r1=1；圆C2：（x-4）2+y2=25的圆心为C2（4，0），半径为r2=5；∴则|C1C2|=r2-r1，∴两圆内切，切点为（-1，0），∴两圆的公切线方程为x+1=0．故答案为：x+1=0．14.【答案】-4【解析】【分析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程的转换，一元二次函数的性质的应用．首先通过方程的转换，把函数的关系式转换成二次函数的顶点式，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：点P（x，y）为圆x2+y2=1上的动点，设P（cosθ，sinθ），则：x2-4y=cos2θ-4sinθ=1-sin2θ-4sinθ=-（sinθ-2）2+5，当sinθ=-1时，最小值为-9+5=-4．故答案为-4．15.【答案】【解析】【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α-l-β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD l，故∠ADC为二面角α-l-β的平面角为30°，又由已知，∠ABD=45°，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD=2，则AC=1，CD=，AB=2，∴sin∠ABC==．故答案为：．16.【答案】③④⑤【解析】【分析】本题考查圆的方程，考查函数知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：①根据b，a分别为点F，D的横坐标，定义函数b=f（a），可知，不正确；②由b=f（a），a∈[-7，5]不关于原点对称，可得f（a）是偶函数,错误；③由图形知，点D向右移动，点F也向右移动，可得f（a）在定义域上是增函数；④由图形知，当D移动到圆A与x轴的左右交点时，分别得到函数图象的左端点（-7，-3），右端点（5，3），故f（a）图象的两个端点关于圆心A对称；⑤A，B坐标不变，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，结合椭圆的定义，可得值D动点F到两定点A，B的距离和是定值，长度不变，正确．故答案为：③④⑤．17.【答案】解：（Ⅰ）由a（a-1）-2×1=0，得a=2或-1，经检验，均满足．（Ⅱ）由（a-1）×1+2a=0，得a=．【解析】（Ⅰ）若l1∥l2，则a（a-1）-2×1=0，得a=2或-1，即可求实数a的值；（Ⅱ）若l1l2，则（a-1）×1+2a=0，即可求实数a的值．本题考查两条直线平行、垂直关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础．18.【答案】证明：（1）∵PA是圆柱的母线，∴PA平面ABC，又BC平面ABC，∴PA BC，∵AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，∴BC AC，又AC∩PA=A，∴BC平面PAC，又PC平面PAC，∴BC PC．解：（2）由已知得三棱锥P-BC的高PA=2，当直角△ABC的面积最大时，三棱锥P-ABC的体积最大，当点C在弧AB中点时S△ABC=1最大，∴V P-ABC==，结合（1）可得三棱锥P-ABC的外接球的直径即为PB，∴此时外接球的直径2R==2，解得R=，∴三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=8π．【解析】（1）推导出PA BC，BC AC，从而BC平面PAC，由此能证明BC PC．（2）三棱锥P-BC的高PA=2，当直角△ABC的面积最大时，三棱锥P-ABC的体积最大，当点C在弧AB中点时S△ABC=1最大，三棱锥P-ABC的外接球的直径即为PB，由此能求出三棱锥P-ABC外接球的表面积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】解：（1）若方程x2+y2+6mx-4my+12=0表示圆，则36m2+16m2-4×12＞0，解得m＜-，或m＞；（2）由点A（-2，2）在圆C上，可得4+4-12m-8m+12=0，即m=1，此时圆心C（-3，2），半径r=1，由已知得所求圆的切线斜率存在，设为k，切线方程为：y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0．由，解得k=0或k=，∴切线方程为：y=1或8x+15y-23=0．【解析】（1）由D2+E2-4F＞0，即可求得m的取值范围；（2）把A的坐标代入圆的方程，求得m值，进一步求出圆心坐标与半径，设出圆的切线方程，再由圆心到直线的距离等于半径求解．本题考查圆的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．20.【答案】解：二次函数二次函数f（x）=x2+2x-3的图象与两坐标轴轴的三个交点分别记为A（-3，0），B（1，0），D（0，-3），（1）线段AD的垂直平分线为y=x，线段AB的垂直平分线x=-1，两条中垂线的交点为圆心C（-1，-1），又半径r=，∴圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=5；（2）已知圆的半径r=，弦长为4，所以圆心到直线的距离为1，若直线斜率不存在时，即x=0时，满足题意；当直线斜率存在时，设直线斜率存在为k，直线方程为y=kx+2，=1解得k=，此时直线方程为：4x-3y+6=0，所以直线l的方程为：x=0或4x-3y+6=0．【解析】本题考查圆的方程的求法，注意运用圆的定义，考查直线方程的求法，注意分类讨论思想和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．（1）求得二次函数的图象与坐标轴的交点，以及线段AD，AB的垂直平分线，可得圆心和半径，可得圆方程；（2）求得圆心到直线的距离，讨论直线的斜率不存在和存在，运用点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线方程．21.【答案】证明：（1）设BD与AC交于点O，连接OE、OH．∵O、H分别为AC，BC中点，∴OH∥AB，OH=AB，∴EF∥AB，EF=AB，∴OH=EF，OH∥EF，∴四边形OEFH为平行四边形，∴FH∥OE，又∴FH⊄平面BDE，OE平面BDE，∴FH∥平面BDE．（2）∵EF∥AB，EF FB，AB∩FB=B，∴EF平面ABF，∵FB平面ABF，∴AB FB，∵AB BC，BC∩FB=B，∴AB平面BCF，∵FH BCF，∴AB FH，∵FH BC，AB∩BC=B，∴FH平面ABCD，又FH∥OE，∴OE平面ABCD，∵AC平面ABCD，∴OE AC，∵AC BD，AC∩BD=O，∴AC平面BDE，又AC平面ACF，∴平面BDE平面ACF．【解析】（1）设BD与AC交于点O，连接OE、OH．推导出四边形OEFH为平行四边形，从而FH∥OE，由此能证明FH∥平面BDE．（2）推导出EF平面ABF，AB FB，AB BC，从而AB平面BCF，AB FH，再由FH BC，得FH平面ABCD，从而OE平面ABCD，进而OE AC，由AC BD，得AC平面BDE，由此能证明平面BDE平面ACF．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.【答案】（1）证明：由|PQ|=|PT|得|PQ|2=|OP|2-1=|PT|2，∴3m+2n-7=0．即动点P在定直线3x+2y-7=0上；（2）解：由|PQ|2=|OP|2-1，∴|PQ|的最小值即为|OP|的最小值，又点P在直线3x+2y-7=0上，∴|PQ|min=．此时直线OP的方程为2x-3y=0，联立直线3x+2y-7=0，解得点P（，）．【解析】（1）利用勾股定理，结合|PQ|=|PT|，可得动点在定直线3x+2y-7=0上；（2）由|PQ|2=|OP|2-1，可得|PQ|最小值即为|OP|的最小值，又点P在直线3x+2y-7=0上，求出|PQ|的最小值，得到直线OP的方程2x-3y=0和直线3x+2y-7=0联立求解即可得点P的坐标．本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．。
安徽省滁州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(word版含答案)
滁州市2017-2018学年第一学期高一期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,2,4,1,2,3A B ==，则A B = （ ）A ．{}3,4B ．{}1,2C ．{}2,3,4D ．{}123,4，，2. 已知角α的始边是x 轴的正半轴，终边经过点()3,4-，且4si n 5α=，则t a n α=（ ） A ．43-B ．34-C ．43D ．343. 计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ． 3B ． 2C ．2x +D ．12x +4. 已知向量()()3,2,2,a b x ==，若a b ⊥ ，则23a b -= （ ）A ．．9 C. 13 D ．5. 若幂函数()af x x =的图象过点()4,2，则满足()11f x ->的实数x 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()2,+∞ C. ()1,1- D ．(),2-∞ 6.函数()()1sin cos 32f x x x ππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的最大值是 （ ） A ．43 B ．23 C. 1 D ．137.下列函数是奇函数，且在()0,+∞上是增函数的是 （ ）A ．21x y x +=B ．21x y x-= C. 22x x y -=+ D ．lg 1y x =+8. 若3sin 4α=，α是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16．16- C. 16 D ．116-9.函数33x y x =+的零点为0x ，则 （ ） A ．031,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭ B ．031,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ C. 011,24x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D ．01,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10. 在平行四边形ABCD 中，E 是CD 中点，F 是BE 中点，若AF mAB nAD =+，则（ ）A ．31,42m n == B ．13,44m n == C. 11,22m n == D ．13,24m n ==11.曲线1:sin C y x =，曲线2:cos2C y x =，下列说法正确的是 （ ） A ．将1C 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移4π个单位，得到2C B ．将1C 上所有点横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移4π个单位，得到2C C. 将1C 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移2π个单位，得到2C D ．将1C 上所有点横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移2π个单位，得到2C 12.若不等式()2log 14x a x +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．(],0-∞ B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. [)0,+∞ D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.若cos 2sin cos ααα=+，则tan 2α= ．14. ()()4log 1,01,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，则()()11f f -+= ．15.若函数()2231y x a x =+-+在[]1,3是单调函数，则实数a 的取值范围是 ．16.已知函数()()2cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则ω的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知向量()([]cos ,sin ,,0,a x x b x π==∈．（1）若a 与b共线，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值，及相应的x 的值．