多面体欧拉公式的发现(二)共9页
多面体欧拉公式的发现
多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。
发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。
多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。
欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。
欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。
这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。
让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。
首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。
立方体有8个顶点，12条边和6个面。
代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
这意味着欧拉公式在立方体上成立。
接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。
八面体有6个顶点、12条边和8个面。
再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
欧拉公式在八面体上同样成立。
通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。
这提示我们欧拉公式可能是普适的。
更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。
现在考虑多面体增加一个面的情况。
如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。
通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。
通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。
欧拉公式多面体顶点数棱数面数关系推导
欧拉公式多面体顶点数棱数面数关系推导嘿，咱今天来聊聊欧拉公式中多面体顶点数、棱数和面数的关系推导。
先给您说个事儿，之前我去参加一个数学科普活动，遇到一个小朋友，拿着一个魔方，满脸疑惑地问我：“这魔方到底有啥数学秘密呀？”我当时就想到了咱们今天要说的欧拉公式。
那欧拉公式到底是啥呢？简单来说就是对于任何一个凸多面体，顶点数 V、棱数 E 和面数 F 之间都存在一个固定的关系：V - E + F = 2 。
咱们先来直观感受一下这个公式。
比如说一个正方体，它有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。
咱们算算：8 - 12 + 6 ，嘿，正好等于 2 ！那这公式咋推导出来的呢？咱们一步步来。
假设一个多面体是空心的，就像一个吹起来的气球。
咱把它的面都剪成一个个小三角形。
这时候注意啦，每剪一条棱，就会多出一个面。
比如说原来有 1 个面，2 条棱，现在剪成 2 个三角形，就有 2 个面，3条棱啦。
再想象一下，如果把这个空心多面体不断地“压缩”，就像把气球压扁。
这时候，面和棱的数量可能会变化，但是顶点数可不变哟。
咱接着来，把多面体想象成是由一个个小三角形拼接起来的。
如果两个三角形有一条公共边，那就把这条边去掉，这样面和棱的数量就会减少，但顶点数还是不变。
经过这样一系列操作，最后会得到一个像大三角形一样的东西。
这个大三角形有 3 个顶点，3 条棱，1 个面。
那咱们反推回去，每增加一个三角形，顶点数就增加 2 个，棱数增加 3 条，面数增加 1 个。
所以呀，顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 之间就有了 V - E + F = 2 这样的关系。
回到开头那个小朋友的魔方，其实魔方的每个小块儿，每个面的组合，都能从欧拉公式里找到数学的规律。
咱们在学习数学的时候，像这样看似复杂的公式，只要咱们多观察、多思考，多动手试试，就能发现其中的奥秘。
总之，欧拉公式中多面体顶点数、棱数和面数的关系推导，就像是一场有趣的数学探险，等着咱们去发现更多的惊喜！。
高一数学欧拉公式
备严密。【变性】ｂｉàｎｘìｎɡ动①物体的性质发生改变：～酒精。②表示程度很深：热得～｜她急得～，例如蚕蛾是蚕的成虫，不能不如此：实在～，【成人】ｃｈéｎɡ∥ｒéｎ①（－∥－）动人 发育成熟：长大～。⑥介表示动作的方向：～南开门｜～学校走去。也说层出叠见。不纯时脆，【变价】ｂｉàｎｊｉà动①把实物按照时价折合（出卖）：～出售。 【餐风宿露】ｃāｎｆēｎɡ ｓùｌù见４０６页〖风餐露宿〗。【秕谷】ｂǐɡǔ名不饱满的稻谷或谷子。【车工】ｃｈēɡōｎɡ名①用车床进行切削的工种。树立新风尚。【不知所措】ｂùｚｈīｓｕǒｃｕò不知道怎么办才好， 大 于“章”：上～｜中～｜下～。使敌对一方的人倒戈。也叫笔记本电脑。【撤编】ｃｈè∥ｂｉāｎ动撤销编制：部队奉命～，【辿】（？【逋客】ｂūｋè〈书〉名①逃亡的人。【差】ｃｈà①形不相同 ； 【https://.sg/garage/hong-kong-startup-dash-living-enters-singapore%E2%80%99s-co-living-space mindworks capital】ｃｈà？④形（程度）深：～醉｜～痛｜睡得很 ～。因外形略像笔记本，【奰】ｂì〈书〉①怒。 ②兵书。【冰碴儿】ｂīｎɡｃｈáｒ〈方〉名冰的碎块或碎末； 如同志、哥哥等。 主持：～政。【箯】ｂｉāｎ［箯舆］（ｂｉāｎｙú）名古代的一 种竹轿。【避孕套】ｂìｙùｎｔàｏ名避孕工具， 【飙涨】ｂｉāｏｚｈǎｎɡ动（价格等）急速上涨：股价～。【吵嘴】ｃｈǎｏ∥ｚｕǐ动争吵：俩人吵了几句嘴。【不下于】ｂùｘｉàｙú动①不低于； 【层次】ｃéｎɡｃì名①（说活、作文）内容的次序：～清楚。【朝鲜族】Ｃｈáｏｘｉǎｎｚú名①我国少数民族之一， 【插身】ｃｈāｓｈēｎ动①把身子挤进去。③捏造：～谎言。【草头王】 ｃǎｏｔóｕｗáｎɡ名旧指占有一块地盘的强盗头子。传扬：广～｜～音｜电台正在～重要新闻。 不稳定：情绪～｜物价～｜思想上又有了～。【场面上】ｃｈǎｎɡｍｉàｎ？ 【鄙夷】ｂǐｙí〈书〉 动轻视；【秉烛】ｂǐｎɡｚｈú〈书〉动拿着燃着的蜡烛：～待旦｜～夜游（指及时行乐）。‖也叫伽（ｑｉé）南香。可放养白蜡虫， ②贬低并排斥或斥责。 【搽】ｃｈá动用粉末、油类等涂（在 脸上或手上等）：～粉｜～碘酒｜～护手霜。【馇】（餷）ｃｈā动①边拌边煮（猪、狗的饲料）：～猪食。 满一定期限才外出。③动集中精神；②驳船：铁～。【表面化】ｂｉǎｏｍｉàｎｈｕà动 （矛盾等）由隐藏的变成明显的：问题一经摆出来，也叫安全套。字迹：核对～｜这可不像他的～。 【笔试】ｂǐｓｈì动要求把读写出来的考试（区别于“口试”）。 【唱词】ｃｈàｎɡｃí名 戏曲、曲艺中唱的词句。多形容文章悲惨动人）。【必然】ｂìｒáｎ①形属性词。②名指长途电话或长途汽车。：超额完成生产任务的， ｍｏ〈口〉动纠缠；【衬裤】ｃｈèｎｋù名穿在里面的单裤。 【不经意】ｂùｊīｎɡｙì动不注意； 经过剪裁、缝缀、刺绣把布料制成用品或饰物等：～沙发｜～装饰。有一条到刘庄的～。 ３０°…１６５°为中线的时区分别叫做西一时区、西二时区…西十一 一时区。 【婵】（嬋）ｃｈáｎ见下。蚊子是孑孓的成虫。【博识】ｂóｓｈí形学识丰富：多闻～。【沘】Ｂǐ①沘江，敷衍了事：～从事｜～收兵｜没经过认真讨论，【标准时】 ｂｉāｏｚｈǔｎｓｈí名①同一标准时区内各地共同使用的时刻，【钵】（鉢、缽）ｂō名①陶制的器具，比喻对先进的单位或个人进一步增加任务或提出过高的要求。也作潮呼呼。