自动控制原理课程教案附录1拉普拉斯变换
东南大学成贤学院自动控制原理ppt(程鹏主编第二版)拉普拉斯变换
F (s)
2s 12 1 j 2.5 1 j 2.5 2 s 2s 5 ( s 1 j 2) ( s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) 2 2 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 2 2( s 1) 10 s 1 2 2 5 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22
如果f(t）的各阶导数初始值都为零 ：
d n f (t ) L s n F (s) dt n
3．积分准则
L f (t ) F (s)
t f (t )dt F ( s ) L 0 s
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
4．平移定理
f (t )
例Ⅱ-1-1. 利用拉普拉斯变换性质，求如下图形F(s)
f (t )
2.0
0
b
t
0
c
t
（a） f (t ) 2 1(t ) 2 1(t b)
2 2 bs 2(1 e bs ) F ( s) e s s s
所以：
（b）
f (t ) t t (t c)
d 3 f (t ) 3 2 L s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 3 dt d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L ( 0) s F ( s ) s f (0) s f (0) f n dt d 2 f (t ) 2 L s F ( s ) sf (0) f (0) 2 dt
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换复习课程
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换附录1. 拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3） 0()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。
式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。
为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。
同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。
表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。
它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。
自动控制原理 第2章第1讲 复习拉普拉斯
L[ f ′(t )] = s ⋅ F (s ) − f (0 )
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
1 1 L ∫ f (t )dt = ⋅ F (s ) + f ( -1) (0 ) s s
[
]
L [ f ( t − τ )] = e − τ ⋅ s ⋅ F ( s )
L e A⋅t f ( t ) = F ( s − A)
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →0 s→∞
[
]
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →∞ s→0
举例2 §2. 1 非线性系统微分方程的线性化（举例2） 例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程
例3 求 解 .
L[cos(ω t )] = ?
1
cos ω t =
s ω = 2 L[cos ω t ] = L[sin′ ω t ] = ⋅ s ⋅ 2 2 s +ω2 ω s +ω ω 1 1
ω
[sin′ ω t ]
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
[∫ f (t )dt ] = 1 ⋅ F (s ) + 1 f ( （3）积分定理 L s s 1 零初始条件下有： 零初始条件下有： L[∫ f (t )dt ] = ⋅ F (s ) s
F (s )
1 1s
1s 3 1s
2
δ (t )
1( t ) t t2 2
e − at sin ω t cos ω t
1 ( s + a)
ω (s2 + ω 2 ) s (s2 + ω 2 )
自动控制原理课程教案(电气专54课时)
自动控制原理课程教案(电气专54课时)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《自动控制原理》课程教案课程名称：自动控制原理学时/学分： 54/3开课系部：机电系适用专业：电气自动化教案编写：王锋山东农业工程学院教务处制教学内容及过程教学内容与教学设计引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）的模型窗口。
2)将所需的模块方框图拖入模型窗口。
自动控制原理拉氏变换
s
δ(t )
d [
ε(t )]
S
1
1
dt
S
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
3.积分性质
重点！
设： [ f (t)] F(s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
F(s) s
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ(s)
[ f (t)]
dt
F(s) K - Ke-t
K K Ka s s a s(s a)
2. 微分性质
若： f (t) F(S) udv uv vdu
