化归与转化思想PPT教学课件

xn
因此， xn yn 1n ， xn1 yn1
x1 y1 x2 y2 xn yn 1 1 2 1n
x2 y2 x3 y3
xn1 yn1
1
1
n
1
1 1 1 1 1
【例 3】(2003 新课程卷）已知常数 a 0 ，向量 c (0,a) ，i (1,0) ，经过
(2) 当
0a
2 2
时，方程①表示椭圆，焦点
E
1 2
1 2
a
2
,
a 2
和
F
1 2
1 2
a
2
,
a 2
为合乎题意的两个定点；
(3) 当 a
2 2
时，方程①也表示椭圆，焦点
E
0,
1 2
(a
a
2
1 2
)
和
F
0,
1 2
(a
a2
1 2
)
为合乎题意的两个定点.
2.把多元转化为少元 一个题目含有较多的元素,它们之间有一定的联系,,我们在解题时,总是希望 通过一定的变形,转化来减少题目中的元素,从而变成一个较容易的题目,这是一 种从多元向少元的化归,实现这一化归的主要方法是消元法.例如,解二元一次方 程组时,遇到两个未知数,我们用消元法变成一个一元一次方程就是一种典型的 从多元向少元的化归.
xn
xn1 yn
yn1
(Ⅰ) 若 x1, x3, x5 成等比数列,求参数 的值;
(Ⅱ) 当 0 时,证明 xn1 xn n N ; yn1 yn
(Ⅲ) 当 1时,证明 x1 y1 x2 y2
x2 y2 x3 y3
【分析及解】 (Ⅰ) 1.
xn yn n N . xn1 yn1 1
由 y 5x2 知， y1 5x12, y2 5x22 ，代入①得 x1x2 25x12x22 0,
②
由②式，还有 3 个参数： x1, x2, y0 ,
下面就要求出 y0 与 x1, x2 的关系,这要从 M,Q, N 共线去寻找.
因为 M ,Q, N 共线,则有 kMQ kMN ,
于是,方程无实数解得问题就转化为函数图象永远在 x 轴的上方, 或者永远 在 x 轴的下方的问题,方程的问题化归为函数图象问题.
这一思路,使我们获得了下面的解法.
因为方程 Px Qx 没有实数解,,不妨设 F x Px Qx 0 , 由 P Q x Q P x 得 P Px Q Qx P Px Q Px Q Px Q Qx
原点 O 以 c i 为方向向量的直线与经过定点 A(0, a) 以 i 2c 为方向向量的直 线相交于点 P ，其中 R ，试问：是否存在两个定点 E, F ，使得 PE PF 为 定值，若存在，求出 E, F 的坐标，若不存在，说明理由。
【分析及解】本题是一个存在性问题,又是一个定点和定值问题：“是否存在 两个定点 E, F ，使得 PE PF 为定值”,这是一个生疏的问题,但是,一个动点到
若方程 P x Qx 无实数解,证明方程 P P x Q Q x 也无实数解.
【分析及解】这种复合函数方程的题目,可能没有遇到过,已知条件与所证结 论之间有什么联系,也不清楚,那么,有没有与此相关的问题?有.函数与图象之间 向来是互相联系的,我们能否转化为我们熟悉的图象问题来思考呢?
方程 Px Qx 没有实数解得含义是两个函数的图象没有交点,或者是函
在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建 等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归 意识和转化能力.
运用化归与转化的思想,有这样的三个问题必须明确: (1) 化归的对象：解题中需要变更的部分; (2) 化归的目标：把化归的对象化为熟知的问题,规范性的问题; (3) 化归的途径：从未知到熟知，从多元到少元，从空间到平面，从高维道 低维，从复杂到简单。
之间有什么关系，因此， a2 , a4 对求解目标是多余的，需要从多元向少元化归， 即在解题时，设法把 a2 , a4 消去.
由题设,
a2
a32
a1 a3 , 2
a2a4 ,
为消去
2
1
1
.
a2 , a4
,
可
从
方
程
组
中
解
出
a2
a1
2
a3
和
a4 a3 a5
a4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2a3a5 a3 a5
,代入 a32
数 F x Px Qx 的图象与 x 轴没有交点,即函数 F x 的图象或者永远在 x
轴的上方, 或者永远在 x 轴的下方.
不妨设函数 F x 的图象或者永远在 x 轴的上方.
因 此 , 要 证 明 方 程 P P x Q Q x 没 有 实 数 解 , 只 要 证 明
P P x Q Q x 永远大于零或永远小于零就可以.
解法 1. 由已知, 0 , x1 x2 1, y1 y2 2 ,可得 xn 0, yn 0 ,
于是有,
xn1 xn 2 xn1 n1 x2 n1,
①
xn
xn1
xn2
x1
yn1 yn 2 yn1 n1 y2 n1.
②
yn
yn1
yn2
y1
由①，②得 yn1 n1 xn1 ，于是， xn1 xn n N 。
因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为 y ax 和 y a 2ax .
消去参数 得到方程 y( y a) 2a2x2 .
把这个方程朝着椭圆方程的目标整理,得
x2 1
y a
a 2 2
2
1.
