江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 向量共线定理教案 苏教版必修4
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学教案向量的加法苏教版必修4Word版
四队中学教案纸 （学科： 高一数学 ）备课时间教学 课题教时计划1教学课时1教学 目标 1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量； 3．理解向0量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。
重点难点1．如何作两向量的和向量2．向量加法定义的理解教学过程（一）复习：1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）（A ）OB uuu r 、CD uuu r 、FE u u u r 、CB u u u r （B ）AB u u u r 、CD uuu r 、FA u u u r 、DE u u u r（C ）FE u u u r 、AB u u u r 、CB u u u r 、OF u u u r （D ）AF u u u r 、AB u u u r 、OC u u ur 、OD u u u r（二）新课讲解：1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r．规定：零向量与任一向量a r ，都有00a a a +=+=r r r r r．说明：①共线向量的加法： a r b r a b +r r②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a r ，b r，求作向量a b +r r .作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =u u u r r ，AB b =r r ，则OB a b =+u u u r r r.（1） （2）2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a r ，b r为邻边作ABCD Y，则则以A 为起点的对角线AC u u u r 就是a r 与b r的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。
苏教版高中数学选修连云港灌云县四队教案空间向量基本定理
1e 2e aPOA'P'B'C'BA C四队中学教案纸备课时间教学课题 教时 计划1教学课时 1教学 目标 1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
重点难点教学重点：空间向量的基本定理及其推论 教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, ， 使a r2211e e 二、建构数学1、空间向量的基本定理如果三个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组),,(z y x ，使321e z e y e x p证明：（存在性）设321,,e e e 不共面， 过点O 作p OP e OC e OB e OA ,,,321过点P 作直线PP 平行于OC ，交平面OAB 于点P ；在平面OAB 内，过点P 作直线//,//P A OB P B OA ，分别与直线,OA OB 相交于点,A B ，于是，存在三个实数,,x y z ，使3/2/1/,,e z OC OC e y OB OB e x OA OA∴OP OA OB OC xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r所以321e z e y e x p。
连云港市灌云县四队中学高中数学教案2.3.2平面向量的坐标运算1 (苏教版必修4)
四队中学教案纸 （学科： 高一数学 ）备课时间教学课题坐标运算（1）教时计划 2教学课时1教学 目标 1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系； 2．能正确地用坐标表示向量；3．掌握向量的和、差、数乘的坐标表示法。
重点难点1．平面向量的坐标运算2．对平面向量的坐标表示的理解教学过程（一）复习：1．平面向量的基本定理：1212a e e λλ=+；2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？ （二）新课讲解：1．向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+ ，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标，记作(,)a x y =．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a在y 轴上的坐标。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；（2）相等的向量的坐标也相同；（3）(1,0)i = ，(0,1)j = ，0(0,0)= ； （4）从原点引出的向量OA的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。
2．平面向量的坐标运算：问题：已知11(,)a x y = ，22(,)b x y =，求a b + ，a b - ．解：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++即()1212,a b x x y y +=++．同理：1212(,)a b x x y y -=--．Ox22(,)B x y11(,)A x yyy x O (,)A x yj ia结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3．向量的坐标计算公式：已知向量AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求AB的坐标．2211(,)(,)AB OB OA x y x y =-=-2121(,)x x y y =--．归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标； （2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。
苏教版高中数学选修连云港灌云县四队教案空间向量及线性运算
F 1
F 2 F 3
a
C'
B'
A'
D'D
A
B
C 四队中学教案纸 （备课人： 学科： ）
备课
时间
教学 课题
教时 计划
1
教学
课时
1
教学 目标 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件
重点难点 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；
教学难点：空间向量的线性运算及其性质
