2.5等比数列的前n项和(一) 公开课一等奖课件

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《2.5 等比数列的前n项和》课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品

1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q

等比数列的前n项和(第一课时)-PPT课件

2.5等比数列前n项和Sn
体验：
西游记后传
哈哈，我是 CEO了……
话说猪八戒自西天取经之后，便回到了高家庄，成立了高家庄集团，自己也摇身一变成了 CEO，但是好景不长，他的公司因为经营不善出现了资金短缺，于是他便想向师兄孙悟空借钱。
2
第一天出１元入１００万元；第二天出２元入１００万元; 第三天出4元入１０0万元；……
1 2
五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知
三求二”问题.
例1求下列等比数列前8项的和:
（1）1
1 ,
1 ,
,L
;
248
（2）a1＝27，a9＝
1 243
，q
0.
例1求下列等比数列前8项的和:
（1）1 2
,
1 4
,
1 8
,L
;
（2）a1＝27，a9＝
1 ，q 243
0.
解（：2）由a1
27 , a9
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
=? T30 100 30 S30 1 2 22 23 229
3000(万元)
每天借入100万元，连续一个月(30天)
1，2，22，…，229
第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
以上的数列求和就是我们本节课所要学的等比数列前n项和Sn
②
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-1+an
①
qSn= a2+ a3 + a4+ … +an+an+1
②
① - ②得
错位相减法

(人教版)数学必修五：2.5《等比数列的前n项和(1)》ppt课件公开课精品课件

第二章 2.5 等比数列的前n项和
第1课时等比数列的前n项和
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
一天，小林和小明做“贷款”游戏，他们签订了一份合同．从签订合同之日起，在整整一个月 (30 天)中，小明第一天贷给小林 1 万元，第二天贷给小林 2 万元…… 以后每天比前一天多贷给小林 1 万元．而小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还 1 分钱，第二天还 2 分钱，第三天还 4 分钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍．
(1)求数列的通项公式 an； (2)试比较 f(12)与 3 的大小，并说明理由．
[解析] (1)∵f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn， f(1)＝n2，f(－1)＝n， ∴f(1)＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2， f(－1)＝－a1＋a2－a3＋a4－…－an－1＋an＝n. 由题意，得na12＋an＝n2，n2d＝n. ∴a1＋an＝2n，d＝2，∴2a1＋(n－1)×2＝2n，∴a1＝1，∴ an＝2n－1.
() A．X＋Z＝2Y
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ [答案] D
D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[解析] 由题意知 Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z. 又∵{an}是等比数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 为等比数列，即 X，Y－X，Z－Y 为等比数列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，整理得 Y2－XY＝ZX－X2，即 Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选 D．
已知 a1＝27，a9＝2413，q<0，求这个等比数列前 5 项的和．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[分析] 出 S5.
[解析]
由 a1，a9 可求出 q，再用等比数列前 n 项和公式求 1

等比数列的前n项和(一) 省一等奖课件

2
3
63
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
2
3
63
麦粒的总数为:
S 64 1 2 4 8 2 2
62
63
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
即
∴当q≠1时，或 ② ①
等比数列的前n项和公式的推导2
由定义, 由等比的性质,
即
∴当q≠1时，或 ∴当q＝1时， ② ①
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 ) 64 S 64 2 1 ＝18446744073709551615
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
2
3
63
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
1 1 ( 2 ) a 1 2 .7 , q , a n . 3 90

2.5 等比数列的前n项和(精品课件)

an amq
n m
an+am =ap+aq(n+m=p+q) am an a p aq m n p q
2 a , b , c 成等比数列 b ac a, b, c成等差数列 2b a c
前n项和公式
S
n( a1 an ) n 2 na1 1 n(n 1)d 2 (倒序相加)
等比数列的力量
等比数列 an q (是常数 ) an 1
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m) amqnm
an+am =ap+aq(n+m=p+q) a a a a m n p q m n p q
2 a, b, c成等差数列 2b a c a, b, c成等比数列 b ac
综合练习
任我采撷
等差(比)数列前n项和的性质
若an 为等差(比)数列, 则 Sk ,S2 k Sk , S3k S2 k , S4 k S3k , S5k S4 k , 也成等差(比)数列.
等差（比）数列前n项和的性质及应用
(1)已知等差数列{an}中，前 10 项和 S10＝10，前 20 项和 S20＝30，求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和为 85，偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数．
第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的 2倍．
知识探究等比数列的前n项和
在等比数列 {an }中,公比为 q ,它的前 n 项和:
a1 (1 q ) a1 an q Sn 1 q 1 q

