连续时间系统状态方程的离散化
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
离散化的状态方程
T ∫0
I ⋅ B ⋅ dt = BT
结论：上式为近似计算方法 例2.6 已知时变系统
0 5(1 − e −5t ) 5 5e −5t u ɺ x= x + −5t −5t 0 5(e − 1) 0 5(1 − e )
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
0, x(0) = 0时，方程在采样时刻的近似解 u (t ) = 0 1
1 (3)H(T) = ∫ 0 0
T T 1/ 2(1−e )0 1 dt= ∫0 −2t e 1 0 −2t −2t
x 1 [( k + 1)T] x 1 (kT ) (4) = [G (T)] x (kT ) + [H (kT) U (kT)] x 2 [( k + 1)T] 2
归纳：将连续状态方程离散化步骤
1、求Φ(t )＝e = L [ SI − A] 2、G(T ) = Φ(T ) = Φ(t ) t = T T At 3、求H (T ) = ∫0 e Bdt 4、求x[(k + 1)T ] = G(T ) x(kT ) + H (T )u (kT )
At
−1
−1
例2.5已知控制对象满足 1 x + 0u，求其离散化方程 ɺ = 0 x 0 1 −2
系统离散状态方程（T＝0.1） 可见T较小时， x1[(k + 1)T ] 0.9 0.1 x1(kT ) 0 = + r (kT ) 两种方法得 x2[(k + 1)T ] − 0.1 0.9 x2 (kT ) 0.1 状态空间表 x1(kT ) 达式近似相 输出y(kT ) = [1 0] 等。 x2 (kT ) 离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解
状态方程 离散化 前向欧拉法
状态方程、离散化与前向欧拉法1. 状态方程状态方程是描述动态系统行为的数学模型，可以用来描述物理、生物、经济等各种系统。
在控制论、系统论和动力学中，状态方程常常以微分方程的形式出现，用来描述系统的状态随时间的变化规律。
一般而言，状态方程可以表示为：dx/dt = f(x, u)其中，x表示系统的状态向量，u表示系统的输入向量，f(x, u)表示状态向量x和输入向量u的函数关系。
这个方程可以理解为状态向量x在时间上的导数等于状态向量和输入向量的函数关系。
2. 离散化离散化是将连续时间的系统转换为离散时间的系统的过程。
在实际控制系统中，往往需要将连续时间的状态方程转换为离散时间的状态方程，以便于数字计算机进行处理和控制。
离散化的过程可以通过采样和量化来实现。
采样是指在固定的时间间隔内对系统的状态进行测量，量化是指将连续的状态值映射为离散的数值。
离散化后的状态方程可以表示为：x(k+1) = F(x(k), u(k))其中，k表示离散时间步数，x(k)表示第k个时间步的状态向量，u(k)表示第k个时间步的输入向量，F(x(k), u(k))表示离散时间步之间状态向量和输入向量的函数关系。
3. 前向欧拉法前向欧拉法是一种常用的离散化方法，通过使用离散时间步的导数来近似连续时间的导数。
它的基本思想是将连续时间的状态方程在每个时间步上进行线性化，然后通过计算斜率来估计下一个时间步的状态。
前向欧拉法的离散化过程可以表示为：x(k+1) = x(k) + h * f(x(k), u(k))其中，h表示离散时间步长，f(x(k), u(k))表示在第k个时间步上的状态向量和输入向量的导数。
前向欧拉法的优点是简单易实现，计算量小。
然而，它的精度相对较低，容易积累误差，并且在处理非线性系统时可能出现不稳定的情况。
4. 总结状态方程是描述动态系统行为的数学模型，离散化是将连续时间的系统转换为离散时间的系统的过程，而前向欧拉法是一种常用的离散化方法。
2.3线性连续时间状态空间表达式的离散化
§2.3 线性连续时间状态空间表达式的离散化如果用数字计算机对连续时间状态方程求解，或者对连续受控对象采用数字计算机进行在线控制，都要碰到一个将连续时间系统化为离散时间系统的问题。
本节将讨论线性连续时间状态空间表达式的离散化方法。
一、线性时变系统的离散化 设原线性系统的状态空间表达式为：).()t (u )t (D )t (X )t (C Y )t (u )t (B )t (X )t (A X612⎩⎨⎧+=+=离散化后状态空间表达式为：[]).()kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y )kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X 6221⎩⎨⎧⋅+⋅=+=+式（2.61）、（2.62）之间的系数关系如下[][]).()t (D )kT (D )t (C )kT (C d )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G kTt kT t T)k (kT632111==+==+=+=⎰τττφφ式中[]kT ,T )k (1+φ表示)t ,t (0φ在kT t T )k (≤≤+1区段内的状态转移矩阵，而)t ,t (0φ则表示原连续系统（2.61）式的状态转移矩阵。
