矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文
正定矩阵及其应用
本科毕业论文(设计)正定矩阵及其应用学生：学号：专业：指导老师：答辩时间：装订时间：A Graduation Thesis(Project)Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Positive definite matrices and their applicationsStudent Name: Student No.:Specialty:s Supervisor:Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘要矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值AbstractThe matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars'attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix'primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum.Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum目录摘要IAbstractII1绪论11.1 课题背景11.2 课题研究的目的和意义11.3 国外研究概况22 预备知识32.1 矩阵32.2二次型53正定矩阵83.1正定二次型83.2正定矩阵的判定定理94正定矩阵的应用134.1正定矩阵的相关命题134.2正定矩阵在函数极值中的应用15总结与展望18致201绪论我们知道矩阵是高等代数中非常重要的容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.1.1 课题背景正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初步研究，撰写开题报告.1.2 课题研究的目的和意义矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对知识的渴望.研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.1.3 国外研究概况随着数学的影响力越来越大，矩阵对数学的研究也显得越来越重要. 在代数方面，正定矩阵也同样占有非常重要的地位. 因此人们对正定矩阵的研究也越来越广泛. 因而对正定矩阵的理解和应用也越来越深入，其应用围也越来越广泛. 在函数学、几何学、经济学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用.在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和Hermite型中. 但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵. 1970年，Johnson引入了不再局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵实对称矩阵的概念. 他给出了正定矩阵较为广义的定义. 1985年，炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义. 1984年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广. 他给出了推广正定矩阵的各种定义. 1988年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广. 他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论. 1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合. 他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵. 在研究正定矩阵的过程中，许多学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用. 除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关容进行了研究，同样取得了巨大的成就. 近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来. 这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面. 它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 预备知识2.1 矩阵定义2.1.1 由n m ⨯个数),2,1,,2,1(n j m i a ij ==；排成的m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211， 称为n m ⨯矩阵，记作.n m ij a A ⨯=）（ 特殊地，当n m =时，矩阵称为方阵.定义2.1.2 把一矩阵A 的行列互换，所得到的矩阵称为A 的转置. 记为T A (或者记为'A ).即， 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211，所谓A 的地转置就是指矩阵.212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn n n s s T a a a a a a a a a A 显然，n s ⨯矩阵的转置是s n ⨯矩阵，即n s ij a A ⨯=）（，则.s n ij a A ⨯=）（ 转置矩阵满足以下运算规律()()()().T T TT T T T T TT kA kA A B AB B A B A A A ==+=+=，，，定义2.1.3 数域P 上的n n ⨯矩阵A 称为对称矩阵，如果T A A =.即若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 且满足=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n nn n a a a a a a a a a212221212111,则称A 为对称矩阵.定理2.1.1 任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵T ，使得AT T T 成对角型. 对角线上的元素为矩阵A 的特征根.定义2.1.4 数域P 上的n n ⨯矩阵A 称为非退化的，如果0≠A ；否则称为退化的. 即，若.0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a A则A 为非退化的.定义2.1.5N 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得.E BA AB == （1）这里E 是n 级单位阵.如果矩阵B 适合（1），那么B 称为A 的逆矩阵，记为T A . 注1：只有方阵才可能可逆； 注2：非零的矩阵不一定可逆；注3：若A 可逆，则（1）中的B 必唯一； 注4：若AC AB =，且A 可逆，则C B =.设A 是n 阶可逆矩阵，下列结论成立：()()()()()()()()().5);(4;13;2;111111111-*-------=====n TT AA k kA kA AA A A A A 为非零数定理2.1.2 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 是非退化的.定义2.1.6 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使.AC C B T =合同是矩阵之间的的一个关系，不难看出，合同关系具有: （1） 反身性：;AE E A T =（2） 对称性：由T C B =即得();11--=BC C A T（3） 传递性: 由111AC C A T =和2122C A C A T= 即得()().21212C C A C C A T=定义2.1.7 设n n y y y x x x ,,,,,,2121 ；是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+++=.22112222121212121111n nn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ，，（2） 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或者简称线性替换，如果系数行列式，0≠cij那么线性替换（2）称为非退化的.2.2二次型定义2.2.1设P 是一数域. 一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式() ++=211221113212,,x x a x a x x x f+++++n n n x x a x a x x a 22222212122+2nnn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型. 