平面体系的几何组成分析
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三、点、刚片、结构的自由度
四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
平面体系几何组成分析的方法(静定的概念)(建筑力学)
当使用判定规则进行判定时，可以使用如下技巧，使问题简化： ①去二元体； ②地基可以当作特殊的刚片； ③扩大刚片法：将整个体系的几何不变部分看作刚片，并考察其与周 围部分的连接方式，逐步扩大刚片，减少杆件数目； ④刚片与链杆灵活转换：根据需要可以将链杆当作刚片使用，也可以 将刚片（包括地基）或几何不变部分当作链杆使用； ⑤巧用虚铰：链杆数目较多时，使用虚铰可以使体系简化。
例题分析
例1.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 4244 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 进一步判断，依次去掉二元体DFE、BDC、BEC、BCA后，整个体系只剩下 地基了，为几何不变体系。由于去掉二元体并不改变原体系的几何构造性，因此 原体系也是几何不变体系。
二元体规则是非常好用的规则，特别是去二元体，可以大大简化体系 构件数目，使判断简化，其主要有以下几个技巧：
（1）根据需要进行链杆与刚片之间的转化，巧妙使用二元体； （2）当体系比较复杂时，可以先考虑其中的一个它部分之间的连接关系， 判定整个体系的几何构造性。
例题分析
例2.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 72 113 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 体系没有二元体，但体系本身是有二元体的，去掉所有二元体，只剩下一个 杆件，所以体系本身几何不变，再考虑其与地基的连接方式，判定体系几何不变。
总结与技巧
示例
例1.分析图示体系的几何构造性。
解析：（1）计算自由度
W 7277 0
体系具有成为几何不变体系的最少约束数目，需进一步判断。 （2）依次去掉二元体FAB、IED、FBJ、IDC如图所示。 （3）三角形GCH看作刚片Ⅰ，地基看作特殊刚片Ⅱ。 （4）刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过三根链杆相连，三链杆汇交
例题分析
例1.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 4244 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 进一步判断，依次去掉二元体DFE、BDC、BEC、BCA后，整个体系只剩下 地基了，为几何不变体系。由于去掉二元体并不改变原体系的几何构造性，因此 原体系也是几何不变体系。
二元体规则是非常好用的规则，特别是去二元体，可以大大简化体系 构件数目，使判断简化，其主要有以下几个技巧：
（1）根据需要进行链杆与刚片之间的转化，巧妙使用二元体； （2）当体系比较复杂时，可以先考虑其中的一个它部分之间的连接关系， 判定整个体系的几何构造性。
例题分析
例2.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 72 113 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 体系没有二元体，但体系本身是有二元体的，去掉所有二元体，只剩下一个 杆件，所以体系本身几何不变，再考虑其与地基的连接方式，判定体系几何不变。
总结与技巧
示例
例1.分析图示体系的几何构造性。
解析：（1）计算自由度
W 7277 0
体系具有成为几何不变体系的最少约束数目，需进一步判断。 （2）依次去掉二元体FAB、IED、FBJ、IDC如图所示。 （3）三角形GCH看作刚片Ⅰ，地基看作特殊刚片Ⅱ。 （4）刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过三根链杆相连，三链杆汇交
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
结构力学之平面体系的几何组成分析
二、二刚片规则： 两个刚片用既不全平行也不全交于一点的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变 体系，且无多余约束。
O
ΙΙ
ΙΙΙ
推论： 两个刚片由一个铰和一根轴线不通过该铰的 链杆相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
ΙΙ
C
A
B
例三、
C
A
分析图示体系的几何构造：
D
解法一： 1、找刚片：
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
（二）二元体规则：
增加或去掉二元体不改变原体系的几何