教学过程
一、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析 二、建构数学
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
b a AB OA OB
b a OB OA BA
)(R a OP
运算律：
⑴加法交换律：a b b a
⑵加法结合律：)()(c b a c b a
⑶数乘分配律：b a b a
)(
3．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫
C B A
O
b b b
a
a。
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 2.2.3 向量的数乘教案 苏教版必修4
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学必修四教案：2.2.3 向量的数乘
如图：OB a =+2a =，(()CE a a =--2a =-．
．实数与向量的积的定义：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与λ时，0a λ=．
．实数与向量的积的运算律：
（结合律）；
a μ（第一分配律）a
b λλ+a+b ）=（第二分配律）
计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3(解：（1）原式=12a -； （2．向量共线的充要条件：
（向量共线的充要条件）向量与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数与AE 共线．
E B A C
D
12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与当0a ≠时， 12121121(4)10454
b e e e e =-=-=中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ= 2(1)a e λ=+，b 1λ=-时，，a 与a 共线． 1λ≠-时，221b a λλ-=+， 设12,e e 是两个不共线的向量，已知解：))34BD CD e e e e =-+=- 即是12122(4)e ke e e λ+=-. 4k λλ
=-⎩ ，∴k =-，求证A ，B ，三点共线。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.5 向量的应用》9
平面向量复习与小结灌云县陡沟中学顾继勇教学目标：1．进一步了解平面向量的根本定理及其几何意义，掌握平面向量的分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解向量共线的坐标表示；2．进一步理解平面向量数量积的概念及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标表示，并会简单应用；3．进一步掌握将物理问题、实际问题转化为数学问题．教学重点：1．向量共线定理的应用；2．向量根本定理的应用；3．向量的数量积及其坐标表示的应用．教学难点：1．如何将结论和条件建立联系，如何利用图形将未知向量关系转化为向量关系；2．如何利用向量知识解决物理问题及平面几何问题．教学方法：启发教学，谈话式教学相结合．教学过程：2．知识梳理：〔1〕向量是指既有、又有的量，向量的模是指向量的；零向量是指的向量，方向；单位向量是指的向量；〔2〕向量共线定理：；〔3〕平面向量的根本定理：．〔4〕假设A1，1 ，B2，2，那么= ，||= ．〔5〕向量与的夹角为，那么= ．二、学生活动1．命题：①假设≠，且·=·，那么=；②假设=，那么3＜4；③··=··, 对任意向量，，都成立；④2·2=·2；其中正确命题的个数为____ ；2．设，，，用，作基底可将表示，那么实数= ，q= ；3．=〔1，1〕，=〔0，－2〕当= 时, 与共线；4．假设，，且，那么向量与的夹角为．三、数学应用例1 ∣a∣=2，︳b ︳=2，且 a●b=-1﹙1﹚求 a与 b的夹角﹙2﹚求﹙ a-2b﹚●b﹙3﹚当为何值时，向量 ab与向量a-3b 互相垂直例2 〔1〕在ΔABC中，设，，假设，，试以向量、为基底表示向量．〔2〕O为△ABC所在平面内的一点，且满足，试判断△ABC的形状．例3 〔1B〔2〕向量＝1，2，＝–2，–4，||=，假设＋·=，求向量与的夹角．例4 〔1〕设向量、不共线， = 2＋，=＋，=–2，且A、B、D三点共线，求实数的值．〔2〕=2– 3，= 23，其中，不共线，向量=2– 9，问是否存在这样的实数，，使与共线．四、小结1．向量共线的两种处理方法：共线定理和坐标关系；2 向量的两种表现形态：几何表示与坐标表示．要善于转化，向量是处理角的问题重要工具．。
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学教案平面向量基本定理苏教版必修4Word版
四队中学教案纸 （ 学科： 高一数学 ）备课时间教学 课题2.3.1平面向量的基本定理教时 计划1教学 课时1教学 目标 1．了解平面向量基本定理的概念；2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量； 3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。
重点难点1．平面向量基本定理的应用；2．平面向量基本定理的理解。
教学过程（一）复习引入：（1）向量的加法运算、向量共线定理；（2）设1e r ，2e r 是同一平面内的两个不共线的向量，a r是这一平面内的任一向量，下面我们来研究向量a r 与1e r ，2e r的关系。
（二）新课讲解： 1．平面向量基本定理：如果1e r ，2e r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a r，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+r．其中我们把不共线的向量1e r ，2e r 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①1e r ，2e r均非零向量；②1e r ，2e r不唯一（事先给定）；③1λ，2λ唯一；④20λ=时，a r 与1e r 共线；10λ=时，a r 与2e r 共线；120λλ==时，0a =r r．2．例题分析：例1 已知向量1e r ，2e r （如图），求作向量12235e e -+． 作法：1．如图（2），任取一点O ，作152OA e =-u u u r r，23OB e =u u u r r ；2．作 OACB ，于是OC u u u r是所求作的向量。
