概率论与数理统计浙大四版习题答案第六章1

第六章 样本及抽样分布

1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。 解：

8293

.0)7

8

()712(}

63.68

.163.65263.62.1{}8.538.50{),36

3.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<

2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.

解：（1）⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬⎫

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P

=2628.0)]2

5

(

1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]2

1215(

[1}15{15

5

1

=-Φ-=≤-

∏=i i

X

P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]2

1210(

1[1}10{155

5

1

=Φ-=-Φ--=≥-

∏

=i i X P 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{

10

1

2>∑=i i

X

P

解：

)

5(1.0}163

.0{

}44.1{

),10(~3.010

1

2

2

10

1

2

2

210

1

2

查表=>=>∑∑

∑

===i i i i i i X P X P χX

7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).

解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D

∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=

.)()(,)(2λX D S E n

λ

n X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。 （1）求),,,(21n X X X 的分布律； （2）求

∑=n

i i

X

1

的分布律；

（3）求E (X ), D (X ), E (S 2 ). 解：（1）（X 1，…，X n ）的分布律为

∏

∏

=-=-=

====n

k i i n

k k k n k k P P i X P in X i X i X P 1

11

2211)1(}{}

,,,{独立

=.,,1,10,)1(1

1n k i P P k i n i n

i k

n

k k

==-∑∑==-

或

（2）

∑=n

i i

p n b X

1

),(~

(由第三章习题26[二十七]知) （3）E (X )=E (X )=P ，

)

1()()()()(2P P X D S E n P

n X D X D -===

=

[八]设总体X ~N （μ，σ2），X 1，…，X 10是来自X 的样本。 （1）写出X 1，…，X 10的联合概率密度（2）写出X 的概率密度。 解：（1）(X 1，…，X 10)的联合概率密度为

2

22)(10

1

101

10121)(),(σμσ

π=-

==∏

∏==i x i i i e

x f x x f

2

1

2

2)(2

)2(σμσπ∑==---n

i i x n

n

e

（2）由第六章定理一知

X ～10),,(2

=n n

σμN 即X 的概率密度为 2

22)(21)(σμz n X e

n

σπz f --⋅

=