空间曲线的切线与空间曲面的切平面

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空间曲线的切线与法平面

提示:
1. 曲线的参数方程可视为: xx y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 而(x) (x)要通过解方程组得到.
山东农业大学
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
第六节多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面和法线
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.

M
T

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Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程 x x0
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
高等数学
主讲人：苏本堂
2 2 2 例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解. 方程组两边对 x 求导, 得
x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dy dz 切向量 T , 1, dx M dx M
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3

y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是研究空间曲线上某一点处几何性质的重要工具。

本文将介绍关于求解空间曲线的切线方程和法平面方程的基本原理和方法。

1. 空间曲线的切线方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的切线方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。

在曲线上选取一点P(t0)，将参数t作适当的微小变化dt，得到曲线上另一点P(t0+dt)。

连接P(t0)和P(t0+dt)两点，得到曲线上的一小段切线段。

切向量是切线段的方向矢量，表示曲线在该点的切线的方向。

切向量的计算公式为：T = lim(dt→0) (P(t0+dt) - P(t0)) / dt（2）确定切线方向向量。

切线方向向量与切向量相同，方向与曲线的切线一致。

所以切线方向向量T即为切线向量。

（3）确定切线点坐标。

将参数t赋值为t0，得到切线过点P(t0)的坐标。

（4）写出切线方程。

以切线点为起点，以切线方向向量为方向，可得到切线方程的一般形式：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c其中，(x0, y0, z0) 为切线点坐标，(a, b, c)为切线方向向量。

2. 空间曲线的法平面方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的法平面方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。

切向量T已在求解切线方程时计算过。

（2）确定法平面的法向量。

法向量是垂直于切线向量的向量，在二维平面上与切线方向向量一致，在三维空间中由切线向量和一般的纵轴方向共同确定。

可以通过叉乘计算得到法向量：N = T × (0, 0, 1) 或 N = (0, 0, 1) × T其中，×表示向量的叉乘运算。

空间曲线的切线与法平面公式

空间曲线的切线与法平面公式空间曲线的切线与法平面公式在几何学中，空间曲线是指在三维坐标系中的曲线。

对于空间曲线上的一点，我们可以通过求取该点处的切线和法平面来描述曲线的性质和特征。

切线是指与曲线相切且方向与曲线在该点处相切的线段。

切线的存在使得我们能够研究曲线在该点处的切向性质。

对于空间曲线上的点 P(x_0, y_0, z_0)，其切线可以通过求取曲线的导数来获得。

设曲线的参数方程为 x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)，其中 t是参数。

我们可以通过对 t 求导得到曲线在该点处的切向量 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。

切点 P 在曲线上的切线向量可以表示为 (dx/dt,dy/dt, dz/dt)|_(x=x_0, y=y_0, z=z_0)。

这个向量可以用来表示切线的方向和斜率。

根据切线向量的定义，我们可以计算出切线的一般方程。

设 M(x, y, z) 是曲线上的一点，并且切点 P(x_0, y_0, z_0) 在曲线上。

那么切线的一般方程可以表示为：(x - x_0) / (dx/dt) = (y - y_0) / (dy/dt) = (z - z_0) / (dz/dt)其中，dx/dt，dy/dt，dz/dt 分别表示曲线在 P 点处的方向导数。

这一表达式可以帮助我们找到曲线上任意一点处的切线。

除了切线，法平面是另一个重要的概念。

法平面是与切线垂直的平面，它与切线相交于曲线上的一点。

通过求取曲线的法向量，我们可以得到法平面的方程。

如果曲线是光滑且参数化的，我们可以通过求取切线向量的两个非零向量的叉乘来获得法向量。

设切线向量为 T，那么法向量可以表示为N = T × T'，其中 T' 是关于参数 t 的导数向量。

这样，法平面的一般方程可以表示为：N · (r - r_0) = 0其中 N 是法向量，r 是平面上一点的位置向量，r_0 是曲线上一点的位置向量。

一,空间曲线的切线与法平面

切向量为
T = (1, y′( x0 ), z′( x0 ))
其中 y′( x0 ), z′( x0 ) 由方程组确定的隐函数求导法求, 将切向量 T 代入基本情形即得切线方程和法线方程
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【例 2】求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程.
一元函数微分几何意义 dy = f ′( x0 )Δx
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因为曲面在M 处的切平面方程为
z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
切平面上点的竖坐标的增量
函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )的全微分
【分析】为隐式情形（待定常数法）【解】设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 ⇒ 2 x = y = z . = = , 0 0 0 1 4 6
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程空间曲面的切平面和法线方程小结思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一，故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.

