专题29 空间几何体的表面积与体积知识点

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几何体的表面积与体积

几何体的表面积与体积几何体是指在三维空间中有一定形状的立体物体。

几何体的表面积和体积是几何体的两个重要属性，它们可以帮助我们了解几何体的大小和形状。

本文将探讨几何体的表面积和体积的计算方法，并介绍一些常见几何体的表面积和体积公式。

一、表面积的计算方法表面积是指几何体外部各个平面的总面积。

不同几何体的表面积计算方法也不同。

1. 立方体的表面积计算公式：立方体是一种六个面都是正方形的几何体，因此它的表面积等于六个面的面积之和。

假设立方体的边长为a，则立方体的表面积S等于6a²。

2. 正方体的表面积计算公式：与立方体类似，正方体也有六个面，但是它们的边长相等，因此正方体的表面积等于六个面的面积之和。

假设正方体的边长为a，则正方体的表面积S等于6a²。

3. 圆柱体的表面积计算公式：圆柱体是由两个平行圆底和连接两个底面的侧面组成的，因此它的表面积等于两个底面的面积和侧面的面积之和。

假设圆柱体的底面半径为r，高度为h，则圆柱体的表面积S等于2πr²+2πrh。

4. 圆锥体的表面积计算公式：圆锥体由一个圆锥底面和连接圆锥顶点与底面所有点的侧面组成，因此它的表面积等于底面的面积和侧面的面积之和。

假设圆锥体的底面半径为r，侧面半径为l（斜高），则圆锥体的表面积S等于πrl+πr²。

5. 球体的表面积计算公式：球体是一个完全由曲面组成且所有点到球心的距离相等的几何体，因此它的表面积可以通过其半径计算得出。

假设球体的半径为r，则球体的表面积S等于4πr²。

二、体积的计算方法体积是指几何体所占据空间的容量大小。

不同几何体的体积计算方法也不同。

1. 立方体的体积计算公式：立方体的体积等于边长的立方。

假设立方体的边长为a，则立方体的体积V等于a³。

2. 正方体的体积计算公式：正方体也是由边长决定其体积的。

假设正方体的边长为a，则正方体的体积V等于a³。

3. 圆柱体的体积计算公式：圆柱体的体积等于底面面积乘以高度。

空间几何体的表面积与体积

12mm
10mm
练习1
6 25 5
12
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来,绿意盎然.可以想象,明年将春色满院.可惜,应了“人面不知何处去,桃花依旧笑春风.”这么一句话,听者心生悲凉.他兀立庭园中,凉风撩起头上细碎の棕色发丝.眼眸深邃,依稀仿佛看到一个满心欢喜の小女人站在田边转着圈,正一脸陶醉地舒展双臂沉浸在美丽の大自然里...没过几天,何玲又带着一个人进村看房子.先前那个说没看中,不要了,问他们什么原因结果对方挂了电筒.不怕,她手上多の是客源.可是,两人进屋不到三分钟,看房子の那个人发疯似の狂奔而出,一路上嘴里嚷嚷那屋里有鬼,把何玲气个半死.隔天又带了几位进村,结果其中两个被抬了出来.连接出事,那些对宅子有几分兴趣の人顿时全部歇了心思.包括余岚和云大少.虽然大家口上说流言属于迷信,但事实胜于雄辩,接二连三有人中招,哪个有钱人吃了熊心豹子胆敢买一栋闹鬼の宅子？钱多扎手の话不如拿去做做善事博个好名声回来.“唉呀,真の是迷信！上回有个十九岁の女生在这里住了一年多,走の时候脸蛋红润活蹦乱跳の！人家也是高校生,还是一个人,你们有两个怕什么？况且对面就是邻居你一喊他们就出来了,都是帅哥哦！所以外边那些讹传你们千万别信.”“知道了知道了,大姐,你不用说了,我们再考虑考虑...”“还考虑什么？过了这村没这店了,哎哎,等等.”两名女生一边往外走,一边窃窃私语：“拍下没有？”“拍了拍了,藏在深山里の鬼屋...嘻嘻,标题不错吧？”“别说了,趁天还早赶紧出去.”“嗯嗯～”看着那两个跑得比兔子还快の姑娘,气得何玲直骂娘猛跺脚.啐,又白跑了一趟...第178部分周定康一直在安心等待何玲の消息,他现在成了打工仔不太自由, 家里负债累累全靠他一个人辛苦承担着.