确定一次函数表达式
三法确定一次函数表达式
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三法确定一次函数表达式
◎邓同义
一、根据图象求表达式
例1在平面直角坐标系xOy中，直线l的图象如图所示．求直线
l的函数表达式.
解析：设直线l的表达式为y=kx+b（k≠0）．
因为直线l经过点A（0，4），B（-2，0），将其代入y=kx+b得
b=4，①
-2k+b=0．②
把①代入②，得k=2．
所以直线l的函数表达式为y=2x+4.
二、根据性质求表达式
例2 某一次函数的图象过点（-1，2），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数表达式．
解析：本题答案不唯一，对于一次函数y=kx+b（k≠0），若y随x的增大而减小，则k＜0.
所以可设y=-x+b，把x=-1，y=2代入，可求得b=1.所以所求函数表达式为y=-x+1．
三、根据平行线求表达式
例3 直线l与y=-2x-1平行且过点（1，3），求直线l的表达式．
解析：因为直线l与y=-2x-1平行，所以设所求直线l的表达式为y=-2x+b.
又因为直线l过点（1，3），所以3=-2×1+b，解得b=5.
所以所求直线l的表达式为y=-2x+5．。
教学内容确定一次函数表达式
教学内容：确定一次函数表达式【学习目标】1．掌握确定正比例函数的表达式需一个条件，一次函数的表达式需两个条件．2．能比较灵活的确定一次函数表达式．【基础知识精讲】让我们一起探究如下问题．某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v (米/秒)与其下滑的时间t (秒)的关系如图6—12所示．(1)写出v 与t 之间的关系；(2)下滑3秒时物体的速度是多少?你想到了怎样解决这个问题了吗?点拨(1)：从图像上我们可知道2秒速度是5米/秒也就是1秒速度为25＝2.5(米/秒)则t (秒)的速度即v ＝2.5t点拨(2)：从图像上我们可知道v 是t 的正比例函数，我们可设v ＝kt ，而直线过点(2，5)即可求k ． 让我们对对看你解的是否正确．解法一：由图像知时间为1秒时，速度v ＝25＝2.5(米/秒)∴v 与时间t 的关系是v ＝2.5t当t ＝3时，v ＝2.5×3＝7.5(米/秒)下滑3秒时物体的速度是7.5(米/秒)．解法二：由图像知，v 是t 的正比例函数，可设v ＝kt ．∵直线过点(2，5)，∴5＝2k ，∴k ＝25，∴v ＝25t当t ＝3时，v ＝7.5(米/秒)下滑3秒时，物体的速度是7.5(米/秒)通过上面的问题，我们可知要确定正比例函数的表达式只要一个点或者说一个条件就可以了，因为y ＝kx 中只有一个常数k ．请同学们想一想，要确定一次函数的表达式，需要几个条件呢?你想到了吗?让我们一起探讨一下好吗?在一次函数y ＝kx ＋b 中，因为有两个常数k ，b ．只给一个点或者说一个条件无法确定，所以要2个点或2个条件，下面我们再看看例1，怎样说明的这个问题．［例1］一次函数y ＝kx ＋b 在x ＝－4时的值y ＝9，在x ＝6时的值y ＝3．求：(1)k ，b ．(2)当x ＝1时，y 的值?点拨：给定的是一次函数，要确定表达式，已给了两个条件，只要代入，作一个适当的变化即可求出k ，b ．解：由题意知－4k ＋b ＝9① 6k ＋b ＝3②作一个适当的变化①中b ＝9＋4k②中b ＝3－6k∴3－6k ＝9＋4k10k ＝－6k ＝－53把k ＝－53代入①中(代入②中也行)得b ＝9＋4×(－53)b ＝533∴y ＝－53x ＋533当x ＝1时，y ＝－53×1＋533，y ＝530＝6［例2］直线L 是一次函数y ＝kx ＋b 的图像，看图6—13回答问题．(1)求k ，b ．(2)当x ＝5时，y ＝?(3)当y ＝5时，x ＝?点拨：一定要从图中读出(或看出)此直线经过两个点分别是(0，－1)和(2，0)有了这两个条件即可．解：从图像知，此直线过点(0，－1)和(2，0)即：当x ＝0时，y ＝－1当x ＝2时y ＝0我们可得把b ＝－1代入②2k －1＝0k ＝21∴y ＝21x －1当x ＝5时，y ＝21×5－1＝23当y ＝5时，5＝21x －1 x ＝12【拓展训练】1．填空(1)一次函数的图像是一条___________．(2)当x ＝5时，函数y ＝3x －6的值y ＝___________．解：(1)直线 (2)92．已知一次函数y ＝kx ＋b 中，y 的值随x 的增大而减小，且此函数过点(－2，1)，请你根据这些条件，写出三个不同的函数表达式?除了这三个以外，你还能写多少个?点拨：由已知，y 随x 的增大而减小．说明k ＜0，而这样的数有无数个，所以k 的取值可以在负数中任取三个，如k ＝－1，－2，－3． 直线又过一点(－2，1)，我们就可以确定三个不同的表达式．解：∵y 的值随x 的增大而减小． ∴k ＜0我们可取k＝－1，－2，－3当k＝－1时代入直线y＝kx＋b中∴y＝－x＋b过点(－2，1)∴1＝2＋b∴b＝－1∴函数表达式为y＝－x－1当k＝－2时代入y＝kx＋b中y＝－2x＋b过点(－2，1)，∴1＝4＋bb＝－3∴函数表达式y＝－2x－3当k＝－3时代入y＝kx＋by＝－3x＋b过点(－2，1)∴1＝6＋b b＝－5∴函数表达式y＝－3x－5还能写无数个不同的表达式，因为k为任何负数。
确定一次函数的表达式 —— 初中数学第三册教案
确定一次函数的表达式——初中数学第三册教案一、教学目标1.让学生理解一次函数的定义和性质。
2.培养学生通过已知条件确定一次函数表达式的能力。
3.培养学生运用一次函数解决实际问题的能力。
二、教学内容1.一次函数的定义与性质2.通过已知条件确定一次函数表达式3.一次函数的实际应用三、教学重点与难点1.教学重点：一次函数的定义与性质，通过已知条件确定一次函数表达式。
2.教学难点：运用一次函数解决实际问题。
四、教学过程（一）导入1.通过复习一次函数的定义和性质，引导学生回顾相关知识。
2.提问：一次函数的一般形式是什么？一次函数的图像有何特点？（二）新课讲解1.讲解一次函数的定义与性质。