令ji ij a a =，.j i >由于i j j i x x x x =，所以二次型（3）可以写成()n n x x a x x a x a x x x f 1121122111321,,+++=n n x x a x a x x a 2222221221+++++22211n nn n n n n x a x x a x x a ++++j i n i nj ij x x a ∑∑-==11（5）把（5）的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211， 它就称为二次型（5）的矩阵.令.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n n Tx x x a a a a a a a a a x x x AX X 2121222211121121,,..),,(21AX X x x x f T n =定理2.2.1 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角阵. 即，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使AC C T成对角矩阵.定义2.2.2二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和形式称为二次型),,,(21n x x x f 的一个标准形. 即222221121),,,(n n n x d x d x d x x x f ++=为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.定义2.2.3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规形. 且规形是唯一的.即任一复数的对称矩阵合同于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011的对角阵.定义 2.2.4 实二次型),,,(21n x x x f 经过某一个非线性替换，可使),,,(21n x x x f 变成标准形22112211r r p p p p y d y d y d y d --++++ ，再做一次非退化线性替换就变成221221r p p z z z z --+++ ，称为实二次型),,,(21n x x x f 的规形.3正定矩阵在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作为本章的开始，我们给出了它的定义，引出正定矩阵的定义. 正定矩阵同样占有非常特殊的地位，我们给出了正定矩阵的判定定理.3.1正定二次型定义3.1.1 在实二次型 ),,,(21n x x x f 的标准型形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数；负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数；它们的差()r p p r p -=--2称为),,,(21n x x x f 的符号差.定义3.1.2 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的. 如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有 0),,,(21>n c c c f .定理3.1.1 n 元实二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .推论3.1.1 正定矩阵的行列式大于零.定义3.1.3 在n 阶矩阵中任选k 行，再取相同行号的列，所选取的行列交汇处的2k 个元素组成的新的矩阵称为n 阶矩阵的一个k 阶主子式.定义3.1.4 子式),2,1(212222111211n i a a a a a aa a a P ii i i i i i=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 称为矩阵()n n ij a A ⨯=的顺序主子式.定理3.1.2实二次型AX X x x x x x f T ni nj j i ij n a ==∑∑==1121),,,(是正定的充分必要条件为：矩阵A 的顺序主子式全大于零.定义3.1.5 若对于方阵A 存在一个非零向量X 和实数λ，使得X AX λ=成立. 则称λ为矩阵A 的特征值，X 称为A 相对于λ的特征向量.定义3.1.6 设实二次型AX X x x x f T n =),,,(21 （A 为对称矩阵). 如果对于任意的0X 21≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x ，有0),,,(21>=AX X x x x f T n ，则称该二次型为正定二次型. 矩阵A为正定矩阵.注：本文所讨论的都为实正定矩阵.3.2正定矩阵的判定定理定理3.2.1实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P ，使得P P A T =.证明 必要性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵Q ，使得E AQ Q T =， 即()()()1111----==Q Q EQ Q A TT ，若我们记1-=QP ，则有.P P A T =充分性 设存在可逆矩阵P 使得P P A T =，则对任意()0,,,x 21≠=Tn x x x ， 有()()PX PX PX P X AX X TT T T ==，若我们记()Tn y y y PX Y ,,,21 ==. 则22221n T T y y y Y Y AX X +++== ，所以矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.2实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P ，使得n T E AP P =.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 对应的是正定二次型. 因此可以经过非退化线性替换PY X =. 其中()Tn y y y Y ,,,21 =. 使得()()()).,,,(),,,(212121n n T T TT n y y y g a a a Y AP P Y PY A PY AX X x x x f=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====所以有n E AP P ='.必要性 存在可逆矩阵P 使得 n T E AP P =，则其对应的二次型).,,,()()(),,,(2121n T T T T n x x x f PY A PY APY P Y EY Y y y y g ==== 因),,(21n x x x g 为正定二次型，所以),,,(21n x x x f 也为正定二次型. 所以其对应的矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.3实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的正惯性指数n p =.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵. 由定理3.2.2知矩阵A 合同于单位阵E . 所以矩阵A 的正惯性指数为n .必要性 因为矩阵A 的正惯性指数为n ，由定理3.1.1知矩阵A 对应的二次型为正定二次型. 因此矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.4实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有顺序主子式都大于零.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 对应的二次型为正定二次型. 则构造函数)00)(,,,(21≤<k x x x f k 也为正定二次型. 所以其对应的矩阵顺序主子式k A 为正定矩阵，即0>k A . 所以正定矩阵A 的所有顺序主子式都大于零. 必要性 因为矩阵A 的所有顺序主子式都大于零，所以矩阵A 的任一顺序主子式k A 对应的二次函数都为正定二次型. 因此当n k =时对应的二次型),,,(21n x x x f 为正定二次型. 即对应的矩阵A 为正定矩阵.例3.2.1 设二次型323121232221214-2224),,,(x x x x x x x x x x x x f n -+++=λ ，求λ的取什么围，使得),,,(21n x x x f 为二次型.解 二次型),,,(21n x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22-1-2-41-1λλA .由定理3.2.4得,011>=A()(),02244122>+-=-==λλλλλA 得.22<<-λ(),02-24222-12-41123>-=+-=--=λλλλλλA 得.20<<λ 综合可知当20<<λ时，),,,(21n x x x f 正定.定理3.2.5实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有主子式都大于零.证明 设正定矩阵()n n ij a A ⨯=，则它的任一m 阶主子式为()mm m mk k k k k k k k m a a a a A1111=.作二次型AX X T 和().Y A Y m T 对任意()0,10≠=m k k b b Y ，都有().0,,10≠=n c c X 其中⎩⎨⎧==其它时当,0,,,,21m i i k k k i b c ，由于AX X T 正定，所以000>AX X T . 