4.3.1对数的概念

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人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件(1)

2
2
③由lg 1000 = 3，得103 =1000.
（2）①由2−7 =
④由ln =2，得e2 =x.
3.求下列各式中x的值.
1
9
2
3
3
（3）log 8=-3；
（4）log 27= .
4
1
1

解：（1）由x=log 27 ，得27 = ，即33 =3−2 ，
9
9
2
所以3x=-2，解得x=- .
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学习目标
理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简
单的对数计算；
理解常用对数、自然对数的概念与记法；
理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数
式与指数式的互化；
通过对数概念的形成和指数式与对数式的转化，
提升数学抽象、数学运算的相关能力.
一、新知导入
某年，平江县人民在县委、县政府的正确领导下，坚持科
（2）log 8=6；
（3）lg 100=x；
（4）-ln e2 =x.
（3）因为lg 100=x，所以
10 =100， 10 = 102 ，
于是
x=2.
（4）因为-ln e2 =x，所以
ln e2 =-x，e2 = e− ，
于是
x=-2.
利用对数式与指数式的互化求值的策略：
（1）确定范围：首先看x所在对数式中
（4）-ln e2 =x.
2
解：（1）因为log 64 =- ，所以
3
2
−3
2
1
16
3 −3
x=64 =(4 ) =4−2 = .
（2）因为log 8=6，所以 6 =8.又x＞0，所以

4.3.1 对数的概念

类型一对数的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.若a2 020=b(a>0且a≠1)，则 ( )
A.logab=2 020 C.log2 020a=b
B.logba=2 020 D.log2 020b=a
2.在M=log(x-3)(x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
A.(-∞，3]
B.(3，4)∪(4，+∞)
2.把对数式x=log232改写为指数式_______. 【解析】对数式x=log232改写为指数式为2x=32. 答案：2x=32
3.(教材二次开发：练习改编) 若ln e-2=-x，则x=_______. 【解析】因为ln e-2=-x，所以e-x=e-2，所以x=2. 答案：2
关键能力·合作学习
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3，所以x3=8，解得x=2.
3.(教材二次开发：练习改编) 若10m= 3 ，则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ，则m=lg 3 . 答案：lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案：0
类型二指数式与对数式的互化(数学运算) 角度1 指数与对数的互化及应用【典例】如表，其中解正确的题号是 ( )
题号方程解
①
2
log64x=- 3
16
A.①②
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
关于指数式的范围
b 0，
利用式子logab⇒ a 0，求字母的范围.

4.3.1对数的概念

4.3.1 对数的概念【引入】1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？2x＝4 096．【新课】一、对数的概念一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝log a N (a＞0且a≠1)，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意：(1) 底数的限制：a＞0且a≠1；(2)对数的书写格式；(3)对数的真数大于零．二、对数式与指数式的关系由对数的定义可知，a b＝N与b＝log a N两个等式所表示的是a，b，N三个量之间的同一关系的两种不同表示形式．例如：32＝9⇔2＝log39．对数式与指数式的互化：a b＝N ⇔b＝log a N练习1(1) 将下列指数式写成对数式：22＝4；62＝36；7.60＝1；34＝81．(2) 将下列对数式写成指数式：log39＝2；log416＝2；log5125＝3；log749＝2．练习2 将下列指数式写成对数式 ( 其中 a ＞0且 a ≠1)：21＝2； a 1＝a ；60＝1； a 0＝1．三、对数的性质(1) log a a ＝1，即底数的对数等于1；(2) log a 1＝0，即1的对数等于零；(3) 0和负数没有对数．例1 求log 22，log 21，log 216，log 212．解 (1) 因为 21＝2，所以 log 22＝1；(2) 因为 20＝1，所以 log 21＝0；(3) 因为 24＝16，所以 log 216＝4；(4) 因为 2－1＝12，所以 log 212＝－1．四、常用对数以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，log 10N 简记作 lg N ．例2 求lg 10，lg 100，lg 0.01．解 (1) 因为 101＝10，所以 lg10＝1；(2) 因为 102＝100，所以 lg100＝2；(3) 因为 10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2．例 3 利用计算器求对数(精确到0.000 1)．lg2 001； lg0.618；lg0.004； lg396.5．练习3 求下列各式的值(1) lg1＋lg10＋lg100；(2) lg0.1＋lg0.01＋lg0.001．【小结】一、对数二、指数式与对数式的关系式a b ＝N b ＝log a N三、常用对数以10为底的对数叫做常用对数，简记作 lg N ．。

