【高考数学培优专题】第38讲 圆锥曲线离心率综合问题

【高考数学培优专题】

第三十八讲圆锥曲线的离率问题

A 组

一、选择题

1

为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为

【答案】A

【解析】以线段12A A 为直径的圆是2

2

2

x y a +=，直线20bx ay ab -

+=与圆相切，所

2．已知双曲线22

1221(0,0)x y C a b a b

-=>>：，抛物线224C y x =：，1C 与2C 有公共

的焦点F ，1C 与2C 在第一象限的公共点为M ，直线MF 的倾斜角为θ，且

12cos 32a

a

θ-=

-，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）

A.仅有两个不同的离心率12,e e 且()()

121,2,4,6e e ∈∈ B.仅有两个不同的离心率

12,e e 且()()

122,3,4,6e e ∈∈ C.仅有一个离心率e 且()

2,3e ∈ D.仅有一个离

心率e 且()3,4e ∈【答案】C

【解析】2

4y x = 的焦点为()1,0，∴双曲线交点为()1,0，即1c =，设M 横

坐标为

x ，则

0000011,1,121p a x ex a x x a x a a

++

=-+=-=

-，

试卷第2页，总25页

001

111

112cos 1132111a x a

a a x a a

θ+----===++-+-，

可化为2

520a a -+=，()2

2112510,2510g e e e a a ⎛⎫⨯-⨯+==-+= ⎪⎝⎭，

()()()()200,120,30,1,2510g g g g e e e >∴-+= 只有一个根在()2,3内，

故选C.

3．已知12,F F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近

线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213

AF F B =

,则该双曲线的离心

率为

A.

2

B.

2

C.

D.2

【答案】A 【解析】由()

2,0F c 到渐近线

b

y x a

=的距离为d b =

=，即有2AF b =

，

则23BF b = ，在2AF O ∆中，22,,,

b

OA a OF c tan F OA a

==∠= 224tan 1b

b a AOB a b a ⨯

∠==⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，化简可得222a b =，即有222232c a b

a =+=，即有2

c e a =

=

，故选A.4．设A 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，(),0F c 是右焦点，若抛物线

2

2

4a y x c

=-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠= ，则双曲线的离心率的范围是

（）

A.

[)

2,+∞ B.

(]1,2 C.(]1,3 D.[

)3,+∞【答案】A

【解析】抛物线的准线方程为2

a x c

=,正好是双曲的右准线.由于AF=c a -,所以AF 弦,

圆心(),22a c O c a ⎛⎫

+-

⎪ ⎪⎝⎭

,半径R c a =-圆上任取一点P,30APF ∠= ,现在转化为圆与准线相交问题.所以()2

2a c a c a c

+-≤-,解得2e ≥.填A.

5．中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，

090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）

A.1,12⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

B.,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

C.1,23⎡⎫

⎪⎢⎪⎣⎭

D.0,2⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

【答案】B

【解析】设椭圆标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，设P(x,y)，点P 在以OA 为直径的

圆上。圆的方程：

22

2

22a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，化简为220x ax y -+=，222

2

220{1(0)x ax y x y a b a b

-+=+=>>可得(

)

22

2

3

22

0b a x a x a b -+-=。则2

2,0,

ab x x a c

=<< 所双220,ab a c <<

可得12

e <<，选B.

6．设点12,F F 分别为双曲线：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，若在双曲线左

支上存在一点P ，满足112PF F F =，点1F 到直线2PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A.

4

B.

43 C.

54

D.

53

【答案】D

【解析】由题意知212PF F F =，可知12PF F 是等腰三角形，1F 在直线2PF 的投影是中点，

可得24P F b ==，由双曲线定义可得422b c a -=，则2

a c

b +=，又2

2

2

c a b

=+，知2

2

5230a ac c +-=，可得2

3250e e --=，解得

()5

13

e =或舍去．故本题答案选D ．

7．如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>和()()

22

22

1x y ma mb +=（0a b >>，1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、