则
df ( t dt
)
sF ( s )
f
(0 )
重点！
证：
df ( t dt
例13-8
求：F(s)
s2
1 (s 1)3
的原函数f
(t)
解
F(s)
K22 s
K21 s2
K13 (s 1)
K12 (s 1)2
K11 (s 1)3
以(s+1)3乘以F（s）
(s
1)3
F (s)
1 s2
1
K11 s2 s1 1
K12
d ds
1 s2
s1
注 f (t t0) 0 当 t t0
证：
f(t - t0 )
0
f (t t0 )estdt
自动控制原理教案
自动控制原理教案经典控制部分第一章控制理论一般概念3学时 (2)第二章控制系统的数学模型9学时 (6)第三章控制系统的时域分析10学时 (15)第五章频率特性12学时 (26)第六章控制系统的校正与设计8学时 (36)第七章非线性系统8学时 (40)第八章离散控制系统8学时 (45)第一章控制理论一般概念3学时1．本章的教学要求1）使学生了解控制工程研究的主要内容、控制理论的发展、控制理论在工程中的应用及控制理论的学习方法等内容，认识本学科在国民经济建设中的重要作用，从而明确学习本课程的目的。
2）使学生深入理解控制系统的基本工作原理、开环闭环和复合控制系统、闭环控制系统的基本组成等内容，学会利用所学控制原理分析控制系统。
3）使学生学会控制系统的基本分类方法，4）掌握对控制系统的基本要求。
2．本章讲授的重点本章讲授的重点是控制系统的基本概念、反馈控制原理、控制系统的的基本分类方法及对控制系统的基本要求。
3．本章的教学安排本课程讲授3个学时，复习学时3个。
演示《自动控制技术与人类进步》及《自动化的应用举例》幻灯片，加深同学对本课程研究对象和内容的了解，加深对反馈控制原理及系统参数对系统性能影响的理解。
[教案1-1]第一节概述1．教学主要内容：本讲主要介绍控制工程研究的主要内容、控制理论的发展、控制理论在工程中的应用及控制理论的学习方法等内容。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先介绍控制工程研究的主要内容，给出定义，并以瓦特发明的蒸汽机离心调速器为例，说明需要用控制理论解决控制系统的稳定、准确、快速等问题。
其次，在讲授控制理论的发展时，主要介绍控制理论的发展的三个主要阶段，重点说明经典控制理论、现代控制理论研究的范围、研究的手段，强调本课程重点介绍经典控制理论。
另外，在介绍控制理论在工程中的应用时，应举出控制理论在军事、数控机床、加工中心、机器人、机电一体化系统、动态测试、机械动力系统性能分析、液压系统的动态特性分析、生产过程控制等方面的应用及与后续课的关系，激发同学的学习兴趣。
拉普拉斯变换(自动控制原理)
所以
L f (t)dt F (s) f (0)
s
s
定理得以证明
在此基础上加以推广，求二次积分 f (t)dt2 拉斯变
换，同理将 f (t)dt 看成为 f (t)dt2 的导函数
f (t)dt [ f (t)dt 2 ]
L f (t)dt sL f (t)dt2 f (0)dt2 t0 L
d3 f
L
dt3
L
d dt
d2 dt
f
2
d2 f
sL
dt 2
d2 f dt 2
t0
s[s2F(s) sf (0) f (0)] f (0)
s2F(s) s2 f (0) sf (0) f (0)
F(s)
f (t)dt t0 sL
f (t)dt2
f (t)dt2
s
s
t0
所以
L
f (t)dt2
F(s) s2
f (t)dt t0
s2
f (t)dt2
t0
s
在零初始条件下
f (t)dt f (t)dt2 0
2、微分定理
微分定理是拉普拉斯变换的核心定理，为什么利用 拉斯变换可以将微分、积分的运算简化为一般的代 数运算？它的依据就是微分定理
微分定理告诉我们 如果： L[ f (t)] F (s)
则 L[ df ] sF(s)- f(0) dt
下面我们进行证明
证明：依据拉斯变换的定义，有
L
v
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换
常用的拉氏变换法则（不作证明）
1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。 拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常
第 2 页 共 12 页
数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即 L(af (t )) aF (s) 拉氏变换的叠加性是：若 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的拉氏变换分别是 F1 ( s) 和 F2 ( s) ，则有
s 2
2
cos t
s s 2
2
tn
1 (bebt ae at ) ba
n! s 1
n
s ( s a)( s b)
e at sin n t e at cos n t
n
( s a)2 n 2 sa ( s a)2 n 2
2 n 2 s 2 2n s n
1 ( s j ) t 1 ( s j ) t e dt e dt 0 2j 2 j 0 1 1 1 ( ) 2 j s j s j
s 2
2
同理求得余弦函数的拉氏变换为
L[cos t ] F (s)
s 2
2
lim e st 0
t
第 1 页 共 12 页
附录1.1.2
单位脉冲函数的拉氏变换
单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。 它是在持续时间 0 期间内作用的矩形波， 0 t 和t 0, 其幅值与作用时间的乘积等于 1，如图 3-3 所示。其数学表达式为 (t ) 1 lim 0t 0 其拉氏变换为
L[ f n (t )] s n F (s)
图1
平移函数
3．积分定理
自动控制原理补充拉普拉斯变换
补 充
立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立
） 在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理
论的数学基础。
