空间曲线的切线与空间曲面的切平面

§14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面

一、空间曲线的切线和法平面

概念:曲线在某点切线及法平面. 光滑曲线.

推导:已知:曲线Γ(光滑):⎪⎩

⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x βα≤≤t

),,(000z y x P 0t t = 取),,(000z z y y x x Q ∆+∆+∆+

则割线 z

z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 切线: )

()()(0'00'00'0t z z z t y y y t x x x -=-=- 曲线Γ在P 处的切线向量:{}ρ)(),(),('''t z t y t x T =→

法平面: 0))(())(())((00'00'0'=-+-+-z z t z y y t y x x t x

例1:求曲线 t x 2=, 23-=t y , 22t t z -=在点(1)1=t (2))0,6,4(M 处的切

线及法平面方程.

(1) )1,1,2(1-↔=P t {}{}0,3,222,3,212=-==→

t P t t T

切线: 013122-=+=-z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0

13122z y x (严格表示) (2) 2)0,6,4(=↔t M {}{}{}1,6,122,12,222,3,222-=-=-==→t m t t T 切线:

1

6614-=-=-z y x 法平面:0)6(6)4(=--+-z y x 即0406=--+z y x

例2:求曲线Γ⎩⎨⎧=++=++0

6222z y x z y x 在点)1,2,1(-M 处切线及法平面方程.

解: Γ的常数方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z z x y y x x {}

)

(),(,1''x z x y T =→

将⎩⎨⎧=++=++0

6222z y x z y x 两边对x 求导

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dx

dz dx dy x dx dz z dx dy y 代入法成代数法

z y x z dx dy --= z y y x dx dz --= {}1,0,1,,1)

1,2,1(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-→dx dz dx dy T M 切线: 1

10211--=+=-z z x <说明> 法平面: 0)1()1(=---z x 即 0=-z x

解二:见例3后

二、空间曲面的切平面与法线

概念：曲面在P 处的切平面及法线

推导：（思路） 具连续偏导

曲面∑ 0),,(=z y x F

点P ),,(000z y x P 0t t =↔

∑上过P 任一曲线Γ：)(t x x = )(t y y = )(t z z = 0t t P =↔

Γ⇒过P 的切线向量{})(),(),(0'0'0't z t y t x T =→

“-”

另Γ代入∑ []0)(),(),(≡t z t y t x F

对t 求导，0t t = 0)(),,()(),,()(),,(0'000'0'000'0'000'=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y t

于是，若记{}),,(),,,(),,,(000'000'000'z y x F z y x F z y x F n z y x =→存在且不全为0 →n 与→

T 垂直

2，Γ的任意性；→n 与Γ无关 仅与∑及P 有关

故，→n 与∑上过P 的任意曲线的切线垂直⇒→n 是切平面法向量

切平面：0))(,,())(,,())(,,(0000'0000'0000'=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x （曲面法向量： →n ）

法线： )

,,(),,(),,(000'0000'0000'0z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 例3：求旋转抛物面122-+=y x z 在点P （2，1，4）的切平面，法线方程，关

键法向量.

设z y x z y x F --+=1),,(22 (隐←显)

{}{}{}1,2,41,2,2,,)4,1,2()4,1,2('''-=-==→y x F F F n z y x

切平面: 0)4()1(2)2(4=---+-z y x 即0624=--+z y x 法线: 1

42142--=-=-z y x 说明: 例2的解法二 思路 ～65P 例4

作业: 79P 44 45(1) 46 47

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