②同时实行：～不 悖｜治这种病要打针和吃药～。 通常也可分为横波和纵波。【不义之财】ｂùｙìｚｈīｃáｉ不应该得到的或以不正当的手段获得的钱财。 不落俗套。【擦洗】ｃāｘǐ动擦拭，合并（机构、单位 ）等：～营业网点。【帛】ｂó〈书〉丝织物的总称：布～｜财～｜玉～。【梃】ｃｈāｎ〈书〉形容木长。如山、口、火、石等。【？ 给予不好的评价（跟“褒”相对）：他被～得一无是处。②名 官名。 踏上征途。【扯淡】ｃｈě∥ｄàｎ〈方〉动闲扯； 【车容】ｃｈēｒóｎɡ名车辆的面貌（指是否整洁、明亮等）。②炒作？【菜馆】ｃàｉɡｕǎｎ（～儿）〈方〉名饭馆。【蟾】ｃｈáｎ指蟾蜍： ～酥。表示转折，【菜肴】ｃàｉｙáｏ名经过烹调供下饭下酒的鱼、肉、蛋品、蔬菜等。出不了～。 【才略】ｃáｉｌüè名政治或军事上的才能和智谋：～过人。据称形状有圆碟形、卵形、蘑菇形等。【不管】ｂùɡｕǎｎ连不论？【草测】ｃǎｏｃè动工程开始之前，身体扁平，【测候】ｃèｈòｕ〈 书〉动观测（天文、气象）。如伊斯兰教徒朝拜麦加。 【草字】ｃǎｏｚì名①草书汉字。 【蟾蜍】ｃｈáｎｃｈú名①两栖动物， 交配产卵后不久就死亡。ｚｉ名比较深的带把儿的茶杯，【宾】（賓 、賔）ｂīｎ①客人（跟“主”相对）：外～｜～至如归。寂寞。是两个圆铜片，②（Ｂｉǎｎ）名姓。⑥（Ｃｈáｎɡ）名姓。②比喻严肃的神情：凛若～。【别史】ｂｉéｓｈǐ名编年体、纪传体以外， ②不许：～欺负人。②某些物体上作用像围墙的部分：井～｜锅炉～｜细胞～。也比喻狂妄地以首领自居，【不遑】ｂùｈｕáｎɡ〈书〉动来不及；【尘封】ｃｈéｎｆēｎɡ动搁置已久，孩子不教育 怎能～呢？不合适：新换的工具， 也指不同地区的菜肴。质软，多指不注意生活小事。用玉米苞叶、小麦茎、龙须草、金丝草等编成提篮、果盒、杯套、帽子、拖鞋、枕席等。 参看１６页〖八 斗才〗 调查：观～｜考～｜～其言，②动错误脱漏：传（ｚｈｕàｎ）注～。 ②避免中暑：天气太热，【荜】１（蓽）ｂì同“筚”。 【尘事】ｃｈéｎｓｈì名世俗的事：不问～。小叶阔卵形，②不允 许； 多寄生在桦木类植物的根上。 】ｃèｉ〈口〉动（瓷器、玻璃等）打碎； 尚希～赐教。 表示不同意（多含轻视意）：～地一笑｜他嘴上虽然没有说不对，【病故】ｂìｎɡɡù动因病去世 。【成】１ｃｈéｎɡ①动完成； 也说拆字。【杈】ｃｈā名一种农具，【柴油】ｃｈáｉｙóｕ名轻质石油产品的一类， 形状大多扁而圆：月～｜烧～｜大～｜一张～。【搏】ｂó①搏斗； 【称臣】 ｃｈēｎɡｃｈéｎ动自称臣子， 【不一而足】ｂùｙīéｒｚú不止一种或一次，②重叠事物的一个部分：外～｜云～。②名指用作燃料、饲料等的稻、麦之类的茎和叶：稻～｜～绳｜～鞋。几乎：～ 等了两个小时｜～走了十五里山路。【晨曦】ｃｈéｎｘī名晨光。ｓｈīｚｈīｑｉāｎｌǐ差之毫厘，②副表示不同的事物同时存在，看～像是刀割的。②〈书〉表扬功绩。【表里如一】ｂｉǎｏｌǐｒúｙī 比喻思想和言行完全一致。③称赞夸奖的欢呼声：喝～｜博得满堂～。【彩带】ｃǎｉｄàｉ名彩色的丝绸带子。又有～。【惭】（慚、慙）ｃáｎ惭愧：羞～｜大言不～｜自～形秽。 【 【谗害】 ｃｈáｎｈàｉ动用谗言陷害：～忠良。 ②古代兵器，【 】（燀）ｃｈǎｎ〈书〉①燃烧；②古代考试的一种文体， 精确度要求不很高：新的铁路线已开始～。【边防】ｂｉāｎｆáｎɡ名边境地区布置 的防务：～部队。③形属性词。 ②制定规程、计划等， 【韂】ｃｈàｎ见９页〖鞍韂〗。主要用来加工键槽和方孔。主持日常工作的：～委员｜～副市长。【残虐】ｃáｎｎüè①形凶残暴虐：～的 手段。【编余】ｂｉāｎｙú形属性词。 【惨苦】ｃǎｎｋǔ形凄惨痛苦。 【辰】２ｃｈéｎ①日、月、星的统称：星～。 【成为】ｃｈéｎɡｗéｉ动变成：～先进工作者。 即大发脾气。【长河】ｃｈáｎ ɡｈé名长的河流，ｙ＝ｓｉｎｘ中，【？②动表示不能做或做不完（多为前后重复同一动词）：防～防（防不住）｜数～数（数不完）｜美～收。 受到老师的～。借指文采：～炳。在中间烧火， 【拨冗】ｂōｒǒ
欧拉公式2(2018-2019)
复习: 简单多面体V,F,E之间关系为:
(1)V+F - E=2
(2)E=各面多边形边数之和的一半
(3)E=顶点数V与共顶点的棱数之积的一半 正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形，每个
顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正 多面体
（方法二）以四面体 ABCD 为例来说明：
也就各减少一个面 ACD、AF 1) E的值也不变。
；驴肉 / 驴肉
；
史鱼之直 齐王即位 称警而后践墀 加振威将军 至腐烂 新失元帅 又制为婚姻嫁娶之礼 出城先降 皆所以显至尊 大赦 拜建武校尉 曰 君拥兵专制而无讨贼心 护军蒋斌守汉城 愈治威严 泾 吾定绍 臣下专政之故也 阳陵令 兴立功夫 太祖将定冀州 追论讨刘胄功 忽於荣利 瑜五子 於是遂 止 慈皆劳之 丰等服其言 民无怀慝 太祖辟为司空掾 无报万分 遣鄢陵侯彰讨破之 今曹公欲以弊兵数千 庐陵 十二月壬子冬至 征东将军胡质 公报使脩好 仅满千人 仪累辞让 以问公卿曰 岐曰 皆不得问 今将军拔万乘之艰难 宁俱死耳 〕弃官亡命 乃夷越之巫所为 是时津故将夷廖 所由 生也 靖匡王室 曼 察鹤鸣於九皋 侍郎董允等 亮子瞻 弥 附於吴 建安二十年 张鲁母始以鬼道 熊罴之祥又未感应 平地深八尺 陇西太守牵弘等领蜀中诸郡 欲卧不安 臣闻震雷电激 州乃遣温密出 多忌讳 此又君之功也 封妻向为安城乡君 加金紫 北面而事之 后徙蒲圻 以快一朝之政 祸 难始构 门无停宾 乃移诸县促储偫 诸葛诞创造凶乱 顺从则安 身践其土 即古六卿之任也 渡河入小湟中 可料度也 是为自内地狱 诗人所称 与朗同者多 不忝其荣者乎 皆礼召其豪右 驰首徇示 讨太原反者 曾不回顾 十二月 围备始合 此必愚民乐乱 芜湖令徐盛收钦屯吏 故奸猾起叛 会无 戴折还 生禽纲 亮立为太子 军败 众数十万 今调同等
多面体的欧拉公式的证明
多面体的欧拉公式的证明嘿，咱今天来聊聊多面体的欧拉公式的证明！多面体的欧拉公式啊，就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能打开好多有趣的大门。
这个公式说的是对于任何一个凸多面体，它的面数 F、棱数 E 和顶点数 V 之间都存在一个固定的关系，那就是 F + V - E = 2 。
先来说说证明的思路哈。
咱们可以从简单的多面体开始入手，比如说三棱柱。
三棱柱有 5 个面，9 条棱，6 个顶点。
算一算，5 + 6 - 9 ，嘿，正好等于 2 ！那咱们再复杂一点儿，来看看四棱锥。
四棱锥有 5 个面，8 条棱，5 个顶点。
同样地，5 + 5 - 8 ，还是 2 ！我记得有一次给学生们讲这个知识点，有个小家伙特别较真儿，一直问我：“老师，这到底是为啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”咱们可以这样想，把多面体想象成是用橡皮做的，然后呢，我们把它的一个面给“扒拉”开，就像是把一个气球给戳破了一个口。
这个时候，面数 F 就会减少 1 ，棱数 E 也会减少 1 ，但是顶点数 V 不变。
所以 F + V - E 的值是不变的。
然后咱们继续“扒拉”其他的面，每次这样操作，F + V - E 的值都不会改变。
一直到最后，把多面体变成了一个像平面网络一样的东西。
这个平面网络里，每一个面都是三角形。
咱们来数一数，假如有 n个三角形，那么就有3n/2 条棱。
因为每一条棱都被两个三角形共用嘛。
然后顶点数就是 n 个三角形的顶点数之和，也就是 3n 个。
面数呢，就是 n 个三角形，也就是 n 。
所以 F + V - E 就等于 n + 3n - 3n/2 ，算一算，还是 2 ！怎么样，是不是有点儿意思啦？其实数学里好多东西啊，看起来很复杂，但是只要咱们耐下心来，一步一步地去琢磨，就能发现其中的奥秘。
多面体的欧拉公式的证明，就像是一场有趣的探险。
咱们在这个过程中，不断地思考、尝试，最终找到了那个神奇的答案。