例2 如图， 的两条对角线相交于点M ，且AB a =u u u r r ，AD u u u r b =r ，用a r 、b r 表示MA u u u r 、MB u u u r、1e r 2e rMC u u u u r 和MD u u u u r ．解：在中， ABCD ∵AC u u u r AB BC AB AD a b =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r，DB AB AD a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴11()22MA AC a b =-=-+u u u r u u u r r r 1122a b =--r r， 11()22MB DB a b ==-u u u r u u u r r r ，111222MC AC a b ==+u u u u r u u u r r r ， 1122MD MB a b =-=-+u u u u r u u u r r r ．例3 如图，OA u u u r 、OB uuu r 不共线，()AP t AB t R =∈u u u r u u u r，用OA u u u r 、OB uuu r 表示OP uuu r ． 解：∵AP t AB =u u u r u u u r ，∴OP OA AP OA t AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=()(1)OA t OB OA t OA tOB +-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．例 4 已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =u u u r u u u r ，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB u u u r 1e =r，2AD e =u u u r r ，用1e r ，2e r 表示DC u u u r 、BC uuur 、MN u u u u r ． 解：（1）∵DC u u u rAB <∴12DC AB =u u u r u u u r =112e r =12102e e +r r（2）BC AC AB AD DC AB =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 211211122e e e e e =+-=-r r r r r（3）连接DN ，则DN CB =u u u u r u u u r，1()2MN MD DN DC BC =+=-+-u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r 1211211112224e e e e e =-⨯-+=-r r r r r ．课外作业1．设G 是ABC ∆的重心.若CA a =u u u r r ，CB b =u u u r r ，试用a r ，b r 表示向量AG u u u r.；2．已知：3AB AM =u u u r u u u u r ，13MN BC =u u u u r u u u r.D b rC B a r A M OBPAAM D CNB。
高一数学2.2.4向量共线定理学案苏教版必修4
2012高一数学 2.2.4向量共线定理学案教学目标：1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：共线向量定理的应用.教学难点：共线向量定理的应用.教学方法：问题探究式学习.教学过程：一、问题情境问题1 上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a ，记b ＝3a ，b与a 共线吗？a （给出线性表示：如果b λ=a (a ≠0)，则称向量b 可以用非零向量a 线性表示）二、学生活动问题2 对于向量a 和b ，如果有一个实数λ，使得b λ=a ，那么a 与b 共线吗？（可以引导学生从λ的不同取值来探讨（若有向量a 和b ，实数λ，使b λ=a ，则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量）问题3 如果向量a 和b 共线，是否存在一个实数λ，使b λ=a ？（若a ≠0，a 与b 共线且|b |:|a |μ=，则当a 与b 同向时b μ=a ；当a 与bB D A CE 反向时b =-μa ，从而向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b λ=a .）三、构建教学1．整理归纳向量共线定理．如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.2．对定理的理解与证明问题4 为什么要求a 是非零的？b 可以为0吗？若a ＝0，则a , b 总共线，而b ≠0时，则不存在实数λ，使b λ=a 成立；而b= a ＝0时，不管λ取什么值，b λ=a 总成立，λ不唯一.问题5：结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明（可以让学生大胆尝试证明，对证明的程序和方法老师要及时给予指导）？四、教学运用1. 例题.例1 如图，E D ,分别为ABC ∆的边AB和AC 中点，求证：→--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→--BC 线性表示.例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）a =4e 1-25e 2，b =e 1-110e 2； （2）a = e 1＋e 2，b =2 e 1-2 e 2，且1e ，2e 共线．例3 如图2-2-11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB 求证：λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC . 例题提高：上例所证的结论λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？2．练习．（1）已知向量a =2e 1-2e 2，b =-3（e 2-e 1），求证：a 与b 是共线向量．（2）已知4MP =u u u r e 12+e 2 ,2PQ =u u u r e 1＋e 2，求证：M ，P ，Q 三点共线．（3）如图，在△ABC 中，12CD AE DA EB ==，记,BC a CA b ==u u u r ， 求证：13DE =u u u r （b －a ）．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1．两个向量共线的含义；2．两个向量共线（平行）的充要条件；3．能判断两个向量共线.。
高中新课程数学(苏教版必修四)向量共线的条件与轴上向量坐标运算
可用数值表示向量（轴上的向量）.
轴上两个向量相等的条件 ：
轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;
轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.
轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. AB+BC=AC 公式(1) 设e是l上的一个单位向量，在l上任取三点A，B， C，则
有何差别 与a平行的单位向量 a的单位向量
例1：已知a=3e，b=－2e，试问向量a，b是 否平行？并求|a|:|b|.
1 解：由b=－2e，得e=－ b，代入a=3e，得 2
3 因此，a与b平行且|a|:|b|= . 2
3 a=－ b， 2
例2：如图MN是△ABC的中位线，求证： 1 MN= 2 BC，且MN//BC. A
l
若a=xe
b=ye ,则x，y唯一吗？
反过来, 任意给定一个实数x, 我们总能作
一个向量a=xe, 使它的长度等于这个实数的
绝对值, 方向与实数的符号一致.
基向量和坐标：
A
B
l 这里的单位向量e叫做轴l的基向量, x叫做 a在l上的坐标(或数量). x的绝对值等于a的长, 当a与e同方向时, x是正数, 当a与e反向时, x 是负数. 例如： AB=3 e ，则AB 的坐标记为AB=3
（
）
（3）若 a与b共线，则存在实数 m，n，使得 ma nb。
③若 a 0, b 0 则 m 0, n R; m 取 ． ④若 a b 0 则存在实数 使得 b a n （
√
）
（4）存在实数 m，n，使得 m a nb，则向量 b与a共线。 （ × ）
2. 已知向量a , b是两非零向量，在下列四个条件中，
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.2.3 向量的数乘》1
向量共线定理教案教学目标：1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学过程：一、问题情境问题1上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a，记b＝3a，b与a共线吗？aO A二、学生活动问题2 对于向量a和b，如果有一个实数，使得ba，那么a与b共线吗？共线问题3 如果向量a和b共线，是否存在一个实数，使ba？存在的，请学生思考具体是什么？到底有几个？假设b与非零向量a共线，存在λ满足b＝λa；假设b与向量a共线，当a ＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa三、构建教学1．整理归纳向量共线定理．如果有一个实数λ，使b＝λaa≠0，那么b与a是共线向量；反之，如果b与aa≠0是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa2．对定理的理解与证明问题4 为什么要求a是非零的？b可以为0吗？a是非零的b可以为0问题5 结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明。
学生小组讨论，请学生展示证明过程。
四、题型探究例1 如图，分别为的边和中点，求证：与共线，并将用线性表示例2〔1〕a＝4e1－错误!e2，b＝e1－错误!e2，且e1，e2不共线，求证：a与b共线；〔2〕e1e2e1＋e2，求证：M，P，Q三点共线。
变题：1假设a＝错误!e1－错误!e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线解∵b＝6a，∴a与b共线〔2〕非零向量e1，e2不共线，如果错误!＝e1＋2e2，错误!＝－5e1＋6e2，错误!＝7e1－2e2，那么共线的三个点是________答案A，B，D解析∵错误!＝e1＋2e2，错误!＝错误!＋错误!＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋2e2＝2错误!∴错误!，错误!共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线反思与感悟1向量共线的判断证明是把两向量用共同的向量来表示，进而互相表示，从而判断共线2利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λaa≠0，还要说明向量a，b有公共点例3如图2－2－11，中，为直线上一点，，求证：五、稳固练习2、如图，在△ABC中，，记，求证：〔b－a〕．C六、要点归纳与方法小结。
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 向量共线定理
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学必修四教案：向量共线定理教学目标 1、理解两个向量共线的含义，能根据条件判断两个向量是否共线，2、能运用它们证明简单的几何问题。
重点难点两个向量共线的含义向量共线与几何共线的区别 教学过程一、问题情境：问题：如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，求证： BC uuu r 与DE u u u r 共线，并将DE u u u r 用BC uuu r 线性表示.证：因为D,E 分别为AB,AC 的中点，所以DE ∥BC即BC uuu r 与DE u u u r 共线，又BC DE 21=，且DE u u u r 与BC uuu r 同向 所以DE u u u r =21BC uuu r 你能从这道题目中发现什么吗?二、互动探究 向量共线定理：如果有一个实数λ,使b a λ=r r )0(≠a ,那么b r 与a r 是共线向量;反之,如果b r 与a r )0(≠a 是共线向量, 那么有且只有一个实数λ,使b a λ=r r证:由向量数乘的定义可知,对于向量a r )0(≠a 和b r ,如果有一个实数λ,使b a λ=r r ,那么b r 与a r 是共线向量.反过来,如果b r 与a r )0(≠a 是共线向量,当b r 与a r 同方向时,令||||b a =λ 当b r 与a r 反方向时, 令||||b a -=λ 若0=b ,则令0=λ从而有一个实数,使 b a λ=r r ,假设有两个',λλ,使b aλ=r r, 'λ=b,则0)('=-=-abbλλ,故0||||'=-aλλ因为0||≠a,所以‘即λλλλ==-,0'三、精讲点拨例1、如图，△ABO中，C为直线AB上一点，AC CBλ=u u u r u u u r（λ≠-1）.求证：OA OBOC1λλ+=+u u u r u u u ru u u r分析:将已知条件中AC,CB用结论式中的OCOBOA,,表示,进而解出OC证因为OAOCAC-=λλλλλλλλ++=≠+-≠+=+-=-=-=1,01,1)1()(OBOAOCOBOAOCOCOBOAOCCBACOCOBCB所以即又因为即所以又四、矫正反馈课本P66练习1,2,3五、迁移应用如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于M，试用向量法证明：M是BD的一个三等分点。