4.3.1对数的概念

所以 x 2 x 2 .
巩固练习
练习1 求下列各式中的 x 的范围．
①log2(x－10)；
②log(x－1)(x＋2)．
解：①由题意有 x－10>0，即 x>10，
∴x 的取值范围是{x|x>10}．
x＋2>0，
x>－2，
②由题意有 x－1>0 且 x－1≠1，即 x>1 且 x≠2，
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
例如，由于 2 1.11x，所以 x 就是以1.11为底2的对数，记作 x log1.11 2; 再如，由于 42 16，所以以4为底16的对数是2，记作 log4 16 2.
2．常用对数与自然对数通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，log10N 可简记为 lg N. 另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 e＝2.71828…
为底数的对数.
以 e 为底的对数称为自然对数，logeN 简记为 ln N.
知识梳理
3．对数与指数的关系
当 a>0，且 a≠1，则 ax＝N⇔x=logaN.
设 log a N t at N ，则有 aloga N at N 结论：log a a x x，aloga N N.
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54 625
（2）26 1 64
（3）
1 m
3
5.73
（4）log 1 16 4 （5）lg 0.01 2 （6）ln10 2.303
课堂小结

4.3.1　对数的概念

课前篇
自主预习
一
二
三
二、常用对数与自然对数
1.(1)10b=a用对数式如何表示?
提示:b=log10a,简记为b=lg a.
(2)在科学计算器上,有一个特殊符号“ln”,你知道它是什么吗?
提示:符号“ln”是一种对数符号,它是用来计算以“e”为底的对数的.
(3)ln M=n用指数式如何表示?
提示:en=M.
2
答案:C
)
随堂演练
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
3.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,
改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过
程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发
现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN.现在已知a=log23,
2
x
1
A.4 =
2
2
D.log1 b=a
2
)
1
2
Hale Waihona Puke B. =441
C.x =
2
1
2
D.4 =x
(3)若对数 log(x-1)(4x-5)有意义,则 x 的取值范围是 (
5
5
A. ≤x<2
B. <x<2
4
5
C. <x<2 或 x>2
4
2
D.2≤x≤3
-1 > 0,
5
解析:(3)由题意得 -1 ≠ 1, 解得 x> ,且 x≠2.
B.
3
)
3
C. 3

4.3.1 对数的概念

4．3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)对数的基本性质①当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . ②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是0，即log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；底数的对数是1，即log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．(3)常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1．判断正误(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log (－2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(－2a ＋1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.( ) 2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log a 2＝MD ．log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：(2)定义中规定a＞0，且a≠1.理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a＝0，且N≠0时，log a N不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)33＝27；(2)log128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3.[对点练清]1．3b＝5化为对数式是()A．log b3＝5B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0B．27-13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值．(1)log1381；(2)lg 0.000 1；(3)log(5－2)(5＋2)．求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1．求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.2．求下列各式中x 的值：(1)⎝⎛⎭⎫13x ＝5；(2)log 64x ＝－23；(3)log x 8＝6；(4)lg 100＝x .题型三对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.[对点练清]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log x 3的值．3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．4B ．±4C ．256D ．22．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183．求值：lg 1 000＝________；lg 0.001＝________. 4．已知log 2x ＝3，则x -12＝________.二、创新应用题5．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝aD ．log c a ＝b2．若对数log (2a －1)(6－2a )有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3)3．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x4．对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．②D ．①②③④5．(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．126．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 7．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则1002b a 的值为________．8．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 3127＝－3. 10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 级——高考水平高分练1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(x ＋1)，x ≥0，2x －1，x ＜0，则f (f (3))＝________.3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．4．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？。

4.3.1 对数的概念

(2)由 logx27=,得 =27,即 =33,

x=(33) =34=81.
故
(3)由 log3(lg x)=1,得 lg x=3,故 x=103=1 000.
？
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)(-2)4=16可化为log-216=4.( × )
(2)对数运算的实质是求幂指数.( √ )
(3)对数的真数必须是非负数.( × )
(4)若log63=m,则6=3m.( × )
(5)lg(ln e)=0.( √ )
lg =x,所以 10x=10-1,即 x=-1.
(4)因为 log93 =x,所以 9x=3 ,即
因此

2x= ,所以

x= .

32x= ,

.
？
反思感悟
求对数式中未知数的方法
(1)将对数式转化为指数式.
(2)根据指数和幂的运算性质解有关方程,求得结果.
？
【变式训练 2】计算:(1)log927; (2)lo 81;

-

(2)
=
÷
=7÷2=.
？
将本例(1)改为:“已知 log4(log3(log2x))=0,求的值”.
解:由 log4(log3(log2x))=0,得 log3(log2x)=1,所以 log2x=3,
因此 x=23=8,故 = =5.
提示:底数分别是10和e.
？
4.(1)常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记