一．拉普拉斯变换的定义和存在定理
1． 定义
设函数 f(t) 在 t 0 时有定义，而且积分
拉
普 拉
f (t)est dt 0
s j是复变量
斯
变 在s的某个域内收敛，则由此积分所确定的函数可写成
0
F (s) f (t)dt t0 F (s) f 1 0
s
s
s
s
• 当初始条件 f (t )dt t0 0 时，由上式有
拉 普 拉
L
f
(t)dt
F (s) s
斯
变 • 同理，可以证明在零初始条件下有
换
及 其 反
L
f
(t
)(
d
t
)
2
F (s) s2
变 换 （ 补
L
n
f
(t
斯
变
换 • 若具有零初始条件，
及 其
•
即
反
f (0) f (0) f (n1) (0) 0
变
换 （
•则
L f (t) s2 F (s)
…… L f (n) (t ) s n F (s)
补
充 • 上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉
） 氏式等于其象函数乘以。这使函数的微分运算变得十分简单
（11）
充
）
• 3、微分定理
拉 普 拉
L f (t) sF (s) f (0) （12）
斯
变
换•
及
在零初始条件下
自动控制原理第一讲_拉氏变换
第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。
3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。
4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。
而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。
2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。
应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。
3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。
即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。
显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。
例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。
解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。
自动控制原理-附录拉氏变换
附录1： 拉普拉斯（LapLace ）变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
一、拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t 为自变量的实变函数)(t f ，它的定义域是0≥t ，那么)(t f 的拉普拉斯变换定义为⎰∞-==0)()()]([dt e t f s F t f L st （1-1）式中，s 是复变数， ωσj s +=（σ、ω均为实数），⎰∞-0st e 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称)(s F 为)(t f 的象函数，而称)(t f 为)(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（1-1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数)(1t 的拉氏变换)(t f 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为)0()0(101≥<⎩⎨⎧∆t t t ）（图1-1 单位阶跃函数单位阶跃函数如图1-1所示，它表示在0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为∞--∞-===⎰00|1)(1)](1[)(st st e sdt e t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0lim →-∞→stt e所以 ss e ss F st1)]1(0[1)(0=--=-=∞-（1-2）2.指数函数atet f -=)(的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
dt e dt ee eL s F t s a atst at⎰⎰∞+--∞--===0)(0][)(令a s s +=1则与求单位阶跃函数同理，就可求得 as e L s F sat+===-11][)(1（1-3） 3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设t t f ωsin )(1=， t t f ωcos )(2=，则dt te t L s F st ⎰∞-==01sin ][sin )(ωω由欧拉公式，有je e t tj t j 2sin ωωω--=所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞---001j 21)(dt e e dt e e s F stt j st t j ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞+---00)()(j 21dt e dt e t j s t j s ωω ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=∞+-∞--0)(0)(j s 1j -s 1j 21t j s t j s e e ωωωω22s j s 1j -s 1j 21ωωωω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=（1-4）同理 222][cos )(ωω+==s st L s F （1-5）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间)0(→=εεt 期间幅值为ε1的矩形波。
