中考数学复习考点知识专题讲义第17讲 直角三角形

2．分类讨论法：此法对两定一动和两动一定型试题都适合，即由于直角的不确定 性，故分不同的情况讨论解答，其基本思路为：
(1)观察图形，判断直角顶点是否确定，若不确定，则需分类讨论； (2)结合题干信息，在图中找出所有满足条件的顶点，并画出图形； (3)设出含有题目参数的三角形顶点的坐标，根据函数表达式代换转化，使其含有一 个参数； (4)根据点的横坐标和纵坐标在平面直角坐标系中与线段的关系，表示出相关直角三 角形每条边的长度，根据直角三角形的性质列出关系式，一般利用勾股定理或相似三角 形建立等量关系，求出参数．
(2)判断 EF 与 MN 的位置关系，并证明你的结论；
解：MN 垂直平分 EF. 证明：如解图，连接 EM，FM. ∵BE，CF 是锐角△ABC 的两条高，M 是 BC 的中点，
为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接 BD．将△ABD 绕点 A 按逆时针方
向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长为 (( 1100－－22 6)) cm.
【思路分析】过点 A 作 AG⊥DE 于点 G，则△ADG 是等腰直角三角形．由 AD＝6 可求出 AG 的长，由旋转的性质可求出∠GAF 的度数，从而求出 AF 的长，进一步可求 CF 的长．
2．(2017·山西 15 题)一副三角尺按如图方式摆放，得到△ABD 和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°，E 为 AB 的中点，过点 E 作 EF⊥CD 于 点 F.若 AD＝4 cm，则 EF 的长为 ( ＋( 2＋ 6) ) cm.
命题点二 与勾股定理有关的数学史 3．(2014·山西 4 题)如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的 “弦图”，它解决的数学问题是( C )
【思路分析】分∠APB＝90°，∠PAB＝90°和∠PBA＝90°三种情况，分别根据 直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
学霸笔记 探究直角三角形的存在性问题常见的方法有两种： 1．两线一圆法：本法适合两个定点一个动点的情况，连接两个定点形成一条线段， 两线指分别过线段两个端点作此线段的垂线，一圆指以此线段为直径作圆．
解：设基地 E 应建在离 A 站 x km 的地方，则 BE＝(50－x)km. 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得 AD2＋AE2＝DE2，即 302＋x2＝DE2. 在 Rt△CBE 中，根据勾股定理，得 CB2＋BE2＝CE2，即 202＋(50－x)2＝CE2. 又∵C，D 两村到点 E 的距离相等， ∴DE＝CE.即 DE2＝CE2. ∴302＋x2＝202＋(50－x)2，解得 x＝20. ∴基地 E 应建在离 A 站 20 km 的地方．
第17讲 直角三角形
人教：八下第十七章 P21～P39；
北师：八上第一章 P1～P19
八下第一章 P14～P21；
华师：八上第十三章 P57～P58 第十四章 P107～P128
九上第二十四章 P102～P104.
1．了解直角三角形的概念，探索并掌握：直角三角形的两个锐角互余，直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
A．黄金分割 C．勾股定理
B．垂径定理 D．正弦定理
命题点三 直角三角形的存在性问题(8 年 2 考) 4．[2015·山西 24(2)题]如图，点 A 的坐标为(－3，0)，点 C 的坐标为(0，4)，直线 l 的表达式为 y＝－2x＋4，将抛物线 W：y＝－241x2＋1261x＋4 沿 x 轴向右平移得到抛物线 W′.设抛物线 W′的对称轴与直线 l 交于点 F，当△ACF 为直角三角形时，求点 F 的坐标．
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD 为 AB 边上的高，则 S＝12AC·BC＝12AB·CD．
温馨提示 求直角三角形的边或斜边上的高时，可利用等积变换法求解．
考点二 直角三角形的判定(高频考点) 1．定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形． 2．有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边长 a，b，c 满足 aa2＋2＋b2＝b2c＝2 c2 ，则这 个三角形是直角三角形． 4．如果一个三角形一边上的中线等于这条边的 一一半半 ，则这个三角形是直角三 角形(需利用三角形内角和定理证明)．
1．(2019·河南模拟)下列条件能判断△ABC 是直角三角形的是( A )
A．AC2＋BC2＝AB2
B．∠A＝∠B
C．∠A＋∠B＋∠C＝180°
D．∠3A＝∠4B＝∠5C
2．如图，已知点 A(－1，0)和点 B(1，2)，在坐标轴上确定点 P，使得△ABP 为直 角三角形，则满足条件的点 P 共有( C )
②若∠APM＝90°，则 AP2＋MP2＝AM2，即 9＋p2＋17－8p＋p2＝20，解得 p1＝1， p2＝3.
∴P(0，1)或 P(0，3)． ③若∠AMP＝90°，则 AM2＋MP2＝AP2， 即 20＋17－8p＋p2＝9＋p2，解得 p＝72. ∴P0，72. 综上所述，当点 P 的坐标为0，－32或(0，1)或(0，3)或0，72时，△PAM 为直角三 角形．
考点四 特殊的直角三角形 1．等腰直角三角形：两腰相等，两底角的度数均为 4545°° ． 2．含 30°角的直角三角形：30°的角所对的直角边等于斜边的 一一半半 .