组成性质。
C
A
B
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A
D
E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
B
束的几何不变体系；依次
C
F
G
在其上增加二元体A-D-C、
C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
一、几何构造特性：
（一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
静定结构几何组成的特点是：
任意取消一个约束，体系就变成了
几何可变体系。
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
二、静力特性：
（一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据
结构力学 平面体系的几何构造分析
1
A
I
II
A
1
32
I
12
§2-2 几何不变体系的组成规律
3.三个刚片之间的连接
规则4：三个刚片用三个不共线的铰两两相连，则组成几何不 变体系且无多余约束。（三片三铰规则）
B
II A
B Ⅲ C
I
注：三个刚片之间的连接铰可 以是实铰亦可以是虚铰
I
III
A
II C
13
§2-2 几何不变体系的组成规律
4.当规则中的限制条件不被满足时则体系为瞬变或常变。
5
§2-1 几何构造分析的基本概念
y
y
xφ
2 3
x 1
x,
x
y
x,y,1,2,3x
单链杆约束
y
复链杆约束 n—结点个数
x
6
§2-1 几何构造分析的基本概念
2）铰 ①单铰约束：连结两个刚片的铰称为单铰。
结论：一个单铰可减少两个自由度，相当于两个约束或联系，相当于两 根单链杆的作用。 ②复铰： 连结两个以上刚片的铰称为复饺。
例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。
AI
II
C III
B1
2
3
解： m3 g0 h3 b3
W33(233)990
另解： m3,g0,h2,b5 W33302250
30
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
例2-3-2 求体系的计算自由度W W=3m-2h-b =3*7-2*9-3=0 W=2j-b=2*7-14=0
23
§2-2 几何不变体系的组成规律
例2-2-2 试分析图示体系的几何构造。 解：
刚片I、II用链杆1、2相连 （瞬铰A) 刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B)
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
第二章_平面体系的几何组成分析
三、三刚片组成规则
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
2 平面体系的几何构造分析
11
④定向支座(滑动支座)
限制刚片A点在竖直方向的移动和转动，减少 两个自由度，相当于两个约束。
A
MA
A
MA
Fy A
Fy A
12
（2）刚片间的连接约束 ①链杆 简单链杆——仅连接两个结点的杆件称为 简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度， 故一根简单链杆相当于一个约束。
y
x
φ
x
x,
链杆约束
13
I 刚片I, III——用铰B连接 刚片II,III——用铰C连接
B III
A
II
C
25
例2-3:分析体系的几何组成。
刚片I, II——用铰C连接
刚片II,III——用铰B连接
刚片I, III——用铰A连接
该体系为几何不变,无多余约束。
26
例2-4:分析体系的几何组成。
刚片I, II——用铰C连接
20
例2-1:求该体系的计算自由度数。
解: W=3m-(2n+r) =3×4-（2×4+6） =-2<0 体系有两个多余约束。
21
例2-2:求该体系的计算自由度数。 解:
W=3m-(2n+r) =3×10-（2×13+4） =0 W=2J-(b+r)
=2×7-（2×10+4）
=0
22
练习:求该体系的计算自由度数。 解: W=3m-(2n+r) =3×9-（2×12+3） =0 W=2J-(b+r)
III 若铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行， 则体系为瞬变。 若铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行且 三者等长，则体系为常变。
29
第二章 平面体系的几何组成分析
(6) 复刚结点（P.15）
联结n个刚片间的刚结点相当于（n-1）个单刚结点 （P.16） (7) 复链杆
一般来说，联结n个点的复链杆相当于（2n-3） 个单链杆（P.16）
五、不同的装置对自由度的影响
