有理数及其分类
七年级上册第二章有理数知识点汇总
第二章有理数及其运算一、有理数的意义1.有理数的分类知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3， 5.2也可写作+3，+5.2；零既不是正数，也不是负数。
或2.数轴知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线； 数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数3. 相反数知识点:只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。
4. 绝对值知识点：数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a＞0，则∣a∣＝a. 若a＝0，则∣a∣＝0. 若a＜0，则∣a∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a与b之间的距离为：∣a－b∣。
二、有理数的运算1. 有理数的加法知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和0相加仍得这个数。
加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：a+b+c=a+（b+c）多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。
有理数的概念及分类
有理数的概念及分类
有理数是可以表示为两个整数的比的数，它们可以是正数、负数或零。
有理数包括整数、分数和小数。
下面是有理数的几种分类：
1. 正有理数：正有理数是大于零的有理数，可以用正整数表示。
2. 负有理数：负有理数是小于零的有理数，可以用负整数表示。
3. 整数：整数是正整数、负整数和零的集合。
4. 分数：分数是形如a/b 的有理数，其中a 是整数，b 是非零整数。
分数包括真分数（分子小于分母）和假分数（分子大于分母）。
5. 小数：小数是有理数的一种表达形式。
小数可以是有限小数，即小数部分有限位数；也可以是无限循环小数，即小数部分有限位数，但重复出现。
总之，有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和小数。
它们可以被分为正有理数、负有理数、整数、分数和小数等不同的分类。
有理数分类
有理数分类简介有理数是指可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。
在数学中，有理数是一类非常重要且常见的数。
本文将介绍有理数的基本概念和分类。
有理数的定义有理数可以用两个整数的比来表示。
一个有理数可以写成 a/b 的形式，其中 a和 b 是整数，而且 b 不为零。
有理数既可以是正数，也可以是负数，还可以是零。
有理数的分类根据有理数的大小和性质，可以将有理数分为以下几类：整数整数是不带小数部分的有理数。
整数可以是正数、负数或零。
例如：-3、0、5都是整数。
正有理数正有理数指大于零的有理数。
正有理数可以写成 a/b 的形式，其中 a 和 b 都是正整数。
例如：1/2、3/4 都是正有理数。
负有理数负有理数指小于零的有理数。
负有理数可以写成 -a/b 的形式，其中 a 和 b 都是正整数。
例如：-1/2、-3/4 都是负有理数。
分数分数是指有理数的一种常见形式，它是一个整数与一个非零整数的比值。
分数可以是正数、负数或零。
例如：2/3、-5/2 都是分数。
有限小数有限小数指小数部分有限的有理数。
例如：0.5、1.25 都是有限小数。
无限循环小数无限循环小数指小数部分有无限循环数字的有理数。
循环数字是指一个或多个数字无限重复的数字序列。
例如：1/3、5/6 都是无限循环小数。
有理数的比较有理数之间可以进行比较。
要比较两个有理数的大小，可以比较它们的分子和分母的比值。
具体比较规则如下：•如果两个有理数的分母相同，那么它们的大小取决于分子的大小。
•如果两个有理数的分母不同，可以通过通分的方式将它们的分母变为相同，然后比较它们的分子的大小。
有理数的运算有理数之间可以进行四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
有理数的四则运算规则如下：•加法：两个有理数相加，可以先找到它们的公共分母，然后将分子相加，再将结果化简为最简形式。
•减法：两个有理数相减，可以先找到它们的公共分母，然后将分子相减，再将结果化简为最简形式。
有理数的概念及分类
有理数的概念及分类知识点一 具有相反意义的量1.常见的具有相反意义的量：向东走3 m 和向西走7 m ，收人200元和支出20元上升，100m 和下降200m 等2.表示方法：把其中一种意义的量规定为正的，用正数来表示;把与它意义相反的量规定为负的，用负数来表示3.具有相反意义的量的正负性是相对的，而且是可以互换的，例如:若规定亏损5万元为+5万元，则盈利8万元为-8万元温馨提示在表示具有相反意义的量时,若一种量带有单位，则与之意义相反的量也要带单位;规定哪种意义的量为正可以任意选择，规定正的量后要把与之意义相反的量规定为负，如把“上升高度”“零上温度”“收人钱数"等规定为正,把“下降高度”“零下温度”“支出钱数”等规定为负;必须要有明确的基准，所选择的基准不同，计数的结果也不同例1 (1)在一 次知识竞赛中，如果加10分用+10分表示，那么扣20分应表示为 _____分;(2)设前进为正，则前进20米记作_________米,原地不动记作际意义是_______米;(3)在图纸上零件的尺寸为(25±0.003)m,甲工人加工出来的零件的尺寸为25.002 mm,乙工人加工出来的零件的尺寸为24,995 mm,则________工人加工出来的零件合格，合格的零件允许的最小尺寸是_______mm,知识点二 正数和负数正数：在已学过的数（0除外）的前面添加上“+”所得的数叫正数，如+1.2，+20等 正数中“+”可以省略不写负数：在已学过的数（0除外）的前面添加上“—”所得的数叫负数，如—1.8，-20等 负数中“—”可以省略不写注意：0既不是正数也不是负数例2：在14.3,910%,10,2012,98.1,0,213,2-+--+ 中，正数比负数多（ ） A.3个 B.2个 C.3个 D.4个知识点三 有理数的概念及分类1. 