从而().0000Y A Y AX X m TT= 由0Y 的任意性即证()Y A Y m T 是正定二次型，即().0>m A例3.2.2 判断⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-10121011A 是否为正定矩阵.解 我们直接可以看出矩阵A 的主子式不全大于零.定理3.2.6实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有特征值都大于零.证明 由定理2.1.1知对于对称矩阵A 存在一个n 阶正交矩阵T . 使得AT T T 成对角型. 对角线上的元素为矩阵A 的特征根.充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以存在正交矩阵P ，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T a a a AP P21. 其中n a a a ,,,21 是矩阵A 的全部特征值. 则矩阵A 对应的二次型为AX X x x x f T n =),,,(21 . 令PY X =，则有()()().,,,)(),,,(2121n T T TT n y y y g Y AP P Y PY A PY AX X x x x f ====又因为矩阵A 为正定矩阵，所以二次型为正定二次型. 因此矩阵A 的特征值全部大于零.必要性 因为矩阵A 的特征值),,2,1(n i a i =都是大于零，所以存在正交矩阵P ，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T a a a AP P21. 则矩阵A 所对应的二次型 ()()()),,,(,,,),,,(2121212121n TT T n n n n x x x f PY A PY APY P Y y y y a a a y y y y y y g===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=所以二次型()n y y y g ,,,21 是正定二次型. 因此矩阵A 为正定矩阵.4正定矩阵的应用正定矩阵作为本论文的中心容，我们不仅仅只是研究它的定义和性质，它的应用也是我们需要研究的反向. 正定矩阵的应用非常广泛，它在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 本论文主要研究了它在理论证明中和在函数极值中的应用.4.1正定矩阵的相关命题命题4.1.1 若矩阵B A ,是n 阶正定矩阵，则矩阵B A +也是正定矩阵. 证明 因为矩阵B A ,为正定矩阵，所以对所有00,0>>≠BX X AX X X T T ，. 因此0)(>+X B A X T .命题4.1.2 若矩阵A 是n 阶正定矩阵，R k ∈<0，则kA 也为正定矩阵. 证明 因为所有0,0>≠AX X X T ，所以0)()(>=AX X k X kA X T T .命题4.1.3 若矩阵B A ,都是n 阶正定阵，BA AB =，则AB 也是正定阵. 证明 因为BA AB =，所以()AB BA A B AB T T T===. 所以AB 是对称矩阵又因为B A ,为正定矩阵，所以存在可逆矩阵Q P ,，使得.,Q Q B P P A T T == 因此Q PQ P AB T T =.又因为()()TT T PQ PQ PQ QP QABQ ==-1正定， 且与AB 相似，所以AB 正定.命题4.1.4 设矩阵A 是正定阵，则*1A A ，-为正定阵.证明 因为矩阵A 为正定矩阵. 所以存在可逆矩阵C ，使得C C A T =. 因此()()()TTT C C C C CC A 111111------===. 所以1-A 正定.又因为01*>⋅=-A A A A ，此时，所以*A 也是正定阵.命题4.1.5 设矩阵A 为正定阵，则与矩阵A 合同的矩阵也是正定阵. 证明 因为正定矩阵A 合同于单位矩阵E ，又因为合同矩阵具有传递性 所以结论成立.命题4.1.6 若矩阵A 为正定矩阵，那么矩阵A 的绝对值最大的元素一定在矩阵A 的主对角线上.证明 设{}00,max 00j i a a ij j i ==，000000000≤j j i j j i i i a a a a . 这与矩阵A 为正定矩阵矛盾.例4.1.1判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113121311B 是不是正定矩阵.解 因为绝对值最大的元素不在主对角线上，所以矩阵B 不是正定矩阵.- . -4.2正定矩阵在函数极值中的应用定义4.2.1 设n 元函数()),,,(21n x x x f x f =在n n R x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 210的某个邻域存在一阶和二阶连续偏导数.记⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇n x x f x x f x x f x f )(,,)(,)()(02010 .)(x f ∇称为函数)(x f 在点⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x 210处的梯度，或记为).(0x gradf定义4.2.2设n 元函数()),,,(21n x x x f x f =有二阶连续偏导数，并且在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n αααα 21处的一阶偏导全部为零. 则称α为()),,,(21n x x x f x f =的一个驻点，则n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212121)(. 称为()),,,(21n x x x f x f =在α点的黑塞矩阵.定理4.2.1 设函数),,,()(21n x x x f x f =的一阶和二阶连续偏导数存在.并且在),,,(21n αααα =处的一阶偏导为零. 则由函数二阶偏导所确定的n 元黑塞矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212121)(，满足 （1）当)(αH 为正定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α处取得极小值； （2）当)(αH 为负定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α处取得极大值； （3）当)(αH 为不定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α无极值.- . -证明 因为()),,,(21n x x x f x f =在α的所有二阶偏导数都存在，所以由泰勒公式得()n n x x x f ∆+∆+∆+ααα,,,2211()+=n f ααα,,,21 ()n n n n x x x f x x x x x x ∆+∆+∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆++∂∂∆+∂∂∆θαθαθα,,,22112211 ())10(,,,21221122211<<∆+∆+∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆++∂∂∆+∂∂∆+θθαθαθα其中！n n n n x x x f x x x x x x 又因为()),,,(21n x x x f x f =在α处的一阶偏导为零，所以()n n n i x i x x x f x f i∆+∆+∆+∆=∆∑=θαθαθα,,,(!212211122()).,,,2221111n n ni x x jni j ix x x f xx j i ∆+∆+∆+∆∆+∑∑=+=θαθαθα所以我们可以得到()n n x x x x x f j i ∆+∆+∆+θαθαθα,,,2211 ()).,2,1,(,,,21n j i c f ij n x x j i =+=ααα 当()0,,,21→∆∆∆=∆n x x x x 时，.0→ij c 所以()n n i x i if x f ααα,,,(!2121122 ∑=∆=∆()n n i x x j ni j i j i f x x ααα,,,22111∑∑=+=∆∆+)211122∑∑∑=+==∆∆+∆+ni jni j iijn i iix x c x c .因为()0,,,21→∆∆∆=∆n x x x x 时.0→ij c 所以存在x 的一个领域，使得在这个区域f ∆的符号与()n n i x i if x f ααα,,,2112'2 ∑=∆=()n ni x x jni j ij i f xx ααα,,,22111∑∑=+=∆∆+的符号一致.所以由实二次型及正定矩阵的定义可以证明以上定理的正确性.例4.2.1 求三元函数()32123222132162432,,x x x x x x x x x f -+-++=的极值. 解 求驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==-=.111.066022044321321321x x x x f x f x f x x x ，，，，所以驻点为()1,1-1，α. 