中考复习数学思想方法之二：割补法“补形”在初中几何问题中的应用

中考复习数学思想方法之一：割补法“补形”在初中几何问题中的应用

平面几何中的“补形”就是根据题设条件，通过添加辅助线，将原题中的图形补成某种熟悉的，较规则的，或者较为简单的几何基本图形，使原题转化为新的易解的问题．从“补形”的角度思考问题，常能得到巧妙的辅助线，而使解题方向明朗化，所以，补形是添加辅助线的重要方法．下面举例加以说明，供参考．

例1 如图1，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于．

解析题中六边形是不规则的图形，现将它补形为较规则的正三角形，分别向两方延长AB、CD、EF相交于G、H、I (如图2)．

∵六边形ABCDEF的六个内角都相等，

∴六边形的各角为120°，

∴△AFI、△BCG、△DEH均是正三角形，从而△GHI为正三角形，则有

GC=BC=3，DH=EH=DE=2，

IF=AF,

IH=GH=GC+CD+DH

=3+3+2=8，

∴IE=IH－EH=8－2=6．

∴六边形的周长等于：

AB+BC+CD+DE+EF+F A

=AB+BC+CD+DE+IE

=1+3+3+2+6=15．

注：本题亦可补成平行四边形求解，如图3．

例2 如图4，在Rt△ABC中，AC=BC，AD是∠A的平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，求证：AD=2BE．

解析从等腰三角形的性质得到启示：顶角平分线垂直底边且平分底边．结合AE平分∠CAB，B E⊥AE，启发我们补全一个等腰三角形．所以延长BE交AC的延长线于点F(如

图5)，易证△ABF为等腰三角形，∴BF=2BE，再证△ACD≌△BCF，全等的条件显然满足，故结论成立．

例3 某片绿地的形状如图6所示，其中∠A=60°，A B⊥BC，C D⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD，BC的长．

解析由题设∠A=60°，A B⊥BC，可将四边形补成图7所示的直角三角形．

易得∠E=30°，AE=400，CE=200，然后再由勾股定理或三角函数求出BE=2003，DE=1003．

由此得到AD=400－1003，BC=2003－200。

例4 如图8，在平面直角坐标系中直线y=x－2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点B (m，2)．

(1) 求反比例函数的关系式；

(2) 将直线y=x－2向上平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．

解析(1) 所求解析式为y=8

x

；

(2) 本题方法不一，下面着重对此题进行分析解答．

设直线y=x－2平移后解析式为y=x + b，显然我们只要求出点C的坐标或b的值，其平移后的直线的函数关系式可得以解决．

已知△ABC的面积与点C有关，用点C的坐标来表示出△ABC的面积，建立起等量关系是实现求解的关键．

为减少赘述，我们先做以下准备，以便下面直接引用：

由直线y=x－2和双曲线y=8

x

，可求得点A (0，－2)，点B (4，2)，平移后直线解析式

为y=x + b，点C (a，a+b)．

方法一如图9，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，过点B作BE∥y轴交DC的延长线于点E，故将△ABC补成为直角梯形ABED．

由A、C、B点的坐标，可知

OA=2，OD=a + b，CD=a，

DE=4，BE=a + b－2．

∵S△ABC = S梯形ABED－S△ACD－S△BEC

=18，

∴1

2

[(a + b + 2)+( a + b－2)]×4－

1

2

a (a +

b + 2)－

1

2

(4－a)( a + b－2)=18，

解得b=7．

∴平移后直线解析式为y=x + 7．

方法二如图10，设平移后的直线与y轴相交于点D，过点B作BE∥y轴，交直线DC 于点E，故将△ABC补成平行四边形ABED．

∴S△AB C =1

2

S平行四边形AB ED

=1

2

AD·

B

x=18．

(这里三角形与平行四边形为同底：线段AB；等高：平行线AB、DE间的距离)

∴1

2

(b+ 2×4=18，解得b=7．

∴平移后直线解析式为y=x + 7．