自动控制原理课程教案附录1拉普拉斯变换
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附录1. 拉普拉斯变换
附录1.1 拉氏变换的定义
如果有一个以时间为变量的函数()f t ,它的定义域是0t >,那么拉氏变换就是如下运算式
()()st t F s f t e dt ∞
=⎰ A-1
式中s 为复数。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 (1) 在0t <时,()0f t =;
(2) 在0t ≥时的任一有限区域内,()f t 是分段连续的; (3)
()st f t e dt ∞
<∞⎰
在实际工程中,上述条件通常是满足的。式A-1中,()F s 成为像函数,()f t 成为原函数。为了表述方便,通常把式A-1记作
()[()]F s L f t =
如果已知象函数()F s ,可用下式求出原函数
1
()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞
=
⎰ (A-2)
式中c 为实数,并且大于()F s 任意奇点的实数部分,此式称为拉氏变换的反变换。同样,为了表述方便,可以记作
1()[()]f t L F s -=
为了工程应用方便,常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格,就是一般所说的拉氏变换表。表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换
附录1.1.1 单位阶跃函数的拉氏变换
这一函数的定义为 0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩
它表示0t =时,突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量,如图3-1所示。单位阶跃函数的拉氏变换
为
0011
()[]st st F s e dt e s s
∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时,假设s 的实部比零大,即Re[]0s >,因此
lim 0st t e -→∞
→
附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换
单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波,
其幅值与作用时间的乘积等于1,如图3-3所示。其数学表达式为00, 0()1
lim 0 t t t t εεδεε
→>>⎧⎪
=⎨<<⎪⎩和 其拉氏变换为
000022
0[()]()lim ()1
1
lim[]lim [1]1 lim [1()]1
1!2!
st st s L t s t e dt
e e s
s s s s ε
εεεεεεδδδεεεεε-→--→→→===⨯=-=-++=⎰L
附录1.1.3 单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换
单位斜坡时间函数为0,0
(),0t f t t t <⎧=⎨>⎩
如图3-2所示,斜坡时间函数的拉氏变换为
022011
()[]st st st t F s te dt e e s s s
∞---∞==-+=⎰。Re[]0s > 同理单位抛物线函数为
21
()2
f t t =
其拉氏变换为3
1
()F s s =
,Re[]0s >。 附录1.1.4 正弦和余弦时间函数的拉氏变换
正弦函数的拉氏变换为
00()()0022
1[sin ]()sin ()211 22111
()
2 st j t
j t st s j t s j t
L t F s te dt e e e dt j
e dt e dt j j j s j s j s ωωωωωωωωω
ω∞
∞---∞∞---+===
-=-=--+=
+⎰⎰⎰⎰
同理求得余弦函数的拉氏变换为
22
[cos ]()L t F s s ω
ωω==
+
常用的拉氏变换法则(不作证明)
1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常
数时,其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数,即(())()L af t aF s = 拉氏变换的叠加性是:若1()f t 和2()f t 的拉氏变换分别是1()F s 和2()F s ,则有
1212[()()]()()L f t f t F s F s +=+
2.微分定理 原函数的导数的拉氏变换为
()()(0)df t L sF s f dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
式中 (0)f ——()f t 在0t =时的值。 同样,可得()f t 各阶导数的拉氏变换是
222
()()(0)'(0)d f t L s F s sf f dt ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
3323
()()()'(0)''(0)d f t L s F s s f s sf f dt ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦
L L L L L L L L
121()()()'(0)(0)n n n n n n
d f t L s F s s f s s f f dt ---⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦
L L 如果上列各式中所有的初始值都为零,则各阶导数的拉氏变换为
['()]()L f t sF s =
2[''()]()L f t s F s = 3['''()]()L f t s F s =
L L L L L L L L [()]()n n L f t s F s =
图1 平移函数
3.积分定理 原函数()f t 积分的拉氏变换为
(())()
()t f t dt F s L f t dt s
s
=⎡⎤=
+⎣⎦⎰⎰ 当初始值为零时
()
()F s L f t dt s
⎡⎤=
⎣⎦⎰ 4.时滞定理 如图A-1所示,原函数()f t 沿时间轴平移T ,平移后的函数为()f t T -。该函数满