高一数学必修1 函数的单调性 ppt
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
核心概念掌握
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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随堂水平达标
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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核心素养形成
随堂水平达标
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
高一数学必修1-函数的单调性-精品PPT课件
y2
1
x -2 -1 O 1 2
练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：函数f(x)=1/x在(0，
+∞)上的单调性呢？
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区 间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:
试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?
定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数.
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.
例2 物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告诉我 们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试 用函数的单调性证明之.
练习：证明函数 f (x) -2x 1 在 R上是
减函数.
小结:
• 1.函数的单调性概念; • 2.增(减)函数的定义; • 3.增(减)函数的图象特征; • 4.增(减)函数的判定; • 5.增(减)函数的证明.
练习1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x2 2
单调增区间为, 0 单调减区间为0,
1.3.1 函数的单调性
人教版必修1函数的单调性教学设计课件.ppt
在区间（-∞，0] 上任取两个实数 x1, x2 ,得到 函数值 f (x1) x12 , f (x2 ) x22 ，当 x1 x2 时， 有__f_(_x1_)___f _(x_2_)_
概念生成——单调性的定义
一般地，设函数 f (x) 的定义域为 : I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意
记忆牢固程度进行了研究.他经过测试，得到了有趣
的数据：
艾宾浩斯的记忆遗忘曲线
y 记忆的数量(百分数)
100
80
60 40
20
o
1
2
3 天数 t
问题：观察下图中各个函数的图像，你能说说 它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？
概念生成——“形”的观察
y 4 3 2 1 -2 -1 O 1 2 x
概念生成——“形”的观察
例1下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y f (x) , 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单 调区间上，它是增函数还是减函数?
概念生成——“数”的抽象
探究一： 根据函数的定义，当一个函数在某一 区间上是单调递增（或递减）时，相应的，自变 量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的？
•若函数在定义域的某个区间D上函数值随着自变量的 _增__大__而__增__大__,则函数在D上是增函数； •若函数在定义域的某个区间D上函数值随着自变量的 _增__大__而__减__小__，则函数在D上是减函数.
x1
f
x2 时，都有 (x) 在区间 D
上是减函数．
如果函数 y f (x) 在区间 D上是增函数或减 函数，那么就说函数 y f (x) 在这一区间具有
（严格的）单调性，区间 D叫做 y f (x) 的单 调区间．
概念生成——单调性的定义
一般地，设函数 f (x) 的定义域为 : I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意
记忆牢固程度进行了研究.他经过测试，得到了有趣
的数据：
艾宾浩斯的记忆遗忘曲线
y 记忆的数量(百分数)
100
80
60 40
20
o
1
2
3 天数 t
问题：观察下图中各个函数的图像，你能说说 它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？
概念生成——“形”的观察
y 4 3 2 1 -2 -1 O 1 2 x
概念生成——“形”的观察
例1下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y f (x) , 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单 调区间上，它是增函数还是减函数?
概念生成——“数”的抽象
探究一： 根据函数的定义，当一个函数在某一 区间上是单调递增（或递减）时，相应的，自变 量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的？
•若函数在定义域的某个区间D上函数值随着自变量的 _增__大__而__增__大__,则函数在D上是增函数； •若函数在定义域的某个区间D上函数值随着自变量的 _增__大__而__减__小__，则函数在D上是减函数.
x1
f
x2 时，都有 (x) 在区间 D
上是减函数．
如果函数 y f (x) 在区间 D上是增函数或减 函数，那么就说函数 y f (x) 在这一区间具有
（严格的）单调性，区间 D叫做 y f (x) 的单 调区间．
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
3.会利用单调性求参数取值范围．(重点)
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
函数的单调性【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
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第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
高一数学函数的单调性 PPT课件 图文
(2)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
ysh04zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
ysh04zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
高中数学(人教B版)必修第一册：函数的单调性【精品课件】
x
则称 y f (x) 在 I 上是增函数(也称在 I 上单调递增)，
(1) y
如图（1）所示；
f (x1)
(2)
如果对任意 x1, x2 I ，当 x1
x2 时，都有
f (x1)
f ( x ) ， f (x2) 2
O
x1
x2
x
则称 y f (x) 在 I 上是减函数(也称在 I 上单调递减)，
（1）当 a
0 时，
f
x
在
,
b 2a
上单调递_____，在
b 2a
,
上单调递
_____，函数没有最_____值，但有最____值________________；
（2）当 a
0 时，
f
x
在
,
b 2a
上单调递_____，在
b 2a
,
上单调递
_____，函数没有最_____值，但有最____值_________________.
f
x2
x2
f x1
x1
,
则：
（1） y f x 在 I 上是增函数的充要条件是 y 0 在 I 上恒成立；
x
（2） y f x 在 I 上是减函数的充要条件是 y 0 在 I 上恒成立.
x
定义：
一般地，当 x1 x2 时，称
f f x2 f x1
x
x2 x1
为函数 y f (x) 在区间x1, x2 x1 x2时或x2, x1 x2 x1时 上的平均变化率.
x
想一想：能否说 f x 2 在定义域内是增函数？为什么？
x
新知提炼：
(1)单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的 定义域。因此，单调性是函数的局部性质.