空间曲线与曲面的切平面与法线方程

空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。

通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。

本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。

一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。

曲线上每一点都有唯一的切线。

通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。

2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。

设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。

由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。

4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。

切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。

设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。

切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程或者向量函数的形式来表示。

在研究空间曲线的性质时，我们需要求出曲线在某一点处的切线方程和法平面方程。

切线方程切线是空间曲线在某一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似线性。

对于曲线上的一点P，它的切线方程可以用向量函数表示为：r = rP + t(T)其中，r表示曲线上任意一点的向量，rP表示曲线上的点P的向量，t是一个参数，T表示曲线在点P处的单位切向量。

单位切向量是曲线在该点处的切线方向上的单位向量。

切向量可以通过求导得到，即T = r'(t)这里，r'(t)是曲线在点P处的斜率向量，也可以写成曲线的导数。

法平面方程与切线相对应的是法平面，它是垂直于曲线的平面。

在曲线上任意一点P处，法平面垂直于该点处的切向量。

法平面方程可以用点法式表示为：n · (r - rP) = 0其中，n表示法平面的法向量，r表示曲线上任意一点的向量，rP表示曲线上的点P的向量。

点法式要求法向量n必须是单位向量，这意味着我们需要对它进行归一化处理。

法向量n可以通过求曲线在点P处的曲率向量得到，即K = r''(t) / ||r'(t)||^3曲率向量是曲线在该点处的曲率方向上的单位向量。

曲线的曲率 K 表示曲线在该点处的弯曲程度。

曲率越大，曲线在该点处的弯曲程度就越大。

然后，我们可以将曲率向量进行归一化处理得到法向量n，即n = K / ||K||综上所述，求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程的基本方法是：1. 求出曲线在该点处的切向量 T = r'(t)。

2. 构造切线方程 r = rP + t(T)。

3. 求出曲线在该点处的曲率向量 K = r''(t) / ||r'(t)||^3。

4. 构造法平面方程 n · (r - rP) = 0，其中 n = K / ||K||。

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在特定点的几何性质。

在三维空间中，曲线的切线方程是曲线在某一点处的瞬时方向，而法平面方程则描述了曲线在该点处的法向量所确定的平面。

首先，我们来讨论空间曲线的切线方程。

对于参数方程形式的曲线，我们可以通过求导来获得曲线在某一点处的切向量（或切线方向）。

对于曲线的参数方程：\[x = f(t)\]\[y = g(t)\]\[z = h(t)\]其中，x、y、z分别是曲线上一点P的坐标，而t是曲线的参数。

在给定参数值t0的情况下，P在曲线上的坐标为：\[x_0 = f(t_0)\]\[y_0 = g(t_0)\]\[z_0 = h(t_0)\]我们可以通过求导来计算参数方程关于t的导数。

导数表示了曲线的切线在每个点上的瞬时方向。

对于曲线的参数方程，它的切向量可以表示为：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}}\]其中，\(\vec{r}\)是曲线上任意一点P的位置矢量（\(\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)）。

即使我们不知道\(\vec{r}\)的具体表达式，我们仍然可以使用参数方程计算切向量。

根据链式法则，我们有：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}} = \frac{{dx}}{{dt}}\vec{i}+ \frac{{dy}}{{dt}}\vec{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\vec{k}\]根据上述求导结果，我们可以得到切向量在参数值t0时的具体值。

切向量\(\vec{T}\)是曲线在参数为t0的点P处的切线方向。

通过归一化切向量，我们可以得到单位切向量\(\vec{N}\)：\[\vec{N} = \frac{{\vec{T}}}{{\|\vec{T}\|}}\]得到切向量后，我们可以通过曲线上点P的坐标和切向量来建立切线方程。

空间曲线的切线和曲面的切平面.