①
8 2
因为 a 0, 所以
（1）当 a 2 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F ； 2
yn
xn
yn1 yn
解法 2.用数学归纳法。
（1）当 n 1时， x2 1 x1 ，不等式成立； y2 2 y1
（2）假设 n k 时不等式成立，即 xk1 xk k N ， xk1 yk1 k N
yk 1 yk
xk yk
那么， n k 1时，由题设，
xk2 xk1 yk1 yk2 ，
x2 y2 x3 y3
xn1 yn1 1
的分式的和转化为熟知的数列的和,这正是解决本问的努力方向.
由 xn1 xn 得 yn1 yn ， yn1 yn xn1 xn
yn1 1 yn 1 yn1 xn1 yn xn yn1 xn1 xn1 n1
xn1
xn
xn1
xn
yn xn
y0
5 x2
x1 ,
③
【例
3】设
A x1,
y1 为椭圆
x2 2
y2
1上任意一点，过点
A
作一条斜率为
x1 2 y1
的直线 l ，又设 d 为原点到直线 l 的距离，r1, r2 分别为点 A 到两个焦点的距离，试
证明： r1r2 d 为常数.
【分析及解】题目中出现的字母有 x, y, x1, y2, r1, r2, d ,而求证中只有 r1, r2, d ,而
a2a4
得 a32
a1
a3 2
2a3a5 a3 a5
,因为 a3
0 ,则 a3
a1 a3 a5 , a3 a5
整理得 a32 a1a5 .因此, a1, a3, a5 成等比数列.
【例 2】已知 y 5x2 的图象是曲线C1 ,,过坐标原点 O 作OM ,ON 交C1 于
M , N 两点,直线 MN 交 y 轴于点Q0, y0 ,当 MON 为锐角时,求 y0 的取值范围.
xk 1
xk
yk yk 1
即 xk2 xk1 ，因此， n k 1时，不等式成立。 yk 2 yk 1
由（1），（2），对所有的 n N ，不等式 xn1 xn 成立。 yn1 yn
第(Ⅲ)问要证明一个分式不等式
x1 y1 x2 y2 xn yn n N ,关键在于能否把不等式的左边
因为 d 为原点到直线 l 的距离,则
d 2 ,
③
x12 4 y12
这里, d 是用 x1 和 y1 表示的.
对照①式,需要从③式中消去 y1 ，由 x12 2 y12 2 ，③式化为
且要求 r1r2d 为常数.显然,需要把 x, y, x1, y2 在运算过程中去掉,并且要借助这些
字母来表示 r1, r2, d .这就是我们的解题方向.
由椭圆方程可知, a 2,b 1,c 1,e 2 . 2
而 r1, r2 分别为点 A 的焦半径,于是由焦半径公式得
2 r1 a ex1 2 2 x1 ,
即 解得
y1 y0 y2 y1 , x1 0 x2 x1
y0 5x1x2.
5x12 y0 5x22 5x12 ,
x1
x2 x1
把此等式代入②得
y0 5
y02
0,
这时就只剩下一个参数 y0 了.
解③得
y0 0 ,
或
y0
1 5
,
于是,
y0 的取值范围是 , 0
1 5
,
5x12 x1
【例 1】已知 a1, a2 , a3 成等差数列 a1 0 ， a2 , a3, a4 成等比数列， a3, a4 , a5 的
倒数也成等差数列，问 a1, a3, a5 之间有什么关系？ 【分析及解】题目中有 5 个元素：a1, a2 , a3.a4 , a5 ，而解题目标是探讨 a1, a3, a5
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,
y1 为椭圆
x2 2
y2
1上的点,则
x12
2 y12
2
于是, 直线方程②化为 x1x 2 y1y 2 0 ,
1.把未知转化为已知或熟知 解题的过程就是一个把生题转化为熟题的过程，有一些题目，初看比较陌 生，过去未解过，未见过，在制定解题计划时，就要设法转化，使之成为一个 曾经解过的熟悉的问题，或曾经见过的类似的问题.
【例 1】已知 P x,Q x 是两个实系数多项式，且对所有实数 x ，满足恒等
式
P Q x Q P x .
P P x Q P x P Qx Q Q x
0.
于是, 方程 P P x Q Q x 没有实数解.
【例 2】 (2006 天津卷,理)已知数列xn,yn 满足 x1 x2 1, y1 y2 2 ,并且
xn1 xn , yn1 yn ( 为非零参数, n 2,3, 4, )
【分析及解】设 M x1, y1, N x2, y2 ，
因为 OM ,ON 不共线,且 MON 为锐角,则OM ON 0,
即 x1x2 y1y2 0,
①
本题要求 y0 的取值范围,这时,就涉及到 5 个参数：x1, x2, y1, y2, y0 ,而题目的最
终结果是只有一个参数 y0 ，需要去掉 4 个参数，
两个定点的距离之和为定值却是一个熟悉的结论,即动点的轨迹是椭圆,而动点 P 是两条直线的交点,这又是一个熟悉的问题,因此,本题就转化为,两条直线交点 的轨迹是否为椭圆的问题.解题的方向明确了.求出直线方程,再求交点的轨迹,然 后判断这一轨迹是否为椭圆,其焦点是否为定点.
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
而第(Ⅱ)问证明的关键就是能否把递推式 xn1 xn 转化为等比数列,以及
xn
xn1
对 不 等 式 yn1 yn 能 类 比 等 比 数 列 求 解 . 或 者 由 求 证 的 不 等 式
yn
yn1
xn1 xn n N 是一个与正整数 n 有关的命题,而选择数学归纳法.这两种证明
yn1 yn 方法都是把生题转化为熟题的方法.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.