有理数整数和分数统称为有理数正整数、0、负整数统称为整数正分数和负分数统称为分数2. 有理数的分类（1）按照定义分类 （2）按照性质分数知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，所以有限小数和无限循环小数都是有理数，但并不是所有小数都是有理数，无限不循环小数就不是有理数，如1.1010010001.....（每两个1之间0的个数逐次增加一）注意：1.习惯上把正数和零统称为非负数，把负数和零统称为非正数，把正整数和零统称为非负整数2.有理数的分类标准不同，分类结果也不同，要特别注意分类结果应不重不漏，即在一种方法中，每一个数必须属于某一类，且不能同时属于不同类例3 把下列各数分别填入相应的大括号里：%18,11.0,0,722,618.0,6.0,2019,1,14.3,06.2---+-∙ 正数：{ } 非负整数：{ }整数：{ } 负分数： { }经典例题全解题型一 运用正、负数表示具有相反意义的量( 1)如果收人1 800元记作+1 800元，那么支出360元记作___________,- 300元表示__________(2)仪表的指针顺时针旋转45°记作-45° ,那么逆时针旋转__________,15°记作__________(3)如果气温是零上15 °c 记作+15 °c,那么气温比0无低2°C,记作___________(4)若把比海平面高规定为正,则+45 m 表示_____________,0 m 表示_______________题型二 正负数的实际应用例2 体育课时，老师对某班学生进行引体向上测试，规定完成7个引体向上为达标，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名学生的成绩如下表：问：这8名学生的达标率为百分之几？他们共做了多少个引体向上？题型三 与正、负数有关的规律探究题例3 观察下面依次排列的数，请直接写出后面的3个数，并写出第15个数，第101个数，第2018个数（1）-1，-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8，__________,___________,____________,.（2）,81,7,61,5,41,3,21,1---- ____________,_____________,________________易错点 负数的意义理解不清例 水面上升-8米的含义是什么？练习：1. 【中考·天水】四个数-3,0,1,π中的负数是（）A.-3B.0C.1D.π2. 【中考·丽水】在数1,0,-1,-2中,最大的是( )A.1B.0C.-1D.13. 【中考·新疆】下列四个数中,最小的是( )A.-1B.0C.1D.34.[中考·遵义】在0,-2,4,-0.3中,负数的个数是( )A.1B.2C.3D.45.下列关于0的叙述,正确的有( ）①0是正数与负数的分界;②0比任何负数都大③0只表示没有;④40常用来表示某种量的基准A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列判断正确的个数是()①带“+”号的数是正数,带“一”号的数是负数;②任意一个正数,前面加上“-”号,就是一个负数;③大于零的数是正数;④一个数不是正数,就是负数A.0B.1C.2D.37.下列不是具有相反意义的量的是( )A.前进5m和后退5mB.节约3t和浪费10tC.身高增加2cm和体重减少2kgD.超过5g和不足2g8.【中考·成都】《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数若气温为零上10℃记作+10℃,则-3℃表示气温为( )A.零上3℃B.零下3℃C.零上7℃D.零下7℃9.【中考·六盘水】大米包装袋上(10±0.1)kg的标识表示此袋大米重( )A.(9.9~10.1)kgB.10.1kC 9.9 kgD. 10 kg易错点：对0的认识不正确而出错10.下列说法正确的是()A.0是正数,不是负数B.0既不是正数,也不是负数C.0既是正数,也是负数D.不是正数的数一定是负数,不是负数的数一定是正数练习21.【中考·丽水】在数0,2,-3,-1.2中,属于负整数的是( )A.0B.2 C-3 D.-1.2 2.-21不属于( ) A.负数B.分数C.负分数D.整数3.下列说法不正确的是( )A.-0.5不是分数B.0是整数C.不是整数D.-2既是负数又是整数4.下列关于“0”的说法正确的是(①是整数,也是有理数;②不是正数,也不是负数;③不是整数,是有理数;④是整数,不是自然数A.①④B.②③C.①②D.①③5.在有理数中,不存在 （ ）A.既是整数,又是负数的数B.既不是正数,也不是负数的数C.既是正数,又是负数的数D.既是分数,又是负数的数6.下列说法错误的是 ( )A.负整数和负分数统称为负有理数B.正整数、负整数和0统称为整数C.正有理数和负有理数统称为有理数D.0是整数,但不是分数7.下列选项中,正确的是( )A.正数:{2,1,5，21}B.非负数:{0,-1,-2.5}C.分数:{-2.5,5.31} D.整数:{3，21 -5 }8.A ，B ，C ，中所含有的数都写在下面的大括号例，请把这些数填入如图所示的三个圈内。
有理数复习
5、有理数比较大小 、
⑴利用数轴：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边数的大。 利用数轴：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边数的大。 有理数比较法则： ⑵有理数比较法则： 正数大于0 负数小于0 正数大于负数； 正数大于0，负数小于0，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小。 两个负数，绝对值大的反而小。 比较大小: >”、 <”或 =”填空 填空） 例10 比较大小: （用“>”、“<”或“=”填空） -3.3 < 0 , 6 > -8 ,0
|=16,则 ____。 例7 若|x|=16,则x = ±16 。 |=16, ____ 、 、 、 __个 例8 绝对值不大于3的整数有 7 个，分别是±3、 ±2、 ±1、0 。 绝对值不大于3 __ 表示数轴上数a、 两点间的距离 两点间的距离． 表示数轴上数 应用： ⑷应用： |a – b|表示数轴上数 、b两点间的距离． 、 。 在数轴上与表示- 的点相距4 例9 在数轴上与表示-1的点相距4个单位长度的点表示的数是 3、-5
