《矢量分析与场论》
1-矢量分析与场论
ex ex 0, ey ey 0, ez ez 0
ex ey ez , ey ez ex , ez ex ey
A B A B en AB
A// B A B 0
A B Axex Ayey Azez Bxex Byey Bzez
如果要了解场的局部特性，即考虑场在空间每 个点沿各个方向的变化情况，
对于标量场，需要引入方向导数和梯度的概念；
对于矢量场，需要引入散度和旋度的概念。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x, y, z)、F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：
矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律 A B B A A(B C) A B AC
两个矢量的叉积为矢量
矢量运算恒等式
A (B C) B (C A) C (A B) A(BC) B(AC) C(A B)
混合积 双重矢量积
几个特殊结论
假设 M(x, y, z) 为矢量线上任一点，则过点 M沿矢量 线的位移元 dl 与矢量 A(x, y, z)共线。
共线矢量dl 与 A(x, y, z) 满足方程
dl A 0 或
dx dy dz Ax Ay Az
矢量形式
标量形式
A
M
dl r r dr
上面这两个方程称为矢量线方程
M0
而 l 的方向余弦为 cos
2
2
12 22 22 3
cos cos
2
2
12 22 22 3
1
1
12 22 22 3
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
《矢量分析与场论》课程教学大纲
《矢量分析与场论》课程教学大纲课程名称：矢量分析与场论课程类别：专业选修课适用专业：物理学考核方式：考查总学时、学分：32 学时 2 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标《矢量分析与场论》是物理专业开设的一门专业选修课。
本课程是多元函数微积分的深入与继续，它的基本概念、理论和方法，具有较强的逻辑性、抽象性和实用性。
通过本课程的学习，使学生掌握场的基本知识、基本理论、基本运算及其分析应用方法，同时可培养学生的抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。
根据本课程应用范围广的特点，能初步应用所学的知识解决有关的问题。
该课程主要包括矢量分析和场论两大块基本内容，是学生学习《电动力学》、《量子力学》、《热力学统计物理学》等专业核心课的必备基础，《计算物理》、《固体物理》等专业拓展课程的重要基础。
其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：掌握场的概念，掌握数量场的方向导数与梯度、矢量场的通量与散度、环量与旋度的概念和计算式，掌握几种特殊场的概念和性质，会计算物理中相应的数学问题。
课程教学目标2：深刻理解哈密顿算子的定义和基本性质，并能与梯度、散度和旋度的求解联系起来，熟悉用哈密顿算子表示场论中的公式。
课程教学目标3：了解曲线坐标系的概念，理解正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度的作用及其在物理中的应用，让学生感受数学工具在物理学中的重要地位。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H:表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程是多元微积分学的延伸，与高等数学、线性代数、复变函数等课程具有密切的关系，它是物理专业的技术基础课程及工具课程，通过本课程的学习，使学生掌握矢量分析与场论方面的有关知识及基本方法，为《电动力学》、《量子力学》、《热力学统计物理学》等后续课程奠定良好的数理基础。
三、先修课程高等数学（一）、高等数学（二）四、课程教学重、难点重点：矢性函数的导数、不定积分、定积分，数量场的等值面的求法，数量场的方向导数和梯度的计算，矢量场的通量、散度、旋度的计算，有势场、管形场、调和场的求法。
第1章矢量分析与场论01
dS r = rdϕ dzar
dSϕ = drdzaϕ
dS z = rdϕ draz
体元： dV = rdrdϕ dz
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R,θ , ϕ ) ，如图，做一微分体 元。 线元：
dl = dRaR + Rdθ aθ + R sinθ dϕaϕ
面元：
dS R = R 2 sin θ dθ dϕ aR
A
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘 积，其结果是一标（数）量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A⋅ B = B ⋅ A
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ a x ⋅ a y = 0, ˆ ˆ a x ⋅ a x = 1, ˆ ˆ a x ⋅ a z = 0, ˆ ˆ a y ⋅ a y = 1, ˆ ˆ ay ⋅ az = 0 ˆ ˆ az ⋅ az = 1
在直角坐标系下的矢量表示:
ˆ ˆ ˆ 三个方向的单位矢量用 a x , a y , a z
表示。 根据矢量加法运算：
o
Ax
z
Az
A
Ay
A = Ax + Ay + Az
其中：
y
x
ˆ ˆ ˆ Ax = Ax ax , Ay = Ay a y , Az = Az az
ˆ ˆ ˆ 所以： A = Ax ax + Ay a y + Az az
dSθ = R sin θ dRdϕ aθ
dSϕ = RdRdθ aϕ
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
矢量分析与场论
i
F ds lim F P ds
S N i 1 i N S N i 1 i
i
L
F dl lim F Pi
N i 1
N
dli
F ds lim F P ds
i
标 量 场
标量场：随空间和时间变化的单值标量函数，如温度场。
ˆ cos cos cos G l l x y z
显然，在直角坐标系中有
ˆ grad G x ˆ ˆ y z x y z
矢 量 场
矢量场：随空间和时间变化的单值矢量函数，如流速场。
一年四季大气流速分布
F t F t0 ，则称 F 在 t0处连续。 连续：若 lim t t
0
F t F0 ，则称 lim F t F0 。 t t
0
导数：
增量： F F t t F t
F t
F
dF F 可导： lim t 0 t dt lim F t t F t t
a e a j m a