6.2.4 空间曲线的切线和曲面的切平面课题：空间曲线的切线和曲面的切平面目的要求：会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。

重点：曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的求法难点：公式的推导教学方法：讲练结合教学时数： 2 课时教学进程：、空间曲线的切线和法平面定义 1 设在空间曲线上有一个定点 M ，在其邻近处取上另一点 M ' ，并作割线 MM'．令 M '沿趋近 M ，那么割线的极限位置 TM 就是曲线 L 在点 M 的切线(图 1) 设一条空间曲线方程为x x(t), y y(t),z z(t)考虑 t t 0 所对应的一点 M( x 0 , y 0 , z 0 )及 t t 0 t 所对应的M (x 0 x,y 0 y,z 0 z). 则割线 MM 的方程为切线的方程为x x 0 y y 0 z z 0 ．x (t 0) y (t 0) z(t 0) 作垂直于曲线在该点处切线的平面 ,这个平面称为曲线在 M (x 0, y 0,z 0) 点处的法平面 , 这个法平面的方程为x (t 0)(x x 0) y (t 0)(y y 0) z(t 0)(z z 0) 0．例 1 求螺旋线 x acos ,y asin ,z k 在处的切线与法平面方程． 4 法平面方程x x 0y y 0z z 0x yz x x 0y y 0z z 0 xyz t , t txyx (t 0 ),y (t 0 ),程为解这里 x asin ,y acos ,z k22 (x 0, y 0,z 0)为 (2 对应的点4k a, a, 24 ) ,则曲线在点 M(x 0, y 0,z 0) 的切线方 2 xa 2 2 a 22ya2 22 a 2k z 4 k图1以 t 除上式各分母 ,得当 M M 时, t 0zt z (t 0), t2 a(x 2 a) 2 a(y 2 a) k(z 4 ) 0曲面的切平面和法线定义 2 设有曲面 S ，P (x 0,y 0,z 0)为 S 上任取的一点 , C 为 S 上过点 P 的任意一条曲线,那么在点 P 处曲线 C 的切线 PT 称为曲面 S 在点 P 处的切线．一般地，过曲面上的一点可以作无穷多条切线．可以证明，所有这些切线都在一个平面上．这个平面称为曲面 S 在点 P 的切平面．过 P 点垂直于切平面的直线，称为曲面 S 在点 P 的法线．设曲面的方程为 z f(x,y) ，其中函数 f (x, y)具有连续的一阶偏导数 , C 的方程为x x(t), y y(t), z z(t) 可以证明 ,曲面在 t t 0所对应的一点P(x 0,y 0,z 0) 所对应切平面方程为 f x从而知道法线的方向数,1p所以法线的方程为切平面方程为p(x x 0) F y p (y y 0 ) F z p (z z 0) 0例 2 求抛物面 z 3x 2 2y 2 在点 P(1, 1,2) 处的切平面与法线的方程．6, zyz 2 6(x 1) 4(y 1)z 解因为 zx 即法线的方程为 Fx 6x p p4y p 4 ，所以根据公式，切平面的方程为 p p6x 4y z 8 0 ；y1例 3 求椭球面 2x 2 a 解令 F(x, y,z) = 2y 22b 22x 2 ax162z 2 1=0在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )处的切平面方程． c2y 2 b 2z2 1xp所以，所求切平面的方程为2x 0 2 a2 c z 221 c Fy=0，那么2y 0b 22z 0 2p c 2f|P (x x 0) y |P (y y 0)z z 0x x 0y y 0z z 0 1如果曲面方程的形式为 F(x,y,z) 0，且续性条件 ,则曲面在 P 点处的法线方程为 x x 0 y y 0F(x,y,z)在 P(x 0,y 0,z 0)处满足一定的连 z z 0 F xpF yF z2x 20 (x x 0 ) 2y 20 (y y 0 ) 2z 20 (z z 0) 0a b c化简得x 0x y 0y z 0 z222 abc小结本讲内容：强调曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念及。