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
函数的单调性说课PPT
用定义证明函数单调性的步骤
五、课后作业
请各位评委老师批评指正！ 谢谢！
04Part Four 教学方法
1、启发式教学 2、多媒体教学 3、小组讨论
05Part Five 教学过程
1、引入概念
2、形成概念
4、巩固新知3、深化概念源自5、课堂小结6、课后作业
1、引入概念
在（）范围内，函数的图像是上升/下降的 给出一次函数、二次函数图像，让学生观察变化趋势 以二次函数y=x2为例，列出x、y对应值表
2、形成概念
引导、 启发 学生
给出增 函数、 减函数 的定义
探究 关键 词
从一 般到 特殊
P34 例1、例2
3、深化概念
总结归纳出用定义证明函数单调性的步骤 1.取值； 2.作差； 3.变形； 4.定号； 5.下结论；
4、巩固新知
设计了一组即时训练题，用来巩固新知识。
1 .课本P43练习第1、2、3题；
03Part Three 教学目标
知识与技能：能用文字语言和符号语言正确表述基本 概念；掌握用定义证明函数单调性的方法与步骤；根 据图像判断函数增减性并写出单调区间； 过程与方法：培养学生观察能力和抽象概括能力，让 学生自行归纳函数单调性的概念； 情感态度与价值观：通过引导，让学生感受学习的乐 趣，培养善于探究的习惯。
02Part Two 学情分析
此内容的教学对象是高一学生，初中时学习过一次 函数、二次函数、反比例函数及图像变化趋势（上升、 下降）和函数的概念（定义域、值域、对应法则）， 已经具备了一定的抽象概括能力及数学表达能力。
教学重点：函数单调性的概念理解；增（减）函数的 符号化定义； 教学难点：如何从图像升降的直观认识过渡到函数增 减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。
五、课后作业
请各位评委老师批评指正！ 谢谢！
04Part Four 教学方法
1、启发式教学 2、多媒体教学 3、小组讨论
05Part Five 教学过程
1、引入概念
2、形成概念
4、巩固新知3、深化概念源自5、课堂小结6、课后作业
1、引入概念
在（）范围内，函数的图像是上升/下降的 给出一次函数、二次函数图像，让学生观察变化趋势 以二次函数y=x2为例，列出x、y对应值表
2、形成概念
引导、 启发 学生
给出增 函数、 减函数 的定义
探究 关键 词
从一 般到 特殊
P34 例1、例2
3、深化概念
总结归纳出用定义证明函数单调性的步骤 1.取值； 2.作差； 3.变形； 4.定号； 5.下结论；
4、巩固新知
设计了一组即时训练题，用来巩固新知识。
1 .课本P43练习第1、2、3题；
03Part Three 教学目标
知识与技能：能用文字语言和符号语言正确表述基本 概念；掌握用定义证明函数单调性的方法与步骤；根 据图像判断函数增减性并写出单调区间； 过程与方法：培养学生观察能力和抽象概括能力，让 学生自行归纳函数单调性的概念； 情感态度与价值观：通过引导，让学生感受学习的乐 趣，培养善于探究的习惯。
02Part Two 学情分析
此内容的教学对象是高一学生，初中时学习过一次 函数、二次函数、反比例函数及图像变化趋势（上升、 下降）和函数的概念（定义域、值域、对应法则）， 已经具备了一定的抽象概括能力及数学表达能力。
教学重点：函数单调性的概念理解；增（减）函数的 符号化定义； 教学难点：如何从图像升降的直观认识过渡到函数增 减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。
函数的单调性 ppt课件
•上是减少的． [思路分析] 利用函数增减性的定义来证明，其关键是对 f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
[规范解答] 设 0<x1<x2≤3，则有 y1－y2＝(x1＋x91)－(x2＋x92) ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2
• [规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的 步骤：
• (1)判断：先判断函数的单调性．
• (2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最 值．
• 2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错 的几点：
• (1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而 不是横坐标．
• (2)求最值忘记求定义域．
• (3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断 单调性而直接将两端点值代入．
• [规律总结] 证明函数在某个区间上的单调性 的步骤：
• (1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2， 且x1<x2；
• (2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分 解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法 变形；
• (3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则 分区间讨论；
• (4)结论：根据差的符号，得出单调性的结 论．
• (2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上 为增函数，在区间________上为减函数．
• [答案] [－1，＋∞) (－∞，－1]
• [解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，
• ∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.
• ∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1] 上为减函数.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料
第二章 §3 函数的单调性
数学人教A版必修一3.2.1函数的单调性课件(共23张ppt)
有(1 ) < (2 )，就称函数 = ()在区间上是增函数.
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
间 D 上是递减的.
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
单击此处编辑母版标题样式
例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
单击此处编辑母版文本样式
– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
单击此处编辑母版标题样式
• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
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例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
单击此处编辑母版文本样式
– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
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– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b， 提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？ 提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若 函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 ， 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区 间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递 增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)
19
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
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…
…
16
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…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
高中数学人教A版必修第一册第三章3.2.1《函数的单调性》课件(21张PPT)
的单调性证明.
数学抽象
数学建模
证明:定义域为(0,+∞)，V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2
p1
p2
k
V1
k V2
kV2 kV1 V1V2
k V2 V1
V1V2
数学运算
取值 作差
∵V1,V2∈(0,+∞)，∴V1V2>0, ∵V1<V2 ，∴V2-V1>0，
又k>0，∴p1-p2>0，即p1>p2.
在( ,0)上单调递减
证明:x ,x ∈R且x <x 请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?
1 2 1 [x1-x2 ][f(x1)-f(x2)]<0 D.
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<xn时,
2
x1, x2∈[0,+∞),当x1< x2时,都有
f(x )-f(x )=(kx +b)-(kx +b)=k(x -x ) 函数f(x)在(1,2)上单调递减的是( )
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
2.数学思想：转化化归、数形结合、分类讨论 类比思想、函数与方程(不等式)思想
3.学科核心 数学抽象、逻辑推理、数学建模 素养： 直观想象、数学运算、数据分析
学·科·网
作业布置：
1.课本第79页练习的第2、3题；
y
yn
任意性
y3 yy21
0 x1 x2 x3 xn x
二、深度学习——精确刻画“性质”
图形语言:
y
人教版高中数学必修1(A版) 1.3.1函数的单调性 PPT课件
V2 V1 k V1V2 由V1 ,V2 (0, ), 得VV 1 2 0;
第二步:作差 第三步:变形
由V1 V2 , 得V2 V1 0. 又k 0, 于是p(V1 ) p(V2 ) 0
即
第四步:判断 p(V1) p(V2 ) k 所以,函数p ,V (0, )是减函数. V 第五步 :结论 也就是说,当体积V 减小时, 压强p增大 .
怎么办呢?
回答几个问 题吧!
k 1. p (k是常数)是函数吗 ? V k 2.你能画出p (k是常数)的图象吗? V k 3.能过图象观察函数p (k是常数)是否 V 具有单调性 ? 你能作出猜想吗 ? 4.如果具有单调性, 你能用单调性的定义加以证明吗?
证明 : 根据函数单调性的定义, 设V1,V2是定义域(0, )上的任意两个实数, 且V1 V2 , 则 k k 第一步:设值 p(V1 ) p(V2 ) V1 V2
思考： 类比上面的结论, 对于函数y x , 我们能得到怎样的结论呢?
2
函数y x 是增函数?减函数?
2
y
函数y x2在区间(0, )上是增函数! 函数y x 在区间(,0]上是减函数!
2
f ( x)
O O
x
y x2
结合下面的函数的图象, 你能给增函数
下一个严格的定义吗?
当x1 0时, y1 0;
3
所以, f ( x) x 3x是减函数!
当x1 0时, y1 0;
当x2 2时, y2 2; 由此可以推断 : 当x增大时, y随之增大.
3
显然0 2,0 2.
所以, f ( x) x 3x是增函数!
第二步:作差 第三步:变形
由V1 V2 , 得V2 V1 0. 又k 0, 于是p(V1 ) p(V2 ) 0
即
第四步:判断 p(V1) p(V2 ) k 所以,函数p ,V (0, )是减函数. V 第五步 :结论 也就是说,当体积V 减小时, 压强p增大 .
怎么办呢?
