仿射坐标系

命题 1.2.2
设Pi ( xi , yi , zi ), i = 1,2, 则分线段PP2成定比（λ ≠ -1)的分点 λ 1 P的坐标是 x1 + λ x2 y1 + λ y2 z1 + λ z2 x= ,y= ,z = . 1+ λ 1+ λ 1+ λ
推论 1.2.1 线段PP2的中点坐标为 1
e3
O
e3
O
e1
e2
右手系
e2
e1
左手系
定义1.2.2 如果 e 1 , e 2 , e 3是两两垂直的单位向 定义 量，则 {O; e1 , e 2 , e3 } 称为直角标架或直角坐标系 直角标架或直角坐标系. 直角标架或直角坐标系 直角标架是特殊的仿射标架。点（或向量）在 直角标架中的坐标称为它的直角坐标，在仿射标架 中的坐标称为它的仿射坐标。 注：如果 e , e , e 仅是两两垂直的向量，则 1 2 3
一 标架、向量和点的坐标 标架、
u ur ur r 空间中任一三个有次序的不共面的向量组e1 , e2 , e3 称为空间的一个基.根据定理11 2，对于空间中任 .. r 一向量a, 存在唯一的数组（x, y, z），使得 r u r ur ur a = xe1 + ye2 + ze3 , r u ur ur r 我们把有序的三元实数组（x, y, z）称为a在基e1 , e2 , e3 r 下的坐标，记为a = x, y, z）. （ 在空间中任意取定一点O，则任意一点M 与向量 uuuu r uuuu r OM 一一对应，我们把向量OM 称为点M的位置向量 （或径矢）.
{O; e1, e2 , e3} 称为为笛卡儿标架。
例
B CM A D源自求在仿射标架 { A; AB , AD } 下的点 A,B,C,D,M 的坐标
二
用坐标作向量的线性运算
u ur ur r r r 取定标架{O; e1, e2 , e3}，设向量a = (a1, a2 , a3 ), b = (b1, b2 , b3 )， 则容易证明下列命题
'
{
}
A D' · G F C
图2
D
C' P
E
uuuu r uuu uuuu r r uuu r 假设B ' F 与D ' E交于P( x, y, z )，设 B ' P = k PF , D ' P = l PE , 则P的坐标为 1 0+k⋅ 2 z= 1+ k 1 + l ⋅0 z= 2 1+ l 1 1 1 解得k = l = 1，从而交点P存在，且P的坐标为 , , . 4 4 4 1 1 1 设B ' F 与C ' G交于P '，同理可得P ' , , , 所以P与P '重合， 4 4 4 即B ' F , D ' E , C ' G交于一点. 1 + k ⋅0 x= 2 , 1+ k 1 0+l⋅ 2, x= 1+ l 1 0+k⋅ 2, y= 1+ k 1 0+l⋅ 2, y= 1+ l
§1.2 仿射坐标系
向量法的优点在于比较直观， 向量法的优点在于比较直观，但是向量的运算不如数 的运算简洁，为了取长补短，我们给向量引进坐标， 的运算简洁，为了取长补短，我们给向量引进坐标，同时 也给点引进坐标，把向量法与坐标法结合起来使用。 也给点引进坐标，把向量法与坐标法结合起来使用。 1.标架、向量和点的坐标 2.用坐标作向量的线性运算
命题1.2.1 命题
r r (1) a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) r r (2) a − b = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ) r (3) 对于任意实数λ，有λ a = (λ a1 , λ a2 , λ a3 )
证明： 证明： u r ur ur u r ur ur r r a + b = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) + (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) u r ur ur = (a1 + b1 )e1 + (a2 + b2 )e2 + (a3 + b3 )e3
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 x= ,y= ,z = . 2 2 2
用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。 例 用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。
证明： 证明： 设四面体 ABCD 2）的棱 AB , AC ,AD,BC , CD,DB的中点 （图
uuu uuur uuur r 分别为 B ', C ', D ', E , F , G.取仿射标架 A; AB , AC , AD , 则各点的坐标分别为 A(0,0,0), B (1,0,0), C (0,1,0), D (0,0,1), 1 B 1 1 B ' ,0,0 , C ' 0, ,0 , D ' 0,0, , 2 B 2 2 1 1 1 1 1 1 E , , 0 , F 0, , , G ,0, . 2 2 2 2 2 2
定理1.2.2 定理 r r a与 b共 线 当 且 仅 当 对 应 坐 标 成 比 例 .