新教材高中数学必修第一册第4章 4.3.1对数的概念

4．3对数4．3.1对数的概念学习目标1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的有关概念对数的概念：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N . 知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x . 对数恒等式：log a Na＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．知识点三对数的性质 1．1的对数为零． 2．底的对数为1. 3．零和负数没有对数．1．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ ) 3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × ) 4．若ln N ＝12，则N ＝⎝⎛⎭⎫12e .( × )一、指数式与对数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)e a＝16；(4)1364-＝14；(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)．解 (1)log 214＝－2.(2)log 10100＝2，即lg 100＝2. (3)log e 16＝a ，即ln 16＝a . (4)log 6414＝－13.(5)32＝9. (6)x z ＝y .反思感悟指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)13log 27＝－3；(3)43＝64；(4)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.解 (1)由log 216＝4，可得24＝16. (2)由13log 27＝－3，可得⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)由43＝64，可得log 464＝3. (4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16，可得14log 16＝－2.二、利用对数式与指数式的关系求值例2 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x .考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式解 (1)2233364(4)x --==＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以1111636662()8(2)2x x =====(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.反思感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练2 (1)计算log 927；的值； (2)求下列各式中x 的值： ①log 27x ＝－23；②log x 16＝－4.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33， ∴2x ＝3，x ＝32.设81x =，则x＝81,43x ＝34，∴x4＝4，x ＝16.(2)①∵log 27x ＝－23，∴2233327(3)x --==＝3－2＝19.②∵log x 16＝－4，∴x －4＝16，即x 4＝116＝⎝⎛⎭⎫124，∴x ＝12.三、利用对数性质及对数恒等式求值例3 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)71log 57.x －＝考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)771log 5log 5777775.5x ÷÷－＝＝＝＝反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记． (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：log log .a NN a a N a N ＝，＝跟踪训练3 (1)设3(log 21)327x ＋＝，则x ＝ .答案 13(2)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．13log 9＝－2C ．13log (2)-＝9D ．log 9(－2)＝13答案 B解析根据对数的定义，得13log 9＝－2，故选B.2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10 考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C 3．方程3log 2x＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9考点对数式与指数式的互化题点对数式与指数式的互化答案 A 解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0B．138 ＝12与log812＝－13C．log39＝2与129＝3D．log77＝1与71＝7考点对数式与指数式的互化题点对数式与指数式的互化答案 C5．已知log x16＝2，则x＝.答案 4解析log x16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，又因为x>0且x≠1，所以x＝4.1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的性质．2．方法归纳：(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点对数的概念题点对数的概念答案 C解析①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，a x＝N才能化为对数式．2．已知－ln e2＝x，则x等于()A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案 B解析因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.3．若log a 5b＝c，则下列等式正确的是()A．b5＝a c B．b＝a5c C．b＝5a c D．b＝c5a 答案 B解析由log a 5b＝c，得a c＝5b，所以b＝a5c.4．下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2. 其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝e e.故只有①②正确．5．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是()A．15 B．75 C．45 D．225考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5，∴a2m＋n＝(a m)2·a n＝32×5＝45.6．＝.考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案8解析设81＝t ，则(3)t ＝81,23t ＝34，t2＝4，t ＝8. 7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝ .考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ， ∴12x-＝()1322-＝18＝122＝24. 8．若对数log (x －1)(2x －3)有意义，则x 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞) 解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x －1≠1，2x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ≠2，x >32，得x >32且x ≠2.9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116；(3)12log 8＝－3；(4)log 3127＝－3. 解 (1)∵53＝125，∴log 5125＝3. (2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2.(3)∵12log 8＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127.10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a＝6，所以log 26＝3a .11．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3答案 B解析由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3. 12.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.37答案 C解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫12－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.13．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝ . 答案－3解析由log (1－x )(1＋x )2＝1，得(1＋x )2＝1－x ， ∴x 2＋3x ＝0，∴x ＝0或x ＝－3.注意到⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，∴x ＝－3. 14．若x 满足(log 2x )2－2log 2x －3＝0，则x ＝ .答案 8或12解析设t ＝log 2x ，则原方程可化为t 2－2t －3＝0，解得t ＝3或t ＝－1，所以log 2x ＝3或log 2x ＝－1，所以x ＝23＝8或x ＝2－1＝12.15．若a >0，23a ＝49，则23log a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析因为23a ＝49，a >0，所以a ＝3249⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫233，设23log a ＝x ，所以⎝⎛⎭⎫23x ＝a .所以x ＝3.16．若12log x ＝m ，14log y ＝m ＋2，求x 2y 的值．解因为12log x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为14log y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. 所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.。

