高中数学方法讲解之放缩法

高中数学方法讲解之放

缩法

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

放缩法

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：

4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (

5lg 3log 2

=<=+<⋅； 2

)

1()1(++<

+n n n n ⑷利用常用结论：

Ⅰ、k

k

k k k 21111<

++=-+；

Ⅱ、

k k k k k 111)1(112--=-< ； 1

1

1)1(112+-=+>k k k k k （程度大）

Ⅲ、

)1111(21)1)(1(11

112

2+--=+-=-

例1.若a , b , c , d ∈R +，求证：

21<+++++++++++<

c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a

【巧证】：记m =c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a +++++++++++

∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>

c

b a d d

b a d

c c a c b a b

d c b a a m

2=+++++++<

c

d d

d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立

例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴

2

22

2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡ 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证：

21

3121112222<++++n

【巧证】：n n n n n

1

11)1(112

--=-< ∴

21

21113121211113121112

222<-=+-++-+-+<++++n n n n

十二、放缩法:

巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y

y

x x b +++=11，求

证：a < b

巧练一：【巧证】：

y

y x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111

巧练二：求证：lg9•lg11 < 1 巧练二：【巧证】：

122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 2

2

2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅

巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n

巧练三：【巧证】：

2

22)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 2

2=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡ b > c , 则04

11≥-+-+-a

c c b b a 巧练四： 【巧证】：

c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22)

)((12112

巧练五：)2,(1121111

2≥∈>++++++

+n R n n

n n n 巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n

n

n n n n n n

巧练六：121

21112

1

<+++++≤

n

n n 巧练六：【巧证】： 11

1

21<⋅+≤≤⋅n n n n 中式

巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)

巧练七：【巧证】： ∵12

2

=⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0, ∴

2

2

,⎪⎭

⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n

n

∴1=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n

n

c b c a

放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法等。

所谓放缩法，要证明不等式A