19.已知函数()31x f x x a+=+的图象过点()1,4-． （1）若()210f x =，求实数x 的值；（2）当[]5,1x ∈-时，求函数()f x 的取值范围． 20.函数()()cos 20,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （1）求,,A ωϕ的值；（2）求图中,a b 的值及函数()f x 的递增区间．21.已知,αβ都是锐角，()14sin ,sin 235ααβ=-=． （1）求cos β的值；（2）求()sin αβ-的值．22. 已知函数()3131x x f x +=-．（1）求证：()f x 是奇函数； （2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）已知关于t 的不等式()()222310f t t f t -++--<恒成立，求实数t 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: DADCB 6-10:BBCCA 11、12：BD二、填空题13. 13-14. 52 15. 31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭16.1 三、解答题17.解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x =≤<=≤ ；（2）∵{}|,1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+， ∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．18.解：（1）∵a 与bsin 0x x -=，∴tan x =[]0,x π∈，∴3x π=；（2）()cos 2sin 6f x a b x x x π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ，∵[]0,x π∈，∴7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()12f x -≤≤， 当62x ππ+=即3x π=时，()f x 取得最大值2；当766x ππ+=，即x π=时，()f x 取得最小值-1．19.解：（1）()1141f a==-+，∴2a =-， ()222223110,3110202x f x x x x +==+=--，∴22721,3x x ==，∴x = （2）()()3273173222x x f x x x x -++===+---， 显然()f x 在[)2,+∞与(),2-∞上都是减函数， ∵[](]5,1,2-⊆-∞，∴()f x 在[]5,1-上是减函数， ∵()()77532,13471f f -=+==+=---，∴()[]4,2f x ∈-． 20.解：（1）由图知2452,23123A T πππω⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，∴1ω=，∴()()2cos 2f x x ϕ=+， 又52,0312f f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴5cos 1,cos 036ππϕϕ2⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴3πϕ=-；（2）由（1）知()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由512a T ππ-==， ∴()7,02cos 1123a b f ππ⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭， 由()2223k x k k Z ππππ-≤-≤∈得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 21.解：因为,αβ都是锐角()14sin ,sin 235ααβ=-=，所以cos 3α==，且()30,2,cos 24225πππααβαβ<<-<-<-=，所以227sin 22sin cos 2cos sin 99αααααα===-=，（1）()()()21cos cos 22cos 2cos 2sin 2sin 215βααβααβααβ+=--=-+-=⎡⎤⎣⎦；（2）()()()()3sin sin 2sin 2cos cos 2sin 15αβαβααβααβα-=--=---=⎡⎤⎣⎦． 22．（1）证明：由310x-≠，得0x ≠，∵()()31133113x xxxf x f x --++-===---， ∴()f x 是奇函数；（2）解：()f x 的单调减区间为(),0-∞与()0,+∞没有增区间， 设120x x <<，则()()()()()()()21121221121212121212233313133313331313131313131x x x x x x x x x x x x x x x x xx f x f x --+++----++-=-==------ ．∵120x x <<，∴21331x x>>， ∴2112330,31,310x x x x->-->，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >， ∴()f x 在()0,+∞上是减函数， 同理，()f x 在(),0-∞上也是减函数；（3）()f x 是奇函数，∴()()2211f t f t --=-+，∴()()222310f t t f t -++--<化为()()22231f t t f t -+<+，又()()22223120,10,t t t t f x -+=-+>+>在()0,+∞上是减函数，∴22231t t t -+>+，∴1t <，即(),1t ∈-∞．。
2017-2018年安徽省合肥一中高一上学期数学期末试卷(解析版)
2017-2018学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x＜8}，N={x|x＞4}，则M∪N=（）A．（4，+∞）B．[﹣1，4）C．（4，8）D．[﹣1，+∞）2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）C．D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称4．（5分）已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 5．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）6．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断7．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为，则•=（）A．2B．3C．4D．59．（5分）（理）设点是角α终边上一点，当最小时，sinα﹣cosα的值是（）A．B．C．或D．或10．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f （a）=f （b）=f （c），则a+b+c 的取值范围是（）A．（1，2 017）B．（1，2 018）C．[2，2 018]D．（2，2 018）11．（5分）已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则•的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．D．[﹣1，0）12．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0B．C．D．1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为4，若f（﹣1）=2，且函数的则f（2017）的值为．14．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（log4x）＞0的解集是．15．（5分）已知||=4，||=8，=x，且x+2y=1，∠AOB是钝角，若f（t）=||的最小值为2，则||的最小值是．16．（5分）已知函数f（x）=2sin （2x+），记函数f（x）在区间[t，t+]上的最大值为M t最小值为m t，设函数h（t）=M t﹣m t，若t∈[]，则函数h（t）的值域为．三、解答题（本题共6道题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=．求下列各式的值：（1）sinα﹣cosα；（2）．19．（12分）函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）．（1）求函数f（x）的零点．（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，，锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）当时，求α的值；（Ⅱ）在轴上是否存在定点M，使得恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）=log 4（4x+1）．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若函数h（x）=f（x）﹣在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．22．（12分）已知f（x）=ax2﹣2x+2，a∈R（1）已知h（10x）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；（2）若f（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围；（3）设函数F（x）=|f（x）|，若对任意x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，满足＞0，求实数a的取值范围．2017-2018学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x＜8}，N={x|x＞4}，则M∪N=（）A．（4，+∞）B．[﹣1，4）C．（4，8）D．[﹣1，+∞）【解答】解：∵集合M={x|﹣1≤x＜8}，N={x|x＞4}，∴M∪N={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞）．故选：D．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）C．D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x＞﹣2且x≠﹣1．∴函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．故选：B．3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，故选：A．4．（5分）已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【解答】解：a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b＞c．∴b＞c＞a．故选：D．5．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．6．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断【解答】解：函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=，函数不是列出函数，定义域为R，没有零点．则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D．8．（5分）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为，则•=（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：=（2sin13°，2sin77°）=（2sin13°，2cos13°），||=2，|﹣|=1，与﹣的夹角为，所以==﹣，1=4﹣，∴•=3，故选：B．9．（5分）（理）设点是角α终边上一点，当最小时，sinα﹣cosα的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，﹣∞）故当=±2时，最小当=﹣2时，sinα﹣cosα=﹣（﹣）=当=2时，sinα﹣cosα=﹣=﹣故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f （a）=f （b）=f （c），则a+b+c 的取值范围是（）A．