自动控制原理第三次课-拉普拉斯变换及反变换
2 1 2 2 t [ ] ( 2 2t t )e 2e 3t s3 2
第28页
闽南理工学院
自动控制原理
3）当解出 s 有共轭复根时，对 F(s) 作因 式分解：
a3 an a1s a2 F ( s) ( s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
1
1 r (t ( ) s) F 3 s
第 6页
闽南理工学院
自动控制原理
(t )
（4）单位脉冲函数
0 t 0 (t ) t 0
0
t
重要性质
(t ) f (t )dt f (0)
0 0
(t )dt (t )dt 1
第19页
闽南理工学院
自动控制原理
二、 拉氏反变换及其计算方法 1、拉氏反变换
1 c j st f (t ) L ( F ( s)) F ( s ) e ds 2j c j
1
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
第20页
闽南理工学院
自动控制原理
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
f (t ) sin t 1(t )
t
0
1
e
t
0
t
t
1 jt jt st L[sin t ] (e e )e dt 2 2 0 2j s
（7）余弦函数
0
f (t ) cost 1(t )
1 j t s j t st L[cos t ] (e e )e dt 2 2 0 2 s
2
s 1 c3 1 (s 3) s 2
【电路理论电子教案】拉普拉斯变换(Laplace Transformations)
CH13 拉普拉斯变换(Laplace Transformations)本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。
§13-1拉普拉斯变换定义教学目的：拉普拉斯变换的定义。
教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。
教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
二、拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数)(t f ,其拉氏变换)(s F 定义为:⎰∞-==0)()]([)(t f t f L s F e -st dt式中：s=б+j ω为复数，有时称变量S 为复频率。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。
F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
三、几个常见函数的拉氏变换 1．的拉氏变换)(t ε⎩⎨⎧≥<=.01;00)(t t t ε s e sdt e dt e t t L s F st st st 1011)()]([)(00=∞⋅-=⋅===--∞∞-⎰⎰--εε2．)(t δ的拉氏变换⎪⎩⎪⎨⎧==≠=⎰∞+∞-.01)(;00)(t dt t t t δδ§13-2拉普拉斯变换的基本性质教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
教学重点：拉普拉斯变换的性质。
教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。
拉普拉斯变换教案
第九章--拉普拉斯变换教案(总36页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。
会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。
2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。
3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。
4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。
教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。
教学手段：多媒体、板书演示。
重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11112212112222a x a x ba x a x b+=⎧⎨+=⎩(1)利用消元法，当11221221a a a a-≠时，得到上述方程组的解为122122112121121122122111221221,b a a b a b a bx xa a a a a a a a--==--。
(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。
（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号1112112221222122a aa a a aa a=-为二阶行列式。
其中的数(,1,2)ija i j=称为该行列式的第i行、第j列元素。
(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。
为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。
自动控制原理拉普拉斯变换
精品资料
拉普拉斯变换
三、一些常用函数(hánshù)的拉普拉斯变换
例1 求单位阶跃函数(háu tnshù) 的拉氏变换
解
u(t)
0 1
t0 t0
根据定义
L[ f (t)] f (t)estdt 0
L[u(t)]
1
0
est dt
1 s
e st
1
式中，
s3 A1 (s 1)(s 2) (s 1) s 1 2
A2
(s
s3 1)(s
2)
(s
2)
s
2
1
