误差有效数字和数据处理

第一章 误差、有效数字和数据处理第一节 测量误差的基本概念一、测量误差进行物理实验，不仅要观察物理现象、定性地研究物体变化规律，而且要定量地测量所观察物体的量值（量值是指用数和适当的单位表示的量，如2.30 m 、15.5 kg 等）。

通过测量可以认识物理现象的内在关系，揭示物理过程的本质。

所谓测量，就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物理量进行比较，以确定它是标准量的多少倍。

这个标准量称为物理量的单位，这个倍数称为待测物理量的数值。

一个物理量必须由数值和单位组成。

本书使用国际单位制。

1. 直接测量和间接测量测量可以分为直接测量和间接测量两类。

凡是能以量具、仪器的刻度直接测得待测量的大小的测量，叫做直接测量。

但是大多数物理量都没有直接测量的仪器，需要进行间接测量。

所谓间接测量，就是先经过直接测量得到一些量值，然后再通过一定的数学公式计算，才能得出所求结果的测量。

2. 测量误差任何物理量在一定条件下都客观地存在一个唯一确定的值，这个值称为真值。

但是，由于实验条件、测量方法、测量仪器和测量者自身判断等原因，任何测量都不是绝对准确的，所以测得数值与真值之间总存在着差异。

我们把所得测量值与真值之差定义为测量值的误差，用下式表示i i x x x （1） 式中：x 为真值；i x 为第i 次测量值；i x 为第i 次测量误差。

产生误差的原因是多方面的，根据误差的性质及其产生原因，可将误差分为系统误差和偶然误差两大类。

（1）系统误差。

系统误差的特点是测量的结果总向某一定方向偏离，或按照一定的规律变化。

产生系统误差有以下几个原因：仪器本身的缺陷、理论公式或测量方法的近似性、环境的改变（如测量过程中温度、压强的变化）、个人存在的不良测量习惯等。

由于系统误差的数值和符号（＋、－）是定值或按某种规律变化，因此系统误差不能通过多次测量来消除或减小。

但是，如果能找出产生系统误差的原因，就能采取适当的方法来消除或减小它的影响，或对测量结果进行修正。

因此，实验中一定要注意消除系统误差。

（2）偶然误差。

即使在测量过程中已减小或消除了系统误差，但在同一条件下对某一物理量进行多次测量，总存在差异，误差时大时小、时正时负。

这种现象的产生是由于观察者受到感官的限制，或由于实验过程中受到周围条件无规则变化的影响，或由于测量对象自身的涨落，或由于其他不可预测的偶然因素所引起的。

这样的误差称为偶然误差。

对某一次测量来说，偶然误差的大小、符号都无法预先知道，完全出于偶然。

但是当测量次数足够多时，偶然误差就具有明显的规律性，即偶然误差遵循统计规律。

理论和实验都表明，大量的偶然误差均服从“正态分布”。

偶然误差有如下特点：① 绝对值相等的正负误差出现的几率相等。

② 绝对值小的误差出现的几率比绝对值大的误差出现的几率大。

③ 偶然误差的算术平均值随测量次数的增加而减小，当测量次数趋于无穷时，它趋于零。

④ 偶然误差存在一个“最大误差”，即误差的绝对值不超过某一限度。

由于偶然误差存在上述性质，我们可以用增加测量次数的方法来减小它。

当测量次数足够多时，测量列的偶然误差趋于零，测量列的算术平均值就趋近于真值。

故在有限次测量中，我们应取测量列的算术平均值作为真值的估计值，或称之为最佳值。

二、直接测量的误差估算和测量结果的表示1. 多次直接测量的误差及其表示上面我们讲过，为了减小偶然误差，可以在同一条件下对同一物理量进行多次重复测量，用多次测量值的算术平均值作为被测量的最佳估计值。

设我们对某一物理量进行了n 次测量，测量值分别为12, , , n x x x 。

其算术平均值为12111()nn i i x x x x x n n （2） 由上所述，x 为该物理量的最佳值。

那么，各次测量值与x 的偏差，就近似为各测量值与真值的误差。

在一般的讨论中，我们不去严格区分“偏差”和“误差”。

在物理实验中，多次测量的误差常用算术平均绝对偏差和标准偏差来表示。

（1）算术平均绝对偏差。

在多次测量中，每次测量值与算术平均值的偏差的绝对值为1122, , , n n x x x x x x x x x则算术平均绝对偏差定义为12111()nn i i x x x x x n n （3） 测量结果可表示为x x x （4）式（4）为测量结果的算术平均绝对偏差表示方式。

它表明被测量值x 的最佳估计值是x ，测量值在()x x 到()x x 区间内包含真值的可能性最大。

这是一种粗略的估算。

（2）标准偏差（又称方均根偏差）。

偶然误差最通常的表示方式为标准偏差。

当测量次数足够多时，标准偏差的定义为（5） 当测量次数有限时，标准偏差可表示为x （6） 又称为样本标准差。

由于实验中测量次数都是有限的，我们常用式（6）估算测量值的偶然误差。

应当指出，式（6）是在某列测量中某一次测量结果的标准偏差。

如果进行多组重复测量，则每一组所得的算术平均值也存在误差。

误差理论表明，n 次测量的算术平均值的标准偏差为x的倍。

即x （7） x 称为样本平均值的标准偏差（或简称为标准偏差）。

当偶然误差用标准偏差来表示时，对某一次测量结果可写成x x x （8）对n 次测量结果的平均值，可写成x x x （9）标准偏差的大小，表示了在一列多次测量数据中各个数据之间的离散程度，它是对这组测量数据可靠性的一种评价。

