论文数学思想方法

数学思想方法

河南省虞城县李老家乡第二初级中学；高华增

数学思想方法一般是指人们在数学的发生、形成、发展过程中总结概括出来的数学规律的本质认识，是利用数学知识去解决问题的思维策略和指导思想，它为数学知识的学习和运用提供了方向，是解决数学问题的“向导”，数学思想的产生并作用于数学学习的整个过程中，尤其是在解决复杂的综合题时，数学思想的合理运用起着关键性的决定作用，数学思想方法是数学思想的具体体现，不仅是学习和运用数学知识的解决数学问题应具备的、最基本的思想方法．而且是新课标改革的方向和中考试题解题特征

常见的数学思想方法有：化归思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、数学建模思想方法、方程思想方法、函数思想方法、整体思想方法，对此类问题的突破，方法具体如下：

类型一：化归思想方法:重难点突破：解决问题的基本思想就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想

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【例1】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边都大于2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是______．(结果保留π)

第1个图形第2个图形第3个图形

分析：本题考察了扇形面积和n边形内角和公式，解题关键是：是求第n个图形中(n＋2)个半径为1的扇形的面积之和??；，解析：答案???S?(n2)?2180?-2360214

2?n?1n

/ 2

类型二：数形结合:重难点突破：根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几使问题得以解决；充分利用这种结合探究解题思路，何图形巧妙结合，【例2】(09重庆)如图，在矩形ABCD中，A B＝2，BC＝1,动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积

S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是 ( )

Y

Y

3

CD

P

11

331

O

XO1

X

A

(B)(A)

YY2

3

O

3

1 3 X

O

X (C)

(D)

分析：本题考查点是运动变化为前提，根据几何图形的面积变化

特征，通过分段讨论，确立相应函数关系，进而确定函数图象，这是一道典型的数形结合与分类讨论的综合题，是这几年中招试题常见题型，解题关键是能否充分利用分类的讨论思想，难点是能否把所有情况分别讨论，很多同学因考虑不全而丢分．

解析：当点P在BC上时，即0＜x≤1时

S?AB?PB??2?x?x11PAB?22当点P在CD上时，即1＜x≤3时

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答案：B

11??2?BCS?AB??11PAB?22:类型三：分类讨论思想方法被研究问题包含多种重难点突破：

此时我们必须按可能出现的所有情况来可能情况，而不能一概而论，分别讨论解决，得出各种情况下相应的结论．在涉及到此问题时，要不逸漏任何一种情况和每种可能情况都要按照同一标准遵循不重复、进行讨论的原则，也是解决问题的关键．＝中，已知一次函数y(07】成都)在平面直角坐标系x0y【例3轴交，与yP(1.1)，与x轴交于点Akx＋b(k≠0)的图象经过点．的坐标是3，那么点

A_________于点B，且tan∠ABO＝(4.O) 或(－2.O)解析：关键是分两种情况讨论；答案：，则这个等1:4【例4】已知一个等腰三角形两内角的度数比为) ( 腰三角形顶角的度数为

．C20或120．D．．．A20 B120时，设顶分析：0000036

此题需要分类讨论；①当顶角与底角之比为1:4000；20，此时顶

角为，解得＋角为x，则有x＋4x4x＝180x＝200＝②当底角与顶角之比为＋x4x x1:4时，设底角为，则有x＋00，此时顶角为＝，解得180x30120．；故选(C)

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【例5】(09哈尔滨)如图①，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为(－3.4)，点C在x 轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，

y

AC的解析式．⑴求直线P从BM，如图②，动点⑵连AHB ABC方向以点A出发，沿折线C匀速2个单位/秒的速度向终M

S(运动，设△PMB的面积为S≠0，t 与点P的运动时间为t秒，求O

C

E 之间的函数关系式(要求写出自x

①；t的取值范围)量互为余角，MPB与∠BCO⑶在⑵的条件下，当t为何值时，∠所夹锐角的正切值．AC并求此时直线OP与直线

y

分析的：⑴中，利用点A ，的长度为5坐标求出OA A

H B

P

为菱形，由于四边形ABCD 则四条边相等，所以点C的M

P C 与点，由点坐标为(5.0)A1的坐标，利用待定系数法O

C

的解析即可求出直线AC x

E

②图P在式；⑵由图形可知，点的面积是不一同的，上运动，BC上运动与在线段AB线段△PMB14

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分别表示所以要分两种情况分别计算，利用三角形的面积公式，⑶可先假设此种情出两种情况下的三角形的面积的函数解析式；注意还要如⑵一样分况成立，然后由此种情况推出相应的结果，两种情况解答，若直接求此角的正切值，会比较困难，我们可通这个相等角在一个直角三过角的转化，求与其相等的角的正切，角形中，这样就可利用正切的定义求出相应的值了．E(如图①)解析：⑴过点A作A E⊥x轴，垂足为3 ，OE＝3.4)，∴A E＝4－∵点A的坐标为(∴225OEOA?AE??5 ＝OA＝BA为菱形，∴O C＝CB＝∵四边形ABCD(5.0)

∴点C的坐标为0

＋b＝5k ＋b,则设直线AC的解析式为y＝kx－3k＋b＝0

1-k?15解得：∴直线AC的解析式为：2?-xy?225?b2 155 M，∴M⑵∵直线AC的解析式为：与y轴交于点)?(0.-y?x

2225在AB上运动时，②∴0M＝，如图，当点P230H由题意得，＝4，∴HM＝．2311＝∴S?2t)-?BPMH?(52225315 )t即S＝