高中数学必修2《概率》知识点讲义
部编版高中数学必修二第十章概率笔记重点大全
(名师选题)部编版高中数学必修二第十章概率笔记重点大全单选题1、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A =“向上的点数为3”，B =“向上的点数为6”，C =“向上的点数为3或6”，则有（ ）A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．A ∩B =CD ．A ∪B =C答案：D分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项对于A ：事件A =“向上的点数为3”发生，事件B =“向上的点数为6”一定不发生，故选项A 不正确；对于B ：事件C =“向上的点数为3或6”发生，事件B =“向上的点数为6”不一定发生，但事件B =“向上的点数为6”发生，事件C =“向上的点数为3或6” 一定发生，所以B ⊆C ，故选项B 不正确；对于C ：事件A 和事件B 不能同时发生，A ∩B =∅，故选项C 不正确；对于D ：事件A =“向上的点数为3”或事件B =“向上的点数为6”发生，则事件C =“向上的点数为3或6”发生，故选项D 正确；故选：D2、把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）A ．23B ．13C ．35D ．14 答案：B解析：根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率. 分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4,3)，(3,12,4)，(4,12,3)，(3,4,12)，(4,3,12)，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)，(23,1,4)，(23,4,1)，(1,4,23)，(4,1,23)，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1,2)，(34,2,1)，(1,34,2)，(2,34,1)，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为P =618=13. 故选：B .小提示：本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.3、10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）A ．35B ．23C ．34D ．415答案：B分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P =69=23.故选：B.4、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 答案：D分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A ，B ，C ，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a ，b ，c ， 双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb)，共6个基本事件，它们等可能， 田忌获胜包含的基本事件为：(Ac,Ba,Cb)，仅只1个，所以田忌获胜的概率p =16.故选：D5、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.6、若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足m 2+n 2<25的概率是（ ）A ．12B ．1336C ．49D ．512答案：B分析：利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(m,n)表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足m 2+n 2<25有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足m 2+n 2<25的概率P =1336．故选：B7、甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别15,13,14,则此密码能被译出的概率是 A ．160B ．25C ．35D ．5960 答案：C解析：先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.用事件A ,B ,C 分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,且P(ABC)=P(A)P(B)⋅P(C )=45×23×34=25. ∴此密码能被译出的概率为1−25=35.故选：C小提示：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题.8、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，“某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100.所以答案是：D多选题 9、下列各对事件中,不是相互独立事件的有A ．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D ．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”答案：ACD解析：根据相互独立事件的概念以及判断，分析出是相互独立事件的选项.在A 中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B 中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C 中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D 中,设“至少有1人射中目标”为事件A ,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ,则AB =B ,因此当P(A)≠1时,P(AB)≠P(A)⋅P(B),故A ､B 不独立,故选：ACD小提示：本小题主要考查相互独立事件的判断，属于基础题.10、下列命题中是真命题的有（ ）A ．有A ，B ，C 三种个体按3︰1︰2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4答案：BD分析：利用分层抽样中样本的抽样比等于各层的抽样比即可判断A ，求出这一组数据的平均数、众数、中位数即可判B，计算乙的方差，比较方差大小即可判断C，利用落在区间[114.5，124.5]内的个数除以总的个数计算概率，即可判断D，从而得出正确选项.对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为9÷31+2+3=18，故选项A 不正确；对于选项B：数据1，2，3，3，4，5的平均数为15(1+2+3+4+5)=3，众数和中位数都是3，故选项B正确；对于选项C：乙组数据的平均数为15(5+6+9+10+5)=7，乙组数据的方差为15[(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(10−7)2+(5−7)2]=4.4<5，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C不正确；对于选项D：样本数据落在区间[114.5，124.5]有120，122，116，120有4个，所以样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为410=0.4，故选项D正确，故选：BD11、下列各对事件中，为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：ABD分析：利用相互独立事件的定义一一验证即可.在A中，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，∴P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=12×13=16，即P(MN)=P(M)P(N)，故事件M与N相互独立，A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B 正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.故选：ABD.小提示：判断两个事件是否相互独立的方法：（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用P(MN)=P(M)P(N)判断.填空题12、有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.答案：512分析：根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可.解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共有6×6=36种，两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,6)，(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共15种，所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为P=1536=512.所以答案是：512。
概率的基本性质 课件 高中数学新人教A版必修第二册
，乙夺得冠军的概率为
1 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 4
_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2_8__.
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和 “乙夺得冠军”， 但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式 进行计算， 即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1298.
典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字 外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记 为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
解 由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)， (1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)， (2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)， (3,3,2)，(3,3,3)，共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A， 则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个. 所以 P(A)＝237＝19. 即“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为19.