1．一个支杆（或链杆）、可动铰支座→减少一个自由度。 2．两个相交的支杆、固定铰支座→ 减少两个自由度。 3．单铰（中间铰）：一个单铰减少两个自由度。 4．固定支座或刚结点：减少三个自由度。
几何不变体系的要求：杆件和支承数量要足够，组成方式 要合理。
可变
不变
可变
可变
可变
不变
二、二元体规则：一个点与一个刚片之间的连接方式。 1.约束：一个平面内的点有两个自由度，采用两个联系， 可使其几何不变。 2.规律I：一个刚片与一个点用不在同一直线上的两根 链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变体系。
三、刚片与自由度
刚片：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球
或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作 一个平面刚片。
四、约束（联系）： 减少自由度的装置或连接。
常见的约束：
(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
y
O
x
进行几何组成分析时，应注意：
1）体系中的每根杆件和约束都不能遗漏，也不能 重复使用。 2）当分析无法进行下去时，一般是使用的刚片或 约束不恰当，应重新选择刚片或约束再试。 3）对于某一体系，可能有多种分析途径，但结论 是唯一的。
练习：分析图示体系的几何组成。
D
C
ED
C
E
D
C
E
A
B
A
B
平面体系的几何组成分析
无穷远
⑶单铰与链杆的约束关系 一个单铰相当于两个链杆。
Ⅱ B Ⅱ 实铰 Ⅰ
O 虚铰、瞬心
Ⅱ
实铰
A Ⅰ
Ⅱ B D
平行
A
C
Ⅰ
Ⅰ
三、平面杆件体系自由度的计算
2
1、一般体系自由度的计 算 设：m—刚片数；
例题1
1 2
1
h—单铰数；
r—支座链杆数；
解： m= 5 h= 1+2+2+1=6 r=3 w=3×5－2×6－3=0
外围大三角形ABC几何不变， 几围小三角形DEF几何不变。
ABC与DEF两刚片，按二刚片 规则， 组成几何不变体系
例 分析图5-18所示体系的几何组成。
取AC为刚片1，BC为 刚片2，基础为刚片3。
如图所示，三刚片交点。 因此按三刚片规则， 组成几 何不变体系
例 分析图5-19a所示体系的几何组成。
将杆件AB、AC、BC分别视为刚片。运用三刚片规则，ABC 为几何不变体系。 结点D为加在刚片ABC上的二杆结点，按规则三，ABCD为 几何不变体系。 在ABCD上加二杆结点F，在刚片ABCDF上加结点E，因而 ABCDEF为几何不变体系。
将地面视为一刚片，按二刚片规则， ABCDEF与地面组成 几何不变体系
首先去掉D结点。如图b所示
按二刚片规则，三根链杆不平行亦不相交于一点，故 组成几何不变体系。
1、静定结构 几何特征是没有多余约束的几何不变体系； 静力特征是仅用静力平衡条件即可确定所有反力和内 力。 2、超静定结构
几何特征是有多余约束的几何不变体系；
静力特征是仅用静力平衡条件不能确定所有反力和 内力，还要使用变形协调条件才能求得所有反力和 内力。
⑶单铰与链杆的约束关系 一个单铰相当于两个链杆。
Ⅱ B Ⅱ 实铰 Ⅰ
O 虚铰、瞬心
Ⅱ
实铰
A Ⅰ
Ⅱ B D
平行
A
C
Ⅰ
Ⅰ
三、平面杆件体系自由度的计算
2
1、一般体系自由度的计 算 设：m—刚片数；
例题1
1 2
1
h—单铰数；
r—支座链杆数；
解： m= 5 h= 1+2+2+1=6 r=3 w=3×5－2×6－3=0
外围大三角形ABC几何不变， 几围小三角形DEF几何不变。
ABC与DEF两刚片，按二刚片 规则， 组成几何不变体系
例 分析图5-18所示体系的几何组成。
取AC为刚片1，BC为 刚片2，基础为刚片3。
如图所示，三刚片交点。 因此按三刚片规则， 组成几 何不变体系
例 分析图5-19a所示体系的几何组成。
将杆件AB、AC、BC分别视为刚片。运用三刚片规则，ABC 为几何不变体系。 结点D为加在刚片ABC上的二杆结点，按规则三，ABCD为 几何不变体系。 在ABCD上加二杆结点F，在刚片ABCDF上加结点E，因而 ABCDEF为几何不变体系。
将地面视为一刚片，按二刚片规则， ABCDEF与地面组成 几何不变体系
首先去掉D结点。如图b所示
按二刚片规则，三根链杆不平行亦不相交于一点，故 组成几何不变体系。
1、静定结构 几何特征是没有多余约束的几何不变体系； 静力特征是仅用静力平衡条件即可确定所有反力和内 力。 2、超静定结构
几何特征是有多余约束的几何不变体系；
静力特征是仅用静力平衡条件不能确定所有反力和 内力，还要使用变形协调条件才能求得所有反力和 内力。
平面体系的几何组成分析
第6章平面体系的几何组成分析6.1 几何组成分析的目的杆系结构是由若干杆件通过一定的互相联结方式所组成的几何不变体系，并与地基相联系组成一个整体，用来承受荷载的作用。
当不考虑各杆件本身的变形时，它应能保持其原有几何形状和位置不变，杆系结构的各个杆件之间以及整个结构与地基之间，不会发生相对运动。
