《矢量分析与场论》

1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ）

2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ）

3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ）

二、单项选择题

1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ）

A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。

B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。

C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。

D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方

2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ）

A 、环量面密度和旋度都是矢量。

B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就

是旋度。

C 、旋度是用矢量场来描述数量场。

D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。

3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ）

A 、若0u ∆=，则u 为调和函数

B 、()u divgrad u ∆=

C 、调和场的散度和旋度都为0

D 、调和场是一个矢量场

1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。

2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直， 另一个矢量与()t A ______。

3、数量场x y u z

-=22

通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。

5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。

6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ⋅=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。

7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。

8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是______。

四、计算题（每题8分，共40分）

1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1

lim t t =A （2分）， （2）()d dt

t A （2分），（3）()dt t ⎰A （2分），（4）()11dt t -⎰A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ϕϕϕ≠⎰e ，式中()b ϕe 为圆函数。

3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的

()23222)()3yz y yz xyz xz -+++-i j k 所产生的散度场通过点

(2,1,1)M -的等值面方程及其在点M 处沿x 轴正向的变化率。

五、证明题

1、设n 为闭合曲面S 的向外单位法矢，证明

（1）dV u u dS u )(A A n A ⋅∇+⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