反思 感悟
求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多， 而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则 反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
部编版高中数学必修二第十章概率知识点总结归纳
(名师选题)部编版高中数学必修二第十章概率知识点总结归纳单选题1、已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（ ） A ．P (A ∩B̅) =0B ．P (A ∩B ) =P (A ) P (B ) C ．P (A ) =1−P (B ) D ．P (A ∪B ̅) =1 答案：D分析：根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.因为事件A 与事件B 是互斥事件，A 、B̅不一定是互斥事件，所以P (A ∩B ̅)不一定为0，故A 错误； 因为A ∩B =∅，所以P (A ∩B )=0，而P (A )P (B )不一定为0，故B 错误； 因为事件A 与事件B 是互斥事件，不一定是对立事件，所以C 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，A ∪B 是必然事件， 所以P (A ∪B ̅)=1，故D 正确. 故选：D.2、某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（ ） A ．频率为35B ．概率为35C ．频率为12D ．概率接近35答案：A分析：根据频率和概率的知识确定正确选项. 依题意可知，事件A 的频率为1220=35，概率为12. 所以A 选项正确，BCD 选项错误. 故选：A3、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )=2−a ，P (B )=4a −5，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(54,2)B ．(54,32)C ．(54,43]D ．[54,32] 答案：C分析：利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.因随机事件A ，B 互斥，则P(A +B)=P(A)+P(B)=3a −3，依题意及概率的性质得{0<P(A)<10<P(B)<10<P(A +B)≤1 ，即{0<2−a <10<4a −5<10<3a −3≤1 ，解得54<a ≤43，所以实数a 的取值范围是(54,43]. 故选：C4、抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ） A ．A ∪B B ．A ∩B C ．A ⊆B D ．A =B 答案：B解析：根据事件A 和事件B ，计算A ∪B ，A ∩B ，根据结果即可得到符合要求的答案. 由题意可得：A ={1,2}，B ={3,4}， ∴A ∪B ={1,2,3,4}，A ∩B ={2}. 故选B.小提示：本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.5、从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为（ ）． A ．13B ．12C ．14D ．23 答案：B分析：一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数n 和有利事件数m ，代入古典概型的概率计算公式P =mn ，即可得解.解：从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4)、(2,6)、(2,8)、(4,6)、(4,8)、(6,8)共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)、(4,6)、(6,8)共3种.故这两个元素相差2的概率为12. 故选：B.6、下列叙述正确的是（ ）A ．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1C ．频率是稳定的，概率是随机的D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 答案：B分析：由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解. 解：对于A ，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A 错误； 对于B ，事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1，即B 正确； 对于C ，概率是稳定的，频率是随机的，即C 错误；对于D ，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为15，即D 错误，即叙述正确的是选项B ， 故选：B.小提示：本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.7、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．购买彩票中奖的可能性为1100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖 答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误.故选：A.8、从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ） A ．1320B ．25C ．14D ．15 答案：B解析：先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出．设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以P (B )=45×34=35，故P (A )=1−P (B )=1−35=25． 故选：B ．小提示：本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题． 多选题9、某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p 和q ，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（ ）A ．p(1−q)+q(1−p)+pqB ．p +qC ．pqD ．1−(1−p)(1−q) 答案：AD分析：令P(A)=p,P(B)=q 且A 、B 相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可.记A 为“甲获得一等奖”，B 为“乙获得一等奖”，则P(A)=p,P(B)=q 且A 、B 相互独立. 从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为AB̅+A B +AB ，为三个互斥事件， 所以P(AB̅+A B +AB)=P(AB ̅)+P(A B)+P(AB)=q(1−p)+pq ； 从反面考虑，事件“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事件A B̅，易得P(A B ̅)=(1−p)(1−q)， 所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为1−P(A B̅)=1−(1−p)(1−q)，综上，A、D正确.故选：AD10、袋中装有4个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，从中不放回的随机取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的有（）A．事件A与事件B不互斥B．事件A与事件B独立C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为15D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为12答案：ACD分析：根据互斥事件和独立事件的概念判断A，B的正误，根据条件概率公式分别计算事件A发生的前提下，事件B发生的概率以及在事件B发生的前提下，事件A发生的概率判断C，D的正误.对选项A：“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项A正确；对选项B：事件A的概率P(A)=1−P(A)=1−C22C42=56，事件B的概率P(B)=C22+C22C42=13，事件AB的概率P(AB)=C22C42=16，因为P(AB)≠P(A)⋅P(B)，所以事件A与事件B不独立，选项B错误﹔对选项C：事件A的概率P(A)=1−P(A)=1−C22C42=56，事件B的概率P(B)=C22+C22C42=13，事件AB的概率P(AB)=C22C42=16．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=1656=15，选项C正确；对选项D：事件A的概率P(A)=1−P(A)=1−C22C42=56，事件B的概率P(B)=C22+C22C42=13，事件AB 的概率P (AB )=C 22C 42=16．在事件B 发生的前提下，事件A 发生的概率为P (A |B )=P (AB )P (B)=1613=12，选项D 正确． 故选：ACD.11、利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）.A ．P(B)=710B ．P(A ∪B)=910C ．P(A ∩B)=0D ．P(A ∪B)=P(C) 答案：ABC分析：根据事件的关系及运算求解．解：由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)=710，P(A)=210，P(C)=110则P(A ∪B)=910，故A 、B ，C 正确；故D 错误. 故选ABC.小提示：本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题． 填空题12、某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名．现要抽调2人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是______． 答案：35##0.6分析：根据条件列举出所有的情况和满足条件的情况，利用古典概型的概率公式进行求解. 设2名医生为a ，b ，3名护士为c ，d ，e ，则抽调2人的情况有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种不同结果， 其中恰好为1名医生和1名护士的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be 共6种不同结果， 则所求概率为610=35.所以答案是：35.。
人教B版高中数学必修二课件 《概率》统计与概率PPT(古典概型)
解:样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白)},第 一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以 所求概率是.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
古典概型的概率计算
例2将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察朝上的面
的点数.
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)点数之和为5的结果有多少种?
(3)点数之和为5的概率是多少?
解:(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次,朝上的面的点数
有1,2,3,4,5,6,共6种结果,故先后将这枚骰子抛掷两次,一共有
所选两个国家都是亚洲国家包含的基本事件有
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个. 故所求事件的概率
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,所有的基本事件有
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3), 共9个,包含A1但不包括B1的基本事件有(A1,B2),(A1,B3),共2个.
3.做一做:下列对古典概型的说法,正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现
的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④求从含有3件
次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.