−12 1) = −4 ( 3 −24 = 3 ( 2) −16 2
⑸乘方： 乘方：
①概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。 概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。 a n = a × a × ⋯× a 求法： ②求法： 乘方运算可以化为乘法运算进行： 乘方运算可以化为乘法运算进行： 符号法则：正数的任何次幂都是正数。 ③符号法则：正数的任何次幂都是正数。 n 负数和分数的乘方书写时 的乘方书写时， 负数和分数的乘方书写时， 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 一定要把整个负数和分数 0的任何次幂都是 。 的任何次幂都是0。 的任何次幂都是 小括号括起来 括起来。 用小括号括起来。 例13 计算： 计算：
有理数知识点整理
有理数考点1、正数和负数正数：大于零的数负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数考点2、有理数1、有理数的分类按定义分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 按性质符号分：有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0 注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。
2、0是整数不是分数2、数轴（重点）定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
（4）同一数轴的单位长度必须一致1、 相反数（重点）定义：只有符号不同．．．．的两个数叫做相反数．．．。
（在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。
）相反数的表示方法及多重符号的化简：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-=>-<>>0a ,00a ,00,0则当则当则－当a a a a4、绝对值（难点）绝对值的定义：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记为 ∣a ∣，读作：a 的绝对值因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。
即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0）绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身2）一个负数的绝对值是它的相反数3）0的绝对值是0绝对值的计算规律：（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等（2） 若b a =，则a=b 或a=-b ；（3） 若0,0,0===+b a b a 则5、有理数的大小比较（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数（2）两个负数，绝对值大的反而小考点3、有理数的加减（重难点）1、有理数加法（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得零；（4）一个数与零相加，仍得这个数。
初中一年级数学知识点总结第二章 有理数及其运算
初中一年级数学知识点总结第二章有理数及其运算1、有理数的分类正有理数有理数零负有理数或整数有理数分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。
4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的运算：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方（2）有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法对加法的分配律第三章字母表示数1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
4、去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
5、整式的运算：整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
第四章平面图形及其位置关系1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。
线段有两个端点。
2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线有一个端点。
初高中数学重点知识、高频考点：实数、有理数、无理数间的关系及其分类
实数、有理数、无理数的分类实数可以分成两类：有理数和无理数。
实数也可以按照符号正负分成三类：正实数、负实数、0.有理数和无理数的本质区别在于：有理数与两个整数之比等价，而无理数则与一个无限不循环小数等价。
一、常见的有理数类型（一）有理数的分类法一、常见的有理数类型有如下几种。
1.整数：所有的整数都是有理数。
2.小数：小数里的有限小数、无限循环小数都是有理数。
3.分数：因为所有的分数不是与一个有限小数等价，就是与一个无限循环小数等价。
即，分数化成小数的结果不是一个有限小数，就是一个无限循环小数。
而这两种类型的小数都是有理数，所以，所有的分数都是有理数。
值得注意的是，在所有根式中，如果根式开方后的结果能化为上面几种常见有理数的形式中的一种的话，那么这个根式代表的实数也是有理数。
如：因为8的立方根等于2，-64的立方根等于-4，所以8和-64的立方根都是有理数。
（二）有理数的分类法二、按符号正负来分把“有理数的分类法一”里面的有理数按正负来分的话，有理数又能分为三类：正有理数、负有理数和0.二、常见的无理数类型（一）无理数的分类法一、常见的无理数类型有如下几种。