学案4：4.3.1　对数的概念

4.3.1对数的概念新知初探知识点对数1．对数的概念(1)定义如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数叫做以为底的对数，记作x＝log a N.(2)相关概念①底数与真数其中，叫做对数的底数，叫做真数．②常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把log e N记为.状元随笔log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．对数与指数间的关系当a＞0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质状元随笔指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：教材解难对数式与指数式的关系(1)对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算，常用符号“log”表示对数．(2)对数的概念中出现了两个等式：指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N ，这两个等式是等价的，它们之间的关系如图所示．根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可将对数式化成指数式．基础自测1．把指数式a b ＝N 化为对数式是( ) A ．log b a ＝N B ．log a N ＝b C ．log N b ＝aD ．log N a ＝b2．把对数式log a 49＝2写成指数式为( ) A ．a 49＝2 B ．2a ＝49 C ．492＝aD ．a 2＝493．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256D ．24．下列各式： ①lg(lg 10)＝0； ②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)课堂探究题型一指数式与对数式互化例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：利用a b ＝N ⇔log a N ＝b. (1)54＝625； (2)2－6＝164；(3)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73;(4)log 1216＝－4；(5)lg 0.01＝－2； (6)ln 10＝2.303. 教材反思指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32； (2)⎝⎛⎭⎫12－2＝4； (3)log 381＝4； (4)log 134＝m .题型二对数基本性质的应用例2求下列各式中的x的值．利用性质log a a＝1，log a1＝0求值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；log x.(3)方法归纳利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练2求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.题型三对数恒等式a log a N＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用例3求下列各式的值：(1)22log 3＋33log 2；(2)22＋log 213；(3)101＋lg 2；(4)e －1＋ln 3.方法归纳利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alog a N的形式．跟踪训练3 计算：(1)931log 42＝________；(2)⎝⎛⎭⎫1331log 2－＋＝________.课时训练一、选择题 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫做自然对数； (4)以e 为底的对数叫做常用对数．其中错误说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9D ．log 9(－2)＝133．若log a2b ＝c 则( )A ．a 2b ＝cB ．a 2c ＝bC ．b c ＝2aD ．c 2a ＝b4．33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3等于( ) A ．14 B ．0 C ．1D ．6二、填空题5．求下列各式的值： (1)log 636＝________. (2)ln e 3＝________. (3)log 50.2＝________. (4)lg 0.01＝________. 6．ln 1＋1)log (2－1)＝________.7．10lg 2－ln e＝________.三、解答题8．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4; (2)log 1327＝－3；(3)log 3x ＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.9．求下列各式中x 的值： (1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 2(lg x )＝1；(3)552log 3－＝x .10．计算下列各式：(1)2ln e ＋lg 1＋33log 2；(2)33log 4lg 10－＋2ln 1.参考答案新知初探知识点对数1．(1)x a N (2)①a N ②lg N ln N3．零和负数 0 0 1 1 基础自测 1．【答案】B【解析】根据对数定义知a b ＝N ⇔log a N ＝b . 2．【答案】D【解析】根据指数式与对数式的互化可知，把log a 49＝2化为指数式为a 2＝49. 3．【答案】B【解析】由log x 16＝2可知x 2＝16，所以x ＝±4，又x ＞0且x ≠1，所以x ＝4. 4．【答案】①②【解析】因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确；因为ln e ＝1，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；由log 25x ＝12，得x ＝2512＝5，④错误．课堂探究题型一指数式与对数式互化例1 解：(1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3) log 135.73＝m ； (4)⎝⎛⎭⎫12－4＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e 2.303＝10. 跟踪训练1 解：(1)log 232＝5； (2)log 124＝－2；(3)34＝81； (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝4.底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．题型二对数基本性质的应用例2 解：(1)因为log 2(log 3x )＝0，所以log 3x ＝1，所以x ＝3.(2)因为log 5(log 2x )＝1，所以log 2x ＝5，所以x ＝25＝32. (3)23－1＝2(3＋1)2＝3＋1，所以1)log 1)log 1)+＝1，所以x ＝1.跟踪训练2 解：(1)由log 8[log 7(log 2x )]＝0 得log 7(log 2x )＝1，所以log 2x ＝7，所以x ＝27＝128.(2)由log 2[log 3(log 2x )]＝1得 log 3(log 2x )＝2，所以log 2x ＝32，所以x ＝29＝512.已知多重对数式的值求变量，先外到内，利用性质逐一求值．题型三对数恒等式a log a N ＝N (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)的应用例3 解：(1)因为22log 3＝3,33log 2＝2，所以原式＝3＋2＝5.(2)原式＝22×221log 3＝4×13＝43.(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20. (4)原式＝e －1×e ln 3＝1e ×3＝3e .化成a log a N ＝N 形式，再求值．跟踪训练3 【答案】(1)4 (2)32【解析】(1)931log 42＝(912)3log 4＝33log 4＝4.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫13－1×⎝⎛⎭⎫133log 2＝3×(3－1)3log 2＝3×(33log 2)－1＝3×2－1＝32.课时训练一、选择题 1．【答案】C【解析】只有符合a ＞0，且a ≠1，N ＞0，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N ，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确． 2．【答案】B【解析】根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.3．【答案】B【解析】log a 2b ＝c ⇔(a 2)c ＝b ⇔a 2c ＝b . 4．【答案】B【解析】33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3＝4－3272－lg 1100＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.二、填空题5．【答案】(1)2 (2)3 (3)－1 (4)－2 【解析】(1)log 636＝2. (2)ln e 3＝3.(3)log 50.2＝log 55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 6．【答案】1 【解析】ln 1＋1)log (2－1)＝0＋1＝1.7．【答案】15【解析】ln e ＝1，所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1＝2×110＝15. 三、解答题8．解：(1)24＝16; (2)⎝⎛⎭⎫13－3＝27； (3)(3)6＝x; (4)log 464＝3；(5)log 319＝－2; (6)log 1416＝－2. 9．解：(1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2.∴x ＝102＝100.(3)x ＝552log 3－＝5255log 3＝253. 10．解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝33log 41－＋20 ＝33log 4÷31＋1＝43＋1＝73.。