x ,y ,z
ˆe a j
x ,y ,z
ˆm a
矢 量 代 数
运算规则：当以坐标分量表示时，形式上与实矢量运算 规则相同。 但是没有任何几何意义！
ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz abx ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz ab x
f f x1, x 2 , x 3, x 4 , f f x1, x 2 , x 3, x 4 ,
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
矢量分析与场论
矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。
矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。
场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。
本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。
矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。
在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
通常将矢量用粗体字母如A表示。
矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。
在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。
矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。
两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。
点积还满足交换律和分配律。
矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。
《矢量分析与场论》知识点归纳
《矢量分析与场论》知识点归纳一、内容概览首先矢量，是这本书的基础。
它代表的是有大小又有方向的量，像是速度、力等物理量。
书中会详细介绍矢量的各种运算，比如加法、减法、数乘等，还有矢量的几何意义和代数意义。
接下来向量场和标量场是本书的重点之一，向量场可以理解为空间中每个点都有一个矢量，而标量场则是每个点都有一个数值。
这两个概念在物理和工程中有广泛应用，比如风的速度和方向就可以形成一个向量场。
此外书中还会涉及到一些更高级的概念，如矢量函数、矢量场的积分和微分等。
这些内容在物理学、工程学等领域都有着重要的应用。
《矢量分析与场论》是一本帮助我们理解矢量与场论基础知识的书籍。
无论你是数学爱好者，还是物理或工程专业的学子，都可以从中受益匪浅。
让我们一起期待书中更多精彩内容吧！二、矢量基础知识矢量分析与场论，听起来好像很高大上，但其实它就在我们身边，矢量基础知识就是它的基石。
咱们先来聊聊矢量的基本概念。
想象一下我们在谈论一个既有大小又有方向的东西，比如风的速度、水流的方向等。
这时候就需要用到矢量了，矢量就像一个有箭头的线段，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
像速度、加速度、力这些我们生活中经常遇到的物理量，都可以看作是矢量。
接下来我们要了解矢量的基本运算，矢量的加减就像我们平时处理数字一样简单，只要对应着加上或减去就可以了。
但是要注意，矢量有方向性，所以我们要沿着正确的方向去加或减。
还有矢量的模，那就是矢量的长度，也就是大小。
这些基础概念了解清楚了之后，咱们就能更好地理解矢量分析的一些内容了。
知道了矢量的基本概念和运算后，我们再来说说场论中矢量的一些重要概念和应用场景。
记住哦矢量基础知识虽然听起来有点复杂，但其实它并不神秘，只要我们掌握了这些基础内容，理解矢量分析与场论就不再是难题了！1. 矢量的定义和性质首先我们来聊聊矢量的定义和性质，矢量简单来说，就是既有大小又有方向的量。
想象一下我们在谈论速度时，不只是说“快”或“慢”，还要指明是往哪个方向。
矢量分析与场论第一讲
xa
xa
xa
其中u为数量函数，f，g为向量函数
§2、向量函数的导数与微分 设有向量函数y=f(x),xD,若有m×n常数矩阵A使
f(x)=f(a)+A(x-a)+O(|x-a|)
其中O(|n-a|)={O1(|x-a|),…Om(|x-a|)}每个Oi(|x-a|)都是|x-a| 当x→a时的无穷小，称f在a点可微，A为f在a处的导数，通常
2
上面的积分变换中自然地出现了向量函数
f 1 : R2 D D R2
由假设
det(Df
1 )
det
y x2
y
x y
u v
1
x x
2
y x
2u
得
detDf det1 Df 1 1 2u
例题2
直角坐标与极坐标之间有熟知的关系
x r cos
y
r
sin
这表示有一个向量值函数
f : R2 D R2 , D 0, 0,2
称为jacobian矩阵
称
A
Df (a)
df=Adx
fi x j
(a)m n
为f在a处的微分
链式法则：设有两个向量值函数
Rn f Rm g Rl
则
D(g f ) Dg Df
特别的，如g=f-1，则 g f id D(id)=E
固有 D(f-1)=(Df)-1
易算得
例题1
计算二重积分 I xydxdy
矢量分析与场论
教材《矢量分析与场论》谢树艺 高等教育出版社第三版
第一章 矢量分析
§1、矢性函数
矢性函数在数学里称作向量值函数，他是通常函数概念的推
广 定义：映射f：RnD→Rm,x→y=f(x)
矢量分析与场论讲义全
l
l
称为 A 沿闭曲线l的环量。
定义：若 lim 存在，则
SP S
称此极限为矢量场
n
P
S
A沿l之正向的环量 在点P处沿n方向的 环量面密度。
l
图3 闭合曲线方向与面元的 方向示意图 (P59)
性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向
重合，最大
夹角，中间值 R
垂直， 0
矢量R
旋度矢量
①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密 度
其内某点M 收缩时，若平均发散量的极限值存在，
便记作
A ds
divA lim s V V 0
称为矢量场 A(M ) 在该点的散度(div是divergence的缩写)
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量 的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源；
定义：①线矢量l: 矢量场A中的
一条封闭的有向曲线
z
②环量Г：（图2） A
A dl Acos dl