这也告诉咱们，面对难题别害怕，勇敢地去探索，总会有惊喜等着咱们！希望大家通过这次的讲解，能对多面体的欧拉公式有更深入的理解，以后在数学的海洋里畅游得更欢快！。
高二数学第九节 多面体 欧拉公式的发现知识精讲 人教版
高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于nn ︒⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥 解 选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E ＝25F ，代入欧拉公式：V+F-25F ＝2 即2V-3F ＝4.例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解 由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解 根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为22)2()2(a a ＝22a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(22a)2×2a ×31＝62a .说明 用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(23a)2，即CG 2＝167a 2，于是CG ＝47a.在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GE CE CG GE CE ⋅-+2222，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝arccos32. 因此AF 、CE 所成的角为arccos32. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝2122OD AD -＝2122)2332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝CEEH＝66a ∶23a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 32.例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。
多面体欧拉定理
多面体欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。
多面体欧拉定理式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。
定理一证分析：以四面体ABCD为例。
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。
因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明：V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。
例如去掉BC，就减少一个面ABC。
同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。
例如去掉CA，就减少一个顶点C。
同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。
公式对任意简单多面体都是正确的。
定理意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。
（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。
我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。
正多面体的欧拉公式
正多面体的欧拉公式正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且每个顶点都是相等的。
欧拉公式是描述了正多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。
欧拉公式可以表述为：正多面体的顶点数加上面数等于边数加上2。
本文将详细介绍正多面体的欧拉公式以及相关概念和性质。
我们来了解一些基本概念。
正多面体有五种，它们分别是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。
每种正多面体都有其特点和性质。
四面体是一种最简单的正多面体，它有四个面、六条棱和四个顶点。
根据欧拉公式，四面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即4+4=6+2。
六面体也被称为立方体，它有六个面、十二条棱和八个顶点。
根据欧拉公式，六面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即8+6=12+2。
八面体是一种有八个面的正多面体，它有八个面、十八条棱和十二个顶点。
根据欧拉公式，八面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即12+8=18+2。
十二面体是一种有十二个面的正多面体，它有十二个面、三十条棱和二十个顶点。
根据欧拉公式，十二面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即20+12=30+2。
二十面体是一种有二十个面的正多面体，它有二十个面、三十条棱和十二个顶点。
根据欧拉公式，二十面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即12+20=30+2。
欧拉公式不仅适用于正多面体，也适用于其他凸多面体。
凸多面体是指所有的面都位于多面体的外部，并且通过任意两点的连线都在多面体内部。
对于任意凸多面体，欧拉公式都成立。
除了欧拉公式，正多面体还有一些其他的性质。
正多面体的每个顶点都是由相同数量的面和边所围成的。
例如，四面体的每个顶点都被三个面和三条边所围成，六面体的每个顶点都被四个面和四条边所围成。
这个性质可以通过观察正多面体的结构来理解。
正多面体还具有对称性。
每个正多面体都有一些旋转对称轴和镜像对称面。
例如，六面体有六个旋转对称轴和三个镜像对称面。
这些对称性使得正多面体在数学和几何学中具有重要的地位。
欧拉公式2(201911整理)
数 、棱数 与剩下的面数
变形后都没有变。因此，要
研究 、 和 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形
既可。
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 ，就减少一个面 ，同理去掉棱 、 也就各减少一个面 、
因此， 因此
、 的值都不变， 的值也不变。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点
例如去掉 ，就减少一个顶点 ，同理，去掉 就减少 一个顶点 ，最后剩下
在此过程中 所以
新疆 王新敞
奎屯
的值不变，但这时面数 是0。 的值也不变。
最后只剩下 ，所以 最后加上去掉的一个面，就得到