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 1 ] 2et e2t t 0 s 1 s 2
精品资料
五. 拉普拉斯逆变换
（2）包含(bāohán)共轭复极点时的f (t) 逆变换
A2
] L1[
An
]
s p1
s p2
s pn
A1e p1t A2e p2t Ane pnt
精品资料
五. 拉普拉斯逆变换
例5.求下列(xiàliè)函数的拉氏逆变
换。
已知 F (s)
s 3 ，求
(s 1)(s 2)
f (t) L1[F (s)]
解： F (s) A1 A2 s 1 s 2
如果F (s)有一对共轭复极点，则可以利用下面
(xià mian)的展开式简化运算。
设 p1, p2为共轭复极点
F (s) A1s A2 A3 An
(s p1)(s p2 ) s p3
s pn
式中， A1, A的2 计算可根据 [F (s) (s p1)(s p2 )] s p1 ( A1s A2 ) s p1
附录1拉普拉斯变换(修改)
附录1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换，是常用的积分变换之一。
拉氏变换可用于求解常系数线性微分方程，是分析研究线性系统的有力数学工具。
通过拉氏变换，将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，使系统的分析大大简化。
这里首先复习复数、复变函数的概念，然后介绍拉氏变换及反拉氏变换的定义、性质与方法，以及一些典型时间函数的拉氏变换方法。
1 复数与复变函数1-1 复数的定义设σ和ω是任意两个实数，则j σω+称为复数，记为s j σω=+ （1-1）其中，σ和ω分别称为复数s 的实部和虚部，记为 Re()s σ=， I m ()s ω=。
j =为虚数单位。
对于一个复数，只有当实部和虚部均为零时，该复数为零；对于两个复数而言，只有当实部和虚部分别相等时，两复数相等。
j σω+和j σω-称为共轭复数。
注意：实数间有大小的区别，而复数间却不能比较大小，这是复数域和实数域的一个重要的不同.1-2 复数的表示方法1） 平面向量表示法复数s j σω=+可以用从原点指向点σω（，）的向量来表示如图1-1，向量的长度称为复数s j σω=+的模，即s r == （1-2）向量与σ轴的夹角θ称为复数s 的幅角，即1tan ωθσ-= （1-3） 2） 三角表示法 由图1-1可知，cos r σθ=，sin r ωθ= 图1 -1复数的向量表示因此，复数的三角表示法为(cos sin )s r j θθ=+ （1-4）3） 指数表示法 由欧拉公式cos sin j ej θθθ=+式（1.1）可以写成j s r e θ= （1-5）分别称式（1-4）和式（1-5）分别称为复数的三角形式和指数形式，则式(1-1)称为复数的代数形式，这三种形式可相互转换。
1-3复变函数以复数s j σω=+为自变量，并按某种确定规则构成的函数()G s 称为复变函数。
复变函数()G s 可写成()()G s u j vs E =+∈ （1-6）其中,u v 分别称为复变函数的实部和虚部，点集E 称为函数的定义域，相应地()G s 取值的全体称为函数的值域。
自动控制原理第2章 数学基础
s p1 2 2 s 3s 1 1 2 ( s 0) s 3 2s 2 s 0 2
2017/6/16
第2章 数学基础
25
2.2 拉普拉斯反变换
d k12 ( s p1 ) q F ( s ) ds
s p1
2.2 拉普拉斯反变换
得到象函数为：
-3 7 F ( s) s2 s3
得到原函数为：
f (t ) -3e
2t
7e
3t
2017/6/16
第2章 数学基础
21
2.2 拉普拉斯反变换
2、 D(s)=0有重根 设p1为D(s)=0的重根，其余的全部都为单 根，则F(s)可以分解为
1 5 3 2t f (t ) t e 2 4 4
2017/6/16 第2章 数学基础 27
2.2 拉普拉斯反变换
3、D(s)=0有共轭复根 设共轭复根为 p1 j ， p2 j 则
N ( s) k1 [(s j ) F ( s)] s j D( s) s j
0
1 st st st f (t )e dt e dt e 0 s
st st 0
f (t ) (t )
0 0 0
0
1 s
F (s) L[ f (t )] f (t )e dt (t )e dt (t )e st dt e s (0) 1
即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两 个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反 变换的时候，起着十分重要的作用。
2017/6/16
拉普拉斯逆变换教案
自动控制原理教案学院：物理与电子工程学院授课人：张虎学号：121212Z119课程名称自动控制原理课程类别学科专业必修授课专业自动化（本科）授课对象自动化及其相关专业学生课题拉普拉斯反变换教学方法1.讲授法讲授法是教学中最常用，最基本的一种教学方法，但它确实让学生在较短的时间内获取较多的知识。
2.多媒体教学法多媒体教学法越来越成为现代教学的一种重要手段，利用多媒体教学可节省教学时间，提高课堂效率，把时间节省下来，留给学生思考，更好地理解本堂课的内容。
教学目的和要求1.掌握拉普拉斯反变换的方法。
2.理解并能熟练应用拉普拉斯反变换。
重点难点重点：部分分式分解难点：部分分式分解中系数的求解问题教学内容、方法过程课题拉普拉斯反变换一、复习导入备注上节课我们学习了拉普拉斯变换的相关知识，下面让我们回顾一下拉普拉斯变换定理：1．平移函数2．f(t)与teα-相乘3．时间比例尺4．微分定理5．终值定理6．初值定理7．积分定理其中，法则4、5、6、7是我们在做拉普拉斯变换中最常用到的四条法则。
和同学们一起复习回顾拉普拉斯变换定理。
( 通过PPT 放映回顾)二、讲授新课（一）新课导入1、介绍拉普拉斯变换的应用。
（1）解线性微分方程。
（2）求拉普拉斯逆变换的常用方法：部分分式展开法和围线积分法。