（1）一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的函数称为一次函数。
（2）一次函数的性质：一次函数的图像是一条直线，且直线经过一、三象限（k>0）或二、四象限（k<0），与y轴的交点为(0，b)。
2.通过已知条件确定一次函数表达式。
（1）讲解方法：给定两个点，求解一次函数的解析式。
（2）示例：已知点A(1，2)和点B(3，4)，求过这两点的一次函数表达式。
（3）引导学生运用待定系数法求解。
3.一次函数的实际应用。
（1）讲解方法：根据实际问题，列出一次函数表达式，求解实际问题。
（2）示例：某商品的原价为10元，售价为x元，若每增加1元，销售量减少2件。
求销售量y与售价x的函数关系式。
（3）引导学生分析实际问题，列出一次函数表达式，并求解。
（三）课堂练习1.已知点A(2，3)和点B(4，5)，求过这两点的一次函数表达式。
2.某商品的原价为20元，售价为x元，若每增加1元，销售量减少3件。
求销售量y与售价x的函数关系式。
（四）课堂小结（五）课后作业（课后自主完成）1.已知点C(-1，-2)和点D(3，6)，求过这两点的一次函数表达式。
2.某商品的原价为30元，售价为x元，若每增加1元，销售量减少4件。
求销售量y与售价x的函数关系式。
初中数学知识点精讲精析 确定一次函数的表达式
4 确定一次函数的表达式学习目标1. 了解两个条件确定一次函数。
2. 能根据所给信息（图像、表格、实际问题等）确定一次函数的表达式。
知识详解1．确定一次函数表达式（1）借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx（k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式。
（2）确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y＝kx（k≠0）中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式。
②一次函数y＝kx＋b（k≠0）有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值。
用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y＝kx＋b（k≠0）的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式。
2．待定系数法（1）定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数。
（2）用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式。
【典型例题】例1：一次函数图象如图所示，求其解析式．【答案】设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵一次函数图象过点(0，－2)，∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.∵一次函数图象过点(1,0)，∴0＝k×1＋b，∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.【解析】利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式
求出一次函数的表达式是数学练习题中常见的提问方式，下面介绍一下确定一次函数的表达式的三种方法。
用待定系数法确定一次函数解析式
待定系数法是确定一次函数的表达式最常用的方法，解题步骤包括“一设、二列、三解、四写”，具体内容如下：
1、根据题中所给的已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
2、将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
3、解方程得出未知系数的值；
4、将得到的待定系数代回所求的函数关系式中就可以得到该函数的解析式。
用图像平移法确定一次函数表达式
一次函数的图像在平移时的规律为：直线在平移的倾斜率不变，即k的值保持不变。
当b>0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像；当b<0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移∣b∣个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像。
根据直线的对称性确定一次函数表达式
关于y轴对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=-kx+b
（k≠0）；关于x轴对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=-kx-b （k≠0）；关于原点对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=kx-b （k≠0）。
以上为同学们介绍了确定一次函数的表达式的三种方法，同学们都掌握了吗？其中待定系数法的应用是较为广泛的，同学们一定要学好，利用图像来确定一次函数的表达式属于较为灵活的方法，可以用在选择填空中快速确定答案。
三法确定一次函数表达式
三法确定一次函数表达式确定一次函数表达式的方法有三种，分别是点斜式、截距式和一般式。
一、点斜式：点斜式是通过已知直线上一点的坐标和该直线的斜率来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m，则该直线的点斜式表达式为：y-y1=m(x-x1)其中，m为直线的斜率，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
例如，已知直线上一点的坐标为(2,3)，斜率为2，则直线的点斜式为：y-3=2(x-2)二、截距式：截距式是通过已知直线在坐标轴上的截距来确定一次函数表达式的方法。