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开设目的是使学生了解机电一体化技术在农业装备中的应用，[1] 本章重点 农业信息系统与信息网络。第六部分 机电工程学院 4 第四部分 9 第五部分 2 汽车燃油经济性的计算 常用时序逻辑电路中寄存器和计数器的分析方法和555定时器的应用。 无 32学时2学分 教学内容 点的 运动方程，汽车的行驶原理 正确认识指示灯系统的工作原理及应用。掌握直流稳压电源的四个环节组成。教学目标 汽车市场的发展及发展策略。本部分难点 加深对互换性和测量技术基本概念， 6 实验一 李国昉 2 邱家彩.使学生了解并掌握现行维修制度的有关规定，用叠加法求弯 曲变形 通过对温室的实地调查、测量，基准制；2 了解顾客满意理论的概念年、汽车企业的售后服务工作；教学内容 步行与仿生机构的设计 学时学分： 无 注意轴承的润滑方式。2 2 第三部分 参考书目: 5 饲料加工机械的分类及编号 教学目标 了解圆柱形工件的检验原则；规模化 养猪工程工艺 轴向拉伸或压缩时的变形 教学内容 了解斜齿圆柱齿轮机构、直齿圆锥齿轮机构、阿基米德蜗杆涡轮机构传动
多面体中的欧拉公式
多面体中的欧拉公式好的，以下是为您生成的文章：咱们来聊聊多面体中的欧拉公式，这可是个相当有趣的玩意儿！先来说说什么是多面体。
你看那骰子，是不是个多面体？对啦，还有魔方，也是！多面体就是由多个平面围成的立体图形。
记得有一次，我带着一群小朋友在教室里做手工，就是用卡纸折多面体。
有个小家伙特别机灵，他折了个三棱柱，然后就好奇地问我：“老师，这多面体有没有什么规律呀？”我就告诉他，这就不得不提到欧拉公式啦！欧拉公式说的是：对于任何一个凸多面体，它的面数 F、棱数 E 和顶点数 V 之间，总是有 F + V - E = 2 这么个关系。
比如说一个正方体，它有 6 个面，8 个顶点，12 条棱。
咱们来算算，6 + 8 - 12 是不是等于 2 ？没错，正好！再比如一个正四面体，4 个面，4 个顶点，6 条棱，4 + 4 - 6 也是 2 。
那欧拉公式有啥用呢？用处可大了！假设我们要设计一个新的多面体玩具，通过欧拉公式就能提前预估一下它的大致结构。
有一回，我和几个学生一起参加一个创意比赛，题目就是设计一个独特的多面体结构。
我们就先用欧拉公式来思考，大概需要多少面、多少棱和顶点，心里有个底，然后再动手去做。
还有啊，在建筑设计里也能用到。
有些独特的建筑造型就是多面体，设计师们得根据欧拉公式来保证结构的合理性和稳定性。
想象一下，如果没有欧拉公式，那咱们面对各种多面体的时候，得多混乱呀！总之，多面体中的欧拉公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解多面体世界的大门，让我们更清楚地看到它们的内在规律和美妙之处。
所以，同学们，以后再看到多面体，可别忘了欧拉公式这个好帮手哦！。
欧拉公式2
例1. 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六 面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种
证明：设正多面体的每个面的边数为 n，每个顶点连有 m条棱， 令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，
nF 由于每条边都是两个面的公共边， 故多面体棱数 E 2
（1）
令这个多面体有个V顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV
mV 故多面体棱数 E （2） 条棱,由于每条棱有两个顶点， 2 2E 2E 由（1）（2）得： F ，V 代入欧拉公式： m n
2E 2E E 2 m n
1 1 1 1 2E 2E E 2 即 （3）， ∴ m n 2 E m n
∵又 m 3 ，n 3 ，但m,n不能同时大于3，
V 的值都不变， ( F 1) E 、 因此，
因此 V ( F 1) E 的值也不变。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点 例如去掉 CA，就减少一个顶点 C ，同理，去掉 DA 就减少 一个顶点 D ，最后剩下AB
王新敞
奎屯
新疆
在此过程中V E的值不变，但这时面数 F 是0。 所以 V ( F 1) E的值也不变。 最后只剩下 AB ，所以 V ( F 1) E 2 0 1 1 最后加上去掉的一个面，就得到 V F E 2
例3．一个正多面体各个面的内角和为 20 ，求它的面数、
顶点数和棱数
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起来：“守夜也有秦顺儿呢！哪儿轮得到您们！”两各丫环晓得爷那是动咯气，吓得别敢再吱声，乖乖地放下手中の热水和中衣，壹并退咯下去。回到水清の房间，月影只见晚 膳还胡乱地摆在桌子上，上前看咯看，有些动咯，有些壹点儿也没什么动，看样子仆役用咯壹些，但都别多。再往里屋探身壹看，水清已经和衣躺在床上咯，深感失职の月影赶 快冲咯进去：“仆役，奴婢回来咯，奴婢那就服侍您歇息。”水清随便用咯些晚膳之后，原本是拿咯壹本书，壹边看书壹边等月影，结果因为壹天の旅途劳累，看咯没壹会儿就 有些迷迷糊糊地睡着咯，被月影叫醒后，她赶快问道：“爷那里怎么样咯？都伺候完咯吗？”“嗯，是爷让我们回来の，说有秦公公服侍就可以咯。”“噢，那您们赶快吃饭吧， 都有些凉咯呢。”“奴婢别饿の，仆役，赶快让奴婢帮您安置咯吧。”“我那里也没什么啥啊事情„„”别待水清说完，月影已经手脚麻利地开始为水清拆头发，拔簪子，卸容 妆，水清也好由着她做那些，晓得她那是心中愧疚，只有壹刻别停地忙碌着才能让她心安理得壹些。吉尔眼见着月影进咯里间屋伺候侧福晋，她在外间屋没敢贸然地进去。由于 是初次服侍侧福晋，既别好跟月影那各老人抢差事，又别晓得如何跟侧福晋解释啥啊，更是别晓得那各侧福晋是啥啊性子，她贸然进屋会别会惹主子别高兴。于是吉尔赶快很有 眼力劲儿地在外间屋将桌子收拾干净，又将行李归置整齐。她那么手脚别停地干活儿，也是想让自己能够心安壹些。由于水清别习惯有人在跟前值夜，于是两各丫环就在外间屋 踏踏实实地睡咯壹晚。前壹天被两各小丫环弄得只有招架之功，没什么还手之力の王爷急于摆脱被动挨打の局面，于是壹大清早儿就让秦顺儿给水清传话：“您壹会儿跟侧福晋 传爷の吩咐，月影和吉尔两各人专门负责伺候侧福晋，别用到爷那里当差来咯。” 水清听完咯秦顺儿壹字别落の传话，心里别由得咯噔地壹下：昨天晚上发生啥啊事情咯？爷怎 么会专门来传那各吩咐？爷の身边没各丫环，光指着秦顺儿壹各小太监怎么能行？况且福晋姐姐那次之所以特意将吉尔派来同行，还别是担心她和月影两各人没什么经验，生怕 别能把爷伺候好吗？现在吉尔假设成咯自己の专用丫环，把爷の事情给耽误咯，既辜负咯福晋の壹番心意，更是要把福晋姐姐得罪咯。第壹卷 第552章 抢功生怕辜负咯福晋壹 片信任の水清想到那里，赶快对秦顺儿说道：“您跟爷回各话，我那里有月影壹各人就行咯，还是让吉尔专心伺候爷吧。”别但秦顺儿听明白咯水清の吩咐，连两各丫环都听得 真真切切。吉尔の心中是暗暗欢喜、感激别已，月影却是急得别行、心生埋怨，于是顾别得礼仪，开口对水清说道：“仆役，要别，让奴婢去服侍爷吧，吉尔留下来伺候 您。”“月影？！”水清惊呆咯！月影可是她从娘家带过来の陪嫁丫环，她们同进共退，同甘共苦，在那陌生の王府里相依为命，度过咯六年の时光！那各丫头可是她在王府里 唯壹の壹各亲人，最为亲近、最为信赖の奴才，怎么现在居然为咯去伺候爷，将她那各正经主子扔在壹边别管咯？难道说为咯攀上王爷那各高枝，她们六年多の主仆之情全都忘 到咯脑后咯？可是，月影别是那种人啊？六年多咯都别去攀附王爷那根高枝，怎么现在突然开窍咯？百思别解の水清根本别打算再理会月影，转身继续对秦顺儿说道：“就照我 刚才の吩咐去给爷传口信吧。”王爷听咯秦顺儿の回复，想想自己手边上只秦顺儿壹各人也确实是有些忙别过来，刚才之所以让两各丫环都留给水清，完全还是因为昨天晚上の 事情在赌气。现在看到水清主动让咯步，心里舒坦咯许多，于是就点头同意咯。秦顺儿见王爷别但同意咯，而且脸色有咯好转，他那心里也跟着高兴起来，于是忍别住就又多咯 壹句嘴：“启禀爷，月影那姑娘其实也想来伺候您呢，侧福晋没答应。”“啥啊？”那各情况大大出乎王爷の意料，再联想到昨天晚上月影那破天荒の殷勤劲儿，更是让他糊涂 别已！以前那丫头见着他就像老鼠见到猫似の，别是战战兢兢，就是退避三舍，偶尔他去咯怡然居，眼见着躲别掉咯，别得已只好硬着头皮上前来伺候他。而从昨天晚上开始の 月影那番脱胎换骨の巨大变化，简直是让他丈二和尚摸别到头脑咯！谢天谢地，幸好水清留下咯月影，否则他还真别晓得怎么面对她。于是他朝秦顺儿挥咯挥手，让他先退下咯。 吉尔听到秦顺儿の禀报，心中自是欢喜别已，辞别咯水清，赶快随着秦顺儿去王爷那里服侍，生怕壹会儿侧福晋又变咯卦。月影眼见着吉尔欢天喜地地去咯王爷那里，急得她顾 别得礼数，壹把拉住水清：“仆役啊！您怎么让吉尔壹各人去服侍爷咯？您怎么那么糊涂啊！”月影急别择言，如此大逆别道の话语未经大脑就脱口而出。好在水清与她壹直情 同姐妹，所以也没什么太在意她の失礼，只是笑咯笑，然后说道：“月影啊，您最近那是怎么？变得我都要别认识咯呢！您现在老老实实跟我交代，昨天晚上到底发生咯啥啊事 情，气得爷都别让您去跟前伺候咯呢。”第壹卷 第553章 和尚月影早就想跟水清好好地说壹说那各事情，现在见水清主动提咯起来，难得碍事の吉尔又别在身边，她也打算打 开天窗说亮话。虽然她们情同姐妹，但毕竟也有主仆之分，于是她先是费咯好大の劲儿才总算是略微压住咯心中の怒火，开口说道：“仆役，昨天晚上没什么发生啥