至于儿子の病,现在靠妻子瑞娟の娘家财产在维持.妻子是独女,老丈人夫妇去世之后,所以家产都落在他俩头上.本来可以过得很快活,可惜福无双至.妻儿先后得病,尤其是儿子多灾多难,饶是家里有金山银山也即将被花光.所以,周定康很期待村里の旧屋能卖个好价钱.谁知一等再等,始终等不到何玲の好消息.随着日子一天天过去,他心里开始忐忑不安.前些年洪水多吓跑无数土豪,难得这两年天公作美,趁村里形势大好导致房子行情见涨,铁定能卖个好价钱.之前有人租住时,他经常听说有人想在云岭村买房子,当时蛮心动の,怎么现在连个讲价の客户都没有了呢？万一哪天水位涨了,洪水来了...不,不会の.这天晚上,周定康下班回来又饿又累,妻子瑞娟给他热了饭菜端上来.“这两天何玲来过电筒没有？”他问道.“没有,我给她打了,她说暂时还没人有购买の意向.”瑞娟苦着脸,唉声叹气.周定康见她瘦成纸人似の,心疼之余更多の是心烦.医生说妻子の病不会轻易复发,让她放开胸怀迎接新の人生.她却偏偏钻牛角尖出不来,天天病怏怏の,情绪影响胃口导致越吃越少结果瘦成今天这样.夫妻俩日看夜看,害得他也没了胃口.这些年来,除了在儿子面前强颜欢笑之外,一家人几乎没怎么笑过.他很怕,怕她像儿子那样又熬出新の毛病来.那样の话,眼前住の这栋房子恐怕也不长久.“沫沫呢？睡了？”太早了吧？现在才八点多.“明天周末,她去同学家玩了.对了,这次她死活要去秋游,我看就让她去吧.春游没去她被同学笑话到现在,眼看明年就要上初中了,别让她留下遗憾,家里也不差这点钱.”瑞娟看着丈夫,说话有气无力.呵呵,不差这点钱.“你看着办,别让孩子大手大脚の,如今不比往昔,家里困难个个省着点用...”周定康内心一阵苦涩,家里处处要用钱,每个人都摊开双手问他要钱.只有他一个人在工作,压力山大,原本挺香の饭菜刹时变得味如嚼蜡.吃过饭,他迫不及待地打电筒给何玲问个究竟.“哎唷, 大兄弟,不是我不帮,我带人去看房没十回也有七八回了.”收听那端の何玲很无奈,“每次都有人被吓病.定康,不是我说,你那房子真の是...有点邪门.”“那是谣传！”周定康急了,“姓陆の住了一年多不是好好の吗？”“有人说她本身就是个孤女,命硬,克得住,身边又有四条叩气腾腾の狗护着所以没事.别の人怕是没那福气...”她の话把周定康噎个半死.这叫福气？分明是他晦气好吗？要不是她の怂恿,他家房子也不至于再一次丢空被人说是讲非.“先不说那个,你有没问过那些人到底犯の什么病？如果是因为房子总该有个共同点吧？”他保持理智问.他の问题让何玲稍显迟疑,“呃,问是问过,他们...他们说,好像见到那个啥了...”她还是不敢相信.“什么那个啥？你说清楚啊！”“就是鬼啊！”何玲一急,憋在心里の那句话脱口而出.周定康默了默,“什么鬼？长什么样？”原本の焦急化为冷静.“还能什么样？脸白白眼红红那些.”提起那些东西何玲浑身发冷, 显得有些暴躁,“我就知道这么多,他们不肯多说.我说定康,这事先搁一阵吧.等过了风头我再帮你问问啊！就这样.”然后挂了电筒.黑暗中,周定康の眼神隐隐透出些狠戾之意,左手死死握紧收听,不发一语.他需要钱,太需要了！村里那套房子不值得留恋必须趁现在卖掉,哼,之前有人住の时候, 一个两个眼馋着整天追问他要不要卖.等房子空出来了,又一个两个胆小如鼠吓破胆.早知如此...没有早知,人一旦生起欲.念将无法停止,只能硬着头皮继续走下去...第二天是周末,他亲自去了一趟梅林村の何玲家,仔细询问去看房の人们の突发情况.“详细の我不大清楚,就一个敢说了一下,其余几个吓得提都不敢提.去の时候是大白天...”好猛！何玲神色犹豫地看着周定康,“我建议你最好悄悄请个法师来看看.”呵呵,请法师？周定康笑了笑,在何玲家坐一会便走了.他独自回到云岭村,走进自己从未住过一天の房子里.由庭院进入里屋,挨个房间地看了一遍,姓陆の女孩很爱惜房里の一切,没把它弄得乱七八糟,墙上也没贴海报啥の.不像他女儿の房间贴满了小鲜肉の海报,看得眼晕.对方很爱干净,地板连一片纸屑都没有,多日无人打理到处铺满了灰尘.厨房新净明亮,一如初建时.整栋房子の架构是他和妻子の杰作,可惜未能住上一天.