（1，2 017）B．（1，2 018）C．[2，2 018]D．（2，2 018）【解答】解：作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．11．（5分）已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则•的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．D．[﹣1，0）【解答】解：如图，∵OA=OB=1，∠AOB=120°；∴O到直线AB的距离d=；∴；∴==；∴；∴的取值范围为．故选：A．12．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0B．C．D．1【解答】解：∵（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，可得：（α﹣）3﹣cos（）﹣2=0，即（﹣α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[﹣，0]，∴∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]可知函数f（x）在x∈[﹣π，0]是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为4，若f（﹣1）=2，且函数的则f（2017）的值为﹣2．【解答】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数且f（﹣1）=2，∴f（1）=﹣2，又∵函数的周期为4，∴f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=﹣2，故答案为：﹣214．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（log4x）＞0的解集是（，1）∪（2，+∞）．【解答】解：定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（）=0，可得f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（）=﹣f（）=0，当log4x＞0即x＞1，f（log4x）＞0即为log4x＞，解得x＞2；当log4x＜0即0＜x＜1，f（log4x）＞0即为log4x＞﹣，解得＜x＜1．综上可得，原不等式的解集为（，1）∪（2，+∞）．故答案为：（，1）∪（2，+∞）．15．（5分）已知||=4，||=8，=x，且x+2y=1，∠AOB是钝角，若f（t）=||的最小值为2，则||的最小值是4．【解答】解：∵f（t）=||的最小值为2，根据图形可知，当（）时，f（t）=||有最小值，即||=2，，∵||=4，∴∠AOM=30°，∴∠AOB=120°，∴==4×=﹣16，∵=x，且x+2y=1，∴=++2xy，∵16x2+64y2﹣32xy=192y2﹣96y+16≥4，即||的最小值4，故答案为：4．16．（5分）已知函数f（x）=2sin （2x+），记函数f（x）在区间[t，t+]上的最大值为M t最小值为m t，设函数h（t）=M t﹣m t，若t∈[]，则函数h（t）的值域为[1，2] ．【解答】解：f（x）=2sin （2x+），∴f（x）在[﹣+kπ，+kπ]上单调递增，在（+kπ，π+kπ]上单调递减，k∈Z，∵t∈[]，∴t+∈[，]，当t∈[，]，f（x）单调递增，最大值为2，当t+∈[，]上f（x）单调递减，最小值为2sin（2t++）=2cos（2t+），那么h（t）=2﹣2cos（2t+），t∈[，]，∴2t+∈[，]，可得函数的h（t）的值域为[1，2]，当t∈（，]，f（x）单调递减，最大值为sin（2t+），当t+∈[，]上f（x）单调递减，最小值为2sin（2t++）=2cos（2t+），那么h（t）=sin（2t+）﹣2cos（2t+）=2sin（2t﹣），t∈（，]，∴2t﹣∈（，]，可得函数的h（t）的值域为[2，2]，综上可得函数h（t）值域为[1，2]，故答案为：[1，2]三、解答题（本题共6道题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}，则A∪B={x|﹣2＜x≤7}，又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|﹣2＜x＜1}，（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4，②、当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得﹣1＜m＜，综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．18．（12分）已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=．求下列各式的值：（1）sinα﹣cosα；（2）．【解答】解：（1）由sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=，得sinα+cosα=．①将①式两边平方，得1+2sinαcosα=．∴2sinαcosα=﹣．又，∴sinα＞0，cosα＜0．∴sinα﹣cosα＞0．∴（s inα﹣cosα）2=（sinα+cosα）2﹣4sinαcosα==．∴sinα﹣cosα=；（2）=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=．19．（12分）函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）．（1）求函数f（x）的零点．（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，所以函数的定义域为：（﹣3，1），函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3），由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，解得x=﹣1±，∵x=﹣1±∈（﹣3，1），∴f（x）的零点是﹣1±；（2）函数可化为：f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4]，∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4即f（x）min=log a4，由题知，log a4=﹣2，∴a﹣2=4∴a=．20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，，锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）当时，求α的值；（Ⅱ）在轴上是否存在定点M，使得恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）P（cosα，sinα）．…（2分），=cos2α﹣cosα+sin2α=﹣cosα，因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…（7分）（Ⅱ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，…（12分）所以对任意成立，所以，所以m=﹣2．M点的横坐标为﹣2．…（16分）法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2﹣2mcosα﹣4cosα﹣4=0，（m+2）[（m ﹣2）﹣2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=﹣2，M点的横坐标为﹣2．…（16分）21．（12分）已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）=log4（4x+1）．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若函数h（x）=f（x）﹣在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为，…①，∴，∴…②由①②得，，．（2）由=．得：，令t=2x，则t＞0，即方程…（*）只有一个大于0的根，①当a=1时，，满足条件；②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，∴a＞1，③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则△=8a2+4（a﹣1）=0，∴，a=﹣1（舍）时，，综上：或a≥1．22．（12分）已知f（x）=ax2﹣2x+2，a∈R（1）已知h（10x）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；（2）若f（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围；（3）设函数F（x）=|f（x）|，若对任意x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，满足＞0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令10x=t即x=lgt，由h（10x）=ax2﹣x+3得h（t）=alg2t﹣lgt+3即h（x）=alg2x﹣lgx+3（2）由题意得：ax2﹣2x+2＞0即恒成立，，当x=2时，所以a得取值范围为（3）由题意得F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增，①当a＜0时，f（x）=ax2﹣2x+2，对称轴为又因为f （0）＞0且f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，且f （1）=a ＜0， 所以F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．②当a=0时，f （x ）=﹣2x +2，f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，且f （1）=0， 所以F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增； ③当时，f （x ）=ax 2﹣2x +2，对称轴为，所以f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，要使F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．f （1）=a ＜0不符合，舍去； ④当时，f （x ）=ax 2﹣2x +2，对称轴为，可知F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]不单调． ⑤当a ≥1时，f （x ）=ax 2﹣2x +2，对称轴为所以f （x ）在x ∈[1，2]单调递增，f （1）=a ＞0 要使F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．故a ≥1； 综上所述，a 的取值范围为（﹣∞，0]∪[1，+∞）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q) ()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。