多面体欧拉公式的发现(2)
【课 题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（2）【教学目标】要求掌握用欧拉公式解决实际问题，特别是用来证明正多面体有且只有五种这一结论。
【教学重点】欧拉公式的应用.【教学难点】【教学过程】一、 复习引入1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式： 2V F E +-=．二、 讲解新课【例1】 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。
证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数2nF E = （1） 令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故共有mV 条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mV E =（2） 由（1）（2）得：2E F n =，2E V m =代入欧拉公式：222E E E m n+-=． ∴11112m n E +-= （3）， ∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，否则，若3m >，3n >，则有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的。
∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，则1111032m E +-=>，∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤． 同样若3m =可得35n ≤≤．【例2】 欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大贡献的三位科学家60是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目解：设C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有x 个和y 个.多面体的顶点数V =60，面数F =x +y ,棱数E =21（3×60），根据欧拉公式，可得 60+（x +y ）－21（3×60）=2 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即21（5x +6y ）=21（3×60） 由以上两方程可解得：x =12,y =20答：C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个.【例3】 一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数解：由题意设每一个面的边数为m ,则(2)20F m ππ-=，∴(2)20F m -=， ∵2mF E =，∴10E F =+, 将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n , 则62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m +=（1）, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥，∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或4n =时（1）中m 无整数解；当5n =,由（1）得3m =,∴30E =, ∴20F =，综上可知:30E =，12V =，20F =.【例4】 有没有棱数是7的简单多面体？具体说明理由。
多面体欧拉定理的发现
多面体欧拉定理的发现本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现，证明与完善，及其拓展应用前言多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导．有许多关于欧拉的传说。
比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。
有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。
欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。
而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。
瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。
欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+ F=2这个关系.V-E F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π（1736年）,i（1777年）,e （1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁．据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。
高二数学最新课件-多面体欧拉公式的发现 精品
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面 各有x个和y个。 多面体的顶点数V＝60，面数F＝x＋y， 棱数E＝1/2（3×60） 根据欧拉公式，可得 60＋（x＋y）－1/2（3×60）＝2 (1) 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 1/2（5x＋6y）＝1/2（3×60） 由以上两方程可解出 x＝12，y＝20 答：分子中形状为五边形和六边形的面各有12个 和60个。 (2)
故（1）不可能；
当V=4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面， 故（2）不可能. ∴没有棱数为7的简单多面体.
公式的应用探究
试一试3 已知一个十二面体共有8个顶点，其 中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相 同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？
学到了什么？
公式的应用探究
探究1 一个简单多面体的各面都是三角形， 且有6个顶点，求这个简单多面体的面数. 解：因为一个面都有3条边，每两条边合为 1条棱. 3F 所以它的面数F和棱数E之间有关系E= 2 . 又由欧拉公式V+F－E=2，且顶点数V=6. ∴F=E+2－V=E+2－6= ∴F=8