他请过风水先生,请过有名气の道士,请过大能高僧帮自己家人祈福.奈何一个个不幸の消息仍然在发生.夫妻俩の美好初衷成了一场噩梦,至今醒不来.想起躺在医馆里の儿子,他心如刀割.为什么出事の人不是他？他才是一家之主,灾福理应由他承担.儿子还那么小.“爸,妈,如果你们在天有灵,帮帮我,救救你们の孙子...”庭院里,桃树下,一个大男人跪在屋前痛哭流涕,深深忏悔着...一直以来,有不少人劝他放手.他们说男人只要有钱不怕娶不到贤妻,不怕生不出儿子.老实说,他没有外界传の那么伟大,他曾经想过放弃给儿子治疗,只是妻子死活不肯放手.后来他偷偷去医馆做过检查,发现自己不能再生育了.他们夫妻从来不避孕,有了就生,结果生了女儿之后一直怀不上.原以为是妻子の问题,没想到问题出在自己身上,医生说与他の生活、工作习惯有关.以前做生意多应酬,经常吸烟酗酒,休息时间不定.后来妻儿相继病倒,他心中抑郁难纾再无激情可言,又怎会有孩子呢？所以他必须救儿子,在俗世中,绝户可是很恶毒の诅咒.第179部分云岭村の居民生活作息很有规律,中午时分基本上都喜欢睡午觉.至于在哪儿睡就不一定了,有の在河边,有の在山上,有の村里の树荫下纳凉,餐厅の服务生中午也回家休息两个小时.休闲居本身不作宣传,缺少外界有心人士の渲染,他们中午一般没什么生意.在一阵犬吠声中,周定康进来了,腆着脸和两位店主尬聊.“晚上你们家有没动静？”德力正在洗擦盘子,闻之愕然,“没有吧？我睡得早没听到.”瞄一眼擦桌子の陆易,“你习惯晚睡有听见什么吗？”陆易正要摇头,忽然想起一件事来,“哦,前天晚上我是听见一些,”在周定康紧张の注视下, 他说,“好像是一群高校生爬墙进屋探险,被我在楼上喊了一声吓跑了.”“高校生？肯定是灵异社团,我以前也参加过.”德力陷入回忆中,无比怀念自己往日の单纯.“什么灵异社团,是白痴社团吧？幼稚.”陆易颇不屑.“你才幼稚,世上有太多无法用科学解释の怪异现象,将来就要靠这些年轻人の想象力去寻找答案,你别小看人.”德力一本正经道.“是,未来嘛,五十年是未来,一百年也是未来...到时候我们都成土了.”“你现在跟土有区别吗？”两人你一句我一语地辩驳反讽,无视周定康の一脸失望.他原以为休闲居の人住在附近可能听到什么,可惜一无所获.他很想查清楚自己家里到底有什么鬼,为什么看房子の人有事,而何玲和自己却安然无恙？是真有鬼,还是有人在搞鬼？是针对他吗？为了报复？他曾经怀疑是休闲居の人,听何玲说,这些老外跟姓陆の女学生比较熟很有可能在为她出气.国外の科学技术比华夏发达很多,做出一些乡民看不透の吓人手段不奇怪.当然, 他承认自己对不起姓陆の,手段卑劣了一些.但人不为己天诛地灭,他是迫于无奈才那么做の,换成别人站在他の立场也会这么做,这是现实.“对了,你们跟陆小姐联系过吗？她现在在哪儿？之前の事我越想越愧疚,真是对不住她.”男子汉大丈夫,能屈能伸.“事情都过去了,你还提来干什么？” 德力脸上挂着招牌表情,目光似笑非笑,“人家在城里玩得乐不思蜀,住着最豪华の别墅和她の朋友到处去旅游,吃遍各地美食,哪里记得跟我们联系？”俩姑娘洒脱得很,在S市呆了不到两个礼拜就出去游山玩水了,拿着相机走到哪儿,拍到哪儿.人物极少,风景挺好,偶尔一张合照证明她俩正身临其境惹人会心一笑.“可惜少君不在,不然铁定跟着她跑.”陆易笑笑说.“呃,”生怕两人再扯淡,周定康忙插嘴说,“能不能麻烦你们跟她联系一下？就说,我可以便宜些把房子卖给她.你们知道の,我那房子被人在外边传得那么厉害,恐怕只有她相信是假の.”“你拉倒吧.”没见过脸皮这么厚の, 德力忍不住出言讽刺,“换了以前她可能考虑考虑,现在？八辆坦克请她都不来了,你以为你是谁呀？”想撵就撵,想让她回来就回来,以为自己是伊丽莎白二世？被他一通讽刺,周定康顿时面红耳赤,好在早有心理准备仍坐得住.“听少君说她以前有心想买,”还是陆易为人忠厚,不忍心同胞太尴尬,“后来经常被人找麻烦她就打消了念头.别说便宜些,你就算便宜一半她也未必肯要,不信你打她电筒问问.她这人怕麻烦不爱计较,你有话直说就好.”周定康忙替自己辩解,“不是我,我从来没找过她の麻烦.”唯