求得二阶偏导分别为.0,6,0,2,0,4313332222111======x x x x x x x x x x x x f f f f f f所以矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=600020004αH ， 由以上判定定理可知H 为正定矩阵.所以),,(321x x x f 在()1,1-1，α处取得极小值，极小值为()().51,1,1-=-=f f α例4.2.2 求三元函数32123223132126),,(x x x x x x x x x f -+++=的极值. 解 求驻点⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==+=.1,27,9.1,0,0.022062063321321312221321x x x x x x x f x x f x x f x x x 或，，所以驻点为()1,001，α，()1,2792，α. 求得二阶偏导分别为.0,0,2,0,0,2,6,6,61331332332221221111=========x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f f f x f所以矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000260661x H α.所以矩阵().2000260601⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αH在()1,001，α处的顺序主子式为 .7220002606036266000321-==-====H H H ，，由定理3.2.4知矩阵()1αH 不是正定矩阵，所以()1,001，α不是),,(321x x x f 的极值点. ().20002606542⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αH在()1,2792，α处的顺序主子式为 .0144200026065407226654054321>==>==>=H H H ，，由定理3.2.4知矩阵()2αH 是正定矩阵，在()1,2792，α处取得极小值，极小值为 ()().29151,27,92==f f α总结与展望正定矩阵在高等代数中有很多重要的应用，其实质就是简化二次型的运算. 本文一共有四章. 第一章主要介绍了本文的研究背景和现状；第二章归纳了部分矩阵知识和二次型知识；第三章通过正定二次型导出正定矩阵的定义，并且整理了正定矩阵的相关知识，着重归纳证明了正定矩阵的六个判定定理及其证明；第四章在前面两部分的知识基础上，给出了正定矩阵的六个命题及其证明，给出了解决了函数极值存在问题的方法，即正定矩阵在函数极值中的应用. 从代数方面解决分析问题，使我意识到数学的跨度非常大，我们应该加强自己的逻辑思维和联想能力并且要学会多方面思考问题.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，也可能总结不太完整，归纳的不够完善，这就希望其它研究者完善，还有它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 本文作者知识和写作水平有限，不足之处请读者和专家批评指正.致在论文完成之际，我首先要向我的指导老师老师表示最真挚的意，本论文是在导师老师的悉心指导下完成的.在论文写作期间，老师一边要兼顾自己的学业一边还耐心认真地指导我的论文，不辞辛苦，花费了许多宝贵时间和心血. 导师渊博的学识，宽厚待人的学者风，严谨求学的治学态度，忘我的敬业精神让我受益匪浅. 能够师从先平老师，是我的幸运，更是我的荣幸.衷心感和我是同一个指导老师的付江林同学. 感他帮助我指正和修改我论文的不足之处. 因为他的帮助我才能顺利完成我的论文.感我的室友们，感他们的督促与各方面的帮助.还有感我的家人们，没有他们的支持，我的论文不可能顺顺利利的完成.最后，向评阅论文和参加论文答辩的老师们表示由衷的感.由于我知识水平的限制，再加上我写此论文的时间仓促. 文中难免有错误和有待改进之处. 真诚欢迎各位老师、同学提出宝贵意见.参考文献[1]慕生. 高等代数[M]. 复旦大学, 2007.9.[2]王蕚芳. 石生明. 高等代数[M]. . 高等教育, 2003.9.[3]岳贵鑫. 正定矩阵及其应用[J]. 省交通高等专科学校学报, 2008, 10(5):31-33.[4]周杰. 矩阵分析及应用[M]. 大学, 2009.7.[5]王松江. 矩阵不等式[M]. 科学. 科学, 2006.5.[6]文杰. 静. 多元函数的极值问题[J]. 工业大学学报:自然科学版, 2004, 24(1):27-30.[7]邵东南. 马鸿. 正定矩阵的性质及应用.大学学报:自然科学版(2), 1999, 59-62.[8]黄云美. 正定矩阵的性质及其应用.职业学院学报, 17.3(2011).[9]王昊. 正定矩阵的性质及应用[J]. 城市建设理论研究:电子版, 2011(20):59-62.[10]路红军. 一类正定矩阵的性质及其应用[J]. 工学院学报, 2003, 12(3):6-7.[11]史秀英. 正定矩阵的等价命题及其应用[J]. 学院学报:自然科学版,2000(2):44-47.[12]Roger A.Horn . Charles R.Johnson. Matrix Analysis (Second Edition), 剑桥大学,20012.11.[13]宋国际. 论正定矩阵在多元函数极值问题中的应用[J]. 旅游职业学院学报,2010，15(1):58-60.[14]丹. 庆平. 正定矩阵的性质及相关问题[J]. 数学理论与应用, 2011(4):124-128.[15]庭骥. 判别正定矩阵的充分必要条件及其等价性[J]. 矿业学院学报, 1992,20(2):107-110.[16]建忠. 关于正定矩阵的一个不等式及应用[J]. Studies in College Mathematics, 2001,4(1):40-40.[17]贤淑. 莉军. 正定矩阵的降阶判别法及其应用[J]. 印刷学院学报, 2000(2):40-43.[18]家昶. 齐远伟. 条件正定矩阵及其在多元插值计算中的应用[J]. 计算数学, 1989,11(4):386-393.[19]景晓. 正定矩阵基与正交矩阵基及其应用[J]. 师大学学报:自然科学版,2003,18(3):15-17.[20]定华. 矩阵的次特征值及其应用[J]. 中国科学技术大学学报, 2012,42(11):920-924.独创性声明本人声明所呈交的论文（设计）是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
矩阵论及其在随机过程中的应用
矩阵论及其在随机过程中的应用摘要：本文主要从三方面探讨矩阵论这门课程，水文学研究的一个重要方面即是对水文序列的过程进行模拟。
结合自身所学，本篇文章首先分析了矩阵论教学需要改正之处，再者阐述了矩阵论在随机过程、科学研究中的应用情况，最后结合实际展望了矩阵论的发展前景。
关键字：矩阵论随机过程矩阵函数矩阵分解矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。
1矩阵论课程教学存在的问题矩阵论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。
现行矩阵论教材基本上是理科数学教材的缩写，过分强调严格的理论证明、抽象思维能力的培养，而实际应用介绍偏少，使学生没有应用意识；忽视与计算机有关的数值计算方面的训练。
这些问题的存在，不仅影响了学生学习数学的积极性，使学生缺少对数学实质性的理解，同时影响了后续课程的学习，专业课教师常常感到学生的数学基础不够扎实，联系实际问题的能力欠缺，一些学生在做学位论文时，不会灵活运用学过的理论知识解决问题，因而不利于高素质创新型人才的培养，所有这些都反映了教学改革的迫切性。
2矩阵理论在随机过程和科学研究中的应用概况矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。
用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。
在随机过程的模拟中引进矩阵理论不仅使模拟过程的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。
计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了关阔的前景，也使随机过程的研究发生了新的变化，开拓了崭新的研究途径。
矩阵理论在大数据分析中的应用有哪些
矩阵理论在大数据分析中的应用有哪些在当今数字化的时代，大数据的重要性日益凸显。
从商业决策到科学研究，从社交媒体到医疗保健，各个领域都在不断产生和积累海量的数据。
而如何有效地处理和分析这些数据，以提取有价值的信息和知识，成为了一个关键的问题。
矩阵理论作为数学的一个重要分支，为大数据分析提供了强大的理论基础和工具。
矩阵理论中的矩阵是一个按照矩形排列的数字、符号或表达式的数组。
在大数据分析中，数据常常可以被表示为矩阵的形式。
例如，一个包含多个用户对多种产品评价的数据集，可以表示为一个用户×产品的矩阵。
首先，矩阵的运算在大数据分析中发挥着重要作用。
矩阵的加法和乘法可以用于合并和整合不同的数据集合。
比如，当我们有两个不同时间段收集的关于同一批用户的购买行为数据时，可以通过矩阵加法将它们合并起来，以获得更全面的用户行为模式。
矩阵乘法在特征提取和数据变换中应用广泛。
通过乘以特定的矩阵，可以将原始数据映射到新的特征空间，从而发现隐藏在数据中的潜在模式。
其次，矩阵分解是矩阵理论中的一个关键技术，在大数据分析中有着诸多应用。