3F 2 －
公式的应用探究
试一试2 简单多面体每个面都是五边形， 且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面 体的面数、棱数、顶点数.
通过这个探究案例的学习，请大家归 纳棱数E的计算方法
公式的应用探究
探究3 有没有棱数为7的简单多面体？说明理由
解：假设一个简单多面体的棱E=7，它的面数为F，顶点数为V， 那么根据欧拉公式有V+F=E+2=9. 又多面体的面数F≥4,顶点数V≥4 ∴只能有两种情况： （1）F=4，V=5或（2）F=5，V=4 当F=4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，
多面体的欧拉公式是
多面体的欧拉公式是多面体的欧拉公式啊，这可是个挺有意思的数学知识！咱们先来说说啥是多面体。
简单来讲，多面体就是由若干个平面多边形围成的几何体。
像咱们常见的正方体、长方体、三棱锥等等，都是多面体。
那欧拉公式是啥呢？它说的是对于任何一个凸多面体，其顶点数V、棱数 E 和面数 F 之间，总是存在一个固定的关系，那就是 V - E + F =2 。
就拿正方体来说吧，它有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。
咱们来算算，8 - 12 + 6 ，正好等于 2 ，是不是很神奇？记得有一次，我给学生们讲这个欧拉公式。
当时有个小调皮，怎么都不相信这个公式能普遍适用。
我就拿出了一堆积木，有三角形的、正方形的、长方形的，让大家分组自己搭建不同的多面体，然后数一数顶点数、棱数和面数。
那场面，别提多热闹了！孩子们叽叽喳喳地讨论着，有的小组搭出了三棱柱，有的搭出了四棱锥。
最后大家算出来的结果，都符合欧拉公式。
那个一开始不相信的小调皮，眼睛瞪得圆圆的，嘴里直说：“这也太神奇啦！”咱们再深入讲讲这个公式的应用。
在解决一些几何问题的时候，欧拉公式可是能帮大忙的。
比如说，告诉你一个多面体的顶点数和面数，让你求棱数，直接代入公式就能算出来。
而且啊，欧拉公式不仅仅在数学里有用，在现实生活中也能找到它的影子呢。
就像建筑设计中，设计师们在构思一些独特的建筑造型时，可能就会用到这个公式来确保结构的合理性。
还有哦，对于喜欢玩拼图或者搭积木的小朋友来说，了解了欧拉公式，说不定能搭出更有趣、更复杂的造型呢！总之，多面体的欧拉公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多动手实践，就能发现其中的乐趣和奥秘。
希望大家都能跟这个神奇的公式成为好朋友，让它帮助咱们更好地探索数学的奇妙世界！。
多面体欧拉公式的发现(二)
●教学时间第十课时●课题§9.9.2 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（二）●教学目标（一）教学知识点1.欧拉公式的证明.2.欧拉公式的应用.（二）能力训练要求1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路.2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中.（三）德育渗透目标继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的应用.●教学难点欧拉公式的证明思路.●教学方法学导式本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中.●教具准备投影片三张第一张：课本P59问题5（1）（2）（记作§9.9.2 A）第二张：本课时教案例1（记作§9.9.2 B）第三张：本课时教案例2（记作§9.9.2 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨.Ⅱ.讲授新课［师］上节课我们已对课本P58的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？［生］将立体图形转化为平面图形.［师］好，前面，我们经常使用把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了.那么课本中是怎样实现转化的呢？［生］把多面体想成是用橡皮膜做成的，即课本P58图9—85的多面体，将它的底面ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，得到如图9—86相应的平面多边形.［师］在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的，但是不是又引起了我们原来多面体的V、F、E的改变了呢？为什么？［生］不会引起原来多面体中V 、E 、F 的变化，以上变化过程中只改变了原多面体各面的大小，各棱的长短，而V 、F 、E 这三个数与各面的大小、各棱的长短是无关的.［师］也就是说只要不改变每个面（多边形）的边数，不使顶点（棱或面）重合，无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短，V 、F 、E 这三个数就不变，当然，它们之间的关系也不会改变.好，下面请同学提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题.（学生思考整理问题，教师等待、耐心解答，可能会问到以下问题）①在课本P 59的3.计算多边形内角和（2）中n 1+n 2+…+n F 和多面体的棱数E 有什么关系？说明理由.（教师应给学讲清因为多面体每一条棱同属于两个面，所以有n 1+n 2+…+n F =2E ） ②怎样理解P 59的3.计算多边形内角和（4）中的“全体多边形”？（教师应给学生说清是各小多边形及最大多边形ABCDE ）③怎样说明为什么有“（E －F ）·360°=（V －2）·360°”?（教师应再次强调给学生：在变形过程中，原来多面体的面是几边形，它对应的仍是几边形，而多边形的内角和仅与边数有关，所以多面体各面多边形的内角和应等于图9—86中各小多边形及“最大”多边形（即多边形ABCDE ）的内角总和.［师］欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是：顶点数+面数－棱数，它总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数.下面，我们来应用欧拉定理.（打出投影片§9.9.2 A,读题）［师］问题5的（1）是关于化学上C 60分子的结构问题，也是欧拉公式的应用问题（以下过程教师板书）解：设C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有x 个和y 个.多面体的顶点数V =60，面数F =x +y ,棱数E =21（3×60），根据欧拉公式，可得 60+（x +y ）－21（3×60）=2 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即21（5x +6y ）=21（3×60） 由以上两方程可解得x =12,y =20答：C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个.［师］对于问题5（2）则通常先假设一个简单多面体的棱数E =7，再根据欧拉公式进行推理论证.（师生共同写出以下过程）解：假设一个简单多面体的棱数E =7，根据欧拉公式V +F －E =2，得V +F =7+2=9因多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4,所以只有两种情况：V =4，F =5或V =5，F =4，因为4个顶点的多面体只有是四面体，而四面体也只有4个面，所以上述两种情况（V +F =9）都不存在.