A.②④
B.①③④ C.仅①④ D.仅③④
答案:B
高中数学必修二统计概率知识点总结
必修第二册第九章 统计知识点总结知识点一：简单随机抽样1. 全面调查和抽样调查2.简单随机抽样的概念放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地,设一个总体含有N(N 为正整数)个个体,从中逐个抽取n (1≤n<N)个个体作为样本如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本3.抽签法先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.调查方式全面调查(普查)抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为 抽样调查相关概念总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体.个体:组成总体的每一个调查对象称为个体样本:把从总体中抽取的那部分个体 称为样本.样本量:样本中包含的个体数称为 样本量4.随机数法(1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数.(2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数.5.总体均值和样本均值(1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,则称Y=Y1+Y2+⋯+Y NN =1N∑i=1NY i为总体均值,又称总体平均数.(2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数f i(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1N ∑i=1kf i Y i.(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,y n,则称y=y1+y2+⋯+y nn =1n∑i=1ny i为样本均值,又称样本平均数.6.分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.(3)进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的关系①样本容量n总体容量N =该层抽取的个体数该层的个体数;②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比;③样本的平均数和各层的样本平均数的关系:w=mm+n x+nm+ny=MM+Nx+NM+Ny.1.画频率分布直方图的步骤(1)求极差:极差为一组数据中最大值与最小值的差;(2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成5-12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”;(3)将数据分组;(4)列频率分布表:一般分四列:分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是⑥1;.(5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示频率组距=频率,各小长方形的面积的总和等于1.小长方形的面积=组距×频率组距2.其他统计图表统计图表主要应用扇形图直观描述各部分数据在全部数据中所占的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率反映统计对象在不同时间(或其他合适情形)的发展折线图变化情况1.第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.知识点四：总体集中趋势的估计1.众数、中位数和平均数的定义(1)众数:一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数.如果这组数据是偶数个,则取中间两个数据的平均数.(3)平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数:众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高小长方形底边的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和;②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点1.一组数据x1,x2,…,x n的方差和标准差数据x1,x2,…,x n的方差为1n ∑i=1n(x i-x)2=1n∑i=1nx i2-x2,标准差为√1n∑i=1n(x i-x)2.2.总体方差和总体标准差(1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,总体的平均数为Y,则称S2= 1N ∑i=1N(Y i-Y)2为总体方差,S=√S2为总体标准差.(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数为f i(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= 1N ∑i=1kf i(Y i-Y)2.3.样本方差和样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,y n,样本平均数为y,则称s2= 1n ∑i=1n(y i-y)2为样本方差,s=√s2为样本标准差.4.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.5.分层随机抽样的方差设样本容量为n,平均数为x,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为x1,x2,方差分别为s12,s22,则这个样本的方差为s2=n1n [s12+(x1-x)2]+n2n[s22+(x2-x)2].必修第二册第十章概率知识点总结知识点一：有限样本空间与随机事件1.随机试验的概念和特点(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.(2)随机试验的特点:(i)试验可以在相同条件下重复进行;(ii)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}3.事件的类型我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.而空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样,每个事件都是样本空间Ω的一个子集.知识点二：事件的关系和运算1.包含关系定义一般地,若事件A 发生,则事件B 一定发生,我们就称事件B 包含事件A(或事件A 包含于事件B)含义 A 发生导致B 发生 符号表示B ⊇A(或A ⊆B)图形表示特殊情形如果事件B 包含事件A,事件A 也包含事件B,即B ⊇A 且A ⊇B,则称事件A 与事件B 相等,记作A=B2.并事件(和事件)定义一般地,事件A 与事件B 至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中,或者在事件B 中,我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或 和事件)含义 A 与B 至少有一个发生符号表示A ∪B(或A+B)图形表示3.交事件(积事件)定义一般地,事件A 与事件B 同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B 中,我们称这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积 事件)含义 A 与B 同时发生 符号表示A ∩B(或AB)图形表示4.互斥(互不相容)一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能定义事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B=⌀图形表示5.互为对立一般地,如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=定义Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为A 含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B=⌀,且A∪B=Ω图形表示6.清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.符号事件的运算集合的运算A 随机事件集合A A的对立事件A的补集AB 事件A与B的交事件集合A与B的交集A∪B 事件A与B的并事件集合A与B的并集知识点三：古典概型1.古典概型的定义试验具有如下共同特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.2.古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= kn =n(A)n(Ω),其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.知识点四：概率的基本性质1.概率的基本性质性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5 如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).知识点五：事件的相互独立性1.相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A 与事件B相互独立,简称为独立.2.相互独立事件的性质：当事件A,B相互独立时,则事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立.【提示】公式P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情形:如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2·…·A n)=P(A1)P(A2)·…·P(A n).3. 两个事件是否相互独立的判断方法(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B为相互独立事件.4.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:①首先确定各事件之间是相互独立的.②求出每个事件的概率,再求积.5.事件间的独立性关系已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则有事件表示概率A,B同时发生AB P(A)P(B)A,B都不发生A B P(A)P(B)A,B恰有一个发生(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至少有一个发生(A B)∪(A B)∪(AB) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至多有一个发生(A B)∪(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)。
概率的基本性质【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
2,P(E∪F)=P(E)+P(F)=0.
特别地,当事件A或事件B至少有一个是不可能事件时,A∩B=∅,此时也有P(A∩B)=0.
12
因为P(A)=0.
45,P(AB)=0.
P(A1)+P(A2)+…+P(Am)
P(A)+P(B)-P(A∩B)
5
45,P(AB)=0.
12
2,P(E∪F)=P(E)+P(F)=0.
摸出白球的概率为 P(C).
因为 P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且 P(A)+P(B)+P(C)=1,
所以 P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,
所以 P(B)+P(C)=0.7.
答案:A
0.6
2.若 E,F 是互斥事件,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,则 P(F)=
事件 B 为对立事件,所以 P(B)=1-P(A)=1-0.95=0.05.
5.拔高练袋中装有大小、质地相同的红球、黑球、黄球、
1
3
绿球各若干个,从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或
5
12
5
12
黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率是 ,试求得到黑球、
黄球、绿球的概率各是多少.
解析:因为E,F是互斥事件,
P(A)+P(B)-P(A∩B)
解析:因为E,F是互斥事件,
解析:因为E,F是互斥事件,
15,所以P(B)=0.
提示:若事件A与事件B互斥,则A∩B为不可能事件,此时有P(A∩B)=0.
45,P(AB)=0.