其中，主成分分析（PCA）就是基于矩阵分解的一种常见方法。
PCA 可以将高维的数据矩阵分解为低维的主成分，在保留数据主要特征的同时，降低数据的维度。
这对于处理高维大数据集非常有用，因为高维度往往会带来计算复杂度的增加和数据的稀疏性问题。
通过降低维度，不仅可以减少计算量，还能更直观地展示数据的主要结构和趋势。
奇异值分解（SVD）也是一种重要的矩阵分解方法。
SVD 可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，在推荐系统中得到了广泛的应用。
以电商平台为例，通过对用户购买行为矩阵进行 SVD 分解，可以挖掘出用户的潜在兴趣和商品之间的潜在关系，从而为用户提供精准的个性化推荐。
另外，矩阵的特征值和特征向量在大数据分析中也具有重要意义。
特征值反映了矩阵的某些重要性质，而特征向量则对应着矩阵在特定方向上的变化趋势。
浅谈矩阵在实际生活中的应用
浅谈矩阵在实际生活中的应用摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。
我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。
在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。
在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。
关键词：线性代数矩阵实际应用Abstract:From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.Keywords: linear algebra matrix practical application1 引言数学作为一门相当重要的学科，在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色，它凝聚了每一代聪明智慧的人们的结晶。
矩阵理论中的谱理论及应用
矩阵理论中的谱理论及应用矩阵理论是现代数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域，从线性代数到量子力学，都离不开矩阵理论的支持。
其中，谱理论作为矩阵理论中的一个重要内容，具有深远的意义和广泛的应用。
本文将对矩阵理论中的谱理论进行探讨，并介绍其在科学研究和工程技术中的应用。
一、谱理论概述1.1 谱的定义在矩阵理论中，谱是指矩阵特征值的集合。
特征值是一个数值，表示矩阵在某个方向上的拉伸或压缩程度。
而谱则是由特征值组成的集合，常用于描述矩阵的性质和特征。
1.2 谱的性质谱具有许多重要的性质，其中一些性质对于研究矩阵的行为和性质具有重要意义。
例如，谱半径和谱范数可以用于描述矩阵的稳定性和收敛性，而矩阵的谱分解则可以将矩阵表示为特征向量和特征值的形式，便于进行分析和计算。
二、谱理论在科学研究中的应用2.1 线性代数中的谱理论在线性代数中，谱理论是一个基本概念。
通过对矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以得到矩阵的谱分解，进而研究矩阵的性质和行为。
例如，对于对称矩阵，其谱分解可以分解为正交矩阵和实特征值的乘积。
这一概念在矩阵对角化、矩阵相似性以及线性系统的稳定性等方面有广泛的应用。
2.2 量子力学中的谱理论在量子力学中，谱理论是研究量子系统能级和能量的一种重要方法。
谱理论通过对量子算符的谱分解，得到量子系统的能级和能量分布，从而揭示量子系统的行为和性质。
例如，量子力学中的哈密顿算符的特征值和特征向量描述了量子粒子的能级和波函数。
三、谱理论在工程技术中的应用3.1 图像处理中的谱理论在图像处理领域，谱理论被广泛应用于图像分析、图像压缩和图像恢复等方面。
通过对图像的谱分解，可以提取图像的频谱信息，从而实现图像分析和特征提取。
同时，谱理论还可以用于图像压缩算法的设计，提高图像的压缩比和重建质量。
3.2 控制系统中的谱理论在控制系统领域，谱理论被应用于系统的稳定性分析和性能优化。
通过对系统的传递函数进行谱分析，可以得到系统的频率响应和频谱特性。
协方差矩阵的数学理论和实际应用案例
协方差矩阵的数学理论和实际应用案例协方差矩阵是统计学中常用的一种矩阵，它可以描述随机变量之间的相关性。
在实际应用中，协方差矩阵广泛应用于金融领域、机器学习、图像处理等领域。
本文将从数学理论和实际应用两个方面来探讨协方差矩阵。
一、协方差矩阵的数学理论在介绍协方差矩阵之前，我们先介绍方差和协方差的概念。
方差是一个随机变量与其数学期望之差的平方的期望，即$Var(X)=E[(X-E[X])^2]$。
协方差是两个随机变量之间的关联程度，定义为$Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$。
其中，$E[X]$表示该随机变量的均值。
协方差矩阵是一个$n \times n$的矩阵，其中第$i$行第$j$列的元素是$Cov(X_i,X_j)$，即第$i$个和第$j$个随机变量之间的协方差。
协方差矩阵的对角线上的元素是方差，即$Var(X_i)$。
协方差矩阵可以表示为$C=\begin{bmatrix} Cov(X_1,X_1) & Cov(X_1,X_2) & \cdots & Cov(X_1,X_n) \\ Cov(X_2,X_1) & Cov(X_2,X_2) & \cdots & Cov(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Cov(X_n,X_1) & Cov(X_n,X_2) & \cdots & Cov(X_n,X_n) \end{bmatrix}$。
协方差矩阵的性质包括：1. 协方差矩阵是对称矩阵，即$C_{ij}=C_{ji}$。
2. 协方差矩阵是半正定矩阵，即对于任意$n \times 1$的向量$x$，都有$x^TCx \ge 0$。
这个性质表明协方差矩阵的所有特征值都非负。
3. 当协方差矩阵是对角矩阵时，表示的是各个随机变量的方差，且各个变量之间没有关联性。
矩阵分析论文
矩阵分析在控制系统中的应用摘要:详细综述了LMI 在控制系统中的发展现状和应用,主要涉及了不确定系统的鲁棒性能和鲁棒稳定性、不确定系统的鲁棒控制器设计、LMI 在时滞系统中的应用及存在的问题、不确定系统的鲁棒滤波应用状况、不确定系统的模型验证应用等,并分析了基于LMI 方法的变结构控制、极点配置、模糊控制等其它相关内容。
给出了上述控制问题的LMI 描述及相关求解方法,最后并指出了LMI 进一步的应用研究方向。
主题词: 线性; 矩阵; 控制系统; 控制器1 引言在过去的10 余年内,由于LMI 的优良性质和数学的规范以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。
研究者发现许多控制问题均可描述为LMI 问题[1～4 ] ,并呈现继续增长的趋势。
本文对LMI 在控制系统中的发展和现状进行综述,着重讨论LMI 在不确定控制系统中的应用研究成果、现状以及发展。
2 线性矩阵不等式LMI 一般形式为F ( x) ≡F0 + Σmi =1xi F i > 0 (1)其中x ∈Rm ———变量; F i = F Ti ∈Rn×n 是给定的。
显然式(1) 表明矩阵F( x) 是正定的。
式(1) 的另一个含义是集合{ x/ F( x) > 0} 是凸的。
LMI 问题可描述为:给定F( x) > 0 ,找到x,使得f ( x) > 0 ,或证明LMI F( x) 是不可解的。
动态系统分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。
1890 年Lyapunov 在出版他的被称为Lyapunov 理论的著作中,提出微分方程Ûx( t) = Ax ( t) (2)稳定,当且仅当存在对称正定矩阵P = P T > 0 ,使得下面的不等式成立A T P + PA < 0 (3)同时Lyapunov 也指出这样的LMI 可以精确求解。
20 世纪40 年代,前苏联科学家Lur’e、Postnikov 及其它学者将Lyapunov 方法应用于控制工程中的一些典型的问题,尤其是当执行机构具有非线性时的系统稳定性,虽然他们没有形成精确的矩阵不等式,但是所提出的稳定性准则具有LMI的雏形。
线性代数中的矩阵理论及其应用
线性代数中的矩阵理论及其应用线性代数是近年来非常热门的学科，它广泛应用于物理和工程等领域，包括机器学习、图像和信号处理、网络分析和优化，数学建模等等。
而矩阵理论是线性代数中的重要分支，是许多应用的基础。
本文将介绍矩阵理论的基本概念和应用，以及其中一些重要的定理和算法。
一、矩阵的基本概念在矩阵理论中，矩阵是指一个由m行n列元素组成的矩形阵列，通常用A=[aij]表示，其中i代表行号，j代表列号，aij代表矩阵A中的第i行第j列的元素。
当m=n时，矩阵A称为方阵，元素aij对应于A的第i个行向量和第j个列向量的内积。
对于矩阵A和B，它们的和C=A+B是一个矩阵，其中C的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
同样地，矩阵的差和数乘分别为D=A-B和E=kA，其中D的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差，E的每个元素都等于A的对应元素乘以k。
此外，矩阵的转置AT是一个矩阵，其中AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
二、矩阵的应用矩阵理论的应用非常广泛，以下介绍一些常见的应用。