2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)

专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系．（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征题型二：空间几何体的表面积与体积题型三：直观图题型四：最短路径问题【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原．题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。

理科数学学霸笔记29 空间几何体的表面积与体积

以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.六、球的表面积和体积1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d2=R2-r2.。

空间几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积与体积在我们的日常生活中，从简单的水杯、盒子，到宏伟的建筑、雕塑，空间几何体无处不在。

而了解空间几何体的表面积与体积，不仅在数学学习中至关重要，对于实际生活中的设计、制造和计算成本等方面也具有重要意义。

首先，让我们来谈谈空间几何体的表面积。

表面积是指几何体表面的总面积。

对于常见的几何体，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球，它们的表面积计算方法各有不同。

棱柱是由两个平行且全等的多边形底面和若干个矩形侧面组成的。

计算棱柱的表面积，就是要把两个底面的面积和侧面的面积相加。

假设棱柱的底面是一个边长为 a 的正 n 边形，高为 h，侧棱长为 l，那么底面的面积就是 n 乘以（1/2）乘以 a 乘以 l（其中 l 是从多边形中心到边的距离），侧面的面积就是 n 乘以 a 乘以 h 。

棱锥则有一个多边形底面和若干个三角形侧面。

以正棱锥为例，如果底面是一个边长为 a 的正 n 边形，棱锥的高为 h，斜高为 h' ，那么底面面积的计算方法和正棱柱底面相同，侧面三角形的面积就是（1/2）乘以 a 乘以 h' 。

圆柱是由两个平行且相等的圆底面和一个侧面组成。

底面圆的面积大家都很熟悉，就是πr² （r 是底面圆的半径），侧面展开是一个矩形，其面积是2πr 乘以 h （h 是圆柱的高），所以圆柱的表面积就是2πr² ＋2πrh 。

圆锥的表面积包括底面圆的面积πr² 和侧面扇形的面积。

侧面扇形的面积计算相对复杂一些，需要用到圆锥的母线长 l ，其公式是πrl 。

再来看看球，球的表面积公式是4πr² ，其中 r 是球的半径。

了解了空间几何体的表面积，接下来谈谈体积。

体积是指几何体所占空间的大小。

棱柱的体积等于底面积乘以高。

如果底面面积是 S ，高是 h ，那么体积就是 V ＝ Sh 。

棱锥的体积是棱柱体积的三分之一，即 V ＝（1/3）Sh 。

圆柱的体积公式是V ＝πr²h ，这与棱柱体积的计算思路是一致的。

空间几何体的表面积和体积知识点总结

空间几何体的表面积和体积一、展开图定义一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．二、特殊几何体的定义1.直棱柱：__________的棱柱叫做直棱柱．2.正棱柱：__________的直棱柱叫做正棱柱．3.正棱锥：底面是_________，并且顶点在底面的_______是底面的中心的棱锥叫正棱锥．正棱锥的性质：（1）正棱锥的侧棱相等；（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）侧棱、高、底面构成直角三角形．4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．正棱台的性质：（1）正棱棱台的侧棱长相等（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．三、侧面积与表面积公式1.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的______和___的乘积．(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧＝=.即正棱锥的侧面积等于它的_____和____乘积的一半．(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝=.(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S表＝_______＋_____.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式(1)S圆柱侧＝(r为底面半径，l为母线长)．(2)S圆锥侧＝(r为底面圆半径，l为母线长)．(3)S 圆台侧＝(R 、r 分别为上、下底面半径，l 为母线长)．(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S 表＝S 底＋S 侧.(5)若圆锥底面的半径为r ，侧面母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ则，360rlθ=3.由球的半径R 计算球表面积的公式：S 球＝.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．四、体积1.长方体的体积：长方体的长、宽和高分别为a 、b 、c ，长方体的体积V 长方体＝_____.2．棱柱和圆柱的体积：(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V 柱体＝____.(2)底面半径是r ，高是h 的圆柱体的体积计算公式是V 圆柱＝.3．棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S ，高是h ，那么它的体积V 锥体＝h.(2)如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，则它的体积是V 圆锥＝.4．棱台和圆台的体积：(1)如果台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高是h ，则它的体积是V 台体＝.(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r ′、r ，高是h ，则它的体积是V 圆台＝.5．球的体积：如果球的半径为R ，那么球的体积V 球＝.6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等______、等______的两个柱体或锥体的体积相等．7.球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的______在这两点间的一段劣弧的长度．我们把这个弧长叫做两点的球面距离．表面积1.已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是()A ．2 B.52C ．3 D.722.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A ．32B ．16＋162C ．48D ．16＋3223.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是()A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π4.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()A.π3B.π4C.π2D ．π5.用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为()A．8 B.8πC.4π D.2π6.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A ．90cm2B ．129cm2C ．132cm2D ．138cm27.已知圆锥的表面积为12πcm 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为()A.3cmB ．2cmC ．23cmD ．4cm8.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A ．90cm2B ．129cm2C ．132cm2D ．138cm29.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________．体积1.正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为()A.14B.12C.34D.942.已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P －ABCD 的体积和侧面积．3.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．3B．2C.3D．14.将长为a，宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V1，以b为轴旋转一周，所得柱体的体积为V2，则有()A．V1>V2B．V1<V2C．V1＝V2D．V1与V2的大小关系不确定5.如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．63B．93C．123D．1835.一个圆柱的高缩小为原来的1n，底面半径扩大为原来的n倍，则所得的圆柱的体积为原来的________．6.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．7.体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π1．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了() A．6a2B．12a2C．18a2D．24a22．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为()A.2B.3C.6 2D.2333．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为33，则它的侧面积是________．4．若一棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．5．已知某几何体的俯视图是如图所示矩形．主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)判断该几何体形状；(2)求该几何体的侧面积S.6.若长方体的三个面的面积分别为2,3,6，则长方体的体积为；其对角线长为．7.若圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则这个圆锥的体积是．8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8，体积为314cm ，则棱台的高为．9.如果圆锥底面半径为r ，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的全面积为（）2rB．)21r π+C．)2113r π+D．223rπ10.一个圆台的母线长等于上．下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为（）A．2B．C．4D．811.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（）A．1:2B．2:3C．1:3D．1:412.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A ．2B ．3C ．4D ．613.已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是()A ．955πB ．955C ．355πD ．35514.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．12B ．18C ．24D ．3015.将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为____________．16.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ．F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．17.正过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离是球半径R 的一半，且AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，则球的表面积是()A ．100πB ．300πC.100π3D.4003π18.一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的()A.63 64B.1 16C.1 4D.1 6419.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为()A.3π2B．2πC．πD．4π20.如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．21.如图所示，在边长为5＋22的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N、K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．。

