连续时间系统状态方程的离散化

k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu( j)
j 1
二、线性时变系统状态方程的离散化 －－按导数定义近似求出，也称近似计算方法
假设T很小T≤0.1Tmin（最小时间常数），精度要 求不高时，可用差商代替微商。
t kT：
x(t) lim x(t t) x(t)
t 0
t
求取[kT , (k 1)T ]区间的导数
5(ek
1)
1 0
1 ek
ek
H (kT ) TB(kT ) 0.205
5ek 5(1 ek )
1 0
ek
1
ek
代入x[(k 1)T ] G(kT )x(kT ) H (kT )u(kT ) 得：离散化方程为
x1[(k x2[(k
1)T 1)T
] ]
1 0
1
ek ek
即t kT时刻，y(kT ) Cx(kT ) Du(kT )
离散后C与D不改变
归纳：将连续状态方程离散化步骤
1、求(t)＝eAt L1[SI A]1
2、G(T ) (T ) (t) t T
3、求H (T 4、求x[(k
) 0T eAtBdt
1)T ] G(T
)x(kT
)
H
(T
)u(kT
2.6 连续时间系统状态方程的离散化 (1)用计算机对连续时间系统状态方程求解
－需先将其状态方程化为离散方程 （2）对连续受控对象进行计算机在线控制
－受控对象模型离散化
x Ax Bu y Cx
假设：(1)t=kT,T为采样周期，且很 小,k=0,1,2…为一正整数
（2）u(t)只在采样时离散化，即在 kt≤t≤(k+1)T,u(t)=u(kT)=常数，0阶保持
0.9 0.1
0.1 0.9
x1(kT x2 (kT
) )
00.1r
(kT
)
两种方法得 状态空间表
输出y(kT ) 1
0
x1(kT x2 (kT
) )
达式近似相 等。
离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解
a、G(kT
)
I
TA
1 0
T 1 T
b、H
(kT
)
TB
0 T
x1[(k x2[(k
1)T ] 1)T ]
பைடு நூலகம்1 0
T 1
t
x1(kT x2 (kT
) )
0 T
u(kT
)
u(kT ) r(kT ) x1(kT )
系统离散状态方程（T＝0.1）
可见T较小时，
x1[(k x2[(k
1)T ] 1)T ]
y(k T) x1 (k T) 1
0
x1 x2
(k T) (k T)
x1 (k
x2
(k
1)T 1)T
0.995 0.095
0.095 x1 (k T)
0.905
x2
(k
T
)
0.005 0.095r(k T)
y(kT) 1
0
x1 x2
(k T) (k T)
方法2、近似离散化 A(kT)=A定常 B(kT)=B
比较:
当 G(kT ) (T ) eAT I AT 1 (AT )2 I AT
2!
T的值越小,近似程度越高
又
H（ kT）
0T
eAT Bdt
0T [I
At
1 ( At)2 2!
]Bdt
T很小,t就很小,将包含t的各式略去
0T I B dt BT
结论：上式为近似计算方法
例2.6 已知时变系统
x(t) lim x[(k 1)T ] x(kT )
T 0
T
x(kT ) x[(k 1)T ] x(kT ) A(kT )x(kT ) B(kT )u(kT ) T
x[(k 1)T ] [I TA(kT )]X (kT ) TB(kT )u(kT ) x[(k 1)T ] G(kT )x(kT ) H (kT )u(kT ) G(kT ) I TA(kT ) H (kT ) TB(kT )
x1(kT x2 (kT
) )
1 0
1
ek ek
u1(kT u2 (kT
) )
（2）用递推法求离散方程的近似解：
取k＝0，1，2…T＝0.2秒，并代入输入函数和 初始条件可得近似解：
x1(0.2) x2 (0.2)
1 0
00 10
1 0
10 01
1 0
x1(0.4) x2 (0.4)
1 0
0.631 0.370
1 0
0.370 0.631
1.37 0.63
递推求下去
x1(0.6) x2 (0.6)
1 0
0.8651.37 0.1350.63
1 0
0.1350 0.8651
2.05 0.95
三、计算机控制系统的状态空间表达式 （一）计算机控制系统的组成
连续部分：保持和被控对象串联 离散部分：数字计算机
x1 x2
0 0
1 1
x1 x2
0 1u
y x1 1
0
x1 x2
说明：
u(t)是零阶保持器的输出，即u(kT)=常数
满足假设，可离散化
方法1、线性定常系统离散化
(1)a、e At
L1[sI
A]1
1 0
1 et
et
b、G(t)
eAT
1 0
1 eT
eT
c、H
(T
)0T
e
AT
x
0
0
5(1 e5t )
5(e5t
1)
x
5 0
5e5t 5(1 e5t
)u
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
u(t) 10, x(0) 00时，方程在采样时刻的 近似解
解：(1)离散化，取T 0.2秒，t kT 0.2k
G(KT
)
I
TA(kT
)
1 0
0 1
0.20 0
5(1 ek )
x1[(k
x2[(k
1)] 1)]
1 0
1
e
eT
T
x1 x2
(kT) (kT)
T
eT 1 eT
1u(k
T
)
系令统 T＝输20出e.1TT方秒程，e1T得系1e统yeT(离TkT散)xx化12((kk状xTT1)态)(k空T)间T1表1ee达TT0式1xxr12(k((kTkT)T))
e2t
) dt
1 4
(2T e2T 1 (1 e2T )
1)
2
(4)xx12[[((kk
1)T] 1)T]
G(T)xx12
(kT) (kT)
H(kT)U(kT)
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和
H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或
Z变换法求出解
（二）连续部分离散化，求被控对象离散化状 态方程。
（三）系统的离散化状态空间表达式：
根据系统结构确定系统的离散状态方程和输出 方程。特点u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-Cx(kT), 例2.7 求如图所示的计算机控制系统的状态方程
解：对象 1 的状态方程和输出方程为
s(s 1)
Bdt
0T
1 0
1
et et
10dt
T
eT 1 eT
1
d、x[(k 1)T ] G(T )x(kT ) H(T )u(kT )
1 0
1
eT eT
x1(kT x2 (kT
) )
T
eT 1 eT
1u(kT
)
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
一、线性定常系统状态方程的离散化
－（按非齐次状态方程解，求出）
线性定常系统状态方程的解为：
t
x(t) (t t0 )x(t0 )
(t )Bu ()d
t0
取t0 kT, t (k 1)T, u() u(kT) 常数
x([(k 1)T ] (T )x(kt) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bu(kT )d
)
例2.5已知控制对象满足
x
0 0
解：
1 2
x
10u，求其离散化方程
（1）(t)
L1[SI
A]1
1
0
1 / 2(1 e2t )
e2t
1
1 / 2(1 e2t )
(2)G(T)
(t)
tT
0
e2t
T 1
(3)H(T)
0
0
1/ 2(1 e2t )0 T 1
e2t
1dt
0
0
1/ 2(1 e2t
令G(T ) (T ) e AT
H (T ) 设t
(k
k(Tk 1)T e A[(k 1)T ]
1)T , dt d
Bd
下限 kT ,相当于t T
上限＝（k＋1）T ,相当于t 0
则：H (T ) 0T e AT Bdt 0T (t)Bdt
得连续离散化方程 :
x([(k 1)T ] G(T )x(kT ) H (T )u(kT )