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面X = %(/)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：{)，=)，(/),居(久0).Z = ?(/)设G，”e(a,0), A(x(fo),y(G),z(fo)、J,y(/]),z(f[))为曲线上两点,A, B的连线称为曲线Q的割线，当B T A时，若AB趋于一条宜线，则此直线称为曲线Q 在点A的切线.如果x = x(r), y = y(t), z = z⑴对于/的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的.因为割线的方程为x-x(g) _ y-y(G)_ z-z(G)x(“)- A(r0) Wi) 一y(t0) z(f ]) - )也可以写为X-X(『o)_ y-Wo) _ Z-Z^o)x(/])-x(/o)y(/J-y(/o)z(“)-z(fo)当B T A时，割线的方向向長的极限为&'仇),)(0),疋仇)},此即为切线的方向向長，所以切线方程为x-x(r0) _ y-y(r0) _ z-z(r0)%) z仇)'过点A(F°), W°),z(G)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(X(G ),y(t0), z(r«)的法平面，法平面方程为V (/())(x-心)+ y (G)(y - 儿)+ z Go)(z-Zo) = O如果空间的曲线C由方程为y = y(x)9z = z(x)且y aj,z'(Xo)存在，则曲线在点A(x Qi y(x0\zM的切线是1 丫(心) 才(心)法平面方程为(X-心)+ y (x 0)(y-y(x ())) + z (“))(z-z(x°)) = 0如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组jF(x,y, z) = 0,C z) = 0确定时，假设在AgjdZo)有丿=竺0 HO,在某邻域内满足隐函教 6(y,z)八F(x.y.z) = 0,组存在定理条件，则由方程组、c 在点4(")，儿，5)附近能确定隐函数 G(x,y,z) = Oy = yM.z = z(x)有Vo = yUo)^o = ^U o )字警1竿半=一占竽*。

大学高等数学下册笔记高数下-向量空间平面与直线空间曲线和切线与法平面空间曲面的切平面与法线

ac 课时四空间几何向量一、向量（点乘、叉乘）题型1：kj i a23--=k j i b -+=2求①ab②单位向量a e ③b a⋅及θcos 解：a === b === ⎪⎭⎫ ⎝⎛--==142,141,143a a e a()()3,1,21,2,13223a b ⋅=--⋅-=-+=cos a b a bθ⋅===向量叉乘（向量积）（必考点）★题型2：计算32a i j k=--2b i j k =+-，求a b⨯ 解：考点重要程度分值常见题型1.向量（点乘、叉乘）★★★0~3选择、填空2.空间平面与直线★★★★★0~7大题3.空间曲线的切线与法平面★★★0~6选择、填空或大题4.空间曲面的切平面与法线★★★0~6kj i b a121213=---=⨯)7,1,5(=⨯b aa b ⨯b3680x y z --+=二、空间平面与直线1)空间平面及其方程()000,,z y x P ()C B A n ,,=化简得0Ax By +=Ax By Cz D +++（一般式）1）对称式方程()000,,z y x P ()C B A s ,,=2）一般式：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 3）参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=000zCt z y Bt y x At x 题型1:求过3个点()111，，A ()222，，--B 和()211，，-C 的平面方程解：(3,3,1)AB =--(0,2,1)AC =-故AC AB ⨯就是该平面的一个法向量。

()3311,3,6021i j kn AB AC =⨯=--=--所求平面方程为()()()131610x y z --+-+-=题型2：已知平面05=++-z y x 和036485=++-z y x 求其交线对称式方程和参数方程解⎩⎨⎧=++-=++-03648505z y x z y x 则⎩⎨⎧-=-=)4,8,5()1,1,1(n nkj i kj i n n s3448511121-+=--=⨯=任意一点点法式方程n求出方向向量平面的任意法向量两个平面的交线()()()0000A x xB y yC z z -+-+-=),,(000z y x p A x x 0=-⇒(16,0,11)⇒-令0=y ⎩⎨⎧=++=++⇒0364505z x z x 解方程得⎩⎨⎧=-=1116z x 则直线方程：3111416--==+z y x 令：得参数方程为解.21131x y z t -+===-得231x t y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=--⎩带入平面方程得()23310t t t +++--=解得1t =故交点为()3,3,2-题型4：求点()1,2,1到平面01022=-++z y x 的距离解：由距离公式知122110122211222=++-⨯+⨯+⨯=d求出一点416311x t y tz t =-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩t z y x =--==+31114165.空间曲面的切平面与法线题型6：求24z e z xy -+=在点()210，，处的切平面与法线解设24z F e z xy =-+-则⎪⎩⎪⎨⎧=-=====11221zz y x e F x F y F ()1,2,1==⇒n s即切平面为()()2210x y z -+-+=法线为z y x =-=-2112M 点求出的切平面的法向量n 即是法线的方向向量ss。