高一必修二概率的知识点
高一必修二概率的知识点概率是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们衡量和预测事件发生的可能性。
在高中数学教学中，学生通常在高一时就开始接触概率的基本概念和应用。
本文将以高一必修二概率的知识点为核心，探讨概率在生活中的应用，引导读者深入理解概率的意义和实际应用。
首先，让我们回顾一下概率的基本定义。
概率是指某个事件发生的可能性，用一个范围在0到1之间的数字来表示。
0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
对于一个随机事件来说，它的概率是通过观察事件发生的频率来估计的。
在高一必修二中，我们学习了诸如事件与样本空间、试验、随机事件等基本概念。
通过理解这些概念，我们可以更好地分析和解决实际问题。
例如，在掷骰子的试验中，骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}，每个点数出现的机会均等，因此每个点数的概率都是1/6。
这样的方法可以用来计算其他类似的概率问题，如抽奖、摇骰子等。
除了基本的概率计算，高一必修二还引入了乘法定理和加法定理等概率公式。
这些概率公式扩展了我们计算复杂事件概率的能力。
乘法定理告诉我们，如果两个事件独立且同时发生的概率分别为P(A)和P(B)，那么它们同时发生的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B)。
例如，如果有一组卡片，其中一半是黑色的，一半是红色的，同时又有一组字母卡片，其中一半是元音，一半是辅音，那么从这两组卡片中随机抽取一张，同时抽到黑色和元音的概率为1/4。
利用乘法定理，我们可以快速计算出这个概率。
而加法定理则在事件的求概率中提供了另一种方法。
加法定理告诉我们，如果两个事件A和B互斥（即不可能同时发生），那么它们的联合概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
例如，假设一个班级里有30名男生和40名女生，那么从中随机抽取一名学生，抽到男生或女生的概率为(30/70)+(40/70)=2/3。
这样，我们不需要列出所有可能性，只需要简单地计算两个事件的概率并相加。
概率的应用不仅仅局限于学习中，它也在我们的日常生活中发挥着重要的作用。
新教材 人教B版高中数学必修第二册 第五章 统计与概率 知识点考点及解题方法提炼汇总
第五章统计与概率5.1统计 (1)5.1.1数据的收集 (1)第1课时总体与样本、简单随机抽样 (1)第2课时分层抽样 (5)5.1.2数据的数字特征 (8)5.1.3数据的直观表示 (14)5.1.4用样本估计总体 (21)5.3概率 (25)5.3.1样本空间与事件 (25)5.3.2事件之间的关系与运算 (28)5.3.3古典概型 (32)5.3.4频率与概率 (36)5.3.5随机事件的独立性 (38)5.4统计与概率的应用 (42)5.1统计5.1.1数据的收集第1课时总体与样本、简单随机抽样知识点总体所考察问题涉及的__对象全体__是总体个体总体中__每个对象__都是个体样本抽取的部分对象组成总体的一个样本样本一个样本中包含的__个体数目__是样本容量容量知识点普查与抽样调查一般地，对总体中__每个个体__都进行考察的方法称为普查(也称全面调查)，只抽取__样本__进行考察的方法称为抽样调查．知识点简单随机抽样(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称纯随机抽样)就是从总体中不加任何__分组__、划类、__排队__等，完全随机地抽取个体．(2)两种常见方法：①__抽签法__；②__随机数表法__．思考1：抽签法与随机数表法的异同点是什么？提示：抽签法随机数表法不同点①抽签法比随机数表法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况①随机数表法要求编号的位数相同；②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况相同点①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取知识点随机数表法进行简单随机抽样的步骤思考2：用随机数表进行简单随机抽样的规则是什么？提示：(1)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．(2)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，若得到的号码不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满所需号码为止．题型简单随机抽样的概念典例剖析典例1下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签；(5)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．[分析]若抽取样本的方式是简单随机抽样，它应具备哪些特点？[解析](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为50名官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．(5)不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样．规律方法：1.如果一个总体满足下列两个条件，那么可用简单随机抽样抽取样本：(1)总体中的个体之间无差异；(2)总体个数不多．2．判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．题型抽签法典例剖析典例2要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试．请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．[分析]已知N＝30，n＝3.抽签法抽样时编号1、2、…、30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本．[解析]应使用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车编号，号码是1、2、3、 (30)②将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．规律方法：抽签法的5个步骤题型随机数表法典例剖析典例3假设要考查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)(B)844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211A．455068047447176B．169105071286443C．050358074439332D．447176335025212[解析]第8行第26列的数是1，依次取三位数169、555、671、998、105、071、851、286、735、807、443、…，而555、671、998、851、735、807超过最大编号499，故删掉，所以最先检验的5袋牛奶的号码依次为：169、105、071、286、443，故选B．规律方法：用随机数表法抽取样本的步骤：(1)将总体中的每个个体编号(每个号码位数一样)．(2)在随机数表中任选一个数作为起始号码．(3)从选定的数开始，按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或与前面取出的数重复，则跳过不取，如此进行下去，直到取满为止．(4)根据选定的号码抽取样本．易错警示典例剖析典例4 一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽取的可能性是__12__；第三次抽取时，每个小球被抽取的可能性是__14__．[错解] 因为简单随机抽样时每个个体被抽取的可能性均为n N ，所以两空均填12． [辨析] 本题解答错误的原因在于混淆了抽样中，样本被抽到的可能性与每次抽取中个体被抽到的可能性．[正解] 因为简单随机抽样时每个个体被抽取的可能性为n N ，所以第一个空填12，而抽样是无放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽取的可能性为16，第二次抽取时，剩余5个小球被抽取的可能性为15，第三次抽取时，剩余4个小球，每个小球被抽取的可能性为14.因此，第二个空填14．第2课时 分层抽样 知识点分层抽样1．定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有__明显差别__的、__互不重叠__的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按__层在总体中所占比例__进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)思考1：如何理解“层在总体中所占比例”？提示：从N 个个体中抽取n 个个体，若将总体分为A ，B ，C 三层，含有的个体数目分别是x ，y ，z ，在A ，B ，C 三层应抽取的个体数目分别是a ，b ，c ，那么a x ＝b y ＝c z ＝n N ．2．应用的广泛性(1)分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此．(2)分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法．(3)想同时获取总体的信息和各层的内部信息时，常采用分层抽样．思考2：简单随机抽样和分层抽样的联系和区别是什么？提示：类别简单随机抽样分层抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互联系在各层抽样时采用简单随机抽样适用范围总体中的个体数较少总体由存在明显差异的几部分组成共同点①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样题型分层抽样的概念典例剖析典例1下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(B)A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户．为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本C．从1 000名工人中抽取100人调查上班途中所用的时间D．从生产流水线上抽取样本检查产品质量[分析]根据分层抽样的特点选取．[解析]A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．规律方法：分层抽样的依据(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．题型分层抽样中的有关计算典例剖析典例2(1)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师__182__人．(2)某网站针对“2020年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：支持A方案支持B方案支持C方案35岁以下的人数200400800 35岁以上(含35岁)的人数100100400的人中抽取了6人，求n的值．②从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？[解析](1)设该校其他教师有x人，则16x＝5626＋104＋x，解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182人．(2)①由题意得6100＋200＝n200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n＝40．