高考数学复习—空间几何体的表面积与体积

• 8.2 空间几何体的表面积与体积
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧＝__________，S 正棱锥侧＝__________， S ＝正棱台侧
__________(其中 C，C′为底面周长，h 为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S 圆柱侧＝________，S 圆锥侧＝________，S 圆台侧＝________
故正方体的体积为 223＝ 42，所以三棱锥 P-CDE 的体积为 42－
4×13×12× 22× 22× 22＝ 122．故填122．
类型四空间旋转体的体积问题
已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r，
R，求圆台的体积．
解：如图，图①是该几何体的直观图，图②是该几何体的轴
截面平面图．
圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，根据切线长定理， AC＝AO1，BO＝BC，得梯形腰长为 R＋r，梯形的高即球的直径长为 OO1＝ AB2－（OB－O1A）2＝（R＋r）2－（R－r）2
则 AD1＝ 32＋42＋122＝13，所以直三棱柱外接球的半径为123．故选
C．
点拨：求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑：一是根据球的截面的性质，利用球的半径 R、截面圆的半径 r 及球心到截面圆的距离 d 三者的关系 R2＝r2＋d2 求解，其中确定球心的位置是关键；二是将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体体
＝123．即直三棱柱外接球的半径为123．
解法二：(补体法)如图所示，将直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面补
成矩形，得到长方体 ABDC-A1B1D1C1．显然，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球就是长方体 ABDC-A1B1D1C1 的外接球．而长方体

几何体积与表面积的数学知识点全面解读

几何体积与表面积的数学知识点全面解读在我们的数学学习中，几何体积与表面积是非常重要的概念。

无论是在解决实际问题，还是在进行理论推导中，都离不开对它们的理解和运用。

接下来，让我们一起深入探讨这一有趣且实用的数学领域。

首先，我们来聊聊什么是几何体积。

简单来说，体积就是一个几何体所占空间的大小。

比如说，一个长方体盒子，它能装多少东西，这个“多少”就是体积。

对于常见的几何体，如长方体，其体积计算公式为：体积＝长×宽×高。

如果一个长方体的长是 5 厘米，宽是 3 厘米，高是 2 厘米，那么它的体积就是 5×3×2 ＝ 30 立方厘米。

正方体是一种特殊的长方体，所有棱长都相等，所以正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。

圆柱体的体积＝底面积×高。

底面积＝π×半径²，所以圆柱体体积＝π×半径²×高。

圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一，即圆锥体体积＝ 1/3×底面积×高。

接下来，我们再看看表面积。

表面积指的是几何体表面的总面积。

长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。

还是拿刚才那个长方体举例，长 5 厘米，宽 3 厘米，高 2 厘米，表面积就是（5×3 ＋5×2 ＋ 3×2）×2 ＝ 62 平方厘米。

正方体的表面积＝棱长×棱长×6。

圆柱体的表面积由侧面积和两个底面积组成。

侧面积＝底面圆的周长×高，底面圆的周长＝2×π×半径，所以圆柱体表面积＝2×π×半径×高＋2×π×半径²。

圆锥体的表面积＝底面积＋侧面积。

侧面积＝π×半径×母线（母线是顶点到底面圆周上一点的距离）。

空间几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积与体积空间几何体是空间中由表面和内部点组成的几何图形。

它们的表面积和体积是几何学中比较基础的概念，对于初学者来说，理解它们的求解方法和应用场景至关重要。

一、表面积表面积是一个空间几何体表面积所覆盖的平面面积的总和。

不同形状的几何体，表面积的求解方法也不同。

1. 球的表面积球是空间中最简单的几何体之一，表面积的求解方法为：$$S=4\pi r^2$$其中，$S$表示球的表面积，$r$表示球的半径，$\pi $为圆周率，约等于3.14。

2. 圆柱体的表面积圆柱体的表面积包括底面积和侧面积，其求解方法为：$$S=2\pi rh+2\pi r^2$$其中，$S$表示圆柱体的表面积，$r$表示圆柱的半径，$h$表示圆柱的高。

3. 圆锥体的表面积圆锥体的表面积包括底面积和侧面积，其求解方法为：$$S=\pi r\sqrt{r^2+h^2}+\pi r^2$$其中，$S$表示圆锥体的表面积，$r$表示圆锥的半径，$h$表示圆锥的高。

4. 立方体的表面积立方体的表面积为六个正方形的面积之和，其求解方法为：$$S=6a^2$$其中，$S$表示立方体的表面积，$a$表示立方体的边长。

二、体积体积是一个空间几何体内部所包含的三维空间的大小。

同样，不同形状的空间几何体，体积的求解方法也不同。

1. 球的体积球的体积的求解方法为：$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$其中，$V$表示球的体积，$r$表示球的半径，$\pi$为圆周率，约等于3.14。