空间曲线与曲面的切平面与法平面

空间曲线与曲面的切平面与法平面在数学中，空间曲线和曲面是重要的研究对象。

曲线是一个一维的对象，可以用参数方程或者隐式方程表示。

曲面则是一个二维的对象，可以用参数方程、隐式方程或者参数化方程表示。

在研究空间曲线和曲面时，我们常常需要了解曲线和曲面上某点的切线或者法线，这对于进一步研究曲线和曲面的性质和变化非常重要。

本文将介绍空间曲线和曲面的切平面与法平面的概念以及求解方法。

一、空间曲线的切线与切平面空间曲线是三维空间中的一条曲线，我们可以通过曲线上某一点的导数来求解该点处的切线。

设曲线的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t).在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，该点的切向量T可以由参数t求导得到：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)|t=t0.切向量T是曲线上该点的切线方向，我们可以通过该向量来确定切线的方向。

此外，曲线上任意一点的切向量均与曲线在该点的切线方向相同。

在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，切线方程可以表示为：(x - x0)/dx/dt = (y - y0)/dy/dt = (z - z0)/dz/dt.切线方程表示了曲线上点P处切线上所有点的坐标与点P坐标的关系，通过该方程我们可以求解切线上的点的坐标。

与切线相对应的是切平面，切平面与曲线上某一点处的切线垂直，并且包含该切线。

我们可以通过点法式方程来表示切平面，设曲线上一点为P(x0, y0, z0)，其切平面方程为：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.其中A、B、C为切平面的法向量的坐标，可以通过切线的方向向量T求解：A = dx/dt,B = dy/dt,C = dz/dt.切平面方程表示了切平面上所有点的坐标与点P坐标的关系。

二、空间曲面的法线与法平面空间曲面是三维空间中的一个二维对象，我们可以通过曲面上某一点的偏导数来求解该点处的法线。

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面字数：2636字标题：空间曲线的切线与法平面导言：在三维空间中，我们会遇到各种各样的曲线，它们具有特定的形状和方向。