2017-2018学年安徽省六安市舒城县高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年安徽省六安市舒城县高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共14小题，共56.0分）1.下列关系式中，正确的是（）A. B.C. D.2.3.已知角α的终边经过点P（4，-3），则2sinα+cosα的值等于（）A. B. C. D.4.已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A. B. C. D.5.设x0是方程ln x+x=4的解，则x0属于区间（）A. B. C. D.6.已知平面向量与的夹角等于，若||=2，||=3，则|2-3|=（）A. B. C. 57 D. 617.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）A. B.C. D.8.已知f（x）=log（x2-2x）的单调递增区间是（）A. B. C. D.9.设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，，，若=1+cos（A+B），则C=（）A. B. C. D.10.已知向量=（2cosφ，2sinφ），φ（，π），=（0，-1），则向量与的夹角为（）A. B. C. D.11.化简cos2（-）-cos2（+）=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，＜＜，，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A. B. C. D.13.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x1+2015）成立，则ω的最小值为（）A. B. C. D.14.已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）15.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______cm2．16.=（2，3），=（-3，5），则在方向上的投影为______．17.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式f（x）=______18.已知函数＜在（-∞，+∞）上是增函数，则a的限值范围是______．19.对实数a、b定义一个运算：a⊕b=，设函数f（x）=（x2-2）⊕（x-x2）（x R），若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）20.（1）解方程：log3（6x-9）=3．（2）计算：．21.已知向量，不共线，=k+，=-．（1）若 ∥，求k的值，并判断，是否同向；（2）若||=||，与夹角为60°，当k为何值时， ⊥．22.已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．（1）求f（9），f（27）的值；（2）若f（3）+f（a-8）＜2，求实数a的取值范围．23.已知α，β（0，π），且tanα，tanβ是方程x2+5x+6=0的两根，（1）求α+β的值；（2）求cos（α-β）的值．24.A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．（Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；（Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．25.如图，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地EFGH面积为y．（1）写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域；（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？并求出最大值．26.已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k）（k Z）满足f（2）＜f（3）．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．27.已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b（b R），记h（x）=f（x）-．（1）若2x h（2x）+mh（x）≥0对于一切x[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．（2）对任意x[1，2]，都存在x1，x2[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2）．若f（x1）=g（x2），求实数b的值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：在A中，，故A错误；在B中，{（a，b）}≠{（b，a）}，故B错误；在C中，2{1，2}，故C正确；在D中，∅⊆{0}，故D错误．故选C．2.【答案】B【解析】解：由题目中的表格中的数据可知，f（1）=4∴f（f（1））=f（4）=2故选：B．由表格中的数据可知，f（1）=4，f（f（1））=f（4）=2可求本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是表格所给出的对应关系要弄明白3.【答案】D【解析】解：利用任意角三角函数的定义，sinα===-，cosα==∴2sinα+cosα=2×（-）+=-故选：D．利用任意角三角函数的定义，分别计算sinα和cosα，再代入所求即可本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题4.【答案】B解：log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，故a＞c＞b，故选：B．根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设f（x）=lnx+x-4，则f（2）=ln2+2-4=ln2-2＜0，f（3）=ln3+3-4=ln3-1＞0，所以x0属于区间（2，3）．故选：C．可先构造出函数f（x）=lnx+x-4，带入可得f（2）＜0，f（3）＞0，据此解答．本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：平面向量与的夹角等于，若||=2，||=3，则=2•3•cos=3，则|2-3|====．故选：B．利用本题主要考查两个向量的数量积的定义求得的值，再根据|2-3|=，计算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据指数函数可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D由于对称轴在（-1，0），所以函数的一个解（-1，0），故C 不正确故选：A．根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a-b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．8.【答案】C【解析】解：令t=x2-2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（-∞，0）（2，+∞），且f（x）=log（x2-2x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2-2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2-2x在定义域内的减区间为（-∞，0），故选：C．令t=x2-2x＞0，求得函数的定义域，且f（x）=g（t）=log t，根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2-2x在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数t=x2-2x在定义域内的减区间．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：因为=又因为所以又C=π-（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选：C．利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π-（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能．10.【答案】B【解析】解：设向量与的夹角为θ，θ[0，2π]，∴向量=（2cosφ，2sinφ），φ（，π），=（0，-1），∴cosθ===-sinφ=cos（φ+），结合φ+（π，），可得θ=φ+，故选：B．设向量与的夹角为θ，θ[0，2π]，根据cosθ==-sinφ=cos（φ+），求得θ的值．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，诱导公式的应用，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：cos2（-）-cos2（+）=-=[cosxcos+sinxsin-（cosxcos-sinxsin）]=•2sinxsin=-•2•sinxsin=-sinx，故选：A．由题意利用二倍角的余弦公式，求得所给式子的值．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴-log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4-（x3+x4）+1=x3x4-11，∵2＜x3＜x4＜10∴的取值范围是（9，21）．故选：B．画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10，由此可得则的取值范围．本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：显然要使结论成立，只需保证区间[x1，x1+2015]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，又∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），则2015≥•，则ω的最小值为：，故选：B．由题意可得区间[x1，x1+2015]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（ωx+），由2015≥•求得ω的最小值．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．14.【答案】D【解析】解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1，可得f（1）=2f（1），∴f（1）=0，令x=2，y=，可得f（1）=f（2）+f（）∴f（2）=-1，那么f（2）+f（2）=f（4）=-2．由不等式f（-x）+f（3-x）≥-2，可得：f（x2-3x）≥f（4），∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），∴f（x）是递减函数，∴解得：-1≤x＜0．故选：D．判断f（x）的单调性即可去掉“f”，转化为不等式即可求解；本题主要考查抽象函数中的赋值法和单调性定义的应用．15.【答案】4【解析】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α，由于α=2弧度，可得：l=Rα=2R，由于扇形的周长为8=l+2R，所以解得：R=2，扇形的弧长l=2×2=4，扇形的面积为：S=lR=×4×2=4（cm2）．故答案为：4．设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：∵=（2，3），=（-3，5），∴，，则=．故答案为：．由已知向量的坐标求出与，代入投影公式得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是基础题．17.【答案】2sin（2x+）【解析】解：由图观察可得A=2，=-==，∴T=π，∴ω==2，所以f（x）=2sin（2x+φ），代入最高点（，2）得sin（+φ）=1，∴φ=，故答案为2sin（2x+）由图观察得A，T，然后求得ω，再代入最高点可求得φ．本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．属中档题．18.【答案】1＜a≤2【解析】解：∵函数在（-∞，+∞）上是增函数，∴解得1＜a≤2故a的限值范围是1＜a≤2故答案为：1＜a≤2由已知中函数在（-∞，+∞）上是增函数，根据分段函数单调性的性质，我们可得每段函数均为增函数，且在分界点处右边的函数值不小于左边的函数值，由此构造关于a的不等式组，解不等式组，即可得到答案．本题考查的知识点是指数函数的单调性，一次函数的单调性及分段函数的单调性，其中根据分段函数单调性的性质，得到每段函数均为增函数，且在分界点处右边的函数值不小于左边的函数值，由此构造关于a的不等式组，是解答本题的关键．19.【答案】（-∞，-2]（-1，-）【解析】解：令x2-2-（x-x2）≤1，解得-1≤x≤，∴f（x）=，作出函数y=f（x）的图象如图所示：函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y=f（x）与y=c的图象有2个交点．由图象可得c≤-2，或-1＜c＜-．故答案为：（-∞，-2]（-1，-）．化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=c的图象有2个交点，结合图象求得结果．本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．20.【答案】解：（1）由方程log3（6x-9）=3，得6x-9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2．