4.3.1对数的概念

4.3.1对数的概念教学目标:1）理解对数的概念；2）能够说明对数与指数的关系；3）掌握对数式与指数式的相互转化．学习过程：（一）自主探究思考1：=42 __________， =2-2 ______思考2：(1)若162=x，则x= ，(2)若412x=，则x=(3)若84=x ,则x=（4）若32=x ，则x=？那么如何表示x 呢？阅读课本P122页：1、对数定义：一般地，如果，那么数叫做以a 为底 N 的对数，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做。

注意：对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ；对于（4）中的x 表示为_______________.常用对数：以10为底的对数（10log N ）叫做， 10log N 记作 .自然对数：以 e 为底的对数（log e N ）叫做， log e N 记作 .（二）巩固练习（1）、将下列指数式写成对数式62554= 64126=- 373=a 73.5)31(=m（2）、将下列对数式写成指数式416log 21-= a =27log 3 303.210ln = 201.0lg -=根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当时，1,0≠>a a ⇔=N a x （三）、常用的对数关系式：（1）负数和零没有对数；(2) log 1___a =； log ___a a =．(3) 对数恒等式：=N a a log _______________ =n a a log _____________（4）求下列各式的值:25log 5= ， 161log 2= ， 1000lg = ，001.0lg = ， 15log 15= ， 1log 4.0= ，81log 9= ， 25.6log 5.2= ， 243log 3= ，343log 7=(5) 求下列各式中x 的值：()32log 164-=x , ()68log 2=x , ()x =100lg 3 , ()x e =-2ln 4练习：P123: 1、2、3题小结：（四）课后作业课本p126习题1、2（1）题。