苏教版高中数学必修四连云港灌云县四队教案向量的数量积Word(3)
四队中学教案纸（ 学科： 高一数学 ） 备课时间教学 课题 向量的数量积（3） 教时 计划 3 教学 课时 3 教学目标要求学生掌握平面向量数量积的运算律， 明确向量垂直的充要条件。
重点难点 向量数量积的运算律 运算律的理解教学过程（一）复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；2．判断下列各题正确与否： ①若0a =r r ，则对任一向量b r ，有0a b ⋅=r r ； ( √ ) ②若0a ≠r r ，则对任一非零向量b r ，有0a b ⋅≠r r ； ( × ) ③若0a ≠r r ，0a b ⋅=r r ，则0b =r r ； ( × ) ④若0a b ⋅=r r ，则,a b r r 至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r 当且仅当0a ≠r r 时成立； ( × ) ⑥对任意向量a r ，有22||a a =r r ． ( √ )（二）新课讲解： 1．交换律：a b b a ⋅=⋅r r r r 证：设,a b r r 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r ，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅r r r r ∴a b b a ⋅=⋅r r r r ． 2．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r ， ()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r ， ()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r ， 若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=r r r r r r r r ， ()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r ， ()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=r r r r r r r r ． 3．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ． 在平面内取一点O ，作OA a =u u u r r , AB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ， ∵a b +r r （即OB ）在c r 方向上的投影等于,a b r r 在c r 方向上的投影和， 即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+r r r r θ θ1 θ2 a r b r A B O A B C c r∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+r r r r r r r ， ∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r 即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．11.例题分析： 例1 已知,a b r r 都是非零向量，且3a b +r r 与75a b -r r 垂直，4a b -r r 与72a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角。
苏教版高中数学必修四《向量共线定理》教案1
2.2.4 向量共线定理教学目标：1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：共线向量定理的应用.教学难点：共线向量定理的应用.教学过程：一、问题情境问题1 上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a ，记b ＝3a ，b 与a 共线吗？aO A（给出线性表示：如果b λ=a (a ≠0)，则称向量b 可以用非零向量a 线性表示）二、学生活动问题2 对于向量a 和b ，如果有一个实数λ，使得b λ=a ，那么a 与b 共线吗？ （可以引导学生从λ的不同取值来探讨）（若有向量a 和b ，实数λ，使b λ=a ，则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量）问题3 如果向量a 和b 共线，是否存在一个实数λ，使b λ=a ？（若a ≠0，a 与b 共线且|b |:|a |μ=，则当a 与b 同向时b μ=a ；当a 与b 反向时b =-μa ，从而向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b λ=a .）三、构建教学1．整理归纳向量共线定理．B D A CE 如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.2．对定理的理解与证明问题4 为什么要求a 是非零的？b 可以为0吗？若a ＝0，则a , b 总共线，而b ≠0时，则不存在实数λ，使b λ=a 成立；而b = a ＝0时，不管λ取什么值，b λ=a 总成立，λ不唯一.