证明：由上节（2.60）式可知（2.61）式的解为：).(d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X t t 642000ττττφφ⎰+=对上式离散化，令hT t ,T )k (t =+=01，T 为采样周期，则得[][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (T )k (X T )k (hT65211110ττττφφ+++=+⎰+再以hT t ,kT t ==0代入（2.64）式，则得 ).(d )(u )(B ),kT (X )hT ,kT ()kT (X kT hT 6620ττττφφ⎰+=将（2.66）式两边同左乘[]kT ,T )k (1+φ，得[][][][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (d )(u )(B ),kT (kT ,T )k (X )hT ,kT (kT ,T )k ()kT (X kT ,T )k (kT hT kT hT 6721111100ττττφφττττφφφφφ+++=++⋅+=+⎰⎰将（2.65）式减去（2.67）式得：[][][]).(d )(u )(B ,T )k ()kT (X kT ,T )k (T )k (X T )k (kT 6821111ττττφφ+++=+⎰+上式中，令[][]τττφφd )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G T)k (kT⎰+=+=+111设在区间[]T )k (,kT 1+内，)kT (u )(u =τ，则（2.68）式可简写成： [])kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X ⋅+⋅=+1 同时，对（2.61）式输出方程离散化，则证明了)kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y ⋅+=二、线性时不变系统的离散化 对于线性时不变系统).(uD X C Y u B X A X692⎩⎨⎧+=+=离散化状态空间表达式为).()kT (u D )kT (X C )kT (Y )kT (u )T (H )kT (X )T (G T )k (X 7021⎩⎨⎧+=+=+其中D ,C ),T (H ),T (G 均为常数阵，且).(B)d e ()T (H e)T (G A T AT 7120⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ττ证明：由于时不变系统是时变系统的一种特殊情况，所以只需要证明式（2.71）成立即可。
控制系统仿真及MATLAB语言-连续系统的离散化方法
第四章 连续系统的离散化方法
2021/4/10
1
ba12
a2
a2
1 12
a2b1 1 2
三个方程，四个未知数，解不唯一
2各021/个4/10系数的几种取法——见书上。
12
3) r=4时，四阶龙格库塔公式-最常用：
h
xk 1
xk
( 6
K1
2K2
2K3
K4
)
K1 f tk ,xk
K2
K3
f f
tk
tk
h 2
,
xk
h 2 , xk
2 病态系统中绝对值最小的特征值对应于系统动态性能 解中瞬态分量衰减最慢的部分，它决定了整个系统的动 态过渡过程时间的长短。一般与系统中具有最小时间常 数Tmax的环节有关，要求计算步长h取得很大。
3 对于病态问题的仿真需要寻求更加合理的算法，以解 决病态系统带来的选取计算步长与计算精度，计算时间 之间的矛盾。
在仿真中，对于n阶系统，状态方程可以写成一阶微分方程
xi ai1x1 ai2 x2 ain xn biu fi (t, x1, x2, x3, , xn )(i 1, 2, , n)
2021/4/10
14
根据四阶龙格-库塔公式,有
T=tk+h时刻的xi值
T=tk时刻的xi值
xk 1 i
2021/4/10 K3 [k13
连续系统的状态变量方程求解
连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。
在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。
求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。
以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。
例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。
2. 离散化。
将状态变量方程转化为离散方程。
常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。
具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。
例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。
3. 初始化。
给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。
4. 数值求解。
使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。