学案3：4.3.1　对数的概念

4.3.1对数的概念1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做，记作，其中a 叫做，N叫做．名师点拨log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．对数式与指数式的关系3．常用对数与自然对数4．对数的基本性质(1)负数和0 对数．(2)log a1＝(a＞0，且a≠1)．(3)log a a＝(a＞0，且a≠1)．自我检测1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数log39和log93的意义一样．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()2.若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有()A．log2M＝aB．log a M＝2C．log a2＝MD．log2a＝M3.把对数式log a 49＝2写成指数式为( ) A ．a 49＝2 B ．2a ＝49 C ．492＝a D ．a 2＝494.log 32x －15＝0，则x ＝________．讲练互动探究点1 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化： (1)e a ＝16; (2)64－13＝14；(3)log 39＝2;(4)log x y ＝z (x ＞0且x ≠1，y ＞0)．规律方法跟踪训练将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4； (2)log 1327＝－3；(3)43＝64； (4)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.探究点2 利用对数式与指数式的关系求值例2 求下列各式中x 的值：(1)log 27x ＝－23；(2)log x 16＝－4； (3)lg11 000＝x ； (4)－ln e －3＝x . 规律方法求对数式log a N (a >0，且a ≠1，N >0)的值的步骤(1)设log a N ＝m .(2)将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N .(3)将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b ，则m ＝b ，即log a N ＝b . 跟踪训练求下列各式的值： (1)log 525； (2)log 2116；(3)lg 1 000； (4)lg 0.001.探究点3 利用对数的性质求值例3 求下列各式中x 的值： (1)log 3(lg x )＝1；(2)log 3[log 4(log 5x )]＝0. 规律方法利用对数的性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a (log b c )的值，先求log b c 的值，再求log a (log b c )的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练求下列各式中的x 的值： (1)log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1； (2)log 2[log 3(log 4x )]＝0.达标反馈1．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝182．若log a 2b ＝c 则( ) A ．a 2b ＝c B ．a 2c ＝b C ．b c ＝2aD ．c 2a ＝b 3．求下列各式中x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 9 3.巩固提升 A 基础达标1．如果a 3＝N (a ＞0，a ≠1)，则有( ) A ．log 3N ＝a B ．log 3a ＝N C ．log a N ＝3 D ．log a 3＝N2．log 3181等于( )A ．4B ．－4C ．14D ．－143．对数式M ＝log (a －3)(10－2a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(3，5) C ．(3，＋∞)D ．(3，4)∪(4，5)4．已知log 2x ＝3，则x －12等于( ) A.13 B.123 C.133D.245．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n 等于( )A ．3B ．34C ．9D ．926．若log 22x －53＝1，则x ＝________．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤1，log 81x ，x ＞1，则满足f (x )＝14的x 的值为________．8．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．(1)log 2x ＝－25；(2)log x 3＝－13.9．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 能力提升10．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1或3D ．1或－311．若m >0，m 23＝1625，则log 45m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 12．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．13．已知log a b ＝log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1b.C 拓展探究14．(1)计算23＋log23＋32－log39＝________．(2)已知log x27＝31＋log32，则x＝________．参考答案新知初探1．以a为底N的对数x＝log a N 对数的底数真数4．(1)没有(2)0(3)1自我检测1.【答案】(1)× (2)× (3)√2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】3讲练互动探究点1 指数式与对数式的互化例1 解：(1)log e 16＝a ，即ln 16＝a . (2)log 6414＝－13.(3)32＝9. (4)x z ＝y .跟踪训练解：(1)由log 216＝4可得24＝16. (2)由log 1327＝－3可得⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)由43＝64可得log 464＝3. (4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16可得log 1416＝－2.探究点2 利用对数式与指数式的关系求值例2 解：(1)因为log 27x ＝－23，所以x ＝27－23＝(33)－23＝3－2＝19.(2)因为log x 16＝－4，所以x －4＝16，即x －4＝24. 所以⎝⎛⎭⎫1x 4＝24，所以1x ＝2，即x ＝12.(3)因为lg11 000＝x ，所以10x ＝10－3，所以x ＝－3. (4)因为－ln e －3＝x ，所以－x ＝ln e －3，即e －x ＝e －3，所以x ＝3.跟踪训练解：(1)设x ＝log 525，则5x ＝25＝52，所以x ＝2，即log 525＝2.(2)设x ＝log 2116，则2x ＝116＝2－4，所以x ＝－4，即log 2116＝－4.(3)设x ＝lg 1 000，则10x ＝1 000＝103，所以x ＝3，即lg 1 000＝3.(4)设x ＝lg 0.001，则10x ＝0.001＝10－3，所以x ＝－3，即lg 0.001＝－3. 探究点3 利用对数的性质求值例3 解：(1)因为log 3(lg x )＝1，所以lg x ＝31＝3，所以x ＝103＝1 000.(2)由log 3[log 4(log 5x )]＝0可得 log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.跟踪训练解：(1)由log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1＞0，2x 2－1＞0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)由log 2[log 3(log 4x )]＝0，可得log 3(log 4x )＝1，故log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.达标反馈1．【答案】C 2．【答案】B【解析】log a 2b ＝c ⇔(a 2)c ＝b ⇔a 2c ＝b . 3．解：(1)由已知得⎝⎛⎭⎫22x ＝4，所以2－x 2＝22，－x2＝2，解得x ＝－4.(2)由已知得9x＝3，即32x ＝312.所以2x ＝12，x ＝14.巩固提升 A 基础达标1．【答案】C 2．【答案】B【解析】因为3－4＝181，所以log 3181＝－4.3．【答案】D【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2a >0，a －3>0，a －3≠1，解得3<a <4或4<a <5，即a 的取值范围是(3，4)∪(4，5)． 4．【答案】D【解析】因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝8.所以x －12＝8－12＝122＝24.故选D. 5．【答案】D【解析】由已知得a m ＝12，a n ＝3.所以a m＋2n＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝92.故选D.6．【答案】112【解析】因为log 22x －53＝1，所以2x －53＝2.即2x －5＝6. 解得x ＝112.7．【答案】3【解析】由题意得①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＝14或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，log 81x ＝14，解①得x ＝2，与x ≤1矛盾，故舍去，解②得x ＝3，符合x ＞1.所以x ＝3.8．解：(1)因为log 2x ＝－25，所以x ＝2－25＝1225＝154. (2)因为log x 3＝－13，所以x －13＝3，即x ＝3－3＝127. 9．解：因为log 12x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为log 14y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4.所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m⎝⎛⎭⎫122m ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫122m －（2m ＋4）＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.B 能力提升10．【答案】B【解析】由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3.11．【答案】B【解析】因为m 23＝1625，m >0，所以m ＝⎝⎛⎭⎫162532＝⎝⎛⎭⎫453， log 45m ＝log 45⎝⎛⎭⎫453＝3.12．解：因为log 2(log 3(log 4x ))＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4，所以y ＝24＝16. 所以x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.13．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝bk 2，因为b >0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b，命题得证． C 拓展探究14．【答案】(1)25 (2)3【解析】(1)23＋log 23＋32－log 39＝23×2log 23＋323log 39＝8×3＋99＝25.故填25.(2)log x 27＝31＋log 32＝3×3log 32＝3×2＝6.所以x 6＝27，所以x 6＝33，又x >0，所以x ＝ 3.故填 3.。

4.3.1 对数的概念 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

log₁1 有无数个值，不能确定 . 为了避免 logaN 不存在或者不唯—确定的
情况，规定(a>0 且a≠1)
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系(互化): 若a>0 且a≠1, 则a⁸=N⇔loga N=x
指
指数以a为底N 的对数
数
幂真数
式
X
al
log N =
对
底数
数
式
1.指数式与对数式的转化
练习1求下列各式的值：
(1)3¹+log₃2;
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1)1g(In x)=0;
0.
(2)1g(Inx)=1;
(3)log₇[log₃(log₂x)]=
课本126页习题4.3 第 1 题
求下列各式中x的值
(1)31o⁸₃(Inx)=2
(2)In(log₂x)=0
(3)log₁(lg x)=1 1)=2 2
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
(3)logaa=1(a>0 且a≠1). <=a¹=a.
例2求下列对数的值
(1)log₂2 = (2)log₂1=
(3)log₂16=
概念生成
3.对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
ax=N,N>0.
当真数N≤0 时，没有对数.
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
x=3—2
x=6÷3
士 √9
a=N→x=logaN
是一种运算
概念生成
1.对数的概念
注意：①底数：a>0 且a≠1
②对数的书写格式