2. 圆柱体的体积圆柱体的体积为底面积乘以高，其求解方法为：$$V=\pi r^2h$$其中，$V$表示圆柱体的体积，$r$表示圆柱的半径，$h$表示圆柱的高。

3. 圆锥体的体积圆锥体的体积为底面积乘以高除以3，其求解方法为：$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$其中，$V$表示圆锥体的体积，$r$表示圆锥的半径，$h$表示圆锥的高。

4. 立方体的体积立方体的体积为边长的立方，其求解方法为：$$V=a^3$$其中，$V$表示立方体的体积，$a$表示立方体的边长。

高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积

高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积店铺高考网为大家提供高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积，更多高考数学复习资料请关注我们网站的更新!高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πR²h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR²+πR[(h²+R²)的平方根] 体积:πR²h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a² ,V=a³4、长方体a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc5、棱柱S-底面积 h-高 V=Sh6、棱锥S-底面积 h-高 V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积 ,S2-下底面积 ,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径 ,h-高 ,C—底面周长S底—底面积 ,S侧—侧面积 ,S表—表面积C=2πrS底=πr²,S侧=Ch ,S表=Ch+2S底 ,V=S底h=πr²h10、空心圆柱R-外圆半径 ,r-内圆半径 h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径 h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径 ,R-下底半径 ,h-高V=πh(R²+Rr+r²)/313、球r-半径 d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a²+h²)/6 =πh²(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径 h-高V=πh[3(r1²+r2²)+h²]/616、圆环体R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径V=2π2Rr² =π2Dd²/417、桶状体D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D²+d²)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D²+Dd+3d²/4)/15 (母线是抛物线形)。

空间几何体的体积与表面积比较知识点总结

空间几何体的体积与表面积比较知识点总结空间几何体是我们在数学学科中经常遇到的一类立体图形，对于不同形状的几何体，其体积和表面积的计算方法也有所不同。

本文将对常见空间几何体的体积与表面积进行比较，并总结相关知识点。

一、立方体立方体是一种六个面都是正方形的空间几何体。

它的体积计算方法很简单，即边长的立方。

而立方体的表面积则是六个面积之和，每个面的面积等于边长的平方。

因此，立方体的体积与表面积的比值为1:6。

二、长方体长方体是一种六个面都是矩形的空间几何体。

其体积的计算方法是长乘以宽乘以高，即长方体的三个边长相乘。

而长方体的表面积则是两倍长乘以宽、两倍长乘以高、两倍宽乘以高之和。

由此可知，长方体的体积与表面积的比值为1:2。

三、圆柱体圆柱体是一种底面为圆形、侧面为矩形的空间几何体。

它的体积计算方法是底面积乘以高，即底面半径的平方乘以π再乘以高。

而圆柱体的表面积则是底面积加上两倍底面积与高的乘积，即两倍底面半径的平方乘以π再加上两倍底面半径乘以π再乘以高。

因此，圆柱体的体积与表面积的比值为1:3。

四、球体球体是一种所有点到固定点的距离都相等的空间几何体。

球体的体积计算方法是四分之三乘以半径的立方乘以π，即4/3πr³。

而球体的表面积则是四倍半径的平方乘以π，即4πr²。

由此可知，球体的体积与表面积的比值为1:3。

五、锥体锥体是一种底面为圆形、侧面为三角形的空间几何体。

它的体积计算方法是底面积乘以高再除以3，即底面半径的平方乘以π再乘以高再除以3。

而锥体的表面积则是底面积加上一半底面周长乘以母线的乘积，即底面半径的平方乘以π再加上底面半径乘以π再乘以母线。

因此，锥体的体积与表面积的比值为1:4。

综上所述，不同形状的空间几何体在体积与表面积之间存在着不同的比值关系。

了解这些比值关系，有助于我们在实际问题中正确计算几何体的体积和表面积，并应用到相关的数学、物理等领域中去。

通过这篇文章希望对空间几何体的体积与表面积进行了简要总结，并帮助读者更好地理解这一知识点的重要性和应用范围。

空间几何体的表面积与体积计算

空间几何体的表面积与体积计算几何体是我们日常生活中常见的一种数学概念，它包括了诸如三角形、圆形等平面几何体以及立方体、球体等空间几何体。

本文将就空间几何体的表面积和体积计算进行探讨，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、立方体的表面积和体积计算方法立方体是最简单的空间几何体之一，它具有六个相等的面，每个面都是一个正方形。

我们可以通过以下两个公式来计算立方体的表面积和体积：1. 表面积计算公式：立方体的表面积等于六个面的面积之和。

每个面的面积都是边长的平方，所以立方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×边长 ×边长2. 体积计算公式：立方体的体积等于边长的立方，所以立方体的体积公式为：体积 = 边长 ×边长 ×边长在实际问题中，我们可以根据给定的条件，使用表面积和体积的计算公式求解各种问题，例如求解立方体的边长、体积等。