②35岁以下的人数为5500×400＝4人，35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1人．[母题探究]将本例的条件改为“A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A方案有16人”，求样本的容量n．[解析]由于A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5，样本中A方案有16人，则210＝16n，解得n＝80．规律方法：分层抽样中的求解技巧(1)样本容量n总体的个体数N＝该层抽取的个体数该层的个体数．(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．题型分层抽样的方案设计典例剖析典例3一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，写出用分层抽样的方法抽取样本的过程．[分析]分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配，确定各层抽取的个体数之后，可采用简单随机抽样在各层中抽取个体．[解析]三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4．对112名业务人员进行编号，用随机数表法抽样抽取14人．再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码．将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．规律方法：分层抽样的注意事项分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比，等可能抽样．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．[特别提醒]保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点所有层按同一抽样比，等可能抽样．易错警示典例剖析抽样方法选择不当导致所得样本不具有代表性典例4某单位有职工120人，欲从中抽取20人调查职工的身体状况．领导安排工会某干部负责抽样，他应该怎样做？[错解]将120名职工编号，用随机数表法抽样抽取20人作为样本．[辨析]年龄对人的身体状况有较大影响，这种不考虑年龄抽取的样本不能准确反应单位职工的身体状况．[正解]先将这120名职工根据年龄分为老年组、中年组、青年组，再按1 6的比例在各组中抽取相应的人数，即用分层抽样的方法抽取样本．5.1.2数据的数字特征知识点最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示． 知识点平均数1．定义：如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．这一公式在数学中常简记为x －＝1n ∑i ＝1n x i ．2．求和符号∑具有的性质(1)∑i ＝1n (x i ＋y i )＝∑i ＝1n x i ＋∑i ＝1n y i ．(2)∑i ＝1n (kx i )＝k ∑i ＝1n x i ．(3)∑i ＝1n t ＝nt ．3．如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数是a x －＋B ．思考1：(1)x 5＋x 6＋…＋x 15如何用符号∑表示？(2)如何证明∑i ＝1n (kx i )＝k ∑i ＝1nx i?提示：(1)x 5＋x 6＋…＋x 15＝∑i ＝515x i ．(2)∑i ＝1n (kx i )＝kx 1＋kx 2＋…＋kx n＝k (x 1＋x 2＋…＋x n )＝k ∑i ＝1nx i ．知识点中位数1．如果一组数有奇数个数，并按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数．2．如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数．知识点百分位数1．定义：一组数的p %(p ∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p %的数据不大于该值，且至少有(100－p )%的数据不小于该值．2．计算方法：设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)．思考2：中位数和百分位数的关系是什么？提示：中位数是50%分位数．知识点众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．知识点极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．知识点方差与标准差(1)如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，则方差s 2＝1n i ＝1n (x i －x －)2，方差的算术平方根称为标准差．(2)如果x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，……，ax n ＋b 的方差是a 2s 2．思考2：(1)方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什么？(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？提示：(1)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度．(2)标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．题型最值、平均数、众数的确定典例剖析典例1 某公司员工的月工资情况如表所示： 月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 员工/人125820122(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？[解析] (1)该公司员工月工资的最大值为8 000元，最小值为700元，众数为1 000元．平均数为150(8 000×1＋5 000×2＋4 000×5＋2 000×8＋1 000×20＋800×12＋700×2)＝1 700(元)．(2)用众数，因为最大值为8 000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿1 000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．规律方法：1.把数据从小到大排列，根据定义即可确定最值和众数． 2．平均数的求法 (1)用定义式； (2)用平均数的性质；(3)在容量为n 的一组数据中，若数据x 1有n 1个，x 2有n 2个，…，x k 有n k 个，且n ＝n 1＋n 2＋…＋n k ，则这组数据的平均数为1n (n 1x 1＋n 2x 2＋…＋n k x k )＝n 1n x 1＋n 2nx 2＋…＋n kn x k ．题型中位数、百分位数的计算典例剖析典例2 (1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，则该组数据的中位数是__7.5__；(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51．求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数． [解析] (1)已知数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10个数，所以中位数是7＋82＝7.5．(2)两组数据都是12个数，而且12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝10.8， 因此，甲运动员得分的25%分位数为x 3＋x 42＝20＋252＝22.5，甲运动员得分的75%分位数为x9＋x102＝37＋392＝38，甲运动员得分的90%分位数为x11＝44．乙运动员得分的25%分位数为x3＋x42＝14＋162＝15，乙运动员得分的75%分位数为x9＋x102＝31＋382＝34.5，乙运动员得分的90%分位数为x11＝39．规律方法：1.求中位数的一般步骤(1)把数据按大小顺序排列．(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．2．求百分位数的一般步骤(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，x n．(2)计算：求i＝np%的值．(3)求值：分数p%分位数i不是整数xi0，其中i0为大于i的最小整数i是整数x i＋x i＋12题型极差、方差、标准差的计算典例剖析典例3已知一组数据：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6．(1)求极差；(2)求方差；(3)求标准差．[解析](1)最大值为6，最小值为2，极差为4．(2)可将数据整理为x23456频数34562每一个数都减去4x－4－2－1012频数34562120×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，120×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝32．因此，所求平均值为4，方差为32． (3)由(2)知标准差为62． 规律方法：求方差的基本方法(1)先求平均值，再代入公式s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，或s 2＝1n ∑i ＝1n x 2i －x 2．(2)用性质．(3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s 2． 题型分层抽样的方差典例剖析典例4 甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？[解析] 设甲班50名学生的成绩分别是a 1，a 2，…，a 50，那么甲班的平均成绩和方差分别为x －甲＝a 1＋a 2＋…＋a 5050＝80.5(分)，s 2甲＝(a 1－x －甲)2＋(a 2－x －甲)2＋…＋(a 50－x －甲)250＝500． 设乙班40名学生的成绩分别是b 1，b 2，…，b 40，那么乙班的平均成绩和方差分别为x －乙＝b 1＋b 2＋…＋b 4040＝85(分)，s 2乙＝(b 1－x －乙)2＋(b 2－x －乙)2＋…＋(b 40－x －乙)240＝360． 如果不知道a 1，a 2，…，a 50和b 1，b 2，…，b 40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为x －＝50x －甲＋40x －乙50＋40＝50×80.5＋40×8590＝82.5(分)，方差s 2＝50[s 2甲＋(x －甲－x －)2]＋40[s 2乙＋(x －乙－x －)2]50＋40＝50×[500＋(80.5－82.5)2]＋40×[360＋(85－82.5)2]90＝50×500＋50×4＋40×360＋40×6.2590≈442.78．规律方法：若样本中有两层，第一层有m 个数，分别为x 1，x 2，…，x m ，平均数为x －，方差为s 2；第二层有n 个数，分别为y 1，y 2，…，y n ，平均数为y －，方差为t 2，则样本的均值为a －＝m x －＋n y－m ＋n，方差为m [s 2＋(x －－a －)2]＋n [t 2＋(y －－a －)2]m ＋n．易错警示典例剖析典例5 下面是某赛季甲、乙两名篮球队员每场比赛得分情况： 甲：4 14 14 24 25 31 32 35 36 36 39 45 49 乙：8 12 15 18 23 27 25 32 33 34 41 则甲、乙得分的中位数之和是( B ) A ．56分 B ．57分 C ．58分 D ．