受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，能够保持几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。
图6.1a所示即为这类体系的一个例子。
而如图6.1b所示的例子是另有一类体系，在受到很小的荷载F作用，也将引起几何形状的改变，这类体系不能够保持几何形状和位置不变的体系称为几何可变体系。
显然，土木工程结构只能是几何不变体系而不能采用几何可变体系。
上述体系的区别是由于它们的几何组成不同。
分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。
在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几何组成，以确定体系的几何不变性。
几何组成分析的目的是：1．判别给定体系是否是几何不变体系，从而决定它能否作为结构使用；2．研究几何不变体系的组成规则，以保证设计出合理的结构；3．正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。
在本章中，所讨论的体系只限于平面杆件体系。
6.2平面体系的自由度为了便于对体系进行几何组成分析，先讨论平面体系的自由度的概念。
所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需独立的数目。
在平面内的某一动点A，其位置要由两个坐标x和y来确定(图6.2a)，所以一个点的自由度等于2，即点在平面内可以作两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种移动来描述。
在平面体系中，由于不考虑材料的应变，所以可认为各个构件没有变形。
于是，可以把一根梁，一根链杆或体系中已经肯定为几何不变的某个部分看作一个平面刚体，简称为刚片。
一个刚片在平面内运动时，其位置将由它上面的任一点A的坐标x、y和过A点的任一直线AB的倾角ϕ来确定(图6.2b)。
2平面体系的几何组成分析
（2）从内部刚片出发构造
例如三铰拱
大地、AC、无BC多为余刚几片何;A不、变B、C为单铰
减加二元体简组化成分结析构
如何减二元体？
试分析图示体是系什的么几何组成。 体系？
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
F
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
例1
F
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
例2
1,.3
2.,3 .1,2
就称为瞬变体系；反之则为常变体系。
应避C免设计常变体系，
A 也应避免设B 计A 成瞬变
B
0 0' 或接近瞬变瞬变的体体系的系两C个’ 特征：
P
M 0 0
(1) 多余约束的存在
N3 P r 0 (2) 很小的荷载引起很大的内
N1
N2
N3
N3
Pr
力；构件的微小变形引起体 系显著的位移。
第二章 平面体系的几何组成分析
Construction Analysis of Plan Structures
基本假定：不考虑材料的变形
几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可
变或如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以 作为结构。同时几何分析能为结构受力分析提供合理途径。
§2-1 几何组成分析的几个概念 一、几何不变体系和几何可变体系
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
例6
A
B C DE F
例如三铰拱
大地、AC、无BC多为余刚几片何;A不、变B、C为单铰
减加二元体简组化成分结析构
如何减二元体？
试分析图示体是系什的么几何组成。 体系？
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
F
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
例1
F
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
例2
1,.3
2.,3 .1,2
就称为瞬变体系；反之则为常变体系。
应避C免设计常变体系，
A 也应避免设B 计A 成瞬变
B
0 0' 或接近瞬变瞬变的体体系的系两C个’ 特征：
P
M 0 0
(1) 多余约束的存在
N3 P r 0 (2) 很小的荷载引起很大的内
N1
N2
N3
N3
Pr
力；构件的微小变形引起体 系显著的位移。
第二章 平面体系的几何组成分析
Construction Analysis of Plan Structures
基本假定：不考虑材料的变形
几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可