命题点一 直角三角形的性质与判定(必考) 1．(2019·山西 15 题)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，点 D
C．a＝2，b＝3，c＝4
D．(b＋c)(b－c)＝a2
2．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点．若 CE＝8，则 DF 的长是 88 ．
直角三角形中的分类讨论
例 2 (2019·鄂州)如图，已知线段 AB＝4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，∠1 ＝60°，点 P 是直线 l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则 BP＝ 22或或22 3或或22 7 ．
【跟踪训练】 3．(2019·淄博改编)已知 M(1，4)，A(3，0)，在 y 轴上是否存在一点 P，使得△PAM 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 解：设点 P 的坐标为(0，p)，则 AP2＝32＋p2＝9＋p2，MP2＝12＋(4－p)2＝17－8p ＋p2，AM2＝20. ①若∠PAM＝90°，则 AM2＋AP2＝MP2， 即 20＋9＋p2＝17－8p＋p2，解得 p＝－32. ∴P0，－32.
而从点 B 到点 A 经过的路程为：(20＋10)m＝30 m. 根据路程相同，得 x＋ 10＋x2＋202＝30， 解得 x＝5. 10＋5＝15(m)． 故这棵树高 15 m．
【跟踪训练】 4．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形 与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是 13，小 正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边长分别为 a，b，那么(a－b)2 的值是 11 ．
考点三 勾股定理及勾股数 1．勾股定理：若一个直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则 a，b， c 满足 a2＋b2＝c2. 2．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：(3，4，5)， (5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)，…，(3n，4n，5n)，(5n，12n，13n)，(7n， 24n，25n)，(8n，15n，17n)，…，(n 为正整数)等．
5．(2019·城步县模拟)如图，某地政府决定在相距 50 km 的 A，B 两站之间的公路 旁点 E，修建一个土特产加工基地，且使 C，D 两村到点 E 的距离相等．已知 DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，DA＝30 km，CB＝20 km，那么基地 E 应建在离 A 站多远的 地方？
4．观察下列各组勾股数，并寻找规律： ①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26，…… 请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： 161，66，3，6635，65 ．
5．(2019·省适应性训练试题)某校校门口有一个底面边长为 2 m 的等边三角形的三 棱柱(如图)，学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点 A 绕三棱柱侧面一周到顶点 A′安装灯 带．已知三棱柱的高为 5 m，则灯带的长度至少为 61 m.
(2 分)
(4 分) (5 分)
学霸笔记 解答此类问题常用的添加辅助线的方法有两种：一是“作垂线”，把图形分割成 直角三角形；另一种是通过“延长”来构造直角三角形．
直角三角形的性质与判定
例 1 如图，已知△ABC，△DEF 均为等腰直角三角形，EF＝10 2，顶点 D，E 分 别在边 AB，AC 上滑动，则在滑动过程中，点 A，F 间距离的最大值为 55 2＋＋5 510 ．
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．7 个
3．(2019·安徽模拟)我国古代伟大的数学家刘微将勾股形(古人称直角三角形为勾股 形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明 了勾股定理，如图所示，若 a＝3，b＝4，则该三角形的面积为( B )
A．10 C．989
B．12 D．543
【思路分析】如解图，作△AED 的外接⊙O，连接 OE，OD，当 EF 与⊙O 相切时， AF 最大，结合直角三角形，分别求出 AO 和 OF 的长，进而即可求 AF 的长．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【跟踪训练】
1．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( C )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2
2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． 3．探索并掌握“斜边、直角边”定理.
直角三角形是中考考查的热点内容之一，题型多样，主要考查直角三 角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力．
考点一 直角三角形的概念及性质 1．定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质： (1)直角三角形的两锐角 互互余余 ； (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一一半半 ．
解：∵抛物线 W 向右平移，只有一种情况符合要求，即∠FAC＝90°， 如解图，设此时抛物线 W′的对称轴与 x 轴的交点为点 G. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3.
∴tan ∠1＝tan ∠3. ∴FAGG＝ACOO. 设点 F 的坐标为(xF，－2xF＋4)， 则－x（F－－（2x－F＋3）4）＝34. 解得 xF＝5，则－2xF＋4＝－6. ∴点 F 的坐标为(5，－6)．
是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，则 DE 的长是
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8．如图，BE，CF 是锐角△ABC 的两条高，M，N 分别是 BC，EF 的中点，若 EF ＝6，BC＝24.
(1)求证：∠ABE＝∠ACF；
证明：∵BE，CF 是锐角△ABC 的两条高， ∴∠ABE＋∠A＝90°，∠ACF＋∠A＝90°. ∴∠ABE＝∠ACF.
6．(2019·百校联考二)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点 D 是 AC 边上一点，且 AD＝2，以 AD 为直角边作等腰直角△ADE，连接 BE，取 BE 的中 点 F，连接 CF，则 CF 的长为 22 2 ．
7．(2019·百校联考四)如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，∠BAC＝45°，AD
勾股定理的应用 例 3 如图，在一棵树 CD 的 10 m 高处的 B 点有两只猴子，它们都要到 A 处池塘 边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树 20 m 处的池塘 A 处，另一只猴子爬到树顶 D 后直线跃入池塘的 A 处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？
解：设 BD＝x，则从点 B 爬到点 D 再沿直线 DA 到点 A，走的总路程为 x＋AD， 其中 AD＝ 10＋x2＋202.