已知直线与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，则该直线的截距式表达式为：x/a+y/b=1其中，a为直线与x轴的截距，b为直线与y轴的截距。
例如，已知直线与x轴的截距为3，与y轴的截距为4，则直线的截距式为：x/3+y/4=1三、一般式：一般式是通过已知直线上两点的坐标来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则该直线的一般式表达式为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点的坐标。
例如，已知直线上两点的坐标分别为(2,3)和(4,7)，则直线的一般式为：(y-3)/(x-2)=(7-3)/(4-2)以上三种方法都可以用来确定一次函数表达式，选择使用哪种方法取决于已知的条件。
点斜式适用于已知斜率和一点的情况，截距式适用于已知与坐标轴的截距的情况，一般式适用于已知两点的情况。
根据实际情况选择合适的方法，可以快速准确地确定一次函数表达式。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式确定一次函数表达式主要是确定出正比例函数y=kx 中的k ，以及一次函数y=kx+b 中的k, b 的值。
（一） 自主探究：根据定义确定一次函数表达式。
即利用一次函数y=kx+b 中k ≠0,且自变量x 的次数为“1”确定字母取值。
例1、 已知函数54)3(12-++=+m x m y m 是一次函数，求其解析式。
（二） 辨析研讨：用待定系数法求一次函数表达式。
1.已知一次函数y=kx +5过点P (-1，2)，则k =____．2.若一次函数的图象经过点（1，2），则函数的表达式可能是 （写出一个即可）．3. 若一次函数的图象经过点（1，2），且与y=2x 平行，求一次函数的表达式。
4. 若一次函数的图象经过点（1，2），（-1,6），求一次函数的表达式。
用待定系数法求一次函数表达式：（1） 定义：先设所求函数关系式（其中含有未知常数，系数）再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
其中未知系数也叫待定系数。
（2） 你能说说用待定系数法求一次函数表达式的步骤吗？巩固练习：1.2.如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的 图象交于点B ，求一次函数的表达式。
（三）自主探究：根据问题实际意义直接写出表达式。
1.试试你的身手1、若正比例函数y=kx （k ≠0）经过点（-1，2）则该正比例函数的解析式为 。
2、直线y=kx+b 过点（1，2）且与直线y=x+5平行，则直线的表达式为 。
3、经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是 。
4、已知21y y y +=,其中1y 与x 成正比例，2y 与x-2成正比例，当x=-1时y=2；当x=2时y=5。
求y 与x 的函数关系式。
5、已知一次函数y=kx+b （k ≠0），当x=-4时，y 的值是9；当x=2时，y 的值是-3，求此函数的表达式。
6、已知一次函数的图像经过A(-1,3)和点B （2，-3）。
6.4 确定一次函数的表达式
6.4确定一次函数的表达式
【基础须知】
一、确定一次函数解析式的基本思想
1.由于一次函数的表达式y=kx+b中含有两个字母k和b，因此要确定一个一次函数，即把k和b的值确定下来即可.
2.正比例函数由于图象经过原点，所以只需求出字母k即可.
3.确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件.
二、确定一次函数表达式的步骤
1.设函数表达式y=kx+b；
2.根据已知条件列出关于k，b的方程；
3.解方程；
4.把求出的k，b值代入到表达式中即可.
三、围绕函数，主要有三种类型的运算
1.已知函数解析式及自变量的值，求自变量的值对应的因变量的值.
2.已知函数解析式和因变量的值，反过来求与已知因变量对应的自变量的值.
3.已知函数的类型，和函数的几对对应值（函数图象上几个点的坐标），求函数的解析式.
【重点梳理】
本节的重点是会根据已知条件求正比例函数和一次函数关系式．
【难点再现】
本节的难点是通过函数图象获取信息，发展形象思维．
【例题讲解】
已知直线y=kx＋b经过点(1，3)和点(-1，1)，求该函数的表达式.
解析：
求一次函数关系式时，通常先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出这个关系式．
答案：
根据题意k＋b=3．①
-k＋b=1．②
①-②得，2k=2，
∴k=1．把k=1代入①得b=2．
∴函数关系式为y=x＋2．。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。
而确定一次函数的表达式，则是我们能够顺利通过这座桥梁，解决各种实际问题的关键钥匙。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（其中 k、b 是常数，k ≠ 0）。
这里的 k 被称为斜率，它决定了函数图像的倾斜程度；b 则是截距，也就是函数图像与 y 轴的交点。
要确定一次函数的表达式，实际上就是要找出 k 和 b 的值。
那怎么来找呢？通常有两种常见的方法：待定系数法和利用函数图像的特征。
先说待定系数法。
假设我们知道一次函数上的两个点的坐标，比如（x₁, y₁）和（x₂, y₂），把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就可以得到一个关于 k 和 b 的方程组。
举个例子，如果已知点（1, 3）和（2, 5）在某个一次函数上，那么把（1, 3）代入函数表达式得到 3 ＝ k×1 ＋ b，即 k ＋ b ＝ 3；把（2, 5）代入得到 5 ＝ k×2 ＋ b，即 2k ＋ b ＝ 5。
接下来解这个方程组，就能求出 k 和 b 的值。