经检验，x=2是原方程的解；（2）原式=====1．【解析】（1）由方程：log3（6x-9）=3可得6x-9=33=27，求解即可得答案；（2）直接利用三角函数的诱导公式化简即可．本题考查了对数的运算性质，考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式，是基础题．21.【答案】解：（1）∵ =k+，=-， ∥，∴，即k+=λ（-）．又向量，不共线，∴ ，解得λ=-1，k=-1，即=-，故与反向．（2）||=||，与夹角为60°，•=（k+）•（-）=k2-k•+•-2=（k-1）2+（1-k）||2•cos 60°，又 ⊥．故（k-1）+a2=0，即（k-1）+=0．解得k=1．故k=1时， ⊥．【解析】（1）推导出=k+，=-，∥，从而k+=λ（-）．由此能求出λ=-1，k=-1，与反向．（2）•=（k+）•（-）=k2-k•+•-2=（k-1）2+（1-k）||2•cos 60°，由⊥，求出k=1．本题考查实数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.【答案】解：（1）由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．令x=y=3，则f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=1+1=2，令x=9，y=3，则f（27）=f（9×3）=f（9）+f（3）=1+2=3；（2）由（1）可知f（9）=2，那么不等式f（3）+f（a-8）=f（3a-24），又f（9）=2∴f（3a-24）＜f（9），函数在定义域（0，+∞）上为增函数，即有3a-2＜9，∴ ，解得a的取值范围为8＜a＜11．【解析】（1）根据条件，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．令x=y=3，可得f（9）的值，令x=9，y=3，可得f（27）的值．（2）由f（1）+f（1）=2，即f（9）=2，那么f（3）+f（a-8）＜2转化为f（3）+f（a-8）＜f（9），利用关系式和定义域（0，+∞）上为增函数，即可求解．本题考查了抽象函数的赋值法的运用和性质及不等式的求解，属于中档题．23.【答案】20．（1）已知α，β（0，π），则：π＜α+β＜2π，且tanα，tanβ是方程x2+5x+6=0的两根，所以：＜，tanα•tanβ=6＞0，则：=，所以：（2）．因为，所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-，又因为tanαtanβ=6，所以sinαsinβ=6cosαcosβ，联立解得：，，则：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=．【解析】（1）直接利用一元二次函数根和系数的关系求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．24.【答案】解：（Ⅰ）A城供电费用为y1=0.25×20x2，B城供电费用y2=0.25×10（100-x）2；所以总费用为：y=y+y2=7.5x2-500x+25000（其中10≤x≤90）；1∵核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km，∴x≥10，且100-x≥10，解得10≤x≤90；所以x的取值范围是{x|10≤x≤90}．（Ⅱ）因为函数y=7.5x2-500x+25000（其中10≤x≤90），当x=-=时，此函数取得最小值；所以，核电站建在距A城km处，能使A、B两城月供电总费用最小．【解析】（Ⅰ）A城供电费用y1=0.25×20x2，B城供电费用y2=0.25×10（100-x）2，总费用y=y1+y2，整理即可；因为核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km，由x≥10，且100-x≥10，得x的范围；（Ⅱ）因为函数y=7.5x2-500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-时，函数y取得最小值．本题考查了二次函数模型的应用，二次函数求最值时，通常考虑是否取在对称轴x=-处，属于中档题．25.【答案】解：（1）由AE=AH=CF=CG，依题意，S△AEH=S△CGF=x2，S△BEF=S△DGH=（a-x）（2-x），则y=S ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-（a-x）（2-x）=-2x2+（a+2）x，由题意＞＞＞，解得：0＜x≤2，∴y=-2x2+（a+2）x，其中定义域为（0，2]；（2）∵y=-2x2+（a+2）x的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是x=，∴y=-2x2+（a+2）x在（0，）递增，在（，+∞）上递减．若＜2，即a＜6，则x=时，y取最大值；若≥2，即a≥6，则y=-2x2+（a+2）x，0＜x≤2是增函数，故当x=2时，y取最大值2a-4；综上所述：若a＜6，则AE=时绿地面积取最大值；若a≥6，则AE=2时绿地面积取最大值2a-4．【解析】（1）求得S△AEH=S△CGF =x2，S△BEF=S△DGH =（a-x）（2-x），利用y=S ABCD-2（S△AEH+S△BEF），化简即得结论；（2）通过（1）可知y=-2x2+（a+2）x的图象为开口向下、对称轴是x=的抛物线，比较与2的大小关系并结合函数的单调性即得结论．本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．26.【答案】解：（1）对于幂函数f（x）=x（2-k）（1+k）满足f（2）＜f（3），因此（2-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜2，因为k Z，所以k=0，或k=1，当k=0时，f（x）=x2，当k=1时，f（x）=x2，综上所述，k的值为0或1，f（x）=x2．（2）函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x =-mx2+（2m-1）x+1，因为要求m＞0，因此抛物线开口向下，对称轴x=，当m＞0时，=1-＜1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以＞或解得m=+满足题意．【解析】（1）对于幂函数f（x）=x（2-k）（1+k）满足f（2）＜f（3），代入结合k Z可求k的值（2）由（1）可得函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x=-mx2+（2m-1）x+1，由m＞0，因此抛物线开口向上，对称轴x=＜1，若函数在区间[0，1]上的最大值为5，则或解方程可求m本题主要考查了幂函数的定义的应用，二次函数在闭区间上的最值的求解，注意分类讨论思想在解题中的应用．27.【答案】解：（1）当x[1，2]时，即m（22x-1）≥-（24x-1），∵22x-1＞0，∴m≥-（22x+1）令k（x）=-（22x+1），x[1，2]下面求函数k（x）的最大值．∵x[1，2]，∴-（22x+1）[-17，-5]∴k（x）max=-5故m的取值范围是[-5，+∞）（2）据题意知，当x[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2）∵f（x）=2x在区间[1，2]上单调递增，∴ ，即f（x1）=4，又∵g（x）=-x2+2x+b=-（x-1）2+b+1，∴函数y=g（x）的对称轴为x=1，∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减∴g（x）max=g（1）=1+b，即g（x2）=1+b由f（x1）=g（x2），得1+b=4，∴b=3．【解析】（1）当x[1，2]时，化简2x h（2x）+mh（x）≥0，分离变量m（22x-1）≥-（24x-1），令k （x）=-（22x+1），x[1，2]，求函数k（x）的最大值，即可得到m的取值范围．（2）据题意知，当x[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2）求出函数的最值即可求解b．本题考查函数与方程的综合应用，函数的单调性以及转化思想的应用，考查计算能力．。
2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题(解析版)
豫南九校2017-2018学年上期期末联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题意，集合B 是由点作为元素构成的一个点集，根据,x A x B ∈∈，即可得到集合B 的元素. 【详解】由题意，集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D ． 【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.已知直线1:10l ax y +-=与直线22:0l x ay a ++=平行，则a 的值为A .1B. -1C. 0D. -1或1【答案】A 【解析】由于直线l 1：ax ＋y －1＝0与直线l 2：x ＋ay ＋2a ＝0平行所以210a -=， 即a =－1或1，经检验1a =成立. 故选A.3.函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则1(())8f f =（ ）A.14B. 4C.18D. 8【答案】D 【解析】因为函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，所以211388f log ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()3113882f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A. 【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、指数与对数的运算，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，进而得到18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.4.设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，//m β，若使//αβ成立，则需增加条件（ ） A. n 是直线且n ⊂α，//n β B. ,n m 是异面直线，//n β C. ,n m 是相交直线且n ⊂α，//n β D. ,n m 是平行直线且n ⊂α，//n β【答案】C 【解析】【详解】要使//αβ成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，,n m 是相交直线且n ⊂α，//n β，m α⊂，//m β，由平面和平面平行的判定定理可得//αβ. 故选C.5.已知函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，可知区间[]1,2在对称轴0x a =的右面，即1a ≤，即可求得答案.【详解】函数()223f x x ax =--为对称轴0x a =开口向上的二次函数，在区间[]1,2上是单调增函数，∴区间[]1,2在对称轴0x a =的右面，即1a ≤， ∴实数a 的取值范围为(],1-∞.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.6.已知矩形ABCD ，6AB =，8BC =，沿矩形的对角线AC 将平面ACD 折起，若,,,A B C D 四点都在同一球面上，则该球面的面积为（ ） A. 36π B. 64πC. 100πD. 200π【答案】C 【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为100π. 故选C.7.设()f x 是定义在实数集上的函数，且(2)()f x f x -=，若当1x ≥时，()ln f x x =，则有（ ） A. (1)(0)(2)f f f -<= B. (1)(0)(2)f f f ->= C. (1)(0)(2)f f f -<< D. (1)(0)(2)f f f ->>【答案】B 【解析】由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以()()02f f =，()()13f f -=，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以()()()102f f f ->=，故选B.8.