5. 分析结果。
根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。
在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。
以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。
现代控制理论知识点汇总
１．状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:rm D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４．状态空间表达式的建立1由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
2由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。
现代控制理论(第二章)讲解
sI
A 1
s 2
s3
1 1 s 3
(s
1)(s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)(s s
2)
(s 1)(s 2)
s3
e At
L1
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)( s s
2)
(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
et
2e2t
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
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2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
状态方程的离散化
状态方程的离散化状态方程是描述物理系统状态随时间演变的数学模型，离散化是指将连续的状态方程转化为离散的形式，以便计算机能够处理。
离散化的过程包括将时间和空间分割成离散的步骤，使用适当的差分格式来近似求解偏微分方程，以及确定适当的边界条件。
离散化的主要目的是将一些连续的系统转化为离散的系统，这样它们就可以被计算机处理。
在离散化的过程中，我们需要将时间和空间划分成多个离散的步骤，然后使用相应的差分格式来近似求解原始的偏微分方程。
以下是实现离散化的具体步骤：1. 将时间和空间分割成离散的步骤。
这可以通过将时间和空间分成很多小分块来实现。
通过这种方法，我们可以更加准确地描述系统的演变过程。
2. 确定差分格式。
差分格式用于近似偏微分方程，我们需要选择适当的差分格式来近似求解原方程。
大多数情况下，使用中心差分格式可以得到比较准确的解，在某些情况下，需要使用高阶差分格式。
3. 确定边界条件。
在离散化的过程中，我们需要确定适当的边界条件，以便我们得到正确的解。
边界条件往往与实际问题有关，在许多情况下，需要根据物理问题来确定边界条件。
4. 求解离散的方程组。
在确定了时间和空间的离散步骤，差分格式和边界条件之后，我们就可以通过求解离散的方程组来得到系统的解。
这可以通过将离散化后的方程组转化为矩阵形式来完成。
在完成以上步骤之后，我们就可以使用计算机来求解系统的状态方程，并得到相应的解。
离散化可以用于模拟各种物理系统，例如天气预报、地震学、水力学、电磁学等领域，对分析问题和进行科学研究有很大的帮助。
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型
实验3 利用MATLAB 导出连续状态空间模型的离散化模型3.1 实验设备同实验1。
3.2 实验目的1、基于对象的一个连续时间状态空间模型，导出其相应的离散化状态空间模型；2、通过编程、上机调试，掌握离散系统运动分析方法。
3.3 实验原理说明给定一个连续时间系统的状态空间模型：)()()()()()(t t t t t t Du Cx y Bu Ax x +=+=& (3.1) 状态空间模型（3.1）的输入信号具有以下特性：)(t u )()(kT t u u =， (3.2)T kT t kT +<≤已知第个采样时刻的状态和第k 个采样时刻到第)(kT x k 1+k 个采样时刻间的输入，可得第个采样时刻)()(kT t u u =T k )(+1处的状态1+k ∫+−++−+=+T k kT T k kT kT T k T k )1(d )())1(()())1(())1((τττBu Φx Φx (3.3)其中： T kT T k e e kT T k A A Φ==−+−+))1(())1(())1(())1((ττ−+=−+T k e T k A Φ由于输入信号在两个采样时刻之间都取常值，故对式（3.3）中的积分式进行一个时间变量替换τσ−+=T k )1(后，可得)(d )())1((0kT e kT e T k T T Bu x x A A ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+∫σσ (3.4) 另一方面，以周期T 对输出方程进行采样，得到)()()(kT kT kT Du Cx y +=在周期采样的情况下，用来表示第k 个采样时刻kT 。