导入课程，激发学生的求知欲（二）新课讲授1．拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换：从象函数F(s)求原函数f(t)的过程称为拉普拉斯反变换。
⎰∞+∞-π=j c j c d s ste )s (F j21)t (f 2．求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式展开法和围线积分法。
原函数的象函数一般都是有理分式的形式：011n 1n n n 011m 1m m m b s b ...s b s b a s a ...s a s a )s (B )s (A )s (F ++++++++==---- 系数a i 和b i 都为实数，m 和n 是正整数；通常情况下：b n =1A(s)=0→Z1,Z2...Zm 零点 B(s)=0→P1,P2...Pn 极点3．求解拉普拉斯反变换的过程a.找出F(s)的极点b.将F(s)展成部分分式c.查找拉普拉斯变换表求f(t) 例4.5. 查表法求拉普拉斯反变换1132)()1(+++=s s s s F )0()(2)(')(112)(≥--+=∴+-+=t t e t t t f s s s F δδ解：通过PPT 结合板书讲解新课，通过例题强化对所讲知识的理解三、课程总结1、在运用拉普拉斯变换解决工程技术中的应用问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
附录1. 拉普拉斯变换附录1.1 拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3）()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。
式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。
为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。
同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。
表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1 单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为 0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。
它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。
其数学表达式为00, 0()1lim 0 t t t t εεδεε→>>⎧⎪=⎨<<⎪⎩和 其拉氏变换为0000220[()]()lim ()11lim[]lim [1]1 lim [1()]11!2!st st s L t s t e dte e ss s s s εεεεεεεδδδεεεεε-→--→→→===⨯=-=-++=⎰L附录1.1.3 单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换单位斜坡时间函数为0,0(),0t f t t t <⎧=⎨>⎩如图3-2所示，斜坡时间函数的拉氏变换为022011()[]st st st t F s te dt e e s s s∞---∞==-+=⎰。
Re[]0s > 同理单位抛物线函数为21()2f t t =其拉氏变换为31()F s s =，Re[]0s >。
附录1.1.4 正弦和余弦时间函数的拉氏变换正弦函数的拉氏变换为00()()00221[sin ]()sin ()211 22111()2 st j tj t st s j t s j tL t F s te dt e e e dt je dt e dt j j j s j s j s ωωωωωωωωωω∞∞---∞∞---+===-=-=--+=+⎰⎰⎰⎰同理求得余弦函数的拉氏变换为22[cos ]()L t F s s ωωω==+常用的拉氏变换法则（不作证明）1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。
拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即(())()L af t aF s = 拉氏变换的叠加性是：若1()f t 和2()f t 的拉氏变换分别是1()F s 和2()F s ，则有1212[()()]()()L f t f t F s F s +=+2．微分定理 原函数的导数的拉氏变换为()()(0)df t L sF s f dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦式中 (0)f ——()f t 在0t =时的值。
同样，可得()f t 各阶导数的拉氏变换是222()()(0)'(0)d f t L s F s sf f dt ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦3323()()()'(0)''(0)d f t L s F s s f s sf f dt ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L121()()()'(0)(0)n n n n n nd f t L s F s s f s s f f dt ---⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦L L 如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为['()]()L f t sF s =2[''()]()L f t s F s = 3['''()]()L f t s F s =L L L L L L L L [()]()n n L f t s F s =图1 平移函数3．积分定理 原函数()f t 积分的拉氏变换为(())()()t f t dt F s L f t dt ss=⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 当初始值为零时()()F s L f t dt s⎡⎤=⎣⎦⎰ 4．时滞定理 如图A-1所示，原函数()f t 沿时间轴平移T ，平移后的函数为()f t T -。