变或如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以 作为结构。同时几何分析能为结构受力分析提供合理途径。
§2-1 几何组成分析的几个概念 一、几何不变体系和几何可变体系
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
例6
A
B C DE F
第16章 平面体系的几何组成分析
16.4.1 几何组成分析的一般方法
1.化简体系
（1）拆除二元体 2.观察约束
（2）等效代换
1）外部约束少于3个时，上部与基础之间缺少必要的约束数，整 体一定是几何可变体系。
2）外部约束等于3个时，若不符合二刚片规则，整体一定是几何 可变体系；若符合二刚片规则，整体的几何组成性质取决于上 部，应先从上部入手分析。
a)
b)
c)
几何可变体系
造成几何可变的原因是缺少约束或约束不当。
实用文档
几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位 置不能改变的体系。
a)
b)
c)
只有几何不变体系才能作为结构使用。
实用文档
判断体系几何组成性质，叫做对体系进行几何组成分析。
判断体系几何组成性质其目的是： 1）判定体系是否几何不变，从而确定其能否作为结构。 2）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出各种合理结构。 3）判定结构是静定的还是超静定的，以便选择合适的计算方法。
所以体系是无多余约束的几何不变实用体文档系。
例16-4 对图示体系作几何组成分析。
a)
b)
解：
（1）由于外部约束正好为3个，且符合二刚片规则。所以，整体的性 质取决于上部。应从上部入手分析。
（2）铰接三角形ABD，逐次增加7个二元体（ACB 、CEB 、BGE 、 DFG 、EHG、GJH、FIJ ），视为一个大刚片1；用同样的方法
实用文档
16.2 平面体系自由度的概念
1.刚片
一个梁、一个柱、一根链杆都可看作一个刚片； 已肯定为几何不变的部分可视为一个刚片； 与结构相连的基础通常也视为刚片。
a) 刚片
b) 非刚片
实用文档
c) 刚片
1.化简体系
（1）拆除二元体 2.观察约束
（2）等效代换
1）外部约束少于3个时，上部与基础之间缺少必要的约束数，整 体一定是几何可变体系。
2）外部约束等于3个时，若不符合二刚片规则，整体一定是几何 可变体系；若符合二刚片规则，整体的几何组成性质取决于上 部，应先从上部入手分析。
a)
b)
c)
几何可变体系
造成几何可变的原因是缺少约束或约束不当。
实用文档
几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位 置不能改变的体系。
a)
b)
c)
只有几何不变体系才能作为结构使用。
实用文档
判断体系几何组成性质，叫做对体系进行几何组成分析。
判断体系几何组成性质其目的是： 1）判定体系是否几何不变，从而确定其能否作为结构。 2）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出各种合理结构。 3）判定结构是静定的还是超静定的，以便选择合适的计算方法。
所以体系是无多余约束的几何不变实用体文档系。
例16-4 对图示体系作几何组成分析。
a)
b)
解：
（1）由于外部约束正好为3个，且符合二刚片规则。所以，整体的性 质取决于上部。应从上部入手分析。
（2）铰接三角形ABD，逐次增加7个二元体（ACB 、CEB 、BGE 、 DFG 、EHG、GJH、FIJ ），视为一个大刚片1；用同样的方法
实用文档
16.2 平面体系自由度的概念
1.刚片
一个梁、一个柱、一根链杆都可看作一个刚片； 已肯定为几何不变的部分可视为一个刚片； 与结构相连的基础通常也视为刚片。
a) 刚片
b) 非刚片
实用文档
c) 刚片
平面体系的几何组成分析
平面体系的几何组成分析平面体系是指在二维平面上展示和分析的几何结构，可以是二维图形、图表或者平面上的线条、点等。
几何组成分析是对平面体系中组成要素的形态和关系进行研究、描述和解释的过程。
在平面体系的几何组成分析中，主要包括以下几个方面的内容：1.几何形态分析：几何形态分析是对平面体系中的形状、大小、比例关系等几何特征进行分析和描述的过程。
在几何形态分析中，可以通过测量、标注、计算等方法获取图形的尺寸信息，并通过比较、计算等方法揭示出图形的相似性、对称性等几何特征。
2.几何结构分析：几何结构分析是对平面体系中各个组成要素之间的关系进行研究和解释的过程。
在几何结构分析中，可以根据图形之间的相对位置、相互连接关系等，判断图形的层次结构、组合关系等几何关系，并通过分析这些几何关系揭示出图形之间的相互作用和约束关系。
3.几何变换分析：几何变换分析是对平面体系中的图形进行变换、平移、旋转等操作，以研究和揭示几何要素之间的关系和规律的过程。
在几何变换分析中，可以通过变换操作改变图形的形态、位置等几何特征，并观察这些变换对图形的几何关系和性质的影响，进而揭示出图形之间的变换关系和对称性等几何规律。
