空间力系ppt
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理论力学课件 空间力系
5
（二）空间汇交力系合成与平衡的解析法
1.合成:
连续应用力平行四边形法则
FR=Fi
z F2 F1
Fn
O
x
FR
y Fi
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过汇交点。
6
FRx= Fx FRy= Fy FRz= Fz
z F2 F1
Fn
O
x
FR
y Fi
合力投影定理：合力在某一 轴上的投影等于各分力在同
z a
aF
a
C B
D
A
b
O
y
x
25
解:写出力F的解析表达式.
z
F = Fy+ Fz + Fx=Fxi+Fy j+Fzk
Fx =
F 3
= Fy
F
Fz = 3
rA = a i + a j + b k
Fx F
Fz C
B
Fy
D A
i
mo F a
jk ab
rA
O
y
F F F
3 33
x
a b F i a b F j
作和x轴垂直的平面M1.
找出交点O.
z
确定力P在平面
5cm
B
D
M1内的分力
3cm
Pyz=1.732 kN.
o
在平面M1内确定
d1 y
A
力Pyz到矩心O的距 x
M1
离即力臂d1=8cm
Pyz P
计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩
mx(P) = mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kN·cm
空间力系和重心.ppt
有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的
投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的
矩的代数和分别等于零。
Fx 0 Fy 0
Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
§5.4 空间平行力系的中心和物体的重心
一、空间平行力系的中心
若空间力系各合力的作用线相互平行称为空间平行 力系。若力系为一合力，合力的作用点，即是平行力系 的中心。
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方 向可按下式求得
R Rx2 Ry2 Rz2
2
2
2
Fx Fy Fz
cos Fx / R cos Fy / R
cos Fz / R
式中，α、β、γ分别表示合力与x、y、z轴正向 的夹角。
二、重心的概念
重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体 的重心。
三、重心和形心的坐标公式
物体重心C的坐标公式为
xC
x i .Wi W
yC
y i .Wi W
zC
z i.Wi W
四、求重心的方法
几种常用的方法：
1.对称法 2.积分法 3.组合法
（按照右手螺旋法则决定之）
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
FLeabharlann Fz2、力与轴线平行
Fy Fx
二、合力矩定理
力对轴的矩的解析表示式为
Mx F Fz.yA Fy.zA My F Fx.zA Fz.xA
Mz F Fy.xA Fx.yA
§ 5.3 空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所
可求出力F 的大小和方
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
静力学 空间力系ppt课件
解：
Fz 5 F
35
Fy 3 F 35
Fx 1 F 35
M z(F ) M z(F x ) M z(F y ) M z(F z)
Fx(105 0)0Fy150
10.41(Nm)
1
20
2. 空间力偶 一、力偶矩用矢量表示：
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必须用 矢量表示。
显然空间力偶系的平衡条件是：
MMi 0
∵ M Mx2My2Mz2
Mx 0 ∴ My 0
Mz 0
1
27
[例3]求合力偶 z
b
h
F2
y
F1
F1
x
F2
z
M1 M2 y
x
z M y
x
M 1 F1 b M 2 F2 h1
M M12 M22
28
§6-4 空间任意力系的平衡方程
一、空间任意力系向一点的简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系
1
3
§6–1 工程中的空间力系问题
a
a
A
P 2P
1
a 2P
B P
4
§6-2 力在空间坐标轴上的投影 ★一次投影法（直接投影法）
由图可知：
X F cos , Y F cos , Z F cos
z Z
F
Y
X
o
y
x
1
5
★ 二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易
z
确定时，可先将 F 投影到xy
z a
解：
a
F
y
a
第三章 空间力系
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
MO (F)x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
1)力 F 的大小为 F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cos F ,i 3 0.424; F ,i θ 64.9 52
cos F , j 4 0.566 ; F , j β 55.55 52
cos F ,k 5 0.707 ; F ,k γ 180 45 135 52
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos (3 1)
5
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 2）二次投影法（间接投影法）
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，得 Fxy，再将Fxy投影到x,y轴上，于是投影 的大小为：
Fx Fxy cos F sing cos Fy Fxy sin F sing sin
x
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
y Fy
β γ
\力F 的大小
Fz
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
zF
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cos Fx 4.5 0.220， 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
侧面 风力
b
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。
MO (F)x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
1)力 F 的大小为 F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cos F ,i 3 0.424; F ,i θ 64.9 52
cos F , j 4 0.566 ; F , j β 55.55 52
cos F ,k 5 0.707 ; F ,k γ 180 45 135 52
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos (3 1)
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第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 2）二次投影法（间接投影法）
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，得 Fxy，再将Fxy投影到x,y轴上，于是投影 的大小为：
Fx Fxy cos F sing cos Fy Fxy sin F sing sin
x
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
y Fy
β γ
\力F 的大小
Fz
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
zF
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cos Fx 4.5 0.220， 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
侧面 风力
b
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。
理论力学课件空间力系
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上页 解析平衡条件
下页
退出
z Fn
F2
FR
A
y
x
F1
结论：满足平衡方程
空间力系
FRx Fix 0
FRy Fiy 0
FRz
Fiz
0
有三个独立的平衡方程
F R F R i xF Rj yF R k z 0 平面力系
F RF R 2 xF R 2 yF R 2 z0
FRx Fix 0
