圆周运动和一般曲线运动.
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§1-2 圆周运动和一般曲线运动
1. 切向加速度和法向加速度
采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物 理意义。
1.1 自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正 交坐标系 , 其一根坐标轴沿轨道 en 切线方向 , 正方向为运动的前进 方向；一根沿轨道法线方向， 正方向指向轨道内凹的一侧。 法向单位矢量 en 切向单位矢量 e
0 2 0 0 2 2 0 0
v v0 at
比较知：两者数学形式完全相同 ,说明用角量描述 ,可把 平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。
2 x x0 v0t at / 2 2 2 v v0 2a ( x x0 )
线量与角量之间的关系
线量与角量之间的关系
讨论：
(1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
圆周运动的角量描述
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、 角位移与角加速度的关系式为
与匀变速直线运动的几个关系式
t t t / 2 2 ( )
at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？ at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
an
圆周运动的角量描述
2. 圆周运动的角量描述
用位矢、速度、加速度描写 圆周运动的方法，称线量描述 法；也可用一个角度来确定其 位置，称角量描述法。
y
B：t+t A：t
o
x
设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作 圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的
角位置(angular position)为
角位移为 平均角速度为
规定反时针为正
t
圆周运动的角量描述
角速度
角加速度
d lim t 0 t dt 2 d d 2 dt dt
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad s-2) 。
由
dv v a e e
2
dt
t
R
n
a
的大小为
a at an
2
2
d v v dt R
2
2 2
1 at a的方向由它与法线方向 的夹角给出为 tan
讨论：下列情况时，质点各作什么运动？ at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？ at 等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
O
+
两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
v R
线量与角量之间的关系
上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加 速度之间的关系：
at R
2
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式， 得到法向加速度与角速度之间的关系：
v 2 an R R
法向加速度也叫向心加速度。
an v R
2
o en an
a
P
et at et
at称切向加速度，表示质点速率变化的快慢； an称法向加速度，反映质点速度方向变化的快慢。
normal acceleration
上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用， 但式中半径R 要用曲率半径 代替。
切向加速度和法向加速度
P
d et den
o en
et et
d ds
P
et d et d et
切向加速度和法向加速度
2 d v v et en 加速度 a dt R
即圆周运动的加速度可分解为两 个正交分量：
tangential acceleration
at dv dt
圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用 角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 图示 一质点作圆周运动： B 在 t 时间内，质点的角位 移为 ，则 A 、 B 间的有向 R 线段与弧将满足下面的关系 t+ t 0+ A
0 t x
lim AB lim AB t 0 t 0
解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：
2 2 7.27 105 s 1 24 60 60 T
如图，地面上纬度为 的 P点，在与赤道平行的平面内 作圆周运动, 其轨道的半径为
r
Байду номын сангаас
赤道
R
p
r R cos
线量与角量之间的关系
P点速度的大小为
v r R cos 5 6 7.27 10 6.73 10 cos 2 4.6510 cos (m/s)
t
et et en
显然，轨迹上各点处，坐标轴的方位不断变化。
切向加速度和法向加速度
1.2 自然坐标系下的加速度
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因 此，自然坐标系中可将速度表示为：
d s v vt et vet et dt
由加速度的定义有
a dv dt
det d v et v dt dt
切向加速度和法向加速度
以圆周运动为例：
如图，质点在dt 时间内经历弧长ds，对应于角 位移d ，切线的方向改变d角度。 由矢量三角形法则可求出极限 情况下切向单位矢量的增量为
即 d et 与P点的切向正交。因此
d et d v d ( R ) en en en dt dt R Rdt
P点速度的方向与过P点运动平面上半径为R的圆相切。 P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
2
2
an r R cos 5 2 6 (7.27 10 ) 6.73 10 cos 2 2 3.3710 cos (m/s )
例1
例2
思考题
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速 度之间的关系：
at R
2
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式， 得到法向加速度与角速度之间的关系：
v 2 an R R
法向加速度也叫向心加速度。
例1
例2
思考题
线量与角量之间的关系