59分[错解] D 因为甲的中位数是32，乙的中位数是27，所以甲、乙得分的中位数之和是59．[辨析] 本题易忽视求乙得分的中位数时，没有将数据从小到大排列起来，将原始数据中的中间一个数误认为就是乙得分的中位数而导致错误．因此理解样本的数字特征的含义较为重要．[正解] 由题可知甲得分的中位数为32分，乙得分的数据从小到大排列为：8,12,15,18,23,25,27,32,33,34,41，故乙得分的中位数为25分，因此甲、乙两人得分的中位数之和为57分．5.1.3 数据的直观表示柱形图(也称为条形图) 知识点作用 形象地比较各种数据之间的数量关系特征(1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例．(2)每一矩形都是__等宽__的折线图知识点作用形象地表示数据的变化趋势特征一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的__数据__扇形图(也称为饼图、饼形图)知识点作用形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的__比例__特征每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成__正比__茎叶图知识点作用(1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的__最值__、__中位数__等数字特征(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息(3)比较两组数据的集中或分散程度特征所有的茎都竖直排列，而叶沿__水平__方向排列(2)茎叶图的优点是什么？提示：(1)应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(2)茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．知识点画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤(1)找出最值，计算极差．(2)合理分组，确定区间．(3)整理数据．(4)作出有关图示.频数分布直方图纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的__高度__与频数成正比频率分布直方图纵坐标是__频率组距__，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1思考2：频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．知识点频数分布折线图和频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的__中点__用线段连接起来，且画成与横轴相交．题型柱形图与折线图典例剖析典例12020年1月6日的《中国青年报》报道：“根据调查，有担当(76.3%)和踏实(74.5%)的年轻人最被受访者欣赏．奋进(54.7%)、坚毅(54.1%)、有梦想(50.2%)、有闯劲儿(40.1%)、沉稳(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、活泼(27.2%)、庄重(20.3%)、洒脱(20%)也是受访者欣赏的品质．”为形象地表示这一调查结果．(1)作出柱形图；(2)作出折线图．[解析](1)柱形图如图①．(2)方法一：取图①中各小矩形上面的中点用线段连接起来(图略)，即得折线图．方法二：直接作出折线图如图②其中横轴上的1,2,3，…，12分别表示“有担当”，“踏实”，…，“洒脱”．规律方法：1.柱形图中，各小矩形宽相等．2．注意横、纵轴的意义．3．由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型．题型扇形图典例剖析典例2某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为__50__；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为__1_015__小时．[解析]由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)，该产品的平均使用寿命为50×1 020＋20×980＋30×1 030100＝1 015(小时)．规律方法：在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形面积与圆面积之比．题型茎叶图的画法及应用典例剖析典例3下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图：(1)甲、乙两名运动员的最高得分各是多少？(2)哪名运动员的成绩好一些？[解析](1)甲、乙两名运动员的最高得分分别为51分，52分．(2)从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分除一个52分以外，也大致对称．而甲运动员的平均得分高于乙运动员的平均得分，因此甲运动员的成绩更好．规律方法：1.利用茎叶图进行数据分析时，通常从茎叶图中各个“叶”上的数字多少来分析该组数据的分布对称性、稳定性等．2．如果茎叶图中的数据大致集中在某一行附近，那么说明这组数据比较稳定．3．茎叶图只适用于样本数据较少的情况．题型频率分布表和频率分布直方图典例剖析典例4从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70,80)的学生占总体的百分比．[分析]计算频率、列表与绘图．[解析](1)频率分布表如下：成绩分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16合计50 1.00(2)绘制频率分布直方图如图，由题意知组距为10，取小矩形的高为频率组距，计算得到如下的数据表：成绩分组频率小矩形的高[40,50)0.040.004[50,60)0.060.006[60,70)0.20.02[70,80)0.30.03(3)由频率分布直方图可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是0.03×10＝0.3＝30%．规律方法：绘制频率分布直方图的方法：(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系．(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．(3)在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作长方形，它的高等于该组的频率组距.每个长方形的面积恰好是该组的频率，这些长方形构成了频率分布直方图．易错警示典例剖析典例5某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：kg)：61605959595858575757575656565656565655555555545454545353535252525251515150504948列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．[错解](1)极差61－48＝13．(2)取组距2，分组132＝6.5分7组．(3)分点及分组如下：48～50,50～52,52～54,54～56,56～58,58～60,60～62．(4)列频率分布表：。
高中数学必修2《概率》知识点讲义
高中数学必修2《概率》知识点讲义Chapter 3 Probabilityn 1 Probability of Random Events1.Basic Concepts:Impossible eventCertain eventEvent (includes certain and impossible events)Random eventProbability (P(A)) of an event A2.Probability。
Frequency。
and Frequency :Frequency (nA) of an event A in n trials under the same nsFrequency。
(fn(A)) of an event A in n trials under the same nsProbability (P(A)) of an event A as the stable frequency。
as the number of trials increasesXXXn 2 Basic Properties of Probability1.XXX:n (sum) eventn (product) eventXXXXXX2.Basic Properties of Probability:Probability of certain event is 1.probability of impossible event is 0.and 0 ≤ P(A) ≤ 1XXX 1XXX 0XXX: P(A∪B)= P(A)+ P(B)XXX: P(A)+P(B)=1 if A and B are complementaryn 3 Classical Probability1.XXX: XXX2.XXX:XXX the total number of possible esXXX AUse formula P(A)= number of es in A/ total number of es3.XXX:XXXXXXXXXNote: The original text had formatting errors and some unclear sentences。
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第十章 概率 知识点汇总及解题规律方法提炼
第十章概率10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算1．随机试验(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．3．事件的分类(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．(3)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．■名师点拨必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．4．事件的关系或运算的含义及符号表示(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．典型应用1事件类型的判断指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．(3)若x∈R，则x2＋1≥1.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.【解】由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．判断事件类型的思路要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．典型应用2样本点与样本空间同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？【解】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．典型应用3事件的运算盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？【解】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A⊆C，B⊆C，E⊆C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．典型应用4互斥事件与对立事件的判定某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．10.1.3古典概型1．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．■名师点拨古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．2．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．典型应用1样本点的列举一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个样本点？(2)“2个都是白球”包含几个样本点？【解】(1)法一：采用列举法．分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．法二：采用列表法．设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：事件，故共有10个样本点．(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．。