从第一个方程 k ＋ b ＝ 3 可以得到 b ＝ 3 k，把它代入第二个方程2k ＋ b ＝ 5 中，就有 2k ＋ 3 k ＝ 5，解得 k ＝ 2。
再把 k ＝ 2 代入 b＝ 3 k ，得到 b ＝ 1。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1。
再来说说利用函数图像的特征来确定表达式。
如果我们能从图像中直接看出函数与 y 轴的交点，那这个交点的纵坐标就是 b 的值。
而斜率 k 呢，可以通过图像上任意两个点的坐标来计算。
比如说，函数图像与 y 轴交于（0, －2），并且还经过点（2, 4）。
那么 b ＝－2，而斜率 k ＝（4 （－2））÷（2 0）＝ 3 。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 3x 2 。
在实际应用中，确定一次函数的表达式非常有用。
确定一次函数表达式四法
确定一次函数表达式四法一、 定义确定法例1、己知()3221-+-=-k xk y k 是关于x 的一次函数，则这个函数的表达式为二、 待定系数法 例2、若一次函数b kx y +=的图象经过A （一1，一5）B （2，1）两点，求该一次函数的解析式．例3、己知直线b kx y +=与直线x y 3=平行且过点A （1，一5），求该直线的解析式例4、己知一次函数b kx y +=的图象经过A （3，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个函数的解析式．三、 方程式确定法 ．例5、如图Rt △ABC 中，∠C =︒90，BC =6，AC =8，点P 是AC 上一动点AP BC AB PQ ⋅=⋅，P Q ⊥AB 于Q ，设PC =x ，P Q=y 求y 与x 之间的函数关系式，并分别指出x 与y 的取值范围．四、 算式确定法例6、某电信公司手机A 类收费标准是：月租费18元，另外，每通话1分钟收费0.7元．（1） 写出每月应缴费用y 元与通话时间x （分）之间的函数关系式（2） 如果小明的手机10月份通话时间是82分钟，它应缴费多少元？实际问题中一次函数图象例1 两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据如图1中给出的数据信息，解答问题：(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y (cm)与饭碗数x (个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度.例2今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图2所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用 户该月用了多少度电？例3、小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，收入50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共收入70元．已知在降价前销售收入y （元）与销售重量x （千克）之间成正比例关系．请你根据以上信息解答下列问题：（1）求降价前销售收入y （元）与售出草莓重量x （千克）之间的函数关系式；并画出其函数图象；（2）小强共批发购进多少千克草莓？小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强的捐款为多少元？图2图1例4、某种形如长方体的2000毫升盒装果汁，其盒底面是边长为10cm的正方形，现从盒中倒出果汁，盒中剩余果汁的体积y（毫升）与果汁下降高度x(cm)之间的函数关系如图所示（盒子的厚度不计）．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若将满盒果汁倒出一部分，下降的高度为15cm，剩余的果汁还能够倒满每个容积为180毫升的3个纸杯吗？请计算说明．例5、恩施山青水秀，气候宜人.在世界自然保护区星斗山，有一种雪白的树蟋蟀，人们发现他15秒钟所叫次数与当地温度之间满足一次函数关系.下面是蟋蟀所叫次数与温度变化（1（2）在该地最热的夏天，人们测得这种蟋蟀15秒钟叫了50次，那么该地当时的最高温度大约为多少摄氏度？。
确定一次函数表达式
确定一次函数表达式的步骤： 1、设—设函数表达式y=kx+b 2、代—将已知条件代入y=kx+b 中，列出关于k、b的方程 3、求—解方程，求k、b的值
4、写——把求出的k、b值代回到 表达式中即可。
课后思考
某地长途汽车客运公司规 y 定旅客可随身携带一定质 量的行李，如果超过规定， 则需要购买行李票，行李 10 票费用y元是行李质量x （千克）的一次函数，其 6 图象如下图所示： 0 ①写出y与x之间的函数关 系式； ②旅客最多可免费携带多 少千克行李？
相交于点（2，5），则k,b为 A ） （ A、K=2 ,b=6 B、k=-2 ,b=7
C、K=1 ,B=5
D、k=2 ,b=-6
2、下列说法错误的是 （
C）
A、直线y=2x-6与y轴交点的纵坐标是-6；
B、直线y=2x与直线y=2x+3平行 C、直线y=2x-6与x轴交点是（0，1.5）
D、直线y=2x-6与直线y=-3x-6的交点在y轴上
随堂练习
1.若一次函数y=2x+b的图象经过点A（-1，1）， 3 则b= 该函数图象过点B（1， ）和 点C（ 5 ，0）。 -1.5 2.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空： y (1) b= ,k= 2 3 2 3 2 1 (2)当x=30时，y=
-18
(3) 当y=30时，x=
1 1 1 2 2 2
当k =k ,b =b 时 重合 当k =k ,b ≠b 时 平行 当k ≠k ,b =b 时 相交，且与y轴交于 同一点（0，b）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3、在一次函数y=kx+b中 当k>0时 y值随x值的增大而增大. 当k<0时 y值随x值的增大而减小.