l
l
性质：① Г是标量
P
dl l
② Г≠ 0，l 内有旋涡源 O
y
③ Г=0，l 内无旋涡源 x
图2 矢量场的环量(P56)
环量的表达式
定义 向量场 A 沿空间有向闭曲线 l 的
线积分 A dl Pdx Qdy Rdz
ds
通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和
v ds
s
对于闭合曲面s，通量f为
v ds s
定义 向量场 A沿选定方向的曲面S的面积分
A dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
S (定侧)
S
矢量分析与场论
在直角坐标系中称之为哈密顿算子，是一个微分 符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数 A 的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散度 的表达式可以写为：
Ax Ay Az A i j k Ax i Ay j Az k y z x y z x
矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边 形法则 任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢 量的叉积是一个矢量 如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两 个矢量必然互相垂直 如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两 个矢量必然互相平行
1.2 矢量场
1.2.1矢量场的矢量线
矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一 个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标中， 可以表示成如下形式：
例: 求矢量场A=xy2i+x2yj+zy2k的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
dy dx 2 2 xy x y 从而有 dx dz xy 2 y 2 z
解之即得矢量方程
z c x 1 2 2 x y c2
解： 矢量场A的旋度
i rotA A x x( z y )
j
k
y z y ( x z ) z ( y x)
( z y )i ( x z ) j ( y x)k
在点M(1，0，1)处的旋度
A
n方向的单位矢量
M
i + 2j + k
2） 矢量积 任意两个矢量 A 与 B 的矢量积（ Vector Product ） 是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大 小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢 量A与B组成的平面， 如图1所示，记为 C=A×B=anAB sinθ an=aA×aB （右手螺旋）
矢量分析与场论
ez z Az
Az Ay Ax Az Ay Ax ex y z e y z x ez x y
59
A B A B A A A A B B A A B 2 A A A
大小：ABsin(A, B) 方向：垂直于A、B
满足右手螺旋法则
16
右手螺旋法则
矢量A、B、C满足
C A B
17
矢量的矢量积满足乘法分配律
A B C A C B C
矢量的矢量积不满足乘法交换律与结合律
A B C A B C
电磁场与电磁波
矢量分析与场论
内容
基本概念
标量、矢量、矢性函数 场、标量场、矢量场 方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度
基本定律源自散度定理、旋度定理、Helmholtz定律
圆柱坐标 球坐标
2
标量与矢量
概念
什么是标量？
只有数值大小的代数量称为标量
常量（数）：大小不变的标量 变量：大小变化的标量 标量相等：标量的大小相同
31
电力线
32
标量场的方向导数
定义
设点M0为标量场φ中任意已知点，由M0出发沿某 一方向引一条射线l，在l上取一点M，令M0到M的 距离为ρ 。则下式中的极限称为标量场φ 在点M0 沿方向l的方向导数
l lim
M0 M M 0
M M 0
33
物理意义
x
36
方向余弦
定义：矢量a方向角的余弦称为a的方向余弦
矢量分析与场论
3
矢量
一.矢量的概念
模
什么是矢量？
既有数值大小又有方向的量称为矢量
什么是常矢量？
数值大小与方向均不变的矢量称为常矢量
什么是变矢量？
数值大小与方向至少有一个变化的矢量称为变矢量
什么是矢量相等？
矢量的数值大小与方向均相同
4
有向线段 A
M2 方向
M1
v A
=
M1M
2
直角坐标中的矢量
v A
=
Axevx
+
Ay evy
+
Az evz
evx, y,z
z
～单位矢量 Az
A
单位矢量 模等于一的矢量
v A
=
v A
av
A
av
=
v A
v A
矢量的模
o
Ax
x
A=
v A
y Ay
a
A的单位矢量
= Ax2 + Ay2 + Az2
5
二.矢量的运算
标量与矢量相乘
v cA
=
c
v A
= dAx (t ) evx + dAy (t ) evy + dAz (t ) evz
15
导数公式 Cv′ = 0
(kAv)′ = kAv′
(uAv )′ = u′Av + uAv′
(
v A
±
v B
)′
=
Av′
±
Bv′
( ) r
A⋅
v B
′
=
Ar′ ⋅
v B
+
第0章矢量分析与场论
在空间任意靠近两点函数 ϕ的全微分
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
d ℓ = dxex + dyey + dzez
dϕ =∇ϕ ⋅ el = ∇ϕ cosθ dℓ
3. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量，是空 标量场的梯度是一个矢量， 间坐标点的函数； 间坐标点的函数； 梯度的大小为该点标量函数 ϕ 的 最大变化率，即该点最大方向导数； 最大变化率，即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数 的方向,即与等值线（ 的方向,即与等值线（面）垂直的方 它指向函数的增加方向. 向，它指向函数的增加方向. 例 电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向 导数； 导数； • 指向电位增加的方向。 指向电位增加的方向。
S
S
ϕ = 0 (无源) 无源)
ϕ < 0(有负源)
ϕ > 0 ( 有正源)
