概率论与数理统计浙大四版习题答案第六章1

第六章 样本及抽样分布
1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。

解：
8293
.0)7
8
()712(}
63.68
.163.65263.62.1{}8.538.50{),36
3.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X
2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.
解：（1）⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P
=2628.0)]2
5
(
1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]2
1215(
[1}15{15
5
1
=-Φ-=≤-
∏=i i
X
P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]2
1210(
1[1}10{155
5
1
=Φ-=-Φ--=≥-
∏
=i i X P 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{
10
1
2>∑=i i
X
P
解：
)
5(1.0}163
.0{
}44.1{
),10(~3.010
1
2
2
10
1
2
2
210
1
2
查表=>=>∑∑
∑
===i i i i i i X P X P χX
7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).
解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D
∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=
.)()(,)(2λX D S E n
λ
n X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。

（1）求),,,(21n X X X 的分布律； （2）求
∑=n
i i
X
1
的分布律；
（3）求E (X ), D (X ), E (S 2 ). 解：（1）（X 1，…，X n ）的分布律为
∏
∏
=-=-=
====n
k i i n
k k k n k k P P i X P in X i X i X P 1
11
2211)1(}{}
,,,{独立
=.,,1,10,)1(1
1n k i P P k i n i n
i k
n
k k
==-∑∑==-
或
（2）
∑=n
i i
p n b X
1
),(~
(由第三章习题26[二十七]知) （3）E (X )=E (X )=P ，
)
1()()()()(2P P X D S E n P
n X D X D -===
=
[八]设总体X ~N （μ，σ2），X 1，…，X 10是来自X 的样本。

（1）写出X 1，…，X 10的联合概率密度（2）写出X 的概率密度。

解：（1）(X 1，…，X 10)的联合概率密度为
2
22)(10
1
101
10121)(),(σμσ
π=-
==∏
∏==i x i i i e
x f x x f
2
1
2
2)(2
)2(σμσπ∑==---n
i i x n
n
e
（2）由第六章定理一知
X ～10),,(2
=n n
σμN 即X 的概率密度为 2
22)(21)(σμz n X e
n
σπz f --⋅
=。