2.5等比数列的前n项和ppt课件精品

[点评] 本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃而解．
迁移变式2
一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为 170 ，求此数列的公比和项数．解：设等比数列的公比为 q，项数为 2n(n∈N*)，由已知，
1－q 1－q2 ＝85， a1＝1，q≠1，且有 2n q 1 － q 2 ＝170. 1 － q
答案：32
5．已知实数列{an}是等比数列，其中a7＝1，
且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an} 的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q(q∈R)，由 a7＝a1q6＝1，得 a1＝q－6，从而 a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1. 因为 a4，a5＋1，a6 成等差数列，所以 a4＋a6＝2(a5＋1)．即 q 3＋q 1＝2(q 2＋1)，q 1(q 2＋1)＝2(q 2＋1)．
3．在等比数列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2
＋ a3 ＋ a4 ＝－ 3 ，则 a3 ＋ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＋ a7 ＝ ( ) A. B. C. D.
a2＋a3＋a4 a21＋q＋q2 a2 1 解析：由＝＝＝q＝－， 2 a1＋a2＋a3 a11＋q＋q2 a1 1 又由 a1＋a2＋a3＝6，且 q＝－， ∴a1＝8，可得 a2＝a1q＝8×(－ 2 1 2)＝－4， a11－q7 11 ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝－8－(－4)＝ . 8 1－q
第2课时
等比数列前n项和的
性质
1．数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，

2.5.1等比数列前n项和(1) ppt

（错位相减法）
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ② ① —②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
当q≠1时，
等比数列{an}前n项和
思考：等式(1) 两边除以q可否
推出公式？
如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，
则得到一个首项为a1=
1 2
，公比q= 1 的等比 2
数列，
它的前n项和为
Sn
1 2
[1
1 2
n
]
1 1
1 (1)n 2
2
不论n取何值，
1
(
1
)n
总小于1，
2
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。
例2．等比数列{an}的公比q=
1 2
，a8=1，求它
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an =？
S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q
=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
观察：
（不完全归纳法）
等比数列{an}的前n 项和公式：
Sn

《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件

直观示例
通过具体生活案例和直观图示 ,帮助学生理解等比数列前n项和的概念。如房地产投资、人口增长等。
分步讲解
循序渐进地讲解等比数列的定义、通项公式、首项和公比, 再推导前n项和公式。引导学生理解各步骤。
应用实践
设计大量应用实例,如财务分析、自然科学等,让学生运用所学解决实际问题,增强学习兴趣。
数学模型构建
等比数列前n项和在数学建模中扮演着关键角色,帮助建立描述实际问题的数学模型,为后续分析决策提供基础。
经济金融模型
对于一些经济金融问题,如现金流分析、股票收益预测等,等比数列前n项和模型是有效的数学工具。
工程技术应用
在工程技术领域,等比数列前n项和模型可用于设备寿命分析、材料疲劳计算等,提高设计方案的可靠性。
探索发现
鼓励学生自主探索等比数列前 n项和的性质和应用,激发其主动学习的积极性和创造力。
等比数列前n项和的重要性及意义
1 数学概念的深入理解
等比数列前n项和涉及数列、级数、函数等多个数学概念,有助于学生全面理解数学知识体系。
2 实际应用的广泛性
等比数列前n项和在工程、经济、金融等领域有广泛应用,体现了数学在现实生活中的重要作用。
等比数列前n项和在风险投资、保险定价等场景中帮助分析师权衡风
险和收益。通过寻找最优n,可以达到风险收益的最佳平衡点。
等比数列前n项和的变形计算
边界条件变形
根据实际问题的需求, 可以将等比数列的首项和公比等情况进行适当变形处理, 以获得更加精确的计算结果。
等价转换
有时通过等价变形, 可以将等比数列前n项和问题转化为更容易解决的形式,从而简化计算过程。
等比数列的前n项和