4.几何拓扑分析：几何拓扑分析是对平面体系中的点、线、面等几何要素之间的拓扑关系进行研究和表示的过程。
在几何拓扑分析中，可以通过判断要素之间的相交、包含、连接等关系，建立起点、边、面等要素之间的拓扑关系，并通过分析这些拓扑关系揭示出图形的几何拓扑特征和性质。
5.几何组合分析：几何组合分析是对平面体系中的各个组成要素进行组合、排列等操作，以研究和描述图形的整体特征和性质的过程。
在几何组合分析中，可以将各个组成要素进行组合或排列，形成新的图形，并通过分析这些组合或排列揭示出图形的组成特征、数量关系等几何特征。
几何组成分析不仅可以帮助我们理解和描述平面体系中的几何特征和规律，还可以应用于许多领域，如建筑设计、工程规划、地理信息系统等。
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16.4.1 几何组成分析的一般方法
1.化简体系
（1）拆除二元体 2.观察约束
（2）等效代换
1）外部约束少于3个时，上部与基础之间缺少必要的约束数，整
体一定是几何可变体系。
2）外部约束等于3个时，若不符合二刚片规则，整体一定是几何
可变体系；若符合二刚片规则，整体的几何组成性质取决于上
部，应先从上部入手分析。
3）外部约束多于3个时，一般从基础入手，先把基础选为一个刚
片，与上部体系一起进行分析。
3. 选刚片
PPT学习交流
20
16.4.2 几何组成分析举例 例16-1 分析如图所示体系的几何组成
解：
a)
b)
（1）先依次拆除二元体，得简化后体系。
（2）外部约束正好等于3个，且符合两刚片规则，所以从内部入手。 铰接三角形上依次增加二元体ADC和CEB 为大刚片。
PPT学习交流
4
16.2 平面体系自由度的概念
1.刚片
一个梁、一个柱、一根链杆都可看作一个刚片； 已肯定为几何不变的部分可视为一个刚片； 与结构相连的基础通常也视为刚片。
a) 刚片
b) 非刚片
c) 刚片
PPT学习交流
5
2.自由度
确定物体或体系在平面内位置所需的独立参变量（坐标）数目。 一个自由点在平面内的自由度等于2。 一个自由刚片在平面内的自由度等于3。
所以原体系是无多余约束的几何不变体系。
PPT学习交流
22
例16-3 对图示体系作几何组成分析。
基础
基础
解：
1）用连接G、H的直线代替折杆GH，即把折杆GH看成链杆。
2）外部约束为4个，从基础入手分析。AB 、DC和基础分别为刚片1 、
2 、3。
3）刚片1 、2用BC与EF链杆形成的虚铰K相连；刚片1 、3用A铰相 连；刚片2 、3由DI和GH链杆形成的虚铰G相连，三铰不共线，符合 三刚片规则。
PPT学习交流
16
2. 二刚片规则
两个刚片用一个单铰和一根不通过此铰的链杆连接，所组成的 体系是几何不变的，且无多余约束。
视为链杆
a)
b)
c)
PPT学习交流
17
若三连杆延长后交于一点O（图a） 或不等长的三链杆互相平行（图 b），体系在此时是几何可变的， 但经过微小位移后，由于三链杆不 等长，各链杆的转角不相等，彼此 就不再相交或不再平行了，体系成 为几何不变的，可见它们是瞬变体 系。
（3）大刚片刚片1、刚片2彼此两两相连接的3个铰D、F、E在同一
直线上。
所以原体系为几何可变体系。
PPT学习交流
21
例16-2 分析图示体系的几何组成。
基础
基础
解：
（1）用连接A、C的直线代替折杆AC，简化后的体系如图所示。
（2）CDBE视为刚片1，基础视为刚片2，1与2用AC、B、E既不相交于
一点又不完全平行的3根链杆相连，符合二刚片规则。
所以体系是无多余约束的几何不PP变T学体习交系流 。
23
例16-4 对图示体系作几何组成分析。
解：
a)
b)
a) 点
b) 刚片
PPT学习交流
6
3.约束
使体系减少自由度的装置。 1）链杆、可动铰支座使刚片减少一个自由度，为一个约束。
a)
链杆
b) 可动铰支座
PPT学习交流
7
2）固定铰支座使刚片减少两个自由度，是两个约束，相当于两根链杆 的作用。
a)
b)
c)
固定铰支座
三种画法意义相同
PPT学习交流
8
3）单铰是连接两个刚片的铰链。
一个单铰减少两个自由度 是两个约束,相当于两根 链杆的作用
单铰
PPT学习交流
9
两根链杆也相当于一个单铰的作用。 两根链杆的实际交点称为实铰； 两根链杆延长后的交点称为虚铰。
实铰
虚铰
PPT学习交流
10
两根平行链杆的虚铰在链杆方向的无穷远处。
平行链杆的虚铰
PPT学习交流
11
4）复铰为连接多于两个刚片的铰。
若三链杆直接交于一点（图c） 或三链杆等长且互相平行（图 d），体系是几何可变的，且 为常变体系。
PPT学习交流
18
3. 二元体规则
一个铰节点以及被铰接在一起的两根不共线链杆称为二元体。 在体系中增加或拆除二元体，不影响原体系的几何组成性质，称为 二元体规则。
a)
b)
PPT学习交流
19
16.4 几何组成分析的步骤和举例
b)
多余约束在改变体系几何组成性质中是多余的，但多余约束在结构 中不是无用的约束。
PPT学习交流
14
16.3 几何不变体系的组成规则
3个基本规则：三刚片规则 二刚片规则 二元体规则 1. 三刚片规则
