中考复习数学思想方法之二：割补法“补形”在初中几何问题中的应用

中考复习数学思想方法之一：割补法“补形”在初中几何问题中的应用

平面几何中的“补形”就是根据题设条件，通过添加辅助线，将原题中的图形补成某种熟悉的，较规则的，或者较为简单的几何基本图形，使原题转化为新的易解的问题．从“补形”的角度思考问题，常能得到巧妙的辅助线，而使解题方向明朗化，所以，补形是添加辅助线的重要方法．下面举例加以说明，供参考．

例1 如图1，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于．

解析题中六边形是不规则的图形，现将它补形为较规则的正三角形，分别向两方延长AB、CD、EF相交于G、H、I (如图2)．

∵六边形ABCDEF的六个内角都相等，

∴六边形的各角为120°，

∴△AFI、△BCG、△DEH均是正三角形，从而△GHI为正三角形，则有

GC=BC=3，DH=EH=DE=2，

IF=AF,

IH=GH=GC+CD+DH

=3+3+2=8，

∴IE=IH－EH=8－2=6．

∴六边形的周长等于：

AB+BC+CD+DE+EF+F A

=AB+BC+CD+DE+IE

=1+3+3+2+6=15．

注：本题亦可补成平行四边形求解，如图3．

例2 如图4，在Rt△ABC中，AC=BC，AD是∠A的平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，求证：AD=2BE．

解析从等腰三角形的性质得到启示：顶角平分线垂直底边且平分底边．结合AE平分∠CAB，B E⊥AE，启发我们补全一个等腰三角形．所以延长BE交AC的延长线于点F(如

图5)，易证△ABF 为等腰三角形，∴ BF =2BE ，再证△ACD ≌△BCF ，全等的条件显然满足，故结论成立．

例3 某片绿地的形状如图6所示，其中∠A =60°，A B ⊥BC ，C D ⊥AD ，AB =200m ，CD =100m ，求AD ，BC 的长．

解析 由题设∠A=60°，A B ⊥BC ，可将四边形补成图7所示的直角三角形．

易得∠E =30°，AE =400，CE =200，然后再由勾股定理或三角函数求出BE ，

DE

由此得到AD =400－200。

例4 如图8，在平面直角坐标系中直线y =x －2与y 轴相交于点A ，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点B (m ，2)．

(1) 求反比例函数的关系式；

(2) 将直线y =x －2向上平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点C ，且△ABC 的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．

解析 (1) 所求解析式为y =8

x

； (2) 本题方法不一，下面着重对此题进行分析解答．

设直线y =x －2平移后解析式为y =x + b ，显然我们只要求出点C 的坐标或b 的值，其平移后的直线的函数关系式可得以解决．

已知△ABC 的面积与点C 有关，用点C 的坐标来表示出△ABC 的面积，建立起等量关系是实现求解的关键．

为减少赘述，我们先做以下准备，以便下面直接引用：

由直线y =x －2和双曲线y =8x

，可求得点A (0，－2)，点B (4，2)，平移后直线解析式为y =x + b ，点C (a ，a +b )．

方法一 如图9，过点C 作CD ⊥y 轴交y 轴于点D ，过点B 作BE ∥y 轴交DC 的延长线于点E ，故将△ABC 补成为直角梯形ABED ．

由A 、C 、B 点的坐标，可知

OA =2，OD =a + b ，CD=a ，

DE =4，BE =a + b －2．

∵ S △ABC = S 梯形ABED －S △ACD －S △BEC

=18，

∴ 12[(a + b + 2)+( a + b －2)]×4－12a (a + b + 2)－12

(4－a )( a + b －2)=18， 解得b =7．

∴ 平移后直线解析式为y =x + 7．

方法二 如图10，设平移后的直线与y 轴相交于点D ，过点B 作BE ∥y 轴，交直线DC 于点E ，故将△ABC 补成平行四边形ABED ．

∴ S △AB C =12

S 平行四边形AB ED =12

AD ·B x =18． (这里三角形与平行四边形为同底：线段AB ；等高：平行线AB 、DE 间的距离)

∴ 12

(b + 2×4=18，解得b =7． ∴ 平移后直线解析式为y =x + 7．