4.3.1 对数的概念

∴4x＝4，x＝16.
(2)求下列各式中x的值：
①log27x＝－23；
解 ∵log27x＝－23，
∴
x
2
27 3
(33
)
2 3
＝3－2＝19.
②logx16＝－4.
解 ∵logx16＝－4， ∴x－4＝16，即 x4＝116＝124， ∴x＝12.
三、利用对数性质及对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；解 ∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5.
反思
感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指
数幂的运算性质求解.
跟踪训练2 (1)计算log927；log4 3 81 的值；
解设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，
∴2x＝3，x＝32.
x
x
设 x log 4 3 81，则 4 3 ＝81, 34 ＝34，
3 随堂演练
PART THREE
1.将13－2＝9 写成对数式，正确的是
A.log913＝－2
C. log1 (2)＝9
3
√B. log1 9 ＝－2
3
D.log9(－2)＝13
解析根据对数的定义，得 log1 9 ＝－2，故选B.
3
12345
2.若logax＝1，则
A.x＝1
B.a＝1
√C.x＝a
PART TWO
一、指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14；解 log214＝－2. (2)102＝100；
解 log10100＝2，即lg 100＝2.

4.3.1 对数的概念(课件)

log64x
＝－2得 3
x
＝64
－
2 3
＝4 ＝4 ＝ 1 . 3
－
2 3
－2
16
②由 logx8＝6，得 x6＝8，又 x>0，
即
x＝8
1 6
＝
3 1
26
＝
2.
③由 lg 100＝x，得 10x＝100＝102，即 x＝2.
[方法技巧] 求对数式 logaN 的值的步骤
(1)设 logaN＝m； (2)将 logaN＝m 写成指数式 am＝N； (3)将 N 写成以 a 为底的指数幂 N＝ab，则 m＝b，即 logaN＝b.
[解析] (1)①设 log981＝x，所以 9x＝81＝92，故 x＝2，即 log981＝2. ②设 log0.41＝x，所以 0.4x＝1＝0.40，故 x＝0，即 log0.41＝0. ③设 ln e2＝x，所以 ex＝e2，故 x＝2，即 ln e2＝2. 答案：①2 ②0 ③2
(2)①由
4.3.1 对数的概念
4．3 对数 4．3.1 对数的概念 1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算． 2．理解指数式与对数式的等价关系，能够熟练地进行对数式与指数式的互化． 3．通过对数式与指数式的互化的理解和简单的对数值的求解，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．对数的概念一般地，如果 ax＝N(a＞0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝l_o_g_a_N_，其中 a 叫做对数的_底__数__，N 叫做_真__数__． 2．常用对数与自然对数
名称
定义
记法
常用对数以1_0__为底的对数叫做常用对数

数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念

概念生成
1.对数的概念
如果的次幂等于N，即 = (＞0且≠1)，那么就称是以
为底N的对数，记作 = log .其中，叫做对数的底数，N叫做真数。
说明：“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写。
对数的写法
上述问题情境中：由2=1.11x ，得x是以1.11为底2的对数，
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
问题引入
1
我们能从y＝1.11x中求出经过x年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，
如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
上述问题实际上就是从2=1.11x ，3=1.11x ， 4=1.11x ，…
中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
(3) log a a 1(a 0且a 1). a a.
1
(4)lo g =N.
=N, > 0且 ≠ 1) = ( > 0, 且 ≠ 1)
典例分析
例 1 将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：
log32
【答案】3 [log33＋3
＝1＋2＝3.]
课堂练习
课本123 页练习1、2、3
课堂小结
1.对数的概念，指数式与对数式的转化；
2.对数的相关结论及运用；
ax=N
相互转化
x=logaN
转化与化归思想
谢谢观看
2
所以 x＝－2.
2
典例分析
例 3 设 55(2−1) ＝25，则 x 的值等于(
A．10
B．13
C．100
D．±100
)

4.3.1对数的概念

课堂练习1
（教材P46练一练） 1.将下列各指数式写成对数式 log 7 7 1 (2)54 625 (1)71 7
0 (3)210 1024 log 2 1024 10 (4)4 1 1 1 1 1 1 3 ( 5 )2 log 2 1 (6)27 2 2 3
结论：(对数的性质） 1、底数a大于0且不等于1
2、负数和零没有对数。即真数N>0 3、1的对数是0, 即 log a 1 0
4、底数与真数相同时，对数为1 即 log a a 1
思考
5a
loga N
与N有么系 ? 什关
令b=logaN b=N 知 a 即
a
logaN
=N
（对数的定义式）
解： log a a 1(a 0, 且a 1) log 0.3 0.3 1
1 (4) log2 2
解：设log 2 1 x 则2 x 1 21 x 1 2 2
(5) log0.4 1
1 即log 2 1 2
解： log a 1 0(a 0, 且a 1) log 0.4 1 0
（教材P47练一练）3.求下列各式的值
(1) lg10
1
6
( 2) lg106
(3) log7 7
1 1
0
0
(4) log0.5 0.5
(5) ln1 (6) lg1
课堂小结：
一、对数的概念
（一）定义：
当a 0, 且a 1时，a b N loga N b,
（二）性质： 1.两点注意： (1)底数 a 0, 且a 1， (2)真数N>0，即0和负数无对数. 2.三个运算式： (1) loga 1 0 (2) loga a 1