3个刚片用不在一直线上的3个铰（包括两链杆形成的实铰或虚铰）两两 相连组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
a)
b)
c)
几何可变体系
造成几何可变的原因是缺少约束或约束不当。
PPT学习交流
2
几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位 置不能改变的体系。
a)
b)
c)
只有几何不变体系才能作为结构使用。
PPT学习交流
3
判断体系几何组成性质，叫做对体系进行几何组成分析。
判断体系几何组成性质其目的是： 1）判定体系是否几何不变，从而确定其能否作为结构。 2）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出各种合理结构。 3）判定结构是静定的还是超静定的，以便选择合适的计算方法。
连接n个刚片的复铰，可以看作n-1个单铰，因而相当于 2（n-1）个约束。
PPT学习交流
12
5）固定端支座阻止刚片在平面内的上下、左右移动和转动。
一个固定端支座是3个约束，相当于3个链杆支座。
6）两杆间的刚节点相当于3个约束。
PPT学习交流
13
7）多余约束是指不能改变体系几何组成性质的约束。
a)
第16章 平面体系的几何组成分析
16.1 几何组成分析的目的
16.2 平面体系自由度的概念
16.3 几何不变体系的组成规则
16.4 几何组成分析的步骤和举例
16.5 静定结构和超静定结构
小结
PPT学习交流
1
16.1 几何组成分析的目的
几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，形状和位置可以改变
的体系。
a)
b)
c)
PPT学习交流
Байду номын сангаас15
符合三刚片规则的部分称为铰接三角形。
a)铰接三角形
b)不是铰接三角形
三刚片规则中的3个单铰（包括两链杆形成的实铰或虚铰），如果共线 （图a)，则C点将沿以AC、BC为半径的两个圆弧的正切方向作微小移动， 移动后3个单铰就不共线了(图b)，又符合三刚片规则成为不变体系。这 种本来是几何可变的，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体 系。瞬变体系是不能作为结构使用的。
1.化简体系
（1）拆除二元体 2.观察约束
（2）等效代换
1）外部约束少于3个时，上部与基础之间缺少必要的约束数，整
体一定是几何可变体系。
2）外部约束等于3个时，若不符合二刚片规则，整体一定是几何
可变体系；若符合二刚片规则，整体的几何组成性质取决于上
部，应先从上部入手分析。
3）外部约束多于3个时，一般从基础入手，先把基础选为一个刚
片，与上部体系一起进行分析。
3. 选刚片
PPT学习交流
20
16.4.2 几何组成分析举例 例16-1 分析如图所示体系的几何组成
解：
a)
b)
（1）先依次拆除二元体，得简化后体系。
（2）外部约束正好等于3个，且符合两刚片规则，所以从内部入手。 铰接三角形上依次增加二元体ADC和CEB 为大刚片。
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4
16.2 平面体系自由度的概念
1.刚片
一个梁、一个柱、一根链杆都可看作一个刚片； 已肯定为几何不变的部分可视为一个刚片； 与结构相连的基础通常也视为刚片。
a) 刚片
b) 非刚片
c) 刚片
PPT学习交流
5
2.自由度
确定物体或体系在平面内位置所需的独立参变量（坐标）数目。 一个自由点在平面内的自由度等于2。 一个自由刚片在平面内的自由度等于3。
所以原体系是无多余约束的几何不变体系。
PPT学习交流
22
例16-3 对图示体系作几何组成分析。
基础
基础
解：
1）用连接G、H的直线代替折杆GH，即把折杆GH看成链杆。
2）外部约束为4个，从基础入手分析。AB 、DC和基础分别为刚片1 、
2 、3。
3）刚片1 、2用BC与EF链杆形成的虚铰K相连；刚片1 、3用A铰相 连；刚片2 、3由DI和GH链杆形成的虚铰G相连，三铰不共线，符合 三刚片规则。
PPT学习交流
16
2. 二刚片规则
两个刚片用一个单铰和一根不通过此铰的链杆连接，所组成的 体系是几何不变的，且无多余约束。
视为链杆
a)
b)
c)
PPT学习交流
17
若三连杆延长后交于一点O（图a） 或不等长的三链杆互相平行（图 b），体系在此时是几何可变的， 但经过微小位移后，由于三链杆不 等长，各链杆的转角不相等，彼此 就不再相交或不再平行了，体系成 为几何不变的，可见它们是瞬变体 系。
（3）大刚片刚片1、刚片2彼此两两相连接的3个铰D、F、E在同一
直线上。
所以原体系为几何可变体系。
PPT学习交流
21
例16-2 分析图示体系的几何组成。
基础
基础
解：
（1）用连接A、C的直线代替折杆AC，简化后的体系如图所示。
（2）CDBE视为刚片1，基础视为刚片2，1与2用AC、B、E既不相交于
一点又不完全平行的3根链杆相连，符合二刚片规则。
所以体系是无多余约束的几何不PP变T学体习交系流 。