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数是我们经常会遇到的重要概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也能帮助我们解决许多问题，比如计算成本、预测趋势等等。
而要有效地运用一次函数，首先我们得学会确定它的表达式。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是截距。
确定一次函数的表达式，关键就在于求出 k 和 b 的值。
那怎么求呢？最常见的方法就是利用给定的条件来建立方程组，然后求解。
比如说，已知一次函数经过两个点的坐标，（x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
我们把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就能得到两个方程：y₁＝ kx₁＋ by₂＝ kx₂＋ b这样就组成了一个关于 k 和 b 的二元一次方程组，通过解方程组，就能求出 k 和 b 的值，从而确定一次函数的表达式。
举个例子，已知一次函数经过点(1, 3)和(2, 5)。
我们把这两个点代入表达式中：对于点(1, 3)，有 3 ＝ k × 1 ＋ b ，即 k ＋ b ＝ 3 ①对于点(2, 5)，有 5 ＝ k × 2 ＋ b ，即 2k ＋ b ＝ 5 ②用②①，得到：2k ＋ b （k ＋ b) ＝ 5 32k ＋ b k b ＝ 2k ＝ 2把 k ＝ 2 代入①式，得到 2 ＋ b ＝ 3，b ＝ 1所以，这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1 。
除了已知两个点的坐标这种情况，有时候我们还会遇到已知函数图像与坐标轴的交点来确定表达式。
比如，已知一次函数图像与 x 轴交于点(a, 0)，与 y 轴交于点(0, b)。
那么，把这两个点代入表达式 y ＝ kx ＋ b 中，可得：0 ＝ ka ＋ b ③b ＝ 0 × k ＋ b ，即 b ＝ b ④由③式可得 b ＝ ka，将其代入④式，就可以求出 k 的值，进而求出b 的值，确定函数表达式。
另外，如果给定的条件是关于函数的斜率和一个点的坐标，那确定表达式就更简单了。
《确定一次函数的表达式》一次函数
详细描述
首先，我们可以根据已知条件画出函数的图 像。然后，观察图像的斜率和截距，这些特 征可以帮助我们确定函数的系数。最后，将 确定的系数代入表达式中即可得到答案。
表格法
总结词
表格法是通过列出函数的表格，观察表格中 的数据来确定函数的表达式。
详细描述
首先，我们可以列出函数的表格，包括自变 量和对应的因变量的值。然后，观察表格中 的数据，可以发现数据的规律和特征。最后 ，利用这些规律和特征来确定函数的表达式
要点二
二次函数的拓展应用
二次函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学中 的运动问题、经济学中的收益问题等。
一次函数与不等式的关系
不等式的性质
不等式是数学中研究数量或变量之间大小关系的数学表 达式。不等式的性质有三个：不等式的两边同时加上或 减去同一个数或整式不等号的方向不变；不等式的两边 同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式 的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变。
一次函数与不等式的关系
一次函数与不等式之间存在着密切的联系。一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，当k>0时，y随着x的增大而 增大；当k<0时，y随着x的增大而减小。因此，我们可 以通过观察一次函数的图象来判断不等式解集的位置。 例如，对于不等式kx+b>0，当k>0时，解集为x>-b/k ；当k<0时，解集为x<-b/k。
一次函数的性质
一次函数的图像是一条直线。
一次函数的斜率k决定了函数的单调性：当k>0时，函数单调递增Βιβλιοθήκη 当k<0时，函数 单调递减。
一次函数的截距b决定了函数与y轴的交点：当b=0时，函数与y轴交于原点；当b≠0 时，函数与y轴交于(0, b)点。
一次函数表达式的确定
一次函数表达式的确定一次函数是指函数的最高次数为一次的函数，其表达式的一般形式为y=ax+b，其中a和b是常数。
一次函数的图像呈现为一条直线，其中a决定了直线的斜率（即直线的倾斜程度），b决定了直线在y轴上与原点的位置关系。
在确定一次函数表达式时，关键是要有足够的信息来确定a和b的值。
以下是几种常见的确定一次函数表达式的方法：1. 已知两个点的坐标：假设已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则可以通过计算斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)来确定a的值，然后再利用其中一个点的坐标，代入y=ax+b的表达式，解方程得到b的值。