下页 退出
力F 沿坐标轴的投影分别为：
Fx F sin Fy 0 Fz F cos
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零，则有
M xFM xF ZFzA B CD Flacos M yFM yF ZFzB CFclos M zFM zFxFxA B CD Flasin
9
上页 §5-3、空间力的分类及其平衡条件
空间力系
§5-1、力在空间坐标上的投影 §5-2、力对轴之矩 §5-3、空间力的分类及其平衡条件
1
§5-1、力在空间坐标上的投影
上页
下页
退出 直接投影法
间接投影法
z
Fx Fcos
Fy Fcos
Fz Fcos
x
Fxy Fsin
F
y
F xy
FxFsincos
Fy Fsinsin
Fz Fcos
2
例1设力作用于长方体的顶点，其作用线沿长方体对角线。
上页 下页
若长方体三个棱边长 ABa
， BC b
， BE c ，试求力
退出 在图示直角坐标轴上的投影。
z
解： 1、F在 z 轴上的投影
Fz
O
空间力系空间汇交力系推选优秀ppt
体三个棱边长为AB = a 、BC = b 、BE = C ，试求力在图示直角坐标(zhí
jiǎo zuò biāo)轴上的投影。
z
G
H
解： cos
c
sin a2 b2
a2 b2 c2
a2 b2 c2 D
F E Fz
力F 在 z 轴上的投影(tóuyǐng)
Fz Fcos
cF a2b2c2
O
Fy
(fāngxiàng) [例1] 设力 F 作用于长方体的顶点 C，其作用线沿长方体对角线。
[例1] 设力 F 作用于长方体的顶点 C，其作用线沿长方体对角线。
余弦： F F 在 x、y 轴上的投影(tóuyǐng)
y
c o s cosF , j 大小(dàxiǎo)：
F F 在 x、y 轴上的投影(tóuyǐng)
O
合力(hélì)大小：
[例1] 设力 F 作用于长方体的顶R点yC，其作用线沿iy长方体对角线。
C
FD
FC
空间(kōngjiān)力系空间(kōngjiān)汇交力系
B
大小(dàxiǎo)： 二次投影(tóuyǐng)法 二次投影(tóuyǐng)法
x
FRz Fiz
A
FB FT
y
B
O 30
45
C A
P
大小(dàxiǎo)：
合力(hélì) 大小(dàxiǎo)：
[例1] 设力 F 作用于长方体的顶点
小：
大C，其作F 用R 线 沿长方体 对角F i线x。2 F iy2 F iz 2
方向余弦：
cosFR,i
Fix FR
cosFR,
j
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Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即
M 0
M
x
0
M
y
0
M
z
0
称为空间力偶系的平衡方程.
§4–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
力的平移定理
作用于刚体上的任一个力可以平移到刚体上任一 点O，但除该力外，还需附加一个力偶，其力偶 矩矢等于该力对于O点的力矩矢。 －F
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
F1 F2 3.54kN
z
0
FA 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，
画受力图。
F 0 F 0
x
y
FOB sin 45 FOC sin 45 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
（拉） FOA 1414N FOB FOC 707N
例4-4 已知： F , l , a,
称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l 则
F2 有 xC l P
F1 xC l P
l ' l cos
xC ' xC cos h sin
H sin l
l2 H 2 cos l
M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x
M z ( F ) Fy x Fx y
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x M O ( F ) zFx xFz M y ( F )
空间汇交力系的合力 FR F i
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx
FRy Fiy Fy
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
F cos( F , i )
R x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
FR
§4–1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
P P yC P 1 y1 P 2 y2 .... P n yn
Pi yi
yC
i
xC
Px
i i
Py P
i
P zC P 1 z1 P 2 z2 .... P n zn Pi zi
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量
力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．力偶系的合成与平衡条件
FRy Fyi
i 1 n
FRz Fzi
i 1
cosF cosF
FRx cos FRx , i
Ry Ry
Rz
F , j ,k F
F F F
Rz
主矩：利用力矩合成定理，先计算出主矩在各个
坐标轴上的投影
（主矩在某一坐标轴上的投影各分量在同一坐标轴上投影 的代数和）
M M M
M iz F
i 1
FRx FRy FRz
—有效推进力 —有效升力 —侧向力
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
MOx —滚转力矩 MOy —偏航力矩 MOz —俯仰力矩
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果） （1） 合力 过简化中心合力 0, MO 0 FR
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：
该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以 及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零 .
空间平行力系的平衡方程
cos( FR , j )
Fy FR
Fz cos( FR , k ) FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即
FR 0
F
x
0
F
y
0
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A .
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
M Ox M Oy M Oz
M ix F
n i 1 n
M O M Oy M Oy M Oz
2 2
2
M iy F
i 1 n
cos M O , i cos M O , j cos M O , k
M Ox M Oy M Oz
MO
M
F F
1． 空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系 .
空间汇交力系的合力
Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z
F2 F1 1 zC r l2 H 2 P H
例4-1
已知：Fn , ,
求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
zC Pz P
i i
计算重心坐标的公式为
xC Px P
i i
yC
Py
i
i
P
zC
Pz P
i i
对均质物体，均质板状物体，有
xC xC Vx V
i i
yC
Vy
i i
Ax A
i i
yC
V Ai yi A
zC
Vz
i i
zC
V Ai zi A
y
M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
§4–3
空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向；
（3） 作用面：力偶作用面。
M r( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
（3）力螺旋
FR 0, MO 0, FR MO
一个合力偶，此时与简化中心无关。
中心轴过简化中心的力螺旋
力螺旋
FR 0, MO 0, FR , MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
M O sin d FR
（4）平衡
0, MO 0 FR
平衡
§4–5 空间任意力系的平衡方程
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) rA F rB F
F F
MO (F , F ) (rA rB ) F M
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和 .
Mx Mx , M y M y , Mz Mz