【高考数学培优专题】第38讲 圆锥曲线离心率综合问题

【高考数学培优专题】第三十八讲圆锥曲线的离率问题A 组一、选择题1为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所2．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b-=>>：，抛物线224C y x =：，1C 与2C 有公共的焦点F ，1C 与2C 在第一象限的公共点为M ，直线MF 的倾斜角为θ，且12cos 32aaθ-=-，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A.仅有两个不同的离心率12,e e 且()()121,2,4,6e e ∈∈ B.仅有两个不同的离心率12,e e 且()()122,3,4,6e e ∈∈ C.仅有一个离心率e 且()2,3e ∈ D.仅有一个离心率e 且()3,4e ∈【答案】C【解析】24y x = 的焦点为()1,0，∴双曲线交点为()1,0，即1c =，设M 横坐标为x ，则0000011,1,121p a x ex a x x a x a a++=-+=-=-，试卷第2页，总25页001111112cos 1132111a x aa a x a aθ+----===++-+-，可化为2520a a -+=，()22112510,2510g e e e a a ⎛⎫⨯-⨯+==-+= ⎪⎝⎭，()()()()200,120,30,1,2510g g g g e e e >∴-+= 只有一个根在()2,3内，故选C.3．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,则该双曲线的离心率为A.2B.2C.D.2【答案】A 【解析】由()2,0F c 到渐近线by x a=的距离为d b ==，即有2AF b =，则23BF b = ，在2AF O ∆中，22,,,bOA a OF c tan F OA a==∠= 224tan 1bb a AOB a b a ⨯∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得222a b =，即有222232c a ba =+=，即有2c e a ==，故选A.4．设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，(),0F c 是右焦点，若抛物线224a y x c=-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠= ，则双曲线的离心率的范围是（）A.[)2,+∞ B.(]1,2 C.(]1,3 D.[)3,+∞【答案】A【解析】抛物线的准线方程为2a x c=,正好是双曲的右准线.由于AF=c a -,所以AF 弦,圆心(),22a c O c a ⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭,半径R c a =-圆上任取一点P,30APF ∠= ,现在转化为圆与准线相交问题.所以()22a c a c a c+-≤-,解得2e ≥.填A.5．中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.1,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D.0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，设P(x,y)，点P 在以OA 为直径的圆上。

圆的方程：22222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简为220x ax y -+=，2222220{1(0)x ax y x y a b a b-+=+=>>可得()2223220b a x a x a b -+-=。

则22,0,ab x x a c=<< 所双220,ab a c <<可得12e <<，选B.6．设点12,F F 分别为双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P ，满足112PF F F =，点1F 到直线2PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A.4B.43 C.54D.53【答案】D【解析】由题意知212PF F F =，可知12PF F 是等腰三角形，1F 在直线2PF 的投影是中点，可得24P F b ==，由双曲线定义可得422b c a -=，则2a cb +=，又222c a b=+，知225230a ac c +-=，可得23250e e --=，解得()513e =或舍去．故本题答案选D ．7．如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>和()()22221x y ma mb +=（0a b >>，1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、试卷第4页，总25页BD 的斜率之积恒为1625-，则椭圆的离心率为（）A.35B.34C.45D.4【答案】A【解析】由题意知，外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=，设切线AC 的方程为()1y k x ma =-代入内层椭圆消去y得:()2222232242211120ka bx mk a x m k a a b +-+-=由0∆=化简得221221,1b k a m =⋅-同理得()222221,b k m a =⋅-所以44222124443,.,555b b c k k e a a a ⎛⎫====== ⎪⎝⎭选A.8．已知双曲线C：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为A 、B ，虚轴的上、下端点分别为C 、D ，若线段BC 与双曲线的渐近线的交点为E ，且11BF E CF E ∠=∠，则双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】根据双曲线C 的性质可以得到，()0,C b ，(),0B a ，()1,0F c -，双曲线C的渐近线方程b y x a =，直线BC 方程：by x b a=-+，联立{by x b ab y xa=-+=得到2{2ax b y ==，即点,22a b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以E 是线段BC 的中点，又因为11BF E CF E ∠=∠，所以11F C F B =，而1F C =，1F B a c =+，故()222c b a c +=+，因为222a b c +=，所以22220a ac c +-=，因为ce a=，即2220e e --=，所以1e =+，故选C9．