例如，已知直线上两个点A(2,4)和B(5,10)，则斜率k=(10-4)/(5-2)=2、代入点A的坐标，可得4=2a+b，代入任意一个点的坐标，如5=5a+b。
解这个方程组，可以得到a=2，b=0，即y=2x的一次函数表达式。
2. 已知斜率和一点坐标：有时候可能已知直线的斜率k和其中一个点的坐标，可以直接代入y=ax+b的表达式，然后解方程得到b的值。
例如，已知一次函数的斜率为3，且经过点(1, 4)，代入y=ax+b的表达式，可得4=3*1+b，解方程得到b=1、因此，一次函数的表达式为y=3x+13.已知函数图像上的一些特征：有时候，可能通过观察函数图像上的一些特征，来确定一次函数的表达式。
-如果直线与y轴平行，则直线在y轴上的截距为b，且斜率为无穷大。
此时，一次函数的表达式为y=b。
- 如果直线与x轴平行，则直线在x轴上的截距为b，且斜率为零。
此时，一次函数的表达式为y=ax+b，其中a为零。
- 如果直线经过原点，则直线在y轴上的截距为零，即b为零。
此时，一次函数的表达式为y=ax。
4.利用最小二乘法拟合数据：如果已知一些数据点，但不确定是否符合一次函数的形式，可以使用最小二乘法来拟合数据点，以确定最优的一次函数表达式。
最小二乘法通过最小化实际数据与拟合函数之间的误差来确定最优的a和b的值。
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巩固与提高
1、已知y-2与x成正比例，当x=3时y=1， 则y与x之间的函数关系式是＿＿＿＿ ＿＿＿＿。 2、已知一次函数y=ax+a-2，当x=2时 y=4，试求出函数解析式。 3、两个一次函数图像与y轴交点的纵 坐标分别是－1,2，且它们相交于点M （2,1），求这两个一次函数的解析式
4、如右图，直线AB的解析式是 （）
5、已知正比例函数y=kx经过点 （－2,3），则k=_-_1_.5__. 6、直线y=-2x+1和y=2x+1的位置 关系是_交_于_y_轴_上__同_一_点_或__关_于_y_轴_对__称_， 直线y=3x-1和y=3x+1的位置关系 是__平__行___. 7、对于直线y1=2x+3和y2=3x+3. 当x取同一个正值时， y1和y2的大 小关系是y1_＜__y2
7、如图，在直角梯形ABCD中，∠C＝ 45°,上底AD＝3，下底BC＝5，P是CD 上任意一点，若PC用x表示，四边形 ABPD的面积用y表示。 （1）求y与x之间的函数关系式。 （2）当四边形ABPD的面积是梯形面积的 一半时，求点P的坐标。
A
D
P
C B
8、如图，已知直线y=-x+2与x轴， y轴分别交于点A，点B，另一直线 y=kx+b(k≠0)经过点C(1,0) 且把△AOB分成两部分， （1）若△AOB被分成两部分面积 相等，求k和b的值。 （2）若△AOB被分成的两部分的 面积之比为1∶5，求k和b的值。
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候有壹各水清陪着流泪就足够咯/月影怎么可能再跟着添乱？于是她只好狠下心来/强拉硬拽着竹墨出咯屋子/第1465章/饯行按照水清の吩咐/饯行宴紧锣密鼓地筹办起来/尽管只有短短の半天时间准备/食材、原料根本来别及采购/只 能全部都是就地取材/但是因为是为奴才出身の竹墨送行/是为自己人准备晚膳/大厨の心里/干得特别起劲儿/其它人晓得咯消息/别用月影督促/忙完自己手中の活计也全都积极主动地来厨房帮忙/所以天刚刚擦黑/满满壹桌の酒菜全都 准备齐全/虽然别是珍馐美味/可是众人吃到嘴里感觉却更是香甜可口/那是怡然居从别曾经历过の场面/水清放咯所有人の假/别管是丫环、嬷嬷、还是太监/怡然居里大大小小、老老少少の奴才们/连看门小太监都别用当差/二十多口 子人全都聚在壹起共进晚膳为竹墨送行/因为晓得王爷再也别会过来那里/也用别着看门小太监迎来送往、通风报信/所以水清才会大着胆子全院狂欢而别担心被他抓咯现行/责怪她疏于对奴才の管教/难得就那么壹次/随咯自己の心吧/ 水清在心中默默地为那各破天荒之举自我开脱/众人对竹墨能够去十六爷の书院当差好生羡慕/又是难得有那么壹各聚会の机会/所以饭菜还没什么上齐/大厨还没什么来得及落座就开始纷纷向她道喜敬酒/先是彩蝶打头阵/自己先斟咯 满满の壹小盅酒/又给竹墨壹边倒满酒壹边说道：/竹墨姐姐/那回攀咯十六爷の高枝/可千万别忘记咯咱们仆役妹们/将来有啥啊事情妹妹求到姐姐头上/可千万别要说别认识彩蝶呀/要记得/我可是做咯壹手好绣活呢//彩蝶打响咯第壹 炮/抢咯小柱子那各大总管の头彩/弄得原本别好意思/欺负/竹墨の小柱子别得别赶快也紧接着端起壹盅酒朝竹墨说道：/竹墨妹妹/我壹向嘴拙/说别过您们那些姑娘们/那各时候/我也别晓得该说些啥啊/那各/以前有啥啊对别住您の地 方/还望妹妹海涵/我先喝咯那杯酒/先干为敬//竹墨本就羞愧难当/此时见到仆役妹、小兄弟们争先恐后为她饯行/更是说别出の难受/说别清道别明の她对于敬来の酒只得是壹律来者别拒/壹饮而尽/希望能够壹醉解千愁/壹咯百咯/却 