而曲线的切线和法平面则是研究曲线上某一点的性质的重要工具。

本文将讨论空间曲线的切线和法平面的概念，以及它们在实际问题中的应用。

一、曲线的切线1. 切线的定义在二维空间中，我们知道一条曲线在某一点的切线是通过该点且与曲线仅有该点相切的直线。

在三维空间中，曲线的切线的定义与二维空间类似。

对于一个空间曲线，我们可以通过两种方式来确定它在某点的切线：一是通过方程，二是通过参数方程。

2. 方程中的切线考虑某一空间曲线的方程为F(x, y, z) = 0，我们可以通过求曲线在该点的切向量来确定切线的方向。

首先，求出曲线在该点的梯度向量(∇F)，则该向量是曲线在该点的切向量的一个方向向量。

接下来，我们可以通过与曲线的方程联立方程组，求出曲线与切线的交点坐标，从而确定切线的具体方程。

3. 参数方程中的切线对于一个空间曲线的参数方程r(t) = (x(t), y(t), z(t))，我们可以通过求导数的方式来确定曲线在某点的切向量。

即，求出参数t在该点的导数向量r'(t)，则该向量是曲线在该点的切向量的一个方向向量。

通过求曲线的参数方程和切线方程的交点，我们可以进一步确定切线的具体方程。

二、曲线的法平面1. 法线的定义曲线的法线是与曲线在某一点相切且与切线垂直的直线。

在二维空间中，我们可以通过曲线的切线来求出该点的法线。

在三维空间中同样适用。

曲线的法线通过切向量的反向来求得，即对于曲线的切向量v，曲线的法向量为-n，其中n为v的单位向量。

2. 法平面的定义曲线在某一点的法平面是过该点并与切线垂直的平面。

在二维空间中，我们可以通过法线方程来确定法平面。

在三维空间中同样适用。

一个法平面可以由通过曲线上一点的切向量和法向量所决定。

通过求曲线的法向量和过该点的切线向量的叉积，我们可以得到法平面的法向量，从而确定法平面的方程。

立体几何中的曲线与曲面的切线与切平面

立体几何中的曲线与曲面的切线与切平面在立体几何中，曲线和曲面是两个重要的概念。

当我们研究曲线和曲面时，了解其切线和切平面是十分必要的。

本文将讨论立体几何中曲线与曲面的切线与切平面。

一、曲线的切线曲线的切线是指曲线上某一点的切线，即通过这一点并与曲线仅有一个公共点的直线。

在立体几何中，我们常常关注于曲线上某一点的切线与该点的斜率。

以一条曲线为例，设曲线的方程为y=f(x)，其中f(x)是某一函数。

若点(x0, y0)位于曲线上，则曲线在这一点的切线的斜率可通过求解f'(x0)得到，其中f'(x0)表示f(x)的导数。

设曲线在点(x0, y0)的切线方程为y=k(x-x0)+y0，其中k为斜率，可以通过f'(x0)求得。

二、曲面的切平面曲面的切平面可以理解为与曲面仅有一个公共点的平面。

在立体几何中，我们通常关注于曲面上某一点的切平面与该点的切线。

以一个曲面为例，设曲面的方程为z=g(x,y)，其中g(x,y)是某一函数。

若点(x0, y0, z0)位于曲面上，则曲面在这一点的切平面的法线向量可以通过求解该点的梯度向量得到，即(∂g/∂x, ∂g/∂y, -1)。

设曲面在点(x0, y0, z0)的切平面方程为∂g/∂x(x-x0)+∂g/∂y(y-y0)-(z-z0)=0，其中∂g/∂x和∂g/∂y分别表示g(x,y)对x和y的偏导数。

三、曲线与曲面的切线与切平面的应用曲线与曲面的切线与切平面的应用非常广泛。

在工程和自然科学领域，我们经常需要在某一点研究曲线和曲面的性质。

切线和切平面为我们提供了关于这些点的重要信息。

例如，在计算机图形学中，切线和切平面用于创建真实感的渲染效果。

通过计算每个像素点的切线和切平面，可以确定光照的方向和强度，从而使得渲染结果更加真实。

另外，在建筑设计中，曲线和曲面的切线和切平面也被广泛应用。

在设计建筑物的曲线形状时，了解曲线的切线可以帮助设计师确定立面的特点。

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面工X 二x(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：《y = y(t) , t€(o(,P).z = z(t)设tot C，J, A(x(t o), y(t o), z(t o)、B(x(t i), y(t i),z(t i))为曲线上两点,A, B 的连线AB称为曲线C的割线，当B > A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A的切线.如果x = x(t), y = y(t), z = z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的•因为割线的方程为x — x(t°)y — y(t°) z—z(t°)x(tj — x(t o) y(tj — y(t o) z(t i) — z(t o)也可以写为x — x(t。

)_ y — y(t。

)_ z — z(t。

)x(tj - x(t。

) y(tj - y(t。

) z(tj —z(t。

)t -t o t - t o t - t o当B > A时，t > t o，割线的方向向量的极限为fx(t o), y(t o), z(t o)1，此即为切线的方向向量，所以切线方程为X — x(t o) _ y — y(t o) _ z _z(t o)x(t。

)「y(t。

)「z(t o).过点A(x(t o), y(t o), z(t o)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(x(t o), y(t o), z(t o)的法平面，法平面方程为x'(t o)(x-X o) y (t o)(y - y o) z'(t°)(z - z°) = 0如果空间的曲线C由方程为y = y(x),z = z(x)且y'(x o),z'(x°)存在，则曲线在点A(x°, y(X o), z(x°)的切线是X -X o _ y - y(X o) _ z -z(X o)1 y"(x o) z"(x o)法平面方程为(x-X o) y (X o)(y - y(X o)) z'(X o)(z-z(X o)) =o如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组；F(x, y,z)=0,c:丿[G(x, y, z) = o确定时，假设在A(x o, y o ,z o)有J =班F，G)式o，在A( x o, y o, z o)某邻域内满足隐函数点(y,z)A组存在定理条件，则由方程组丿F(x, y,z)-0,在点A(x o,y o,z o)附近能确定隐函数©(X, y,z) = 0y = y(x),z 二z(x)七/ 、/ 、 dy1 c(F,G) dz 1 F(F,G)有y o = y(x o ), Z o =z(x o ) — = ------------------------ ,一 = ---------------- 。

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程

空间曲线的切线与法平面公式

一,空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

空间曲线与曲面的切平面与法线方程

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程

空间曲线的切线和曲面的切平面.

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

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空间曲线与曲面的切平面与法平面

空间曲线的切线与法平面

立体几何中的曲线与曲面的切线与切平面

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

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