1.线性方程组的求解线性方程组的求解是矩阵理论的基础应用之一。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n行n列的矩阵，x和b都是n 维列向量，x的每个元素都代表方程组的一个未知数，b的每个元素都代表方程组的一个常数项。
则方程组的解为x=A-1b，其中A-1是矩阵A的逆矩阵。
若A没有逆矩阵，则方程组无解或有无穷解。
2.特征值和特征向量特征值和特征向量也是矩阵理论中的重要概念之一。
对于一个n阶方阵A，若存在一个非零向量x，以及一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的几何特性和运动轨迹，以及在状态空间中的扭曲和伸缩等现象。
3.奇异值分解奇异值分解（SVD）是矩阵理论中的另一个重要概念，可以用来分析矩阵的结构和性质。
对于一个m行n列的矩阵A，它的奇异值分解为A=UΣVT，其中U是一个m行m列的正交矩阵，VT是一个n行n列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩形对角矩阵。
矩阵分析中的特征值分解理论
矩阵分析中的特征值分解理论特征值分解是矩阵分析中的一项重要理论，它在很多领域都有广泛的应用。
特征值分解可以将一个给定的矩阵分解为特征值和对应的特征向量的乘积。
在本文中，我们将介绍特征值分解的理论基础、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、特征值分解的理论基础特征值分解是线性代数的一个重要概念，它是对于方阵的一种分解方法。
对于一个n阶方阵A，如果存在一组非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，那么λ被称为矩阵A的特征值，x被称为对应的特征向量。
特征值分解是将矩阵A表示为特征值和特征向量的乘积的形式，即A=QΛQ^(-1)，其中Q是由特征向量组成的矩阵，Λ是由特征值组成的对角矩阵。
特征值分解的理论基础可以通过线性代数的性质进行证明。
首先，我们知道特征向量是方阵A的一个非零向量，那么对于一个n阶方阵A，它有n个特征值和对应的特征向量。
其次，特征向量所形成的向量空间与矩阵的特征值是一一对应的。
最后，对于方阵A的特征向量组成的矩阵Q，它是可逆的，即存在一个逆矩阵Q^(-1)，使得Q^(-1)AQ=Λ。
二、特征值分解的计算方法特征值分解可以通过一些数值计算方法来求解。
常见的计算方法包括幂迭代法、QR迭代法和雅可比迭代法等。
这些计算方法的本质是通过迭代逼近的方式求解特征值和特征向量。
幂迭代法是一种简单而有效的特征值计算方法。
它基于这样的理论：如果一个向量x接近矩阵A的特征向量，那么通过多次迭代计算Ax，我们可以得到更接近x的向量。
幂迭代法的思想是不断迭代计算Ax，并通过归一化操作使得迭代结果逼近特征向量。
在每次迭代过程中，特征值可以通过向量x的模长的变化情况来估计。
当向量x收敛时，其模长趋于不变，这时我们可以得到一个近似的特征向量和特征值的组合。
QR迭代法是另一种常用的特征值计算方法。
它通过将矩阵A分解为QR的形式，并不断迭代地求解QR，直至QR的矩阵元素足够接近对角形式。
在迭代过程中，特征向量可以通过QR的迭代过程中的正交矢量来逼近。
矩阵理论中的谱理论及应用
矩阵理论中的谱理论及应用矩阵理论是数学领域中重要的分支之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
而矩阵理论中的谱理论则是其中的一个重要概念，它在矩阵对称性质、特征值、特征向量等方面扮演着关键的角色。
本文将探讨矩阵理论中的谱理论及其应用。
1. 谱理论概述在矩阵理论中，谱理论一般指的是矩阵的谱分解、特征值和特征向量等相关理论。
矩阵的特征值（eigenvalues）是一个非常重要的概念，在许多实际问题中都有着广泛的应用。
通过求解矩阵的特征方程，可以得到矩阵的特征值，而对应的特征向量则是特征值所对应的线性无关的向量。
2. 谱理论在物理学中的应用在物理学领域中，矩阵的谱理论被广泛用于解决量子力学、热力学等问题。
例如，量子力学中的哈密顿算符的本征值代表了系统的能量，而对应的本征函数就是波函数。
通过矩阵的谱理论，可以解决一些复杂的物理系统的能级和波函数分布等问题。
3. 谱理论在工程学中的应用在工程学领域中，矩阵的谱理论也有着广泛的应用。
例如，在控制理论中，可以利用矩阵的特征值来分析系统的稳定性和控制性能。
通过对矩阵进行特征值分解，可以得到系统的模态分析，从而实现对系统的控制设计。
4. 谱理论在计算机科学中的应用在计算机科学领域中，矩阵的谱理论被广泛应用于图论、数据挖掘等领域。
例如，在图论中，可以利用矩阵的谱理论来分析网络的连通性和稳定性。
另外，在数据挖掘中，可以利用矩阵的谱理论来进行降维和聚类分析，从而实现对数据的处理和分析。
总结：矩阵理论中的谱理论是一个重要且广泛应用的理论，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着重要的作用。
通过对矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以更深入地理解和应用矩阵理论，实现对复杂问题的解决和应用。
希望本文能够对读者对矩阵理论中的谱理论有所帮助。
数学中的矩阵理论及其应用
数学中的矩阵理论及其应用矩阵是线性代数中最基本的概念之一，是一个由数构成的矩形阵列，可以用于表示线性变换、运动状态、网络流量等多种实际问题。
矩阵理论作为一门数学分支，在现代自然科学与工程技术中得到了广泛的应用。
本文将探讨矩阵理论的基本概念、运算规律以及其应用领域。
一、矩阵的基本概念矩阵是由m×n个数按一定顺序排列成的矩形阵列，记为A=[a(i,j)]m×n ，其中aij表示矩阵A的第i行第j列元素。
若它是一个m阶的矩阵，则有m行，n列。
这里我们将默认矩阵的元素是实数。
在矩阵中，如果行数与列数相等，则称其为方阵，并且可以用A=(a(i,j))表示，其中i, j = 1,2,3,…,n。
矩阵可以用列向量表示，列向量是一个列阵列，例如：$$ a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $$二、矩阵的运算1. 矩阵的加减法设A、B是同型矩阵，即具有相同的行数和列数，那么它们的和与差是指相应元素之和与之差的矩阵：$$ A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} &\cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix} $$$$ A - B = \begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} &\cdots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \cdots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \cdots & a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix} $$2. 矩阵与标量乘法设A为m×n矩阵，k为标量，则称kA为矩阵A的数乘，它等于把A的每一元素都乘以k。
矩阵的特征值与特征向量分析及应用-毕业论文
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘要特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.关键词：矩阵特征值特征向量1AbstractEigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebrawhich laid the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrixeigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples. Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector目录引言第一章、本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义1.2 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发展与环境污染的增长模型3.2 莱斯利（Leslie）种群模型四、结论引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.。
矩阵理论中的谱理论及应用
矩阵理论中的谱理论及应用矩阵是现代数学中重要的研究对象之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
谱理论是矩阵理论中的一个重要分支，它通过研究矩阵的特征值和特征向量，揭示了矩阵的一些重要性质，并且在各种实际问题的求解过程中有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵理论中的谱理论以及其在科学和工程中的应用。
一、谱理论基础1.1 特征值和特征向量在谱理论中，我们首先需要了解特征值和特征向量的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x，使得满足Ax=λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x就是对应的特征向量。
1.2 特征多项式和谱对于一个n阶矩阵A，它的特征多项式可以表示为det(A-λI)，其中I是单位矩阵。
特征多项式的根就是矩阵A的特征值。
而矩阵A的谱则是指矩阵A的所有特征值构成的集合。
