狭义相对论的动力学基础

EK mc2 m0c 2
E m c2 为粒子以速率v运动时的总能量
EK E E0 动能为总能和静能之差。
结论：一定的质量相应于一定的能量，二者的 数值只相差一个恒定的因子c2 。
E mc
2
为相对论的质能关系式
按相对论思维概念，几个粒子在相互作用过 程中，最一般的能量守恒应表示为：
2 E K v 2 c 2 1 1 2 m c 0
表明：当粒子的动能由于力对其做功而增大 时，速率也增大。但速率的极限是c ，按照 牛顿定律，动能增大时，速率可以无限增大。 实际上是不可能的。
四、相对论能量 质能关系
动能 总能量 静止能量
微观粒子速率接近光速如中子v=0.98c时
m 5.03m0
牛顿力学是相对论力学在低速情况下的近似
2、
m
m0 v 1 2 c
2
v>c时，m成为负数， 无意义所以光速是物体 运动的极限速度。
二、相对论动量
m m0 v 1 2 c
2
根据：
P ＝mv
m0 v
2
＝mv 相对论动量可表示为： P
2 2 0
两边求微分:
2
2m c dm 2m v dm 2m vdv 0
c dm v dm m vdv
2 2
EK c dm m c m0c
2 2 m0
m
2
即相对论动能公式。
当 v<<c 时:
1 v2 1 2 c
1 v2 1 v2 1 1 2 2c 2 c2
1 m A mB M 2
O
A O'
B
x’'
x
据动量守恒定律，A、B速率应相等，设：
u A uB u
S相对S'以－u‘ 运动，S中A静止，B运动 O'相对O的速度为u
据相对论速度变换：
2u 所以 v B 2 u 1 2 c S系：分裂前粒子速度为u，动量为Mu, 分裂后A、B 总动量为mBvB, 质量守恒：M＝mA+mB 动量守恒：Mu=mBvB
可见
M 0 2m0
M 0 2m0
在此题中设有S’系 以速度 u vi 运动， 证明在此参照系中A、B在碰撞前后动量守恒。
即： ( m A
2 mB u mB )u u2 1 2 c
v x u vx u 1 2 v x c
(m A
2 mB u mB )u 2 u 1 2 c
在牛顿力学中：mA=mB =m 上式为：
2 mu 2 mu 2 u 1 2 c
显然不成立
应该：动量守恒定律在任何惯性系中均成立， 且动量定义保持不变。 考虑： mA、 mB为各自速率的函数mA≠mB
由
(m A
2 mB u mB )u 2 u 1 2 c
2
可解出
u 1 2 c mB m A 2 u 1 2 c
2
由 vB
2u 2 u 1 2 c
代入mB得:
mB
可得：
2 c vB u 1 1 2 vB c
mA v 1 c
2 B 2
E (m c
i i i i
2
) 常量
m
i
i
常量 表示质量守恒
历史上： 相对论中： 独立 统一
能量守恒 动量守恒
放射性蜕变、原子核反应的证明。
核反应中：
反应前： 反应后： 静质量 m01 静质量 m02
2
总动能EK1 总动能EK2
2
能量守恒： m01c EK1 m02c EK 2
因此：
EK 2 EK1 (m01 m02 )c
2
总动能增量
总静止质量的减小 质量亏损
E m0c
2
核反应中释放的能量相应于 一定的质量亏损。
例1、在S参照系中有两个静止质量均为m0的粒 子A、B 。分别以速度
相向运动，相撞后合在一起成为一个静止质量 为M 0的粒子。求M 0
v A vi v B vi
解：设合成粒子质量M、速度V 据动量守恒
mB v B mA v A MV
mA0 mB0 vA vB mA mB
vA vB V 0 M M0
据能量守恒：
Mc M 0c mAc mBc
2 2 2
2
即： M0 ＝m A mB
2m0 v2 1 2 c
mB
mA v 1 c
2 B 2
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mA:静止粒子质量 mB:运动粒子质量
m0 v2 1 2 c
m0 m
记作：
m
m称相对论性质量。式中v为粒子相对某一参照 系的速率。
v c
m m0
牛顿力学
讨论： 1、宏观物体一般v=104m/s,此时： m m0 1 1 2 1 5.6 1010 2 m0 2 1
v d (mv) mv d v v vdm mvdv v dm
2
m
m0 v2 1 2 c
2 v 2 2 m 1 m 0 2 c
m c m v m c
2 2 2 2
2 2 0
将
m c m v m c
2 2 2 2
2 2
一、相对论质量
动量定义 P ＝mv 牛顿力学：质量与速度无关 相对论力学：质量与速度有关，否则动量 守恒定律不能在洛仑兹变换下保持形式不 变。 y y’' 说明： S'系：有M，静 止于O'
ui ' ui ' ui '
t 时刻分裂
O
A O'
B
x’' x
y
ui ' ui '
y’'
ui '
则： EK mc2 m0c 2
v 2 2 m0 1 2 c m0 c 2c m0 2 2 2 m0 c v m0 c 2 1 2 又回到了牛顿力学 m0 v 的动能公式。 2
2
根据
EK
m0 v 1 2 c
2
c m0 c
2
2
可以得到粒子速率由动能表示的关系为：
v 1 2 c 在相对论力学中仍用动量变化率定义质点受到 的作用力，即：
dP d F (mv) dt dt
注意：质量 随速度变化
三、相对论动能
仍用力对粒子做功计算粒子动能的增量，并 用EK表示粒子速率为v时的动能，则有
EK F d r
0 v v 0 v d (mv) d r v d (mv) 0 dt