问题5：结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明（可以让学生大胆尝试证明，对证明的程序和方法老师要及时给予指导）？四、教学运用1. 例题.例1 如图，E D ,分别为ABC ∆的边AB和AC 中点，求证：→--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→--BC 线性表示.例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）a =4e 1-25e 2，b =e 1-110e 2；（2）a = e 1＋e 2，b =2 e 1-2 e 2，且1e ，2e 共线．例3 如图2-2-11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB 求证：λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC . 例题提高：上例所证的结论λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？ 2．练习．（1）已知向量a =2e 1-2e 2，b =-3（e 2-e 1），求证：a 与b 是共线向量．（2）已知4MP =e 12+e 2 ,2PQ =e 1＋e 2，求证：M ，P ，Q 三点共线．（3）如图，在△ABC 中，12CD AE DA EB ==，记,BC a CA b ==，求证： 13DE （b －a ）． 五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1．两个向量共线的含义；2．两个向量共线（平行）的充要条件；3．能判断两个向量共线. ABDC E。
苏教版高中数学必修四《向量共线定理》学案
向量的线性运算 向量的数乘（2）——共线教学目标理解两个向量共线的含义，并掌握向量共线定理。
能运用实数与向量的积解决有关问题。
重点难点 两个向量共线含义的理解及其应用。
引入新课1、填空：（1）=||aλ ；（2）当0>λ时，a λ与a 方向 ；当0<λ时，aλ与a 方向 ；当0 =a 时，aλ= ；当0=λ时，aλ= 。
（3）=)(a μλ ；=+a )(μλ ；=+)(b aλ 。
（4）若向量a 与b 方向相反，且5||,2||==b a ，则a 与b 的关系是 。
（5）设b a ,是已知向量，若0)(3)(2=--+b x a x ，则=x 。
2、如图，D ，E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，求证：BC 与DE 共线，并将DE 用BC 线性表示。
3、共线向量定理：如果存在一个实数λ，使=b ，)0(≠a ，那么 。
反之，如果b 与a )0(≠a 是共线向量，那么 。
注意：)0(≠=λλa b可写成b a λ1=，但不能写成λ=a b 或λ=b a 。
4、提问：上述定理中，若无条件0≠a ，会有什么结果？5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。
ABCDE例题剖析例1、设e 是非零向量，若e b a e b a32,2-=-=+，试问：向量a 与b 是否共线？例2、如图，OAB ∆中，C 为直线AB 上一点，)1(-≠=λλCB AC ，求证：λλ++=1OBOA OC 。
思考：上例证明的结论λλ++=1OBOA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量OC 可以用OB OA ,表示。
那么两个不共线的向量OB OA ,可以表示平面内任一向量吗？巩固练习1、已知向量)(3,221221e e b e e a --=-=，求证：a 与b 是共线向量。
2、已知向量21212,24e e PQ e e MP +=+=，求证：Q P M ,,三点共线。
ABCO3、如图，在△ABC 中，,21==EB AE DA CD 记,,b CA a BC ==求证：)(31a b DE -=。
苏教版高中数学必修四连云港灌云县第一向量的概念及表示教案,
教学目标：1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示．2．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示．教学难点：向量概念的理解．教学方法:自主探究式．教学过程：一、问题情境情境：溱湖湿地公园的湖面上有三个景点O，A，B，如图：一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客从A送至景点B．从景点O到景点A 有一个位移，从景点A送至景点B也有一个位移．二、学生活动1．问题（1）在图中标出两个位移．（2）请说出位移和距离的异同．B OA（3）你能否例举一些具有上述两种特征的例子？ 2．思考：阅读课本55～56页，回答下列问题． （1）什么是向量？ （2）怎么表示向量？ （3）什么是向量的模？ （4）有哪些特殊向量？ 三、建构数学1．向量的概念及表示． （1）向量的定义： （2）向量的表示：思考1 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？ 两者有何区别？ （3）向量的大小及表示:（4）零向量： （5）单位向量：思考2 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？2．向量的关系． （1）平行向量 （2）相等向量 （3）共线向量 （4）相反向量问题：（1）实数可以比较大小，向量能吗？（2）DC ABCD AB u u u r u u u rY 中，写出与的关系？（3）DC ABCD AB u u u r u u u r判断：若=，则四点构成平行四边形,对吗？ （4）能找出向量的平行与直线平行的区别吗？ （5）能运用这个区别解决什么问题？ 四、数学运用例1 已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，如图，所标出的向量中：（1）试找出与FE u u u r 共线的向量；（2）确定与FE u u u r相等的向量；（3）OA u u u r 与BC u u u r向量相等吗？ 