23
例16-4 对图示体系作几何组成分析。
解：
a)
b)
a) 点
b) 刚片
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6
3.约束
使体系减少自由度的装置。 1）链杆、可动铰支座使刚片减少一个自由度，为一个约束。
a)
链杆
b) 可动铰支座
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2）固定铰支座使刚片减少两个自由度，是两个约束，相当于两根链杆 的作用。
a)
b)
c)
固定铰支座
三种画法意义相同
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8
3）单铰是连接两个刚片的铰链。
一个单铰减少两个自由度 是两个约束,相当于两根 链杆的作用
单铰
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9
两根链杆也相当于一个单铰的作用。 两根链杆的实际交点称为实铰； 两根链杆延长后的交点称为虚铰。
实铰
虚铰
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10
两根平行链杆的虚铰在链杆方向的无穷远处。
平行链杆的虚铰
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11
4）复铰为连接多于两个刚片的铰。
若三链杆直接交于一点（图c） 或三链杆等长且互相平行（图 d），体系是几何可变的，且 为常变体系。
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18
3. 二元体规则
一个铰节点以及被铰接在一起的两根不共线链杆称为二元体。 在体系中增加或拆除二元体，不影响原体系的几何组成性质，称为 二元体规则。
a)
b)
PPT学习交流
19
16.4 几何组成分析的步骤和举例
b)
多余约束在改变体系几何组成性质中是多余的，但多余约束在结构 中不是无用的约束。
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14
16.3 几何不变体系的组成规则
3个基本规则：三刚片规则 二刚片规则 二元体规则 1. 三刚片规则
3个刚片用不在一直线上的3个铰（包括两链杆形成的实铰或虚铰）两两 相连组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
a)
b)
c)
几何可变体系
造成几何可变的原因是缺少约束或约束不当。
PPT学习交流
2
几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位 置不能改变的体系。
a)
b)
c)
只有几何不变体系才能作为结构使用。
PPT学习交流
3
判断体系几何组成性质，叫做对体系进行几何组成分析。
判断体系几何组成性质其目的是： 1）判定体系是否几何不变，从而确定其能否作为结构。 2）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出各种合理结构。 3）判定结构是静定的还是超静定的，以便选择合适的计算方法。
连接n个刚片的复铰，可以看作n-1个单铰，因而相当于 2（n-1）个约束。
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12
5）固定端支座阻止刚片在平面内的上下、左右移动和转动。
一个固定端支座是3个约束，相当于3个链杆支座。
6）两杆间的刚节点相当于3个约束。
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13
7）多余约束是指不能改变体系几何组成性质的约束。
a)
第16章 平面体系的几何组成分析
16.1 几何组成分析的目的
16.2 平面体系自由度的概念
16.3 几何不变体系的组成规则
16.4 几何组成分析的步骤和举例
16.5 静定结构和超静定结构
小结
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1
16.1 几何组成分析的目的
几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，形状和位置可以改变
的体系。
a)
b)
c)
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符合三刚片规则的部分称为铰接三角形。
a)铰接三角形
b)不是铰接三角形
三刚片规则中的3个单铰（包括两链杆形成的实铰或虚铰），如果共线 （图a)，则C点将沿以AC、BC为半径的两个圆弧的正切方向作微小移动， 移动后3个单铰就不共线了(图b)，又符合三刚片规则成为不变体系。这 种本来是几何可变的，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体 系。瞬变体系是不能作为结构使用的。