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ,AC 经过右焦点F ,若BF AC ⊥且2BF CF =,则该双曲线的离心率是（）A.53B.3C.2D.94【答案】B【解析】做出如图因为AB 经过原点O ,AC 经过右焦点F ,BF AC ⊥可得'AFBF 为矩形，设AF=a,则'=224AF BF m a FC m a =+⇒=+根据双曲线定义可知'26CF m a =+，在'Rt ACF 得()222222224''34(2)(26),''3a AC AF CF m a m a m a m AFF AF AF FF+=⇒+++=+⇒=⇒+= 在中得2221044333a a c e ⎛⎫⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知,F A 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点和右顶点，过F 作x 轴的垂线在第一象限与双曲线交于点P ，AP 的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点Q ，若(2AP AQ =-,则双曲线的离心率为（）A.B.C. D.【答案】B试卷第6页，总25页【解析】过Q 作QR ⊥x 轴与R ，如图，由题意设F （c ，0），则由OA=a 得AF=c-a ，将x=c 代入双曲线得P 2(,b c a，则直线AP 的斜率为2()b a c a -，所以直线AP 的方程为2()()b y x a ac a =--，与渐近线联立，得x=ab a b c +-，所以AR=2=ab ac a a a b c a b c --+-++，根据相似三角形及(2AP AQ =-，得AF=2-（）AR ，即(221)ac b c a b c a a b c--=-⇒=-+-代入222c a b =+，得ca =11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A.31,2⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,2 C.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.()2,+∞【答案】D【解析】AB 是双曲线通径，22b AB a =，由题意2b a c a+<，即2222a acbc a +<=-，2220c ac a -->，即220e e -->，解得2e >（1e <舍去），故选D ．12．已知点12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右两焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于,P Q 两点，若2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中2,3PQF ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，则双曲线离心率e 的取值范围为A.)B.⎡⎣C.)D.【答案】A【解析】因为2PQF ∆为等腰三角形，设2PQ QF m ==，由P 为双曲线上一点，121122PF PF PF m a QF a -=-=⇒=，由Q 为双曲线上一点，2121224QF QF a QF a QF a -=⇒=+=，再12QF F ∆中，由余弦定理得()()22212424224cos c a a a a F QF =+-⨯⨯∠,所以()221254cos c a FQF =-∠，所以()2212254cos c e F QF a==-∠又因为2,3PQF ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，所以[)27,9e ∈，所以)e ∈，故选A.二、填空题13．设1F 、2F 分别为椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0)x y C a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率13,43e ⎡∈⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为__________．【答案】7⎡⎢⎣【解析】设MF 1=s ,MF 2=t ，由椭圆的定义可得s +t =2a 1，由双曲线的定义可得s −t =2a 2，解得s =a 1+a 2,t =a 1−a 2，由∠F 1MF 2=90°，运用勾股定理，可得s 2+t 2=4c 2，即为222122a a c +=，由离心率的公式可得2212112e e +=，试卷第8页，总25页由13,43e ⎡∈⎢⎣⎦,可得211272,98e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，据此有：221432,72e ⎡∈⎢⎣⎦由a 2>b 1,可得2e =<，则双曲线2C 的离心率2e的取值范围为7⎡⎢⎣.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，点P 在双曲线C 的左支上，若直线FP 与圆222:39c b E x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点M 且2PM MF = ，则双曲线C 的离心率值为__________．【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，由圆心,03cE ⎛⎫ ⎪⎝⎭可知，12F E EF =，又2PM MF =，可知1//EM PF ，且13PF EM b ==，由双曲线的定义得2PF a b=+，1PF PF⊥，1F PFRt 中，()()22222211222cF F F P FP c b a b b a e a=+⇒=++⇒=⇒==.15．