新教材人教版高中数学必修第二册 第十章 概率(章末知识梳理与能力提升)
2．有限样本空间与随机事件 (1)有限样本空间：随机试验 E 的每个可能的基本结果 称为样本点，用 ω 表示，全体样本点的集合称为试验 E 的 样本空间，用 Ω 表示，称样本空间 Ω＝{ω1，ω2，ω3，…， ωn}为有限样本空间． (2)样本空间 Ω 的子集称为随机事件，称 Ω 为必然事件， 称∅为不可能事件．
第十二页，共十六页。
僚属们都大吃一惊，认为绝无百钱字面都朝上之理，这样干 只会动摇军心，影响本来就不高的士气，于是纷纷劝阻．可是狄 青对此劝告不予理会，神色庄重地对侍从说了声：“铜钱伺候．” 侍从立即从一个小布袋中将铜钱取出，只见一百枚铜钱齐刷刷地 一串儿穿在一根细麻绳上．侍从把系着的绳头儿解开，将铜钱一 个不少地置入狄青的手掌中，狄青双手合拢，像摇卦筒似将铜钱 “哗哗”地摇了几摇，忽然，一个“孔雀开屏”，那百枚铜钱纷 纷飞起，又“劈劈啪啪”地先后落下．
第四页，共十六页。
3．事件的关系与运算
事件关系或运算
含义
符号表示
包含
A 发生导致 B 发生
A⊆B
并事件(和事件) A 与 B 至少一个发生 A∪B 或 A＋B
交事件(积事件) A 与 B 同时发生
A∩B 或 AB
互斥(互不相容) A 与 B 不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A 与 B 有且仅有一个发 A∩B＝∅，且 A∪B
新教材人教版高中数学必修第二册 第十章 概率（章末知识梳理与能力提 升）
科 目：数学
适用版本：新教材人教版
适用范围：【教师教学】
第十章 章末知识梳理与能力提升
第一页，共十六页。
[本章知识结构——建体系]
第二页，共十六页。
[核心知识点拨——握重难]
高中数学必修二 专题12 概率(重难点突破)(含答案)
专题12 概率一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点一古典概型1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型-具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝mn.3. 古典概型的概率公式-P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.考点二 事件的关系与运算考点三 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B ).三、重难点题型突破重难点01 简单的古典概型例1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．23【答案】A【解析】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，而加数全为质数的有(3，3)，根据古典概型知，所求概率为15P=，故选A。
【变式训练1】．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（）A．427B．13C．127D．19【答案】C【解析】∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为311327⎛⎫=⎪⎝⎭。
高中数学必修二第十章概率基础知识点归纳总结(带答案)
高中数学必修二第十章概率基础知识点归纳总结单选题1、下列叙述正确的是（）A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B．若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1C．频率是稳定的，概率是随机的D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小答案：B分析：由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；对于B，事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1，即B正确；对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；，即D错误，对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为15即叙述正确的是选项B，故选：B.小提示：本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.2、种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为（）A．pq B．p+qC．p+q−pq D．p+q−2pq答案：D分析：根据题意，结合独立事件和互斥事件概率计算公式，即可求解.由题意，两株不同的花卉的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为P=p(1−q)+(1−p)q=p+q−2pq.故选：D.3、将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为（）A．17B．18C．19D．20答案：C分析：直接列举即可得到.一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个；方程有实数根，需满足b2−4c≥0；样本点中满足b2−4c≥0的有（2，1）､（3，1）､（3，2）､（4，1）､（4，2）､（4，3）､（4，4）､（5，1）､（5，2）､（5，3）､（5，4）､（5，5）､（5，6）､（6，1）､（6，2）､（6，3）､（6，4）､（6，5）､（6，6），共19个.故选：C4、下列事件属于古典概型的是（）A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B．篮球运动员投篮，观察他是否投中C．测量一杯水分子的个数D．在4个完全相同的小球中任取1个答案：D解析：根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选：D.5、抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．P (A +B )=23D ．P (A +B )=56答案：C解析：根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A +B ，然后计算概率．A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件A +B 表示向上点数为1,3,4,5之一，∴P(A +B)=46=23． 故选：C ．小提示：关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题P(A +B)≠P(A)+P(B)．6、某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5答案：A分析：由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.7、抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）A．至多一枚硬币正面朝上B．只有一枚硬币正面朝上C．两枚硬币反面朝上D．两枚硬币正面朝上答案：C分析：由对立事件的概念直接判断即可.由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.8、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”，则事件M发生与否和事件N有关，故事件M和事件N与不是相互独立事件；对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；故选：C.多选题9、已知事件A，B，且P(A)=0.4,P(B)=0.3，则（）A．如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.4,P(AB)=0.3B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0.12D．如果A与B相互独立，那么P(A⋅B)=0.42,P(AB)=0.18答案：ABD分析：根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可.如果B⊆A，那么P(A∪B)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.3，故 A正确；如果A与B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7，P(AB)=P(∅)=0，故 B正确；如果A与B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12，P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.4+ 0.3−0.4×0.3=0.58，故C错误；如果A与B相互独立，那么P(A⋅B)=(1−0.4)(1−0.3)=0.42，P(A⋅B)=(1−0.4)×0.3=0.18，故 D正确；故选：ABD10、下列说法正确的是（）A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B．若A，B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，P(AB)=0C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是23答案：BCD分析：先求此题不能解出的概率，再利用对立事件可得此题能解出的概率可判断A ；由P (A ∪B )=P (A )+P (B )，P (AB )=0可判断B ；计算出高级教师应抽取的人数可判断C ；由列举法得出两位女生相邻的概率可判断D.对于A ，∵他们各自解出的概率分别是12，14，则此题不能解出的概率为(1−12)−(1−14)=38，则此题能解出的概率为1−38=58，故A 错；对于B ，若A ，B 是互斥事件，则P (A ∪B )=P (A )+P (B )，P (AB )=0，故B 正确；对于C ，高级教师应抽取50×20%=10人，故C 正确；对于D ，由列举法可知，两位女生相邻的概率是23，故D 正确. 故选：BCD.11、下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）A ．试验的样本空间的样本点总数有限B ．每个事件出现的可能性相等C ．每个样本点出现的可能性相等D ．