4.3.1 对数的概念(课件)

自主学习
四.对数恒等式
1. alogaN＝ N (a>0 且 a≠1，N >0).
b 2.logaab＝ (a>0，且 a≠1)．
思考 3：如何推出对数恒等式 alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N >0)吗？
因为 ax＝N，所以 x＝logaN，代入 ax＝N 可得 alogaN＝N.
自主学习
课后作业
对应课后练习
解读：恒等式 alogaN＝N 与 logaab＝b 的作用 1.alogaN＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a 为底的指数形式． 2.logaab＝b 的作用在于能把以 a 为底的指数转化为一个实数．
小试牛刀
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN 是 loga 与 N 的乘积．( × ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( × )
1 3
1 ，B
3
正确；
对于 C， log3 9 2 32 9 ，C 不正确；对于 D， log5 5 1 51 5，D 正确
当堂达标
3.对数式 log(a－2)(5－a)＝b 中，实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，5)
B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
a－2＞0 D 解析：∵a－2≠1
3.对数恒等式 alogaN＝N (a>0 且 a≠1，N >0)，logaab＝b(a>0，且 a≠1).
经典例题
题型三
跟踪训练3 求下列各式中的 x 的值．
(1)log2(log3x)＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1.

人教版高中数学必修第一册4.3.1对数的概念【课件】

(1) 设 x＝log7
7
，则 7x＝
1
7 ，即 7x＝72 ，
所以 x＝12 .
(2) 设 x＝log927，根据对数的定义知 9x＝27，即 32x＝33，所以 2x＝3，得 x＝32 ，所以 log927＝32 .
(3)
设 x＝log 1
16
1 8
，所以
1 16
x
＝18
，即
1 2
4
;(5) log33=
;(6) logaa=
.
你从上述结果中能得出怎样的结论?
【活动3】指数式与对数式的互化
【问题6】对比 2x=3 和 log23=x,你发现了什么?
【问题7】能否将指数式与对数式的互化写成一般形式?
【问题8】求下列各式的值.
(1)
;(2)
. ;(3) log334;(4) lne-2.
解：(1) 因为 log3(lgx)=1,所以 lgx=31=3,所以 x=103=1 000. (2) 由 log3[log4(log5x)]=0 可
得 log4(log5x)=1,故 log5x=4,所以 x=54=625.
【方法规律】
(1) 求多重对数式的值的方法是由内到外,如求 loga(logbc) 时,先
【问题3】对于等式ax＝N (a>0，且a≠1)，如何表示这里的x?
【活动2】认识和理解对数的概念【问题4】对数的真数可以取哪些值?能为零吗?可以为负数吗?
【问题5】
试说出下列各对数的值(a>0,a≠1):
(1) log51=
;(2) log31=
;(3) loga1=
;
(4) log55=

4.3.1对数的概念与对数运算(两课时)课件(人教版)

当a>0,a≠1时，ax=N
x=㏒aN
※性质
0和负数没有对数，即N > 0；
1的对数等于0，即loga1=0；
底数的对数等于1，即logaa=1；
④对数恒等式 a
log a N
N.
探究角度1 对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(1)lo
x=3;
(2)logx64=-6;
对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数
.
对数的主要作用是简化运算
解下列方程
(1)2 8
x
(3)1.11 2
x
(2)2
x
2
(4)1.11 3
x
一般地，
对数概念
如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数,记
作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数
loga N
N (对数恒等式）
对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
（1）logaM n = n logaM (n∈R)
（2）loga(MN)=logaM+logaN
M
(3) log a
log a M log a N
N
探究点一
对数运算法则
[例1] 计算:
(2)
+
+
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.

高数数学必修一《4.3.1对数的概念》教学课件

)
10－1＝x
2．lg x＝－1，指数式为________．
解析：lg x＝－1，指数式为10－1＝x.
三、对数的性质
1．对数的基本性质
零
负数
(1)________和________没有对数．
0
(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)．
1
(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．
微点拨❷

b
指数式a ＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)
是同一种数量关系的三种不同表达形式，具体对应如下：
a
b
N
表达形式
ab＝N
底数指数
幂

＝a 方根根指数被开方数
logaN＝b 底数对数
真数
对应的运算
乘方，由a，b求N
开方，由N，b求a
对数，由N，a求b
学霸笔记：
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a＞
0，且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指
数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”
后再求解．
跟踪训练3 (1)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的
A．(1，＋∞)
B．(0，1)∪ 1， + ∞
2
2
C．(0， )
D．( ，＋∞)
3
3
答案：C
>0
2
2
解析：由题意知ቐ ≠ 1 ，解得0<a<3，所以实数a的取值范围是(0，3).故选C.

4.3.1对数的概念

人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件(1)

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