例题1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。
1. 切向加速度和法向加速度
采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物 理意义。
1.1 自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正 交坐标系 , 其一根坐标轴沿轨道 en 切线方向 , 正方向为运动的前进 方向；一根沿轨道法线方向， 正方向指向轨道内凹的一侧。 法向单位矢量 en 切向单位矢量 e
0 2 0 0 2 2 0 0
v v0 at
比较知：两者数学形式完全相同 ,说明用角量描述 ,可把 平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。
2 x x0 v0t at / 2 2 2 v v0 2a ( x x0 )
线量与角量之间的关系
线量与角量之间的关系
讨论：
(1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
圆周运动的角量描述
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、 角位移与角加速度的关系式为
与匀变速直线运动的几个关系式
t t t / 2 2 ( )
at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？ at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
an
圆周运动的角量描述
2. 圆周运动的角量描述
用位矢、速度、加速度描写 圆周运动的方法，称线量描述 法；也可用一个角度来确定其 位置，称角量描述法。
y
B：t+t A：t
o
x
设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作 圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的
角位置(angular position)为
角位移为 平均角速度为
规定反时针为正
t
圆周运动的角量描述
角速度
角加速度
d lim t 0 t dt 2 d d 2 dt dt
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad s-2) 。
由
dv v a e e
2
dt
t
R
n
a
的大小为
a at an
2
2
d v v dt R
2
2 2
1 at a的方向由它与法线方向 的夹角给出为 tan
讨论：下列情况时，质点各作什么运动？ at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？ at 等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
O
+
两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
v R
线量与角量之间的关系
上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加 速度之间的关系：
at R
2
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式， 得到法向加速度与角速度之间的关系：
v 2 an R R
法向加速度也叫向心加速度。
an v R
2
o en an
a
P
et at et
at称切向加速度，表示质点速率变化的快慢； an称法向加速度，反映质点速度方向变化的快慢。
normal acceleration
上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用， 但式中半径R 要用曲率半径 代替。
切向加速度和法向加速度
P
d et den
o en
et et
d ds
P
et d et d et
切向加速度和法向加速度
2 d v v et en 加速度 a dt R
即圆周运动的加速度可分解为两 个正交分量：
tangential acceleration
at dv dt
圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用 角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 图示 一质点作圆周运动： B 在 t 时间内，质点的角位 移为 ，则 A 、 B 间的有向 R 线段与弧将满足下面的关系 t+ t 0+ A
0 t x
lim AB lim AB t 0 t 0
解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：
2 2 7.27 105 s 1 24 60 60 T
如图，地面上纬度为 的 P点，在与赤道平行的平面内 作圆周运动, 其轨道的半径为
r
Байду номын сангаас
赤道
R
p
r R cos
线量与角量之间的关系
P点速度的大小为
v r R cos 5 6 7.27 10 6.73 10 cos 2 4.6510 cos (m/s)
t
et et en
显然，轨迹上各点处，坐标轴的方位不断变化。
切向加速度和法向加速度
1.2 自然坐标系下的加速度
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因 此，自然坐标系中可将速度表示为：
d s v vt et vet et dt
由加速度的定义有
a dv dt
det d v et v dt dt
切向加速度和法向加速度
以圆周运动为例：
如图，质点在dt 时间内经历弧长ds，对应于角 位移d ，切线的方向改变d角度。 由矢量三角形法则可求出极限 情况下切向单位矢量的增量为
即 d et 与P点的切向正交。因此
d et d v d ( R ) en en en dt dt R Rdt
P点速度的方向与过P点运动平面上半径为R的圆相切。 P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
2
2
an r R cos 5 2 6 (7.27 10 ) 6.73 10 cos 2 2 3.3710 cos (m/s )
例1
例2
思考题
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速 度之间的关系：
at R
2
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式， 得到法向加速度与角速度之间的关系：
v 2 an R R
法向加速度也叫向心加速度。
例1
例2
思考题
线量与角量之间的关系
例题1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。