已知2()f x ax bx =+是定义在[1,2]a a -上的偶函数，那么()f x 的最大值是（ ） A. 0 B.13C.427D. 1【答案】C 【解析】∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴()213f x x =，所以()21243327min f x ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. 故选C.9.某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（ ）A. 1B.43C.32D. 2【答案】B 【解析】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D 1-BCB 1，如图所示，该四面体的体积为114V 222323=⨯⨯⨯⨯=. 故选B ．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10.已知实数,x y 满足方程22410x y x +--=，则2y x -的最小值和最大值分别为（ ） A. -9，1 B. -10，1C. -9，2D. -10，2【答案】A 【解析】22410x y x +--=即为()2225x y -+=y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝2x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，=解得b ＝－9或1．所以y －2x 的最大值为1，最小值为－9． 故选A.11.已知函数2()21f x ax x =-+，若对一切1[,2]2x ∈，()0f x >都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1[,)2+∞ B. 1(,)2+∞C. (1,)+∞D. (,1)-∞【答案】C 【解析】由题意得，对一切1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，f (x )>0都成立，即22221211a (1)1x x x x x->=-=--+， 而21(1)11x--+≤，则实数a 的取值范围为()1,+∞. 故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） . 12.已知,AC BD 为圆229O x y +=：两条互相垂直的弦，且垂足为()1,2M ，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ） A. 10 B. 13C. 15D. 20【答案】B 【解析】。
安徽省滁州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
滁州市2017-2018学年第一学期高一期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D2. 已知角的始边是轴的正半轴，终边经过点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知，故.3. 计算：（）A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】原式.5. 若幂函数的图象过点，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意有，，.6. 函数的最大值是（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】，故最大值为.7. 下列函数是奇函数，且在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选项为偶函数，选项为非奇非偶函数.选项在为减函数，在为增函数.选项在上为增函数，符合题意.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性.判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称，选项定义域显然不关于原点对称，故为非奇非偶函数.然后计算，化简后看等于还是.函数的单调性中是对钩函数，在不是递增函数.8.9. 函数的零点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故函数的零点在区间.11. 曲线，曲线，下列说法正确的是（）A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到【答案】B【解析】由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.12. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，原不等式化为，不恒成立，排除，故选.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.14. ，则__________．【答案】【解析】，，故原式.15. 若函数在是单调函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由于函数为二次函数，对称轴为，只需对称轴不在区间上即可，即或，解得.【点睛】本题主要考查二次函数单调区间的知识.对于二次函数来说，它的单调区间主要由开口方向和对称轴来决定.当开口向上时，左减右增，当开口向下是，左增右减.本题中由于题目只需要区间上的单调函数，不需要递增还是递减，故只需对称轴不在给定区间内即可.16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【试题分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.【试题解析】解：，（1）；（2）∵，∴，∵，∴，∴．18.19. 已知函数的图象过点．（1）若，求实数的值；（2）当时，求函数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）将点代入函数，由此求得的值，进而得出的表达式.解方程，可求得实数的值.（2）将分离常数，得到，它在上为减函数，在区间端点取得最小值和最大值.由此求得函数的值域.【试题解析】解：（1），∴，，∴，∴；（2），显然在与上都是减函数，∵，∴在上是减函数，∵，∴．20. 函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求图中的值及函数的递增区间．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）根据图像最大值求得,根据可求得，在根据图像上一个点，可求得的值.（2）利用求出，利用周期为可求得的值.将代入余弦函数的单调递增区间，求得的范围即函数的递增区间.【试题解析】解：（1）由图知，∴，∴，又，∴，且，∴；（2）由（1）知，由，∴，由得，∴的单调增区间为．21.22. 已知函数．（1）求证：是奇函数；（2）判断的单调性，并证明；（3）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）定义域为关于原点对称，判断故函数为奇函数.（2）函数在定义域的两个区间上都是减函数.利用定义法，计算，由此判断出函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式转化为即，解不等式得.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用定义法求函数单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.判断函数的奇偶性首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系，进而判断函数的奇偶性.定义法判断函数的单调性，需计算的值来判断.【试题解析】（1）证明：由，得，∵，∴是奇函数；（2）解：的单调减区间为与没有增区间，设，则．∵，∴，∴，∴，∴，∴在上是减函数，同理，在上也是减函数；（3）是奇函数，∴，∴化为，又在上是减函数，∴，∴，即．。
安徽省天一大联考2017_2018学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
安徽省天一大联考2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 下列选项中,与向量垂直的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可.详解：逐一考查所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；本题选择D选项.点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）。
2017-2018学年安徽省马鞍山市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）﹣330°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（3分）若角α的终边经过点P（4，﹣3），则cosα＝（）A．±B．﹣C．D．±3．（3分）平面向量＝（1，﹣2），＝（﹣2，x），若∥，则x＝（）A．﹣1B．1C．﹣4D．44．（3分）下列各组向量中，能作为基底的一组是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（1，2），＝（5，7）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（1，0），＝（2，0）5．（3分）sin215°﹣cos215°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣6．（3分）在△ABC中，下列等式一定成立的是（）A．sin（A+B）＝﹣sin C B．cos（A+B）＝cos CC．cos＝sin D．sin＝sin7．（3分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（3分）已知O，A，B，C，D是平面内不同的5个点，下列各式化简后不等于的是（）A．﹣+B．++C．+﹣D．2（+）9．（3分）函数y＝sin（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）10．（3分）函数f（x）＝|tan x|的最小正周期是（）A．πB．C．D．11．（3分）已知sin4θ+cos4θ＝，则sin2θ＝（）A．B．±C．D．±12．（3分）已知AD为△ABC的中线，＝2，AD与BE的交点为G，设＝λ，则λ＝（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请在答题卡上答题.13．（4分）已知扇形的圆心角为α，它的弧长为半径的2倍，则α＝．14．（4分）已知＝（3，4），＝（8，m），若（﹣）⊥，则m＝．15．（4分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）＝．16．（4分）在△ABC中，已知•＝，则角A的大小是．17．（4分）函数y＝+lg（16﹣x2）的定义域为．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．18．（8分）（Ⅰ）计算：cos（﹣）；（Ⅱ）当tanα＝2时，求3sin2α+sinαcosα的值．19．（8分）已知三点A（2，1），B（4，3），D（0，3）．（Ⅰ）求证：AB⊥AD；（Ⅱ）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及||．20．（8分）已知α，β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝．（Ⅰ）求cosα及sin（α+β）的值；（Ⅱ）求cosβ的值．21．（10分）已知向量＝（sin x，cos x），＝（sin x，sin x），＝（﹣1，0）．（Ⅰ）当x＝时，求向量与的夹角；（Ⅱ）设函数f（x）＝•﹣，请在给定的坐标系中用五点作图法作出f（x）一个周期内的图象．22．（10分）（Ⅰ）已知sinα+cosα＝m，求sin2α．（Ⅱ）已知函数y＝sin x+cos x+a sin x cos x，（a＞0）的最大值为1+，求a的值．2017-2018学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【解答】解：∵﹣330°＝﹣360°+30°，∴30°与﹣330°是终边相同的角，而30°位于第一象限，∴﹣330°是第一象限角．故选：A．2．【解答】解：∵知角a的终边经过点P（4，﹣3），∴cos a＝＝，故选：C．3．【解答】解：∵∥，∴﹣2×（﹣2）﹣x＝0，解得x＝4．故选：D．4．【解答】解：根据题意得，A，C，D选项中两向量共线不能作为基底，B项中两向量不共线，可以作为基底，故选：B．5．【解答】解：sin215°﹣cos215°＝﹣（cos215°﹣sin215°）＝﹣cos30°＝﹣，故选：C．