因此，连续时间状态空间模型（3.1）的离散化方程可以写成k ⎩⎨⎧+=+=+)()()()()()()()1(k k k k T k T k Du Cx y u H x G x (3.5) 其中：⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∫B H G A A T Te T e T 0d )()(σσ (3.6) 已知系统的连续时间状态空间模型，MATLAB 提供了计算离散化状态空间模型中状态矩阵和输入矩阵的函数：[G,H]=c2d(A,B,T)其中的T 是离散化模型的采样周期。
34 线性连续系统状态空间模型的离散化
2. 当T=0.001s时,精确法的计算结果为
近似法的计算结果为
近似离散化方法(6/6)—例3-12
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。
线性时变连续系统的离散化(1/6)
3.4.2 线性时变连续系统的离散化
线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定 的采样周期T下,将连续系统的状态方程
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 ➢ 整个系统工作于单一的离散状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 ➢ 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5)
➢ 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 ✓ 采样频率2/大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空 间模型。 ➢ 下面分别针对 ✓ 线性定常连续系统和 ✓ 线性时变连续系统 讨论离散化问题。
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
➢ 对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。
✓ 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。 ❖由此,提出了连续系统的离散化问题。
✓ 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制 时,都会遇到离散化问题。
图33连续系统离散化的实现线性连续系统状态空间模型的离散化45线性连续系统的时间离散化问题的数学实质就是在一定的采样方式和保持方式下由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型并建立起两者的各系数矩阵之间的关系为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程必须满足如下条件和假设
第四章连续系统的离散化方法
将 K1 K 2 代入式
f f x1 x0 a1hf (t0 , x0 ) a2 h[ f (t0 , x0 ) b1h b2 hK1 ] t t t0 x x x0
a1 a2 1, a2b1 1 1 , a2b2 2 2
比较各项系数得
待定系数个数超过方程个数，必须先设定一个系数，然后即可求得其 参数。一般有以下几种取法： 1、 a1 0, a2 1, b1 b2
1
K 2 变化，而是取两者平均值 K h x1 x0 hK x0 ( K1 K 2 ) 2 h x1 x0 ( f 0 f1 ) 2
f
f0 f1
K1 K 2 2
求得校正点，即：
。
0
t0
t1
t
四阶龙格－库塔法的计算公式为：
K1 f (tk , xk )
h xk 1 xk ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
x1 x0 hf (t0 , x0 )
其一般公式为
xk 1 xk hf (tk , xk )
f1
f
f0
c
0
t0
t1
t
h2 h3 (2) h k ( k 1) Rn f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) 称为截断误差 2! 3! k! 例4－1 用欧拉法求下述微分方程的数值解。
h h K 2 f (tk , xk K1 ) 2 2 h h K3 f (tk , xk K 2 ) 2 2 K 4 f (tk h, xk hK 3 )
X AX BU
对于用状态方程表示的高阶线性系统 Y CX
现代控制理论复习知识点
xe渐近稳定。 渐近稳定时，若||x||时， V(x) ： xe大范围渐近
M满秩，M=？注意矩阵维数
能观
特殊情况判别：对角线，特征值互异；约当阵，特征值 有重复
N满秩，N=？注意矩阵维数
离散时间系统的能控能观性判别M, N->G, H。
第三章复习要点
3、标准型及转化 (单输入单输出，系统能控)
标准型：
能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II
原理：状态反馈增益矩阵K… 结构图？ 特点：改变闭环系统的特征值，可配置极点
2、输出反馈
原理：输出反馈增益矩阵H… 结构图？ 特点：
3、闭环系统的能控性、能观性