思考题： 思考题：设 P (xi , yi , zi ) i = 1 2,3 ,推导三点 P 共线 推导三点 i , i 的充要条件。 的充要条件。
uuu r uuur 对于线段PP2 ( P ≠ P2 )，如果点P满足 PP = λ PP2 ,， 1 1 1 uuu uuur r 则称点P分线段PP2成定比λ，当λ〉时， 1 与PP2同向， 0 PP 1 uuu uuur r λ 点P在线段PP2内，称为内分点；当〈0时， 1 与PP2反 PP 1 向，点P在线段PP2外，称为外分点；当λ = 0时，P与 1 uuu r uuur uuur P重合；假若λ = -1，则PP = − PP2 ,即PP2 = 0，这与P 1 1 1 1 ≠ P2矛盾，所以λ ≠ -1.
uuu r 证明：对于向量 AB，设A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z2 )，则 uuu r uuu r OA = ( x1 , y1 , z1 ), OB = ( x2 , y2 , z2 ). uuu uuu uuur r r 因为AB = OB − OA，所以 uuu r AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ).
z
R(0,0, z )
r r r xi , yj , zk .
显然， 显然，
x
r r
•
M ( x, y, z )
o
P(x,0,0)
y
Q(0, y,0)
N
M
r r r r r = OM = xi + yj + zk
( x, y, z )
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限
z
R(0,0, z )
z
r k r o i
r j
y
r r
•
M ( x, y, z)
o
x
P ( x , 0, 0 )
y
Q ( 0 , y ,0 )
x
N
r r r 轴正向的单位向量. 以 i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量
r r = OM = OP + PN + NM = OP + OQ + OR r r r 设 OP = xi , OQ = yj , OR = zk . r r r r r = xi + yj + zk
空间中取定一个标架后，可知， 空间中取定一个标架后，可知，空间中全体向量的 集合与全体有序三元实数组的集合之间就建立了一一对 应；通过位置向量，空间中全体点的集合与全体有序三 通过位置向量， 元实数组的集合之间也建立了一一对应的关系。 元实数组的集合之间也建立了一一对应的关系。
r 在三个坐标轴上的分向量 分向量： r 在三个坐标轴上的分向量：
r ur ur ur λ a = λ ( a1 e1 + a 2 e 2 + a 3 e3 ) ur ur ur = λ a1 e1 + λ a 2 e 2 + λ a 3 e3 = ( λ a1 , λ a 2 , λ a 3 )
证毕.
定理1.2.1 定理 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标.
u ur ur r 定义1.2.1 空间中一个点O和一个基e1, e2 , e3合在一起称 定义 为空间的一个仿射标架或仿射坐标系，简称标架，记为 u ur ur r u ur ur r {O; e1, e2 , e3}，其中O称为标架的原点，, e2 , e3称为标架的坐标 e1 uuuu r u ur ur r 向量.对于空间中任一点M，把它的位置向量OM在基e1, e2 , e3 u ur ur r uuuu r 下的坐标称为点M在仿射标架{O; e1, e2 , e3}中的坐标若OM = ( x, y, z)， . u ur ur r 根据定义121 . .知，点M在标架{O; e1, e2 , e3}中的坐标为( x, y, z) uuuu u r r ur ur 当且仅当 OM = xe1 + ye2 + ze3. r u ur ur r r 以后我们把向量a在基e1, e2 , e3中的坐标也称为a在仿射标架 u ur ur r {O; e1, e2 , e3}的坐标. 则点M的坐标记为M ( x, y, z).