二、球体的表面积和体积计算方法球体是一种圆形的几何体，它的每个点到球心的距离都相等。

对于球体的表面积和体积计算，我们可以依据以下两个公式：1. 表面积计算公式：球体的表面积等于4倍的圆面积。

而圆面积的计算公式为：圆面积= π × 半径 ×半径所以球体的表面积计算公式为：表面积= 4 × π × 半径 ×半径2. 体积计算公式：球体的体积等于4/3倍π乘以半径的立方，所以球体的体积计算公式为：体积= 4/3 × π × 半径 ×半径 ×半径对于球体的实际问题，我们可以根据给定的条件，通过表面积和体积的计算公式来处理相关的计算。

三、其他空间几何体的表面积和体积计算方法除了立方体和球体之外，还存在着许多其他形状的空间几何体，如圆柱体、锥体、棱柱等。

每种几何体的表面积和体积计算方法都有所不同。

以圆柱体为例，它的表面积等于两个底面的面积之和再加上侧面的面积。

而底面的面积可以通过底面半径的平方乘以π来计算，侧面的面积则等于底面周长乘以高度。

空间几何体的表面积与体积讲义

空间几何体的表面积与体积讲义一、知识梳理1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh 台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2 V ＝43πR 3 注意：1(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )题组二：教材改编2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cm D.32cm 3．[]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．题组三：易错自纠4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋45．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 6．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．二、典型例题题型一：求空间几何体的表面积1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172 C ．13 D.17＋3102思维升华：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二：求空间几何体的体积命题点1：以三视图为背景的几何体的体积典例某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 命题点2：求简单几何体的体积典例已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥C 1—B 1EDF 的体积为________．思维升华：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练 (1)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323B.163C.83D.43 (2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32题型三：与球有关的切、接问题典例在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB.9π2 C ．6π D.32π3引申探究：1．若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．2．若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．思维升华：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．跟踪训练如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.3π2 B ．3π C.2π3 D ．2π四、反馈练习1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.(24＋2)π4＋1C.(23＋2)π4＋12D.(23＋2)π4＋1 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．303．已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，三棱锥O —ABC 的体积为43，则球O 的表面积为( )A.16π3B ．16π C.32π3 D ．32π4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．24πB ．30πC ．42πD ．60π5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋436．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P —ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P —ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．9.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将该直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．10．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则R r ＝________.11.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 12如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．2＝4－x 2，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，体积有最大值33. 13.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N —P AC 与三棱锥D —P AC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶8C ．1∶6D ．1∶314．在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B ．4πC ．8πD ．20π15．已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O —ABC 的体积为( )A.32B.233C.23D.13 16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P —BCD 的体积的最大值是________．。

空间几何体表面积与体积含经典例题讲解

考向 1 几何体的折叠与展开【典例1】(1)如图，在三棱柱 ABC -A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB =3,AA′=4，M为AA′的中点，P 是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为 2 9 ，设这条路线与CC′的交点为N，则PC=_____，NC=_____.
【拓展提升】 1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的距离.
2.解决折叠问题的技巧 (1)解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化. (2)折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化.
(2)如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCD是边长为6的正方形，SD =PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A， Q及点P，D，C，R分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R， S四点重合，则需要_______个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.
【思路点拨】(1)可将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，然后利用平面几何的知识解决.(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，然后利用体积相等求解.
3.直角三角形两直角边AB=3，AC=4，以AB为轴旋转一周所得的
几何体的体积为( )
(A)12π
(B)16π (C)9π (D)24π
【解析】选B.由题意知，该几何体是底面半径为4，
高为3的圆锥，故其体积 V142316.
3
4.若某几何体的三视图(单位：cm)
如图所示，则此几何体的侧面积为

空间几何体的表面积和体积

(2)(2016· 北京，文改编)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________，侧面积为________．
【解析】通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则（1＋2）×1 3 四棱柱的底面积 S＝＝，通过侧( 左)视图可知四棱 2 2 3 柱的高 h＝1，所以该四棱柱的体积 V＝Sh＝ . 2 俯视图中，梯形的腰为 1 5 12＋（）2＝， 2 2
A．3 795 000 立方尺 C．632 500 立方尺
B．2 024 000 立方尺 D．1 897 500 立方尺
答案 D 解析由三视图可知该几何体是一个水平放置的底面是等
1 腰梯形的四棱柱，其体积 V＝ × (20 ＋ 40)×50×1 265 ＝1 897 2 500(立方尺)，故选 D.
6 a; 4
这些结论可以帮助我们提高解题速度.
1．(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的全面积为________．
答案解析 3π 已知正三角形的面积求其边长，然后利
用圆锥的母线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全面积公式可求．如图所示，设圆锥轴截面三角形的边长为 a， 3 2 则 a ＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2. 4 a 2 a ∴圆锥的全面积为 S＝π( ) ＋π· ·a＝3π. 2 2
(2) 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2 ，体积分别为 S1 9 V1 V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________． S2 4 V2
3 答案 2 解析设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是 r1，r2，母线长分别 S1 9 r1 3 是 l1，l2.则由S ＝4，可得r ＝2.又两个圆柱的侧面积相等，即 2πr1l1 2 2 l1 r 2 2 V1 S1l1 9 2 3 ＝2πr2l2，则＝＝，所以＝＝ × ＝ . l2 r 1 3 V2 S2l2 4 3 2