状态反馈不改变系统的能控性，但不保证能观性不变 输出反馈不改变系统的能控性和能观性
第五章复习要点
4、极点配置
状态反馈：前提：系统完全能控
第二章 系统解的表达式
要求内容：
包括线性定常系统状态方程齐次解，矩阵指数函数和 状态转移矩阵的概念及其计算方法，线性定常系统状 态方程的非齐次解，离散系统状态方程解，连续时间 系统状态方程离散化
连续状态空间方程离散化 离散精度
一、概述连续状态空间方程是描述系统状态随时间演化的重要数学模型，在许多领域都有着广泛的应用。
然而，实际系统往往是离散的，为了将连续状态空间方程应用到离散系统中，需要进行离散化处理。
离散化是指将连续系统的状态空间方程转化为离散系统的状态空间方程，以便于在计算机上进行分析和仿真。
二、连续状态空间方程连续状态空间方程可被描述为：dx/dt = f(x,u)y = h(x)其中，x表示系统状态，u表示输入，f(x,u)表示状态方程，h(x)表示输出方程。
连续状态空间方程描述了系统状态随时间的变化规律，是控制系统、信号处理、通信系统等领域的重要数学工具。
三、离散化方法对于离散系统，通常使用下面的方法将连续状态空间方程离散化：1. Euler方法Euler方法是一种简单且常用的数值积分方法，可以用来离散化连续状态空间方程。
通过欧拉方法，可以将连续时间上的状态方程转化为离散时间上的状态更新方程。
2. 隐式Euler方法隐式Euler方法相比于显式Euler方法，具有更好的数值稳定性。
使用隐式Euler方法进行离散化处理，可以有效解决一些数值不稳定的问题。
3. 4阶Runge-Kutta方法4阶Runge-Kutta方法是一种更加精确的数值积分方法，同样可以应用于连续状态空间方程的离散化处理。
相比于Euler方法，Runge-Kutta方法通常能够提供更准确的结果。
四、离散化精度在进行连续状态空间方程的离散化处理时，离散化精度是一个重要的衡量指标。
离散化精度决定了离散系统模型的精确程度，对系统分析和控制设计都具有重要的影响。
1. 离散化步长离散化步长是指在进行离散化处理时，时间或空间上的离散化间隔大小。
步长越小，离散化的精度越高，但计算负荷也越大。
2. 离散化误差离散化误差是指离散系统模型与连续系统模型之间的差距。
通过控制离散化步长和选择合适的离散化方法，可以有效降低离散化误差，提高系统模型的精确度。
五、离散化应用离散化处理后的系统模型可以在计算机上进行仿真和实时控制，应用十分广泛。
状态方程 离散化 前向欧拉法
状态方程离散化前向欧拉法离散化是将连续的系统或过程表示为离散的形式，以便于数值计算和分析。
在控制系统领域，状态方程是描述系统行为的重要工具。
离散化状态方程是将连续时间状态方程转化为离散时间状态方程的过程。
在控制系统中，连续时间状态方程描述了系统的动态行为。
它是一个微分方程，其中包含系统的状态变量和控制输入。
然而，由于计算机是离散的，所以需要将连续时间状态方程转换为离散时间状态方程，以便在计算机上进行数值计算。
离散化的方法有很多种，其中之一是前向欧拉法。
前向欧拉法是一种简单易懂的离散化方法，也是最为常用的方法之一。
它基于对微分方程的近似，通过将微分方程中的导数替换为差分来进行离散化。
在前向欧拉法中，将连续时间状态方程表示为：x[k+1] = x[k] + Δt * f(x[k], u[k])其中，x[k]表示第k个时刻的状态变量，u[k]表示第k个时刻的控制输入，Δt表示离散时间步长，f(x[k], u[k])表示系统的状态更新函数。
在离散化的过程中，需要选择合适的离散时间步长Δt。
通常情况下，Δt的选择应该满足系统的稳定性和响应速度等要求。
前向欧拉法的离散化过程非常简单，只需要按照上述公式进行计算即可。
首先，需要确定初始状态x[0]和初始控制输入u[0]。
然后，根据上述公式，计算出下一个时刻的状态变量x[1]。
重复这个过程，即可得到系统在离散时间上的状态变化。
尽管前向欧拉法简单易懂，但它也存在一些限制和缺陷。
首先，由于是对微分方程的近似，所以前向欧拉法在精度上有一定的误差。
其次，前向欧拉法对于某些系统可能会导致不稳定性，需要进行调整和改进。
此外，前向欧拉法在面对复杂系统和高阶系统时，可能需要更复杂的离散化方法来保证效果。
在实际应用中，处理离散化状态方程的方法很多，不同方法适用于不同的系统和要求。
尽管前向欧拉法存在一定的问题，但由于其简单性和易实现性，而被广泛应用于离散化系统建模与控制器设计中。
总之，离散化是将连续系统转化为离散形式的重要过程，离散化状态方程是控制系统中的一个关键概念。
2.6 连续时间系统状态方程的离散化
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0.63 1 1 0.37 0 1.37 0.37 0 0 0.63 1 0.63 0.865 1.37 1 0.135 0 2.05 0.135 0.63 0 0.865 1 0.95
1 (3)H(T) 0 0
T
T 1 1 / 2(1 e2 t ) 0 dt 0 2 t e 1 0
x 1[(k 1)T] x 1 (kT) (4) G(T) H(kT) U(kT) x 2 [(k 1)T] x 2 (kT)
1
解：
例2.5已知控制对象满足 0 1 0 x x u，求其离散化方程 2 0 1
2 t 1 1 / 2 ( 1 e ) 1 1 （ 1 ）( t ) L [SI A] 2 t e 0 1 1 / 2(1 e 2 t ) (2)G (T) ( t ) t T 2 t e 0