二、谱理论的应用2.1 特征值分解特征值分解是谱理论中最重要的应用之一。
对于一个可对角化的矩阵A，可以将它表示为PDP^-1的形式，其中D是一个对角矩阵，P是由矩阵A的特征向量构成的矩阵。
特征值分解的主要应用包括矩阵的对角化、矩阵的幂运算以及线性方程组的求解等。
2.2 谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的特征值中绝对值最大的那个特征值。
谱半径在控制论、数值计算和网络分析等领域中有着重要的应用，例如输入输出稳定性的判断以及求解差分方程等。
2.3 聚类分析在数据挖掘和模式识别等领域，谱理论也有着广泛的应用。
矩阵的特征值和特征向量可以提供关于数据集聚类的有效信息。
通过计算特征值和特征向量，可以得到数据集中的主要特征和相互之间的关系，从而实现对数据集的聚类分析。
2.4 图论中的应用图论是矩阵理论中另一个重要的分支，而谱理论在图论中也有着广泛的应用。
矩阵的特征值和特征向量能够提供关于图的结构和性质的信息，例如图的连通性、直径和颜色数等。
谱理论在图的划分、聚类和最优化等问题中有着重要的应用。
三、总结谱理论是矩阵理论中的一个重要分支，通过研究矩阵的特征值和特征向量，揭示了矩阵的一些重要性质，为各个领域中的实际问题求解提供了有效的方法。
矩阵理论在数据分析中的应用
矩阵理论在数据分析中的应用近年来，数据分析已经成为各行业中必不可少的一个环节。
在大数据时代，数据的复杂性和数量呈现爆炸式增长，如何从这种海量数据中获得有价值的信息，成为业界的一大挑战。
矩阵理论因其数学性质以及优秀的算法性能，成为数据分析中的重要工具。
矩阵理论是数学中的重要分支之一，它是从线性代数中发展而来，具有诸多应用。
矩阵的优势在于可以对大规模的数据进行分析，运算速度快，且方便我们对数据进行可视化。
下面我们将就矩阵理论对于数据分析中常见问题的应用进行探讨。
1、矩阵分解矩阵分解可以将一个大规模的矩阵分解为多个小矩阵的形式，方便我们进行处理。
矩阵分解的应用非常广泛，其中最为常见的便是谱分解，奇异值分解以及QR分解。
谱分解主要用于求解对称矩阵的特征值以及特征向量，求解特征值主要是一类特殊的线性方程组求解问题。
奇异值分解(SVD)是矩阵分解的一种最基本形式，它将矩阵分解为三个矩阵的乘积：一个左奇异向量矩阵、一个奇异值矩阵和一个右奇异向量矩阵。
而QR分解则可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
这些分解的应用被广泛地应用于图像处理，模式识别，信号处理等领域。
2、矩阵迭代算法矩阵迭代算法是在矩阵中执行重复计算的一类算法。
这种算法主要被应用于当矩阵中可能包含大量缺失值或噪音时，需要迭代计算其近似解。
在矩阵迭代算法中，最为著名的莫过于PageRank算法了。
PageRank是Google公司的创始人Larry Page提出的，是一种著名的网页排名算法。
这种算法的核心是将网页之间的关系转化为矩阵的形式，并通过迭代计算，获得一个网页的权重值。
矩阵迭代算法在网络结构分析，降维等领域也得到广泛应用。
3、矩阵分类算法矩阵分类算法是利用矩阵计算方法来判断数据样本所属的类别。
和传统的分类方法相比，矩阵分类算法不仅适用于低维度数据的处理，而且可以处理高维度的数据。
其中，最为著名的便是PCA主成分分析。
PCA通过线性变换将原始高维数据映射到一个低维度空间，从而找到数据的主成分。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵和行列式的几何意义及其应用。
一、矩阵的几何意义矩阵可以被看作是一个数字数组，它由行和列组成。
在几何上，矩阵可以表示一系列的几何变换，比如平移、旋转、缩放等。
1. 平移对于二维平面上的向量来说，一个平移矩阵可以表示向量在平面上的平移。
对于一个向量v=(x, y)，如果我们希望将它在x方向上平移b个单位，在y方向上平移c个单位，那么相应的平移矩阵为：T = | 1 0 || b c |当我们将向量v乘以平移矩阵T时，得到的结果就是平移后的向量。
通过以上例子，我们可以看到，矩阵在几何中有着非常重要的意义，它可以表示各种几何变换，从而帮助我们对几何问题进行分析和计算。
除了在几何中的应用，矩阵在计算机图形学、物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。
二、行列式的几何意义行列式是一个非常重要的概念，它可以表示矩阵的“形状”，从而帮助我们理解线性变换的性质。
在几何中，行列式可以理解为表示线性变换对空间的“拉伸”或“压缩”程度。
对于一个二维矩阵A，它可以表示一个线性变换T。
如果我们用矩阵A对一个向量v=(x, y)进行变换，得到的结果就是Av。
对于这个变换，它会使得原来的面积发生改变，而这种改变的程度可以通过A的行列式det(A)来表示。
行列式大于1表示面积被“拉伸”，小于1表示面积被“压缩”，等于1表示面积保持不变。
举个例子来说，如果我们有一个二维矩阵A，它的行列式为2，那么这个矩阵对应的线性变换会使得平面上的面积变为原来的两倍。
而如果行列式为0，表示这个线性变换会把整个平面变为一条线，面积被“压缩”为0。
行列式的几何意义帮助我们理解线性变换对空间的影响，它可以帮助我们分析和理解各种几何问题。
在实际应用中，行列式常常用来判断线性方程组的解的情况，或者用来解决几何问题，比如计算面积、体积等。
范德蒙矩阵的数学理论和实际应用案例
范德蒙矩阵的数学理论和实际应用案例范德蒙矩阵是数学中的一个常见概念，常常在数据处理、图像处理等领域中被广泛应用。
本文将对范德蒙矩阵的数学理论和实际应用案例进行探讨。
一、范德蒙矩阵的定义范德蒙矩阵是一个 m×n 的矩阵，由下式给出：$$\begin{bmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_m & x_m^2 & \cdots & x_m^{n-1}\end{bmatrix}$$其中x1, x2, …, xm 是给定的 m 个实数，n 是一个正整数。
范德蒙矩阵常常用在数据拟合中，特别是通过多项式拟合来拟合给定的数据点集的情况。
二、范德蒙矩阵的性质范德蒙矩阵具有以下性质：1. 范德蒙矩阵是一个满秩矩阵，即任何行或列都是线性无关的。
2. 如果x1, x2, …, xm 两两不同，则范德蒙矩阵是非奇异的，即矩阵的行列式不为零。
3. 如果x1, x2, …, xm 已知，则通过范德蒙矩阵，我们可以很容易地求出一个线性方程组的解。
4. 范德蒙矩阵的转置矩阵与原矩阵相等。
5. 如果我们将范德蒙矩阵的第 j 列乘以常数 cj，并将第 i 行除以常数 ci，则得到的新矩阵的行列式等于原矩阵的行列式乘以∏ ci / cj，即新矩阵的行列式为原矩阵的行列式的伸缩因子倍。
三、范德蒙矩阵在数据拟合中的应用数据拟合是许多科学和工程领域中的一个基本问题，而范德蒙矩阵在数据拟合中有着广泛的应用。
给定一个包含 m 个数据点的数据集{(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym)}，我们可以使用范德蒙矩阵来拟合一个 n 次多项式，其中 n 是一个正整数。
矩阵奇异值分解算法及应用研究
矩阵奇异值分解算法及应用研究一、本文概述本文旨在深入探讨矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）算法的理论基础及其在多个领域的应用。
奇异值分解作为一种重要的矩阵分析技术，不仅在数学理论上具有深厚的根基，而且在实际应用中展现出强大的功能。
通过对SVD算法的深入研究，我们可以更好地理解矩阵的内在性质，揭示隐藏在数据背后的规律，从而在各种实际问题中找到有效的解决方案。
本文首先回顾了奇异值分解算法的基本概念和性质，包括其数学定义、存在条件以及计算过程。
在此基础上，我们详细阐述了SVD算法的理论依据和实现方法，包括数值稳定性和计算复杂度等关键问题。
通过理论分析和实验验证，我们验证了SVD算法在处理矩阵问题时的有效性和可靠性。
随后，本文将重点介绍SVD算法在多个领域的应用案例。
包括但不限于图像处理、自然语言处理、机器学习、推荐系统、社交网络分析以及生物信息学等领域。
在这些领域中，SVD算法被广泛应用于数据降维、特征提取、信息融合、噪声去除以及模式识别等任务。
通过具体案例的分析和讨论，我们将展示SVD算法在实际问题中的广泛应用和重要作用。
本文还将探讨SVD算法的未来发展趋势和研究方向。
随着大数据时代的到来，SVD算法在处理大规模矩阵数据方面的潜力和挑战将越来越突出。
因此，我们需要进一步研究和改进SVD算法的性能和效率，以适应日益复杂的数据处理需求。
我们还将关注SVD算法在其他新兴领域的应用前景，如深度学习、和量子计算等。
通过不断的研究和创新，我们期待SVD算法能够在未来的科学研究和实际应用中发挥更大的作用。
二、矩阵奇异值分解算法原理矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个复杂矩阵分解为三个简单的矩阵的乘积，从而简化了矩阵的计算和分析。
奇异值分解的原理和应用在信号处理、图像处理、自然语言处理、机器学习等领域具有广泛的应用。
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矩阵分析在同步捕获性能研究新应用摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。
矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。