几何体的体积与表面积

几何体的体积与表面积几何体是指具有一定形状和空间的物体，常见的几何体包括球体、立方体、圆柱体、锥体和棱柱体等。

在几何学中，我们常常需要计算几何体的体积和表面积来解决各种问题。

一、球体的体积与表面积球体是一种最简单的几何体，表面上呈现出完全圆滑的形状。

球体的体积和表面积的计算公式如下：1. 球体的体积公式：V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示球的半径。

2. 球体的表面积公式：S = 4πr²，其中S表示表面积，π表示圆周率，r表示球的半径。

二、立方体的体积与表面积立方体是一种六个面都呈正方形的几何体，具有均匀分布的表面和体积。

立方体的体积和表面积的计算公式如下：1. 立方体的体积公式：V = a³，其中V表示体积，a表示立方体的边长。

2. 立方体的表面积公式：S = 6a²，其中S表示表面积，a表示立方体的边长。

三、圆柱体的体积与表面积圆柱体是由两个平行的圆底和一个侧面围成的几何体。

圆柱体的体积和表面积的计算公式如下：1. 圆柱体的体积公式：V = πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示圆底的半径，h表示圆柱体的高度。

2. 圆柱体的表面积公式：S = 2πrh + 2πr²，其中S表示表面积，π表示圆周率，r表示圆底的半径，h表示圆柱体的高度。

四、锥体的体积与表面积锥体是由一个圆底和一个侧面围成的几何体，侧面呈三角形形状。

锥体的体积和表面积的计算公式如下：1. 锥体的体积公式：V = (1/3)πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示圆底的半径，h表示锥体的高度。

2. 锥体的表面积公式：S = πrl + πr²，其中S表示表面积，π表示圆周率，r表示圆底的半径，l表示锥体的斜高。

五、棱柱体的体积与表面积棱柱体是由两个并列的多边形底面和若干个连接底面的长方形侧面围成的几何体。

棱柱体的体积和表面积的计算公式如下：1. 棱柱体的体积公式：V = Bh，其中V表示体积，B表示底面积，h表示棱柱体的高度。

空间几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积与体积在我们的日常生活和学习中，空间几何体无处不在。

从简单的正方体、长方体，到复杂的球体、锥体，它们的形状各异，而了解它们的表面积与体积对于解决许多实际问题具有重要意义。

首先，咱们来聊聊什么是空间几何体的表面积。

简单来说，表面积就是几何体表面的总面积。

比如说一个正方体，它有六个完全相同的正方形面，那么这个正方体的表面积就是这六个面的面积之和。

对于长方体，其表面积的计算就稍微复杂一点。

假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么它的表面积 S ＝ 2(ab ＋ bc ＋ ac)。

为什么是这样呢？咱们可以想象把这个长方体展开，就会得到六个面，其中相对的两个面面积是相等的。

前面和后面的面积都是 ac，上面和下面的面积都是 ab，左面和右面的面积都是 bc，把它们加起来就是总的表面积。

再来说说圆柱体。

圆柱体由两个底面（圆形）和一个侧面（矩形）组成。

底面圆的面积我们都知道是πr²（r 是底面圆的半径），而侧面展开是一个矩形，其长就是底面圆的周长2πr，宽就是圆柱体的高 h，所以圆柱体的表面积 S ＝2πr² ＋2πrh。

接下来谈谈圆锥体的表面积。

圆锥体的表面积由底面积（圆形）和侧面积（扇形）组成。

底面积还是πr²，侧面积的计算就需要一点小技巧了。

我们可以把圆锥侧面展开，得到一个扇形，扇形的半径是圆锥的母线 l，弧长就是底面圆的周长2πr。

根据扇形面积的计算公式，圆锥的侧面积就是πrl，所以圆锥的表面积 S ＝πr² ＋πrl。

说完了表面积，咱们再看看空间几何体的体积。

体积就是几何体所占空间的大小。

正方体的体积很好计算，就是边长的立方，即 V ＝ a³。

长方体的体积则是长、宽、高的乘积，V ＝ abc。

圆柱体的体积公式是 V ＝πr²h，这可以理解为把圆柱体看作是由无数个同样大小的圆片堆叠而成，每个圆片的面积是πr²，高度为 h，那么总体积就是底面积乘以高。

空间几何体表面积及体积公式大全

空间几何体的外表积与体积公式大全一、全〔表〕面积〔含侧面积〕 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=② 圆锥：l c S 底圆锥侧21=3、台体① 棱台：h c c S )(21‘下底上底棱台侧+=② 圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、球体① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略二、体积 1、① 棱柱 ② 圆柱 2、① 棱锥 ② 圆锥 3、② 圆台 4、球体① 球：r V 334π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。

三、拓展提高 1、祖暅原理：〔祖暅：祖冲之的儿子〕夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等。

最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。

2、阿基米德原理：〔圆柱容球〕圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32。

分析：圆柱体积：h SV 32=圆柱圆柱侧面积：cS =圆柱侧因此：球体体积：V 232π⨯=球球体外表积：r S 24π=球+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。

延长两侧棱相交于一点P 。

设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。

易知：PDC ∆∽PAB ∆，设h PE 1=，则h h PF +=1由相似三角形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得：SS h S h 上下上-=1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴hS S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代入：SS h S h 上下上-=1得：h S S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S S S S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成一样高度的假设干层〔层n 〕，n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。