1 2T 2 t ( 2 T e 1 ) 1 / 2(1 e ) 4 dt 1 2 t 2 T e (1 e ) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和
H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或
At 1 1
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
x1[(k 1)] 1 1 e T x1 (kT ) T e T 1 u (kT ) x [(k 1)] T T e x2 (kT ) 1 e 2 0 2 T e T 1 e T x1 (kT ) T e T 1 T r (kT ) T T e x2 (kT ) 1 e e 1
连续时间信号离散化及恢复
5.1 抽样信号及其频谱
5.2 抽样定理 5.3 理想滤波器的分析 5.4 系统的无失真传输 5.5 连续时间信号的恢复
5.1 抽样信号及其频谱
前面各章主要研究的都是连续时间的信号与系统，它们的突出特点是比较直 观、物理概念比较明确。但在实际应用过程中，特别是随着计算机技术的发展，通 常是以离散信号或数字信号替换原来的连续信号，进而进行数字信号的加工或操 作。这就需要对连续时间信号进行抽样和量化，从而实现其离散化。连续信号的离 散化通常是以 A/D(模数转换器)来实现的，主要表现为两个过程：时间离散化称为 抽样， 这时信号在时间轴上是离散的， 但在幅值上却是连续的， 通常称为抽样信号， 用 f s (t ) 表示；如果对抽样信号的幅值也进一步离散化，此时信号在时间轴和幅值 上都是离散的，通常称为数字信号，用 f (nTs ) 表示，通常简单表示为 f (n) 。
Fs ()
周期重复而得到的，在此过程中幅度被抽样脉冲 p (t ) 的傅里叶变换 P( ) 的系数 c n 加权。因为 c n 只是 n(而不是 )的函 数，所以 F ( ) 在重复过程中不会使形状发生变化。
1.周期矩形脉冲抽样 图 5.1-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为 f(t)与抽 样脉冲序列PTs(t)的乘积，即
1 cn Ts
Ts 2 Ts 2
T (t )e
jns t
1 dt Ts
Ts 2 Ts 2
(t )e jn t dt
s
1 Ts
代入式(5.1-4)，得冲激抽样信号的频谱为
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
s
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x1[(k
x2[(k
1)] 1)]
1 0
1
e
eT
T
x1 x2
(kT) (kT)
T
eT 1 eT
1u(k
T
)
系令统 T＝输20出e.1TT方秒程，e1T得系1e统yeT(离TkT散)xx化12((kk状xTT1)态)(k空T)间T1表1ee达TT0式1xxr12(k((kTkT)T))
x
0
0
5(1 e5t )
5(e5t
1)
x
5 0
5e5t 5(1 e5t
)u
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
u(t) 10, x(0) 00时，方程在采样时刻的 近似解
解：(1)离散化，取T 0.2秒，t kT 0.2k
G(KT
)
I
TA(kT
)
1 0
0 1
0.20 0
5(1 ek )
k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu( j)
j 1
二、线性时变系统状态方程的离散化 －－按导数定义近似求出，也称近似计算方法
假设T很小T≤0.1Tmin（最小时间常数），精度要 求不高时，可用差商代替微商。
t kT：
x(t) lim x(t t) x(t)
t 0
t
求取[kT , (k 1)T ]区间的导数
5(ek
1)
1 0
1 ek
ek
H (kT ) TB(kT ) 0.205
5ek 5(1 ek )
1 0
ek
1
ek
代入x[(k 1)T ] G(kT )x(kT ) H (kT )u(kT ) 得：离散化方程为
x1[(k x2[(k
1)T 1)T
] ]
1 0
1
ek ek
1 0
0.631 0.370
1 0
0.370 0.631
1.37 0.63
递推求下去
x1(0.6) x2 (0.6)
1 0
0.8651.37 0.1350.63
1 0
0.1350 0.8651
2.05 0.95
三、计算机控制系统的状态空间表达式 （一）计算机控制系统的组成
连续部分：保持和被控对象串联 离散部分：数字计算机
y(k T) x1 (k T) 1
0
x1 x2
(k T) (k T)
x1 (k
x2
(k
1)T 1)T
0.995 0.095
0.095 x1 (k T)
0.905
x2
(k
T
)
0.005 0.095r(k T)
y(kT) 1
0
x1 x2
(k T) (k T)
方法2、近似离散化 A(kT)=A定常 B(kT)=B
0.9 0.1
0.1 0.9
x1(kT x2 (kT
) )
00.1r
(kT
)
两种方法得 状态空间表
输出y(kT ) 1
0