1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e 等。
2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。
一般来说，两个正无理数的和仍是无理数。
如π+e、2e（e+e=2e）、2π（π+π=2π）、“2倍的根号2”等。
两个正无理数的差、积、商不一定是无理数。
如π-e 的结果是无理数，但π-π=0、根号2的平方等于1、e÷e=1的算式结果都是有理数.（二）无理数的分类法二、按符号正负来分把“无理数的分类法一”里面的无理数按正负来分的话，无理数又能分为两类：正无理数、负有理数.三、图形表示1、有理数的两种分类方法（1）0⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数负有理数（2）⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所有整数分数有理数开方能开尽的整数、分数和小数有限小数无限循环小数2、无理数的两种分类方法（1）⎧⎪⎨⎪⎩正无理数无理数负无理数（注意：0不是无理数）（2）⎧⎪⎨⎪⎩无限不循环小数无理数根式中开方开不尽的数①无限不循环小数如：π、e……。
北师大版七年级上册2.1有理数及其分类(教案)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的定义和分类这两个重点。对于难点部分，如负分数的理解，我会通过举例和数轴来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟个与有理数相关的实际问题，如温度变化、收入支出等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的数轴操作。这个操作将演示有理数的大小比较和分类。
举例：强调整数和分数都属于有理数的范畴，如3、-5、2/3、-4/5都是有理数。
（2）有理数的分类：掌握有理数的分类，能正确区分整数、正分数和负分数。
举例：通过具体的例子，让学生理解正分数和负分数的概念，如2/3是正分数，-3/4是负分数。
（3）有理数的性质：理解并掌握有理数的性质，为后续的有理数运算打下基础。
3.有理数的性质：
a.任何两个有理数相加，其结果仍为有理数；
b.任何两个有理数相乘，其结果仍为有理数；
c.任何非零有理数的倒数是有理数。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过引导学生探究有理数的定义和分类，使其理解数的概念的拓展，提高数学抽象思维能力。
在实践活动环节，学生们的参与度较高，分组讨论和实验操作进行得也比较顺利。但时间安排上可能有些紧张，导致部分小组的成果展示不够充分。在以后的教学中，我可以适当调整时间分配，确保每个小组都有足够的时间展示他们的成果。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生在讨论中过于依赖课本，缺乏自己的思考。为了培养学生的独立思考能力，我可以在讨论前提供一些引导性的问题，鼓励他们提出自己的观点。
七年级数学第二章有理数及其运算知识点总结
第二章 有理数及其运算1、有理数的分类2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用.1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 2）在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大 3）正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零1)数a 的相反数是—a(a 是任意一个有理数） 2）0的相反数是0.3）若a 、b 互为相反数，则a+b=0.4、倒数:如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和—1。
零没有倒数.5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
数a 的绝对值记作︱a ︱1) 对任何有理数a ，总有︱a ︱≥0.2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若｜a ｜有理数整数分数正整数（自然数）零 负整数 正分数 负分数正数 零 负数正整数 正分数负整数 负分数有理数=a,则a≥0；若|a|=—a，则a≤0。
3）若a＞0,则︱a︱= a ;若a＜0，则︱a︱= —a ;若a =0,则︱a︱= 0 ;6、有理数比较大小：1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数;2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大;3）两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的运算：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方(2）有理数的运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的,对只含乘除,或只含加减的运算，应从左往右运算。
（3）运算法则1)有理数加法法则①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两数相加得0；2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即a—b=a+(-b)3)有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘,都得0.①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时，积为负；当因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
1有理数的定义及其分类
有理数的分类
例题 2．把下列各数填入它所属于的集合的 圈内：
5 15，0，-5， 6
7 ， 2 ，0.1，-5.32，-80，55％，123，2.333．
思维导图 有理数的定义：整数和分数统称为有理数
有理数
按定义分