概念辨析（判断）：（1）模相等的两个平行向量是相等的向量； （ ） （2）若a 和b 都是单位向量，则a =b ； （ ） （3）两个相等向量的模相等；（ ） （4）相等向量一定是共线向量； （ ） （5）共线向量一定是相等向量；（ ）（6）任一向量与它的相反向量不相等； （ ）（7）设O 是正ABC 的中心，则向量,,AO BO CO u u u u r u u u r u u u r是模相等向量；（ ） （8）若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线． （ ）例2 如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB u u u r，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB u u u r 相等的向量有多少个？与AB u u u r长度相等的共线向量有多少个？（AB u u u r除外）练习 写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）．AA BCF1．向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量．2．向量的表示方法：常用一条有向线段来表示．3．两种特殊的向量：零向量单位向量．4．向量间关系：平行向量(共线向量)相等向量相反向量六、作业教科书第57页习题2．1第 1，3，4题．。
江苏省灌云县四队中学苏教数学必修四【教案】向量的数量积(2)
四队中学教案纸 （备课人： 房以广 学科： 高一数学 ）备课时间 4．12教学课题教时计划3教学课时2教学 目标 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
重点难点1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
教学过程（一）复习：1．两平面向量垂直的充要条件； 2．两向量共线的坐标表示；3．x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：1i i ⋅=，1j j ⋅=，0i j j i ⋅=⋅=．（二）新课讲解：1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，则1122,a x i y j b x i y j =+=+， ∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+1212x x y y =+.从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+．2．长度、夹角、垂直的坐标表示： ①长度：(,)a x y =⇒ 22222||||a x y a x y =+⇒=+；②两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则222121()()AB x x y y =-+-；③夹角：121222221122cos ||||a bx x y y a b x y x yθ⋅+==⋅+⋅+；④垂直的充要条件：∵0a b a b ⊥⇔⋅=，即12120x x y y += （注意与向量共线的坐标表示的区别）(1,2),(2,3),A B ABC 是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
52x y -=又∵||||OB AB =，5210429y x y x y +--+=AB AC ⋅=0 ∴k 90时，0AB BC ⋅=BC AC =-1)3(3)0k +⨯-=。
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教学
目标 1、理解两个向量共线的含义，能根据条件判断两个向量是否共线，
2、能运用它们证明简单的几何问题。
重点难点
两个向量共线的含义
向量共线与几何共线的区别 教学过程
一、问题情境：
问题：如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，
求证： BC 与DE 共线，并将DE 用BC 线性表示.
证：因为D,E 分别为AB,AC 的中点，
所以DE ∥BC
即BC 与DE 共线， 又BC DE 2
1=
，且DE 与BC 同向 所以DE =21BC 你能从这道题目中发现什么吗?
二、互动探究
向量共线定理：如果有一个实数λ,使b a λ= )0(≠a ,那么b 与a 是共线向量;反之,如果 b 与a )0(≠a 是共线向量, 那么有且只有一个实数λ,使b a λ=
证:由向量数乘的定义可知,对于向量a
)0(≠a 和b ,如果有一个实数λ, 使b a λ=,那么b 与a 是共线向量.
反过来,如果b 与a )0(≠a 是共线向量,
当b 与a 同方向时,令|||
|b a =
λ 当b 与a 反方向时, 令|||
|b a -=λ
若0=b ,则令0=λ
从而有一个实数,使 b a λ= ,
假设有两个',λλ,使b a λ=, '
λ=b ,则0)('=-=-a b b λλ,故0||||'=-a λλ
因为0
|
|≠
a,所以‘
即λ
λ
λ
λ=
=
-,0
'
三、精讲点拨
例1、如图，△ABO中，C为直线AB上一点，AC CB
λ
=（λ≠-1）.
求证：
OA OB
OC
1
λ
λ
+
=
+
分析:将已知条件中AC,CB用结论式中的OC
OB
OA,
,表示,进而解出OC
证因为OA
OC
AC-
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
=
≠
+
-
≠
+
=
+
-
=
-
=
-
=
1
,0
1
,1
)
1(
)
(
OB
OA
OC
OB
OA
OC
OC
OB
OA
OC
CB
AC
OC
OB
CB
所以
即
又因为
即
所以
又
四、矫正反馈
课本P66练习1,2,3
五、迁移应用
如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于M，试用向量法证明：M是BD的一个三等分点。
课外作业
书P68-69 7、8、9
教学反思。