x1(kT x2 (kT
) )
达式近似相 等。
离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解
一、线性定常系统状态方程的离散化
－（按非齐次状态方程解，求出）
线性定常系统状态方程的解为：
t
x(t) (t t0 )x(t0 )
(t )Bu ()d
t0
取t0 kT, t (k 1)T, u() u(kT) 常数
x([(k 1)T ] (T )x(kt) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bu(kT )d
令G(T ) (T ) e AT
H (T ) 设t
(k
k(Tk 1)T e A[(k 1)T ]
1)T , dt d
Bd
下限 kT ,相当于t T
上限＝（k＋1）T ,相当于t 0
则：H (T ) 0T e AT Bdt 0T (t)Bdt
得连续离散化方程 :
x([(k 1)T ] G(T )x(kT ) H (T )u(kT )
x(t) lim x[(k 1)T ] x(kT )
T 0
T
x(kT ) x[(k 1)T ] x(kT ) A(kT )x(kT ) B(kT )u(kT ) T
x[(k 1)T ] [I TA(kT )]X (kT ) TB(kT )u(kT ) x[(k 1)T ] G(kT )x(kT ) H (kT )u(kT ) G(kT ) I TA(kT ) H (kT ) TB(kT )
)
例2.5已知控制对象满足
x
0 0
解：
1 2
x
10u，求其离散化方程
（1）(t)
L1[SI
A]1
1
0
1 / 2(1 e2t )
e2t
1
1 / 2(1 e2t )
(2)G(T)
(t)
tT
0
e2t
T 1
(3)H(T)
0
0
1/ 2(1 e2t )0 T 1
e2t
1dt
0
0
1/ 2(1 e2t
x1 x2
0 0
1 1
x1 x2
0 1u
y x1 1
0
x1 x2
说明：
u(t)是零阶保持器的输出，即u(kT)=常数
满足假设，可离散化
方法1、线性定常系统离散化
(1)a、e At
L1[sI
A]1
1 0
1 et
et
b、G(t)
eAT
1 0
1 eT
eT
c、H
(T
)0T
e
AT
（二）连续部分离散化，求被控对象离散化状 态方程。
（三）系统的离散化状态空间表达式：
根据系统结构确定系统的离散状态方程和输出 方程。特点u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-Cx(kT), 例2.7 求如图所示的计算机控制系统的状态方程
解：对象 1 的状态方程和输出方程为
s(s 1)
比较:
当 G(kT ) (T ) eAT I AT 1 (AT )2 I AT
2!
T的值越小,近似程度越高
又
H（ kT）
0T
eAT Bdt
0T [I
At
1 ( At)2 2!
]Bdt
T很小,t就很小,将包含t的各式略去
0T I B dt BT
结论：上式为近似计算方法
例2.6 已知时变系统
即t kT时刻，y(kT ) Cx(kT ) Du(kT )
离散后C与D不改变
归纳：将连续状态方程离散化步骤
1、求(t)＝eAt L1[SI A]1
2、G(T ) (T ) (t) t T
3、求H (T 4、求x[(k
) 0T eAtBdt
1)T ] G(T
)x(kT
)
H
(T
)u(kT
e2t
) dt
1 4
(2T e2T 1 (1 e2T )
1)
2
(4)xx12[[((kk
1)T] 1)T]
G(T)xx12
(kT) (kT)
H(.5秒）G(t)和
H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或
Z变换法求出解
2.6 连续时间系统状态方程的离散化 (1)用计算机对连续时间系统状态方程求解
－需先将其状态方程化为离散方程 （2）对连续受控对象进行计算机在线控制
－受控对象模型离散化
x Ax Bu y Cx
假设：(1)t=kT,T为采样周期，且很 小,k=0,1,2…为一正整数
（2）u(t)只在采样时离散化，即在 kt≤t≤(k+1)T,u(t)=u(kT)=常数，0阶保持
a、G(kT
)
I
TA
1 0
T 1 T
b、H
(kT
)
TB
0 T
x1[(k x2[(k
1)T ] 1)T ]
1 0
T 1
t
x1(kT x2 (kT
) )
0 T
u(kT
)
u(kT ) r(kT ) x1(kT )
系统离散状态方程（T＝0.1）
可见T较小时，
x1[(k x2[(k
1)T ] 1)T ]
Bdt
0T
1 0
1
et et
10dt
T
eT 1 eT
1
d、x[(k 1)T ] G(T )x(kT ) H(T )u(kT )
1 0
1
eT eT
x1(kT x2 (kT
) )
T
eT 1 eT
1u(kT
)
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
x1(kT x2 (kT
) )
1 0
1
ek ek
u1(kT u2 (kT
) )
（2）用递推法求离散方程的近似解：
取k＝0，1，2…T＝0.2秒，并代入输入函数和 初始条件可得近似解：
x1(0.2) x2 (0.2)
1 0
00 10
1 0
10 01
1 0
x1(0.4) x2 (0.4)