回答几个问 题吧!
k 1. p (k是常数)是函数吗 ? V k 2.你能画出p (k是常数)的图象吗? V k 3.能过图象观察函数p (k是常数)是否 V 具有单调性 ? 你能作出猜想吗 ? 4.如果具有单调性, 你能用单调性的定义加以证明吗?
证明 : 根据函数单调性的定义, 设V1,V2是定义域(0, )上的任意两个实数, 且V1 V2 , 则 k k 第一步:设值 p(V1 ) p(V2 ) V1 V2
思考： 类比上面的结论, 对于函数y x , 我们能得到怎样的结论呢?
2
函数y x 是增函数?减函数?
2
y
函数y x2在区间(0, )上是增函数! 函数y x 在区间(,0]上是减函数!
2
f ( x)
O O
x
y x2
结合下面的函数的图象, 你能给增函数
下一个严格的定义吗?
当x1 0时, y1 0;
3
所以, f ( x) x 3x是减函数!
当x1 0时, y1 0;
当x2 2时, y2 2; 由此可以推断 : 当x增大时, y随之增大.
3
显然0 2,0 2.
所以, f ( x) x 3x是增函数!
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对比左图和上表,可以发现什么规律?
图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0 上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小; 图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞ 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.
思考 如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”?
1.3.1 函数的单调性
滕州二中 葛洋
观察下列函数图象，你能描述下它们的变化规律吗？
y
f ( x) - x 1
o
x
函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性 如何描述函数图象的“上升”“下降”呢? 以二次函数f(x)=x2 为例,列出x,y的对应值表:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区 间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:
试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?
定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数.
练习：证明函数 f (x) -2x 1 在 R 上是
减函数.
小结:
• • • • • 1.函数的单调性概念; 2.增(减)函数的定义; 3.增(减)函数的图象特征; 4.增(减)函数的判定; 5.增(减)函数的证明.
练习1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x 2
2
y
2
单调增区间为 ,0
1
-2 -1
O
单调减区间为0,
1
2
x
练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：函数f(x)=1/x在(0，
+∞)上的单调性呢？
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.
例2 物理学中的波意耳定律p=k/V(Байду номын сангаас为正常数)告诉我 们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试 用函数的单调性证明之.
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
1 (2) y ( x 0) x
两个单调减区间 ,0 和 0，
能否写成
y x2
O
,0 0， ?
x1
x
两区间之间用和或用逗号隔开.
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＞f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数.
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调
性，区间D叫做y=f(x)的
单调区间.
例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说 出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数 还是减函数?
证明: 1
2 3 1.取值
2.作差 3.变形 4.定号 5.下结论
4
5
用定义证明函数在区间上是增或减函 数的步骤：
1.在此区间上任取两个实数 x1 , x2 , 且 x1 x2 。
f ( x1 ) f ( x2 ) 2.将它们的函数值作差：
3.作差后变形处理(因式分解,通分等) 4.确定差的符号。 5.作出结论。
图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0 上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小; 图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞ 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.
思考 如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”?
1.3.1 函数的单调性
滕州二中 葛洋
观察下列函数图象，你能描述下它们的变化规律吗？
y
f ( x) - x 1
o
x
函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性 如何描述函数图象的“上升”“下降”呢? 以二次函数f(x)=x2 为例,列出x,y的对应值表:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区 间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:
试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?
定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数.
练习：证明函数 f (x) -2x 1 在 R 上是
减函数.
小结:
• • • • • 1.函数的单调性概念; 2.增(减)函数的定义; 3.增(减)函数的图象特征; 4.增(减)函数的判定; 5.增(减)函数的证明.
练习1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x 2
2
y
2
单调增区间为 ,0
1
-2 -1
O
单调减区间为0,
1
2
x
练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：函数f(x)=1/x在(0，
+∞)上的单调性呢？
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.
例2 物理学中的波意耳定律p=k/V(Байду номын сангаас为正常数)告诉我 们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试 用函数的单调性证明之.
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
1 (2) y ( x 0) x
两个单调减区间 ,0 和 0，
能否写成
y x2
O
,0 0， ?
x1
x
两区间之间用和或用逗号隔开.
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＞f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数.
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调
性，区间D叫做y=f(x)的
单调区间.
例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说 出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数 还是减函数?
证明: 1
2 3 1.取值
2.作差 3.变形 4.定号 5.下结论
4
5
用定义证明函数在区间上是增或减函 数的步骤：
1.在此区间上任取两个实数 x1 , x2 , 且 x1 x2 。
f ( x1 ) f ( x2 ) 2.将它们的函数值作差：
3.作差后变形处理(因式分解,通分等) 4.确定差的符号。 5.作出结论。