已知样本点总数为n ，若随机事件A 包含k 个样本点，则事件A 发生的概率P (A )=k n 答案：ACD分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故AC 正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B 不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D 正确．故选：ACD填空题12、在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是P 1；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是P 2；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是P 3.则P 1,P 2,P 3的大小关系为___________.答案：P 2<P 1<P 3分析：利用古典概型求概率的方法分别求出P 1,P 2,P 3，比较出大小.如图所示，连接长方体的四个顶点A,B,C,D ，可得鳖臑ABCD .（1）从鳖臑ABCD 的六条棱中任取两条，有C 62=15种取法，其中互相垂直的取法有5种：AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AB ⊥CD ，AD ⊥CD ，CD ⊥BD ，所以P 1=513=13.（2）从鳖臑ABCD 的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上）有4×3=12种取法，它们互相垂直的取法有2种：AB ⊥平面BCD ，DC ⊥平面ABD ，所以P 2=212=16. （3）从鳖臑ABCD 的四个面中任取两个面，有C 42=6种取法，它们互相垂直的取法有3种：平面ABC ⊥平面BCD ，平面ACD ⊥平面ABD ，平面BCD ⊥平面ABD ，所以P 3=36=12，故P 2<P 1<P 3.所以答案是：P 2<P 1<P 313、已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是______．答案：19400##0.0475分析：设事件A 表示“甲射击一次命中目标”，事件B 表示“乙射击一次命中目标”，分两种情况：①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，概率为P(ABA)；②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，概率为P(ABAB)，由此可求得答案.解：设事件A 表示“甲射击一次命中目标”，事件B 表示“乙射击一次命中目标”，则A ，B 相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，此时的概率为P(ABA)=(1−34)×(1−45)×34=380； ②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率为P(ABAB)=(1−34)×(1−45)×(1−34)×45=1100．故停止射击时，甲射击了两次的概率是380+1100=19400．所以答案是：19400.14、已知随机事件A 、B 互相独立，且P (A )=0.7，P (B )=0.4，则P(AB)=_______．答案：0.42##2150 分析：根据对立事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式可得.因为P (B )=0.4，所以P(B)=0.6，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.6=0.42.所以答案是：0.42解答题15、一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）记事件A 为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求P(A)；（2）记事件B 为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件C 为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：P(C)−P(B)=15P(A).答案：（1）35；（2）证明见解析.解析：（1）列举出从袋中一次摸出2个球的所有基本事件，找出其中满足事件A 的基本事件有6个，即可求解P(A)；（2）同样列举出从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件B 的基本事件；同理列举出从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件C 的基本事件，即可计算出P(C)−P(B)=15P(A). 解：（1）记这3个红球为a 1,a 2,a 3，2个白球记为b 1,b 2，则从袋中一次摸出2个球的所有基本事件为：(a 1,a 2)，(a 1,a 3)，(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 2,a 3)，(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 3,b 1)，(a 3,b 2)，(b 1,b 2)共10个，其中满足事件A 的基本事件有6个，所以P (A )=610=35.（2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为(a 1,a 1)，(a 1,a 2)，(a 1,a 3)，(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 2,a 1)，(a 2,a 2)，(a 2,a 3)，(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 3,a 1)，(a 3,a 2)，(a 3,a 3)，(a 3,b 1)，(a 3,b 2)，(b 1,a 1)，(b 1,a 2)，(b 1,a 3)，(b 1,b 1)，(b 1,b 2)，(b 2,a 1)，(b 2,a 2)，(b 2,a 3)，(b 2,b 1)，(b 2,b 2)共25个，满足事件B 的基本事件有12个，所以P (B )=1225.从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为(a 1,a 2)，(a 1,a 3)，(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 2,a 1)，(a 2,a 3)，(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 3,a 1)，(a 3,a 2)，(a 3,b 1)，(a 3,b 2)，(b 1,a 1)，(b 1,a 2)，(b 1,a 3)，(b 1,b 2)，(b 2,a 1)，(b 2,a 2)，(b 2,a 3)，(b 2,b 1)共20个，满足事件C 的基本事件有12个，所以P (C )=1220=35. 因此：P (C )−P (B )=35−1225=325，又P (A )=35，所以P (C )−P (B )=15P (A ).【点晴】方法点晴：等可能事件概率一般用列举法列举出所有基本事件，找出满足所求事件的基本事件个数，直接用公式求得概率.。
高中数学人教A版必修第二册概率的基本性质
解：(1)因为C=A∪B，A与B是互斥事件.
根据互斥事件的概率加法公式，
得P(C)= P(A)+P(B)=
1 4
1 4
1 2
(2)因为C与D互斥，又因为C∪D是
必然事件，所以C与D互为对立
事件.因此 P(D)=
1-P(C)= 1-
1 2
1 2
高 中 数 学 人 教A版必 修第二 册概率 的基本 性质
因为n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4，所以
21 23 24
22 4
P(R)+P(G)= 12 12 12 =P(R∪G)
31 32 34 41 42 43
高 中 数 学 人 教A版必 修第二 册概率 的基本 性质
三、概率的基本性质 高中数学人教A版必修第二册概率的基本性质
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质3的推论 如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…
2×1=2 2×4=8 4×2=8 4×3=12
高 中 数 学 人 教A版必 修第二 册概率 的基本 性质
四、典型例题 高中数学人教A版（ 必修20第19二）册必概修率（的第基二本册性）质10.1.4 概率的基本性质（共12张PPT）
第一罐
第二罐 可能结果数
1 中奖
2
中奖
4 不中奖
4
2
不中奖
中奖
3 不中奖
2×1=2 2×4=8 4×2=8 4×3=12
可以得到，n(Ω)=6×5=30，且每个样本点都是等可能的.
因为n(A1A2)=2，n( A1A2 )=8，n( A1A2 )=8，所以 2 8 8 18 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 概率
一．随机事件的概率
1、基本概念：
⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩不可能事件确定事件事件必然事件
随机事件
（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；
（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；
（5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ……表示。
2、概率与频数、频率：
在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= A n n
为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值
A n n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
二．概率的基本性质
1、各种事件的关系：
（1）并（和）事件
（2）交（积）事件
（3）互斥事件
（4）对立事件
2、概率的基本性质：
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
（2）P(E)=1(E 为必然事件）；
（3）P(F)=0(F 为必然事件）；
（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；
（5）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
三．古典概型
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；
②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式
()m A P A n ==包含的基本事件的个数基本事件的总数
（3）用随机模拟法估计概率的步骤：
①建立概率模型；
②进行模拟实验，可用计算机或计算器模拟实验；
③统计试验结果，估计出概率
扩展知识：
（4）基本事件的研究方法
列举法
树状图法
表格法
（5）用公式
求出事件的概率，但列举时应按某种规律（选定基元，按从大到小或者从小到大列出）一一列举，做到不重不漏，且要注意是“有序”问题还是“无序”问题，抽取是“放回抽样”还是“不放回抽样”
四．几何概型
基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度
（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（3）几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等． ()m P A n =。