误差有效数字和数据处理

第一章 误差、有效数字和数据处理

第一节 测量误差的基本概念

一、测量误差

进行物理实验，不仅要观察物理现象、定性地研究物体变化规律，而且要定量地测量所观察物体的量值（量值是指用数和适当的单位表示的量，如2.30 m 、15.5 kg 等）。通过测量可以认识物理现象的内在关系，揭示物理过程的本质。所谓测量，就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物理量进行比较，以确定它是标准量的多少倍。这个标准量称为物理量的单位，这个倍数称为待测物理量的数值。一个物理量必须由数值和单位组成。本书使用国际单位制。

1. 直接测量和间接测量

测量可以分为直接测量和间接测量两类。凡是能以量具、仪器的刻度直接测得待测量的大小的测量，叫做直接测量。但是大多数物理量都没有直接测量的仪器，需要进行间接测量。所谓间接测量，就是先经过直接测量得到一些量值，然后再通过一定的数学公式计算，才能得出所求结果的测量。

2. 测量误差

任何物理量在一定条件下都客观地存在一个唯一确定的值，这个值称为真值。但是，由于实验条件、测量方法、测量仪器和测量者自身判断等原因，任何测量都不是绝对准确的，所以测得数值与真值之间总存在着差异。我们把所得测量值与真值之差定义为测量值的误差，用下式表示

i i x x x （1） 式中：x 为真值；i x 为第i 次测量值；i x 为第i 次测量误差。

产生误差的原因是多方面的，根据误差的性质及其产生原因，可将误差分为系统误差和偶然误差两大类。

（1）系统误差。

系统误差的特点是测量的结果总向某一定方向偏离，或按照一定的规律变化。产生系统误差有以下几个原因：仪器本身的缺陷、理论公式或测量方法的近似性、环境的改变（如测量过程中温度、压强的变化）、个人存在的不良测量习惯等。

由于系统误差的数值和符号（＋、－）是定值或按某种规律变化，因此系统误差不能通过多次测量来消除或减小。但是，如果能找出产生系统误差的原因，就能采取适当的方法来消除或减小它的影响，或对测量结果进行修正。因此，实验中一定要注意消除系统误差。

（2）偶然误差。

即使在测量过程中已减小或消除了系统误差，但在同一条件下对某一物理量进行多次测量，总存在差异，误差时大时小、时正时负。这种现象的产生是由于观察者受到感官的限制，或由于实验过程中受到周围条件无规则变化的影响，或由于测量对象自身的涨落，或由于其他不可预测的偶然因素所引起的。这样的误差称为偶然误差。对某一次测量来说，偶然误差的大小、符号都无法预先知道，完全出于偶然。但是当测量次数足够多时，偶然误差就具有明显的规律性，即偶然误差遵循统计规律。理论和实验都表明，大量的偶然误差均服从“正态分布”。偶然误差有如下特点：

① 绝对值相等的正负误差出现的几率相等。

② 绝对值小的误差出现的几率比绝对值大的误差出现的几率大。

③ 偶然误差的算术平均值随测量次数的增加而减小，当测量次数趋于无穷时，它趋于零。 ④ 偶然误差存在一个“最大误差”，即误差的绝对值不超过某一限度。

由于偶然误差存在上述性质，我们可以用增加测量次数的方法来减小它。当测量次数足够多时，测量列的偶然误差趋于零，测量列的算术平均值就趋近于真值。

故在有限次测量中，我们应取测量列的算术平均值作为真值的估计值，或称之为最佳值。

二、直接测量的误差估算和测量结果的表示

1. 多次直接测量的误差及其表示

上面我们讲过，为了减小偶然误差，可以在同一条件下对同一物理量进行多次重复测量，用多次测量值的算术平均值作为被测量的最佳估计值。

设我们对某一物理量进行了n 次测量，测量值分别为12, , , n x x x 。其算术平均值为

121

11()n

n i i x x x x x n n （2） 由上所述，x 为该物理量的最佳值。那么，各次测量值与x 的偏差，就近似为各测量值与真值的误差。在一般的讨论中，我们不去严格区分“偏差”和“误差”。