关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix AnalysisAbstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．Key words：CDMA；Matrix analysis ；Transfer function；Flow diagram ；Acquisition1 引言同步是直接序列扩频码分多址(DS- CDMA1)系统接收的第一步，因为数据解调只能在同步成功后进行。
码同步通常分为两步：捕获和跟踪。
捕获是将接收到的PN码相位与本地PN码相位对应到跟踪误差范围内的过程。
跟踪则将信号锁定到最准确的相位。
文献[1]表明捕获会限制系统容量并严重影响DS CDMA系统接收机的性能。
通常将码周期中的不确定时区离散化，称为不确定相位区。
捕获即是通过对不确定相位区中的有限相位进行搜索探测来完成的。
在不确定相位区中，同相相位称为H1相位，其他相位称为H0相位。
目前大部分文献所考虑的平均捕获时间(MAT)均基于只有一个日相位的假设。
在实际的PN码捕获系统中，由于搜索步进值通常小于PN码的切普周期，而衰落延迟扩展大于码片(chip)周期，因此通常在不确定相位中存在多个且相位。
早在1977年，Holmes和Chen首先提出用流程图方法分析串行捕获问题，这是因为固定驻留时间的串行搜索过程具有马尔可夫链的性能。
但其提出的流程图很复杂不易于推广。
Polydoros和Weber[2]分析了在静态信道中串行搜索方案的平均捕获时间性能，其中不确定相位被一个相位一个相位地连续探测，通过用转换域简化流程图，从而简化了平均捕获时间的分析方法。
Ibrahi和Aghvami将其推广到了频率选择性瑞利衰落信道中，传统的一个相位一个相位连续探测的串行捕获方案不适合于存在多个H1相位的频率选择性衰落信道中的捕获系统(事实上实际捕获系统正是如此)，因此Shin 和Lee 提出了一种非连续搜索方案，该方案通过以非连续的搜索顺序及大于一个切普的搜索阶来减少搜索时间。
非连续搜索方案可通过搜索阶进行描述：假定有 q 个不确定相位待探测 ，定义集合U 为U={l ，2，…，q}。
搜索阶可描述为集合U 上的转换函数π，所有可能的搜索阶为}1)1(,:|{=→=πππU U p 。
将搜索阶描述成转换函数，必须是双向单射，如果椭映射不等于硼 U 接收机可能在搜索过程中漏掉某些正确相位。
搜索阶已被大量的文献所应用，传统的串行搜索(CSS)可认为搜索阶为l ，固定搜索步进串行搜索 (FSSS)可认为搜索阶为常数。
通常搜索阶会影响MAT 性能，给定一个可通过流程图方法评估MAT [5]。
在 已有的对捕获传输函数的分析中，均假定有一个日相位或多个连续的旦相位，采用流程图方法，对具有常数搜索阶的捕获方案，需详细分析各个状态间的传递关系，过程繁复且易出错，尤其是在多个连续且相位的条件下。
在实际的信道环境中，多个且相位未必都连续，对此种信 道条件下的捕获传输函数的分析将更为复杂f 就作者所知，目前尚未有文献对此进行分析1。
若利用矩阵分析方法，则所有的关于捕获传输函数的分析将非常简便，根据矩阵的 收敛特性及级数求和特性仅需知道系统的一步转移概率 矩阵，用现代计算机编程语言MATLAB 的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数，再对传输函数求导，从而计算平均捕获时间。
2 流程图分析方法假定共有q个待测相位，其中V个H1相位,q-v个相位，通过对连续搜索(即搜索阶为1)捕获方案的流程图进行分析，得到传输函数式(1)：当v=l，2时，式(1)即为传统的1个H1相位连续搜索方案[2].当v>2时，即为多个H1相位连续搜索方案[3]。
式（1）其中Z为单位延迟P 为第j个相位的漏警概率PlFA为相位的虚警概率，为虚警情况下的惩罚因子。
假定共有q个待测相位，其中V个相位，q-v个相位，搜索阶为V，通过对非连续搜索(即搜索阶为大于1的常数1捕获方案的流程图进行分析，得到传输函数式(2)。
式（2）其中下标中的((·))是模v运算，H0(Z) ,H M(Z)，H DJ和H MJ与式(1)中定义相同，[ q]表示取q的整数部分。
3 矩阵分析方法首先给出几个矩阵收敛的定理[4]．定理1 n阶矩阵A 的k次幂趋于零的充分必要条件是A的一切特征值iλ的模小于1。
定理2 方阵级数I+ A+A2+…+A K+…收敛的充分必要条件是A 的k次幂趋于零且有，其中A0=I根据第2部分中的分析，可得出一步转移矩阵如式(3)所示。
当π时，即为连续搜索捕获方案的一步转移矩阵当刀为大于1的常数=1时，即为非连续搜索捕获方案的一步转移矩阵。
式（3）假定A的特征值为λ，对式(3)进行运算后，计算行列式根据式(1)中对H0(Z) ,H M(Z)的定义，当Z=1时，H0=1，H M<I，因此所有特征值的模相同且小于1，根据定理10可知A0收敛捕获系统的传输函数可根据定理2利用进行计算(可利用计算机编程语言MATLAB 快速方便地进行运算1。
B 中的前V 列即为从不同起始相位j(j=1，2，…，v)进行搜索到达第j(j=l，2，…)个相位的概率。
假定在各个相位进入搜索过程的概率为P i( 1，2，…，q)，则捕获系统的传输函数可通过式(4)计算得到。
式（4）矩阵方法是一种通用的分析捕获传输函数的方法，给定搜索阶(不同的搜索方式可用不同的搜索阶来描述)，即可通过设置不同的初始矩阵来计算捕获方案的传输函数。
利用矩阵方法不仅可方便地计算目前已有的利用流程图方法分析的捕获传输函数，而且可方便地计算流程图方法难以分析的一些情况，如：当V个H1相位不连续时，利用流程图很难分析其传输函数；当初始相位概率P ( 1，2，…，q)不均匀时，利用流程图难以描述其表达式，因此难以计算平均捕获时间等。
4比较分析流程图方法与矩阵方法的步骤比较如表1所示。
表1在已有的对连续搜索捕获方案的流程图分析中,将多个H1相位视为一个H1相位，得到式(1)，该式忽略了起始相位从其他H1相位(从第2个到第V个)开始进行搜索，到达所有H1相位的情况。
H1相位越多，误差越大。
用矩阵分析方法则可避免这个误差。
在非连续搜索捕获方案中，利用流程图方法得到式(2)的结果，流程图的分析非常复杂，且在分组时，由于搜索阶的存在，所分组中的研相位顺序是反序的，例举如下：假定共有5个待测相位，前两个为研相位，其他为相位，根据矩阵分析方法计算得传输函数为式（5）式（6）由式(5)和式(6)可见，由于在分组过程中，将H1相位反序排列(即将第V个相位当作第1个H1相位，第v-1个H1相位当作第2个H1相位，如此类推，因此用流程图方法和矩阵分析方法所得结果不一致。
当多径强度系数为零时，所有路径的漏警概率及探测概率相同，H1相位反序对系统性能无影响；但当多径强度系数不为零时，由于各条路径的漏警概率及探测概率不同，H1相位反序会影响系统性能。
5 结束语论文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，根据矩阵收敛及级数求和特性，仅需知道一步转移概率矩阵，即可得到捕获系统的传输函数。
矩阵操作可利用现代计算机编程语言MATLAB的符号运算功能来实现，方便快捷，最后对传输函数求导，从而计算平均捕获时间。
矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，分析表明，在传统的连续搜索捕获方案中，流程图分析方法忽略了起始相位从其他H1相位到达所有H1相位的项，当H1相位数目越多，误差就越大，利用矩阵分析方法可得到完整的传输函数，与实际情况更为接近；在非连续搜索捕获方案中，流程图分析方法在分组时将H1相位反序，当多径强度系数不为零时，会引起误差，利用矩阵分析方法不需作复杂的流程分析即可得到准确的结果。
本文分析比较了流程图方法与矩阵方法的步骤，指出利用矩阵方法不仅可方便地计算目前已有的利用流程图方法。
参考文献[1] Madhow U and Pursley M B．Acquisition in direct sequence spread-spectrum communication networks：An asymptotic analysis，IEEE Trans．on Inform．Theory，1993，39(3)：903—913．[2] Polydoros A and Weber C L．A unified approach to serial search spread -spectrum code acquisition-- Parts I and Ⅱ．IEEE Trans．on Commun．，1984，COM一32(5)：542—561．[3] signals in multipath fading mobile channels．IEEE Tran~ on Vehicular Technology，2001，50(2)：617—628．Polydoros A an d Simon M．Generalized serial search code ac quisition：The equivalent circular state diagram approach．IEEE Trans．on Commun．，1984，COM一32(12)：1260—1268．[4] Horn R A an d Johnson C R．Matrix Analysis，Cam bridge：Cam bridge University Press．1985，Chapter 7．[5] spread -spectrum code acquisition in freq uency-selective Rayleigh fading channels．IEEE Trans．on Commun．，2001，49(4)：734-743．Yang Lie-Lian g an d Han zo L．Serial ac quisition of DS—CDMA[6]王永茂矩阵分析机械工业出版社2005.8。