答：没有棱数是7的简单多面体.［师］通过问题5两个小题的分析之后，你体会到解决（1）的关键是什么？［生甲］利用欧拉公式列出一个等式.［生乙］利用棱数与边数的关系列出一个等式.［师］甲、乙两位同学说得都对，解决（1）的关键就是找等量关系，即根据欧拉公式及棱数与边数的关系列出两个变量关系.再思考（1）中应用了数学的什么重要思想？［生］方程思想.［师］对，本题也旨在培养同学们利用方程解未知量的思想.对于解决（2）的关键又是什么呢？［生］V ≥4,F ≥4是一个几何体为凸多面体的必要条件.本题中抓住F =4与V =4必然同时成立引出矛盾.［师］这也是凸多面体具有的一条重要性质，希望同学们能够注意.继续体会欧拉公式的应用.（打出投影片§9.9.2 B,读题）［例1］已知，一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：V =2F －4.［师］欲求出V 与F 的关系，需结合已知条件寻找V 与E 的关系，再结合欧拉公式得出，具体如何做呢？［生］因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，所以有3V =2E 即E =23V .又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式，所以V +F －23V =2， 即2V +2F －3V =4.故得V =2F －4.［师］以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式.下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类.［生］每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.［师］对于“为什么只有五种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公式证明了. （打出投影片§9.9.2 C,读题）［例2］证明：正多面体只有四种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.［师］解决这个问题，应从什么地方入手考虑？［生］从正多面体的定义考虑.［师］同学们翻开课本P 63欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其中的证明思路与方法.（学生自学，教师查看，解决学生疑难问题）Ⅲ.课堂练习课本P 61习题9.9 3、4.P 61习题9.9 3:C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.答案：设有x 个五边形和y 个六边形∴F =x +y ,∵E =2370 =105∵V =70,E =21（5x +6y ） ∵⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++105)65(21210570y x y x 解之得x =12,y =25答：C 70分子中五边形为12个，六边形为25个.P 61习题9.9.4:设一个凸多面体有V 个顶点，求证它的各面多边形的内角总和为（V －2）· 360°.证明：设这一凸多面体的各面分别为n 1,n 2,…,n F 边形，则各面多边形内角和是（n 1－2）·180°+（n 2－2）·180°+…+（n F －2）·180°=（n 1+n 2+…+n F ）·180°－2F · 180°=（n 1+n 2+…+n F －2F ）·180°∵n 1+n 2+…+n F =2E∴原式=（E －F ）·360°∵V +F －E =2∴E －F =V －2∴原式=（V －2）·360°Ⅳ.课时小结本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想.另外，同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题.Ⅴ.课后作业（一）求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数.证明：设简单多面体的面数为F ，因为各面的边数为奇数，所以简单多面体各面边数的和为F 个奇数的和.即)12()12()12(++++++k n m .当把F 个面拼合成多面体时，两条边合成一条棱，则棱数E =22)(22)12()12()12(F F k n m k n m +=++++=++++++偶数 因为E 必须为整数，所以（偶数+F ）能被2整除，又因为（偶数+F ）中偶数能被2整除，所以F 必须被2整除，即F 必须为偶数.（二）1.预习内容课本P 651.球的概念和性质至P 66结束2.预习提纲（1）怎样给球定义呢？（2）准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念.（3）尝试归纳并证明球的性质.（4）结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度.（5）你是怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？①②。
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●教学时间第十课时●课题§9.9.2 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（二）●教学目标（一）教学知识点1.欧拉公式的证明.2.欧拉公式的应用.（二）能力训练要求1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路.2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中.（三）德育渗透目标继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的应用.●教学难点欧拉公式的证明思路.●教学方法学导式本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中.●教具准备投影片三张问题5（1）（2）（记作§9.9.2 A）第一张：课本P59第二张：本课时教案例1（记作§9.9.2 B）第三张：本课时教案例2（记作§9.9.2 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨.Ⅱ.讲授新课的欧拉公式的证明进行了自学，那么，［师］上节课我们已对课本P58谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？［生］将立体图形转化为平面图形.［师］好，前面，我们经常使用把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了.那么课本中是怎样实现转化的呢？［生］把多面体想成是用橡皮膜做成的，即课本P图9—85的多面体，58将它的底面ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，得到如图9—86相应的平面多边形.［师］在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的，但是不是又引起了我们原来多面体的V、F、E的改变了呢？为什么？［生］不会引起原来多面体中V、E、F的变化，以上变化过程中只改变了原多面体各面的大小，各棱的长短，而V、F、E这三个数与各面的大小、各棱的长短是无关的.［师］也就是说只要不改变每个面（多边形）的边数，不使顶点（棱或面）重合，无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短，V、F、E这三个数就不变，当然，它们之间的关系也不会改变.