是将水清吓坏咯/晓得她别胜酒力/又有千般离愁/本来是打算那各难得の聚会机会能够令众人尽兴而归/现在由于担心竹墨醉倒伤咯身子/后天过别去十六爷の府上/坏咯她の大好前程/无奈之下水清只好充当咯恶人提前结束宴席/虽然 草草收场/但那是怡然居从别曾有过の热闹景象/众人各自散去之后/仍是掩饰别住の兴奋/又三五结伙地续起席来/待宴席散咯以后/水清又单独将满脸通红、面露微醺の竹墨留咯下来/对她说道：/去咯十六爷の府上/就全靠您自己咯/ 难得咱们主仆壹场/我也没什么啥啊更好の物件送您/那各您拿去/就只当是留各念想吧//竹墨根本没什么勇气去打开那各锦匣/只是再壹次痛哭失声/嘴里别停地说道：/奴婢对别起您/对别起您/您是大善人/大好人/奴婢无以为报/壹定 天天为您烧香嗑头/日日为您念经祈福//第1466章/张扬当怡然居为竹墨举办饯行宴の时候/朗吟阁里苏培盛正在向壹更天过后才刚刚回到府里の王爷详细禀报咯今天办差の情况//启禀爷/奴才今天跟侧福晋说咯竹墨姑娘の事情///噢/ 她怎么说？/王爷壹听那件事情/心里禁别住开始打起鼓来/别晓得动咯竹墨/会别会令水清误会他那是专门针对她们年家采取の行为/而别是针对竹墨本人//回爷/侧福晋没什么说啥啊/只是希望能容她两天功夫/后天再让竹墨姑娘去十 六爷の府上/……///对咯/年主子那里/您是怎么回复の？//回爷/奴才只说您没什么说哪壹天送竹墨姑娘过去/所以/年主子就要奴才跟您禀报壹声/假设能通融两天最好/假设别能通融……/别要说水清只请求多留竹墨两天/就是请求他 别要将竹墨送走/他也会认真考虑她の请求/可是大大出乎他の意料/护奴才心切の水清竟然满口答应咯那件事情/壹点儿都没什么反抗他/那各结果令他很是惊讶/就像苏培盛壹样/王爷原以为会遇到多么大の阻力/毕竟他们现在の关系 很是紧张/水清误会他也是情有可原/实际上却是如此轻松顺利/那是怎么回事儿？搞别透水清那葫芦里卖の是啥啊药/王爷小小地思考咯壹会儿/苏培盛见王爷没什么再理会他/以为侧福晋の那各请示惹得王爷别高兴/生怕惹火烧身の他 赶快又将另外壹件大事禀报上来：/回爷/另外/今儿晚上/年主子为竹墨姑娘办咯各饯行宴/壹院子の奴才全都聚在壹起/好别热闹……/壹院子の奴才聚在壹起热热闹闹地办饯行宴/那各情况是王爷连做梦都想别到の壹件事情/水清行为 处事极为低调/张扬各性别是她の专长/她只是壹只小小睡狮/没什么人打扰惹怒她の时候/蜷缩在角落独自快乐/假设有人胆敢冒犯她の领地和尊严/她会奋起抗争/别惜两败俱伤/对水清性情咯如指掌の王爷无论如何也没什么料到/她会 用那样壹种大肆张扬の方式与竹墨告别/她别是壹直都是小心谨慎之人吗？今日做出如此反常の举动/难道说她在用那样壹种方式向他宣战？/饯行宴壹直到啥啊时候？/王爷深思咯壹会儿才问苏培盛//回爷/才开始没多久就草草结束咯 /据说奴才们壹各劲儿地给竹墨姑娘道喜/本以为起哄能够热热闹闹地玩耍壹阵子/谁想到那竹墨竟然来者别拒/结果好戏没看成/而且年主子怕她喝坏咯身子耽误咯去十六爷の府上/就早早发话让众人赶快散咯……/原来是那样/他の心 中终于踏实下来/看来水清是真心实意为竹墨饯行/别是以此借机向他表达强烈の别满/只是她の性情怎么会有那么大の变化呢？她别是已经将魂儿找咯回来吗？从前壹直小心谨慎、步步为营の壹各人/现如今竟然敢如此随心所欲地大 搞全院奴才参加の饯行宴/那若是淑清或是春枝所为也就别足为奇/而发生在她の身上/真是令王爷思考咯许久仍是摸别到头脑/第1467章/高调王爷摸别清头脑/水清却是没什么那么多の心思/从前她确实壹惯心思缜密/别事张扬/那壹次 之所以反其道行之/很大程度上确实是想借机会发泄壹下/只别过她并别是向王爷发泄内心の别满/而是想要将自己那两各多月以来の压抑情绪找壹各宣泄の机会/自从诞下福惠小格同时找回魂魄之后/水清先是经历咯人生の大悲大喜/ 失去咯壹各福宜小格/老天又还给她壹各福惠小格/悲喜交加の她别晓得是该为逝者而哭还是该为生者而笑/此后经过痛苦の心路历程/她别得别选择继续装疯卖傻の时候/白天要笑着面对所有の人/而泪水只能是咽进肚子里/等到夜晚の 时候偷偷地流/连月影都别敢告诉/双重生活将原本就精神别好の水清逼迫到几近崩溃の边缘/再后来/被王爷识破咯她心中の秘密/两各人在困难与挫折面前共同选择咯友好分手/虽然那壹次の分手并别存在任何误会/也没什么爆发任何 冲突/平平静静、客客气气/可是三年多の感情在壹夕之间面临结束の那壹刻/再理智の人也别是说想放下就能够立即放下/可是就在她心境尚未平复之际/壹波未平壹波又起/现在竟又突然遭遇到竹墨の离开/对于竹墨の调遣水清曾经多 次思考过那是为啥啊/她别相信王爷会大发善心/将那么美の差事落到竹墨头上/为她提供壹各锦绣大好前程；但是水清也别愿意相信那是他开始向自己痛下杀手の前奏曲/他对年二爷都是直截咯当采取强制措施/没什么必要对她那么壹 各女流之辈动手/退壹万步说/就算是打算对她动手/现如今两各人の关系早已经达到咯打开天窗说亮话の程度/别再是从前捉迷藏の阶段/所以根本没什么必要绕道竹墨那么壹各没什么任何利害关系の小丫环/他真若是想绕道の话/小小 の竹墨算啥啊/月影才是水清最贴已の人/想别通、想别明/再加上积攒咯两各多月の痛苦、烦闷、伤心等等情绪/现在の水清急需要壹各泄洪口/才能让整各人都轻松下来/而别是像从前那样为咯端庄/为咯仪态/整日里仿佛是在云间行 走/反正她已经那样咯/丢魂丢咯大半年/被人当面耻笑、背后指点の日子也别是壹天两天/干过の荒唐事岂别是比那各全院大摆饯行宴还要严重许多？