标准偏差小，说明绝对值小的误差占优势，正态分布曲线尖锐，测量列的离散性小，测量的精密度高。

从偶然误差的正态分布规律可以证明，对x 的任何一次测量值的误差介于[, ]x x 的几率为68.3%。

由式（7）可知，增加测量次数对于提高测量的精密度是有利的。

但我们注意到x 的下降速度比n 的增长速度慢得多。

因此测量次数应根据实际情况而定，并不是越多越好。

测量次数太多，有时会出现“漂移”现象。

“漂移”指的是计量仪器特性及所测对象随时间而变化的现象。

在物理实验中，根据被测量对象的具体情况一般进行5～10次测量即可。

测量次数取得过少，则测量数据将严重偏离正态分布。

2. 单次测量的误差及其表示有些物理实验是在动态下测量的，不允许重复多次测量；有些实验的精密度要求不高；有些是间接测量，某一个物理量对结果影响不大，在这些情况下，对被测量可以只进行一次测量。

单次测量的误差估计，一般总是估计误差的最大值。

误差最大值的估计比较复杂，有各种方法。

如果要求不高或不需要很精确时，常取仪器最小分度d 的一半来表示。

其测量结果为2d x x 测 （10） 对于标出精度等级的仪器和仪表，可用仪器误差作为单次测量误差，表示为x x x 测仪 （11）仪器误差一般在仪器上或说明书上标明。

例如，50分度游标尺的x 仪＝0.02 mm ，螺旋测微器上的x 仪＝0.004 mm ，电学仪表的x 仪＝量程 精度等级%。

有可能会遇到这种情况：在多次测量中，经过计算得到的偶然误差很小，甚至趋近于零。

从简单化问题而又不失其合理性考虑，这时仍可取仪器误差作为测量结果的最大误差。

3. 相对误差 上述算术平均绝对偏差x 和标准偏差x ，均是以绝对误差的形式表示测量值的误差。

但有时为了全面评价测量的优劣，还需要考虑被测量自身的大小。

为此，需引入相对误差的概念。

相对误差的定义为100%x x E x（12） 当x 用算术平均绝对偏差或标准偏差来表示时，相对误差分别为100 100x x x x E E x x%,% 一般来说，在对同一物理量的测量中，相对误差小的精密度高。

由式（12）可见，相对误差与绝对误差的关系为x x E x （13）当被测量值有公认理论值或标准值时，在数据的处理中，还常常把测量值与理论值或标准值进行比较，并用相对误差来表示100x E 测量值理论值或标准值理论值或标准值% （14）三、间接测量误差的估算间接测量值的最佳值，是把各直接测量列中的最佳值代入相对应的函数关系式进行计算而得到的。

由于各直接测量值都存在误差，因此间接测量值也必然有一定的误差。

这种由直接测量值的误差影响到间接测量值误差的现象，称为误差的传播。

所传播的误差与直接测量值误差的大小以及函数关系式的具体形式有关。

下面简要介绍算术平均绝对偏差和标准偏差的传播。

1. 算术平均绝对偏差的传播设间接测量值N 与各独立的直接测量值x ，y ，z ，…有下列函数关系, , , N f x y z （15）用算术平均绝对偏差（通常把算术平均误差看成最大误差）表示各个独立的直接测量值为x x x ，y y y ，, z z z则间接测量值可表示为N N N （16） 式中：N 是把各个直接测量的最佳值, x y z 代入式（15）求出来的值；N 的计算式导出如下： 对式（15）求全微分，得d d d d f f f N x y z x y z式中：d , d , d , , , , x y z x y z 为的微小变化量。

由于误差都远小于测量值，我们可把d , d , d , , d x y z N 看做误差，并记以, , , , x y z N ，则绝对误差N 可表示为f f f N x y z x y z（17） 式中取绝对值是考虑到误差最大的情况。

为了计算间接测量值的相对误差，可对式（15）取对数，即ln ln (, , , )N f x y z对上式求全微分，有d ln ln ln d d d N f f f x y z N x y z把微分号改为误差号，取各项绝对值，求算术和，得到间接测量的相对误差为ln ln ln N N f f f E x y z N x y z（18） 由式（17）和式（18）可见，对于加减运算的函数式，可通过直接求全微分的方法求得绝对误差；对于乘除运算的函数式，可用先取对数后求全微分的方法求得相对误差N N ，再用N N E N 的方法求得绝对误差。

2. 标准偏差的传播上述算术平均绝对偏差的传播的计算，是在考虑各直接测量误差同时出现最坏的情况下，即取各直接测量误差的绝对值相加得到的。

实际上测量中出现这种情况的几率是很小的，这样做往往夸大了间接测量误差。

为了更真实地反映各直接测量误差对间接测量误差的贡献，我们常用标准偏差的传播公式。

可以严格证明，对某间接测量值 , , , N f x y z ，标准偏差的传播公式为N （19） 其相对误差的传播公式为N N E N （20） 第二节 有效数字及其运算如第一节所述，任何实验的测量结果都存有误差。

那么，当我们直接读取待测量的数值时，应取几位有效数字呢？在间接测量中，计算间接测量值时，又应取多少位有效数字呢？这些都是不能随意决定的，必须按照有效数字及其运算的法则来确定。

有效数字及其运算法则对于物理实验，乃至将来从事的科学实验都非常重要，必须很好地掌握。

一、直接测量的有效数字用量具或仪器直接读取测量值时所得的数值，都含有准确数字和可疑数字两部分。