6．【解答】解：在△ABC中，有A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C，故A错误；cos（A+B）＝﹣cos C，故B错误；cos＝cos（）＝sin，故C正确；sin＝sin（）＝cos，故D错误．∴等式一定成立的是C．故选：C．7．【解答】解：为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数向左平移个单位长度，故选：C．8．【解答】解：A.﹣+＝+＝；B.++＝+＝；C.+﹣＝2+；D.2（+）＝2+＝故答案为C；故选：C．9．【解答】解：函数y＝sin（2x﹣）的单调递增区间满足：﹣+2kπ+2kπ，k∈Z，解得，k∈Z，∴函数y＝sin（2x﹣）的单调递增区间是：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：B．10．【解答】解：函数y＝tan x通过吧x轴下部分翻折后可得函数f（x）＝|tan x|的图象；翻折后，可得函数f（x）＝|tan x|的周期与函数y＝tan x相同．∴函数f（x）＝|tan x|的最小正周期是π．故选：A．11．【解答】解：由sin4θ+cos4θ＝，得，即，∴，即sin2θ＝．故选：B．12．【解答】解法一：如图所示，AD为△ABC的中线，∴＝（+），又＝2，∴＝；又B、G、E三点共线，∴＝x+（1﹣x）＝x+（1﹣x）；又＝λ，∴＝，∴x+（1﹣x）＝+，∴，解得λ＝4．解法二：根据题意画出图形，如图所示；取AE的中点F，过点F作FH∥EG，交AD于H，过点C作CM∥EG，交AD的延长线于点M，由＝2知＝2，又D为BC的中点，∴D为GM的中点，∴＝4，∴λ＝4．故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请在答题卡上答题.13．【解答】解：由题意可得：2r＝r•α，解得α＝2．故答案为：2．14．【解答】解：∵＝（3，4），＝（8，m），∴＝（﹣5，4﹣m），∵（﹣）⊥，∴﹣5×3+（4﹣m）×4＝0∴4m＝1，∴m＝．故答案为：．15．【解答】解：∵tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，∴tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝．故答案为：．16．【解答】解：在△ABC中，∵已知•＝，∴1×1×cos A＝，∴A＝，故答案为：．17．【解答】解：由题意得：，解得：≤x≤或﹣4≤x≤﹣，故函数的定义域是[﹣4，﹣]∪[，π]，故答案为：[﹣4，﹣]∪[，π]．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．18．【解答】解：（Ⅰ）cos（﹣）＝cos＝cos＝；（Ⅱ）由tanα＝2，得3sin2α+sinαcosα＝＝．19．【解答】证明：（Ⅰ）∵三点A（2，1），B（4，3），D（0，3）．∴＝（2，2），＝（﹣2，2），∴•＝4﹣4＝0，∴AB⊥AD．（Ⅱ）设C（x，y），∵，四边形ABCD为矩形，∴＝（﹣2，﹣2），＝（x﹣4，y﹣3），＝（2，﹣2），＝（x+2，y﹣2），＝﹣2（x﹣4）﹣2（y﹣3）＝0，且＝2（x+2）﹣2（y﹣2），解得x＝﹣，y＝，∴点C的坐标C（﹣，）．||＝＝．20．【解答】解：（Ⅰ）∵α，β都是锐角，∴0＜α+β＜π∵sinα＝，∴cosα＝＝，∵cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝＝，（Ⅱ）cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×+×＝．21．【解答】解：（Ⅰ）当x＝时，向量＝（sin，cos）＝（，），又∵＝（﹣1，0），∴＝﹣，||＝||＝1，∴cos＜，＞＝＝﹣，∴向量，的夹角为；（Ⅱ）由题意可得函数f（x）＝•﹣＝sin2x+sin x cos x﹣＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；先列表，﹣）后描点并画图如下：22．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα+cosα＝m，∴（sinα+cosα）2＝m2，即1+sin2α＝m2，∴sin2α＝m2﹣1；（Ⅱ）令t＝sin x+cos x＝sin（x+），则t∈[﹣，]，又t2＝（sinα+cosα）2＝1+2sin x cos x，∴sin x cos x＝，y＝sin x+cos x+a sin x cos x＝t+a•＝（t+）2﹣，∵a＞0，∴对称轴t＝﹣＜0，又t∈[﹣，]，∴当t＝是，y max＝+＝1+，解得a＝2。
安徽省2017-2018学年高一1月联考数学试题(精选)
2017-2018 学年宣城二中、广德中学、郎溪中学三校高一年级第一学期联考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以，故选项A正确。
选项B,C,D不正确。
选A。
2.下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：和均是奇函数，是偶函数，但在上是减函数；二次函数是偶函数，且在上是增函数，∴正确选项D．考点：（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，所以。
选C。
4.函数的零点所在区间为：（）A. （1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【答案】C【解析】根据条件得。
所以，因此函数的零点所在的区间为。
选C。
5.三个数之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,，故选B.6.已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三角函数的定义得，解得。
又点在第二象限内，所以。
选D。
7.已知, 那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】上下同时除以,得到：故答案选点睛：本题可以采用上下同时除以求得关于的等式，继而求出结果，还可以直接去分母，化出关于和的等式，也可以求出结果。
8.已知向量，．若共线,则的值是（）A. -1B. -2C. 1D. 2【答案】B【解析】∵，，且共线，∴，解得。
选B。
9.函数的图象（）A. 关于原点对称B. 关于点（－，0）对称C. 关于y轴对称D. 关于直线x=对称【答案】B【解析】由于函数无奇偶性，故可排除选项A,C；选项B中，当时，，所以点是函数图象的对称中心，故B正确。
选项D中，当时，,所以直线不是函数图象的对称轴，故D不正确。
安徽省滁州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
滁州市2017-2018学年第一学期高一期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】并集由两个集合公共元素构成，故. 2.已知角的始边是轴的正半轴，终边经过点，且，则（ ）A.B.C. D.【答案】A 【解析】 依题意可知，故.3.计算：（ ）A. 3B. 2C.D.【答案】D 【解析】 原式. 4.已知向量，若，则（ ）A.B. 9C. 13D.【答案】C 【解析】由于两个向量垂直，故，故.5.若幂函数的图象过点，则满足的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意有，，.6.函数的最大值是（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】，故最大值为.7.下列函数是奇函数，且在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选项为偶函数，选项为非奇非偶函数.选项在为减函数，在为增函数.选项在上为增函数，符合题意.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性.判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称，选项定义域显然不关于原点对称，故为非奇非偶函数.然后计算，化简后看等于还是.函数的单调性中是对钩函数，在不是递增函数.8.若，是第二象限角，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于角为第二象限角，故，所以，，故【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和两角差的正弦公式.首先根据角的正弦值和所在的象限，求得角的余弦值，然后利用二倍角公式求得的正弦值和余弦值，最后利用两角差的正弦公式展开所求式子，代入已知数值即可求得最后结果.9.函数的零点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故函数的零点在区间.10.在平行四边形中，是中点，是中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接，由于为中点，故.11.曲线，曲线，下列说法正确的是（）A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到【答案】B【解析】由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.12.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，原不等式化为，不恒成立，排除，故选.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.若，则__________．【答案】【解析】分子分母同时除以得，解得，故.14.，则__________．【答案】【解析】，，故原式.15.若函数在是单调函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由于函数为二次函数，对称轴为，只需对称轴不在区间上即可，即或，解得. 【点睛】本题主要考查二次函数单调区间的知识.对于二次函数来说，它的单调区间主要由开口方向和对称轴来决定.当开口向上时，左减右增，当开口向下是，左增右减.本题中由于题目只需要区间上的单调函数，不需要递增还是递减，故只需对称轴不在给定区间内即可.16.已知函数在区间内单调递减，则的最大值为__________．【答案】1【解析】，根据单调性有，解得，故，解得，当时，.【点睛】本题主要考查三角函数降次公式，考查，的单调区间的求法.由于题目给定函数是二次的形式，故首先利用降次公式将原函数化为次数为一次的形式.然后求出函数所有的单调递减区间.再结合题目所给定的区间，列不等式组，可求得的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.【详解】解：，（1）；（2）∵，∴，∵，∴，∴．18.已知向量．（1）若与共线，求的值；（2）记，求的最大值和最小值，及相应的的值．【答案】（1）（2）当时，取得最大值2；当时，取得最小值-1．【解析】【试题分析】（1）利用两个向量共线，则有，解方程求得的值.（2）利用向量坐标运算化简，进而求得的最大值和最小值，及相应的的值.【试题解析】解：（1）∵与共线，∴，∴，∵，∴；（2），∵，∴，∴，∴，当即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值-1．19.已知函数的图象过点．（1）若，求实数的值；（2）当时，求函数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）将点代入函数，由此求得的值，进而得出的表达式.解方程，可求得实数的值.（2）将分离常数，得到，它在上为减函数，在区间端点取得最小值和最大值.由此求得函数的值域.【试题解析】解：（1），∴，，∴，∴；（2），显然在与上都是减函数，∵，∴在上是减函数，∵，∴．20.函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求图中的值及函数的递增区间．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）根据图像最大值求得,根据可求得，在根据图像上一个点，可求得的值.（2）利用求出，利用周期为可求得的值.将代入余弦函数的单调递增区间，求得的范围即函数的递增区间.【试题解析】解：（1）由图知，∴，∴，又，∴，且，∴；（2）由（1）知，由，∴，由得，∴的单调增区间为．21.已知都是锐角，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】先求得、、和的值.（1）利用求得的值；（2）利用求得的值.【试题解析】解：因为都是锐角，所以，且，所以，（1）；（2）．【点睛】本题主要考查同角三角函数关系，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法.先根据题目所给定两个角是锐角和两个正弦值，求得相应的余弦值和倍角的余弦值和正弦值.然后将所求角转化为已知角，最后利用两角和与差的公式求解出结果.22.已知函数．（1）求证：是奇函数；（2）判断的单调性，并证明；（3）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）定义域为关于原点对称，判断故函数为奇函数.（2）函数在定义域的两个区间上都是减函数.利用定义法，计算，由此判断出函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式转化为即，解不等式得.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用定义法求函数单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.判断函数的奇偶性首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系，进而判断函数的奇偶性.定义法判断函数的单调性，需计算的值来判断.【试题解析】（1）证明：由，得，∵，∴是奇函数；（2）解：的单调减区间为与没有增区间，设，则．∵，∴，∴，∴，∴，∴在上是减函数，同理，在上也是减函数；（3）是奇函数，∴，∴化为，又在上是减函数，∴，∴，即．。