过双曲线()2222100x y a b a b -=＞，＜的右焦点且垂于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点，与双曲线的渐近线交于C ,D 两点，若513AB CD ≥,则双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】1312⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】易知22b AB a=，因为渐近线by x c =±，所以2bcCD a=，由2252·13b bc a a≥化简得513b c ≥，即2225169b c ≥，所以22225169c a c -≥，从而2169144c a ⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得1312c a ≥.B 组一、选择题1．已知椭圆221(0)1x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ，E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（）A.23B.3C.3D.3【答案】D【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得：()()()2241310m x m x m +++++=，满足题意时：()()216112202m m m ∆=+-+≥⇒≥，当2m =时，椭圆的离心率取得最小值3.本题选择D 选项.2．过双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点F 作圆2C ：222x y a+=的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线1C 于N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线1C 的离心率为（）A.B.2C.1+ D.12+【答案】A【解析】取双曲线右焦点1F ,连接1F N ，由题意可知，1NFF 为直角三角形，且112,4,2,NF a NF a FF c ===由勾股定理可知，222221644,5,c a a c e a+===，选A.3．已知双曲线2222:1x y C a b -=的右顶点为,A O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q ,若3PAQ π∠=且5OQ OP =,则双曲线C试卷第10页，总25页的离心率为A.2B.3C.2D.3【答案】B【解析】由图知APQ ∆是等边三角形，设PQ 中点是H ，圆的半径为r ，则AH PQ ⊥，2AH r =，PQ r =，因为5OQ OP = ，所以14OP r =，12PH r =，即113424OH r r r =+=，所以tan 3AH HOA OH ∠==，即3b a =，2222243b c a a a -==，从而得3c e a ==，故选B．4．在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为（）A.32B.C.5D.2【答案】C【解析】设()11,A x y ，()11,B x y -，2C 焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意0FA OB ⋅= ，即()1111,,02p x y x y ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，所以211102p x x y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，又2112y px =，111202p x x px ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，152p x =，221152252y px p p p ==⨯=，1y =，而11b y x a =，即52b a =⋅，5b a =，2222245b c a a a -==，2295c a =，所以5c e a ==，故选C ．5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点分别为12A A 、，M 是双曲线上异于12A A 、的任意一点，直线1MA 和2MA 分别与y 轴交于,P Q 两点，O 为坐标原点，若,,OP OM OQ 依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.)+∞B.)+∞C.(D.(1【答案】A【解析】设()00,M x y ，因为()2,0A a ，所以200A M y k x a=-，直线2MA 方程为()00y y x a x a=--，令0x =得，00ay y x a=--，即00ay OQ x a =-，同理得00ay OP x a=+，由于,,OP OM OQ 成等比数列，则2OM OP OQ =，即222200220a y x y x a +=-，M 是双曲线上的点，则2200221x y a b -=，所以()2222200a y b x a =-，即2220220a y b x a=-，所以22200x y b +=，OM b =，而OM a >，从而b a >，22222c a b a =+>，所以ce a=>A ．6．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A.()1,+∞B.()1,2C.(1,1 D.()2,+∞【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若ABE ∆是钝角三角形，显然AEB ∠为钝角，因此·0EA EB < ，由于AB 过左焦点且垂直于x 轴，所以2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(),0E a ，则2,b EA c a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，2,b EB c a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，所以试卷第12页，总25页()422·0b EA EB c a a=---< ，化简整理得：()2a a c b +<，所以222a ac c a +<-，即2220c ac a -->，两边同时除以2a 得220e e -->，解得2e >或1e <-（舍），故选择D.7．