有理数的两种分类
0 的特殊性
按性质符号分
有理数
正有理数 0
负有理数
正分数 负整数
负分数
典型例题 整数、分数与正负数之间的联系 例题 1．下列说法错误的是（ ） A．负整数和负分数统称负有理数 C．正有理数与负有理数组成全体有理数
B．正整数、0、负整数统称为整数 D．3.26 是小数，也是分数
【方法点拨】谨记 0 的特殊性是解题的关键（0 是整数，太不是正数也不是负数） 【解析】正有理数与负有理数和 0 组成全体有理数，所以 C说法错误；小数就是分数，所 以 D 说法正确。
第一章 有理数
知识点精讲
第一节 有理数的定义及其分类
知识点一、有理数的定义
我们为了表示日常生活中具有相反意义量又引进了负数
正整数、0、负整数统称整数；
正分数和负分数统称分数；
整数和分数统称有理数
知识点二、有理数的分类
一、 按定义 正整数
整数 0
有理数
负整数
分数
正分数 负分数
二、 按性质符号 正整数
有理数的概念和分类
有理数的概念和分类一、有理数的概念和分类1、有理数（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。
其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。
② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。
其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。
2、数轴（1）数轴的定义在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。
（2）数轴上的点和有理数一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。
3、相反数（1）相反数像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。
这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
（2）几何意义互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
（3）相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。
正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。
4、绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。
有理数的分类和数集(2)
有理数的分类和数集知识回顾：如 1 ,2 ,3 ，...这样的数叫正整数；如 -1 ，-2 ，-3 ，... 这样的数叫负整数；如 12 ,23 ,156,0.1 , 5.23 ，... 这样的数叫正分数； 如 -0.4，- 52 ，- 175，-121.25，... 这样的数叫负分数； 总结：1.正整数、0和负整数统称为整数；2.正分数、负分数统称为分数；3.正整数和0统称为自然数；有理数：整数（可看做分母为1的分数）和分数统称为有理数；总结：我们把整数看做分母为1的分数，也就是说：只要一个数能化成分数我们就叫它有理数；到现在为止我们学过的数(除圆周率外)都是有理数；有理数的性质分类和定义分类：有理数的分类要注意的几点：①百分数是分数；②能约分化成整数的数是分数；例如：153,200％ ③有限小数、无限循环小数是有理数；④无限不循环小数不是有理数；例如：π总结：正数不属于有理数也和正有理数不同：例如：π是正数，但不是有理数和正有理数；例题：一．判断对错：1. 无限小数都不是有理数 （ ）2. 最小的有理数是0，最大的有理数不存在 （ ）3. 小数1.01001000100001...和0.010*******...是有理数 （ ）4. 所有的正整数都是自然数 （ ）5. 一个整数不是正数就是负数 （ ）6. 最小的整数是0 （ ）7. 负数中没有最大的数 （ ）8. 自然数一定是正整数 （ ）9. 0是整数，但不是正数 （ ）10. 正数和负数统称为有理数 （ ）11. 非负有理数是指正数和0 （ ）12. 负分数一定是负有理数 （ ）13. 整数、有限小数和无限循环小数统称为有理数 （ ）14. 正数和负数统称为有理数 （ ）15. 正整数、负整数、正分数和负分数统称为有理数 （ ）16. 一个有理数不是整数就是分数 （ ）17. 一个数不是整数就是分数 （ ）18. 0既不是奇数也不是偶数 （ ）19. 正数是正有理数 （ ）二．填空：1.如果用字母a 表示非正数，那么-a 包括（ ）A.正数B.正数和0C.负数D.负数和02.下列说法正确的是（ ）A.有最小的正数B.有最大的负数C.有最小的整数D.有最小的正整数3.下列说法错误的是（ ）A.π是无限不循环小数，所以π不是有理数B.-2,-4，-6，...不是偶数C.π/2不是分数D.0.7=7/9,所以0.7是分数4.下列说法错误的是（ ）A.小数是有理数B.有理数都能写成小数C.凡是有理数都能化成分数D.凡能化成分数的数都是有理数5.下列说法正确的是（ ）A.因为π的取值是3.14，所以π为有理数B.因为16/8等于2，所以16/8不是分数是整数C.π不是有理数，但π是正数D.0.7是无限小数，所以0.7不是有理数 用集合表示有理数的两种方法：例题：1.把下列各数填在相应集合内：-3,+12 ,0.4,π，227 ,-0.6,+300％，3.14,- 25 ,0 ,-40％, 62，-80 ,123， 正数集合：｛ ，…｝负数集合：｛ ，…｝整数集合：｛ ，…｝分数集合：｛ ，…｝非负数集合：｛ ，…｝非正数集合：｛ ，…｝自然数集合：｛ ，…｝正整数集合：｛ ，…｝负整数集合：｛ ，…｝正分数集合：｛ ，…｝负分数集合：｛ ，…｝正有理数集合：｛ ，…｝负有理数集合：｛ ，…｝有理数集合：｛ ，…｝2.把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：π,142875.0,0,618.0,25,2.1,22,18---负分数集合 非负整数集 正有理数集 有理数集整数集合 分数集合 非正数集合 非负数集合3.有公共部分的两个数集的是（ ）A.正数集和负数集B.负数集和整数集C.整数集和分数集 D 非负数集和负数集 4正整数集和负整数集在一起构成的集合是（ ）A.整数集合B.有理数集合C.自然数集合D.非0整数集合。
初一数学有理数知识点归纳
解读有理数的有关概念一、正数与负数：1.正数：大于0的数叫正数;像+1.8,+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数;为了强调正数,前面加上“+”号,也可以省略不写;2.负数：小于0的数叫负数;像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等;※而负数前面带“－”号,而且不能省略;3.零既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界点;注意：对于正数与负数,不能简单地理解为：带“+”号的数是正数,带“－”号的数是负数;例如－a不一定是负数,因为字母a代表任何一个有理数,当a是0时,－a是0,当a是负数时,－a是正数;二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数;整数包括三类：正整数、零、负整数;分数包括两类：正分数和负分数;注意：小学学过的零表示没有,而引入负数后,就不能把“零”完全当作没有了,如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数,除和与有关的数外,其他的数都是有理数；引入负数后,数的范围扩大为有理数,奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数;三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴;注意：①数轴是一条直线,可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定,都是根据实际需要而定的;2.数轴的画法：1一条水平的直线；2直线的适当位置选取一点作为原点,并用0表示这点；3定向右为正方向,用箭头表示出来；4选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次为1,2,3,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次为－1,－2,－3; 四、相反数：代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数;如-2和2.规定零的相反数是零;几何意义：位于原点的两侧且与原点的距离相等的点所表示的两个数;注意：相反数是成对出现的,不能单独存在,如+2与－2互为相反数,说明+2的相反数是-2,-2的相反数是+2,单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数;五、绝对值：绝对值的几何定义：在数轴上,表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值,记作|a|;绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零,再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性;也就是任何一个有理数的绝对值都是非负数;六、倒数定义：乘积为1的两个有理数互为倒数;倒数的求法：求一个数的倒数,直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数,应先将带分数化成假分数,再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数,应先将小数化成分数,然后再求倒数;只有零没有倒数,其他任何有理数都有倒数;正数的倒数为正数,负数的倒数为负数;七、有理数大小的比较：1任意有理数大小的比较法则：正数都大于零,负数都小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小;比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出正确判断;2.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;于是：正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数;八、基本运算1、有理数的加法法则：同号两数相加,取相同的符号,并把其绝对值相加；异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加,仍得这个数;2、有理数的减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数;3、有理数的乘法法则：两数相乘,同号得正,异号得负,并把其绝对值相乘；几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数个时,积为负；当负因数的个数为偶数个时,积为正;任何数与零相乘,都得零；4、有理数的除法法则：两数相除,同号得正,异号得负,并把其绝对值相除；零除以任何一个不为零的数,都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒零不能作除数;九、乘方乘方的定义：求几个相同因数积的运算;乘方的结果叫做幂;在a n中a 叫做底数,n叫做指数;读作a的n次方,看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂;运算法则：负数的奇次幂为负数,奇数的偶次幂为正数,正数的任何次幂都是正数0的任何正整数次幂都为0十二、有理数的运算顺序先乘方,再乘除,最后加减；有括号时,先算括号里面的；十二、近似数、有效数字与科学计数法近似数：一个与实际数比较接近的数,称为近似数;有效数字：对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字开始,到最末一个数字止,都是这个近似数的有效数字;科学计数法：把一个数记作a×10n形式其中1≤a≤10,n为整数;有理数的混合运算有理数的加法法则是：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加,仍得这个数.有理数减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数有理数的乘法法则两数相乘,同号得正、异号得负,绝对值相乘.任何数与0相乘,积仍为0.有理数除法法则是：法则1：两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何非0的数都得0.法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数.有理数运算律加法交换律a+b=b+a；加法结合律a+b+c=a+b+c；乘法交换律ab=ba 乘法分配律ab+c=ab+ac乘法结合律abc=abc；。
有理数的三种分类方法
有理数的三种分类方法以有理数的三种分类方法为标题，我们来探讨一下有理数的分类方法。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
在数学中，我们可以将有理数按照三种不同的分类方法进行划分，即整数、正有理数和负有理数。
整数是最简单的有理数。
整数包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，例如1、2、3等；负整数是小于零的整数，例如-1、-2、-3等；零是没有方向的整数，既不是正整数也不是负整数。
正有理数是大于零的有理数，可以表示为一个正整数的比值。
例如，1/2、3/4、5/6等都是正有理数。
正有理数可以用分数形式来表示，其中分子是正整数，分母是正整数。
负有理数是小于零的有理数，可以表示为一个负整数的比值。
例如，-1/2、-3/4、-5/6等都是负有理数。
负有理数也可以用分数形式来表示，其中分子是负整数，分母是正整数。
通过以上三种分类方法，我们可以清晰地将有理数进行划分。
整数包括正整数、负整数和零；正有理数是大于零的有理数，可以用分数形式表示；负有理数是小于零的有理数，也可以用分数形式表示。
除了这三种分类方法，有理数还可以按照大小进行排序。
我们可以通过比较有理数的大小来进行排序，从小到大或从大到小排列。
例如，-2/3、0、1/2、2/3、1等有理数可以按照从小到大的顺序排列。
有理数的分类方法不仅可以帮助我们更好地理解和运用有理数，还可以应用到实际生活中。
例如，在温度计上，我们可以用负有理数表示低于摄氏零度的温度，用正有理数表示高于摄氏零度的温度。
有理数是一类可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
我们可以按照整数、正有理数和负有理数的分类方法对有理数进行划分。
这种分类方法可以帮助我们更好地理解和运用有理数，同时也可以应用到实际生活中。
有理数的定义和分类
单击此处添加副标题
演讲者：
有理数的概念
请言简意赅的阐述您的观点。
01
请言简意赅的阐述您的观点。
02
你会把我们所学过的所有的数进行分类吗? 问 题 思 考
请你将到目前为止学过的数进行分类 正整数：如 1、2、3…… 零： 0 负整数：如－1、－2、－3… 有理数 整数 分数 正分数: 如 1/2 、1/3、5.2 负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
若a是负数，则－a是_______数，若－a是负数，则a是____________数。
正整数集合与正分数集合合在一起是_______集合，既不是正整数也不是负整数的整数是___________。
甲地的海拔－22m，乙地海拔－18m，则____地比____地要高些。
是负数而不是整数的数是__________数，既不是分数也不是正数的数是__________。
一、选择题
一、选择题 1．下列说法中正确的个数有（ ） ①－3是负分数；②2.4不是整数；③非负有理数不包括零；④正整数、负整数统称为整数；⑤0是最小的有理数。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的个数为（ ） ①0是整数 ②负分数一定是负有理数 ③一个数不是正数就是负数 A．0个 B．2个 C．3个 D．1个 3．下列说法正确的是 A．有最大的负数，没有最小的正数 B．没有最大的有理数，也没有最小的有理数 C．有最大的非负数，没有最小的非负数 D．有最大的负数，没有最小的正数
正整数中有没有最小的数？________。正整数中有没有最大的数?_______。负整数中有没有最小的数?_________．正数中有没有最大的数?_________负数中有没有最小的数?______。负数中有没有最大的数?___________。
有理数的分类
有理数的分类1.（1）有理数由两部分组成：符号部分和数字部分。
（2）像+3、+8、等在正数前面加“+”叫做正数（3）像－3、－1.5、等在正数前面加“－”叫做负数。
负数比0小。
（4）零即不是正数也不是负数，对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。
因为字母a可以表示任意的数，若a 表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数），如：当a=－5时，－（－5）=5。
（5）有理数：整数和分数统称为有理数。
我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
“0”是整数，但不是正整数。
（6）整数包括正整数、零、负整数，分数包括正分数和负分数。
数轴的作用数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。
数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在关系，并由此成为数形结合的基础。
数轴的概念数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示。
正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）数轴三要素1在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。
2确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。
3选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11.下列计算正确的是( D )
A. 1 2 2 1
2
2
B.
5
1 2
4
1 2
C. 5 3 2
D. 12 22 23 2
12、写出大于－4.1且小于2.5的所有整数， 数并把它们在数轴上表示出来.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
大于－4.1且小于2.5的所有整数为 -4.-3.-2.-1.0.1.2.
1、把各数分别表示在数轴上，并填在相应
的集合里。
8、-1/8、-1、-8、-（-1/8）、0。
整数集合（
）
分数集合（
）
正数集合（
）
负数集合 （
）
正整数集合（
）
有理数集合 （
）
2、A点表示______，B点表示______，C点表示______， D点表示______，E点表示______.
总结：一条正确的数轴，必须要有______，______， ______.
3 1 0.5 1 30
1 5 3
4
(5)
2
32
1 2007
1
0.5
1 3
解.原
式
2
9
1
1
1 6
7 1 5
6
7 11 77 6 6
-3 -1
-0.5 3 0.5
1
1.若|x|－|y|=0，则（D ）
A.x=y
B.x=－y
C.x=y=0
D.x=y或x=－y
2.有理数a,b在数轴上对应位置如图所示，
则a+b的值为（ B.）
A.大于0 C.等于0
B.小
a
,
则a
一定是C.
A.负数 C.非正数
=11+(－22) –( - 33 ) =11+（－22）+33 =22
（2）（
3 4
7 8
）
7 8
解.
（2）（ 3 4
7 8
）
7 8
3 4
8 7
7 8
8 7
6 1 7
1 7
(3). 22 2 22
解.原式 4 2 4
2
(4).
14
1
0.5
1 3
3
33
解.原式 1 0.5 1 3 27
3. a+b=0,则a与b＿互＿为＿相＿反＿数＿＿＿ .
4.最大的负整数与绝对值最小的数的和是_－_１__
5. 若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是_互__为_相__反. 数
6.如果|a|＞a，那么a是_a_＜_０__.
７.某人向东走了4千米记作+4千米，那么－2
千米表示＿＿向＿西＿走＿了＿２＿千＿米＿？
B.正数 D.非负数
a=2,等式不 成立,a=-2或0, 等式成立
5 .|x|=1,则x与－3的差为（C.）
A. 4 C. 4或2
B. －2 D. 2
|x|=1，∴ x＝±１ １－（－３）＝４ －１－（－３） ＝－１＋＝２
∴选C.
8.下列说法中，正确的是（ A ）
A. 一个有理数的绝对值不小于它自身; B. 若两个有理数的绝对值相等，
3．如果点A、B、C、D所对应的数为 a、b、 c、d，则a、b、c、d 的大小关系为（ ）
A.a＜c＜d＜b C.b＜d＜c＜a
B.b＜d＜a＜c; D.d＜b＜c＜a
1.
2 3
2 3
,
-
-
2 3
2 3
,
-
3 7
3
7 ,
2. _±__1 的倒数是它本身,正__数__和__零__的绝对值是它本身.
则这两个数相等. C. 若两个有理数的绝对值相等，
则这两个数互为相反数; D. －a的绝对值等于a
9.下列说法中，正确的是( D ) (A). 0是最小的有理数 (B). 0 是最小整数 (C) .0的倒数和相反数都是0 (D) .0是最小的非负数
10.下列结论正确的是（ B ） A.若|x|=|y|，则x=－y B.若x=－y，则|x|=|y| C.若|a|＜|b|，则a＜b D.若a＜b，则|a|＜|b|
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
12. 在数轴上距离原点为2的点所对应的数为 ＿＿－＿２，＿２＿＿＿，它们互为＿相＿反＿数＿.
13.若 | x 2 | | y 3| 0, 则x = _２_ y =_３__.
14、右图是正方体的侧面展开图， 请你在其余三个空格内填入适当的 数，使折成正方体后相对的面上的 两个数互为相反数。
８. 如果－|a| = |a|，那么a ＿＝＿０＿＿＿.
９．如果▲表示最小的正整数， ●表示最
大的负整数， ■表示绝对值最小的有理数，
那么（▲ ＋ ● ）× ■ ＝
。0
10.已知 |a| + |b| +|c| = 0, 则 a = ___0_, b = __0___, c = __0__.
11.在数轴上与表示-1的点相距4个单位长度 的点表示的数是＿－＿５＿，＿３＿。
三、填空：
（1）（-2）10的底数是___，指数是 ____，读作_________
(2) (-1/3) 8的指数是________,底数 ______ 读作_______,
（3）x m 表示____个_____相乘,指数是 ______,底数是_______,读作 _________.
计算：（1）11+（－22）－3×（－11） 解：（1）11+（－22）－3×（－11）