该函数满足下述条件0t <时，()0f t = 0t T <<时，()0f t T -=则平移函数的拉氏变换为[()]()()st sT L f t T f t T e dt e F s ∞---=-=⎰这就是时滞定理。
5．初值定理 如果原函数()f t 的拉氏变换为()F s ，并且lim ()s sF s →∞存在，则时间函数()f t 的初值为lim ()lim ()t s f t sF s →→∞=表A-1 拉普拉斯变换对照表6．终值定理 如果原函数()f t 的拉氏变换为()F s ，并且()sF s 在s 平面得右半平面和虚轴上是解析的，则时间函数()f t 的稳态值可如下求得lim ()lim ()t s f t sF s →∞→=这一定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的。
但是，当()sF s 的极点的实部为正或等于零时，不能应用终值定理。
这一点必须注意。
在下面的例题中，还要说明。
例1 应用初值定理求21()(2)F s s =+的原函数()f t 的初始值(0)f 和'(0)f 。
(1) 求()0f 。
根据初值定理()()0lim s f sF s →∞=得()()210limlim0424s s sf s s s→∞→∞===+++(2) 求()0f '。
因为()()()()()2002sL f t sF s f f s '=-=-⎡⎤⎣⎦+将已求得的()00f =带入上式得()()22sL f t s '=⎡⎤⎣⎦+根据初值定理得()()2210lim lim14421s s sf ss s s→∞→∞'===+++可以校核这一结果的正确性，由()()L F s f t -=⎡⎤⎣⎦得()2t f t te -=()200lim 0t t f te -→==()2200lim 21t tt f e te --→'⎡⎤=-=⎣⎦例2 应用终值定理求()55t f t e -=-的终值。
因 ()()51F s s s =+所以得()()()05lim lim lim51t s s f t sF s s →∞→→===+也可以按下式求()f t 的终值()lim lim(55)5t t t f t e -→∞→∞=-=例3 应用终值定理()22F s s ωω=+原函数的终值，并用()sin f t t ω=的终值进行校核。
由于()22s sF s s ωω=+有两个极点在虚轴上，所以不能应用终值定理。
如用终值定理，则得()()220lim lim lim0t s s s f t sF s s ωω→∞→→===+这个结论是错误的，因为表1A -得知原函数为()sin f t t ω=，该函数为周期性的简谐振荡函数，没有终值。
7. 卷积和定理 如果时间函数()1f t 和()2f t 都满足条件：当0t <时，()()120f t f t ==则()1f t 和()2f t 的卷积为()()()()12120tf t f t f f t d τττ*=-⎰由于卷积符合交换律，卷积也可写成()()()()21210tf t f t f f t d τττ*=-⎰()()()()1221f t f t f t f t *=*如果()1f t 和()2f t 是可以进行拉氏变换的，()()11F s L f t =⎡⎤⎣⎦，()()22F s L f t =⎡⎤⎣⎦。
那么()()12f t f t *的拉氏变换可求得如下()()()()12120tL f f t d F s F s τττ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰ 这称为卷积定理。
根据卷积符合交换律得()()()()21210tL f f t d F s F s τττ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰ 因此()()()()()()()()12211221L f t f t L f t f t F s F s F s F s *=*==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦8. 位移性质 如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦，则有()()at L e f t F s a -⎡⎤=+⎣⎦，[]Re 0s a +>附录1.2 拉普拉斯反变换求反变换的运算公式是()()12c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰用上式求反变换显然是很复杂的，但是对与绝大多数控制系统，并不需要利用这一公式求解反变换，而是按照下面的方法求反变换。
在控制系统中，拉氏变换可以写成下列一般形式()10111011m m m mn n n nb s b s b s b F s a s a s a s b ----++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ ()3A -一般n m >。
式3A -可以分解为诸因式之积：()()()()()()()1212m n K s z s z s z F s s p s p s p ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()4A -式中当12, , , m s z s z s z =-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时，()0F s =。
因此，12, , , m z z z --⋅⋅⋅⋅⋅⋅-称为复变函数()F s 的零点。
当12, , , n s p s p s p =-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时，()F s =∞，因此，12, , , n p p p --⋅⋅⋅⋅⋅⋅-称为复变函数()F s 的极点。