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点和虚轴上的一个端点分别为,F A ，点P为双曲线C 左支上一点，若APF ∆周长的最小值为6b ，则双曲线C 的离心率为（）A.8B.7C.6D.3【答案】B【解析】设双曲线的右焦点为'F ，AFP ∆的周长为'2AF AP PF AF AP PF a ++=+++，而''AP PF AF +≥，所以三角形周长的最小值是'2AF AF a ++=26a b =，解得：76b a =，()2222222854936493649c b a c aa a =⇔-=⇔=，解得：7c e a ==，故选B.8．已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同，且离心率互为倒数，12,F F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆1C 的离心率为（）A.3B.2C.2D.12【答案】A【解析】设11PF r =，22PF r =在椭圆1C 中()222121222cos60C r r r r =+-()()221212112323r r r r a r r =+-=-，22212113444r r a c b ∴=-=，即212143r r b =在双曲线2C 中()222121222cos60C r r r r =+-()()2212122122r r r r a r r =-+=+2221222444r r c a b ∴=-=，2212443b b ∴=即22123b b =，则()2222123a c c a -=-所以22212+34a a c =，由题知2121134e e +=，则椭圆离心率13e =，选A.9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（）A.13 B.25C.5D.3【答案】D【解析】如图：因为12OA OF OF ==，所以122F AF π∠=，21tan 2OF M ∠=，所以122F AF MOF ~ ，122F F c =，12,AF AF ==，由椭圆定义，可得212,3AF AF a e +===，选D.10．设椭圆22:142x y C +=与函数3y x =的图象相交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，若直线PA 的斜率取值范围是[]3,1--，则直线PB 的斜率取值范围是（）A.[]6,2-- B.[]2,6 C.11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】设，，因为椭圆和函数的图象都关于原点对试卷第14页，总25页称，则从而有由，得，即有则，因为，则有,选D.11．已知1F 、2F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在C上，123PF PF =，且121cos 3F PF ∠=，则双曲线的离心率e =（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】由双曲线定义及，得由余弦定理得，得,选A.二、填空题12．过双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点向圆222x y a +=作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的，则该双曲线的离心率为__________．【答案】2【解析】设该切线与双曲线的两条渐近线交点,P Q ,分别联立切线与两条渐近线:(){a y x cb b y x a =+=,解得222P a c x b a =-,(){ay x c bb y xa=+=-,解得2Q a x c =-,根据弦长公式得:2222222222222···1·a c a c a c a b PQ b a c b c b a b b a =+=+==---,两边平方得:()()()222222222224432a c a a b a b a c -==--,即()()242224133161602e ee e -=⇒-+=-,解得:3e =或2,又因为切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，所以2e =,故填2.13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为__________．【答案】5【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -,将x c =-代入椭圆方程可得2b y a =±，可设()2,,,b Ac C x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由23ABC BCF S S ∆∆=，可得222AF F C = ，即有()22,2,b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2222,2b c x c y a =--=，可得22,2b x c y a ==-，代入椭圆方程可得2222414c b a a +=，由222,c e b a c a ==-,即有22114144e e +-=，解得5e =.14．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________．【答案】14【解析】如图：设00(,)D x y ，由1123AB B D =，得135AB AD =根据相似三角形得：003,5a ba x y ==-求得0025,33x a yb ==，又直线21B F 方程为：1x y c b +=--，将点D 代入得：252581331,13334a be cb e -+==+=⇒=--试卷第16页，总25页C 组一、选择题1．