高中数学必修五-等比数列的前n项和省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

二错位相减法求数列的和
【例2】
已知数列{an}的首项a1＝
2 3
，an＋1＝
2an an＋1
，n＝
1,2，….
(1)证明：数列{a1n－1}是等比数列； (2)求数列{ann}的前n项和Sn.
【分析】 (1)可如下变形 an＋1＝a2n＋an1⇔an1＋1＝12·a1n＋12； (2)用错位相减法求数列的前n项和．
a1q2＝－12， a11＋q＋q2＝－9，
① ②
② ①得1＋qq＋ 2 q2＝34.
即q2＋4q＋4＝0，∴q＝－2.
3．求和Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解分a＝1和a≠1两种情况．当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1. 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann，上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1，两式相减，得
自
我校
a11－qn 1－q
a1－anq 1－q
na1
对
名师讲解 1.前n项和公式及应用 (1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可利用前n项和公式解与之有关的实际问题． (2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字母时，要讨论．
【正解】 (1)当a＝0时，Sn＝1. (2)当a≠0时，1，a，a2，…an是等比数列，此时公比q＝ a，共有n＋1项． ∴当a≠1时，Sn＝1×11－－aan＋1＝1－1－ana＋1. 当a＝1时，Sn＝n＋1. 又当a＝0时，Sn＝1－1－ana＋1也成立．

2.5等比数列前n项和(共37张PPT,全课时) (1)

06:58 7
如何求等比数列的Sn:
Sn a1 a2 a3 an1 an
错位相减法
n1
Sn a1 a1q a1q a1q
2
n 2
a1q
①
n
qSn
a1q a1q a1q a1q
2 3
n1
a1q ②
n
①—② ，得 (1 q)Sn a1 0 0 a1q n (1 q)Sn a1 a1q
06:58
a1 1 q Sn 1 q

n

（q≠1）
8
等比数列前n项和公式的推导
a1 1 q Sn 1 q

n

（q≠1）
思考：那q=1怎么办呢？
提示：q=1说明数列有什么特点？
06:58 9
等比数列前n项和公式的推导
na1 (q 1) n S n a1 (1 q ) (q 1) 1 q
S 64 1 2 4 8
……
2 2
62
63
① 错位相 ② 减法
把上式左右两边同乘以2 得：
2S 64 2 4 8 16+
……
2 63 2 64
由②- ①得： 64 S 64 2 1
=18446744073709551615≈1.84 10
06:58
Sn na1
12
例1、求下列等比数列前8项的和
1 1 1 1 ,q 0 (1) , , , (2)a1 27, a9 243 2 4 8
1 1 所以当n 8时 ,q (1) 因为 a1 解： 2 2 8 1 1 1 2 2 255 S8 1 256 1 1 2 1 27 q 8

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讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64
②
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 ) 64 S 64 2 1
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2.5 等比数列的前n项和 (一)
主讲老师：陈震
复习引入
1. 等比数列的定义： 2. 等比数列通项公式：
a n a1 q
n 1
( a1 , q 0 )
( a1 , q 0 )
an am q
n m
复习引入
3. {an}成等比数列

4. 性质：
a n1 q ( n N , q 0) an
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 ) 64 S 64 2 1＝18446744073709551615
2
3
63
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
2
3
63
麦粒的总数为:
S 64 1 2 4 8 2 2
62
63
讲授 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
②
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
2
3
63
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2
2 3
63
①
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 )
讲授新课
这种求和请同学们考虑如何求出这个和？的方法,就 2 3 63 是错位相 S 64 1 2 2 2 2 ① 减法 2 3 63!
讲授新课
讲授新课
1
讲授新课
1 2
讲授新课
1 2 2
2
讲授新课
1 2 2 2
2 3
讲授新课
1 2 2 2 2
2 3 4
讲授新课
1 2 2 2 2
2 3 4
讲授新课
63 1 2 2 2 2 2 2 3 4
这一格放的麦粒可以堆成一座山!!!
2
63
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：
若m＋n＝p＋q，则am · an＝ap · aq.
复习引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么要求，发明者说:“请在象棋的第一个格子里放 1 颗麦粒，第二个格子放 2 颗麦粒，第三个格子放 4 颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了他的要求. 我们看国王能不能满足他的要求，由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍，共有 64 个格子，各个格子里的麦粒数依次是：