好，下面请同学提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题.（学生思考整理问题，教师等待、耐心解答，可能会问到以下问题）的3.计算多边形内角和（2）中n1+n2+…+n F和多面体的棱①在课本P59数E有什么关系？说明理由.（教师应给学讲清因为多面体每一条棱同属于两个面，所以有n1+n2+…+n F=2E）的3.计算多边形内角和（4）中的“全体多边形”？②怎样理解P59（教师应给学生说清是各小多边形及最大多边形ABCDE）③怎样说明为什么有“（E－F）·360°=（V－2）·360°”?（教师应再次强调给学生：在变形过程中，原来多面体的面是几边形，它对应的仍是几边形，而多边形的内角和仅与边数有关，所以多面体各面多边形的内角和应等于图9—86中各小多边形及“最大”多边形（即多边形ABCDE ）的内角总和.［师］欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是：顶点数+面数－棱数，它总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数.下面，我们来应用欧拉定理.（打出投影片§9.9.2 A,读题）［师］问题5的（1）是关于化学上C 60分子的结构问题，也是欧拉公式的应用问题（以下过程教师板书）解：设C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有x 个和y 个.多面体的顶点数V =60，面数F =x +y ,棱数E =21（3×60），根据欧拉公式，可得60+（x +y ）－21（3×60）=2另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即21（5x +6y ）=21（3×60） 由以上两方程可解得x =12,y =20答：C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个.［师］对于问题5（2）则通常先假设一个简单多面体的棱数E =7，再根据欧拉公式进行推理论证.（师生共同写出以下过程）解：假设一个简单多面体的棱数E =7，根据欧拉公式V +F －E =2，得 V +F =7+2=9因多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4,所以只有两种情况：V=4，F=5或V=5，F=4，因为4个顶点的多面体只有是四面体，而四面体也只有4个面，所以上述两种情况（V+F=9）都不存在.答：没有棱数是7的简单多面体.［师］通过问题5两个小题的分析之后，你体会到解决（1）的关键是什么？［生甲］利用欧拉公式列出一个等式.［生乙］利用棱数与边数的关系列出一个等式.［师］甲、乙两位同学说得都对，解决（1）的关键就是找等量关系，即根据欧拉公式及棱数与边数的关系列出两个变量关系.再思考（1）中应用了数学的什么重要思想？［生］方程思想.［师］对，本题也旨在培养同学们利用方程解未知量的思想.对于解决（2）的关键又是什么呢？［生］V≥4,F≥4是一个几何体为凸多面体的必要条件.本题中抓住F=4与V=4必然同时成立引出矛盾.［师］这也是凸多面体具有的一条重要性质，希望同学们能够注意.继续体会欧拉公式的应用.（打出投影片§9.9.2 B,读题）［例1］已知，一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：V=2F －4.［师］欲求出V与F的关系，需结合已知条件寻找V与E的关系，再结合欧拉公式得出，具体如何做呢？［生］因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，3V.又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧所以有3V=2E即E=23V=2，拉公式，所以V+F－2即2V+2F－3V=4.故得V=2F－4.［师］以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式.下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类.［生］每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.［师］对于“为什么只有五种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公式证明了.（打出投影片§9.9.2 C,读题）［例2］证明：正多面体只有四种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.［师］解决这个问题，应从什么地方入手考虑？［生］从正多面体的定义考虑.欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体［师］同学们翻开课本P63会其中的证明思路与方法.（学生自学，教师查看，解决学生疑难问题）Ⅲ.课堂练习课本P61习题9.9 3、4.P61习题9.9 3:C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C70分子中五边形和六边形的个数.答案：设有x个五边形和y个六边形∴F=x+y,∵E=2370 =105∵V=70,E=21（5x+6y）解之得x=12,y=25答：C70分子中五边形为12个，六边形为25个.P61习题9.9.4:设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形的内角总和为（V－2）·360°.证明：设这一凸多面体的各面分别为n1,n2,…,n F边形，则各面多边形内角和是（n1－2）·180°+（n2－2）·180°+…+（n F－2）·180°=（n1+n2+…+n F）·180°－2F·180°=（n1+n2+…+n F－2F）·180°∵n1+n2+…+n F=2E∴原式=（E－F）·360°∵V+F－E=2∴E－F=V－2∴原式=（V －2）·360°Ⅳ.课时小结本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想.另外，同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题.Ⅴ.课后作业（一）求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数.证明：设简单多面体的面数为F ，因为各面的边数为奇数，所以简单多面体各面边数的和为F 个奇数的和.即444444844444476Λ)12()12()12(++++++k n m .当把F 个面拼合成多面体时，两条边合成一条棱，则棱数E =22)(22)12()12()12(F F k n m k n m +=++++=++++++偶数Λ444444844444476Λ 因为E 必须为整数，所以（偶数+F ）能被2整除，又因为（偶数+F ）中偶数能被2整除，所以F 必须被2整除，即F 必须为偶数.（二）1.预习内容课本P 651.球的概念和性质至P 66结束2.预习提纲（1）怎样给球定义呢？（2）准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念.（3）尝试归纳并证明球的性质.（4）结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度.（5）你是怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？●板书设计希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。
不如积阴德于冥冥之中，此乃万世传家之宝训也。
2、积德为产业，强胜于美宅良田。
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