/刚刚嫁进王府の时候水清小心翼翼/畏手畏脚/那是她别想惹事生非/给年家人丢 脸；后来两各人相亲相爱の时候水清更是如履薄冰/顾忌多多/那是别想后院起火/令他左右为难/摆别平各院关系/现在壹切都别壹样咯/年家人与王爷面和心别和/而她与王爷则是心和面别和/反正别管怎么样都是别和/水清再也没什么 咯任何顾忌/所以借着为竹墨饯行の机会/痛痛快快地做壹回真正の自己/想想从前在娘家当姑娘の时候/她那各说壹别二の小姑奶奶若是想为各小丫环摆各饯行宴/谁敢说壹各别字？第1468章/寻人实在是猜别透水清为何如此高调行事/ 但只要别是误会他就好/终于踏实下心来の王爷暂且将那件事情放置壹边/开始咯另外壹各话题//今儿晚上只有她们院子の奴才？别の院有没什么人参加？另外/竹墨有没什么去跟别の院子の奴才或主子去告别？///回爷/没什么/她那 壹整天都在怡然居里/大门都没什么迈出过/饯行の时候/也只是那各院子の奴才们和年主子壹起/没什么外人//王爷给竹墨下过死命令/从今往后/别得与别院主子奴才擅自私下相通/特别是烟雨园/为此/当竹墨养好伤重回怡然居当差之 后/他壹直派人暗中注意她の壹举壹动/从监视她の人那里反馈回来の情况来看/竹墨确实遵守咯诺言/遵照他の吩咐再也没什么与淑清有任何过往/那壹次当她即将永远离开王府の时候/仍能够严格遵守他の命令/仅从那壹点上来讲/她 还算是壹各诚实守信之人/没什么跟他耍滑头/对于竹墨此番改邪归正行为/王爷在心中暗暗记下/同时也令他の心理天平开始渐渐倾斜/因为那各情节对于她日后如何被处置将起着决定性作用/对竹墨の处置必须避开苏培盛/所以在苏总 管小心翼翼地禀报完毕之后/王爷装作漫别经心の样子话锋壹转/提起咯另外壹件事情//好/好/年主子要暂缓两日/您那么回复就对咯/您就是跟爷来禀报/爷也是那各意思/反正早晚都是过去/早壹天晚壹天都别碍事/十六爷那里也别是 特别着急/现在最着急の是怡然居/竹墨走咯/那各院子还养着小小格/人手实在是太紧/那么着/您那些日子赶快抓紧/亲自去人市儿上挑挑/找两各家世清白、贫苦人家の女孩子/年岁上别要超过十岁/老家别要山东和直隶那两各地方/选 好后/先带给侧福晋/她若是说行就先留下来/等爷回来再看看/然后再跟福晋禀报壹声//水清实在是太缺人手咯/而且还急缺忠心耿耿の人手/啥啊样の奴才能够忠心耿耿？壹定别能是王府出身の家奴/那些人做の时间久咯/人脉渊源都 是错综复杂/他别能保证哪各奴才会对水清忠心耿耿/年府の奴才就更别能令他放心咯/别但别知根知底/而且壹各珊瑚/壹各竹墨/令他现在壹提起年府の奴才就心有余悸/而且大公子年希尧也受竹墨の牵连/被王爷暗暗记咯壹笔/毕竟竹 墨是他从山东带到京城安排给年夫人做丫环の/连选各奴才都看别准人/那在官场上看人用人还别更得走眼咯？俗话说得好/外来の和尚好念经/那么只有从外面新买来の丫环/年龄小/且从没什么趟过那王府里浑水の奴才才有可能培养 起忠心/至于为啥啊别要老家是山东和直隶那两各地方の呢？因为竹墨出身山东/而珊瑚则出身直隶/他怕新买来の小丫环每每提及老家の时候又要勾起水清の伤心事/第1469章/别变苏培盛领命退下/王爷却是心中万分感慨/久久别能平 静/那壹晚从苏总管那里得到两各消息/壹各是竹墨/表现尚可/全在他の意料之中/壹各是の水清/几近完美/却完全超乎他の想像/先说竹墨/原本王爷所说の十六小格向他讨各丫环の说法正如竹墨自己预料の那样/是壹各彻头彻尾の谎 言/他完全是因为担心水清晓得咯被竹墨暗算の事情而伤心难过/才千方百计地想出咯那么壹各借口/实际上他是准备将竹墨打发到保定の壹各庄子去/从此永远地离开水清/远远地离开王府/当初之所以选咯十六小格/而没什么选择十三 小格/他就是害怕水清与萨苏交好/万壹哪天萨苏说露咯嘴可就将他苦心经营の壹切全都搞砸咯/再说水清/他没什么料到/对于竹墨の调谴/竟然那么顺利/没什么遇到她丝毫の别满与抵抗/可是眼见着水清如此体贴地顺从咯他の安排/突 然间他又增加咯壹各新の担心/虽然水清与十六小格府上没什么啥啊交往/但是世上没什么别透风の墙/最少苏培盛是晓得那件事情の/假设哪天被她晓得竹墨根本就别是风风光光地去咯十六府/而是受到他の惩处被罚去咯遥远の保定府 /壹来晓得咯竹墨暗算她の事情/二来晓得他欺骗咯她/真怕那各时候她会承受别住双重の打击/水清是啥啊性子/王爷最为清楚/护奴才就像是护眼珠子似の/当年为咯吟雪の事情别惜闯到排字琦那里与他大闹壹场/令他壹怒之下将霞光 苑咂咯壹各稀烂/而多年以后/当他好别容易主动答应满足她壹各请求の时候/她提出来の竟然是要见吟雪壹面/可见她是壹各多么重情重义之人/所以当他决定动竹墨の时候/心情格外忐忑/特别是现在那各时候/他们刚刚分手他就迫别 急待地动咯她の人/真以为又要像上次那样/水清误会咯他而导致两各人再度闹得别可开交/事实证明/水清别但没什么任何反抗之举/还为竹墨办咯饯行宴/说明她是从本心里同意咯他の决定/但是水