2017-2018学年安徽省淮北市高一上学期期末考试数学试题扫描版含答案
12 22
5
由于
MN
2 5 2 5 ，则有 r 2 d 2 1 MN ，
2
2 1 5 r ，得 m 4 ．-------------(12 分) 5 5
F
2
2
18.证明： （1）取 PD 的中点 F ，连接 AF、EF ，则 EF / /
(2) 当 a 1 时， C = ，此时 C A -------------(8 分)
当 a 1 时， C A ，此时 1 a 3 -------------(10 分) 综上所述， a 的取值范围是 ,3] ------------(12 分)
17. 解：(1)方程 x2 +y 2 2x 4 y m 0 ，可化为 x 1 y 2 5 m ，
2x 2x 0 ， 2 x1 +x2 0 2 x +x 1 0
1 2
， ，
f x1 f x2 0
f x 在 -1 ， 0 上递减. -------------(10 分)
(3) 方程
2x -2 x -m 0 有解， f x
即 m 4 x 1 2 x 在 0,1 上有解， 令 t 2 , t 1,2
x 2
则 m t t 1 1,3
m 1,3 -------------(15 分)
(B 类) 解：（1） 函数 f x k a
x
(k , a为常数，a 0且a 1) 的图象过点
1 1 CD ， AB / / CD ， 2 2
EF / / AB ， 四边形 ABEF 是平行四边形.
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天一大联考2017—2018学年高一年级期末考试(安徽版)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 下列选项中,与向量垂直的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可.详解：逐一考查所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；本题选择D选项.点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）A. 81B. 83C. 无中位数D. 84.5【答案】D【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可.详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：，则这些数据的中位数是.本题选择D选项.5. 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查事件之间的关系即可.详解：由题意逐一考查所给的两个事件之间的关系：A.甲和乙既不互斥也不对立；B.甲和丙互斥而不对立；C.乙和丙互斥且对立；D.乙和丁既不互斥也不对立；本题选择B选项.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.6. 已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A. 3.4B. 0.3C. 0.6D. 0.15【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 若锐角满足，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由同角三角函数基本关系可知：结合题意可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是（）A. 正三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．9. 如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可.详解：结合流程图分类讨论：若，则，输出值，若，则，输出值，即输出值为：.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 函数在区间上的所有零点之和等于（）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数的零点满足：，解得：，取可得函数在区间上的零点为：，则所有零点之和为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 设非零向量夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法则进行化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：不等式等价于：，即，①其中，，将其代入①式整理可得：，由于是非零向量，故：恒成立，将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：，解得：；且：，解得：；综上可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分13. 从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．【答案】0.4【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由质数的定义可知：这十个自然数中的质数有：等4个数，结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.14. 数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是__________．【答案】3【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：数据，，…，的平均数为：，方差为：，则平均数和方差之和是.点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②若乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如图所示：则正确表述的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：结合流程图逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①在里程不超过的情况下，，则，即出租车费为8元，该说法正确；②由流程图可知，超出的部分的计费方式为向上取整后每公里元，若乘车，，需支付出租车费为：元，该说法正确.当乘车里程为和时，出租车车费均为元，据此可知说法③④错误.综上可得，正确表述的序号是①②.点睛：本题主要考查流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图为函数的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________．【答案】【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由三角函数的最大值可知，不妨设，则，由三角函数的性质可知：，则：，则，结合，故.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(1)若实数满足，求的值；(2)若，求实数的值.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：(1)由题意得，据此求解关于m,n的方程组有所以.(2)由题意可得，，结合向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程可知.详解：(1)由题意得所以解得所以.(2)，，·因为，所以解得.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间内，则为一等品；若长度在或内，则为二等品；否则为不合格产品.现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示.(1)试估计该样本的平均数；(2)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润.【答案】（1）100.68；（2）68万元【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.据此可估计该企业生产这批零件所获得的利润为万元.详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02.平均数估计值是.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件.故该企业生产这批零件预计可获利润万元.点睛：频率分布直方图问题需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表：参加人数(1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程；（2）根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.其中，.【答案】（1）；（2）33【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得，，则线性回归方程为.(2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.详解：(1)，，所以关于的回归直线方程是.(2)当时，由回归方程可得，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20. 函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得.由最大值可知，结合三角函数的性质可得，则.(2)由题意得，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域为.详解：(1)因为最小正周期为，得，.点为其图象上一个最高点，得，，又因为，所以.所以.(2)由题意得，当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以在区间上的值域为.点睛：本题主要考查三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为. (2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，则这个规则不公平.详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，共36种，其中事件“甲获胜”包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，共13种.根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22. 如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.（1）若，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，取得最大值.详解：(1)如图所示，设与，分别交于，两点，由已知得，.，，所以.故，所以，当时，.(2)因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值.点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。