定义 的闭合面∆ 所围区域∆ 如果包围点P 的闭合面∆S 所围区域∆V 以任意方 通量与体积之比的极限存在， 式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，即 散度(divergence) 散度(divergence) divA = lim
(负源) 负源)
在矢量场中，若 ∇ ⋅ A = ρ ≠ 0 ，称之为有源场， 在矢量场中， 称之为有源场， ρ 称为（通量）源密度；若矢量场 称为（通量）源密度； ∇ ⋅ A， 0 称 = 之为无源场. 之为无源场.
高斯公式(散度定理) 4. 高斯公式(散度定理)
divA = lim
ϕ
∆v
∆v →0
∆l ' ∆l
r
∆l ''
[理学]第一章矢量分析与场论
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z
P( R, , )
aR
(0 2 )
位置矢量
o x
R
a
a
y
R RaR
单位矢量 aR , a , a
z
aR的方向指向矢径延伸的 方向； a 的方向垂直于矢径，并
在矢径和z轴组成的平面内， 指向θ 增大的方向；
A (B C) A B A C
A B B A
A ( B C ) ( A B) C
当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算可以用行列式
表示。
ˆx a A B Ax Bx ˆy a Ay By ˆz a Az Bz
A (B C) A B A C
当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
ˆc a
A B | A | | B | sin ac
B
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个 矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线 方向，且三者符合右手螺旋法则。 两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
（1）基本变量之间的转换
r x 2 y 2 y arctan x z z
x r cos y r sin z z
（2）矢量函数之间的转换 设矢量 A 在直角坐标系中可表示为：
A Ax ax Ay a y Az az
x
坐标面 xoy, xoz, yoz 三个平面
ˆ x dya ˆ y dza ˆz 微分元 ①线元 dl dxa ˆ x dS y dxdza ˆ y dS z dxdya ˆz ②面元 dS x dydza ③体积元 dV dxdydz
矢量分析与场论讲义
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
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1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。
（ ）
2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。
（ ）
3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。
（ ）
二、单项选择题
1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ）
A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。
B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。
C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。
D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方
2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ）
A 、环量面密度和旋度都是矢量。
B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就
是旋度。
C 、旋度是用矢量场来描述数量场。
D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。
3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ）
A 、若0u ∆=，则u 为调和函数
B 、()u divgrad u ∆=
C 、调和场的散度和旋度都为0
D 、调和场是一个矢量场
1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。
2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直， 另一个矢量与()t A ______。
3、数量场x y u z
-=22
通过M （2，1，1）的等值面方程为______。
4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。
5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。
6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ⋅=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。
7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。
8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是______。
四、计算题（每题8分，共40分）
1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1
lim t t =A （2分）， （2）()d dt
t A （2分），（3）()dt t ⎰A （2分），（4）()11dt t -⎰A （2分）。
2、计算积分()()0a e b d a ϕϕϕ≠⎰e ，式中()b ϕe 为圆函数。
3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的
()23222)()3yz y yz xyz xz -+++-i j k 所产生的散度场通过点
(2,1,1)M -的等值面方程及其在点M 处沿x 轴正向的变化率。
五、证明题
1、设n 为闭合曲面S 的向外单位法矢，证明
（1）dV u u dS u )(A A n A ⋅∇+⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰。