数学思想方法之化归与转化思想

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六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版

六大数学思想之四：转化与化归1.什么是转化与化归？转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。

化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

2. 转化与化归的主要方式：1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3、局部与整体的相互转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等.3.转化与化归思想的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一正难则反的转化：Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二函数、方程、不等式之间的转化：解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.题型三主与次的转化：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。

化归与转化的思想方法

化归与转化的思想方法随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。

化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。

一、历史背景化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。

数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。

”一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。

二、化归与转化的含义在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。

例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。

由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。

显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。

事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。

化归法的一般模式，其形式如下图[4]：转换未知问题（复杂）已知问题（简单）已知理论、方法、技巧解答解答化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。

数学思想之一转化与化归思想(概述)

数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。

各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。

所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。

2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。

3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。

4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。

转换与化归思想

浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。

深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。

这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。

一、转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。

要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。

(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。

象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。

比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。

不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。

再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。

瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。

[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。

再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。

[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。

数学思想之转化与化归总结

数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。

通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。

转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。

下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。

首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。

它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。

等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。

一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。

在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。

其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。

代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。

代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。

代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。

几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。

几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。

几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。

最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。

枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。

枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。

然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。

综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。

专题四转化与化归思想

则a≥ x ，x∈(0，］恒成立.
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模拟训练
【点评】本题主要考查转化思想和分类整合思想，分类讨论实质上也是一种转化思想. 解法1 采用的是分类讨论的方法, 将比较复杂问题通过分类转化为一些较简单的问题进行求解, 而每一分类中又将恒成立的问题又转化为最值问题.
1 (0，］, 变为不等式一边为参数 , 另一边为含有x的代数式，a只要大 2 1 1 于或等于y= x ，x∈(0，］的最大值就满足上式要求. x 2
消去x2得2 x12
2 1 x1 2 6m 1 0 ， m m
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模拟训练
2 1 ∴x1∈R，∴Δ= 8 2 6m 1>0, m m 1 ∴(2m+1)(6m2-2m+1)<0，∴m< . 2 1 即当m< 时，抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称. 2
x12 满足 2 x1 x 1
2 x2 x1 x 2 m 3 , 2 2 2 x2 1 . x2 m
2 x12 x 2 m( x1 x 2 6), ∴ 1 x x . 1 2 m
行转化, 使问题逐次达到规范化、模式化，直至问题的解决.
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模拟训练
1. 函数f (x)=cos2x-2 3 sinxcosx的最小正周期是__________.
π 【解析】 ∵f(x) =cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=-2sin 2x ,
祝您高考成功！
作文成绩
语文作文课上, 老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了, 一学生发现自己只写了250字, 灵机一动,在

化归与转化思想,函数与方程思想、归纳、抽象概

初中数学教材中蕴含的数学思想方法很多，比较基本的有：用字母表示数的思想、整体和换元思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想，函数与方程思想、归纳、抽象概括思想，特殊与一般思想、数学模型思想、分解组合思想以及图形运动思想，等等。

实践证明，只有掌握了这些基本的数学思想方法，学生方能在运用数学解决问题时自觉运用数学思想方法分析问题、解决问题，掌握了这些基本思想方法，也就相当于抓住了初中数学知识的精髓。

数学思想方法是借助于数学知识、技能为载体而体现出来的，思想要融入内容和应用中，才成为思想，就思想方法讲思想方法，学生自然会感到枯燥无味，是不能真正掌握数学思想方法的。

只有在教学中反复渗透，方能“随风潜入夜，润物细无声”，让学生在不知不觉中领会、掌握，才能自觉运用，形成能力。

那么，在那么初中数学课堂教学中，究竟该如何向学生渗透数学思想，进而培养他们的数学思维能力呢？下面就本人在教学中的实践，谈谈个人的一些不成熟的看法。

1、分类讨论思想分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。

分类是数学发现的重要手段。

在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

例如，教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”，这个定义揭示了实数的内涵与外延，这本身就体现出分类思想方法。

因此，在学完实数的概念后，可以如此分类：尔后一提到实数，就会想到它可能是有理数，也可能是无理数；一提到有理数，就会想到它可能是整数，也可能是分数等。

又如，实数的绝对值定义也是采用分类法给出的，在这个定义中选择 a = 0作为分类的标准。

在每一类中，其结果都不包含绝对值符号。

因此定义也给出了脱去绝对值符号的一种方法。

再如，在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

为了验证这个猜想，教学时常将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，这时可能出现三种情况：⑴折痕是圆周角的一条边，⑵折痕在圆周角的内部，⑶折痕在圆周角的外部。

转化和化归_数学思想方法

• [分析] 正面解决较难，考虑到“不能” 的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为 “抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝ m·(x－3)对称，求m的取值范围”，再求出m的取值集合的补集即为原问题的解．
• [评析] 1.在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3) 垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y＝m(x－3)垂直平分”．
[评析] 本题如果从已知条件 a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子： aa21＋＋aa43＋＋aa190＝a1a＋1＋d＋a1＋a12＋d3＋d＋a1＋a18＋d9d，也能求解，但计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析，可以很快得到答案．
(1)若 a2＋b2＝1，可设 a＝cosα，b＝sinα； (2)若 a2＋b2≤1，可设 a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)； (3)对于 1－x2，∵|x|≤1，由|cosθ|≤1 或|sinθ|≤1 知，可设 x＝cosθ 或 x＝sinθ.
• [例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分．
[解析] 设 t＝sinx＋cosx，则 t＝ 2sinx＋π4，t∈[－ 2， 2]，而 sinxcosx＝21[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)，于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12
• [解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B ＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时 a的取值范围．如图：

高中数学方法转化与化归思想

变式训练 4 设 g(x)＝px－qx－2f(x)，其中 f(x)＝ln x，且 g(e) ＝qe－pe－2(e 为自然对数的底数)．
(1)求 p 与 q 的关系；
(2)若 g(x)在其定义域内为增函数，求 p 的取值范围．解 (1)由题意 g(x)＝px－qx－2ln x， ∴g(e)＝pe－qe－2， ∴pe－qe－2＝qe－pe－2， ∴(p－q)e＋(p－q)1e＝0， ∴(p－q)e＋1e＝0，而 e＋1e≠0，∴p＝q.
由aa≤ 2＋21≥4 得aa≤ ≥2 3或a≤－ 3 ， ∴a≤－ 3或 3≤a≤2. 即 A∩B＝∅时，a 的取值范围为 a≤－ 3或 3≤a≤2. 而 A∩B≠∅时，a 的取值范围显然是其补集，从而所求范围为{a|a>2 或－ 3<a< 3}．
三、抽象问题与具体问题的转化
例 3 已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1、a3、a9 成等比
归纳拓展本题的求解涉及两类题型和求解的方法：(1)求参数的范围问题，方法是通过对函数单调性的研究，转化为不等式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题求解．(2)研究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值 f(t)，而函数又在此区间有零点，则结合图形分析，可得 f(t)≥0(或 f(t)≤0)．
变式训练 1 1e64 ，2e55 ，3e66 (其中 e 为自然常数)的大小关系是 _1e_64_＜__2_e5_5 _＜__3e_66_．
解析由于1e64 ＝e442，2e55 ＝5e52，3e66 ＝e662，故可构造函数 f(x) ＝xe2x，于是 f(4)＝1e64 ，f(5)＝2e55 ，f(6)＝3e66 . 而 f′(x)＝exx2′＝ex·x2－x4 ex·2x＝ex(x2x－4 2x)，令 f′(x)＞0

高二数学化归与转化思想

数 F x Px Qx 的图象与 x 轴没有交点,即函数 F x 的图象或者永远在 x
轴的上方, 或者永远在 x 轴的下方.
不妨设函数 F x 的图象或者永远在 x 轴的上方.
因此 , 要证明方程 P P x Q Q x 没有实数解 , 只要证明
P P x Q Q x 永远大于零或永远小于零就可以.
若方程 P x Qx 无实数解,证明方程 P P x Q Q x 也无实数解.
【分析及解】这种复合函数方程的题目,可能没有遇到过,已知条件与所证结论之间有什么联系,也不清楚,那么,有没有与此相关的问题?有.函数与图象之间向来是互相联系的,我们能否转化为我们熟悉的图象问题来思考呢?
方程 Px Qx 没有实数解得含义是两个函数的图象没有交点,或者是函
【例 1】已知 a1, a2 , a3 成等差数列 a1 0 ， a2 , a3, a4 成等比数列， a3, a4 , a5 的
倒数也成等差数列，问 a1, a3, a5 之间有什么关系？【分析及解】题目中有 5 个元素：a1, a2 , a3.a4 , a5 ，而解题目标是探讨 a1, a3, a5
1.把未知转化为已知或熟知解题的过程就是一个把生题转化为熟题的过程，有一些题目，初看比较陌生，过去未解过，未见过，在制定解题计划时，就要设法转化，使之成为一个曾经解过的熟悉的问题，或曾经见过的类似的问题.
【例 1】已知 P x,Q x 是两个实系数多项式，且对所有实数 x ，满足恒等
式
P Q x Q P x .
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①

浅谈数学思想方法之化归与转化思想

化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以所
以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，而分析法、证法、反待定系数法、造法、构换元法等都是转化的
手段。
、
１２命题动向．
高考中十分重视化归与转化思想的考查，在选择、填空及解答题中均会有所体现，以要求考生熟悉化所
由倒数法则
∈～一）（，ｏ（每ｕ＋。。
２２正与反的相互转化．
可知ｂａ０所以ａ＜０ａ＞０ｌｌｌ＜＜，＋ｂ，ｂ，ｌ＞。ｂａ
所以（），２、３错误。又口、１对（）（）６都小于０所以，
ｆ
＼
Ｃ
ｎ／
Ｂ／
１
＼
＼Ｘ
归与转化的各种变换方法，有意识地运用数学变换并
的方法，灵活解决有关的数学问题。高考中突出考查
一
０
＼／一、＼、
— ■
些常用的Байду номын сангаас 换方法，如数与形的转化、特殊与一般的
从上游漂流而下的一只巨大的汽油灌，已知只有５发
选项为Ｂ．
解法二：殊值法，ａ一一３６一４则直接得特令，一，
＞０由均值定理得，
旦＋＿ａ
ａＤ
有些数学问题，如果直接从正面人手求解难度大，

数学思想方法梳理(3)——化归与转化思想

数学思想方法梳理（3）——化归与转化思想解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化,是具有较高思维能力要求的压轴题中重点考查的数学思想方法。

1.求函数y ax =可以设t 则原函数转化为关于t 的二次函数；2.若lg y u =的定义域为R ，其中()u f x =，则问题等价于不等式恒成立；若lg ()y f x =的值域为R ，则问题等价于函数()u f x =在(0,)+∞能；3.对于[,]x a b ∀∈，总有()()f x g x <等价于函数()h x = 在[,]a b 上的最大值小于零；对于1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈总有12()()f x g x <等价于max min [()],[()]f x g x 之间满足；4.对于12,[,]x x a b ∈，1122()()()()f x g x f x g x -<-等价于函数()()y f x g x =-在[,]a b 上；实数,m n 分别满足320am bm cm d +++=，320an bn cn d +++=，可构造()f x = 且()()0f m f n ==．5. 当遇到四个变量1122,,,x y x y ，满足11220,0ax by c ax by c ++=++=时，则1122(,),(,)x y x y 可以可视为直线上的两个的不同点的坐标，该直线也就是过两定点1122(,),(,)x y x y 的直线；当遇到两个变量,x y ，满足22,(0)x y m x y n n +=+=>，则可理解为有公共点；6. ()()()()f x g x f x g x ''+是的导数； ()()()()0f x g x f x g x ''->（0)(≠x g ）说明函数在定义域的某个区间上单调增；()()0xg x g x '+<说明函数在定义域内单调减；7.已知实数[,]k m n ∈，若210kx kx ++≥恒成立，构造关于k 的一次函数()f k = ，问题等价于不等式在[,]k m n ∈上恒成立；已知210ax bx ++=，其中[,]x m n ∈，欲求22a b +的最小值，可以视方程为直线:l ，22a b +的最小值就等价于坐标原点到直线l 的的距离d = 的平方的最小值；8.如图（1），A 、B 在直线L 的异侧，在直线L 上任取一点M ，M A M B AB +≥，当且仅当点M与M '重合时有MA MB AB ''+=，所以MA+MB 的最小值是．简单地说，就是“异侧和最小”；9.如图（2），A ，B 在直线L 的同侧，在直线L 上任取一点M ，AB MB MA ≤-，当且仅当点M 在AB 的延长线与L 的交点处时有MA MB AB ''-=，此时MA-MB 的最大值是．简单地说，就是“同侧差最大”【例1】已知曲线2(),()21a f x g x ax b x+==++.（1）若1,1a b ==为常数，点(,)x y 为直线()y g x =的最小值；（2）若,,0a b a ∈≠R ，关于x 的方程()()f x g x =在[3,5]【解析】（1的最小值，等价于原点到直线30x y -+=的距离d ==2；（2）方程整理得2(21)20ax b x a ++--=，即2220x a xb a x +--+=，以aOb 建立平面坐标系，的最小值，设()x ϕ=，其中[3,5]x ∈.2221()51252x t x x t t t t ϕ-====+++++,2t x =-，设5()2h t t t =++，[1,3]t ∈，225()t h t t-'=，当()0h t '>3t ≤，函数()h t 单调增；当()0h t '<，1t ≤<()h t 单调减。

高中数学中转化与化归思想方法

高中数学中转化与化归思想方法转化与化归思想是高中数学中非常重要的解题方法之一、它通过转化和化归问题的方式，将原问题转化为已知问题或相对简单的问题，从而更方便地解决问题。

接下来，我们将详细介绍转化与化归思想的基本原理、步骤和一些常见应用。

转化与化归思想的基本原理可以总结为两点：一是利用数学中的等价关系，将问题中的未知量或条件转化为已知量或更简单的条件；二是通过变量代换、形式转化等方式，改变问题的表达方式或结构，使其更适合我们已知的解题方法。

在具体解题过程中，我们可以按照以下步骤进行：1.通读题目，理解问题的要求和条件。

这一步非常重要，要确保我们对问题的内容和目标有清晰的理解。

2.找到问题中的关键信息和未知量。

这些信息和未知量通常会包含在问题的描述、条件或要求中，我们需要将其抽象出来并进行变量表示。

3.分析问题的性质和特点。

我们需要考虑问题的数学特征、结构和求解方法，以便选择合适的转化和化归方法。

4.进行变量代换或形式转化。

基于问题的性质和特点，我们可以选择合适的变量代换或形式转化方式，将问题转化为已知问题或者更简单的问题。

常用的方法包括平移到原点、找到对称性、消元法等。

5.解决转化后的问题。

一旦将问题转化为已知问题或相对简单的问题，我们可以利用已有的数学知识和解题方法来解决问题。

6.反向思考，回归原问题。

解决了转化后的问题后，我们需要反向思考，将解答归还给原问题，确保解答符合原有的要求和条件。

转化与化归思想在高中数学中的应用非常广泛。

1.几何问题。

几何问题中涉及的角、线段、面积等都可以进行变量代换和形式转化，从而简化计算和求解。

2.代数问题。

代数问题中的方程、不等式、函数等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和解决问题。

3.概率问题。

概率问题中涉及到的事件、概率等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。

4.数列问题。

数列问题中的数列、通项公式等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。

总之，转化与化归思想在高中数学中是一种非常重要的解题方法。

转化与化归的数学思想

转化与化归的数学思想一、转化与化归思想的含义化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．化归思维模式：问题→新问题→解决新问题→解决原问题.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

二、化归思想的解题途径1、一般与特殊的转化21(0)11,2.243y ax a F P Q PF FQ p q p q A a B a C a D a =>+例　过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，若线段、的长分别为、则的值为（　）2.具体与抽象的转化.把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象.例2、设函数的定义域为D ，若所有点构成一个正方形区域，则a 的值为A ．-2B ．-4C ．-8D ．不能确定3. 正面与反面的转化在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。

转化与化归思想

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3．直观化原则将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性．总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识和经验来解答问题． 2．简单化原则将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．

高中数学-化归与转化思想

一、考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。

小学数学思想方法的梳理（二化归（转化）思想。）

小学数学思想方法的梳理（二）课程教材研究所王永春二、化归思想1. 化归思想的概念。

人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。

从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。

因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。

2. 化归所遵循的原则。

化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。

因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。

数学来源于生活，应用于生活。

学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。

因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。

（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。

人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。

从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。

因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。

（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。

对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。

因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。