在物理实验中，多次测量的误差常用算术平均绝对偏差和标准偏差来表示。

（1）算术平均绝对偏差。

在多次测量中，每次测量值与算术平均值的偏差的绝对值为

1122, , , n n x x x x x x x x x

则算术平均绝对偏差定义为

121

11()n

n i i x x x x x n n （3） 测量结果可表示为

x x x （4）

式（4）为测量结果的算术平均绝对偏差表示方式。它表明被测量值x 的最佳估计值是x ，测量值在()x x 到()x x 区间内包含真值的可能性最大。这是一种粗略的估算。

（2）标准偏差（又称方均根偏差）。

偶然误差最通常的表示方式为标准偏差。当测量次数足够多时，标准偏差的定义为

（5） 当测量次数有限时，标准偏差可表示为

x （6） 又称为样本标准差。由于实验中测量次数都是有限的，我们常用式（6）估算测量值的偶然误差。应当指出，式（6）是在某列测量中某一次测量结果的标准偏差。

如果进行多组重复测量，则每一组所得的算术平均值也存在误差。误差理论表明，n 次测量的算术平均值的标准偏差为x

的倍。即

x （7） x 称为样本平均值的标准偏差（或简称为标准偏差）。

当偶然误差用标准偏差来表示时，对某一次测量结果可写成

x x x （8）

对n 次测量结果的平均值，可写成

x x x （9）

标准偏差的大小，表示了在一列多次测量数据中各个数据之间的离散程度，它是对这组测量数据可靠性的一种评价。标准偏差小，说明绝对值小的误差占优势，正态分布曲线尖锐，

测量列的离散性小，测量的精密度高。从偶然误差的正态分布规律可以证明，对x 的任何一次测量值的误差介于[, ]x x 的几率为68.3%。

由式（7）可知，增加测量次数对于提高测量的精密度是有利的。但我们注意到x 的下降速度比n 的增长速度慢得多。因此测量次数应根据实际情况而定，并不是越多越好。测量次数太多，有时会出现“漂移”现象。“漂移”指的是计量仪器特性及所测对象随时间而变化的现象。在物理实验中，根据被测量对象的具体情况一般进行5～10次测量即可。测量次数取得过少，则测量数据将严重偏离正态分布。

2. 单次测量的误差及其表示

有些物理实验是在动态下测量的，不允许重复多次测量；有些实验的精密度要求不高；有些是间接测量，某一个物理量对结果影响不大，在这些情况下，对被测量可以只进行一次测量。单次测量的误差估计，一般总是估计误差的最大值。误差最大值的估计比较复杂，有各种方法。如果要求不高或不需要很精确时，常取仪器最小分度d 的一半来表示。其测量结果为

2

d x x 测 （10） 对于标出精度等级的仪器和仪表，可用仪器误差作为单次测量误差，表示为

x x x 测仪 （11）

仪器误差一般在仪器上或说明书上标明。例如，50分度游标尺的x 仪＝0.02 mm ，螺旋测微器上的x 仪＝0.004 mm ，电学仪表的x 仪＝量程 精度等级%。

有可能会遇到这种情况：在多次测量中，经过计算得到的偶然误差很小，甚至趋近于零。从简单化问题而又不失其合理性考虑，这时仍可取仪器误差作为测量结果的最大误差。

3. 相对误差 上述算术平均绝对偏差x 和标准偏差x ，均是以绝对误差的形式表示测量值的误差。但有时为了全面评价测量的优劣，还需要考虑被测量自身的大小。为此，需引入相对误差的概念。相对误差的定义为

100%x x E x

（12） 当x 用算术平均绝对偏差或标准偏差来表示时，相对误差分别为

100 100x x x x E E x x

%,% 一般来说，在对同一物理量的测量中，相对误差小的精密度高。

由式（12）可见，相对误差与绝对误差的关系为