已知Rt ABC ∆中，2A π∠=，以,B C 为焦点的双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）经过点A ，且与AB 边交于点D ，若2AD BD =，则该双曲线的离心率为（）A.2B.C.2D.【答案】D【解析】设,2BD x AD x==，根据双曲线的定义的定义可得32,2AC x a CD a x =-=+，又知2,BC c =在直角三角形ACD 中，根据勾股定理可得()()()2222322x x a a x +-=+可得43x a =，4,2AB a AC a ==在直角三角形ACD 中，根据勾股定理可得()()()22222422,5,c a a c a c e a+====，故选D.2．已知,A B 分别为双曲线C ：22221x y a b -=(0,0a b >>)的左、右顶点，不同两点,P Q 在双曲线C 上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,λμ，则当16λμλμ+取最大值时，双曲线C 的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意可知，满足题意时4λμ=-，结合对称性可知：4AP BP k k ⨯=，设点P 的坐标为(),P m n ，则：()22244n nn m a m a m a⨯=⇒=-+-，点P 在双曲线上，则：()2222222221m n b n m a a b a-=⇒=-，据此有：2222222224,5,5,c b a c a b a e e a==+====.本题选择A 选项.3．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为（）A.5B.C.5D.5【答案】C【解析】由题意，得()1212211232tan tan 114F PF PF F PF F -∠=-∠+∠=-=+，则1221123sin ,sin ,sin 555PF F PF F F PF ∠=∠=∠=，由正弦定理，得23555c ==，解得122333a PF PF =-=-=，即该双曲线的离心率为5c e a ==；故选C.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A B 、两点，22AF BF 、分别交y 轴于P Q 、两点，若2PQF ∆的周长12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.3【答案】D【解析】解：由题意,△ABF 2的周长为24，∵|AF 2|+|BF 2|+|AB |=24，∵|AF 2|+|BF 2|−|AB |=4a ,|AB |=22b a，∴24ba=24−4a,∴b2=a(6−a)，∴y=a2b2=a3(6−a),∴y′=2a2(9−2a)，0<a<4.5,y′>0,a>4.5,y′<0，∴a=4.5时,y=a2b2取得最大值,此时ab取得最大值,2b=，故：3cc ea===.本题选择D选项.5．若直线1l和直线2l相交于一点，将直线1l绕该点依逆时针旋转到与2l第一次重合时所转的角为θ，则角θ就叫做1l到2l的角，2112tan1k kk kθ-=+，其中12,k k分别是12,l l的斜率，已知双曲线E：22221(0,0)x y a ba b-=>>的右焦点为F，A是右顶点，P是直线2axc=上的一点，e是双曲线的离心率，APFθ∠=，则tanθ的最大值为（）A.1eB.C. D.2e【答案】C【解析】解：设,PA PF的斜率为12,k k，由题意可知：2112tan1k kk kθ-=+，不妨设2,(0)aP y yc⎛⎫>⎪⎝⎭，当0y<时由对称性可知结果一致，则：1222,y yk ka aa cc c==--，令22,a am a n cc c=-=-，则tan1y ym nn my y mn yn m yθ--==+⨯+，当mn yy+取得最大值时满足题意，试卷第18页，总25页很明显0,0y m n c a >-=->，则：mny y+≥，当且仅当y =时等号成立，此时：tan θ===.本题选择C 选项.6．已知双曲线Γ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为l ，圆C ：()228x a y -+=与l 交于A ，B 两点，若ABC 是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）A.3B.5C.5D.3【答案】D【解析】双曲线渐近线为b y x a=，圆()228x a y -+=的圆心为(),0a ，半径r =由于π2ACB ∠=，由勾股定理得4AB =，故114OA AB ==，在,OAC OBC ∆∆中，由余弦定理得2221858cos 210a a BOC a a +-+-∠==，解得213a =.根据圆心到直线b y x a =的距离为2，有2abc=，结合222c a b =+解得133c=，故离心率为1333c a ==.7．已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，1PF 与双曲线相交于点Q ，且12PQ QF =，则该双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.2【答案】A【解析】依题意设1QF m =，则根据双曲线的定义，有222,32,2PQ m PF m a QF m a ==-=+，分别在两个直角三角形2PQF ∆和12PF F ∆中试卷第20页，总25页利用勾股定理有()()()()()2222223324{2322m m a c m m a m a +-=+-=+，解得43m a =，且225a c =，故离心率为ca=.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且120AOB ∠= ，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（）A.2B.1C.1+D.1+【答案】C【解析】如下图：，2cOD =,3,22c A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,代入双曲线方程，可得22223144c c a b -=，解得1e =+，选C.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于,a b 或,a c 的等式，再进一步求出离心率。